Введение к работе
Актуальность работы. В современных условиях развития науки и техники широкое применение находят сыпучие материалы. Это обуславливает возникновение задач, связанных с нахождением напряженно-деформированного состояния сыпучих материалов. Сложность решения пространственных задач заключается в формальной незамкнутости системы уравнений, описывающей трехмерное пластическое течение материала. В данной диссертации рассматривается построение замкнутой математической модели пластического деформирования связного сыпучего материала.
В числе первых работ по математическому моделированию течения пластического материала были проведены исследования Б. Сен-Венана и М. Леви в 1870 году, в результате которых были получены соотношения для плоской деформации и уравнения в трёхмерном случае. В 1909 году А. Хаар и Т. Карман воспользовались условием полной пластичности, которое соответствует напряжённому состоянию на ребре призмы Треска. Соотношения пространственной задачи в этом случае приводят к статической определимости.
В 1944 году А.Ю. Ишлинский исследовал осесимметричную задачу при условии полной пластичности Хаара-Кармана и установил статическую определимость и гиперболичность пространственной задачи.
Д.Д.Ивлевым было установлено фундаментальное значение условия полной пластичности, а также выявлена гиперболичность, статическая определимость математической модели пластичности при условии Треска, получены уравнения характеристик и соотношений на них.
Г.И. Быковцев и Ю.М. Мяснянкин получили соотношения на поверхностях разрыва напряжений в трёхмерных идеальных жёсткопласти-ческих телах.
В работах Ю.Н. Радаева развита общая теория математической пластичности с условием пластичности Треска и обобщённым ассоциирован-
ным законом, где было проведено исследование трехмерного напряженного состояния идеальных пластических материалов.
Большое влияние на исследования в данной области оказали работы Б.Д. Аннина, А.А. Буренина, Г.И. Быковцева, Н.Д. Вервейко, В.Г. Зубча-нинова, А.А. Ильюшина, А.Ю. Ишлинского, Д.Д. Ивлева, Л.М. Качанова, В.А. Кукуджанова, Л.А. Максимовой, В.П. Мясникова, Ю.М. Мяснянкина, Л.В. Никитина, Ю.Н. Радаева, Т.Д. Семыкиной, В.В. Соколовского, Л.А. Толоконникова, Е.И. Шемякина, С.А. Христиановича и др.
Большой вклад в решение упругопластических задач устойчивости с неизвестной заранее границей раздела упругого и пластического поведения материала внесли А.Н. Спорыхин, А.И. Шашкин, А.В. Ковалев, Д.В. Гоцев.
Диссертация посвящена разработке и реализации метода аппроксимации выпуклого пространственного условия пластичности, а также построению математической модели трехмерного пластического течения связного сыпучего материала, в основе которой лежит замкнутая система уравнений.
В диссертации предлагается аппроксимировать замкнутое условие пластичности, представляющее собой эллипсоид в пространстве главных напряжений, семейством касательных плоскостей. После построения линейно независимых касательных плоскостей общее число уравнений системы, описывающей пространственное напряженное состояние, совпадает с числом неизвестных.
Цели и задачи исследования. Целью проведённой работы является разработка замкнутой математической модели расчета напряженного статически определимого состояния пластического связного сыпучего материала. Поставленная цель достигается посредством:
- преобразования условия пластичности, представляющего собой эллипсоид, в сферу в пространстве главных напряжений;
получения уравнений касательных плоскостей для пространственного условия пластичности;
построения замкнутой системы уравнений для пространственного напряженного состояния механики связных сыпучих сред;
решения конкретных задач теории связных сыпучих материалов с использованием полученных результатов путем применения конечно-разностных схем для решения задач Копій с неизвестной границей в статически определимых задачах пластического деформирования связных сыпучих материалов.
Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использованы аналитические точные методы исследования, численные методы конечных разностей, а также методы программирования на языке Python.
Положения, выносимые на защиту:
Преобразование условия пластичности типа Мизеса-Шлейхера-Соколовского, представляющего собой эллипсоид в пространстве главных напряжений, в сферу;
Построение уравнений семейства касательных плоскостей для аппроксимации пространственного условия пластичности;
Замкнутая система уравнений в напряжениях, описывающая пространственное напряженное состояние связных сыпучих материалов;
Разработка и апробация программы решения задач расчета напряженного пластического и упругопластического состояния сыпучих материалов.
Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты:
- условие пластичности типа Мизеса-Шлейхера-Соколовского пред
ставлено в виде сферы;
предложена линейная аппроксимация семейством плоскостей пространственного замкнутого условия пластичности типа Мизеса-Шлейхера-Соколовского для связных сыпучих материалов;
построена замкнутая система уравнений в напряжениях пространственной задачи статики связных сыпучих материалов путем параметризации нелинейных пространственных статически неопределимых уравнений;
разработан численный алгоритм, а также программа на языке Python, позволяющие рассчитывать плоское и пространственное пластическое и упругопластическое напряженное состояние для конкретных задач.
Достоверность.
Основные научные результаты обоснованы правильно построенной математической моделью, корректным применением математического аппарата теории уравнений в частных производных, теории конечно-разностных схем и использованием современных языков программирования. Достоверность проведенных исследований подтверждается также тем, что полученные результаты совпадают с классическими в случае предельного перехода от условия пластичности для связных сыпучих материалов к классическому условию идеальной пластичности.
Практическая значимость исследования.
Предложенная аппроксимация пространственного замкнутого условия пластичности семейством плоскостей может применяться для решения научных и практических задач пластического течения связных сыпучих материалов, например, на предприятиях горнодобывающей промышленности, порошковой металлургии, а также нефте- и газодобычи.
Предложенный в диссертации метод решения пространственных статически определимых задач механики связных сыпучих материалов может использоваться в учебном процессе при чтении курсов: механика грунтов, механика сыпучих сред, теория пластичности.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
Международная научно-методическая конференция «Информатика: проблемы, методология, технология». Воронеж, 2007.
Международная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики». Воронеж, 2009.
Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения XXI» - «Современные методы теории краевых задач», посвященная 70-летию профессора Ю.В. Покорного. Воронеж, 2009.
Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула, 2009.
Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Информационные технологии на базе свободного программного обеспечения». Елец, 2010.
Международная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики», посвященная 80-летию профессора Д.Д. Ивлева. Воронеж, 2010.
Публикации. По теме диссертации в рамках исследуемой темы опубликовано 6 научных работ, перечень которых приведён в конце автореферата. В том числе одна опубликована в журнале из списка перечня ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех
