Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Рассеяние высокочастотных упругих волн на полостях, ограниченных бесконечными цилиндрическими поверхностями с направляющими произвольной формы (двумерная задача) 29
1.1. Рассеяние высокочастотной продольной волны на замкнутом гладком контуре полости, находящейся в упругой плоскости: р-р отражение, p-s трансформация 29
1.2. Однократное отражение поперечной волны от криволинейного контура препятствия: s-s отражение, s-p трансформация ...41
1.3. Двукратное переотражение упругих волн на плоских контурах препятствий с учетом возможных трансформаций 49
1.4. Многократные переотражения продольной волны 59
1.5. Многократные переотражения с трансформациями упругих волн 62
Глава 2. Высокочастотная дифракция акустических волн на поверхностях акустически твердых отражателей 67
2.1. Однократное отражение сферической волны от поверхности рассеивателя 68
2.2. Двукратное отражение акустической волны 76
2.3. Переотражение акустической волны произвольное конечное число раз 87
2.4. Предельный случай многократного переотражения акустической волны от системы плоских акустически твердых отражателей в пространственном случае 100
Глава 3. Рассеяние высокочастотных волн на полостях в упругой среде 108
3.1. Однократное отражение продольной волны от поверхности полости 109
3.2. Однократное отражение поперечной волны от поверхности полости 125
3.3. Двукратное переотражение упругих волн с учетом возможных трансформаций 136
3.4. Многократные переотражения продольной волны 145
3.5. Многократные переотражения с трансформациями упругих волн 148
Глава 4. Усовершенствованные численные методы, эффективные для высокочастотных прямых и обратных задач колебания упругих тел 157
4.1. Метод граничных интегральных уравнений в задачах высокочастотного рассеяния волн в упругих средах 157
4.2. Прямой численный метод в трехмерной задаче дифракции с переотражениями: численное моделирование и сравнение с лучевым методом 167
4.3. Восстановление формы дефекта по рассеянному волновому полю в двумерной упругой среде 176
Глава 5. Реконструкция формы невыпуклой полости в упругой среде в высокочастотном приближении 185
5.1. Асимптотика амплитуды перемещений отраженных волн в случае нормального падения на границу рассеивателя продольной и поперечной волн 186
5.2. Восстановление контура препятствий по характеристикам рассеянного акустического поля в коротковолновой области... 194
5.3. Реконструкция дефекта сложной формы по известному времени прихода отраженной ультразвуковой волны 206
5.4. Реконструкция внутренних частей граничной поверхности препятствия 217
5.5. Вывод основного нелинейного дифференциального уравнения относительно функции Минковского 218
5.6. Обратная задача коротковолновой дифракции для невыпуклых осесимметричных препятствий 227
5.7. Численный метод реконструкции формы неосесимметричной невыпуклой полости в упругой среде 239
Основные результаты и выводы исследований, изложенных в диссертации 247
Список литературы
- Однократное отражение поперечной волны от криволинейного контура препятствия: s-s отражение, s-p трансформация
- Двукратное отражение акустической волны
- Двукратное переотражение упругих волн с учетом возможных трансформаций
- Прямой численный метод в трехмерной задаче дифракции с переотражениями: численное моделирование и сравнение с лучевым методом
Введение к работе
Математические модели высокочастотной динамической теории упругости находят широкое применение в геофизике, строительной механике, теории машин и механизмов, дефектоскопии, дефектометрии, акустоэлектронике, в современных инженерных и технических приложениях при исследовании колебаний конструктивных элементов и сложных конструкций в целом, коротковолновых датчиков различного назначения. Среди многочисленных важных проблем в динамической теории упругости выделим те, различные аспекты которых будут рассмотрены в диссертации. В процессе изготовления или эксплуатации практически все реальные материалы содержат различные нарушения сплошности: нарушения кристаллической структуры, включения, дефекты различной конфигурации. Распространение волн в таких материалах имеет свои специфические особенности, знание которых может дать объективную информацию о поведении во времени исследуемого элемента конструкции или конструкции в целом. Первой проблемой для реальных материалов является расчет волновых полей при различных видах несплошностей материала элемента конструкции. Эта проблема формулируется в рамках прямых задач математической физики. Другой, более сложной, проблемой является выбор видов воздействий на материал, при которых по результатам откликов на эти воздействия можно определить местонахождение препятствия в материале, его форму, механические и другие характеристики. Такая проблема формулируется в рамках обратных задач математической физики.
Одним из важных технических приложений обратных задач является ультразвуковой неразрушающий контроль (УЗНК). Разработка математических моделей и создание эффективных алгоритмов их решения в настоящее время является актуальной задачей.
