Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I . 13
1.1. Основные уравнения и постановка задачи 13
1.2. Преобразование уравнения движения к автомодельным переменным 18
1.3. Основные уравнения упруго-пластических волн в стержне с переменным пределом упругости при многократном ударе 20
ГЛАВА II. Исследование динамического напряженно-деформированного состояния гибких мембран при ударных и импульсивных воздействиях 27
2.1. Нормальный удар по упругой мембране с частичным прилеганием. 28
2.2. Кинематические условия 42
2.3. Нормальный удар конусом по упруго-пластической мембране с частияным прилеганием 44
2.4. Исследование поведения гибкой мембраны при симметричных импульсивных нагрузках 63
ГЛАВА III. Исследование напряженного состояния упруго-пластических стержней при многократных ударах 72
3.1. Определение длины зоны постоянных остаточных деформаций при многократных ударах . 73
3.2. Определение динамической диаграммы при многократных ударах 78
Заключение 82
Литература 83
- Преобразование уравнения движения к автомодельным переменным
- Нормальный удар конусом по упруго-пластической мембране с частияным прилеганием
- Исследование поведения гибкой мембраны при симметричных импульсивных нагрузках
- Определение длины зоны постоянных остаточных деформаций при многократных ударах
Введение к работе
Бурное развитие современной техники выдвигает в числе актуальных вопросов научно-технического прогресса ряд задач механики деформируемых твердых тел при воздействии ударных и импульсивных нагрузок.
Эти задачи в основном относятся к расчетам динамической прочности и устойчивости конструкций сооружений различного назначения, элементами которых являются стержни, пластины, мембраны, тросы, канаты и прочие, работающие на скоростных режимах, и к разработке математических методов решения для анализа и прогнозирования.
Известно, что процесс деформирования, вызванный скоростным нагружением, осуществляется посредством распространения упруго-пластических волн. Теория распространения волн напряжений в упругих и вязко-упругих средах создавалась в течение прошлого столетия. Однако исследование упруго-пластических волн в средах, имеющих нелинейную зависимость "напряжение-деформация", начато примерно с 40-х годов текущего столетия.
За прошедший период времени проводились интенсивные исследования по различным аспектам динамики твердых тел, опубликовано множество работ советских и зарубежных исследователей, результаты этих исследований отражены в монографиях и обзорных статьях /1-І7/.
Общая задача о распространении волн напряжений в нелинейной среде является в теоретическом и экспериментальном плане чрезвычайно сложной, так как приходится иметь дело с одной стороны, с краевыми задачами дифференциальных уравнений в частных производных, как правило, нелинейных или квазилинейных. С другой стороны, параметры быстропротекающих волновых процессов при импульсивных нагрузках экспериментально трудно поддаются измерению и регистрации. настоящее время в литературе главным образом рассмотрены одномерные задачи при упруго-пластических деформациях.
Одновременно следует отметить, что развитие быстродействующих вычислительных машин, а также средств современной измерительной и регистрирующей аппаратуры высокой точности, позволяющих получить надежные экспериментальные данные, способствуют дальнейшему прогрессу исследований в данной области.
За последнее время выдвинуто и обследовано несколько новых моделей материалов твердых тел, более полно учитывающих реальные свойства материалов. В частности, усилены исследования по динамике вязко-упруго-пластических сред типа полимеров, пластмасс и компактных материалов, а также грунтов и горных пород в условиях динамической деформации и разрушения.
Разработаны и практически используются различные методы экспериментального исследования динамических характеристик материалов.
Продолжают развиваться методы решения математических задач динамики упругих, упруго-пластических и упруго-вязко-пластических сред.
Первые основополагающие результаты по теории распространения упруго-пластических волн при нелинейной зависимости "напряжение-деформация" принадлежит советскому ученому Х.А.Рахматули-ну, опубликовавшему свои первые работы в этом направлении начиная с 1945 г. /18-20/. Позднее аналогичные исследования были опубликованы Д.Тейлором (Англия) /21/, Карманом и Дюве (США) /22/.
Теория Рахматулина-Кармана-Тейлора не учитывает в явном виде влияние эффекта скорости деформации. В ней динамика нагруже-ния учитывается тем, что связь между напряжением и деформацией считается отличной от статической. Предполагается, что при динамическом нагружении существует некоторая предельная динамическая диаграмма €Г= 6"е.) , т.е. постулируется, что при динамическом нагружении напряжения зависят только от деформации.
