Содержание к диссертации
Введение
1 Многомасштабные модели в микромеханике
1.1 Математические модели различных масштабных уровней 16
1.2 Краткий обзор обобщенных теорий сред сложной структуры 21
1.2.1 Теория направляющих 21
1.2.2 Теория Миндлина 22
1.2.3 Теория Тупина 23
1.2.4 Мультиполярные теории 24
1.3 Основные постулаты механики сплошной среды 25
Определение массовой плотности 27
1.4 Представительный объем среды и его типы 28
1.4.1 Определение представительного объема 29
1.4.2 Кинематические и динамические характеристики ПО 30
1.4.3 Типы представительных объемов 34
1.5 Классификация континуальных моделей сплошной среды 35
2 Обобщенные континуальные модели в механике сплошных сред
2.1 Кинематика сред с микроструктурой 39
2.1.1 Микроморфный континуум Эрингена 40
2.1.2 Специальные случаи кинематики сред с микроструктурой 45
2.1.3 Кинематическое описание среды при конечных поворотах 46
2.1.4 Поле скоростей и ускорений среды с микроструктурой 48
2.2 Меры микро- и макродеформации 49
2.2.1 Тензоры деформации микроморфного континуума 50
2.2.2 Тензоры деформации в континууме Коссера 53
2.2.3 Инварианты тензоров деформаций 54
2.3 Уравнения динамики обобщенных континуумов 56
2.3.1 Уравнения динамики континуума Коссера 59
2.3.2 Псевдоконтинуум Коссера 63
2.3.3 Микроморфная среда со стесненным движением частиц и моментная теория упругости 65
3 Структурно-феноменологические модели периодических сред
3.1 Принципы структурного моделирования 69
3.2 Гранулированная среда с вращением частиц. Одномерная структурная модель 76
3.2.1 Кинематика и силовые взаимодействия в гранулированной среде 76
3.2.2 Уравнение движения дискретной модели 78
3.2.3 Дисперсионные свойства нормальных волн 81
3.3 Модель гранулированной среды в континуальном приближении 83
3.3.1 Влияние микроструктуры на акустические характеристики среды 85
3.3.2 Дисперсионные свойства нормальных волн 90
3.3.3 Связь ротационных и поперечных движений в нормальных модах 92
3.3.4 Теоретические оценки критических частот 93
3.4 Приближение градиентной теории упругости 94
3.5 Обзор экспериментальных исследований 96
Заключение 100
- Краткий обзор обобщенных теорий сред сложной структуры
- Классификация континуальных моделей сплошной среды
- Уравнения динамики обобщенных континуумов
- Гранулированная среда с вращением частиц. Одномерная структурная модель
Введение к работе
Наблюдающееся в последние годы интенсивное внедрение новых материалов в современное машино- и приборостроение вызвало быстрый рост интереса к изучению зависимости их физико-механических свойств от внутренней структуры. Как известно, синтез материалов с заданными физико-механическими свойствами относится к разряду «вечных» проблем механики материалов и материаловедения. Особенно актуальными эти задачи стали в последние два десятилетия, когда появились возможности управления структурой материала на уровне отдельных молекул и даже атомов [13, 36, 94].
Из углерода можно получить молекулы с гигантским числом атомов. Такая молекула, например может представлять собой однослойную трубку с диаметром около нанометра и длиной в несколько десятков микрон (рис.В.16). На поверхности трубки атомы углерода расположены в вершинах правильных шестиугольников. Концы трубки закрыты с помощью шести правильных пятиугольников. Правильные шестиугольники являются ячейкой в плоском графитовом листе, который можно свернуть в трубки различной хиральности. Правильные пятиугольники (семиугольники) являются локальными дефектами в графитовом листе, позволяющими получить его положительную (отрицательную) кривизну. Комбинации правильных пяти-, шести- и семиугольников позволяют получать разнообразные формы углеродных поверхностей. Геометрия этих наноконструк-ций определяет их уникальные физико-механические и химические свойства и, следовательно, возможность существования принципиально новых материалов.
Предсказание физико-химических свойств новых углеродных материалов осуществляется, как с помощью квантовых моделей, так и расчетов в рамках молекулярной динамики. Такой подход позволяет понять сущность физических закономерностей и объяснить происхождение ряда свойств, не имеющих обоснования в классической теории. Предполагается, что исследуемая система состоит из атомных ядер (ионов) и электронов. Эти частицы не рождаются и не исчезают в силу ограниченности их типичных энергий, и скорости их движения достаточно малы по сравнению со скоростью света. Поэтому моделирование атомно-молекулярных систем может проводиться в рамках шредингеровских моделей. Гамильтониан таких моделей содержит кинетическую энергию ядер, кинетическую энергию электронов, потенциальную энергию кулоновского взаимодействия между злеюіронами, между ядрами и электронами и между всеми ядрами. При таком подходе, в случае его полной реализации, можно было бы определить причины существования многих свойств и явлений. Однако, содержательный анализ
моделей для реальных систем, состоящих из большого числа частиц, представляет практически трудноразрешимую задачу даже с помощью современных вычислительных систем. Несмотря на несомненные успехи квантовой механики в объяснении ряда свойств микроскопических объектов, переход от микрофизики к описанию макроскопических объектов остается все еще недостаточно изученным. В частности, не ясны критерии, до каких пор можно пользоваться методами классической физики при изучении динамических процессов в наноструктурах.
Известно, что квантовая теория содержит в себе классическую механику в качестве предельного случая. Это составляет принцип соответствия в квантовой механике. А именно, если числовое значение динамической переменной, имеющей размерность действия S (Дж-с), велико по сравнению с постоянной Планка й = 6,6-10-34 Дж-с, то систему с достаточной точностью можно описать законами классической физики. Проведем оценку такой величины на примере колебаний периодической структуры из фуллеренов. Наиболее распространенная молекула фуллерена С60 состоит из 20 гексагонов и 12 пентагонов. Ее поперечный размер составляет 0,714нм. При определенных условиях молекулы Сбо могут упорядочиваться и образовывать молекулярные кристаллы с гранецентрированной кубической решеткой, с параметром а = 1,41 нм. В такой динамической системе размерностью действия является произведение периода колебаний на энергию S=TE. Характерная частота колебаний такой структуры составляет 1010 -ПО12 с"1, а энергия возбуждения имеет порядок 106эВ=1,6-10 п Дж, Величина действия равна S = ТЕ = 2яЕ/о) = 10 24 -И0"25 Дж-с и отношение S/n 108 -1010. Следовательно, колебания в решетке из фуллеренов можно описывать законами классической физики. Таким образом, механику сред с микроструктурой, включая и нанообъекты, можно строить в рамках законов классической физики.
