Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 7
ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ СТАТИКИ ПРИ КОМБИНАЦИИ ПЛОСКОЙ И АНТИПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИЙ 17
1.1. КОМБИНАЦИЯ ПЛОСКОЙ И АНТИПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИЙ В НЕСЖИМАЕМОМ МАТЕРИАЛЕ 17
1.1.1. Уравнения равновесия в перемещениях 20
1.1.2. Нелинейный эффект взаимодействия плоской и антиплоской составляющих деформации 25
1.2. ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА 28
1.2.1. Формулировка граничных задач 30
1.2.2. Ограничения на граничные условия в первой и второй граничных задачах 34
1.2.3. Влияние потенциала энергии деформации 36
1.3. ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ИСКЛЮЧЕНИЕ УСЛОВИЯ НЕСЖИМАЕМОСТИ 37
1.3.2. Постановка граничных задач 44
1.3.3. Нелинейный эффект взаимодействия плоской и антиплоской составляющих деформации в рамках эффектов второго порядка 46
1.4. СРАВНЕНИЕ РЕШЕНИЙ В РАМКАХ ЭФФЕКТОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА С НЕКОТОРЫМИ ИЗВЕСТНЫМИ РЕШЕНИЯМИ В ТОЧНОЙ ПОСТАНОВКЕ 49
1.4.1. Осесимметричные задачи. Универсальные деформации 49 1.4.2. Универсальные однородные деформации в декартовом базисе. 62
1.4.3. Антиплоская деформация 64
1.4.4. Плоская деформация 70
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 75
ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ЭФФЕКТОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА 77
2.1. ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 77
2.1.1. Описание эффектов первого и второго порядка с помощью
комплексных потенциалов 79
2.2. СТЕПЕНЬ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ 86
2.2.1. Задача в перемещениях 86
2.2.2. Задача в напряжениях 89
2.2.3. Физический смысл постоянных в представлении потенциалов. 91
2.2.4 Нелинейный эффект возникновения плоской деформации под
действием антиплоской в терминах комплексных потенциалов 94
2.3. СВЕДЕНИЕ ОСНОВНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ К ГРАНИЧНЫМ ЗАДАЧАМ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 96
2.3.1. Граничная задача в перемещениях 96 2.3.2. Граничная задача в напряжениях 98
2.3.3. Применение конформных отображений для тел, ограниченных одним гладким контуром 102
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 109
ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ ДЛЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ДВУСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ. ПРИЛОЖЕНИЕ К РАСЧЕТУ РЕЗИНОМЕТАЛЛИЧЕСКИХ ШАРНИРОВ ПО
3.1. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ ДЛЯ КОЛЬЦЕВЫХ ОБЛАСТЕЙ, ОГРАНИЧЕННЫХ КОНЦЕНТРИЧЕСКИМИ ОКРУЖНОСТЯМИ 111
3.1.1. Сведение функциональных уравнений к бесконечным системам алгебраических уравнений для задач в перемещениях 111
3.1.2. Интегральные характеристики напряженного состояния 118
3.2. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ НДС
РЕЗИНОМЕТАЛЛИЧЕСКИХ ШАРНИРОВ 120
3.2.1, Постановка задачи 120
3.2.2. Комбинированный шарнир 123
ГЛАВА 4. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ В НАПРЯЖЕНИЯХ ДЛЯ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ДВУСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ТИПА КОШИ 134
4.1. ПРИВЕДЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЗАДАЧИ В НАПРЯЖЕНИЯХ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛА ТИПА КОШИ 134
4.2.0ПИСАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 146
4.3. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ВНЕПШОСТИ НЕКОТОРЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ НА ВНЕШНОСТЬ КРУГА 150
4.3.1. Отверстие в виде правильного многоугольника 152
4.3.2. Отверстие в виде прямоугольника 154
4.4. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ПЛОСКИХ ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ АНТИПЛОСКОЙ ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКИ 156
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 162
ГЛАВА 5. ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ИССЛЕДОВАНИИ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ ОКОЛО ОТВЕРСТИЯ 163
5.1. КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ОКОЛО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОТВЕРСТИЯ 165
5.1.1. Комплексные потенциалы 165
5.1.2. Всестороннее растяжение-сжатие на бесконечности 166
5.1.3. Одноосное растяжение-сжатие на бесконечности под углом а. 169
5.1.4. Сдвиг на бесконечности под углом а 180
5.2. КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНОГО ОТВЕРСТИЯ 193
5.2.1 Комплексные потенциалы 193
5.2.2 Всестороннее растяжение-сжатие на бесконечности 195
5.2.3. Одноосное растяжение-сжатие на бесконечности под углом а.
