Содержание к диссертации
Введение
1. Основные понятия, модели и критерии, используемые в работе 17
1.1. Определяющие соотношения для нелинейно-упругого материала 17
1.1.1. Определяющие соотношения для нелинейно-упругого материала: тензор напряжений
1.1.2. Инкрементальные формы определяющих соотношений для тензора напряжений Пиолы и тензора напряжений Коши 22
1.2. Определения устойчивости и неустойчивости; энергетический критерий устойчивости / неустойчивости в малом, математическая формулировка критерия 29
1.3. Методы исследования устойчивости и неустойчивости: метод кинематических гипотез и метод Холдена 37
1.3.1. Метод кинематических гипотез 38
1.3.2. Метод Холдена 39
1.3.3. Неравенство Корна и известные значения константы Корна, экстремали задачи Корна 51
2. Предлагаемые изотропные и ортотропные нелиней но упругие определяющие соотношения. Задачи об однородном квазистатическом деформировании нели нейно упругих блоков (нахождение исследуемых на устойчивость конфигураций) 56
2.1. Группы равноправности твердых гиперупругих материалов. Изотропные и ортотропные упругие материалы 56
2.2. "Наведенная" ортотропия инкрементальных определяющих соотношений 59
2.З. Конкретный вид и свойства рассматриваемых в работе упругих потенциалов 67
2.4. Рассматриваемые конфигурации блоков с конкретными граничными условиями 72
2.4.1. Проскальзывание по двум парам граней 73
2.4.2. Проскальзывание на гранях T 3. Получение достаточных условий устойчивости и достаточных условий неустойчивости для рассматриваемых конфигураций блока 79 3.1. Описание двух рассматриваемых типов задач об устойчивости сжатых блоков 80 3.1.1. Условие тангенциального проскальзывания по двум парам граней 80 3.1.2. Условие нормальности перемещений по второй паре граней и тангенциальности по первой паре граней 81 3.2. Получение достаточных условий устойчивости для задач обоих типов 82 3.3. Получение достаточных условий неустойчивости 94 3.3.1. Применение метода кинематических гипотез в случае простого изотропного нелинейно-упругого закона 95 3.3.2. Определение достаточного условия неустойчивости для первого типа задач 106 3.3.3. Определение достаточного условия неустойчивости для второго типа задач 107 3.3.4. Сравнение с достаточными условиями неустойчивости, полученными на основе традиционной кинематической гипотезы 108 3.3.5. Оценка сверху для некоторого специального случая нагружения 111 3.4. Анализ полученных результатов 116 3.4.1. Сравнение оценок снизу 117 3.4.2. Сравнение оценок сверху 122 3.4.3. Сравнение оценок двух типов 128 3.5. Результаты анализа 128 Заключение 139 Введение к работе Актуальность работы. Исследование устойчивости и неустойчивости упругих тел при сжатии является традиционным направлением в прикладной механике, берущим начало от классической задачи Эйлера о выпучивании продольно сжатого стержня. Актуальность данной тематики не уменьшается со временем и обусловлена, прежде всего, огромным прикладным значением вопросов устойчивости (и тесно связанных с ними вопросов прочности) для самых разных областей технической деятельности — от машиностроения и авиации до строительства и разработки полезных ископаемых. Изучение именно этих вопросов, обусловленное потребностями практики, послужило важнейшим толчком к появлению и развитию такой науки как механика деформируемого твердого тела. Помимо основоположника теории устойчивости деформируемых тел Л. Эйлера, большой вклад в исследование различных аспектов этой теории внесли такие ученые как Г. Пиола, Г. Кирхгоф, Дж. Максвелл, У. Кельвин, Ж. Адамар Д.У. Релей, Э. Трефтц, Дж.У Гиббс, Р.Э. Мизес, Т. Карман, С.П.Тимошенко, В.З.Власов, Дж. Болл, Р. Хилл, Д. Друккер В.Койтер, ФР. Шенли, М.А. Био, М.Ф.Битти, Дж. Холден, В.В.Новожилов, А.А. Мов-чан (ст.), А.И.Лурье, А.Н.Гузь, В.Д. Клюшников, В.В. Болотин, Дж. Райе и другие. На многие вопросы, которые ставит перед инженерами практика, обоснованный ответ может дать только теория. Это в большой степени способствует развитию самой теории, и по мере этого развития появляются возможности теоретического рассмотрения и решения тех задач (в том числе и практически важных), которые ранее теоретическому исследованию не поддавались. Сказанное в полной мере относится и к данной работе: в ней представлены исследования таких задач об устойчивости сжатых упругих тел, которые ранее не были и, в определённой степени, не могли быть решены в силу отсутствия средств — соответствующих теоретических разработок. При всём колоссальном количестве выполненных ранее и выполняемых в настоящее время расчётов на устойчивость, традиционные методики таких расчётов имеют очень существенные ограничения и пробелы, восполняемые лишь эмпирически и "на ощупь". Традиционные методы приспособлены только для нахождения необходимых условий устойчивости (иначе говоря, достаточных условий неустойчивости, соответствующих оценкам сверху для критических значений параметра нагружения), и при этом они хорошо "работают" только для тонких тел (стержней, пластин, оболочек). Практически же гораздо более важной задачей является нахождение достаточных условий устойчивости (оценок снизу для критических значений параметра нагружения), да и тела (элементы конструкций и сооружений) зачастую являются "толстыми"; кроме того, они могут в рабочем состоянии находиться в условиях больших сжатий, что требует при анализе устойчивости корректного учёта нелинейно упругих свойств материала (в соответствии с современным состоянием и известными соотношениями нелинейной теории упругости). Точные решения задачи об устойчивости, которые давали бы условия, являющиеся как необходимыми, так и достаточными условиями устойчивости, отсутствуют. Из всего изложенного выше вытекает Цель работы: получение как достаточных условий устойчивости, так и достаточных условий неустойчивости (т.е. двусторонних оценок для критических значений параметра нагружения) в некотором специфическом (но при этом достаточно широком) классе задач о равновесном деформировании (а именно, сжатии) нелинейно упругих тел, относительная толщина которых может быть сколь угодно большой. Упомянутый класс задач характеризуется тем, что тела имеют форму прямоугольного параллелепипеда ("блока") со свободной от кинематических ограничений парой граней и некоторыми специальными кинематическими граничными условиями на гранях двух других пар; при этом соотношение размеров блока произвольно. Выбор именно такого класса задач обусловлен двумя обстоятельствами: во-первых, появлением в последнее время теоретических результатов, касающихся указанных геометрии и граничных условий и открывающих совершенно новые возможности в использовании известных методов анализа устойчивости; во-вторых, форма блока разных пропорций и рассматриваемый набор граничных условий представляют немалый интерес для приложений как сами по себе, так и в качестве основы для гипотез и аналогий в отношении тел иной формы и при иных граничных условиях. Научная новизна диссертации определяется следующими полученными в ней основными результами, которые и выдвигаются в качестве защищаемых положений: Предложены и исследованы упругие потенциалы, задающие ортотроп-ные сжимаемые нелинейно-упругие материалы при конечных деформациях. Материалы предложенного типа представляют собой обобщение на случай анизотропии и сжимаемости известного (изотропного и несжимаемого) материала Муни-Ривлина. Впервые найдены (с помощью модифицированного метода Холдена) достаточные условия устойчивости (оценки снизу для критического значения параметра нагружения) в задачах об устойчивости сжатых упругих блоков произвольных пропорций из материалов предложенного типа. Для получения достаточных условий неустойчивости (имеющих смысл нарушения необходимых условий устойчивости) предложена и использована принципиально новая кинематическая гипотеза, заключающая- ся в том, что формы потери устойчивости ищутся в классе экстремалей модифицированной вариационной задачи Корна (которая тесно связана с задачами о выпучивании стержней при сжатии). Впервые определены (с помощью упомянутой новой гипотезы) достаточные условия неустойчивости (оценки сверху для критического значения параметра нагружения) в тех же задачах об устойчивости сжатых упругих блоков произвольных пропорций. Проведено сравнение оценок сверху для критического значения параметра нагружения, полученных с помощью предложенной кинематической гипотезы и с помощью традиционной кинематической гипотезы ортогональных плоских сечений ("балочного приближения"). Показано, что новая гипотеза дает меньшие (т.е. лучшие) оценки сверху при любых геометрических и жесткостных параметрах блоков в рассматриваемых классах задач. При этом в пределе малых толщин результаты асимптотически совпадают, а в пределе больших толщин новая гипотеза дает конечные оценки сверху для критических напряжений (качественно соответствующие полученным в работе оценкам снизу), а традиционная гипотеза — дает оценки сверху, стремящиеся к бесконечности. Проведено численно-аналитическое сравнение полученных оценок снизу и оценок сверху при изменении как геометрических параметров блока, так и параметров анизотропии и сжимаемости материала. Выявлено подобие параметрических зависимостей для оценок обоих типов во всем диапазоне изменения указанных параметров. Выявленное подобие косвенно указывает на то, что найденные зависимости для оценок сверху и оценок снизу правильно отражают соответствующие зависимости для точных критических значений параметра нагружения. Достоверность результатов подтверждается физической обоснованностью выбора модели материала и физической обоснованностью постановок задач об устойчивости, а также строгим аналитическим характером рассмотрения этих задач с применением современных теоретических концепций и математических средств механики деформируемого твердого тела. Практическая значимость результатов. Полученные в работе результаты могут быть использованы для определения практически важных безопасных нагрузок (то есть таких нагрузок, при которых еще не теряется устойчивость) для блокообразных упругих тел при рассмотренных в работе специальных граничных условиях. Кроме того, полученные результаты (строгие двусторонние оценки критических значений параметра нагружения) могут быть использованы для тестирования применяемых на практике процедур численного решения задач об устойчивости. Апробация работы. Основные положения и работа в целом докладывались и обсуждались на следующих конференциях, семинарах и школах: Научный семинар "Современные проблемы математики и механики" под руководством доктора физико-математических наук, профессора Ю.