Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Раскрой мягких оболочек в условиях больших деформаций 15
1. Основные соотношения теории мягких оболочек 17
2. Одноосные зоны 23
3. Задача раскроя 29
Глава II. Раскрой симметрично деформируемых оболочек вращения 35
4. Осесимметричная деформация оболочки вращения 35
5. Постановка задачи раскроя симметрично деформируемой мягкой оболочки вращения 41
6. Двухпараметрическое семейство оболочек вращения 46
7. Определение раскройной формы двухосной эллиптической оболочки постоянной толщины 52
8. Расчет раскройной формы заданной толщины 65
9. Раскрой двухосной эллиптической оболочки из плоской мембраны 70
10. Оболочки с одноосными зонами 82
11. Оболочки равного сопротивления 87
Глава III. Обтекание мягкой цилиндрической оболочки поперечным потоком 91
12. Краткая история вопроса 91
13. Постановка задачи обтекания мягкой цилиндрической оболочки 98
14. Метод коллокаций в задаче обтекания цилиндрической пневмооболочки 105
Заключение 113
Литература 114
- Основные соотношения теории мягких оболочек
- Постановка задачи раскроя симметрично деформируемой мягкой оболочки вращения
- Раскрой двухосной эллиптической оболочки из плоской мембраны
- Метод коллокаций в задаче обтекания цилиндрической пневмооболочки
Введение к работе
Мягкими называются оболочки, которые вследствие малой жесткости на изгиб всегда испытывают только безмоментное напряженное состояние и не могут воспринимать сжимающих напряжений.
История практического применения мягких оболочек насчитывает тысячелетия. Корабельный парус, емкость для воды -одни из самых древних конструкций известных человеку. В настоящее время применение мягких оболочек получает все большее распространение практически во всех областях человеческой деятельности. В строительстве конструкции с надувным карка -сом и воздухоопорные оболочки используются в качестве складских помещений, ангаров, покрытий спортивных сооружений, выставочных павильонов, укрытий строительных площадок и даже целых промышленных комплексов [55-57]. Существуют планы создания таких пневматических оболочек, под которыми можно по -местить агропромышленные комплексы и даже целые города со своим искусственным климатом. Мягкие конструкции необходимы во многих судовых конструкциях [l07]. Это различные мягкие емкости, подпорные и разделительные стенки, переборки, кранцы, понтоны, надувные лодки и т.п. Применяются они также и для создания подводных надувных сооружений, плотин, волноло-ломов. В космической технике мягкие оболочки применяют в шлюзовых устройствах, в скафандрах космонавтов и даже в качестве надувных спутников. Многие биологические ткани-ето тоже своего рода мягкие оболочки. Поэтому, и в связи с созданием все большего числа различных синтетических материалов в последние годы расчет мягких оболочек становится задачей
все более актуальной.
Тот факт, что разница в объемном весе холодного и теп -лого воздуха способна стабилизировать форму оболочки, послужил примером первого эмпирического проникновения в сущность пневмоконструкции / Монгольфьер, 1793 / [ііб].
Объектом научного исследования мягкие оболочки стали сравнительно недавно, хотя первая работа по одноосным обо -лочкам появилась в 1899 году [ібО]. В последние 30 лет создается самостоятельная теория мягких оболочек, большой вклад в развитие которой внесли советские ученые С,А. Алексеев, В.Л. Бидерман, Б.И. Друзь, А.С. Григорьев, М.А. Ильгамов, В.Д. Кулагин, В.Э. Магула, В.И. Усгокин, К.Ф. Черных и др.
Несмотря на наличие упрощающего основные уравнения свойства безмоментности, построение теории мягких оболочек проблема очень сложная. Все осложняется тем обстоятельством, что мягкая оболочка под нагрузкой существенно изменяет геометрию. Это, в свою очередь, оказывает влияние на распределение нагрузки. Основы теории для случая осевой симметрии /в предположении о малости деформации/ предложены С.А. Алексе -евым [2]. Им же в работах [з,б] заложены основы общей теории мягких оболочек.