Микромеханика твердого тела рассматривает макромеханические свойства материалов, в том числе и поликристаллических металлов, с микроскопических позиций. Поэтому она играет важную роль связующего звена между исследованиями на микро- и макроуровнях [130, 187]. Известно, что для создания (синтеза) новых материалов, недостаточно умения анализировать свойства микроструктуры материала. Необходимо определение связи требуемых макроскопических характеристик материала с микроскопическими характеристиками структуры, умение воспроизводить заданные макроскопические свойства. В настоящее время достаточно четко сформировались три различных подхода к построению математических моделей сред, отражающих внутреннее взаимодействие элементов структуры:
— континуальный подход базируется на обобщении континуальной модели среды за счет расширения понятия представительного объема среды, учета ротационных степеней свободы микрочастиц и аффинных деформаций мезообъема (континуум Коссера, микроморфная среда Эрннгена-Миндлина). В развитии этого подхода решающий вклад внесли работы Е. и Ф. Коссера, К. Трусдела Р., Тупина, Э.Л. Аэро и Е.В. Кувшинского, Р.Миндлина. К. Эрингена, В.А.Пальмова, В.Новацкого, А.И. Потапова и др.
Основные трудности этого подхода заключаются в выявлении физического смысла моментных напряжений высших порядков и в отсутствии теории макроскопических экспериментов, на основании которых можно было бы найти связь материальных констант среды с параметрами ее микроструктуры:
— структурно-феноменологический (модельный) подход связан с теорией кристаллической решетки и физикой твердого тела. Здесь следует отметить работы И.Кунина, Е.Кренера, А.Аскара (Askar А.), Ж.Пуже и Ж.Можена (Pouget J. and Maugin G.), Л.И.Маневича, Э.Л.Аэро и А.Н.Булыгина, Х.Аскеса (H.Askes) и А.В.Метрикина, А.И.Потапова и И.С.Павлова, А.А.Васильева и А.Е.Мирошниченко
— статистический подход основан на пространственном усреднении свойств микронеоднородных сред и переходе от уравнений движения микроэлементов к рассмотрению уравнений макродвижений, отражающих взаимодействие элементов микроструктуры. Сюда заметный вклад внесли работы В.А.Ломакина, А.А.Илыошина, В.В.Новожилова, В.Н.Николаевского и др.).
В первой и второй главах диссертации развивается континуальный подход, базирующийся на понятиях полярности и нелокальности материала, имеющего микроструктуру. Полярность указывает на то, что, помимо деформации окрестности частицы структуры, допускается ее жесткое вращение, в общем случае не связанное с полем перемещений, а нелокальность указывает на зависимость физических свойств материала от влияния частиц окружения. Мысленное разбиение тела на части ограничено некоторым пределом, выражающимся в том, что на некотором уровне происходит качественное изменение физических свойств. Существуют материалы, у которых качественные изменения происходят постепенно, но у кристаллических твердых тел этот предел выражен достаточно четко. Получение представлений о пределах, проявляющихся при измельчении материалов с микроструктурой, представляет проблему поэтапного познания материи. По мере накопления знаний о микроструктуре, которая влияет на механическое поведение материалов, происходит переход на новый уровень познаний - создается теория, позволяющая с новых позициїі объяснить механическое поведение. Для укрепления фундаментальной базы теории соответствующего этапа должна быть установлена связь между характеристиками уровня микроструктуры и макроскопическими характеристиками. Поэтому большая роль отводится механике субмакроскопического уровня, устанавливающей переход от микро- к макро-, а также критерии макро-и микроскопических свойств. К структурно-чувствительным материалам (материалам с микроструктурой) в чистом виде неприменима методология континуума. Тем не менее, допустимо распространение методов механики сплошных сред, занимающейся изучением механического поведения материи на макроуровне, на микроуровень. Они оказываются весьма эффективными для объяснения поведения материалов. Область науки, в которой поведение материалов с микроструктурой изучается при использовании методов непрерывной аппроксимации, называют обобщенной механикой сплошной среды.
Во второй половине XIX века для описания деформации твердых тел использовалась, как правило, континуальная теория упругости. Исторически одной из первых континуальных моделей упругой среды, которая не может быть описана в рамках классической теории упругости, является среда Коссера, состоящая из твердых недеформируемых тел, обладающих тремя трансляционными и тремя ротационными степенями свободы. Теоретические основы такого континуума были развиты Е. и Ф.Коссера [139] в 1909 году. Традиционно предполагалось, что эта работа не имеет предшественников, но это не так [73]. Еще в 1839г. была опубликована работа Дж. Мак-Куллага [168], посвященная построению модели упругой среды, способной одновременно описывать наблюдаемые отражение и преломление. Энергия деформации в континууме Мак-Куллага зависит от вращательных компонентов деформации. В книгах Е.Моссотти (1851г.), А.Клебша (1862г.), Г.Кирхгофа (1874г.) и П.Дюгема (1891г.) также имеются отступления от канонов классического континуума. В 1862 году А.Клебш, ввел энергетически сопряженную пару для "вращательной энергии". О важности учета моментных напряжений говорилось и в работе В.Фойхта (1887г.) [196]. Таким образом, Е. и Ф.Коссера обобщили и развили более ранние работы Г.Кирхгофа, А.Клебша, П.Дюгема и В.Фойхта [48, 61, 170, 171].