Одним из наиболее существенных результатов исследований Х.А.Рахматулина было доказательство существования нового вида упруго-пластической волны - "волны разгрузки", открытой им при исследовании распространения волн в стержнях,к концу которых мгновенно прикладывается нагрузка,монотонно убывающая по времени.
В исследованиях Кармана, Тейлора и других зарубежных авторов не рассматривались фундаментальные понятия "волны разгрузки".
Фундаментальные результаты по различным аспектам динамической теории пластичности нашли свое отражение в работах советских ученых: А.А.Ильюшина, А.И.Ишдинского, Ю.Н.Работнова, Х.А. Рахматулина, В.В.Соколовского, Г.С.Шапиро, B.C.Ленского, В.К.Ка-булова, Ю.А.Амен-заде, О.Шимякина, Г.О.Баренблатта, С.С.Григоряна, Б.М.Малышева,Н.В.Зволинского, М.П.Домбровского, К.А.Керимова, Л.В.Никитина, В.Н.Кукуджанова, И.А.Кийко, И.Г.Филиппова,Д.О.Ага-ларова, П.Ф.Сабодаш, а также в работах зарубежных авторов: Тейлора, Кармана, Дюве, Ли, Кольского, Белла, Малверна, Кристеску, Смита и др.
В связи с тем, что подробное изложение этих работ с соответствующим анализом приводится в цитированных монографиях и ряде других обзорных статей, на всех этих работах останавливаться не будем.
Приведем лишь некоторые важные исследования, близкие к теме диссертации.
Постановка задачи поперечного удара заостренным телом по гибкой мембране и вывод уравнения движения принадлежит Х.А.Рах-матулину / 3,19 /.
Исследование распространения волн в гибких мембранах при поперечном ударе представляет собой в математическом отношении очень сложную задачу. Эти затруднения связаны со следующими факторами, значительное отклонение связи от первоначального положения, влияние геометрии ударяющего тела, специфика граничных условий в области соприкосновения связи с ударяющим телом, возможный отход от тела и нелинейная зависимость напряжения от деформации. Поэтому в литературе рассмотрены лишь частные случаи этой задачи при различных упрощающих предположениях.
Исследования в этой области провели Д.М.Григорян / 23 /, М.П.Галин / 24 /, И.Н.Зверев / 25 /, А.Л.Павленко / 26 /, Ю.А. Демьянов / 27 /, Гопкинс и Прагер / 28 /, Я.У.Саатов / 30,31 /, С.С.Григорян / 32 /, Н.Кристеску / 33 /, А.Эль-Сакка /34,35 /, У.Бектурсунов / 37 /, Э.ВДенский / 40 /, Д.В.Никитин / 43 /, Ш.М.Муталлимов / 38,39 /, Карапетрова / 36 /, М.С.Баладжаев / 51 /, Ф.С.Панахов / 50,53 /, М.М.Исламов / 56 / и др.
В работе / 23 / рассмотрена задача о нормальном ударе конусом по бесконечной упругой мембране. При этом предполагалось, что после удара возникают только радиальные напряжения, а кольцевые напряжения отсутствуют, вследствие чего для некоторых значений скорости удара решение становится мнимым. Исследование без каких-либо ограничений, накладываемых на величины радиальных и кольцевых напряжений, было проведено в работе М.П.Галина / 24 /, который показал, что при любых скоростях удара пренебрегать кольцевыми напряжениями нельзя.
- 7 і В работе / 26 / решена задача удара телом вращения при наличии полного облегания мембраной ударяющего тела. Получено аналитическое решение в области поперечного движения для случая удара конусом.
В работе /27/ показана автомодельность задачи об ударе с постоянной скоростью о неограниченную пластинку.
В работе /28/ рассмотрена задача о динамическом деформировании тонкой круглой пластинки при отсутствии касательных напряжений.
В работе /29/ проведено численное решение волновой задачи о распространении в гибкой линейно-упругой мембране влияния поперечной нагрузки, внезапно приложенной к границе жестко окантованного круглого отверстия.
Работа /30/ является дальнейшим обобщением задачи /29/ на случай нелинейно-упругой мембраны. Учитывается расширение гран ничного отверстия мембраны по определенному закону. Дается волновая схема движения мембраны.
В работе /31/ рассмотрена задача о точечном ударе по упругой мембране с постоянной скоростью и получены приближенные решения для малых скоростей удара.
