Содержание к диссертации
Введение
Математическая формулировка задач осесимметрйчной дезовшщи оболочек вращения
1 Нелинейные уравнения моментной теории осесимметричного изгиба тонких оболочек вращения из эластомеров 15
2. Нзлинейные уравнения безмоментной теории осесимметричной деформации тонких оболочек вращения из эластомеров 28
3, Формулировка в векторном виде граничных одномерных задач для уравнений
ГЛАВА II. Метод численного решения задач главы
4. Построение решения одномерных нелинейных граничных задач на основе сочетания метода продолжения по числовому параметру и итерационного метода линеаризации 40
5. Применение метода линеаризации Ньютона-Канторовича к нелинейной одномерной краевой задаче 3 54
б. Метод ортогональной прогонки и особенности его при менения к одномерным краевым задачам метода линеари зации Ньютона-Канторовича .63
ГЛАВА III. Численное нжние некоторых задач статики тонких осесимметричных (волочек вращения из эластомеров
7. Осесимметричное выворачивание сферических оболочек из эластомеров равномерным внешним давлением. 46
8. Выворачивание сферических оболочек при наличии односторонних ограничений (сферический вытеснитель).
9. Шрекатывающаяся мембрана 22
ГЛАВА ІV. Большие деформации
10. Вариационное уравнение Лагранжа для закрепленной по контуру безмоментной оболочки 140
II. Плоская мембрана в прямоугольной системе координат 147
Заключение 157
Литература
- Нзлинейные уравнения безмоментной теории осесимметричной деформации тонких оболочек вращения из эластомеров
- Применение метода линеаризации Ньютона-Канторовича к нелинейной одномерной краевой задаче 3
- Выворачивание сферических оболочек при наличии односторонних ограничений (сферический вытеснитель).
- Плоская мембрана в прямоугольной системе координат
Введение к работе
Настоящая работа посвящена постановке и решению ряда практически важных задач нелинейной теории тонких оболочек из эластомеров. В настоящее время тонкие оболочки из эластомеров широко применяются в качестве элементов конструкций в судостроении, автомобилестроении, авиа и ракетостроении, вагоностроении, химическом машиностроении, медицинской технике. Дальнейшее развитие этих отраслей современной техники требует совершенствования существующих и создания новых более эффективных методов расчета, позволяющих выявить и использовать резервы прочности и долговечности тонкостенных оболочечных конструкций из эластомеров.
Условия работы многих оболочечных конструкций из эластомеров таковы, что перемещения могут превышать исходные размеры, а деформации достигать 100-300$. Это приводит к необходимости использования теорий, которые учитывают как большие перемещения, углы поворота и деформации (геометрическая нелинейность), так и нелинейный характер зависимости напряжений от деформаций (физическая нелинейность).
Вопросам построения нелинейных уравнений теории оболочек и численного решения соответствующих нелинейных краевых задач посвящено большое число публикаций как в отечественной, так и в зарубежной литературе. Приводимый ниже краткий обзор касается, в основном, работ, в которых рассматриваются достаточно общие постановка задачи и численный алгоритм решения.
Внвод общих двумерных геометрически нелинейных уравнений теории тонких оболочек, базирующихся на гипотезах Кирхгофа -Л ява содержится, например, в монографиях Л ява [_70j, В.В.Новожилова [78] , Х.Н.%штари и К.З.Галимова [і б] , В.З.Власова [id] ,
- б -
А.С.Вольмира [2Q>] , в статье Л. А .Шаповалов а /"іІ4/ и др. Уравнения общей физически нелинейной теории (упруго-нластический материал) строились в работах А.А.Ильюшина [*5] , Г.Каудерера /"52/
Особо выделим используемую в настоящей работе нелинейную теорию тонких оболочек из эластомеров, построенную К.Ф.Черных Г10^,106J . Отметим три характерные особенности предложенного варианта теории. Это, прежде всего, используется модифицированная гипотеза Кирхгофа, позволяющая без повышения порядка разрешающей системы уравнений учесть существенное для оболочек из эластомеров деформационное утонение. Далее, применяется двойной тензор напряжений, что позволяет одновременно использовать преимущества материальных координат как в недеформированной, так и в деформированной конфигурациях* Наконец, принимается линейный закон распределения напряжений по толщине, что значительно упрощает связь между усилиями-моментами и компонентами деформации срединной поверхности.
При исследовании отдельных классов нелинейных оболочечных задач разрешающие системы уравнений, в принципе нет рудно получить из имеющихся общих двумерных уравнений нелинейной теории оболочек. Однако довольно часто вывод разрешающей системы проводится непосредственно для рассматриваемого класса задач, что позволяет быстрее и проще получить искомые уравнения, зачастую при меньших допущениях.