Одним из основных свойств мягких оболочек является их неспособность воспринимать сжимающие напряжения. Поэтому мягкая оболочка может находиться либо в двухосном напряжен -ном состоянии, когда оба главных напряжения положительны, либо в одноосном, когда одно из главных напряжений пренебрежимо мало и его полагают равным нулю. В одноосной зоне обо -лочка не имеет определенной формы, поэтому нельзя произвольно задавать форму оболочки и действугощие^на неё нагрузки.
Это одно из существенных отличий мягких оболочек от оболочек обычного типа. В.Э.Магула [100] дал более конкретное определение мягкой оболочки, предложив три количественных критерия "мягкости". Тем самым показав, что "мягкость" оболочки определяется малой изгибной жесткостью материала, высокой его прочностью, большими относительными размерами конструкции и напряженностью условий её работы.
Способность мягких оболочек уже при малых нагрузках существенно изменять свою форму вынуждает четко различать на -чальное /ненагруженное/ и конечное /деформированное/ состояния. Соответственно, в классификации, данной С.А. Алексеевым 1.2-5}, выделяются три основные задачи теории мягких оболочек. Первая основная задача состоит в определении начальной /или раскройной/ формы по заданным нагрузкам и форме конечного состояния. Вторая - в определении конечной формы /и напря -женно-деформированного состояния/ по известным нагрузкам и заданной раскройной форме. Третья - в определении изменений формы и напряжений, вызванных системой дополнительных нагрузок.
Существуют лишь несколько работ, посвященных задачам первого типа,-это [ 2,5,14,79,80,88-90,108,109,139].Огромное количество работ содержит решение частных случаев второй и третьей основной задачи, обсуждение и конкретный анализ результатов которых можно найти в обзорных статьях[4,16,28,49, 97,98,101].
Зачастую приходиться считаться с весьма большой деформа-тивностыо материала. В работах А.С. Григорьева [35-38] ,Н.Н. Федика [139], И.С. Мамедова [і09-ІІ0]в основу механической характеристики материала положена_зависимость между истинны -
ми напряжениями и логарифмическими деформациями. Достаточно подробно обзор законов упругости для изотропных несжимаемых материалов дан в статье К.Ф.Черныха и М.И. Шубиной [і50].При больших деформациях оболочки может произойти потеря её устойчивости как локальная, так и общая. Исследование этой проб -лемы нашло отражение в трудах В.И.,еодосьева [I42J ,А.С.Григорьева [36-38], В.М.Трушиной [134], А.М.Виноградовой [20], Е.П.Колпака [85] и Александера [157] .
В работе В.И.Усгокина [135] на основе вариационного подхода построена система уравнений безмоментной оболочки про -извольной начальной геометрии при больших деформациях и пе -ремещениях. При этом особенностью полученных нелинейных уравнений равновесия мягких оболочек является то, что направления перемещений совпадают с осями недеформированной оболочки. л.Ф.ііаюк И Л.Ф.Ващенко [?3] предложили вариант нелинейных геометрических соотношений мягких ортотропных оболочек вращения в предположении, что деформации и квадраты углов пово -рота малы по сравнению с единицей. На основе этого подхода рассмотрена деформация мягкой конической оболочки под действием внутреннего давления [18]. Изучено влияние геометрической нелинейности на напряженно-деформированное состояние последней[19,74]. В работах [б8,14б] приводятся основные зависимости геометрически нелинейной теории мягких оболочек, причем детально рассмотрены возможные упрощения соотношений между кратностями удлинения и перемещениями. Другие варианты записи основных уравнений теории мягких оболочек и принципиальные схемы их расчета приведены в книге В.У.Магулы [l07]. Полученные там соотношения не содержат таких понятий как начальная форма и перемещения [103,106,107], так как,
вообще говоря, у мягкой оболочки отсутствует определенная внешняя форма до нагружения.
Использовав основные положения работы Л.А.Шаповалова [15б], Б.И.Друзь [50] предложил вариант нелинейных дифференциальных уравнений равновесия мягких оболочек и геометрических соотношений нелинейной деформации срединной поверхности для расчета осесимметрично нагруженных оболочек вращения. В нем сохранены некоторые члены, учитывающие удлинение оболочки, вызванное ее прогибом.
В работах [152-155] К.Ф.Черных предложил нелинейную теорию тонких оболочек из эластомеров /резиноподобных материалов/, которая включает в себя три характерные особенности. Прежде всего, используется уточненная геометрическая гипотеза Кирхгофа, позволяющая без повышения порядка разрешающей системы уравнений учесть существенное для оболочек из эластомеров деформационное утонение. Далее, применение двойного тензора напряжений, по первому индексу отнесенного к неде-формированному материальному базису, а по второму - к деформированному, позволяет записывать уравнения равновесия и ставить граничные условия в недеформированной материальном базисе, положение которого известно. Полученные же зависимости при этом отнесены к деформированным материальным осям. Наконец, принятие линейного закона распределения напряжений по толщине позволило значительно упростить связь между усилиями, моментами и компонентами деформации срединной поверхности. При таком подходе не используются уравнения неразрывности деформации и функции напряжения, не введены смещения. Вместо последних разыскивается непосредственно положение деформированной /либо недеформированной/ срединной поверхности.
На базе данной теории С.А.Кабрицем [69,7l] и Е.П.Колпаком [84,85] был рассмотрен ряд интересных задач.
При больших растягивающих усилиях возможно существование краевых эффектов, исследование которых открыло возможность построения так называемых технических теорий, где напряженно-деформированное состояние оболочки разбивается на два - основное и дополнительное. Основное обычно описывается уравнениями безмоментной теории, дополнительное же - системой уравнений, линеаризованной относительно основной. Возможности такого подхода исследованы С.А.Алексеевым [б] и получили развитие в трудах Л.И.Балабуха [10], В.Л.Бидермана [із] и особенно В.И.Усюкина [136-138]. Техническая теория -это как бы первое приближение общей теории, учитывающее наиболее существенные свойства мягких оболочек и позволяющее получить весьма достоверные решения многих важных проблем в условиях малых деформаций. На ее основе в настоящее время решен достаточно широкий круг практически важных задач [64, 83,87,126,127,136,137].
Значительный вклад в изучение динамического поведения мягких оболочек вносят работы Б.Й.Друзя, В.Э.Магулы и их учеников [48,51, 5ki, 80-82,107].
Исследования, посвященные вопросам статического и динамического взаимодействия упругих оболочек с жидкостью, теории и методам расчета мягких оболочек в потоке газа и жидкости, биомеханике, нашли отражение в трудах казанских ученых. Сюда входят работы А.Н.Гильманова [26,27] , Р.Ш.Гимадиева [28t 29|, Б.В.Гулина, В.В.Риделя, М.А.Ильгамова [30,40-46,63,65-67,125], О.М.Киселева и Э.Ф.Рапопорта [23,75-79,124], Р.Н.Ми-фтахова [ill] , В.Л.Федяева [l40-I4l] и других авторов.
Таким образом, в настоящее время рассмотрен достаточно широкий круг задач расчета мягких оболочек. Но тем не менее строгое обоснование допущений, применяемых при расчете, пока отсутствует. В работах А.В.Вовериса [21,22]и др. устанавливаются пределы применимости и оценки погрешностей некоторых гипотез, применяемых при решении задач колебания резинотканевых оболочек.
Целью настоящей работы является:
построение общей теории раскроя мягких оболочек в условиях больших деформаций;
рассмотрение на этой основе задачи раскроя симметрично деформируемых мягких оболочек вращения, содержащих одноосную и двухосную зоны;
исследование напряженно-деформированного состояния в одноосной зоне и в месте ее сопряжения с двухосной;
раскрой мягких равнонапряженных оболочек вращения;
решение задачи обтекания мягкой цилиндрической оболочки потоком идеальной несжимаемой жидкости с целью определения зависимости глубины вмятины от параметров потока и оболочки.
На защиту выносятся следующие результаты:
теория раскроя мягких изотропных оболочек произвольной геометрии при больших деформациях;
исследование поведения мягких оболочек в одноосных зонах под действием равномерного нормального давления;
решение и анализ результатов задачи раскроя мягких оболочек вращения в условиях больших осесимметричных дефор-
!
- II -
маций;
построение равнонапряженных оболочек вращения и их раскрой при больших деформациях;
исследование зависимости глубины вмятины от параме -тров потока и оболочки при обтекании мягкой бесконечно длинной цилиндрической оболочки потоком идеальной несжимаемой жидкости.
Научная новизна работы заключается в следующем:
впервые общая задача раскроя мягких оболочек рассмот -рена с учетом больших деформаций;
введение в расмотрение двухпараметрического семейства оболочек вращения и двухконстантного упругого материала позволило проследить "механизм взаимодействия" двух- и одноос -ной зон, выявить влияние геометрических и физических пара -метров оболочки на указанное "взаимодействие" и выяснить особенности задачи раскроя мягкой оболочки при наличии одноосных зон;
принципиально новым является исследование возможности раскроя мягких оболочек из плоских заготовок;
прослежена связь задачи раскроя с задачей равнонапря-женности;
с учетом больших деформаций рассмотрена практически интересная задача гидроупругости.
Достоверность основных научных положений и полученных результатов обеспечивается: строгостью постановки задачи, добротностью использованных математических методов и "физической правдоподобностью" полученных результатов.
Практическая ценность полученных
результатов:
в разработке теоретических основ проектирования мягких оболочек, работающих при больших деформациях;
в исследовании возможности раскроя мягких оболочек из плоских заготовок переменной толщины;
- в решении задачи обтекания цилиндрической пневмо -оболочки намечены пути создания пневмоэкрана минимального давления, обеспечивающего изоляцию объекта от ветровой на -грузки.
Апробация работы. Отдельные результаты, изложенные в диссертационной работе, докладывались: на се -минаре по механике деформируемого тела Ленинградского кораблестроительного института под руководством А.П.Филина и B.C. Калинина /г.Ленинград, 1982г./, на Всесоюзном семинаре под руководством проф. В.А.Пальмова /г.Ленинград, 1982г./, на республиканской научно-технической конференции "Механика сплошных сред" /г.Набережные Челны, 1982г./, на Всесоюзной конференции "Актуальные проблемы нелинейной теории упругости" /г.Ленинград, 1983г./, на У республиканской конференции молодых ученых и специалистов /г.Якутск, 1984г./, на конференции молодых ученых факультета прикладной математики - процессов управления Ленинградского университета /г.Ленинград, 1984г./, на Всесоюзной конференции "Разработка и внедрение конструкций из эластичных материалов в народном хозяйстве" /г.Севастополь 1984г./.
Диссертационная работа в целом обсуждалась на семинаре кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела факультета прикладной математики - процессов управления Ленинградского государственного университета им. А.А.Жданова.
- ІЗ -
По результатам диссертационной работы опубликованы статьи [71, 91-94] .
Настоящая работа состоит из трех глав и заключения.
Основное содержание
В первой главе дан краткий обзор литературы, посвященной задаче раскроя мягких оболочек и исследова -ние поведения оболочек в одноосной зоне. Приведены основные соотношения нелинейной теории тонких безмоментных оболочек. На их основе получены определяющие соотношения, описывающие геометрию и напряженно-деформированное состояние мягкой симметрично деформируемой оболочки в одноосной зоне.
Сформулирована задача раскроя мягких оболочек и показано, что система трех уравнений равновесия безмоментной обо -лочки линейна относительно величин 4 а Т . Задача определения компонент метрического тензора недсформированной средин -ной поверхности сведена к системе нелинейных алгебраических уравнений относительно инвариантов Аай^йл, Ь =0./5,.
Основные зависимости задачи раскроя конкретизированы для оболочек, выполненных из неогуковского материала. Показано, что в этом случае основное разрешающее соотношение представляется в виде кубического уравнения, которое имеет по меньшей мере один вещественный положительный корень, причем для одноосной зоны этот корень единственный.
Во второй главе выведены соотношения, описывающие осесимметричную деформацию мягких оболочек вращения, на основе которых построено решение задачи раскроя.
Получено условие, накладывающее ограничение на область допустимых значений величины внутреннего давления и геометрию деформированной оболочки, при невыполнении которого не существует решения задачи раскроя в классе осесимметричных оболочек вращения. Обсуждаются результаты расчетов раскройных форм для мягких оболочек, деформированные срединные поверхности которых содержатся в двухпараметрическом семействе (6.1). Где это возможно, приводится доказательство существования и единственности полученного решения.
Сформулирована задача раскроя двухосной эллиптической оболочки из плоской мембраны. Решение сведено к задаче Коши для кратности удлинения в широтном направлении 7\а . Приводится решение задачи раскроя для эллиптических оболочек с одноосными зонами, на основе которого прослеживается "механизм взаимодействия" двух- и одноосных зон.
Проводится исследование задачи о равнонапряженных оболочках вращения и нахождение ее раскройной формы.
В третьей главе дан обзор литературы, посвященной задачам взаимодействия мягких оболочек с потоком жидкости. Полученное условие согласования потока и оболочки решается методом коллокаций. А получаемая при этом система нелинейных алгебраических уравнений решается сочетанием методов Ньютона и продолжения по параметру. Исследована зависимость изменения параметров потока и оболочки от глубины вмятины.
В заключении сформулированы полученные результаты и основные выводы.
Объем работы. Диссертационная работа состоит из 97 страниц машинописного текста и 27 рисунков и графиков. Библиография включает 172 наименования.
Основные соотношения теории мягких оболочек
Сформулирована задача раскроя двухосной эллиптической оболочки из плоской мембраны. Решение сведено к задаче Коши для кратности удлинения в широтном направлении 7\а . Приводится решение задачи раскроя для эллиптических оболочек с одноосными зонами, на основе которого прослеживается "механизм взаимодействия" двух- и одноосных зон.
Проводится исследование задачи о равнонапряженных оболочках вращения и нахождение ее раскройной формы.
В третьей главе дан обзор литературы, посвященной задачам взаимодействия мягких оболочек с потоком жидкости. Полученное условие согласования потока и оболочки решается методом коллокаций. А получаемая при этом система нелинейных алгебраических уравнений решается сочетанием методов Ньютона и продолжения по параметру. Исследована зависимость изменения параметров потока и оболочки от глубины вмятины. Объем работы. Диссертационная работа состоит из 97 страниц машинописного текста и 27 рисунков и графиков. Библиография включает 172 наименования.
Наиболее важной задачей при проектировании мягких оболочек является задача раскроя, или по [2,5] - первая основная задача. Состоит она в том, что требуется скроить оболочку так, чтобы она при заданных внешних нагрузках и условиях закрепления приняла необходимую форму.
Первым значительным исследованием задачи раскроя мягких осесимметричных оболочек в условиях малых /порядка 196/ деформаций была работа С.А.Алексеева [2]. В ней показано, что если не учитывать изменение толщины оболочки в процессе деформации, а физические соотношения принять в виде закона Гуна, то задача раскроя разрешается в квадратурах. Причем путь решения сводится к следующим этапам: интегрирование системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка - определение напряжений из уравнений равновесия; решение системы нелинейных /линейных для Гуковских материалов/ алгебраических уравнений - нахождение деформаций из физических соотношений по найденным напряжениям; интегрирование системы нелинейных /линейных в случае малых деформаций/ дифференциальных уравнений - определение перемещений из геометрических соотношений по известным деформациям; определение начальной формы по найденным перемещениям и форме конечного состояния. В качестве примера подобного расчета в [2] рассмотрена задача определения начальной формы анизотропной сферы, причем решение сведено к эллиптическим интегралам первого и второго рода, а в работе [б] - изотропного цилиндра, подвешенного в верхнем сечении и заполненного тяжелой жидкостью.