По типу возбуждаемых в среде волновых полей динамические задачи можно разделить на нестационарные и стационарные (установившиеся по времени). Нестационарные постановки задач позволяют получить оценки
местонахождения дефекта по времени прихода отраженного сигнала, однако они значительно сложнее с точки зрения анализа математической модели по сравнению со стационарными постановками задач.
В УЗНК материалов [245, 256] используются модели как с нестационарными, так и со стационарными волновыми полями, в зависимости от поставленных целей. Рабочие частоты в УЗНК при использовании моделей установившихся по времени колебаний берутся, в основном, из интервала 2 МГц - 5 МГц.
Расчет волновых полей в упругих средах, содержащих включения, усложняется тем, что в этих средах существуют продольные и поперечные волны, и в связи с этим необходим учет трансформаций и переотражений волн на граничных поверхностях неоднородностей. Поэтому полное изучение родственных скалярных моделей в качестве первого шага является вполне естественным.
Исследованиям по распространению и дифракции линейных упругих и акустических волн посвящена обширная литература. Выделим монографии, в которых освещены основные классические результаты по исследованию волновых процессов в неограниченных средах и в телах конечных размеров Аки К. и Ричардса П. [1], Бабича В. М. и Булдырева В. С. [12], Боровикова В. А. и Кинбера Б. Е. [42], Бреховских Л. М. [45], Бреховских Л. М. и Година О. А. [46], Ваганова Р. Б. и Каценеленбаума Б. 3. [57], Галишниковой Т. Н. и Ильинского А. С. [80], Гринченко В. Т. [88], Гринченко В. Т. и Мелешко В. В. [89], Горюнова А. А. и Сасковца А. В. [87], Гузь А. Н. и Головчан В. Т. [90], Гузь А. Н., Кубенко В. Д. и Черевко М. А. [91], Ермолова И. Н. [104], Жария О. Ю. и Улитко А. Ф. [107], Исимару А. [111], Исраилова М. Ш. [112], Кайно Г. [113], Клещева А. А. и Клюкина И. И. [118], Колтона Д. и Кресса Р. [120], Космодамианского А. С. и Сторожева В. И. [123], Купрадзе В. Д. [127], Купрадзе В. Д., Гегелиа Т. Г., Башелейшвили М. О., Бурчуладзе Т. В. [128], Михлина С. Г., Морозова Н. Ф., Паукшто М. Ф. [140], Нигула У. К., Метсавээра Я. А., Векслера Н. Д.,
7 Кутсера М. Э. [144], Новацкого В. [145], Панасюка В. В., Саврука М. П. и Назарчука 3. Т. [148], Партона В. 3. и Перлина П. И. [149], Петрашеня Г. И. [150], Петрашеня Г. И., Молоткова Л. А. и Крауклиса П. В. [151], Поручикова В. Б. [157], Романова В.Г. [163], Сеймова В. М., Трофимчука А. Н. и Савицкого О. А. [169], Слепяна Л. И. [171], Скучика Е. [170], Уайта Дж. [185], Фелсена Л. и Маркувица Н. [187], Фока В. А. [190], Хенла X., Мауэ А. и Вестпфаля К. [192], Шендерова Е. Л. [195], Штагера Е. А. [197], Штагера Е. А. и Чаевского Е. В. [198], Яхно В.Г.[199], Achenbach I. D. [200], Achenbachl. D, Gautesen А. К., McMaken H. [202], McNamara D. A., Pistorius С W. I, Malherbe I. A. G. [252], Pao Y. H., Mow С. C. [260], Ramm A. G. [264], Sumbatyan M. А и Scalia A. [276].
Монографии Бабешко В. A. [10], Бабешко В. А., Глушкова Е. В., Зинченко Ж. Ф. [11], Вайнштейна Л. А. [59], Викторова И. А. [72], Воровича И. И., Александрова В. М., Бабешко В. А. [76], Воровича И. И. и Бабешко В. А. [77], Воровича И. И., Бабешко В. А. и Пряхиной О. Д. [78], Гетмана И. П. и Устинова Ю. А. [82], Калинчука В. В. и Белянковой Т. И. [114], Миттра Р. и Ли С. [139], Сеймова В. М. [168], Jones D. S. [232], Lamb Н. [248] посвящены исследованию волновых проблем в полуограниченных областях.