Например, для случая осесимметричной деформации оболочек вращения геометрически нелинейные уравнения при произвольных перемещениях и углах поворота, кроме первых в этой серии работ Э.Рейсснера ^" 131,132/ , строились также в работах Н.А.Алумяэ /"2/, Н.В.Валишвили /"і5_/, В.Ф.Терентьева /*87_7 ; для сферичес-
ких оболочек - в работах И.И.Воровича и Н.И.Минаковой /~24_/ , В.И.Феодосьева [ 97] ; для пологих оболочек - в работах В.И.Фео-досьева [ 95] , Н.В.Валишвили [ 15] и др. авторов» Уравнения, в которых учитывалась лишь физическая нелинейность процесса упругой деформации материала оболочки (упруго-пластический материал), содержатся в работах И.А.Биргера [ 9] , Г.Каудерера / 52j , И.А.Цур-пала [ 100] и др. Совместный учет указанных нелинейностей проводился в работах Н.А»Алумяэ /*2j, Й.И.ВороЕича и Н.И.Минаковой [25J , А.А.Курдюмова [вч] , С.С.Прасниковой [Q5J , В.Ф.Теренть-ева [ 88,89_/ , А.С.Кдина [ Ив] и др.
Геометрически и физически нелинейные уравнения безмоментной теории оболочек (мембран) рассматриваются в работах С.А.Алексеева [і] , В.Л.Бидермана [ Q] (малые деформации), А.С.Григорьева [ЪЪ] W.H. Yanfy,K.H.Hsu /"1407 . В.И.Усюкина /~9з7и др. авторов. В последней работе получена наиболее общая система уравнений, справедливая при произвольной начальной геометрии, больших деформациях и перемещениях (для неогуковского материала).
Вопросы существования решения нелинейных задач теории оболочек и обоснования методов решения рассматриваются, например, в работах И.И.Воровича /"227» Н.Ф.Морозова /74,1Ъ] , В.Ф.Кириченко и В.А.Крысько [%],,HB.tfeez/A.WlVof/ fl&J и др.
Классификацию применяемых численных методов решения стати -ческих задач теории оболочек можно вести по двум направлениям: по способу дискретизации исходной континуальной задачи и по методу, обеспечивающему "движение" вдоль диаграммы "нагрузка-перемещение".
Так, говоря о способах дискретизации двумерных задач;прежде всего нужно выделить метод конечных разностей /*П,31,40,60,63,
66 J и вариационные методы [Г7,49,61,63,64,73,80,84,993 в одномерных задачах отметим наиболее широко используемые методы: конечных разностей [7,11,30,51,87] , ортогональной прогонки [5, 26,27,29,51,65,983 , дискретные схемы возникающие в результате применения процедур численного интегрирования задач Коши в рамках методов типа стрельбы [5,13,15,23,32,58,59,122], в том числе с разбиением отрезка интегрирования на промежуточные отрезки, вариационные методы [23,24,90,91] .
Среди способов движения вдоль диаграммы "нагрузка-перемещение" можно выделить процедуру итерационного продолжения по параметру [ 15,58,87,96,111,112] и методику дифференцирования по параметру [23,42,94,110,111,130] , а также методики, комбинирующие эти два подхода [ 80] В рамках итерационного продолжения по параметру наиболее широко применяется метод Ньютона-Канторовича [6,16,46,50,56,87] , а также различные формы методов физической линеаризации (дополнительных нагрузок, переменных параметров упругости и др.) [8,45,51,98].
В настоящей работе для решения одномерных нелинейных краевых задач применяется метод решения,основанный на сочетании итерационного продолжения по параметру, линеаризации Ньютона-Канторовича и ортогональной прогонки. Он апробировался на большом числе задач и прежде всего на широко известной задаче об осесимметричном выворачивании сферического купола равномерным давлением. Эта задача исследовалась многими авторами [іЗ,14,15,23,2^,25,33,34,60,72, 33,96,98,100,115,124,135]. Однако еще и сейчас дискутируется вопрос о действительном значении верхней критической нагрузки для заделанного по краям сферического купола [з] . В основном, в перечисленных работах исследовались вопросы устойчивости жест-
- 8 -ких (металлических) оболочек и решение строилось в диапазоне изменения прогиба до нескольких толщин. Оболочки же из резиноподобного материала (эластомера); используемые, например, в качестве разделительных и вытеснительных диафрагм, в процессе работы испытывают значительные деформации и перемещения. Поэтому представляет практический и научный интерес исследование напряженно-деформированного состояния оболочек при значительных, порядка радиуса, перемещениях, проведенное в настоящей работе. Большие (порядка радиуса) осесимметричные прогибы существенно непологих сферических куполов из линейно-упругого материала рассматривались В.И.Фводосьевым /"977, А.В.Коровайцевым /~58,597 >Kzle.QSmam/7.