С начала 60-х годов стали усиленно развиваться обобщенные модели континуума Коссера: теория ориентированных сред, несимметричная, моментная, мультиполярная, микроморфная и т.п. теории упругости (часто их называют мо-ментными теориями). Так, Э.Л.Аэро и Е.В.Кувшинский [9, 10 60] на основании допущения о вращательном взаимодействии частиц вытянутой формы в анизотропной упругой среде обобщили феноменологическую теорию упругости с целью объяснения некоторых аномалий динамического поведения пластиков, которым классическая теория упругости не давала удовлетворительной трактовки. В дальнейшем идея "ориентированного" континуума, в котором каждой точке приписывается еще и направление (поле директора), получила свое развитие в теории жидких кристаллов. Существенный вклад в развитие моментных теорий внесли также работы Г.Германна, В.Гюнтера, В.Койтера [53], В.А.Ломакина [48], Р.Миндлина [76], В.Новацкого [81], В.А.Пальмова [87, 89], Р.Ривлина, Г.Н.Савина [97, 98], К.Трусделла, Р.Тупина [189], А.Эрингена [141-144], И.А.Кунина [61, 161] и др. (см. также библиографию в [48, 137, 149]). К середине 60-х годов сформировалось новое направление, тесно связанное с теорией кристаллической решетки, -нелокальная теория упругости, содержащая обобщенные модели континуума Коссера в качестве длинноволнового приближения (Э. Кренер, Дж. Крумхансл, И.А. Кунин). В дальнейшем нелокальная теория упругости развивалась также в работах А.Е.Грина, Н. Лооса, Д. Эделена, А. Эрингена и других авторов [33, 43, 61, 131, 144, 149, 157, 161, 190, 193].
С недостаточностью классической теории упругости столкнулись в физике твердого тела при изучении термодинамических свойств материалов. В 1952 году И.М.Лифшиц [71], рассматривая вопрос о тепловых свойствах цепных и слоистых структур при низких температурах, обратил внимание на влияние поперечной же сткости отдельных атомных слоев или цепей на закон дисперсии акустических колебаний слоистого кристалла в длинноволновой части спектра, где она по законам теории упругости должна отсутствовать. В этой работе приведены законы дисперсии для продольных и поперечных (изгибных) волн. Впоследствии изгибные волны в кристаллической решетке были более детально изучены А.М.Косевичем [57, 58, 156]. Он отметил, что изгибные волны, в отличие от продольных волн, обусловленных центральными силами взаимодействия вызываются более слабыми силами нецентрального взаимодействия, возникающими при поперечных смещениях частиц. Он также показал, что для более точного описания нелинейной динамики кристаллической решетки в уравнениях колебаний необходимо учитывать и моментные напряжения, описываемые четвертыми пространственными производными от поперечных смещений частиц.
В последние два десятилетия все больше растет интерес к задачам построения нелинейных моделей сред сложной структуры [1, 7, 8, 15, 16, 19, 24, 27, 38, 39, 41, 54, 64, 69, 85, 129, 143, 153, 154, 176, 182-185]. Так, например, Ж.Пуже и Ж.Можен в работе [185] изучали нелинейную динамику ориентированных сред с помощью микроскопической теории, моделируя среду как систему материальных объектов с трансляционными и вращательными степенями свободы. Один из вариантов теории, описывающей моментную динамику твердого деформируемого тела, был предложен А.Г. Угодчиковым в работах [107-109]. На основе физических и механических свойств геоматсриалов со сложной структурой в работах В.Н.Николаевского [80, 175] построены математические модели деформирования и разрушения горных массивов и пластов при внешних воздействиях .
В третьей главе диссертации развиваются теоретические основы структурно-феноменологического моделирования сред сложной структуры. Структура среды и, в частности, размер зерна - один из важнейших показателей качества материалов, непосредственно влияющих на их прочностные и вязкоупругие характеристики. Большинство структурных теорий, применяемых в механике твердого тела, частицы, из которых состоит тело, представляют как простые центры сил, наделенные свойствами массы. Эти элементы тела действуют друг на друга с помощью центральных сил. Предполагается, что силы, действующие между структурными элементами тела, быстро убывают с расстоянием и ими можно пренеб речь, если расстояние между элементами превышает «радиус молекулярного действия». Метод центральных сил приводит к определенным соотношениям между упругими постоянными второго порядка, которые называются соотношениями Коши. В 1830 г. Коши, используя дискретную модель среды (эфира), сделал попытку объяснить дисперсию света в предположении, что свет представляет собой упругие волны с очень большой частотой. Он показал, что для длин волн, много больших расстояния между соседними частицами одномерной решетки, скорость распространения не зависит от длины волны. Для коротких же волн скорость распространения является функцией длины волны и может заметно изменяться. Идеи Коши, послужили отправной точкой для исследований Баден-Пауэлла, который, исходя из модели одномерной решетки, вывел формулу связи между скоростью распространения волны и ее длиной. Однако он не заметил одно из важнейших свойств периодических систем, а именно существование максимальной частоты, при которой волны еще могут распространяться в решетке. Это открытие сделал в 1881 г. Кельвин, обративший внимание на то, что частота является функцией волнового числа. С помощью модели цепочки из частиц двух сортов Кельвин смог объяснить явление дисперсии, избежав затруднений, имевших место в теории Коши.
В 1842 году С.Пуассон сделал предположение о том, что молекулы кристалла представляют собой не точки, а малые твердые тела, которые могут двигаться не только поступательно, но и вращаться [73]. Эта идея позже, в 1887 году, была детально разработана В. Фохтом [196]. В 1890 году В.Томсон (лорд Кельвин) указал, что соотношения Коши могут быть устранены, если представить кристалл состоящим из двух проникающих друг в друга однородных точечных образований, т.е. двух подрешеток [73]. Более общие структурные схемы кристаллических материалов были предложены в 1915 году Максом Борном, в которых каждый структурный элемент кристалла — элементарная ячейка — состоит из собрания притягивающихся и отталкивающихся частиц [21]. Частицы внутри каждой ячейки одинаково расположены по отношению друг к другу.
В конце 1930-х годов Я.И.Френкель рассмотрел модель цепочки ориентированных диполей с закрепленными центрами тяжести и показал, что в ней могут распространяться "волны вращательных качаний" (т.е. ориентационные волны). Первую же модель взаимодействия трансляционных и вращательных колебаний в молекулярной решетке предложили в 1949 году Л.И.Ансельм и Н.Н.Порфирьева [3]. В такой модели было учтено лишь линейное взаимодействие ориентационных волн с одним видом трансляционных колебаний - продольными волнами. Тем не менее удалось показать, что в кристаллических решетках молекулярных кристаллов распространяются в основном смешанные ориентационно-трансляционные колебания, частоты которых зависят как от массы, так и от момента инерции молекул в решетке. Для одномерной модели молекулярной решетки с двумя молекулами в элементарной ячейке получаются четыре ветви вращательно-трансляционного спектра колебаний. Для длинных волн одна ветвь (акустическая) дает чисто трансляционные колебания, вторая ветвь - чисто вращательные колебания, зависящие только от момента инерции, и две другие - смешанные вра-щательно-трансляционные колебания, зависящие и от массы, и от момента инерции. Как показали дальнейшие исследования Н.Н.Порфирьевой, эти результаты, полученные для одномерной модели решетки, сохраняются в основном и для трехмерной молекулярной решетки кристалла.