Одной из проблем, рассматриваемых в диссертационной работе, является проблема рассеяния высокочастотных волн на поверхностях препятствий в сплошных средах. В этом направлении исследований выделим монографии [1, 12, 41, 42, 45, 46, 57, 59, 87-91, 104, 105, 111-113, 125, 1170, 185, 194, 195, 197, 198] и работы [63, 70, 74, 81, 85, 98, 106, 117, 121, 137, 146, 191, 201, 205, 206, 227, 230, 246, 251, 253, 257, 267, 269, 291, 296, 297, 302].
Одним из основных подходов в исследовании проблемы рассеяния волн в упругих средах является использование интегрального представления Сомильяны [144] для поля перемещений через граничные значения векторов перемещений и напряжений. Наряду с граничными интегральными уравнениями (ГИУ), полученными на основе формул Сомильяны,
8 существует и другой подход. Он связан с введением в рассмотрение неизвестных плотностей поверхностных потенциалов [46, 48]. Такой метод получения ГИУ принято называть непрямым методом [18], а подход, основанный на формулах Сомильяны, называют прямым методом [18]. Для ограниченных областей оба метода приводят к союзным ГИУ [18].
Аналогом интегрального представления Сомильяны в дифракционных задачах акустики являются формулы Гельмгольца - Кирхгофа [192, 243].
С точки зрения практического решения задач, основное преимущество метода ГИУ заключается в том [44], что он позволяет понизить размерность исследуемой задачи на единицу, а в случае неограниченной области свести к задаче для ограниченной области.
Кроме того, методы исследования построенных ГИУ можно также разделить на два класса - высокочастотные и низкочастотные. Достоинство высокочастотного метода состоит в том, что длина зондирующего импульса имеет тот же или меньший порядок, что и характерный размер препятствия. Это приводит к регистрации интерференционных явлений, которые легко обнаружить и использовать для идентификации препятствия. Достоинства низкочастотного режима зондирующих колебаний состоят в возможности использования квазистатических результатов для решения динамических задач.
Среди рассматриваемых видов дефектов в сплошных средах выделим несплошности в виде трещин и их скоплений и дефекты в виде одиночных полостей, а также их скоплений.
Рассматриваемые в диссертации формулировки и методы решения прямых задач находятся в тесной взаимосвязи с формулировкой геометрических обратных задач динамической теории упругости с приложением их в УЗНК для определения формы невыпуклых препятствий в упругих средах.
В диссертации динамические задачи рассматриваются в рамках высокочастотных монохроматических установившихся колебаний. В связи с
9 этим исследование некоторых из этих прямых задач возможны в рамках теории дифракции. Обзоры методов решения задач дифракции содержится в классической монографии Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К [192]. Среди важных результатов этой теории отметим теорию Зоммерфельда [272] и асимптотические теории Кирхгофа [241] и Келлера [238]. Математическим методам в теории упругих волн посвящен обзор [14]. Точные аналитические решения известны лишь для некоторых задач рассеяния на объектах канонической формы, которые допускают разделение переменных.
Точные решения были получены в задачах дифракции для кругового цилиндра в акустической среде в виде ряда Ватсона [192], дифракции плоской волны на упругом цилиндре (Pao Y. Н. и Mow С. С. [259]) и на сферической полости (Pao Y. Н. и Mow С. С. [261]). Решения некоторых задач могут быть получены в квадратурах [145, 149]. Наиболее полное изложение подходов, приводящих к точным решениям задач дифракции для акустических сред можно найти в монографиях [170, 132], а для задач дифракции в упругих средах - в монографиях [89-91, 112, 157]. Построенные аналитические решения важны при тестировании алгоритмов приближенных и численных методов решения задач дифракции. Численным методам в задачах дифракции посвящена монография [80].
С появлением ЭВМ начали бурно развиваться численные методы краевых задач. Одно из важных направлений, возникающих при решении широкого класса задач дифракции упругих и акустических волн, состоит в сведении их к сингулярным и регулярным граничным интегральным уравнениям (ГИУ). Математические методы решения таких уравнений описаны в монографиях Бабешко В. А. [10], Воровича И. И. и Бабешко В. А. [77], Митра Р. и Ли С. [139], Партона В. 3. и Перлина П. И. [149], Сеймова В. М. [168], Угодчикова А. Г. и Хуторянского Н. М. [186] и других. Применение численных методов к решению ГИУ можно найти в монографии [80]. Важной особенностью данного метода ГИУ, в основе которого лежит классическая теория потенциала [127] является сведение
10 краевой задачи в области к решению регулярных и сингулярных ГИУ и систем меньшей размерности. Однако это преимущество достигается за счет определенных потерь, в связи с тем, что получаемые для внешней задачи ГИУ неразрешимы на собственных частотах внутренней краевой задачи. Методы, позволяющие обойти указанную трудность, излагаются в монографии Колтона Д. и Кресса Р. [120]. Вместе с тем описанные ими методы носят больше теоретический характер разрешения вопросов существования и единственности решения и в задачах коротковолновой дифракции неприменимы из-за уплотнения спектра резонансных частот, на которых внешняя задача становится неразрешимой.