/"1277.
Использование в практике устройств, в которых оболочки из эластомеров в процессе нелинейного деформирования вступают в контакт с жесткими (металлическими) поверхностями flZj, требует разработки соответствующих методов расчета, которые позволят определить как величину зоны контакта, так и напряженно-деформированное состояние оболочки. Вопрос о возможности использования теории оболочек, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява, для решения упругих контактных задач обсуждается в монографии Э.И.Григолюка и В.М.Толкачева/~ 35 J . Указывается, что, несмотря на некорректность в определении реакций со стороны ограничивающей поверхности, напряженно-деформированное состояние теория определяет достаточно точно.
Количество публикаций, посвященных исследованию больших деформаций оболочек при наличии односторонних ограничений на перемещения, невелико С 54,71,91,ІОІ,109,ІІ8-І2І7 Это обстоятельство связано с тем, что ограничения вносят в систему уравнений допол-
- 9 -нительную нелинейность - так называемую, конструктивную [69] , что в значительной степени усложняет постановку и решение этих задач. Почти во всех перечисленных работах рассматриваются задачи о раздувании безмоментных оболочек (мембран) из материала Муни, вступающих в контакт с гладкой поверхностью жесткого тела. Решение, в основном, строится вариационными методами, в частности, методами нелинейного программирования.
Большие прогибы квадратной безмоментной оболочки (мембраны) из неогуковского материала исследовались в работах W.n.Y&tl&j
С М. - [1393 и В.И.Кузнецова, А.С.Стрекозова [66] методом конечных разностей. Отметим также работы А.С.Григорьева, В.М.Трушиной, В.А.Шадрина 39,403 , где рассматриваются большие прогибы прямоугольных мембран из линейно-упругого материала. Представляет практический интерес разработка метода и алгоритма расчета прямоугольных мембран, не зависящего от выбора потенциала, описывающего упругие свойства материала.
В настоящей работе для исследования больших прогибов прямо-угольных мембран используется метод Бубнова. Целесообразность и эффективность применения вариационных методов и, в частности, метода Бубнова для решения нелинейных двумерных задач теории пластин и оболочек подтверждается работами В.А.Крысько 63,64] и его учеников. В работе 63] на ряде задач показано преимущество (в смысле затрат времени ЭВМ) вариационных методов перед методом конечных разностей.
На защиту выносится: постановка и решение ряда новых практически важных задач нелинейной теории осесимметрич-ных оболочек из эластомеров, в том числе при наличии односторонних жестких ограничений на перемещения (сферический вытеснитель, пере-
- 10 -катывающаяся мембрана) ; разработка общего вычислительного подхода к решению одномерных нелинейных краевых задач на основе метода ортогональной прогонки и создание универсального алгоритма решения указанных задач; создание метода расчета прямоугольных мембран для широкого класса упругих потенциалов.
Научная новизна работы. Даны постанов- ка и решение новых практически важных задач деформирования оболочек из эластомеров при наличии односторонних ограничений на перемещения. Построены полные диаграммы "нагрузка-перемещение" для случая выворачивания существенно непологих сферических сегментов внешним давлением. Исследовано влияние упругих свойств материала на поведение квадратной мембраны, нагруженной равномерным давлением.