Н.Радаева. Самара, Самарский государственный университет, 2006-2009 гг.; Научный семинар "Механические проблемы геофизики" под руководством доктора физико-математических наук, профессора Л.В. Никитина. Москва, Институт физики Земли РАН, 2006-2009 гг.; 15-я Зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН, 26 февраля - 3 марта 2007 г.; Международная молодежная научная конференция "XXXIII Гагарин-ские чтения" Москва, Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинско-го РАН, 3-7 апреля 2007 г.; Юбилейная школа семинар "Проблемы современной механики деформируемого твердого тела и прикладной математики", Самара, Самарский государственный университет, 29 января - 2 февраля 2008 г. Международная молодежная научная конференция "XXXIV Гагарин-ские чтения" Москва, Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинско-го РАН, 1 - 5 апреля 2008 г.; Всероссийская конференция "Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела." Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН, 13 - 15 октября, 2008. г. Научный семинар по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физико-математических наук, профессора Р.В. Гольдштейна. Москва, Институт проблем механики им. А.Ю. Иш-линского РАН, 15 мая 2009 г.; Научный семинар по механики сплошной среды имени Л.А. Галина под руководством профессоров В.М. Александрова, В.Н. Кукуджанова, А.В. Манжирова. Москва, Институт проблем механики им. А.Ю. Иш-линского РАН, 6 ноября 2009 г. Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 7 печатных работ (без соавторов), в том числе 2 статьи в журналах из перечня ВАК РФ. Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения. В тексте имеется 35 рисунков. Список цитируемой литературы содержит 47 наименований. Общий объем работы составляет 164 страниц. В качестве определения устойчивости выберем следующее: пусть некоторое упругое тело В находится в конфигурации «о- Если при переходе в любую другую конфигурацию потенциальная энергия упругого тела В увеличивается, то конфигурация K,Q называется устойчивой. Если существует хотя бы одна соседняя конфигурация, при переходе в которую потенциальная энергия уменьшается, то конфигурация ко называется неустойчивой. В дальнейшем будут рассматриваться не любые допустимые состояния, а лишь те, которые в некотором смысле близки к исходному. Соответствующий вид устойчивости / неустойчивости называется устойчивостью / неустойчивостью в малом; однако, ради краткости и удобства изложения, уточнение "в малом" будет опускаться. Выведем соответствующий математический критерий устойчивости / неустойчивости упругого тела при некоторых граничных условиях (ГУ). При этом будем считать, что в отсчетной конфигурации тело занимает область BKQ) имеющую форму прямоугольного параллелепипеда (называемого в дальнейшем для краткости "блоком"), а граница этой области дВКо состоит из граней блока образующих три группы Ei, Е2 и Ез. На гранях группы Ei имеет место свободное проскальзывание вдоль соответствующей грани, т.е. выполняются условия тангенциальности перемещений и отсутствия тангенциального внешнего напряжения: где пКо(х) — внешняя нормаль к дВКо в соответствующей точке. На гранях группы Ег имеет место свободное перемещение точек по нормали к соответствующей грани, т.е. выполняются условия нормальности перемещений и отсутствия нормального внешнего напряжения: На части Ез действует мертвая нагрузка В этом случае потенциальная энергия упругого тела W(B) определяет- Рассмотрим однопараметрическое семейство конфигураций, содержащее Ко (В) (исследуемую на устойчивость равновесную конфигурацию): где х —радиус вектор материальной точки в конфигурации ко (В), q — параметр, задающий семейство конфигураций. Конфигурация ко {В) равновесная, следовательно, если принять ее за отсчетную, то выполняются уравнения равновесия и краевые условия для тензора напряжений Пиолы: Здесь int KQ (B) — внутренность тела В в конфигурации ко (В) (int KQ (В) — = В/дко(В)). Найдем разность между потенциальной энергией тела в некоторой конфигурации семейства K(q) и потенциальной энергией тела В в исследуемой на устойчивость конфигурации к0, воспользовавшись формулой Тейлора Подставим в формулу (1.2.45) выражение для потенциальной энергии Рассмотрим каждое слагаемое выражения (1.2.46) по отдельности. Так как дифференцирование и интегрирование происходит по независимым друг от друга переменным, производную можно внести под знак интеграла. Тогда первое слагаемое в выражении (1.2.46) принимает вид (для краткости переменную х опускаем) Здесь штрих означает производную по параметру q. Пользуясь выражениями для градиента трансформации и тензора напряжений Пиолы (1.1.4), выражение (1.2.47) можно преобразовать следующим образом: Рассмотрим объемный интеграл в выражении (1.2.48), его подынтегральное выражение можно преобразовать с помощью равенства Используя равенство (1.2.49) и теорему Гаусса-Остроградского, выражение Объемный интеграл в выражении (1.2.50) равен нулю в силу условия равновесия конфигурации KQ (1.2.44). Интегралы по поверхности Е разложим на три интеграла по Воспользовавшись граничными условиями (1.2.40)-(1.2.42), преобразуем выражение (1.2.51) следующим образом Пользуясь условиями равновесия (1.2.44) и граничными условиями (1.2.40)-(1.2.41), получаем, что интегралы по поверхностям Si и Ег равны нулю. Тогда выражение (1.2.51) будет выглядеть так Теперь, воспользовавшись краевыми условиями на Ез, заключаем, что Проведя выкладки, аналогичные предыдущим, второе слагаемое в выражении (1.2.46) приводим к следующему виду: в Таким образом для разности потенциальной энергии получаем такое выражение Знак разности И (д) — И (0) в окрестности q = 0 полностью определяется знаком второй производной (W(0))". Введем обозначение gr = Jr, тогда знак W(q) — W(0) в окрестности q — 0 будет определяться квадратичным функционалом Л{5г}, который в дальнейшем будет играть главную роль. Этот функционал имеет следующий вид: Положительная определенность функционала R{Sr} означает увеличение потенциальной энергии, а, следовательно, и устойчивость конфигурации к. Если же функционал R{5r} может принимать отрицательные значения, то конфигурация к является неустойчивой. при применении метода Холдена. При получении этого представления используется "пиолова" производная тензора напряжений Коши. Для того, чтобы расшифровать это понятие, рассмотрим соотношение между тензорами напряжений Коши и Пио-лы в момент времени t : Заметим, что при t = t тензоры напряжений Пиолы и Коши совпадают Найдем производную по t от выражения (1.2.58) dTK{Btt){t ) d(det(t )) (1.2.60) При t — t актуальная конфигурация совпадает с отчетной и F() = I. Положим t — t в соотношении (1.2.60), получим следующее соотношение: Для "пиоловой" производной можно записать такое соотношение, где отдельно выделены слагаемые со скоростями деформаций и скоростями поворотов. Для этого перепишем выражение (1.1.34) в скоростях и подставим его в выражение (1.2.61). Тогда для "пиоловой" производной получим следующий вид: Сделаем замену г = — = v, тогда функционал R можно трансформи- Если взять отсчетную конфигурацию совпадающей с актуальной конфигурацией (до варьирования), то F = I и K,(B,q) совпадает с к(В,0), VK = V. Заметим, что при этом VK Тк = C(I) : Н, и в случае совпадения отсчетной и текущей конфигурации можно сделать следующую замену: Тк — Т. "Пиолова" производная тензора напряжений Т, которая будет использоваться в дальнейшем, зависит только от текущего состояния и темпа его изменения и не зависит от выбора отсчетной конфигурации к. В результате этого получается еще одно представление функционала R: и неустойчивости: метод кинематических гипотез и метод Холдена Исследование равновесной конфигурации на устойчивость сводится к выяснению наличия или отсутствия полей возмущений, на которых функционал R принимает отрицательные значения. В том случае, когда такие поля имеются, исследуемая конфигурация будет неустойчивой, и поле, на котором функционал R принимает отрицательные значения, будет называться формой потери устойчивости. Исследуемая конфигурация называется устойчивой, если такие поля отсутствуют. В случае, когда процесс деформирования тела характеризуется монотонно возрастающим параметром (параметром нагружения), на устойчивость исследуется однопараметрическое семейство конфигураций. При этом неустойчивость возникает, когда этот параметр достигает некоторого критического значения и переходит через него. Как говорилось выше, определение точного значения этого параметра является сложной трехмерной вариационной задачей. Возможно получение двух типов оценок для этого значения параметра: безопасных (оценок "снизу", являющихся достаточными условиями устойчивости) и критических (оценок "сверху", являющихся достаточными условиями неустойчивости). Если же параметр нагружения превышает оценку сверху, то все конфигурации, соответствующие таким значениям параметра, будут заведомо неустойчивыми. Если параметр нагружения не превосходит оценки снизу, то конфигурации, соответствующие таким значениям параметра, будут заведомо устойчивыми. В качестве метода получения оценок сверху в работе используется метод кинематических гипотез, а в качестве метода получения оценок снизу применяется метод Холдена. Далее приводится их краткое описание. Наведенная анизотропия инкрементальных определяющих соотношений подразумевает наличие некоторой анизотропии у тел, подвергнутых некоторой деформации. При деформировании начально анизотропного тела возникает вторичная анизотропия, отличная от исходной. При некоторых видах деформации полученная анизотропия может ничем не отличаться от исходной (всестороннее сжатие или растяжение не меняет группы равноправности). Рассмотрим вначале случай изотропного тела. Пусть имеется некоторое нелинейно упругое тело В. В качестве отсчетной конфигурации выберем некоторую конфигурацию к, градиент трансформации в этой конфигурации обозначим через F. Относительно конфигурации к упругие свойства материала тела В задаются упругим потенциалом a (F). Будем считать, что конфигурация к будет неискаженной в смысле изотропии, тогда группа равноправности этого потенциала д„к относительно конфигурации к будет включать в себя полную ортогональную группу о (дак D о), т.