196
5.2.4. Сдвиг на бесконечности под углом а 205
5.3. КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ОКОЛО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ОТВЕРСТИЯ 213
5.3.1 Комплексные потенциалы 213
5.3.2 Всестороннее растяжение-сжатие на бесконечности 216
5.3.3 Одноосное растяжение-сжатие на бесконечности под углом а.. 216
5.3.4 Сдвиг на бесконечности под углом а 218
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 229
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 231
ЛИТЕРАТУРА 236
Введение к работе
Актуальность работы. В настоящее время резинотехнические изделия применяются практически во всех отраслях хозяйственной деятельности человека [1,5,28, И 0, 126,128, 129, J 30,133, 173]. Эксплуатация воздушного, водного;, автомобильного, железнодорожного транспорта, космических аппаратов и энергетических установок не возможна без надежных резиновых уплотнений. Все шире на транспорте применяются резинометаллические шарниры, обеспечивающие низкие шумы и виброизоляцию гусеничных движителей и других агрегатов. В строительстве, промышленности и горнодобывающей технике широко применяются резинометаллические амортизаторы, опоры, виброизоляторы, надувные пневматические конструкции, резинотканевые рукава, конвейерные ленты и эластичные емкости для жидких грузов [133]. В большинстве случаев надежность и долговечность конструкций определяется надежностью и долговечностью комплектующих резиновых изделий, несмотря на то, что их вклад в вес и стоимость конструкции обычно незначителен. Поэтому к расчету резиновых изделий предъявляются повышенные требования [133].
В области эксплуатационных нагрузок резина находится в высокоэластичном состоянии, то есть относится к эластомерам [9]. Поскольку в высокоэластичном состоянии резина является низкомодульным материалом и допускает большие эксплуатационные деформации, то для описания напряженно-деформированного состояния необходимо привлекать нелинейную теорию уп ругости, В [122] В. В. Новожиловым построена следующая классификация задач теории упругости:
1. линейные физически и геометрически;
2. нелинейные физически, но линейные геометрически;
3. линейные физически, но нелинейные геометрически;
4. нелинейные физически и геометрически.
В задачах первого типа при эксплуатационных внешних нагрузках углы поворота одного порядка малости с удлинениями и сдвигами, а последние малы в сравнении с единицей и находятся в пределах применимости закона Гука.
В задачах второго типа углы поворота одного порядка малости с удлинениями и сдвигами, которые малы в сравнении с единицей, но деформации превышают предел пропорциональности. Такой случай может быть реализован для жестких высокомодульных материалов с малым пределом пропорциональности.
В задачах третьего типа углы поворота значительно превышают удлинения и сдвиги, которые малы в сравнении с единицей, причем последние находятся в пределах действия закона Гука. Такой вариант возможен для жестких высокомодульных материалов в конструкциях, у которых один или два размера существенно меньше остальных.
В задачах четвертого типа углы поворота одного порядка малости с удлинениями и сдвигами, которые сравнимы с единицей и превосходят предел пропорциональности при эксплуатационных внешних нагрузках. С задачами по добного рода приходится сталкиваться для податливых низкомодульных материалов с малым пределом пропорциональности, к которым относятся и эластомеры. В статических задачах предполагается, что эластомер является гиперупругим материалом, то есть, существует потенциал энергии упругой деформации. Получение аналитического решения краевой задачи нелинейной теории упругости для гиперупругого материала, малодоступно для современных аналитических методов, поэтому используются упрощенные нелинейные постановки, от которых требуется одновременный учет как физической, так и геометрической нелинейности. Этому удовлетворяет итерационный метод, примененный в теории упругости Синьорини [211, 212]. В этом методе перемещения разлагаются в абсолютно сходящиеся ряды по степеням некоторого параметра. Решение задачи сводится к последовательному решению линейных граничных задач, причем первая соответствует линейной теории упругости, а в последующих появляются дополнительные объемные и поверхностные силы, связанные с решениями предыдущих задач. Из представления решения, в виде абсолютно сходящегося ряда, следует единственность решения граничной задачи [36], поэтому этот метод применим только к задачам, для которых решение единственно. Учет членов третьей и более высоких степеней проблематичен в связи с большими техническими трудностями [108]. Ограничиваясь двумя членами разложения, получаем постановку нелинейных задач теории упругости в форме эффектов второго порядка. По аналогии с линейной теорией упругости теория в рамках эффектов второго порядка для краткости в дальнейшем называется квадратичной теорией.