Достоверность основных научных положений и полученных результатов обеспечивается строгостью постановки задачи; сопоставлением части результатов численного решения с результатами, полученными другими авторами,
Ира к тич еска я це нность. Полученные ре
зультаты имеют теоретическое и прикладное значение. В настоящее
время результаты диссертационной работы используются при оценке
прочности перекатывающихся и разделительных мембран в Ленинград
ском филиале научно-исследовательского института резиновой промыш
ленности. _
Апробация работы. Содержание диссертационной работы было доложено по частям: на Ш и ІУ Всесоюзных школах-симпозиумах по механике деформируемого твердого тела (Куйбышев, 1976,1977), на I научно-технической конференции по методам расчета изделий из высокоэластичных материалов (Рига, 1977), на Ш и ІУ
- II -
выездных сессиях научного совета по проблемам прочности и пластичности АН СССР и секции механики, математики и астрономии Минвуза СССР по "термовязкоупругости эластомеров" (Краснодар, 1980, 1982), на Всесоюзной конференции по нелинейным задачам теории пластин и оболочек (Саратов, I98X), на Всесоюзном симпозиуме "Актуальные проблемы нелинейной теории упругости" (Ленинград, 1982), на научно-технической конференции Московского автомеханического института, посвященной 60-летию образования СССР (Москеэ, 1982), на ХШ Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек (Таллин, 1983), на 7-ой Дальневосточной конференции по мягким оболочкам (Владивосток, 1983), на конференции "Разработка и внедрение конструкций из эластичных материалов в народном хозяйстве" (Севастополь, 1934), на семинаре Ленинградского государственного университета по численным методам в механике сплошной среды под руководством профессоров Н.Ф.Морозова, Е.П.Товстика, К.Ф.Черных.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях и тезисах докладов [47,141-149} . В совместных публикациях соавторам принадлежат следующие результаты и положения. В работе [47] К.Ф.Черных принадлежит используемая при расчетах нелинейная теория тонких оболочек из эластомеров; Е.П.Колпаку - результаты расчета арочного амортизатора и расчет квадратной мембраны методом сеток; С.С.Прасниковой - результаты расчета конического амортизатора ; К.М,Кылытчанову - результаты решения задачи раскроя мягких оболочек и задачи о безотрывном обтекании мягкой цилиндрической оболочки несжимаемой жидкостью. В работах [145,149] В.Ф.Терентьеву принадлежит: классификация ситуаций, встречающихся при итерационном продолжении по параметру в нелинейных одномерных задачах; общие алгоритмы обхода предельных точек и перехода на би-
-Бифуркационные ветви; решение классических задач об эластиках прямолинейных стержней. В работе [146] В.Ф.Терентьеву принадлежит идея о замене жестких ограничений упругим односторонним основанием винклеровского типа, В работе [147] К.Ф.Черных принадлежит система нелинейных уравнений осесимметричной деформации оболочек вращения из эластомеров, идея постановки условия (8.5) в точке отрыва сферической оболочки от поверхности ограничения. В работе [148] М.В,Вакориной принадлежат физические модели задач о мембранных перегородках, результаты экспериментов; В.Ф.Терентьеву - формулировка системы безмоментных уравнений осесимметричных мембран вращения; А.П.Господарикову - конкретизация постановки, получение и анализ результатов на основе сеточного метода для плоских и кольцевых мембран вращения.
В первой главе диссертации дана общая математическая постановка в единой векторной форме одномерных краевых задач по определению осесимметричного напряженно-деформированного состояния оболочек вращения из несжимаемого нелинейно-упругого материала. Построение системы нелинейных моментных уравнений ( I) основано на гипотезах тонких оболочек Кирхгофа-Лява, модифицированных на случай больших деформаций. В 2 приведены нелинейные уравнения безмоментной теории осесимметрично-деформируемых оболочек вращения.
Во второй главе изложен метод численного решения одномерных нелинейных краевых задач. В 4 дана общая формулировка метода продолжения по параметру. Обсуждаются вопросы, связанные с итерационным продолжением по параметру на основе метода линеаризации, и приемы смены параметра в окрестности предельной точки. В 5 построен общий вид матриц и векторов метода линеари-
- ІЗ -
зации Ньютона-Канторовича. Конкретизируются аналитические формулы для матрицы Якоби от вектор-функций определяющих уравнений 1-2. В б изложен метод ортогональной прогонки, предназначенный для решения возникающей последовательности линейных двуточечных краевых задач метода линеаризации. Здесь же описан общий алгоритм решения двуточечной нелинейной краевой задачи для системы дифференциальных и ассоциированной с ней системы трансцендентных уравнений. Рассмотрены специальные приемы, позволяющие значительно повысить точность вычислений без существенного увеличения затрат времени ЭВМ,
В третьей главе приведены полученные по составленным автором программам для ЭЦВМ серии ЕС результаты численного решения ряда нелинейных осесимметричных задач статики оболочек вращения из нелинейного несжимаемого упругого материала. В 7 рассмотрены задачи об осесимметричном выворачивании сферичес-ких сегментов с углом полураствора Э~ - (полусфера) и B^z"-" под действием равномерного внешнего давления; проведена оценка применимости гипотезы о линейном распределении напряжений по толщине, принимаемой при построении определяющих уравнений. В 8 поставлена и решена задача расчета сферической оболочки в случае осесимметричного выворачивания равномерным давлением при наличии жестких односторонних внешних ограничений на перемещения (сферический, вытеснитель). В 9 приведены постановка и решение задачи об определении напряженно-деформированного состояния мембраны, помещенной между двумя жесткими соосными цилиндрическими поверхностями (перекатывающаяся мембрана),
В четвертой главе получено вариационное уравнение Лагранжа для случая закрепленной по контуру безмоментной
оболочки из произвольного несжимаемого нелинейно-упругого материала, нагруженной равномерным давлением ( 10). В декартовой системе координат рассмотрена задача о раздувании квадратной мембраны; решение представлено в виде рядов по тригонометрическим функциям, коэффициенты которых определяются из решения трансцендентной системы уравнений (метод Бубнова), Приведены результаты расчета квадратных мембран из различных материалов ( II).