В работе /32/ рассмотрена задача об ударе конусом по упругой мембране. При этом предполагается, что возникают три области движения:
I - область чисто-радиального движения,
П - область, где мембрана прогибается, но не имеет общих точек с поверхностью конуса.
Ш - область, где мембрана облегает поверхность конуса.
Проведено исследование качественного поведения возможных решений в этих областях.
В работе /33/ рассмотрено движение мембраны, когда учитываются кольцевые деформации, а определяющие уравнения записываются как в конечной, так и в дифференциальной форме.
Пбказана необходимость численных методов решения задачи с помощью ЭВМ. Конкретное решение при этом не было получено.
Впервые Эль-Сакка рассмотрел косой удар с полным прилеганием по гибкой упругой мембране в работах /34,35/.
Выведены дифференциальные уравнения в плоской области и области прилегания мембраны к конусу. Полученные обыкновенные дифференциальные уравнения решены методом последовательных приближений. Автор получает первое приближение, которым и ограничивается.
Удар по гибкой упругой мембране, когда ударяющее тело затуплено, рассмотрен .У.Бектурсуновым /37/. В этой работе было показано, что деформация в окрестности точки удара растет пропорционально первой степени скорости удара и обратно пропорционально радиусу кривизны ударяющего тела.
В такой постановке эти задачи рассмотрены в раоотах /36, 41/. В /36/ дано численное решение указанной задачи с применением УВМ. Исследовано поведение и регулярность особых точек, возникающих в исходной системе дифференциальных уравнений и найдено решение в окрестностях этих особых точек. В работе /41/ приведена схема численного решения задачи косого удара конусом по гибкой упругой мембране. Задача решена методом сквозной прогонки.
В /4U/ решается осесимметричная задача поперечного удара с постоянной скоростью по упругой бесконечно протяженной мембране круговым конусом в сверхзвуковой и дозвуковой постановке.
В сверхзвуковом режиме принимается схема с полным облеганием, которая соответствует некоторым предельным условиям тре .- у ния. Однако учет трения производится только на поперечной волне.
В дозвуковом режиме дается численное решение задачи. Найдены области изменения скорости удара и угла раствора конуса.
Что касается экспериментальных работ, то их количество весьма ограничено. К ним относятся работы /43,44,46,47,50,51,52,56/.
В работе /43/ проведено экспериментальное исследование удара по гибкой мембране в широком диапазоне скоростей удара конусом при различных углах раствора.
В работе /44/ рассмотрена задача удара конусом упруго-пластичной мембраны в случае движения с частичным облеганием, в области свободного движения получено аналитическое решение.
В работе /40/ ставится задача для закрепленной по краям круглой мембраны, находящейся, с одной стороны, в воздушной, а с другой стороны, в жидкой среде. Определяется движение и деформированное состояние тонкой мембраны под действием подводного взрыва.
Экспериментальные исследования поперечного удара по мембране иностранными авторами проводились в основном при решении конкретных технических задач.
В работе /46/ приведены экспериментальные исследования для проверки некоторых положений /4Ь/.
В работе /47/ приводятся некоторые результаты экспериментальных исследований по наблюдению картины удара конусом по гибкой мембране. Удары производились с одной и той же скоростью. Однако эти результаты не дают ясной картины о механизме истинного процесса, происходящего с мембраной.
В /4У/ приводятся результаты качественного анализа математической задачи, связанной с задачей об ударе по гибкой мембране, описание вычислительного алгоритма для ее численного реше - 10 ния с помощью ЭВМ, фактические результаты проведенных по этому алгоритму расчетов, описание методики экспериментального изучения явления удара, результаты опытов и их сравнение с расчетом.
Автором /51/ проведены экспериментальные исследования нормального удара с постоянной скоростью конусом по гибкой мембране из различных материалов (техпластика, металлическая мембрана и др.). Установлена картина движения и волновая схема движения мембраны.
В работе /52/ приводятся некоторые результаты экспериментального исследования нормального удара с постоянной скоростью твердым конусом по гибкой меморане при различных углах раствора конуса.
В работе /50/ рассматривается задача о косом ударе конусом по гибкой мембране при упругих и упруго-пластических деформациях.
В /53/ приводятся результаты экспериментальных исследований при нормально-ориентированном косом и косонаправленном ударе конусом в широком диапазоне скоростей. Показаны реально возможные схемы движения мембраны.