До середины прошлого столетия большинство результатов механики деформируемого твердого тела были получены в рамках континуального подхода. Дискретные же модели использовались, как правило, в физике твердого тела и теории кристаллической решетки [21, 22, 56-58]. Интерес к дискретным моделям возобновился во второй половине XX века [46, 122-125, 128]. Здесь стоит указать работы Г. Зорского, Д.Рогули и Ч.Рымажа [43], М.Р.Короткиной [55, 56], Н.Ф. Морозова и М.И. Паукшто [78]. Такой интерес связан со следующими обстоятельствами:
— Применение дискретных методов в силу дискретности процессов вычисления идеологически более оправдано.
— Развитие ЭВМ позволяет в настоящее время решать "большие" системы уравнений, что отчасти снимает возражение о неадекватности реальных и расчетных ситуаций.
— Дискретные методы позволили, например в задачах разрушения, обнаружить ряд эффектов, не улавливаемых континуальными методами. И это не случайно, поскольку разрушение происходит на уровне структуры и описывается длинноволновой асимптотикой лишь приближенно. - Дискретные модели представляются привлекательными в силу моделирования реальной атомной структуры вещества.
Как известно, структурные и кинетические характеристики материалов наиболее ярко проявляются в их динамическом поведении, поэтому один из эффективных способов определения материальных констант твердых тел основан на измерениях скоростей и других характеристик упругих волн, распространяющихся по разным кристаллографическим направлениям. При исследовании твердых материалов упругие (акустические) волны имеют определенные преимущества перед электромагнитными и рентгеновскими волнами, так как могут распространяться в толще среды, куда последние не проникают. Высокая чувствительность акустических методов и сравнительно малые амплитуды деформации дают возможность исследовать механические характеристики твердых тел еще в упругой области деформации без разрушения материала [74, 82, 105, 111, 192]. Это делает актуальной разработку теории волновых процессов в средах сложной структуры и привлекает большое внимание, как теоретиков, так и экспериментаторов. В настоящее время представления о существовании в кристаллической решетке ротационных степеней свободы и различных типов взаимодействий широко используются при изучении динамических процессов в средах сложной структуры [3, 66, 75, 77, 132-136, 171, 172, 1811-183, 194, 195]. Теория ангармонических эффектов в решетке, состоящей из анизотропных частиц, представляется весьма важной для развития ультразвуковых методов исследования твердых тел [27, 38, 42, 74, 105, 111, 126, 127].
В середине 30-х - начале 40-х годов на важность учета микроструктуры среды, а именно, вращательных степеней свободы частиц обратили внимание физики-экспериментаторы. Так, весьма интересны опыта Е.Бауера и М.Мага, производивших сравнение спектров рассеяния для тяжелой и легкої! воды. Из сравнения спектров этих двух веществ, молекулы которых имеют приближенно одну и ту же массу, но различные моменты инерции, Е.Бауер и М.Мага делают заключение о существовании наряду с трансляционными также и вращательные колебания молекул воды. Допуская существование таких же колебаний, Дж. Бернал и Ж.Тамм считали возможным объяснить различия в некоторых физических свойствах легкой и тяжелой воды. В 1940 году Е.Гросс [34] наблюдал эффект изменения длины волны рассеянного света в жидкости, связанный с флуктуациями ориентации анизотропных молекул, и отметил, что при вращательных колебаниях оси молекул могут поворачиваться на значительную величину, если период колебаний много больше времени релаксации. В дальнейшем Е.Гросс и А.Коршунов экспериментально установили [35], что и у кристаллов некоторых органических веществ спектр рассеяния малых частот связан с вращательными колебаниями молекул. Наиболее интенсивен спектр рассеяния у веществ, молекулы которых обладают большой оптической анизотропией (сероуглерод, нафталин, бензол).
В конце 50-х годов стали проводиться опыты по наблюдению оптико-акустического эффекта в жидкостях и твердых телах. В частности, опыты по изучению спектральной зависимости оптико-акустического эффекта в сегнетоэлек-трических кристаллах (в частности, сегнетовой соли). Исследование спектральной зависимости такого эффекта в кристалле сегнетовой соли и сопоставление результатов со спектром инфракрасного поглощения представлялось интересным с точки зрения проблем, связанных с молекулярным механизмом пьезоэлектрического явления. Однако вопрос о степени эффективности тех или иных колебаний при возбуждении оптико-акустического эффекта до сих пор до конца не изучен.
В 1970 году были проведены первые эксперименты по акустике твердых тел с микроструктурой (Г.Н. Савин и др. [97, 98]). Авторы установили корреляцию между размером зерна в различных металлах и алюминиевых сплавах и дисперсионным параметром акустической волны. Дисперсию ультразвуковых волн наблюдали также в искусственном зернистом композите - ферритовая дробь в эпоксидной смоле.
Учет микроструктуры среды необходим и при исследовании нелинейных акустических волн в кристаллах, поскольку, как указывается в монографии В.Е.Лямова [74], наличие микровращений приводит к появлению пространственной дисперсии и новых акустических ветвей в спектре волн. Однако эти эффекты в книге не рассматриваются.
В последнее десятилетие теоретическому и экспериментальному исследованию процессов распространения и взаимодействия акустических волн в средах сложной структуры посвящено большое количество работ [15, 16, 24, 93, 102-104, 176. 181-184].
Цели работы.
• Анализ основных постулатов механики сплошной среды и проведение классификации различных моделей континуума. Построение конкретных континуальных моделей сред, учитывающих внутренние степени свободы.
• Разработка структурно-феноменологических моделей микрокристаллических сред. Выявление и исследование взаимосвязей между внутренней структурой и физико-механическими свойствами материала.
Научная новизна результатов работы.
Дано расширенное определение представительного объема среды как системы взаимодействующих материальных точек. Построена его кинематика и даны определения внутренних степеней свободы. Выделены четыре типа представительных объемов среды с независимой кинематикой.
Дана последовательная классификация обобщенных континуальных теорий. Показано, что в рамках расширенной аксиоматики существуют восемь типов континуумов, в которые укладываются все известные модели сплошных сред. Указано на существование двух типов континуумов, которые еще не разработаны.