В заключении сформулированы полученные результаты.
Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения,четырех глав, заключения и списка литературы и содержит 119 страниц машинописного текста, включая 3 таблицы, и 42 рисунка. Библиография насчитывает 149 наименований.
Нзлинейные уравнения безмоментной теории осесимметричной деформации тонких оболочек вращения из эластомеров
В заключение этого параграфа отметим факт присутствия обобщенного меридионального усилия 7\ в знаменателе члена, содержащегося в правой части третьего дифференциального уравнения системы (2.3), С этим обстоятельством связаны трудности численного решения безмоментных задач: диаграмма "нагрузка-перемещение" может быть начата и продолжена здесь лишь для таких напряженно-деформированных состояний, при которых указанное усилие (за исключением окрестности точки полюса, где всегда 7J-О) строго положительно. Ясно, что присутствие такой особенности тесно связано с тем, что решение безмоментной задачи существует не при всех условиях, при которых существует решение аналогичной моментной задачи.
Сконструированные в предыдущих параграфах разрешающие моментные (1.33), (1.34) и безмоментные (2.3), (2.4) уравнения, дополненные надлежащими граничными условиями, образуют нелинейную краевую задачу на разыскание некоторой системы функций переменной d Эту одномерную двуточечную краевую задачу можно записать в следующей векторной форме, удобной для последующего изложения методики численного решения.
На промежутке [О, С J изменения независимой переменной d ищутся вектор-функции основных и дополнительных неизвестных, которые всюду внутри (О, Є) удовлетворяют системе т обыкновенных дифференциальных уравнений -f(V.W,6) (3.0 - 32 -и ассоциированных с (3.1) системе р трансцендентных уравнений J(V,W,d)=0. (з.З Граничные условия (ГУ) в рассматриваемой двуточечной нелинейной краевой задаче связывают значения Va &mV(6) и Т -іі/п VfdJ некоторой системой трансцендентных уравнений общего вида
В уравнениях (3.1)-(3.3) задаваемые вектор-функции Q, f, J) считаются непрерывными по V и W вместе с первыми производными. При этом выполняются следующие соотношения dim где символ dcmА означает размерность вектора A В частности, для системы моментных уравнений (1.33), (1.34) - /77 = 6, р = б, а для системы уравнений безмоментной теории мягких осе-симметрично растягиваемых оболочек вращения (2.3), (2.4) -/77 4, р « 3.
В 1-2 роль независимой переменной выполняла длина дуги 6f отсчитываемая вдоль меридиана срединной поверхности оболочки вращения в недеформированном состоянии. Иногда вместо координаты 3 удобнее перейти к другой независимой переменной Z 7 связанной с 6 некоторой взаимнооднозначной зависимостью (см. 8,9). В этом случае правые-и левые части системы уравнений (3.1)-(3.2) преобразуются по формулам
Как видно, векторная формулировка (ЗЛ)-(3.3) двуточечной краевой задачи, впервые данная применительно к нелинейным задачам осесимметричной деформаций ОБ в носит общий характер; в частности, она расширяет определение подобных задач по сравнению с данным в [6,112 ] , где соответствующее название употребляется для задачи с уравнениями (3.1), (3.3), т.е. при отсутствии дополнительных неизвестных W . Заметим, что к виду (3.1), (3.2) формально могут быть сведены любые системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков, в том числе, неразрешенные относительно производных. В случае безмоментных уравнений (2.3), (2.4) имеем V (V , И, К, Vu) / , я, /, Г, / , її--( , wt, и/3 ) 5 U,, 1г 7j Л, где символ ц- означает транспонирование.