В работе /61/ рассматривается задача о распространении начального сильного разрыва вторых производных от смещения в стержне из нелинейного упруго-пластического материала с возрастающим пределом упругости. Получены уравнения для определения момента вырождения сильного разрыва в слабый.
В работе /Ь2/ рассматривается процесс накопления пластических деформаций в однородном цилиндрическом стержне, помещенном между упругой (или жесткой) наковальней и упругим молотом, при повторных ударах. Для материала исследуемого стержня, модулирующего заклепку, принимается линейное упрочнение. Боковая поверхность считается свободной. В зависимости от диаметра, длины и жесткости молота (и от аналогичных характеристик наковальни) и от скорости удара получаются различные усадки и различные распределения остаточных деформаций по длине стержня. Анализ позволяет подобрать параметры инструмента так, чтобы получить наиболее эффективное распределение остаточных деформаций. Результаты опытов хорошо согласовываются с теоретическим расчетом.
В /63/ рассмотрена задача о распространении упруго-пластических волн в полубесконечном стержне с переменным пределом упругости при многократных ударах в новой постановке. Введением новой лагранжевой координаты, учитывающей остаточные деформации первого нагружения, дается методика определения волны разгрузки в стержне с переменным пределом упругости и получено аналитическое решение задачи.
Настоящая диссертация посвящена исследованию движения гибких упругих и упруго-пластических мембран при ударных и импульсивных воздействиях, определению динамического напряженно-деформированного состояния упруго-пластического стержня при многократном ударе с учетом волны "разгрузки".
Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
Во введении дается история развития вопроса и краткий обзор работ, близких к теме диссертации, а также приводится основное содержание работы по главам.
В первой главе приводятся основные дифференциальные уравнения движения элемента гибкой мембраны и определяющее соотношение при ударных и импульсивных воздействиях, а также дифференциальные уравнения распространения упруго-пластических волн в стержне с переменным пределом упругости при многократном продольном ударе.
Приведены соответствующие начальные и граничные условия, формулируется постановка рассматриваемых задач и методов их решений.
Во второй главе, состоящей из 4-х параграфов, дается решение задачи об ударе круговым жестким конусом по гибкой мембране в свободной области поперечного движения, в случае частичного облегания при упругих и упруго-пластических деформациях (§§ 2.1,
В § 2.4 приводятся результаты исследований поведения гибкой мембраны при симметричных импульсивных нагрузках. Получено численное решение задачи движения гибкой мембраны при импульсивных воздействиях в общей постановке.
В случае нормального точечного импульса и цилиндрического импульса определены напряженно-деформированное состояние конкретных материалов.
В третьей главе решены задачи деформирования упруго-пластического стержня при многократных ударах. Полученное аналитическое решение позволяет определить длину зоны постоянных пластических деформаций, возникающих в стержне при многократных ударах с одной и той же скоростью удара после прохождения волны разгрузки (волны Рахматулина) (§ 3.1, 3.2).
На основе полученного решения разработана методика определения динамической ударной диаграммы "напряжение-деформация" (3.3).
В заключении приводятся основные результаты, полученные в работе.
Преобразование уравнения движения к автомодельным переменным
В работе /33/ рассмотрено движение мембраны, когда учитываются кольцевые деформации, а определяющие уравнения записываются как в конечной, так и в дифференциальной форме.
Пбказана необходимость численных методов решения задачи с помощью ЭВМ. Конкретное решение при этом не было получено. Впервые Эль-Сакка рассмотрел косой удар с полным прилеганием по гибкой упругой мембране в работах /34,35/. Выведены дифференциальные уравнения в плоской области и области прилегания мембраны к конусу. Полученные обыкновенные дифференциальные уравнения решены методом последовательных приближений. Автор получает первое приближение, которым и ограничивается. Удар по гибкой упругой мембране, когда ударяющее тело затуплено, рассмотрен .У.Бектурсуновым /37/. В этой работе было показано, что деформация в окрестности точки удара растет пропорционально первой степени скорости удара и обратно пропорционально радиусу кривизны ударяющего тела. В такой постановке эти задачи рассмотрены в раоотах /36, 41/. В /36/ дано численное решение указанной задачи с применением УВМ. Исследовано поведение и регулярность особых точек, возникающих в исходной системе дифференциальных уравнений и найдено решение в окрестностях этих особых точек. В работе /41/ приведена схема численного решения задачи косого удара конусом по гибкой упругой мембране. Задача решена методом сквозной прогонки. В /4U/ решается осесимметричная задача поперечного удара с постоянной скоростью по упругой бесконечно протяженной мембране круговым конусом в сверхзвуковой и дозвуковой постановке. В сверхзвуковом режиме принимается схема с полным облеганием, которая соответствует некоторым предельным условиям трения. Однако учет трения производится только на поперечной волне. В дозвуковом режиме дается численное решение задачи. Найдены области изменения скорости удара и угла раствора конуса. Что касается экспериментальных работ, то их количество весьма ограничено. К ним относятся работы /43,44,46,47,50,51,52,56/. В работе /43/ проведено экспериментальное исследование удара по гибкой мембране в широком диапазоне скоростей удара конусом при различных углах раствора. В работе /44/ рассмотрена задача удара конусом упруго-пластичной мембраны в случае движения с частичным облеганием, в области свободного движения получено аналитическое решение. В работе /40/ ставится задача для закрепленной по краям круглой мембраны, находящейся, с одной стороны, в воздушной, а с другой стороны, в жидкой среде. Определяется движение и деформированное состояние тонкой мембраны под действием подводного взрыва. Экспериментальные исследования поперечного удара по мембране иностранными авторами проводились в основном при решении конкретных технических задач. В работе /46/ приведены экспериментальные исследования для проверки некоторых положений /4Ь/. В работе /47/ приводятся некоторые результаты экспериментальных исследований по наблюдению картины удара конусом по гибкой мембране. Удары производились с одной и той же скоростью. Однако эти результаты не дают ясной картины о механизме истинного процесса, происходящего с мембраной. В /4У/ приводятся результаты качественного анализа математической задачи, связанной с задачей об ударе по гибкой мембране, описание вычислительного алгоритма для ее численного решения с помощью ЭВМ, фактические результаты проведенных по этому алгоритму расчетов, описание методики экспериментального изучения явления удара, результаты опытов и их сравнение с расчетом. Автором /51/ проведены экспериментальные исследования нормального удара с постоянной скоростью конусом по гибкой мембране из различных материалов (техпластика, металлическая мембрана и др.). Установлена картина движения и волновая схема движения мембраны. В работе /52/ приводятся некоторые результаты экспериментального исследования нормального удара с постоянной скоростью твердым конусом по гибкой меморане при различных углах раствора конуса. В работе /50/ рассматривается задача о косом ударе конусом по гибкой мембране при упругих и упруго-пластических деформациях. В /53/ приводятся результаты экспериментальных исследований при нормально-ориентированном косом и косонаправленном ударе конусом в широком диапазоне скоростей. Показаны реально возможные схемы движения мембраны. В работе /61/ рассматривается задача о распространении начального сильного разрыва вторых производных от смещения в стержне из нелинейного упруго-пластического материала с возрастающим пределом упругости. Получены уравнения для определения момента вырождения сильного разрыва в слабый.
Нормальный удар конусом по упруго-пластической мембране с частияным прилеганием
Устойчивость и сходимость данной разностной схемы могут быть доказаны в предположении, что X нигде не превосходит наклона характеристики. движение каждого элемента мембраны в отдельности описывается уравнениями системы (2.5И). Поскольку изучается совместное движение двух элементов, уравнениями движения одного из них являются уравнения (2.52). Для того, чтобы получить уравнения движения другого элемента наряду с цилиндрической системой координат вводится декартова система прямоугольных координат ( X i » У ) с началом в точке 0, осью О У , совпадающей с осью О У , и осью X расположенной в плоскости меридионального сечения, тогда уравнения движения указанного элемента будут отличаться от (2.52) знаком кольцевой деформации и второго слагаемого в правой части первого уравнения. Следовательно, заменой координаты . на — . в (2.52) получаем уравнения движения указанного элемента. При решении задачи используется только система (2.52) с учетом знака координаты.