За последние годы появилось большое число работ, посвященных вычислительным аспектам решения ГИУ [73, 106, 211, 233, 234]. Численным способам расчета сингулярных интегралов посвящены работы [122, 166]. Методы дискретизации ГИУ в трехмерных задачах имеют существенные отличия от двумерного случая и рассматриваются в работах [73, 106]. Метод ГИУ получил свое развитие в работах Ватульяна А. О. и его учеников [60]. Для широкого круга задач ими сформулированы ГИУ первого рода с гладкими ядрами, основываясь на преобразовании Фурье и анализе характеристического многочлена оператора упругости на полярных многообразиях и не используя понятия фундаментальных решений. Гладкость ядер может нарушаться только на особых множествах задачи (ребрах, углах, точках смены граничных условий). Сочетая классические методы дискретизации МГЭ с методами регуляризации удается построить дискретный аналог ГИУ первого рода, достаточно хорошо аппроксимирующий исходный оператор. При этом обязателен учет структуры решения на этапе дискретизации для эффективного учета окрестностей особых точек. Этот метод применяется в работе Ватульяна А. О., Ворович И. И. и Соловьева А. Н. [61] для решения обратных задач.
Для слоистых сред с полостями и упругими включениями канонических форм методы ГИУ были развиты Ляпиным А. А. и Селезневым М. Г. [136, 137]. Дальнейшее развитие волновые задачи в областях сложной геометрии получили в монографии Гетмана И. П. и Устинова Ю. А. [82].
Применение метода ГИУ и основанного на ГИУ метода граничных элементов (МГЭ) [18, 117, 126, 211, 268, 269, 282] для решения высокочастотных задач сопряжено с большими вычислительными трудностями. С уменьшением длины волны необходимо увеличивать число граничных элементов для достижения приемлемой точности, а, следовательно, возрастает размер матрицы алгебраической системы (дискретного аналога ГИУ). Это приводит к резкому увеличению объема памяти, времени счета и ухудшению обусловленности системы. Описанное свойство МГЭ является не столько недостатком метода, сколько вызвано существом проблемы - сама коротковолновая задача неизмеримо сложней длинноволновой.
Пути решения этой проблемы связаны прежде всего с развитием более мощной вычислительной техники и разработкой специальных численно-аналитических [48] подходов в задачах с высокочастотными колебаниями.
Из многочисленных работ, посвященных дифракции на цилиндрических препятствиях с произвольной направляющей [70, 156, 164, 237, 285-289] выделим работы Тобокмана [285-289], в которых решение строится с использованием аппроксимации Паде и метода простых итераций, начинающихся с приближенного решения Кирхгофа. Численные результаты показывают эффективность аппроксимаций только для средних частот.
В работах [156, 164] решение для цилиндрической и осесимметричной полости в упругой среде получено в рядах.
Большое практическое применение в задачах теории дифракции получили приближенные подходы. К ним относятся борновское приближение [87] и приближение по Рытову [134, 165]. Эти подходы основаны на определенных требованиях к среде рассеивающей
12 неоднородности. Так борновское приближение справедливо для слабых рассеивателей, а приближении по Рытову для плавной границы перехода среда - рассеиватель. В высокочастотной области колебаний акустических и упругих сред эффективным является применение методов геометрической оптики [41, 81, 121, 124, 189, 208, 230, 299] и асимптотических методов [124, 239, 297, 299].
Развитие асимптотических методов решения задач дифракции неразрывно связанно с теорией, предложенной Кирхгофом. На основе физически ясных предположений основные свойства рассеянного поля находятся без трудоемкой процедуры решения ГИУ. Суть теории в том, что волновое поле в отверстии и на освещенной поверхности экрана принимают равным волновому полю в падающей волне. При этом не принимаются в расчет искажения волнового поля в непосредственной близости от границы отверстия. Предполагается также, что на теневой стороне экрана потенциал скорости и его нормальная производная равны нулю, как если бы экран был полностью поглощающим для дифрагированного поля. Эта теория, изначально предположенная для скалярных задач акустики, впоследствии была применена к задачам дифракции на трещинах в упругих средах [33, 210]. В диссертации эта теория обобщается для задач дифракции на полостях сложной невыпуклой формы, находящихся в упругой среде. Теория Кирхгофа дает хорошие результаты в случае, когда диаметр отверстия больше трех длин волн, а точка наблюдения удалена от плоскости экрана. Вблизи края решение Кирхгофа значительно отличается от точного решения. Учет формы дифрагирующего тела возможен при более точном учете граничных условий. При этом можно дополнить значение падающего поля граничными значениями, полученными из решения Зоммерфельда [109, 111].