С высокой эластичностью связана проблема возникновения таких полей напряжений и деформаций в упругих элементах конструкций, которые экспериментально обнаруживаются, но не описываются линейной теорией упругости. Это так называемые нелинейные эффекты. В частности к таким эффектам относится возникновение плоских полей напряжений под действием антиплоского сдвига или плоских полей перемещений под действием антиплоских касательных напряжений. В линейной теории упругости под действием таких внешних факторов возникает только антигаюская деформация. В нелинейной теории, в общем случае возникает комбинация плоской и антиплоской деформаций. Эти эффекты можно описать квадратичной теорией в рамках эффектов второго порядка [36,108,159,162,160].
Третьей, сугубо внутренней, проблемой, связанной с расчетом резинотехнических изделий, является учет ее несжимаемости. Эксперименты Холта и Макферсона [159] показали, что вплоть до деформаций порядка 400% изменение объема находилось в пределах погрешности эксперимента. Учет малой сжимаемости необходим только при расчете тонкослойных резинометалличе-ских изделий [154]. В отличие от сжимаемых материалов в несжимаемых материалах напряжения не определяются деформациями, по ним напряженное состояние находится только с точностью до гидростатического давления. Вместе с тем условие несжимаемости несет дополнительную информацию о геометрии
деформирования, причем прибавляет ли эта информация трудностей в решении или уменьшает их зависит от того, в какой форме условие несжимаемости учитывается. Само по себе уравнение несжимаемости увеличивает количество уравнений в системе на одно уравнение, что усложняет задачу. Оно так же увеличивает размерность задачи (на одну независимую переменную) в вариационных методах при учете его с помощью множителей Лагранжа. В численных реализациях обнаружено, что для совместности уравнений Эйлера необходимо, чтобы порядок аппроксимации гидростатического давления был ниже порядка аппроксимации перемещений [101]. Это относится как к методам Рица и Канторовича, так и к методу конечных элементов [26, 27]. Такая ситуация трактуется как некорректность постановки задачи с множителем Лагранжа [31]. Усложнение задачи существует и при аналитических решениях в рамках плоской деформации статических задач нелинейной теории упругости с помощью разложений полей перемещений и напряжений в степенные ряды по малому параметру. Уравнения равновесия в перемещениях и условия их интегрируемости оказываются линейными для каждого члена разложения вектора перемещений, тогда как члены разложения условия несжимаемости становятся нелинейными, начиная со второго, и не разрешаются комплексными потенциалами Колосова -Мусхелишвили [57]. Упрощение постановки возможно, если каким то образом описать класс преобразований отсчетной конфигурации в текущую, сохраняющих объем, и искать решение в рамках этих преобразований. При этом количество неизвестных уменьшается, и априорная геометрическая информация учи тывается в полном объеме. Методы, основанные на таких преобразованиях, можно назвать изохорическими. Существует и другой подход, развиваемый в работах Зубова Л.М. и его учеников [63]. В этом подходе уравнения равновесия формулируются в напряжениях, а зависимости напряжений от деформаций обращаются. При этом выражения для тензора-градиента через тензор напряжений Пиолы получаются в радикалах, и тонким моментом является установление единственности этого представления [65].
Таким образом, актуальной является разработка изохорического аналитического метода решения статических задач квадратичной теории упругости, при котором условие несжимаемости удовлетворяется автоматически, пригодного для описания комбинации плоской и антиплоской деформаций.
Цель работы и задачи исследования. Целью настоящей работы является разработка изохорического метода решения статических задач квадратичной теории упругости пригодного для описания комбинации плоской и антиплоской деформаций. Применения этого метода для описания возникновения плоских полей при антиплоской внешней нагрузке и для исследования нелинейных эффектов в напряженно - деформированном состоянии резинометаллических шарниров и концентрации напряжений около отверстий. Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
I. Для плоской составляющей деформации разработать изохорический метод описания перемещений, удовлетворяющих условию несжимаемости при больших деформациях (антиплоская составляющая сохраняет объем).
2. Получить вариант изохорического метода в рамках квадратичной теории упругости, описывающий комбинацию плоской и антиплоской деформаций.