Кольцевая деформация в начале координат не определена. Для устранения этой неопределенности область мембраны, ограниченная двумя меридиональными сечениями в положительном и отрицательном направлениях оси X, и сферой радиуса - / - О ) » отбрасывается. Оставшиеся части в точке О склеиваются друг с другом. Начало координат переносится к точке 0
В рассматриваемой задаче вектор внешних сил отсутствует, поэтому вместо него задается начальное поле скоростей. Начальные условия задачи будут: где и\У) тл. ti( l) - некоторые заданные функции, характеризующие распределение поля скоростей по мембране; На границах области, в которой ищем решение, из четырех характеристических соотношений останутся только два соотношения, соответствующие характеристикам, идущим от границы во внутрь области. Два недостающих уравнения можно получить, накладывая граничные условия, соответствующие способу закрепелния концов мембраны. Произведена численная реализация этой задачи в случае бесконечной упругой мембраны из алюминия при следующих данных: V0 = ЮОО м/сек, Е= 0,7.1010кГ/м2, J 0 = 2,69.Ю3кГ/м3, д = Ю сек, А = 0,05 м; /, = 0,3 м, Ъ0 = 0,02 м.
Рассматриваются следующие случаи: Пусть на конечную часть гибкой мембраны внезапно приложен равномерно распределенный цилиндрический импульс
Полученные результаты представлены графиками на рис.6. На графиках изображены зависимости меридиональной деформации ( Ь = 4»10" сек, кривая І; і = 6 10 сек, кривая 2);! кольцевой деформации ( Ь = б»10 сек) от координат частиц и форма мембраны ( Ь = 6 10 сек).
Влияние импульсивной нагрузки распространяется от концов начально-возмущенного участка в виде двух цилиндрических волн-продольной и поперечной. Обе волны в сторону начально-возмущенной части мембраны распространяются с такой же скоростью, как и в сторону невозмущенной части. Поскольку волны начинают распространяться от концов начально-возмущенного участка, где частицы мембраны приобретают максимальную деформацию, некоторые частицы, находящиеся на начально-возмущенном участке, не деформируются. Со временем эти частицы приобретают деформацию, и после отражения продольных волн от начала координат деформация этих частиц удваивается.
Как меридиональная, так и кольцевая деформация частиц приобретают максимальные значения в концах начально-возмущенного участка. При переходе от начально-возмущенной области к невозмущенной наблюдается скачок кольцевой деформации. В начально-возмущенной части мембраны кольцевая деформация положительна, а вне этого участка принимает отрицательное значение. Это показывает, что при деформировании частицы мембраны с обоих участков двигаются к концам этого участка. В центре кольцевая деформация частиц равна нулю.
Исследование поведения гибкой мембраны при симметричных импульсивных нагрузках
Как меридиональная, так и кольцевая деформация частиц приобретают максимальные значения в концах начально-возмущенного участка. При переходе от начально-возмущенной области к невозмущенной наблюдается скачок кольцевой деформации. В начально-возмущенной части мембраны кольцевая деформация положительна, а вне этого участка принимает отрицательное значение. Это показывает, что при деформировании частицы мембраны с обоих участков двигаются к концам этого участка. В центре кольцевая деформация частиц равна нулю.
Полученные результаты представлены графиками на рис. 7. На графиках изображены зависимости кольцевой деформации ( = 3,5»10 сек - кривая І, і = 7,5«ІСР3 сек - кривая 2) от координат части, поперечной скорости частицы с координатой , во времени и форма мембраны ( Ь = 7,5 10 сек).
Меридиональная деформация свое максимальное значение принимает в центре мембраны и с ростом сильно падает. Кольцевая деформация в центре мембраны равна нулю. Она свое максимальное значение принимает в соседней точке и затем с ростом падает. Поскольку начальная импульсивная нагрузка направлена по нормали, получается симметрическая картина движения. На кривой 2 показано положение мембраны в случае точечного удара с постоянной скоростью. Видно, что мембрана оказывает сильное сопротивление начальной нагрузке. Поперечная скорость частицы с координатой, быстро уменьшается после начала деформирования.
В этой главе рассматривается задача определения длины зоны постоянных остаточных деформаций, а также определение динамической диаграммы Ъб при многократных ударах с постоянной скоростью стержня конечной длины о жесткую преграду.
Задачу распространения упруго-пластических волн в стержне с переменным пределом упругости рассматривалась Х.А.Рах-иатулиным в /3/. Однако полученные им уравнения распространения волн в области нагружения невозможно проинтегрировать во всей плоскости ( X) при любой зависимости 5 =: 57е ) В случае схемы Прандтля при мгновенном приложении повторной нагрузки задача решена всюду в плоскости (Г X) .