е. Кроме того, упругий потенциал a (F) обладает свойством материальной объективности Покажем изотропность тензора напряжений Пиолы и инкрементальных соотношений относительно конфигурации к. Найдем производную по F от левой и правой частей равенства (2.2.1). Для левой части получаем Для правой части такое выражение для производной Приравнивая между собой выражения (2.2.3) и (2.2.4), получаем Аналогичные действия, произведенные над равенством (2.2.2), дадут равенство Комбинация равенств (2.2.4) и (2.2.6) дает Рассмотрим инкрементальное определяющее соотношение для тензора напряжений Пиолы относительно конфигурации к. Положив для этого F = I + SF, получаем Отсюда следует, что для тензора упругих модулей выполняется соотношение Это означает, что группа симметрии тензора С будет включать в себя полную ортогональную группу о, а инкрементальное соотношение для тензора напряжений Пиолы будет изотропным. Теперь переведем тело В в некоторую другую конфигурацию кі посредством некоторой трансформации, градиент которой обозначим через Fi. Конфигурация к,\ будет отлична от конфигурации к в смысле упругого потенциала (т.е. градиент трансформации Fi не будет входить в группу равноправности дак)- Сравним между собой группы равноправности упругого потенциала сг (F) относительно конфигураций кикі. Градиент трансформации F относительно конфигурации АС И градиент трансформации F относительно конфигурации АСІ связаны между собой соотношением Упругий потенциал, задающий нелинейно-упругие свойства материала тела В относительно конфигурации АСІ, обозначим через crKl(F); тогда связь между сгк (F) и crKl(F) имеет вид Тензор Fi, согласно теореме о полярном разложении, можно разложить на ортогональный тензор Ri и симметричный положительно определенный тензор Ui Учитывая свойство изотропности упругого потенциала ак (F) (2.2.1), выражение (2.2.12) можно преобразовать следующим образом = det(R1.U1) (Rl Ul f StfUO Конфигурация АСІ уже не будет неискаженной в смысле изотропии, т.е группа равноправности упругого потенциала аК1 не будет включать в себя полную ортогональную группу о. Для доказательства этого достаточно показать, что равенство (2.2.1) не выполняется для всех ортогональных тензоров. Пусть Q — произвольный ортогональный тензор, согласно (2.2.12) В общем случае crK(TJi Q F) Ф o-K(XJi F), а, следовательно, crKl(Q F) ф Ф crKl(F), и конфигурация к не будет неискаженной в сысле изотропии. Мы показали, что группа равноправности упругого потенциала тК1 для произвольной отсчетной конфигурации не содержит полную ортогональную группу о. Теперь выделим подгруппу ортогональных тензоров, которую будет включать в себя группа равноправности упругого потенциала aKl. В силу симметрии тензора Ui существует его спектральное разложение где ЄІ — собственные векторы тензора Ui, Wj —его собственные числа (г — 1,2,3). Заметим, что тензор Ui обладает свойством ортотропии и оси ортотропии совпадают с главными его осями, т.е. где Q — ортогональные тензоры образующие группу ортотропии тензора Ui. Обозначим эту группу через Y. Ее элементами будут единичный тензор I, противоположный ему —I, ортогональные тензоры переводящие собственные векторы Ui в обратные и всевозможные их произведения. Покажем, что Y будет содержаться в группе равноправности дак потенциала crKl(F). Возьмем произвольный ортогональный тензор Q из Y. Используя соотношения (2.2.14) и (2.2.17), получаем Следовательно, группа ортотропии тензора Ui будет подгруппой группы равноправности упругого потенциала 7Kl(F) (У С дак ). Таким образом, заключаем, что в общем случае группа равноправности упругого потенциала crKl(F) не будет совпадать с полной ортогональной группой о, но, как минимум, она будем включать в себя группу ортотропии тензора Ui. Заметим, что если группа ортотропии (группа симметрии) тензора Ui будет совпадать с полной ортогональной группой, то Ui будет пропорционален I (Ui = al, где а — действительное число). Тогда группа равноправности дак будет включать в себя полную ортогональную группу и конфигурация к\ будет неискаженной в смысле изотропии. Покажем, какова будет группа равноправности дК1 тензора напряжений Пиолы TKl(F) относительно конфигурации «4. Согласно равенству (2.2.5), группа равноправности дк тензора напряжений Пиолы TK(F) относительно конфигурации к включала в себя полную ортогональную группу. Тогда тензоры напряжений Пиолы в конфигурации к\ и конфигурации к, связаны соотношением Заметим, что тензор напряжений Коши в конфигурации К\ имеет вид Пользуясь полярным разложением тензора Fi (2.2.13), соотношением (2.2.21) и равенством (2.2.5), получим Пусть Q — ортогональный тензор, принадлежащий группе ортотропии тензора Ui (Q Є Y). Тогда, с одной стороны, пользуясь свойством (2.2.17), получим С другой стороны, используя (2.2.8), имеем Приравнивая между собой (2.2.24) и (2.2.25), получаем Теперь перейдем от Тк к TKl, используя соотношение (2.2.21) и, следовательно, получим соотношение Затем,пользуясь свойством материальной объективности, получим Таким образом, получаем, что группа равноправности материала относительно конфигурации К\ будет включать в себя как минимум группу орто-тропиии тензора Ui. Покажем теперь анизотропность инкрементальных соотношений для тензора напряжений Пиолы относительно конфигурации «1} а также покажем, что группа У будет принадлежать группе симметрии тензора СК1. Пусть Q Є Y, тогда если в соотношении (2.2.28) положим F = I, то получим Аналогичным способом преобразуем выражение TKl(F): Тогда из соотношения (2.2.28) заключаем, что для тензора СК1 (I) выполняется равенство Отсюда следует, что для тензора упругих модулей выполняется соотношение Следовательно, тензор Q входит в группу симметрии тензора упругих модулей для тензора напряжений Пиолы, и инкрементальные определяющие соотношения, задаваемые упругим потенциалом, будут ортотропными. Таким образом показано следующее свойство упругих потенциалов: пусть к — неискаэюенная конфигурация упругого материала cr(F) в смысле изотропии; тогда при переходе в другую конфигурацию при помощи некоторой трансформации, градиент которой не входит в группу равноправности потенциала и не пропорционален единичному тензору, инкрементальные определяющие соотношения для тензора напряжений Пиолы становятся ортотропными. П.