С помощью вариационных принципов механики выведены уравнения нелинейной динамики сред с микроструктурой, учитывающие связи между трансляционными, ротационными и осцилляторными степенями свободы частиц. Выявлено, что наличие внутренних связей вносит в уравнения движения особенности, не описываемые классической теорией упругости.
Построена структурно-феноменологическая модель квазиодномерного кристалла и установлена взаимосвязь между параметрами микроструктуры и упругими постоянными материала. Эта связь дает возможность, с одной стороны, вычислить параметры микроструктуры по известным константам упругости среды, а с другой - предсказать характер изменения упругих коэффициентов при изменении её структуры.
Краткий обзор обобщенных теорий сред сложной структуры
Наблюдающееся в последние годы интенсивное внедрение новых материалов в современное машино- и приборостроение вызвало быстрый рост интереса к изучению зависимости их физико-механических свойств от внутренней структуры. Как известно, синтез материалов с заданными физико-механическими свойствами относится к разряду «вечных» проблем механики материалов и материаловедения. Особенно актуальными эти задачи стали в последние два десятилетия, когда появились возможности управления структурой материала на уровне отдельных молекул и даже атомов [13, 36, 94]. В 1985 г. при попытках астрофизиков объяснить спектры межзвездной пыли были открыты фуллерены — новая форма существования углерода в природе наряду с известными алмазом и графитом. Оказалось, что атомы углерода могут образовать высокосимметричную молекулу Сбо- Такая молекула состоит из 60 атомов углерода, расположенных на сфере с диаметром приблизительно в один нанометр и напоминает футбольный мяч (рис.В.Іа). Первоначально С60 получали в небольших количествах, а в 1990 г. была открыта технология их крупномасштабного производства. Молекулы С60, в свою очередь, могут образовать кристалл фуллерит с гранецентрированной кубической решеткой и достаточно слабыми межмолекулярными связями [94, 138]. В этом кристалле имеются октаэдрические и тетраэдрические полости, в которых могут находиться посторонние атомы. Если октаэдрические полости заполнены ионами щелочных металлов, то при температурах ниже комнатной структура этих ве- ществ перестраивается и образуется новый полимерный материал. Если заполнить также и тетраэдрические полости, то образуется сверхпроводящий материал с критической температурой 20-40 К. Существуют фуллериты и с другими присадками, дающими материалу уникальные свойства. Например, Сбо-этилен имеет ферромагнитные свойства. Из углерода можно получить молекулы с гигантским числом атомов. Такая молекула, например С юоооо ь может представлять собой однослойную трубку с диаметром около нанометра и длиной в несколько десятков микрон (рис.В.16).
На поверхности трубки атомы углерода расположены в вершинах правильных шестиугольников. Концы трубки закрыты с помощью шести правильных пятиугольников. Правильные шестиугольники являются ячейкой в плоском графитовом листе, который можно свернуть в трубки различной хиральности. Правильные пятиугольники (семиугольники) являются локальными дефектами в графитовом листе, позволяющими получить его положительную (отрицательную) кривизну. Комбинации правильных пяти-, шести- и семиугольников позволяют получать разнообразные формы углеродных поверхностей. Геометрия этих наноконструк-ций определяет их уникальные физико-механические и химические свойства и, следовательно, возможность существования принципиально новых материалов. Предсказание физико-химических свойств новых углеродных материалов осуществляется, как с помощью квантовых моделей, так и расчетов в рамках молекулярной динамики. Такой подход позволяет понять сущность физических закономерностей и объяснить происхождение ряда свойств, не имеющих обоснования в классической теории. Предполагается, что исследуемая система состоит из атомных ядер (ионов) и электронов. Эти частицы не рождаются и не исчезают в силу ограниченности их типичных энергий, и скорости их движения достаточно малы по сравнению со скоростью света. Поэтому моделирование атомно-молекулярных систем может проводиться в рамках шредингеровских моделей. Гамильтониан таких моделей содержит кинетическую энергию ядер, кинетическую энергию электронов, потенциальную энергию кулоновского взаимодействия между злеюіронами, между ядрами и электронами и между всеми ядрами. При таком подходе, в случае его полной реализации, можно было бы определить причины существования многих свойств и явлений. Однако, содержательный анализ
моделей для реальных систем, состоящих из большого числа частиц, представляет практически трудноразрешимую задачу даже с помощью современных вычислительных систем. Несмотря на несомненные успехи квантовой механики в объяснении ряда свойств микроскопических объектов, переход от микрофизики к описанию макроскопических объектов остается все еще недостаточно изученным. В частности, не ясны критерии, до каких пор можно пользоваться методами классической физики при изучении динамических процессов в наноструктурах. Известно, что квантовая теория содержит в себе классическую механику в качестве предельного случая.
Это составляет принцип соответствия в квантовой механике. А именно, если числовое значение динамической переменной, имеющей размерность действия S (Дж-с), велико по сравнению с постоянной Планка й = 6,6-10-34 Дж-с, то систему с достаточной точностью можно описать законами классической физики. Проведем оценку такой величины на примере колебаний периодической структуры из фуллеренов. Наиболее распространенная молекула фуллерена С60 состоит из 20 гексагонов и 12 пентагонов. Ее поперечный размер составляет 0,714нм. При определенных условиях молекулы Сбо могут упорядочиваться и образовывать молекулярные кристаллы с гранецентрированной кубической решеткой, с параметром а = 1,41 нм. В такой динамической системе размерностью действия является произведение периода колебаний на энергию S=TE. Характерная частота колебаний такой структуры составляет 1010 -ПО12 с"1, а энергия возбуждения имеет порядок 106эВ=1,6-10 п Дж, Величина действия равна S = ТЕ = 2яЕ/о) = 10 24 -И0"25 Дж-с и отношение S/n 108 -1010. Следовательно, колебания в решетке из фуллеренов можно описывать законами классической физики. Таким образом, механику сред с микроструктурой, включая и нанообъекты, можно строить в рамках законов классической физики. Микромеханика твердого тела рассматривает макромеханические свойства материалов, в том числе и поликристаллических металлов, с микроскопических позиций. Поэтому она играет важную роль связующего звена между исследованиями на микро- и макроуровнях [130, 187]. Известно, что для создания (синтеза) новых материалов, недостаточно умения анализировать свойства микроструктуры материала. Необходимо определение связи требуемых макроскопических характеристик материала с микроскопическими характеристиками структуры, умение воспроизводить заданные макроскопические свойства.