Геометрической теории дифракции посвящены многочисленные работы [42, 57, 125, 170]. Наиболее полный обзор лучевых методов содержится в монографии [192] и в работах [13, 95]. Основы теории заложены Келлером [238]. Согласно этой теории, кривизна дифрагирующего
13 края была учтена путем введения геометрооптического коэффициента расхождения. Приближение Келлера приводит к аналитическим формулам, которые хорошо согласуются с результатами точных расчетов. Его можно применить для отверстий произвольной формы даже в тех случаях, когда линейный размер отверстия соизмерим с длиной волны. Этот подход можно обобщить на случай рассеяния на цилиндрах с направляющей произвольной формы и на пространственных телах, ограниченных гладкими поверхностями. Метод состоит в том, что отраженное поле вычисляется по законам геометрической оптики, а дифракция на крае учитывается на основе законов дифракции. Дифрагированные лучи образуют конус, вершина которого лежит на дифрагирующем элементе, а осью является касательная к этому элементу. Падающий луч и «дифракционный конус» расположены с противоположных сторон плоскости, нормальной к краю элемента. Считается, что угловое распределение интенсивности дифрагированных лучей имеет точно такой же вид, как и при дифракции на полуплоскости, а для учета кривизны дифрагирующего края предполагается, что дифрагированные лучи расходятся так, как если бы они распространялись перпендикулярно краю.
Общий лучевой подход к решению задач коротковолновой дифракции в акустической среде состоит в том, что потенциал давления представляется в виде ряда по обратным степеням волнового числа [120, 125, 252]. В результате задача сводится к решению уравнений для эйконала и переноса, исследованию которых посвящены работы Рытова С. М. [165], Бабича В. М. и Булдырева В. С. [12]. Особенности лучевой теории упругих волн в твердом теле излагаются в монографии Ландау и Лифшица [133], а также в работах ученых киевской школы [156]. Однако отмеченный подход обладает некоторыми недостатками, к числу которых относится неприменимость лучевой теории для определения дифракционного поля на каустиках. Фок В. А. [190] использует для преодоления этого недостатка асимптотическую теорию ползущих волн. Он разработал подход,
14 использующий функцию Эйри при описании волновых полей, имеющих конечное значение на каустике. Во многих работах методом разделения переменных звуковое поле произвольного источника представлено в виде интеграла по горизонтальным компонентам волнового вектора от решений волнового уравнения [12, 46, 57, 124]. Основным способом оценки полей по их интегральному представлению является асимптотический метод эталонных интегралов. Наиболее употребительным его вариантом является метод перевала или седловой точки [188]. Функция Грина в задачах коротковолновой дифракции содержит экспоненту с произведением в показателе большого значения волнового числа и медленно меняющейся функции. Основной вклад в рассеянное поле дает окрестность точки стационарной фазы, определяющий луч, приходящий в точку наблюдения. Фазовая функция в интегральном представлении звукового поля удовлетворяет уравнению эйконала, а амплитуда луча - уравнению переноса. Описание применения метода стационарной фазы для расчета локационного отражения волны от гладких выпуклых поверхностей препятствий излагается в монографии [195]. Локационное отражение от полостей с выпуклой гладкой границей в упругой среде исследовано в работах [97, 277].
При исследовании волновых полей в твердых телах важно учитывать, что скорость продольных волн в два раза больше, чем поперечных. В прикладных задачах УЗНК можно считать, что волны указанных двух типов распространяются в упругих средах независимо и взаимодействуют только на границе области. В задачах излучения волн различными датчиками на расстояниях порядка нескольких длин волн продольная и поперечная составляющие волнового поля разделяются и каждая из них определяется своим скалярным потенциалом из соответствующего уравнения Гельмгольца. Если моделировать нестационарную задачу о генерировании ультразвуковых волн в упругую среду датчиками с коротким импульсом (3-4 периода стандартной синусоиды) с помощью гармонического во времени процесса, одновременный учет продольной и поперечной составляющих поля внутри
15 области является некорректным. Это связано с тем, что такой короткий импульс, посылаемый с границы области, порождает упругую волну, продольная компонента которой приходит в точку наблюдения примерно в два раза быстрее поперечной. Значит, во всех внутренних точках среды продольная и поперечная составляющие практически никогда на появляются одновременно. В связи с этим в УЗНК широко используется скалярная (жидкостная) модель.
