Введение к работе
Актуальность темы исследования.
Проблематика описания напряженно-деформированного состояния поро-упругих тел в режиме установившихся гармонических колебаний является актуальной и важной задачей механики деформируемого твердого тела. Физические свойства различных пористых композитов, биологических тканей, грунтов и горных пород требуют учета анизотропии в соответствующих математических моделях. Современные вычислительные технологии позволяют анализировать подобные задачи различными методами, среди которых необходимо выделить методы конечных и граничных элементов.
Начало исследования деформирования пороупругих сред относится к середине XX века. Первыми работами в данной области по праву считаются труды М.А. Био. На сегодняшний день в данной области механики деформируемого твердого тела уже проведено большое число как теоретических, так и практических исследований. Возникает все больше областей знания, где модели поро-упругой насыщенной среды могут быть эффективно применены для анализа динамических процессов. Так, например, многие волновые процессы, протекающие в водонасыщенном грунте, могут быть эффективно описаны этими моделями, а наличие в среде полостей либо неоднородностей требует разработки соответствующих методов решения таких задач.
Многие исследуемые среды в своей структуре могут содержать какие-либо неоднородности, полости или же дефекты типа трещин. Для учета неоднородностей необходимо использовать соответствующие методы анализа такого вида геометрии объектов. Одним из эффективных методов анализа динамического поведения пороупругих сред с неоднородностями является метод граничных интегральных уравнений и основанный на нем метод граничных элементов.
Другой популярной областью применения моделей пороупругости является исследование задач биомеханики. Так, некоторые биологические ткани, такие
как костная ткань, по своей природе также обладают пористой структурой и насыщены биологической жидкостью. Моделирование колебаний в изотропных одномерных пороупругих структурах создает необходимый теоретический фундамент для развития неинвазивных методов (в первую очередь акустических) диагностики сращивания костного регенерата в месте перелома. В задачах о ремоделировании костной ткани требуется заранее знать функции распределения неоднородных характеристик для правильной оценки состояния костного регенерата в зоне перелома. В случае биологических объектов такая информация неизвестна и требует соответствующего анализа и механизма определения. Метод акустического зондирования заключается в том, что исследуемый объект подвергается осциллирующему во времени механическому воздействию на определенной частоте и по снятой информации о перемещениях или ускорениях на некотором участке границы делается вывод о распределении той или иной характеристики. Изучению данных задач для пороупругих сред посвящено крайне мало работ. Более того, построенное в рамках представленной диссертационной работы обобщенное соотношение взаимности для пороупругой насыщенной жидкостью среды является совершенно новым результатом, позволяющим достаточно просто формулировать интегральные уравнения в итерационных процессах для определения характеристик неоднородной пороупругой среды.
Цели и задачи диссертационной работы:
Основной целью представляемой диссертационной работы является исследование динамических процессов, протекающих в пороупругих насыщенных жидкостью средах, анализ влияния параметра связанности на динамическое поведение, а также разработка метода реконструкции неоднородных пороупругих характеристик по данным акустического зондирования.
Научная новизна.
Научная новизна работы состоит в разработке методов решения, построении операторных соотношений и итерационных процессов в коэффициентных
обратных задачах для идентификации неоднородных одномерных характеристик пороупругих тел в режиме установившихся колебаний.
Сформулировано обобщенное динамическое соотношение взаимности и вариационный принцип для пороупругой среды в режиме установившихся колебаний.
Проанализироано влияние коэффициента связанности среды на динамическое поведение.
Построены фундаментальные решения для трансверсально-изотропной пороупругой среды и осуществлен вывод и анализ граничных интегральных уравнений для полуплоскости с полостью.
Теоретическая и практическая значимость.
Теоретическая ценность результатов исследования состоит в выводе вариационной постановки задач пороупругости, обобщенного динамического соотношения взаимности для пороупругих сред в режиме установившихся колебаний, разработке методов реконструкции одномерных неоднородных характеристик пороупругой среды и методов решения задач о колебаниях анизотропных пороупругих тел при наличии полости произвольной формы.
Методы исследования.
Методы исследования задач о колебаниях пороупругих тел с полостью основаны на построении явных и неявных представлений фундаментальных решений и сведении к системам нерегулярных интегральных уравнений.
Методы исследования обратных задач о реконструкции неоднородных характеристик по данным акустического зондирования основаны на построении итерационного процесса, на каждом шаге которого решается прямая задача, а поправки определяются из решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода.
Достоверность и апробация результатов.
Достоверность представленных результатов основана на строгом аналитическом аппарате математической теории пороупругости, применении извест-
ных эффективных методов решения дифференциальных и интегральных уравнений, сравнении полученных результатов с известными классическими решениями, а также проведении достаточного числа вычислительных экспериментов по реконструкции неоднородных характеристик пороупругих тел.
Результаты диссертационной работы прошли апробацию и были доложены на следующих всероссийских и международных конференциях: VI, VII Всероссийская школа-семинар (п. Дивноморское, 2011, 2012 гг.), XV, XVI международная конференция "Современные проблемы механики сплошной среды" (г. Ростов-на-Дону, 2011, 2012 гг.), международная научно-практическая конференция "Строительство-2011", "Строительство-2012" (г. Ростов-на-Дону, 2011, 2012 гг.), международная конференция, посвященная 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева "Обратные и некорректные задачи математической физики" (г. Новосибирск, 2012 г.), XXII международная научная школа им. С.А. Христиановича "Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках" (г. Алушта, 2012 г.).
Публикации.
По теме диссертационного исследования опубликовано 10 работ, в том числе 3 работы из "Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук", утвержденного ВАК РФ.
Структура и объем диссертации.