З. Конкретный вид и свойства рассматриваемых в работе упругих потенциалов Кроме того, что упругий потенциал должен удовлетворять основным принципам теории определяющих соотношений, предполагается, что он об- ладает еще одним свойством. В третьей главе определены достаточные условия устойчивости и достаточные условия неустойчивости для двух типов задач, сформулированных выше и рассмотрен пример построения минорирующего функционала для этих двух задач. При построении этого функционала пространство симметричных тензоров второго ранга было разложено в прямую сумму трех взаимноортогональных подпространств, что позволило при определении оценки снизу перейти к анализу простых алгебраических выражений. Для определения достаточных условий неустойчивости был применен метод кинематических гипотез, в котором в качестве кинематической гипотезы принимается, что возмущение перемещений имеет вид экстремалей модифицированной задачи Корна. Использование этой гипотезы позволило улучшить традиционную оценку сверху и расширить область ее применения. Приведено сравнение оценок сверху на основе экстремалей модифицированной задачи Корна с оценками сверху, полученными на основе традиционной гипотезы ортогональных плоских сечений на примере одной из задач. При помощи метода Холдена и метода кинематических гипотез получены двусторонние оценки для критического значения параметра нагружения, при достижении которого происходит потеря устойчивости. Проведен численный анализ полученных аналитических выражений, результаты которого представлены в виде графиков. В ходе решения задачи об устойчивости рассматриваются элементы семейства конфигураций, которые занимает тело в ходе основного процесса. При исследовании на устойчивость для рассматриваемой конфигурации требуется сформулировать задачу об устойчивости. Для этого необходимо сформулировать краевые условия на гранях блока и описать упругие свойства материала относительно исследуемой на устойчивость конфигурации (то есть задать инкрементальные определяющие соотношения). Также необходимо описать напряженное состояние тела в этой конфигурации (то есть задать тензор напряжений Коши). III. 1.1. Условие тангенциального проскальзывания по двум парам граней На границе тел, рассматриваемых далее, на первой и второй паре граней задано условие проскальзывания Третья пара граней свободна от каких-либо кинематических ограничений. Исследуемая на устойчивость конфигурация к(/3) принимается в качестве отсчетной. В этом случае упругие свойства рассматриваемого тела задаются при помощи упругого потенциала сгк(р), связанного с исходным упругим потенциалом аКа (2.3.2) при помощи соотношения где F(P) —градиент трансформации, переводящей конфигурацию о в конфигурацию к((3) (2.3.14), F —градиент трансформации относительно конфигурации к(/3). Тензор напряжений Копій в конфигурации к(Р) задается выражением (см. (2.3.14)) Тензор упругих модулей для тензора напряжений Пиолы в случае, когда конфигурация «(/?) принимается в качестве отсчетной, представляет собой (см. (2.3.15)) следующее выражениеДля исследуемой на устойчивость конфигурации на границах блока заданы следующие краевые условия: на первой паре граней задано условие тангенциального проскальзывания на второй паре граней — условие нормальности перемещений Третья пара граней свободна от каких-либо кинематических ограничений, но, в отличие от задач первого типа, на этой паре граней ставится условие в напряжениях. Как говорилось ранее, это делается для того, чтобы удовлетворить условию нормальности на второй паре граней и сохранить однородность деформаций основного процесса деформирования. Для исследуемой на устойчивость конфигурации к(р) вектор силы (ез), действующий на третью пару граней, соответствует основному процессу деформирования и определяется выражением (2.4.9). При варьировании конфигурации к(Р), вектор Ьк(ез) ведет себя как мертвая нагрузка, то есть не изменяется ни по направлению, ни по величине. Тензор напряжений Коши и тензор упругих модулей для тензора напряжений Пиолы тот же, что и для задач первого типа (см. формулы (3.1.13) и (3.1.14), соответственно). III.2. Получение достаточных условий устойчивости для задач обоих типов Построим функционал, который будет минорировать исходный функционал R{Sr}. В объемном интеграле функционала второй вариации полной потенциальной энергии (1.2.57) подынтегалыюе выражение принимает вид Тензор упругих модулей для тензора напряжений Пиолы (С) и тензор упругих модулей для тензора напряжений Коши (L) связаны между