Н.Н.Федик [139] рассмотрел осесимметричную ортотропную оболочку, вращающуюся вокруг оси симметрии, и определил такую ее начальную форму, которая при определенной скорости вращения приняла бы форму сферы. Причем, следуя А.С.Григорьеву [35], между напряжениями и логарифмическими деформациями были приняты линейные соотношения, а решение задачи сведено к квадратуре.
Основываясь на общих уравнениях статики сетчатых оболочек [l4,90], В.Д.Кулагин рассмотрел задачу раскроя сетчатого полотна на примере конусоподобной оболочки [89]. Полученное решение представлено в виде эллиптических интегралов первого рода. При проектировании пневмоамортизаторов необходимо задавать конструктивные параметры, обеспечивающие требуемую жесткость. Ю.Н.Кузнецов [88] получил приближенное решение задачи построения профилей направляющей арматуры по заданной упругой характеристике резино - кордного пневмоамортизатора.
Не выходя за рамки применимости закона Гука, О.М.Киселев и Э. .Рапопорт [79] рассмотрели задачу определения такой формы упругой цилиндрической оболочки в недеформированном состоянии, которая, при обтекании ее плоским потоком жидкости по заданной схеме, принимала бы необходимую форму.
В статье [108] В.Э.Магула предложил несколько иной, нежели описанный выше, подход к решению задачи раскроя. В соответствии с расчетной схемой книги [107], где не вводится понятия начальной внешней формы и перемещений, он указал на возможность разбить разрешающую систему на три группы самостоятельных уравнений, допускающих последовательное решение, что невозможно сделать при решении прямой задачи.
В данной главе приведена общая постановка задачи раскроя мягких оболочек произвольной геометрии и выписаны определяющие соотношения для одноосных зон на базе теоретических разработок К.Ф.Черных [152-155].
Постановка задачи раскроя симметрично деформируемой мягкой оболочки вращения
Отметим, что полученные выше соотношения справедливы только в двухосных зонах. Выпишем соотношения для определения геометрии недеформированной срединной поверхности одноосной зоны. Так, согласно (3.1), (2.4)j и (2.1) и,поскольку СЦ2 = О у из выражений (3.3), (3.4) следует diz = О . Таким образом, материальные координатные линии являются главными /и ортогональными/ для тензора деформации. При этом, согласно соотношениям (1.8) и (3.6), из (3.3) находятся кратности удлинения А инварианты А и Ь , согласно равенствам (3.2) и (3.6), определяются из системы нелинейных алгебраических уравнений Для неогуковского закона выражения (3.7), (3.8) согласно (3.5) принимают вид Исключение отсюда А приводит к кубическому уравнению для определения b
Независимо от того, будет ли величина у ,h ГсГ отрицательной или положительной, число перемен знака в ряду коэффициентов полученного уравнения равно единице. Поэтому из правила знаков Декарта [15] следует, что разрешающее кубическое уравнение для неогуковского закона имеет в одноосной зоне единственное, причем положительное, решение.
Итак, для того чтобы найти раскройную форму,необходимо прежде всего задаться видом упругого потенциала на срединной поверхности и разрешить систему линейных дифференциальных уравнений равновесия относительно а Т . Тогда, зная систему нагрузок и геометрию деформированной оболочки, можно найти раскройную форму из решения системы уравнений (3.2) -(3.4) или (3.8), (3.7), (3.4) в зависимости от того,в каком напряженно-деформированном состоянии находится оболочка -двухосном или одноосном, соответственно.
Разрешающая система уравнений приобретает особо простой вид,когда свойства материала можно описать неогуковским законом. В этом случае основное разрешающее соотношение представляется в виде кубического уравнения,которое имеет по меньшей мере один положительный вещественный корень, причем для одноосной зоны этот корень единственный.