В случае моментных уравнений (1.33), (1.34) W=K WBl W5l W4l WSj Wef = / /;Л; 7}; x/; Zg, Ma) Кроме вектора V (д] , в правую часть системы (3.1) входит еще вектор дополнительных переменных W (3] . Если связь между напряжениями и деформациями линейна, то система (3.2) переходит в линейную алгебраическую систему р - порядка, которая просто решается относительно компонент вектора W (6) Тогда возможно полное исключение их из правой части системы дифференциальных уравнений (3.0. Однако при учете физической нелинейности, систе ма (3.2), как правило, трансцендентна и неразрешима в явном виде относительно компонент вектора ІЛ/Ґ4) В рассматриваемом случае систем уравнений (1.33)-(1 34) и (2.3)-(2.4) все компоненты век тора кроме Jl"fr могут быть исключены из системы диффе ренциальных уравнений. Для того, чтобы убедиться в этом,достаточ но взглянуть на систему уравнений (1,35), эквивалентную (1.34).
Символически она может быть записана в виде так что W-(uP,X ) i dim I-dim f- p / Таким образом,система уравнений (3.2) применительно к задачам 1-2 имеет более простой вид (3.5), Этот факт используется в дальнейшем для повышения эффективности алгоритма решения рассматриваемых нелинейных краевых задач.
Применение метода линеаризации Ньютона-Канторовича к нелинейной одномерной краевой задаче 3
Такой алгоритм при задании начального направления движения по диаграмме позволяет не заботиться о выборе параметра продолжения при построении кривой равновесных состояний,имеющей предельные точки.
Надо сказать, что вопрос о выборе "универсального" параметра продолжения (по которому нет предельных точек) ставился давно. Еще в 1965 году И.И.Ворович и В.Ф.Зипалова 23 применительно к нелинейным системам алгебраических уравнений предложили в качестве параметра продолжения использовать длину дуги кривой деформирования. Далее эта идея была развита Е работах . лі/е 5 [ш\] и В. И. Шала шили на ПО, III] » В работе В.Г.Трошина [92] также предлагается использовать в качестве ведущего параметра величину являющуюся приращением длины дуги кривой равновесных состояний на р -ом шаге. Отметим, что такая форма продолжения, несмотря на хорошее теоретическое обоснование,имеет существенный недостаток. Дело в том, что сложение разномасштабных (и, вообще говоря, разноразмерных) величин в (4.22) из-за конечности разрядной сетки ЭЦВМ может привести к большим ошибкам и, в конечном счете, к невозможности продвижения по диаграмме.
В предыдущем параграфе изложение основывалось на привлечении метода линеаризации для уравнения с произвольным гладким оператором 6,16,46,50,55J їйссмотрим применение метода линеаризации Ньютона-Канторовича на конкретной реализации уравнения (4,1) -краевых задач вида (3,1)-(3.3) с заданными Еектор-функциями CL / f , & , а с учетом параметрической формы (4,2) или (4,13) -краевых задач вида (4,20).
Применение метода линеаризации (4,3) к краевой задаче (3,1)-(3,3) (иди с учетом параметрического задания (4,20)), т.е. построение операторов Ту и 7"g , означает переход к краевой задаче, уравнения которой тождественны соответствующим уравнениям в (3.1)-(3,3) (или (4,20)) и имеют вид
В случае метода Ньютона-Канторовича в уравнениях (5,2) Б ка честве выступают матри цы Якоби от вектор-функций J(V, W, 4), 7(V, W,4)J) (Vo,Ve) по тому векторному аргументу, который в (5,1), (5,2) стоит множителем при данной матрице; таким образом ,
Как видно, размерности этих матриц однозначно определены размерностью искомых и заданных вектор-функций, присутствующих в уравнениях краевой задачи (3,1)-(3,3) (или (4,20)), Кроме того, в (5,2) и ниже использовано сокращенное обозначение типа: для осуществления следующей итерации необходимо определить W п Соотношение для определения \4/п получается из (5,6) при определенной расстановке индексов п, /7-/ :
Такой подход требует хранения \4/ в "каждой" точке проме жутка В настоящей работе для определения \А/ по V ]/\/ 4 используется внутренний итерационный цикл по Ш при каждом/7 и в "каждой" точке \ который представляет собой метод Ньютона-Рафсона для системы нелинейных алгебраических уравнений (3.2) относительно неизвестного вектора W Действительно, подставляя в (5.Ю) выражения для г и У из (5.7) с учетом (5.5), получим
В этом случае уже нет острой необходимости хранить Еектор-функцию W f $] , используемую в качестве начального приближения V/0 (б) итерационного цикла по /77 Для построения можно, например, использовать методику продолжения по 4 : при движении (интегрировании) от д - О до 5 = и принимать за начальное приближение \А/0 Б точке 4 +& 4 уже найденное значение \А/ В точке 5 . Тогда для обеспечения итерационного процесса (5.8), (5.ГГ) достаточно хранить значения вектор-функций V 16) и W {о/ .