собой соотношением (1.1.38). Это выражение свернем с тензором малых дисторсий 5Н, в результате получим: Введем обозначение Тогда, согласно этому обозначению, выражение (3.2.18) принимает следующий вид Подставляя соотношение (3.2.20) в выражение (3.2.17), получим следующее выражение Соотношение, позволяющее получить свертку 5є : L : Se, легко получается, если в выкладках (3.2.17)-(3.2.21) вместо 5Ш и использовать 5е. Тогда выражение (3.2.21) перейдет в следующее: тогда можно исключить L, приняв В дальнейшем, после подстановки выражений для тензора С и Т, оказывается удобным разбить свертку Se : L : Se на два слагаемых следующим образом: Исходя из этого, для подынтегрального выражения объемного интеграла функционала (1.2.57) получаем следующее разложение на три слагаемых Теперь найдем оценку снизу для каждого из полученных слагаемых. Для первого слагаемого, используя соотношения для тензора напряжения Коши (3.1.13) и тензора упругих модулей для тензора напряжений Пиолы (3.1.14), получим выражение Введем ряд обозначений так, чтобы выражение (3.2.25) приняло следующий вид: Чтобы получить оценку снизу для этого выражения, расщепим пространство симметричных тензоров второго ранга на два взаимно ортогональных подпространства: подпространство шаровых симметричных тензоров второго ранга и подпространство симметричных девиаторов Заметим, что для слагаемых, стоящих в правой части выражения (3.2.26), выполняются следующие равенства To есть в выражении (3.2.30) участвует только девиаторная часть тензора бе, а в выражении (3.2.31) только сферическая. Оценим снизу выражения, стоящие в правой части равенств (3.2.30) и (3.2.31). Рассмотрим первое выражение: Тензоры Мі и М2 обладают следующими свойствами: они симметричны; они соосны, в силу соосности тензора А и градиента трансформации Fo, є; — их собственные векторы, совпадающие с осями ортотро-пии; они нормировании следующим образом Эта нормировка в терминах собственных чисел Mi и М2 представляется так где т\ и т2 — собственные числа тензоров Mi и М2, соответственно. Как было сказано ранее, оценка снизу для выражения (3.2.32) определяется на подпространстве симметричных девиаторов (5є ), расщепим это подпространство на два взаимно ортогональных подпространства. Первым будет подпространство симметричных девиаторов, содержащих только диагональные члены, относительно базиса, ассоциированного с базисом е (обозначим тензоры этого подпространства через 5e d). Второе подпространство это подпространство симметричных девиаторов, содержащих только недиагональные члены относительно этого базиса (обозначим тензоры этого подпространства через 5е п). В предыдущих параграфах третьей главы были получены соотношения, задающие достаточные условия устойчивости и достаточные условия неустойчивости для двух типов задач. Эти много параметрические соотношения дают оценки снизу и оценки сверху для критического значения параметра нагружения, в качестве которого принимался коэффициент сжатия /З-1. Параметрами, от которых зависят двусторонние оценки, являются отношение геометрических размеров, упругие модули и параметры ортотропии. Для иллюстрации предлагаемых в данной работе методов исследования на устойчивость / неустойчивость было проведено численное исследование зависимости двусторонних оценок от этих параметров. Значение Т , соответствующее (f3 ) l, тоже является оценкой сверху для Ткр. Таким образом, имеет место следующая двусторонняя оценка Построим графики зависимости таких оценок от отношения размеров блока при различных значениях ряда других параметров задачи. Такими параметрами отношения модулей К и G, и характеризующие анизотропию безразмерные величины аі, ач и аз- На основе полученных графиков будет проведен анализ результатов работы с целью выявления закономерностей, характеризующих сохранение устойчивости и условия возникновения неустойчивости изучаемых в работе блокообразных нелинейно упругих тел. В ходе анализа полученные графики будут разбиты на группы, каждая из которых характеризуется, помимо изменения геометрических характеристик блока, еще и изменением либо величины K/G, либо величин а\ для каждого из двух типов краевых условий. На рис. 10 приведены кривые, соответствующие изменению оценок снизу в зависимости от толщины блока. Красные кривые соответствуют оценкам снизу для первого типа задач, синие кривые соответствуют оценкам снизу для второго типа задач. Различной штриховкой показаны различные соотношения между скалярными параметрами материала блоков G и К. Из рис. 10 видно, что, чем больше значение отношения K/G, тем большая разница возникает между оценками снизу для двух типов задач. Рисунки 11-12 демонстрируют влияние изменения параметров ортотро-пии (oi, 22 и аз) на поведение оценок снизу. Рассмотрим влияние параметра а\. Вначале будем увеличивать его значение {а\ = 2 и а\ =4). Это соответствует относительному увеличению жесткости материала в направлении еі. На рис. 11, а показаны графики зависимости значений оценок снизу от толщины блока при различных значениях параметра а\. Из графиков видно, что при увеличении жесткости в направлении Єї оценка снизу уменьшается, а разница между оценками для двух типов задач растет. Если же уменьшать значение параметра а\, что соответствует относительному уменьшению