Классификация континуальных моделей сплошной среды
Во второй половине XIX века для описания деформации твердых тел использовалась, как правило, континуальная теория упругости. Исторически одной из первых континуальных моделей упругой среды, которая не может быть описана в рамках классической теории упругости, является среда Коссера, состоящая из твердых недеформируемых тел, обладающих тремя трансляционными и тремя ротационными степенями свободы. Теоретические основы такого континуума были развиты Е. и Ф.Коссера [139] в 1909 году. Традиционно предполагалось, что эта работа не имеет предшественников, но это не так [73]. Еще в 1839г. была опубликована работа Дж. Мак-Куллага [168], посвященная построению модели упругой среды, способной одновременно описывать наблюдаемые отражение и преломление. Энергия деформации в континууме Мак-Куллага зависит от вращательных компонентов деформации. В книгах Е.Моссотти (1851г.), А.Клебша (1862г.), Г.Кирхгофа (1874г.) и П.Дюгема (1891г.) также имеются отступления от канонов классического континуума. В 1862 году А.Клебш, ввел энергетически сопряженную пару для "вращательной энергии". О важности учета моментных напряжений говорилось и в работе В.Фойхта (1887г.) [196]. Таким образом, Е. и Ф.Коссера обобщили и развили более ранние работы Г.Кирхгофа, А.Клебша, П.Дюгема и В.Фойхта [48, 61, 170, 171]. С начала 60-х годов стали усиленно развиваться обобщенные модели континуума Коссера: теория ориентированных сред, несимметричная, моментная, мультиполярная, микроморфная и т.п. теории упругости (часто их называют мо-ментными теориями). Так, Э.Л.Аэро и Е.В.Кувшинский [9, 10 60] на основании допущения о вращательном взаимодействии частиц вытянутой формы в анизотропной упругой среде обобщили феноменологическую теорию упругости с целью объяснения некоторых аномалий динамического поведения пластиков, которым классическая теория упругости не давала удовлетворительной трактовки.
В дальнейшем идея "ориентированного" континуума, в котором каждой точке приписывается еще и направление (поле директора), получила свое развитие в теории жидких кристаллов. Существенный вклад в развитие моментных теорий внесли также работы Г.Германна, В.Гюнтера, В.Койтера [53], В.А.Ломакина [48], Р.Миндлина [76], В.Новацкого [81], В.А.Пальмова [87, 89], Р.Ривлина, Г.Н.Савина [97, 98], К.Трусделла, Р.Тупина [189], А.Эрингена [141-144], И.А.Кунина [61, 161] и др. (см. также библиографию в [48, 137, 149]). К середине 60-х годов сформировалось новое направление, тесно связанное с теорией кристаллической решетки, -нелокальная теория упругости, содержащая обобщенные модели континуума Коссера в качестве длинноволнового приближения (Э. Кренер, Дж. Крумхансл, И.А. Кунин). В дальнейшем нелокальная теория упругости развивалась также в работах А.Е.Грина, Н. Лооса, Д. Эделена, А. Эрингена и других авторов [33, 43, 61, 131, 144, 149, 157, 161, 190, 193]. С недостаточностью классической теории упругости столкнулись в физике твердого тела при изучении термодинамических свойств материалов. В 1952 году И.М.Лифшиц [71], рассматривая вопрос о тепловых свойствах цепных и слоистых структур при низких температурах, обратил внимание на влияние поперечной же- сткости отдельных атомных слоев или цепей на закон дисперсии акустических колебаний слоистого кристалла в длинноволновой части спектра, где она по законам теории упругости должна отсутствовать. В этой работе приведены законы дисперсии для продольных и поперечных (изгибных) волн. Впоследствии изгибные волны в кристаллической решетке были более детально изучены А.М.Косевичем [57, 58, 156]. Он отметил, что изгибные волны, в отличие от продольных волн, обусловленных центральными силами взаимодействия вызываются более слабыми силами нецентрального взаимодействия, возникающими при поперечных смещениях частиц. Он также показал, что для более точного описания нелинейной динамики кристаллической решетки в уравнениях колебаний необходимо учитывать и моментные напряжения, описываемые четвертыми пространственными производными от поперечных смещений частиц. В последние два десятилетия все больше растет интерес к задачам построения нелинейных моделей сред сложной структуры [1, 7, 8, 15, 16, 19, 24, 27, 38, 39, 41, 54, 64, 69, 85, 129, 143, 153, 154, 176, 182-185]. Так, например, Ж.Пуже и Ж.Можен в работе [185] изучали нелинейную динамику ориентированных сред с помощью микроскопической теории, моделируя среду как систему материальных объектов с трансляционными и вращательными степенями свободы. Один из вариантов теории, описывающей моментную динамику твердого деформируемого тела, был предложен А.Г. Угодчиковым в работах [107-109]. На основе физических и механических свойств геоматсриалов со сложной структурой в работах В.Н.Николаевского [80, 175] построены математические модели деформирования и разрушения горных массивов и пластов при внешних воздействиях . В третьей главе диссертации развиваются теоретические основы структурно-феноменологического моделирования сред сложной структуры.
Структура среды и, в частности, размер зерна - один из важнейших показателей качества материалов, непосредственно влияющих на их прочностные и вязкоупругие характеристики. Большинство структурных теорий, применяемых в механике твердого тела, частицы, из которых состоит тело, представляют как простые центры сил, наделенные свойствами массы. Эти элементы тела действуют друг на друга с помощью центральных сил. Предполагается, что силы, действующие между структурными элементами тела, быстро убывают с расстоянием и ими можно пренеб- речь, если расстояние между элементами превышает «радиус молекулярного действия». Метод центральных сил приводит к определенным соотношениям между упругими постоянными второго порядка, которые называются соотношениями Коши. В 1830 г. Коши, используя дискретную модель среды (эфира), сделал попытку объяснить дисперсию света в предположении, что свет представляет собой упругие волны с очень большой частотой. Он показал, что для длин волн, много больших расстояния между соседними частицами одномерной решетки, скорость распространения не зависит от длины волны. Для коротких же волн скорость распространения является функцией длины волны и может заметно изменяться. Идеи Коши, послужили отправной точкой для исследований Баден-Пауэлла, который, исходя из модели одномерной решетки, вывел формулу связи между скоростью распространения волны и ее длиной. Однако он не заметил одно из важнейших свойств периодических систем, а именно существование максимальной частоты, при которой волны еще могут распространяться в решетке. Это открытие сделал в 1881 г. Кельвин, обративший внимание на то, что частота является функцией волнового числа. С помощью модели цепочки из частиц двух сортов Кельвин смог объяснить явление дисперсии, избежав затруднений, имевших место в теории Коши. В 1842 году С.Пуассон сделал предположение о том, что молекулы кристалла представляют собой не точки, а малые твердые тела, которые могут двигаться не только поступательно, но и вращаться [73]. Эта идея позже, в 1887 году, была детально разработана В. Фохтом [196]. В 1890 году В.Томсон (лорд Кельвин) указал, что соотношения Коши могут быть устранены, если представить кристалл состоящим из двух проникающих друг в друга однородных точечных образований, т.е. двух подрешеток [73].