С учетом того, что вектор-функция j представляет собой левые части системы (3.5)итерационный процесс (5,11) принимает следующую,используемую в настоящей работе, форму
Остановимся теперь на формулах для элементов матриц Якоби от вектор функций й vi j системы безмоментных уравнений (2.3), (2.5) по искомым переменным V і V/ . Выполняя, согласно (5,3) соответствующие дифференцирования в (2.3), (2.5), получим, что для ненулевых элементов матриц
Выворачивание сферических оболочек при наличии односторонних ограничений (сферический вытеснитель).
Численная реализация рассмотренных в 4,5 различных итерационных процессов, которые соответствуют применению метода линеаризации Ньютона-Канторовича [l6,5lj к нелинейным краевым задачам вида (3.1)-(3.3), требует решения при каждой итерации линейной краевой задачи - для системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами - вида (5.3). Точное решение получаемой последовательности таких задач, обычно, невозможно, поэтому для приближенного решения с помощью ЭВМ необходимо привлечь один из приближенных методов, например, метод сеток, метод сведения к задаче Кэши или вариационный. Применяя один из указанных методов, можно исходную непрерывную краевую задачу для системы линейных дифференциальных уравнений преобразовать к дискретной задаче решения конечных систем линейных алгебраических уравнений.
Линейной краевой задачей, подлежащей численному решению, при каждом /7 = 1,2,..., является задача отыскания вектор-функции Y fd) из системы дифференциальных уравнений и граничных условий вида:
Кратко изложим применяемый в работе метод ортогональной прогонки на примере решения линейной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Определим операцию 17 ортогонализации столбцов матрицы Я Столбцы матрицы а-- и(А) обозначаем соответствен - 66 получаются из векторов CLf ССг . . ... CLX / CL0 последовательной ортогонализацией и нормировкой, причем вектор С], о не нормируется. Таким образом, последовательно получаем векторы Здесь обозначение (Ct,cJ означает скалярное произведение векторов CL и С , Выразим 2 / в соотношениях (6.9), (б. 10) через Cf- и перенесем все # в левые части; получим Эту систему соотношений можно переписать в матричной форме
Выберем векторы у. Ug ... LL U0 следующим образом. І сть у о - произвольное решение неоднородной системы в У -о a Ui ... t и% - произвольная система с линейно-не зависимых решений системы 3 У г О . Осуществим над матрицей Y ( y ft" fti У о) 0ПеРа1 ию ортогонализации.
Применив к А о (So/ операцию Д7 0 г получим матрицу Ao(Sf)zMo(A0(So)) затем получим матрицу
Далее, пользуясь равенством (6.23) при - -/,-- , О, после довательно определяем Ja ; г/ После этого, для нахождения значений в точках от резка I S S/f/J можно было бы воспользоваться формулой (6.19). Однако такой способ требует большой загрузки памяти из-за необходимости запоминать значения матриц А (-5 J я большом числе точек. С позиции экономии памяти выгоднее найти значения V ( о / и затем на каждом отрезке [ S f S 4jj решать задачи Коши с помощью какой-либо известной схемы численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Как указывалось в начале параграфа,для получений /7 -ой итерации в (6.1) необходимо иметь значения вектор-функции V fd). вообще говоря, в произвольной точке і . Для хранения значений V М J в большом количестве точек требуется большой объем памяти ЭВМ. Поэтому предлагается значения V в произволь ной точке 6 вычислять при помощи хранимых значений V (6і] в небольшом заданном числе точек, Формально это приводит к тому, что итерации по методу Ньютона-Канторовича проводятся с неточными значениями производных правых частей (матрица и ) L 5J.
Последний способ, по-видимому, впервые применен к нелинейным задачам теории оболочек автором настоящей работы. Рассмотрим этот способ более подробно. Введем вектор-функцию V(-6) определенную на / 0, и J следующим образом. На полуинтервалах [So, SJ ...j VJ6) является решением задачи Кс-ши для системы при начальных условиях определяется из уравнения методом Ньютона-Еафсона
При решении задач теории оболочек часто отыскиваемое решение достаточно плавное, за исключением окрестностей концов отрезка интегрирования (краевой эффект) [51] , в тоже время на протяжении всего отрезка интегрирования решения однородной системы (б.б) резко меняются. В результате этого даже там, где искомое решение плавное, для его получения с приемлемой точностью требуется интегрировать вспомогательные системы (6,6), (6.7) с очень мелким шагом. Чтобы избежать этого, полезно перейти к новой неизвестной вектор-функции
Плоская мембрана в прямоугольной системе координат
Обозначим через ЪСт - перемещение стержня. Чтобы результаты расчета сравнить с экспериментальными данными,будем считать, что Urn - перемещение точки мембраны,у которой 2m-rrtcnZ(6j. В мембранах, которые подвергались испытанию,замерялась толщина в 8-Ю точках по окружности и для вычислений h использовалось среднее значение. Значение линейного модуля сдвига Jif определялось как среднее значение, полученное при испытании на одноосное растяжение 5 образцов, выполненных из того же материала, что и мембрана. В результате получили JU = 14,8 кгс/см .