3. Исследовать нелинейные эффекты взаимодействия плоской и антиплоской составляющих деформации.
4. Провести сравнение известных точных решений с решениями в рамках разработанного метода,
5. Применить полученный аппарат к расчету резинометаллических шарниров и исследовать нелинейные эффекты влияния кручения и обжатия при запрессовке на жесткость при радиальном сдвиге.
6. Применить полученный аппарат к расчету концентрации напряжений около отверстий и исследовать нелинейные эффекты влияния внешней нагрузки на коэффициенты концентрации.
Автор защищает следующие результаты. 1. Изохорический метод решения статических задач квадратичной теории упругости пригодный для описания комбинации плоской и антиплоской деформаций, в рамках которого ключевыми являются:
• представление перемещений при плоских конечных деформациях, сохраняющих объем, в виде степенного ряда по малому параметру;
• построение квадратичной модели нелинейной теории упругости (эффектов второго порядка) на базе разработанного представления перемещений в рамках комбинации плоской и антиплоской деформации.
2. Точное аналитическое решение в рамках квадратичной теории задачи в перемещениях для области, ограниченной концентрическими окружностями и его приложение к расчету напряженно деформированного состояния комбинированных резинометаллических шарниров при совместном действии кручения, осевого и радиального сдвигов. Описание нелинейного эффекта влияния кручения и осадки при запрессовке на жесткость при радиальном сдвиге.
3. Точные аналитические решения, в рамках квадратичной теории, задачи в напряжениях для бесконечных областей с отверстием в виде эллипса, треугольника и прямоугольника. Новые расчетные формулы для коэффициентов концентрации при разных внешних усилиях.
Методика исследования базируется на использовании методов симплек-тический геометрии для описания перемещений, сохраняющих объем при плоской деформации, тензорного анализа, методов теории функций комплексной переменной, методов компьютерной математики (пакет Maple) для выполнения громоздких аналитических выкладок.
Достоверность представления изохорических перемещений в виде степенного ряда по малому параметру ц допускает прямую проверку для любой п-ной частичной суммы выполнения условия несжимаемости с точностью до т 1 • Корректность квадратичной модели теории упругости проверялась сравнением решений в рамках згой модели с решениями в точной постановке. Достовер ность аналитических решений, полученных в среде Maple, проверялась путем сравнения с решениями классической линейной теории.
Научная новизна заключается в следующих положениях:
1. представлении преобразования отсчетной конфигурации в текущую, сохраняющего объем при плоской деформации, в виде потока, порожденного га-мильтоновым векторным полем;
2. построении квадратичной модели нелинейной упругости (эффектов второго порядка) на базе нового представления преобразования отсчетной конфигурации;
3. получении аналитических решений граничных задач в перемещениях при совместном действии плоской и антиплоской деформаций в рамках новой модели квадратичной теории упругости;
4. математическом описании влияния кручения и осадки при запрессовке на жесткость при радиальном сдвиге комбинированного резинометаллического шарнира;
5. представлении новых расчетных формул для коэффициента концентрации напряжений около отверстий при плоском деформированном состоянии, в рамках квадратичной теории упругости.
Практическая ценность заключается в получении с помощью нового метода точных решений нелинейных задач статики эластомеров при совместном действии плоской и антиплоской деформаций в рамках квадратичной теории упругости. С помощью этих решений получены выражения для коэффици ентов концентрации напряжений около отверстии, учитывающие зависимость от внешней нагрузки, описана зависимость жесткости радиального сдвига от кручения и осадки при запрессовке в резинометаллических шарнирах, получены расчетные формулы для плоской составляющей поля напряжений, возникающей при антиплоской деформации и не учитываемой линейной теорией. Эти решения могут служить и в качестве тестовых при создании численных методов.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научных семинарах кафедры теории упругости Ростовского государственного университета, кафедры прикладной математики Волгоградского государственного технического университета и кафедры математического анализа Волгоградского государственного педагогического университета, а так же на 2 всероссийских и 5 международных конференциях. Получено два акта внедрения результатов диссертации на предприятиях ОАО "ОРГЭНЕРГОНЕФТЬ" и ООО ТАЗЭНЕРГОМОНТАЖ".
Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 печатных работ и одна монография.
Структура и объем работы. Диссертация содержит введение, пять глав, заключение и список литературы. Общий объем работы 259 страниц.