Наряду с высокочастотными задачами в интегральной постановке в практически важных задачах УЗНК материалов весьма актуальными являются задачи высокочастотного рассеяния на препятствиях в локальной постановке.
Исследованию таких классических задач лучевыми методами в рамках геометрической теории дифракции (ГТД) для акустических сред посвящены монографии [12, 42, 45, 46, 87, 125] и работы [13, 43, 124, 146]. Для упругих сред решение задач рассеяния усложняется, и связано это с существованием в упругих средах двух типов волн: продольных и поперечных. В рамках ГТД рассмотрены задачи однократного отражения в монографиях и работах [81, 89-91, 105, 106, 164, 191, 202, 222, 257] в двумерном случае, а в [189, 191, 252] - в трехмерном. В задачах реконструкции формы невыпуклых препятствий или скопления препятствий в сплошных средах важен учет многократных переотражений высокочастотных волн [111, 240]. Методами ГТД в [197, 198] исследованы задачи двукратного переотражения для некоторых тел канонической формы в скалярной модели. В последних работах [222] задача рассеяния от конечного числа N сфер одинакового радиуса в акустической среде решается с помощью переразложения рядов. В работе [223] обсуждается вопрос ускорения сходимости рядов. В монографии [252] получена формула амплитуды давления в однократно отраженной высокочастотной акустической волне от поверхности акустически твердого рассеивателя произвольной формы.
В диссертации на основе модификации интегральных представлений методом стационарной фазы получены формулы для амплитуды переотраженных произвольное конечное число раз акустических волн и упругих волн с учетом их возможных трансформаций на произвольных гладких граничных поверхностях препятствий.
При исследовании различных проблем естествознания закономерным образом возникают два основных подхода в постановке задач - прямой и обратный.
При исследовании 03 математической физики предполагаются известными постановки ПЗ, каждая из которых может быть сопоставлена в рамках идентифицируемой модели с некоторым множеством 03.
В соответствии с принятой в механике математической моделью к причинным характеристикам относят граничные условия и их параметры, начальные условия, коэффициенты дифференциальных уравнений, а также геометрические характеристики области задания уравнений. Тогда следственные характеристики будут описывать состояния исследуемого объекта, под которыми обычно понимают поля физических величин той или иной природы.
Если по определенной информации о физических полях требуется восстанавливать некоторые причинные характеристики, то получаем ту или иную 03. Заметим, что 03, как правило, приводят к математически некорректным задачам [5, 16, 130, 131, 143, 181, 182, 183].
В соответствии с физическим смыслом искомой функции выделяют следующие типы 03 [4]:
ретроспективные задачи, заключающиеся в установлении предыстории данного состояния процесса;
граничные 03 - восстановление граничных условий или величин, в них входящих;
3) коэффициентные 03 - определение коэффициентов уравнений,
описывающих те или иные процессы;
17 4) геометрические 03 - нахождение геометрических характеристик граничной поверхности. Возможны комбинированные постановки 03.
Последние годы характеризуются ростом числа публикаций, посвященных обратным задачам дифракции. Этот интерес, особенно возросший в последние 20 лет, объясняется в первую очередь практической важностью таких исследований в радиолокации, акустике океана, медицинской ультразвуковой диагностике, ультразвуковом неразрушающем контроле. Обратным задачам математической физики посвящены монографии [55, 56, 94, 163, 193, 199] и статьи [9, 20, 21, 47, 75, 79, 184, 210, 216, 255, 290, 291, 295]. Решение обратных задач (03) связано с преодолением трех сложностей принципиального характера: некорректностью, нелинейностью и неединственностью.
Для решения некорректных задач применяется теория регуляризации Тихонова А. Н. [180-182] и подход Лаврентьева М. М. [130, 131], основанный на применении классических итерационных процедур, при этом погрешность входных данных связывается с номером итерации, на котором следует обрывать итерационный процесс. Этот подход использовался при численном решении 03 тепло- и массообмена [3, 4, 6-8]. Для решения нелинейных задач в основном применяется метод последовательных приближений Ньютона [147]. На каждом итерационном шаге задача сводится к линейной проблеме. Для решения линейных проблем с большим числом обусловленности используются методы регуляризации, специальные методы для решения плохо обусловленных задач [17] и достаточно универсальный вычислительный алгоритм Пэйджа - Саундерса [258], созданный на основе проекционных методов. В некоторых работах [108, 266] для решения некорректных нелинейных задач применяются методы глобального случайного поиска [108, 173]. Монография [5] посвящена экстремальным методам решения некорректных задач.