ясесткости в направлении еі, то значение оценки снизу также уменьшается, но разница между оценками для двух типов задач практически отсутствует (см. рис. 11, б). Рассмотрим влияние параметра &2- Вначале будем увеличивать его значение (аг = 2 и аг = 4). Это соответствует увеличению жесткости материала в направлении а\. На рис. 12, а показаны графики зависимости значений оценок снизу от толщины блока при различных значения параметра а- . Из графиков видно, что при увеличении жесткости в направлении Є2, но, в отличии от параметра аі, разница между оценками снизу для двух типов задач практически отсутствует. Если уменьшать значение параметра аг, что соответствует уменьшению жесткости в направлении Є2, то значение оценки снизу также уменьшается, разница между оценками для двух типов задач растет (см. рис. 12 б). Рассмотрим влияние параметра оз- Вначале будем увеличивать его значение (аз = 2 и аз = 4). Это соответствует увеличению жесткости материала в направлении ез- На рис. 14, а показаны графики зависимости значений оценок снизу от толщины блока при различных значения параметра аз. Из графиков видно, что при увеличении жесткости в направлении ез, разница между оценками снизу для двух типов задач практически отсутствует. Если уменьшать значение параметра аз, что соответствует уменьшению жесткости в направлении ез, то значение оценки снизу также уменьшается, разница между оценками для двух типов задач изменяется при этом незначительно (см. рис. 14, б). На рис. 14 приведены кривые соответствующие изменению оценок сверху в зависимости от толщины блока. Красные кривые соответствуют оценкам сверху для первого типа задач, синие кривые соответствуют оценкам сверху для второго типа задач. Различной штриховкой показаны различные соотношения между скалярными параметрами материала блоков G и К. Из рис. 14 видно, что с ростом отношения K/G оценки сверху для обоих типов задач растут, но для задач первого типа оценка снизу увеличивается значительнее. Рисунки 15-17 демонстрируют влияние изменения параметров ортотро-пии (аі, аг и аз) на поведение оценок сверху. Рассмотрим влияние параметра а\. Вначале будем увеличивать его значение (а± = 2 и а\ =4). Это соответствует относительному увеличению жесткости материала в направлении еі. На рис. 15, а показаны графики зависимости значений оценок сверху от толщины блока при различных значениях параметра оі. Из графиков видно, что при увеличении жесткости в направлении Єї оценка сверху для первого типа задач изменяется слабо, оценка сверху для второго типа задач уменьшается. Если уменьшать значение параметра а\, что соответствует относительному уменьшению жесткости в направлении еі, то значение оценки сверху для первого типа задач также почти не изменяется, а оценка сверху для второго типа задач растет (см. рис. 15, б). Рассмотрим влияние параметра аг- Вначале будем увеличивать его значение (аг = 2 и а,2 = 4). Это соответствует относительному увеличению жесткости материала в направлении Є2- На рис. 16, а показаны графики зависимости значений оценок снизу от толщины блока при различных зна- чениях параметра 0,2. Из графиков видно, что при увеличении жесткости в направлении Є2 оценки сверху для обоих типов задач растут, разница между оценками изменяется слабо. Если уменьшать значение параметра аг, что соответствует относительному уменьшению жесткости в направлении ег, то оценка сверху для задач первого типа для различного отношения ребер блока ведет себя по разному: при соотношениях h/{ h) 2,4 для а = 0,5 (/2/(2/3) 2, 2 для 22 = 0, 25) оценка сверху уменьшается, а при меньших значениях соотношения /2/(2/3) оценка возрастает. Оценка сверху для второго типа задач уменьшается на всем диапазоне рассматриваемых значений отношения /г/(2/з)- Разница между оценками увеличивается (см. рис. 16, б). Рассмотрим влияние параметра аз- Вначале будем увеличивать его значение (аз = 2 и аз = 4). Это соответствует относительному увеличению жесткости материала в направлении Є2. На рис. 16, а показаны графики зависимости значений оценок снизу от толщины блока при различных зна.-чениях параметра а . Из графиков видно, что при изменении параметра аз оценки ведут себя практически одинаково: для отношения /2/(2/3) = 4 оценки становятся меньше, чем при аз = 1, но при уменьшении отношения /2/(2/3) оценки сверху при аз = 2 и аз = 4 растут быстрее, чем при а3 — 1 и при /2/(2) превосходят исходную оценку сверху. Если уменьшать значение параметра аз, что соответствует относительному уменьшению жесткости в направлении ез, то оценки сверху для задач первого типа увеличиваются, а оценки сверху для второго типа уменьшаются. Разница между оценками, соответственно, значительно увеличивается (см. рис. 16, 6). В этом параграфе приводится сравнение графиков для оценок сверху и оценок снизу для обоих типов задач.Определения устойчивости и неустойчивости; энергетический критерий устойчивости / неустойчивости в малом, математическая формулировка критерия
"Наведенная" ортотропия инкрементальных определяющих соотношений
Получение достаточных условий устойчивости для задач обоих типов
Анализ полученных результатов
Похожие диссертации на Двусторонние оценки критических значений параметра нагружения в задачах об устойчивости толстых упругих блоков при больших сжатиях