Уравнения динамики обобщенных континуумов
Как известно, структурные и кинетические характеристики материалов наиболее ярко проявляются в их динамическом поведении, поэтому один из эффективных способов определения материальных констант твердых тел основан на измерениях скоростей и других характеристик упругих волн, распространяющихся по разным кристаллографическим направлениям. При исследовании твердых материалов упругие (акустические) волны имеют определенные преимущества перед электромагнитными и рентгеновскими волнами, так как могут распространяться в толще среды, куда последние не проникают. Высокая чувствительность акустических методов и сравнительно малые амплитуды деформации дают возможность исследовать механические характеристики твердых тел еще в упругой области деформации без разрушения материала [74, 82, 105, 111, 192]. Это делает актуальной разработку теории волновых процессов в средах сложной структуры и привлекает большое внимание, как теоретиков, так и экспериментаторов. В настоящее время представления о существовании в кристаллической решетке ротационных степеней свободы и различных типов взаимодействий широко используются при изучении динамических процессов в средах сложной структуры [3, 66, 75, 77, 132-136, 171, 172, 1811-183, 194, 195]. Теория ангармонических эффектов в решетке, состоящей из анизотропных частиц, представляется весьма важной для развития ультразвуковых методов исследования твердых тел [27, 38, 42, 74, 105, 111, 126, 127]. В середине 30-х - начале 40-х годов на важность учета микроструктуры среды, а именно, вращательных степеней свободы частиц обратили внимание физики-экспериментаторы.
Так, весьма интересны опыта Е.Бауера и М.Мага, производивших сравнение спектров рассеяния для тяжелой и легкої! воды. Из сравнения спектров этих двух веществ, молекулы которых имеют приближенно одну и ту же массу, но различные моменты инерции, Е.Бауер и М.Мага делают заключение о существовании наряду с трансляционными также и вращательные колебания молекул воды. Допуская существование таких же колебаний, Дж. Бернал и Ж.Тамм считали возможным объяснить различия в некоторых физических свойствах легкой и тяжелой воды. В 1940 году Е.Гросс [34] наблюдал эффект изменения длины волны рассеянного света в жидкости, связанный с флуктуациями ориентации анизотропных молекул, и отметил, что при вращательных колебаниях оси молекул могут поворачиваться на значительную величину, если период колебаний много больше времени релаксации. В дальнейшем Е.Гросс и А.Коршунов экспериментально установили [35], что и у кристаллов некоторых органических веществ спектр рассеяния малых частот связан с вращательными колебаниями молекул. Наиболее интенсивен спектр рассеяния у веществ, молекулы которых обладают большой оптической анизотропией (сероуглерод, нафталин, бензол). В конце 50-х годов стали проводиться опыты по наблюдению оптико-акустического эффекта в жидкостях и твердых телах. В частности, опыты по изучению спектральной зависимости оптико-акустического эффекта в сегнетоэлек-трических кристаллах (в частности, сегнетовой соли). Исследование спектральной зависимости такого эффекта в кристалле сегнетовой соли и сопоставление результатов со спектром инфракрасного поглощения представлялось интересным с точки зрения проблем, связанных с молекулярным механизмом пьезоэлектрического явления. Однако вопрос о степени эффективности тех или иных колебаний при возбуждении оптико-акустического эффекта до сих пор до конца не изучен. В 1970 году были проведены первые эксперименты по акустике твердых тел с микроструктурой (Г.Н. Савин и др. [97, 98]). Авторы установили корреляцию между размером зерна в различных металлах и алюминиевых сплавах и дисперсионным параметром акустической волны. Дисперсию ультразвуковых волн наблюдали также в искусственном зернистом композите - ферритовая дробь в эпоксидной смоле. Учет микроструктуры среды необходим и при исследовании нелинейных акустических волн в кристаллах, поскольку, как указывается в монографии В.Е.Лямова [74], наличие микровращений приводит к появлению пространственной дисперсии и новых акустических ветвей в спектре волн.
Однако эти эффекты в книге не рассматриваются. В последнее десятилетие теоретическому и экспериментальному исследованию процессов распространения и взаимодействия акустических волн в средах сложной структуры посвящено большое количество работ [15, 16, 24, 93, 102-104, 176. 181-184]. Анализ основных постулатов механики сплошной среды и проведение классификации различных моделей континуума. Построение конкретных континуальных моделей сред, учитывающих внутренние степени свободы. Разработка структурно-феноменологических моделей микрокристаллических сред. Выявление и исследование взаимосвязей между внутренней структурой и физико-механическими свойствами материала. Научная новизна результатов работы. Дано расширенное определение представительного объема среды как системы взаимодействующих материальных точек. Построена его кинематика и даны определения внутренних степеней свободы. Выделены четыре типа представительных объемов среды с независимой кинематикой. Дана последовательная классификация обобщенных континуальных теорий. Показано, что в рамках расширенной аксиоматики существуют восемь типов континуумов, в которые укладываются все известные модели сплошных сред. Указано на существование двух типов континуумов, которые еще не разработаны. С помощью вариационных принципов механики выведены уравнения нелинейной динамики сред с микроструктурой, учитывающие связи между трансляционными, ротационными и осцилляторными степенями свободы частиц. Выявлено, что наличие внутренних связей вносит в уравнения движения особенности, не описываемые классической теорией упругости. Построена структурно-феноменологическая модель квазиодномерного кристалла и установлена взаимосвязь между параметрами микроструктуры и упругими постоянными материала. Эта связь дает возможность, с одной стороны, вычислить параметры микроструктуры по известным константам упругости среды, а с другой - предсказать характер изменения упругих коэффициентов при изменении её структуры.