Вопросы существования и единственности рассматриваемых в
диссертации 03 дифракции изложены в монографии Колтона Д. и Кресса Р.
[120]. Численные аспекты решения некорректных задач исследуются в
монографиях [4, 16, 86, 119, 180-182] и статьях [48, 141, 142, 258].
В диссертации разрабатываются методы решения одного из самых больших классов обратных задач - это обратные задачи рассеяния (ОЗР) и их приложения в УЗНК. Задача состоит в определении характеристик препятствий в сплошных средах (акустических, упругих) на основе рассеянного или волнового поля. Обзор литературы по ОЗР содержится в монографии Горюнова А. А. и Сасковца А. В. [87]. Важные результаты в ОЗР получены с применением борновского приближения в акустических средах и с использованием геометрической теории дифракции; анализ их содержится в обзорах [49, 50, 95]. Борновское приближение или приближение Кирхгофа [192] вместе с высокочастотной асимптотикой дает возможность применять метод стационарной фазы [188] для получения лучевой формулы. В лучевой теории рассеянное поле обусловлено локальной геометрией [15, 152, 153.] рассеивающей поверхности в стационарных точках. В работах Емеца В. Ф. [99-103] борновское приближение применено для получения лучевой формулы и на этой основе исследуются ОЗР. Однако упрощенные модели не всегда адекватно описывают процесс рассеяния волн на препятствиях в сплошных средах.
Теоретические проблемы в практике УЗНК [77] связаны с геометрической обратной задачей (ГОЗ) дифракции о восстановлении формы препятствия по известному рассеянному на нем волновому полю. В этом направлении выделим статьи [48-54, 62, 64-69, 75, 85, 116 160, 161, 179, 184, 203, 204, 207, 209, 210, 214, 215, 217, 221, 223-226, 229, 235, 242, 247, 248-250, 270, 273, 290, 295]. Среди основных подходов к решению ГОЗ можно выделить разложение известной функции рассеяния в дальнем поле в ряд Фурье [167, 231]. Тогда коэффициенты разложения однозначно определяют рассеянное поле в виде сходящегося ряда во внешности наименьшего круга,
19 содержащего отражатель. При этом граница неизвестного препятствия восстанавливается при соблюдении граничных условий. Для восстановления невыпуклых объектов применяется прием последовательного продолжения волнового поля рассеянной волны. Такой подход очень сложен в реализации, так же, как и вычисление суммы ряда рассеянного поля, когда точки лежат вблизи круга его сходимости. В [265] к решению рассматриваемой задачи применяется метод Ньютона и отмечается, что существуют диапазоны изменения длины волны, в которых предложенный метод теряет устойчивость. В [247] применяется подход, основанный на методе штрафных функций при минимизации невязки. Для каждого значения штрафного параметра минимизация осуществляется квазиньютоновским методом. В [217] доказывается некорректность рассматриваемой проблемы. Для ее исследования предлагается метод квазирешения, при котором решение разыскивается на некотором компактном множестве. В результате задача сводится к задаче условной минимизации функционала невязки.
Выделим подход [218, 219], который состоит в использовании целых функций, удовлетворяющих уравнению Гельмгольца. Задача сводится к минимизации неотрицательного функционала на компактном множестве. Применение данного подхода на практике вызывает затруднения, так как нужно знать амплитуду рассеяния в дальнем поле на некотором интервале значений волнового числа. Следует отметить, что методы решения, предложенные в большинстве из перечисленных выше работ, не являются универсальными в смысле их эффективности. Они теряют устойчивость либо при изменении длины волны, либо при изменении характера исходных данных, либо при увеличении вытянутости тела, либо при переходе от выпуклых тел к невыпуклым и т. д.
Существенным недостатком описываемых методов является неприменимость их в случае, когда известен лишь модуль рассеянного поля в дальней зоне. Кроме того, большинство из существующих подходов способны восстанавливать границу только звездной области, их применение
20 к реальным трехмерным задачам в высокочастотной области приводит к существенному увеличению количества определяемых неизвестных, что неприменимо в реальном масштабе времени на используемых в УЗНК персональных компьютерах.
В работе [2] проведено теоретическое исследование практических возможностей алгоритма Новикова - Хенкина решения обратной задачи рассеяния методами функционального анализа.