На рис.39 показана зависимость" давления -длина не деформированного меридиана. Величина X характеризует (приблизительно) среднее удлинение меридиана мембраны. Экспериментальные данные, полученные при раздувании трех мембран ( С = 0,008 м)? нанесены треугольниками, кружками и крестиками. Расчетные кривые построены. Наилучшее значение параметра /? с точки зрения минимума функционала
В заключение параграфа заметим, что автором диссертации было получено решение задачи о перекатывающейся мембране без использования предположения о количестве зон контакта Взаимодействие мембраны с жесткими поверхностями цилиндров моделировалось односторонним -контактом с некоторым нелинейно-упругим основанием винклеро.вского типа, очерченным в исходном состоянии по поверхности жестких цилиндров. Полагалось, что упругое основание дает нормальную распределенную реакцию г на нормальное к собственной поверхности мембраны проникновение в глубь преграды (упругого основания). Абсолютное значение ЭТОЙ реакции задавалось в виде гдеД О - величина проникновения точек мембраны в упругое основание, К - коэффициент жесткости основания. Коэффициент К подбирался достаточно большим, чтобы величина проникновения Д не превышала заданного значения.
В конечном итоге задача свелась к решению системы уравнений вида (3.1)-(3.3). Результаты проведенных расчетов практически совпали с приведенными в настоящем параграфе. Однако реализация этой, более общей, методики приводит к плохо обусловленной системе уравнений и, как следствие, требует значительно больше времени ЭВМ по сравнению с методикой?изложенной в п. Г.
В предыдущих главах рассматривались нелинейные одномерные краевые задачи. Однако требования практики приводят к необходимости рассмотрения более сложных двумерных задач теории оболочек. Одной из них является, рассмотренная в настоящей главе, задача о раздувании закрепленной по контуру прямоугольной мембраны (безмоментной оболочки).
Подавляющее большинство работ, посвященных решению двумерных нелинейных задач теории пластин и оболочек,рассматривают линейно-упругий или упруго-пластический материал при малых относительных удлинениях L 31,61,63,77,122 J . При этом часто используются упрощенные варианты теории пластин и оболочек [ 60,76,113J . Отметим работы [ 66,139J , где получено решение задачи о раздувании квадратной мембраны из неогуковского материала ( Г? = 2) методом конечных разностей на участке возрастания диаграммы равновесных состояний "даЕление-прогиб", В этих работах используются достаточно общие нелинейные уравнения безмоментной теории, которые по существу эквивалентны (при /7 = 2) полученным ниже в настоящей работе.
В отличие от метода решения одномерной краевой задачи, рассмотренного в главе П, который по существу является конечно-разностным, здесь используется вариационный метод решения. Это связано прежде всего с тем, что при увеличении размерности задачи значительно понижается эффективность реализации конечно-разностных методов на ЭВМ - увеличивается время расчета и требуется большая память ЭВМ.
Целесообразность использования вариационных методов для решения нелинейных задач теории пластин и оболочек подтверждается работами школы И.И.Воровича [22,44 J , В.А.Крысько (бЗ J и др.
Нелинейные уравнения безмоментной теории тонких оболочек из эластомеров могут быть получены как из общей теории моментных оболочек К.Ф.Черныха [ 104,106J , так и выведены непосредственно.
При выводе нелинейных урашений для случая безмоментного напряженного состояния оболочек используется модифицированная геометрическая гипотеза Кирхгофа, сформулированная в I, причем в последней своей части, как и в 2, здесь постулируется постоянство поперечной деформации по толщине. Кроме того принимается предположение о равномерности распределения напряжений по толщине. Приведем необходимые геометрические зависимости LI07J . Пусть - радиус-вектор произвольной точки оболочки, г - радиус-вектор ее проекции на срединную поверхность, П - единичный вектор ,1/2 нормали к срединной поверхности; Я,л. криволинейные координаты последней, а " - расстояние по нормали от точки до срединной поверхности