Гранулированная среда с вращением частиц. Одномерная структурная модель
Наблюдающееся в последние годы интенсивное внедрение новых материалов в современное машино- и приборостроение вызвало быстрый рост интереса к изучению зависимости их физико-механических свойств от внутренней структуры. В настоящее время обозначился существенный разрыв между технологиями получения новых материалов и возможностями их теоретического описания. Несмотря на успехи лабораторного эксперимента, его средств явно недостаточно для интерпретации наблюдаемых явлений и эффективного управления процессами при создании новых материалов. Поскольку классическая теория континуума не учитывает микроструктуру материала, она мало пригодна для описания подобных сред. Слабая разработанность методов математического моделирования сред со сложной внутренней структурой тормозит разработку новых перспективных материалов и создание приборов на их основе. В настоящей главе рассматриваются вопросы многомасштабного описания сред сложной структуры. Анализируется понятие представительного объема среды. Показывается, что в рамках классических представлений механики можно ввести четыре независимых типа представительных объемов с различной кинематикой. Проводится классификация моделей обобщенных континуумов. Глава написана по материалам работ [63, 67, 70, 91, 92]. В связи с развитием нанотехнологий остро встал вопрос о применимости методов механики сплошных сред для исследования механических свойств и явлений в наноструктурах. Трудности на этом пути связаны с двумя особенностями наноструктур. Во-первых, это дискретность среды на наномасштабах, которая вступает в противоречие с основным положением механики континуума о существовании физически бесконечно малого объема, моделируемого материальной точкой. Во-вторых, наноструктуры характеризуются чрезвычайно развитой поверхностью, размерами которой нельзя пренебрегать по сравнению с размерами «объемной части» материала. При этом необходимо учитывать, что обе подсистемы (объем и поверхность) обладают разными свойствами и находятся в непрерывном самосогласованном взаимодействии [28, 30].
Для ответа на вопрос о применимости методов механики сплошных сред к исследованиям микроструктур необходимо провести ревизию основных понятий (гипотез), заложенных в основу МСС. Используемые в нанотехнологиях материалы имеют внутреннюю структуру - атомарную, молекулярную или надмолекулярную, которую, не вдаваясь в детали, мы будем называть микроструктурой. Существование у материала микроструктуры приводит к тому, что при его мысленном разбиении на малые частицы существует некоторый предел, за которым происходят качественные изменения физических свойств материала [94, 106]. Поэтому к матер ріалам с микроструктурой не применима методология континуума в классическом виде, где представительным объемом служит материальная точка. Тем не менее, распространение методов механики сплошных сред на наномасштабы вполне возможно и они оказываются весьма эффективным для объяснения макроскопических свойств материалов со сложной внутренней структурой [28, 30, 48,49, 187]. В предыдущем разделе было показано, что на наномасштабах классическая теория сплошной среды наталкивается на неопределенности при вычислениях кинетического момента и энергии внутренних движений. Для устранения указанных неопределенностей необходимо уточнить понятия о структурных уровнях и представительном объеме среды. Расширение понятия модели среды. Масштабные уровни Материал имеет иерархически организованную структуру, а на наномасштабах структура материала становится одним из ключевых понятий. В микромеханике для адекватного описания процессов в структурно-неоднородном материале, как правило, требуется рассмотрение нескольких масштабных (структурных) уровней, которые находятся в непрерывном взаимодействии между собой за счет внутренних связей. Приведем краткую характеристику математических моделей, соответствующих различным структурным уровням. Микроскопический (атомарный): пространственная структура среды состоит из элементов, размеры которых много меньше характерного пространственного масштаба (в твердых телах это период кристаллической решетки, а в газе — длина свободного пробега частиц). Задачей механики на этом уровне является вывод уравнений движения на основе анализа межатомных взаим о действий. Мезоскопический (наноструктурный): микронеоднородная среда, состоящая из структурных элементов (кластеров), обладающих внутренними степенями свободы. Задачей механики на этом уровне является вывод согласованных уравнений движения с учетом взаимодействия макро- и мезо- масштабов. Математические модели этого уровня, как правило, строятся в рамках законов классической физики (механики) и могут быть континуальными или структурно-феноменологическими.
Для континуальных моделей пространственная структура среды не является определяющей и учитывается через феноменологические константы упругости. Математические модели, учитывающие пространственную (геометрическую) структуру среды па различных масштабных уровнях, называют структурно-феноменологическими. Субмакроскопический: пространственная структура среды считается кусочно-неоднородной, представленной структурными элементами (доменами, зернами), не имеющими внутренних степеней свободы. Макроскопический: на этом уровне среда рассматривается как непрерывная, игнорируется ее дискретность и учитываются лишь усредненные макроэффекты. Следует отметить, что приведенная характеристика структурных уровней и методов их описания не является единственно возможной. Существуют и другие классификации развиваемых моделей и теорий в наномеханике. Можно указать на предложенное в работе [174] шести-уровневое распределение моделей: квантово-механические; молекулярная динамика; метод статистического моделирования Монте-Карло; динамика дислокаций; статистическая механика; механика континуума При переходе от моделей атомарного уровня к моделям мезомасштаба опираются на законы квантовой теории. На этом пути модель материальной среды представляется дискретной системой частиц, связанных силами взаимодействия, найденными из первых принципов. В ней отсутствуют подгоночные параметры и достаточно знать лишь численные значенші фундаментальных величин, таких, как постоянная Планка, заряд электрона, место рассматриваемых атомов в периодической таблице Д. И. Менделеева и т.д. При таком подходе можно было бы определить истинные причины существования многих свойств и явлений, в том числе и явлений пространственно-временной самоорганизации. К этому же уровню относятся полуэмпиричсскис квантовые модели, содержащие различное число подгоночных параметров. Полуэмпирические модели широко используются в квантовой химии, где с их помощью получены многочисленные качественные и количественные результаты [13, 94, 96]. Одна из основных проблем на этом пути заключаются в том, что анализ моделей такого уровня возможен лишь на компьютерах. Прямой расчет уравнений Шредингера для системы многих частиц требует гигантских вычислительных ресурсов.