Задача о распространении упруго-пластических волн в стержне с переменным пределом упругости введением новой лангранжевой координаты X » учитывающей остаточные деформации первого нагружения, сведена к решению задачи распространения волн с постоянным пределом упругости /63/. Такая постановка задачи позволяет проинтегрировать уравнения движения всюду в плоскости ( ) для любой зависимости э(ё\ и дает возможность рассмотреть ряд задач о распространении волн в стержне конечной длины при многократных ударах о жесткую преграду. Определение длины зоны постоянных остаточных деформаций при многократных ударах
Рассмотрим упруго-пластический стержень конечной длины 1 с постоянным пределом упругости. Пусть этот стержень многократно, с одной и той же скоростью V0 ударяется о жесткую неподвижную преграду, причем каждый последующий удар наносится после того, как в стержне исчезнет напряжение, вызванное предыдущим ударом. Дри каждом ударе напряжение на торце скачком возрастает до некоторого максимального значения, оставаясь постоянным, до прихода в виде волны разгрузки, отраженной от свободного конца стержня упругой волны сжатия.
Ь этом параграфе решается задача об определении длины зоны постоянных остаточных деформаций в стержне при многократных ударах с постоянной скоростью.
Определение длины зоны постоянных остаточных деформаций при многократных ударах
В литературе / 3 / известен ряд методов определения дина - 80 мической диаграммы (5"= 3 б) , основанньгь на знании экспериментальных данных распределения остаточной деформации вдоль упруго-пластического стержня при продольном ударе. Суть указанных методов состоит в том, что производится продольный удар со скоростью У0 о жесткую неподвижную преграду (рис.8). Как показано в первом параграфе, при многократных ударах с постоянной скоростью V0 о жесткую неподвижную преграду в области, прилегающей к торцу, возникает зона постоянных остаточных деформаций. Это позволяет известный метод В.С.Ленского /3/, разработанный для однократного удара, обобщить на случай многократных ударов. При первом ударе от ударяемого конца идут центрированные волны (3.5), (З.б), пересекающие волну разгрузки (3.3). На волне разгрузки имеет место соотношение: Дифференцируя последнее и пользуясь (3.3) и (З.б), получим: После интегрирования (3.18) при начальном условии получим параметрические формулы В.С.Ленского /15/. Так как максимальное значение СГ0/д) и t?0 [К) принимает на торце л — О , то формулы (3.19) дают возможность построить только часть динамической диаграммы СГ = э(&) а именно Q . Qmi и Olsr& UGfQ \г:Г » оставшаяся часть диаграммы остается неизвестной. Для построения оставшейся части используем многократный удар с постоянной скоростью о жесткую преграду. При і - ом ударе в области ОМ В ИДУ1 центрированные волны Римана (3.13). В области разгрузки, лежащей выше Л С , определяемой (3.16), при любом L - ом ударе имеет место: Здесь ь (Ху и Є. Yxj соответственно значения напряжения и деформации на волне разгрузки (3.16). Дифференцируя (3.20) с учетом (3.13) и (3.16), получим: Начальное условие для (3.21) выбирается из условия, что в Интегрируя (3.21), получим: Параметрические формулы (3.22), где X - параметр при і -ом ударе, дают возможность построить часть динамической диаграммы 6" 5lfe). Согласно задаче о накоплении остаточных деформаций торца при многократных о жесткую преграду предел ударах с постоянной скоростью упругости торца в5 стремится к значению ч ст fi , — Следовательно, по формулам (3.22) диаграмму "пбГУв) можно построить до максимального значения напряжения б"/- И [. В диссертации получены следующие новые результаты: 1. Получено аналитическое решение в области свободного движени, возникающей в зоне меридионального движения при ударе круглым жестким конусом по упругой мембране в случае частичного прилегания мембраны к ударяющему конусу. 2. Найдено автомодельное решение задачи о движении упруго-пластической мембраны при нормальном ударе коническим телом в области поперечного движения, где мембрана, не контактируя, отходит от ударяющего конуса. 3. Разработана методика численного решения задачи динамического деформирования гибких мембран при симметричных импульсивных воздействиях заданной интенсивности в общей постановке. Определена картина движения и волновая схема мембраны. В случае точечного и прямоугольного импульса для конкретных материалов решение задачи доведено до численных результатов. 4. Исследовано поведение кольцевых деформаций в центре начально возмущенной части. 5. В случае многократного удара с одной и той же скоростью по упруго-пластическому стержню определена зона постоянной пластической деформации после прохождения волны разгрузки (волны Рахматулина) и показана возможность получения динамической диаграммы "напряжение-деформация".