На основе общих соотношений, полученных в предыдущей главе, рассматривается задача раскроя для симметрично деформируемых оболочек вращения. Введение в рассмотрение двухпа-раметрического семейства оболочек вращения и двухконстантно-го упругого потенциала позволило, во-первых, свести систему нелинейных /разрешающих/ алгебраических уравнений задачи раскроя к кубическому уравнению, для которого показывается существование решения и его единственность, во-вторых, проследить "механизм взаимодействия" двух- и одноосной зон и выяснить особенности задачи раскроя мягкой оболочки при наличии одноосных зон, в-третьих.
Наиболее просто осуществить раскрой мягких оболочек из плоских заготовок. Поэтому в 9 рассматривается задача раскроя эллиптических оболочек из плоской мембраны переменной толщины. В И рассматривается задача о раскрое равнонапряженных мягких оболочек вращения.
Раскрой двухосной эллиптической оболочки из плоской мембраны
Заметим, что в двухосной зоне все коэффициенты кубического уравнения (7.1)j /за исключением первого/ отрицательны. Следовательно7 знаки коэффициентов уравнения (7.1)у меняются всего один раз. Тогда по правилу Декарта [15] рассматриваемое уравнение имеет единственный, причем положительный корень. Тем самым для двухпараметрического семейства упругих потенциалов показана единственность решения задачи раскроя симметрично деформируемой двухосной оболочки вращения.
Единственный положительный корень кубического уравнения (7.1)j легко отыскать по формулам Кордано, но, по причине хорошего програмного обеспечения, в численных расчетах применялся более удобный итерационный метод Ньютона.
Минимум кубической функции (7.1)j достигается в точке Поэтому в качестве начального приближения выбиралось значение » 3)e . Некоторые результаты расчетов для случая замкнутой оболочки семейства (6.1), выполненной из материала с п =2,г\=4 представлены на рисунках 7.1-7.6. Так, на рис.7.1-7.3 приведено распределение кратностей удлинения и относительного изменения толщины раскройной формы эллиптических оболочек вдоль меридиана для = - о, вг f « о, 2. и = -9 соответственно. Из рис.7.I видно, что максимальное растяжение происходит на краю оболочки и Л г /11 , что и было предсказано в предыдущем параграфе. Для оболочек с о , Л, /\ г у и если к тому же j о, 5 , то Л г -I . Причем для оболочек близких к сферической максимальное растяжение меридиана происходит в полюсе /см., например, рис.7.2 для у - о, z /. Но для более вытянутых оболочек картина распределения кратностей удлинения вдоль меридиана качественно изменяется. Так, из рис.7.3 следует, что для оболочки с 1 - о,9 максимальное растяжение меридиана будет происходить не в полюсе, а с краю /на котором \х л /.То есть на краю происходит растяжение оболочки в меридиональном направлении и поджатие - в радиальном, при этом оба главных напряжения остаются положительными. На рис.7.4-7.б сплошными линиями нанесены раскройные формы оболочек с h = const и n = г при # = -0,5 , $ - 0,2. и = о, 3 соответственно. Усматривается характерное для достаточно вытянутых оболочек свойство - укорочение при раздувании. На рис.7.7 приведены раскройные формы вращения,из которых при различном внутреннем давлении о получается эллиптическая оболочка семейства (бЛ) с #= 0,5, выполненная из неогуковского материала /кривая I/. Из этого рисунка видно, что чем больше значение внутреннего давления о, /а тем самым и ст при неизменных остальных параметрах оболочки/, тем больше раскройная форма отличается от нагруженной. При этом для оболочек с J о область в районе полюса как бы уплощается или стремиться к плоскости /рис.7.7/. G увеличением (5 наступает такой момент, когда кратности удлинения Д, и )г , полученные из соотношений (7.1) - (7.2), не удовлетворяют условию (5.7). Это означает, что при таком значении равномерного внутреннего давления а из осесимме-тричных оболочек вращения уже нельзя получить заданную эллиптическую оболочку постоянной толщины. Как было показано в 5, раскройная форма существует в классе осесимметричных оболочек вращения, если В полюсе же оболочки Y"()= -\ . Поэтому если у ( s) становится возрастающей в окрестности полюса, то поставленная задача раскроя не будет иметь решения. Разлагая функцию ty о в ряд по степеням s , можно увидеть как ведут себя коэффициенты разложения в зависимости от параметров О и "J В дальнейшем все величины,отнесенные к полюсу оболочки, поме о чаются нижним значком По правилу дифференцирования сложной функции і Л- т У - а Л" ґ + МлУт,) л В полученной системе коэффициенты при А , и At определяются из закона упругости, а левая часть - из уравнений равновесия.
Метод коллокаций в задаче обтекания цилиндрической пневмооболочки
Докажем непрерывность функции (9.6). Для зтого необходимо показать, что величина не обращается в нуль в области G- . Как было отмечено в б, величина, стоящая под знаком радикала,заведомо положительна при «V О. 5 . Следовательно Д О и нигде не обращается в нуль при V О. 5 , что и доказывает непрерывность функции f (Лі, ft) . Легко видеть, что непрерывная на замкнутом ограниченном множестве С- функция является ограниченной на G- . Как известно, условие Липшица выполняется когда -f (AZ,S) обладает непрерывной и ограниченной в G- производной по Аг . Произведя дифференцирование, получим некоторые дробные выражения, знаменателем которых являются величины Д или При 0.5 величина к у sin1 у (і - у5іп Ц)) і, при этом Лі А .Но тогда Дч О и нигде не обращается в нуль при # о. 5 . Тем самым показана непрерывность производной функции (9,6) на G- при f 0.5 .Но, следовательно, показана и ограниченность - (Аг, s) на замкнутом ограниченном множестве G- . Таким образом, в области G- задача Коши (9.5), (9.6) имеет единственное решение. Рассмотрим частный случай, когда деформированная оболочка является сферой /для нее в выражении (6.1) у = О /. Поскольку для изотропной сферы при осесимметричной деформации Решением полученного уравнения является квадратура В приведенных численных расчетах задача Коши (9.5), (9.6) решалась методом Рунге - Кутта четвертого порядка. Этот метод предназначен для аппроксимации методов, основанных на рядах Тейлора, но без явного вычисления производных /за исключением первой/. Указанный метод выражается формулой где т.е. на каждом шаге п. требуется четыре вычисления функции (9.6). В расчетах величина шага «t принималась постоянной /равной 0.01/. Составленный алгоритм реализован на языке PL/ \ для SBM серии ЕС. В качестве примера были проведены численные расчеты таких оболочек, у которых в полюсе Хг - А0 = 3 . Напомним, что в основу расчета положен закон упругости (4.14) . Для того, чтобы при одном и том же Qyj \JU ИЗ разных плоских мембран получить одну и ту же эллиптическую оболочку, необходимо знать, какое распределение толщины должна иметь раскройная форма. На рис..9.1 отражено влияние материала на распределение .о толщин К , а на рис.9.2 - отвечающее ему распределение кратности удлинения для мягкой эллиптической оболочки с параметром = О. 5 .
Как видно из представленных рисунков, для того, чтобы получить оболочку с у - 0.5 из мембраны при малых параметрах л , необходимо задавать плавное распределение толщины, величина которого убывает от полюса к краю. При этом в процессе деформации максимальное растяжение в меридиональном направлении происходит возле края, а в широтном - в полюсе. Если же мембрана выполнена из материала с большим параметром л , то, как это следует из рис9.2, распределение толщины необходимо задавать иным образом: наиболее тонкой частю раскройной формы следует сделать не край /как в случае малых л /, а область,находящуюся на некотором удалении от последнего. При этом максимальное растяжение в меридиональном направлении также наблюдается на некотором удалении от края.
Если необходимо получить эллиптическую оболочку из мембраны с большим параметром л , то растяжения в процессе деформации последней будут меньше, нежели в том случае,когда берется материал с малым параметром л .