Количество работ, посвященных ОЗР в упругих средах, значительно уступает количеству ОЗР в акустических средах. В этой связи отметим работы [52, 53, 62, 64-69, 71, 85, 101, 173, 184, 221, 225-228, 274, 275]. В рамках упругих моделей возможно более реально описать физический эксперимент по определению формы дефекта, его месторасположения, упругих констант и плотности. Решение строгих ОЗР связано в основном с алгоритмами, которые основаны в процессе своей реализации на многократном решении строгих прямых задач. Успешное решение прямых задач рассеяния во многом связано с применением аппарата ГИУ и основанного на нем МКЭ [64-69, 79, 174, 236, 278-281] Методы решения строгих геометрических ОЗР также связаны с методом ГИУ. В последнее десятилетие идут поиски выработки общих методов для решения геометрических ОЗР в строгой постановке. Отличительной чертой таких задач было то, что в них восстановлению подлежала сразу вся поверхность рассеивателя.
Одним из первых примеров удачного решения строгой геометрической ОЗР в дифракционной постановке является работа Воровича И. И. и Сумбатяна М. А. [79]. В качестве входной информации рассматривалась круговая диаграмма направленности при всевозможных углах падающего поля. Выделим основные моменты подхода, используемого авторами в этой работе. Во-первых, на основе метода ГИУ формулируются операторные уравнения ОЗ. Во-вторых, производится дискретизация операторных уравнений на основе МГЭ и задача сводится к поиску минимума
21 неквадратичного функционала. Для нахождения минимума применяется классический итерационный метод последовательных приближений. На каждом итерационном шаге решается линейная проблема. Третьим моментом является использование при решении линеаризованного уравнения регуляризирующих алгоритмов. Конкретные примеры реконструкции выпуклых и невыпуклых объектов сложной формы показывают высокую эффективность предложенного алгоритма в области низких и средних частот колебаний.
В диссертации предложенный в статье [79] метод применяется на более сложные задачи реконструкции формы препятствий в упругих средах.
Пожалуй, первой попыткой отказаться от дифракционной постановки при решении строгих ОЗР являются работы японских ученых Танаки М., Накамуры М. и Ямагивы К. [279, 280]. Восстановлению здесь подлежит не только форма дефекта, но и место его расположения в упругой области.
В основе подхода, предложенного японскими авторами, лежит возможность сведения задачи об установившихся колебаниях упругих ограниченных сред к ГИУ. Далее эти ГИУ линеаризуются в окрестности задачи с известным дефектом, который предполагается близким к искомому. В качестве меры близости используется расстояние по нормали между известной границей дефекта и искомой. Эта функция находится из решения линеаризованных уравнений и дает возможность уточнить начальную форму дефекта. Многократное применение линеаризованной схемы предполагает стремление итерационной последовательности получаемых форм к искомой форме. При дискретизации линеаризованных интегральных уравнений, используемых МГЭ, этот метод также эффективен в области низких и средних частот, но при численной реализации требует затрат машинного времени больше, чем [79].
Цель работы состоит в 1) получении в рамках исследования прямых задач высокочастотного рассеяния на основе асимптотических методов аналитических
22 выражений характеристик отраженных произвольное конечное число раз высокочастотных волн от поверхностей системы препятствий, находящихся в акустических и упругих средах;
разработке модификации метода граничных интегральных уравнений в задачах рассеяния высокочастотных волн на поверхностях препятствий сложной невыпуклой формы, находящихся в упругой среде;
развитии метода решения геометрической обратной задачи рассеяния в дифракционной постановке о реконструкции формы невыпуклого препятствия, находящегося в упругой среде;
разработке новых методов решения геометрических обратных задач рассеяния в лучевом приближении о восстановлении граничных поверхностей дефектов сложной невыпуклой формы, находящихся в упругой среде.
Основные научные положения, выносимые на защиту.
На защиту выносится модификация метода граничных интегральных уравнений в задачах рассеяния высокочастотных волн на поверхностях препятствий сложной невыпуклой формы, находящихся в упругой среде; аналитические выражения характеристик отраженных произвольное конечное число раз высокочастотных волн от поверхностей системы препятствий, находящихся в акустических и упругих средах, полученные на основе асимптотических методов; разработка и развитие методов решения геометрических обратных задач рассеяния в дифракционной постановке и в лучевом приближении о реконструкции граничных поверхностей дефектов сложной невыпуклой формы, находящихся в упругой среде.
Методика исследований поставленных в диссертации прямых и обратных задач высокочастотной динамики упругих сред основана 1) на интегральных представлениях их основных искомых характеристик и применении к их анализу асимптотических методов;
на методе граничных уравнений и его модификации в высокочастотной области колебаний с учетом механических особенностей взаимодействия волнового поля с граничной поверхностью объекта сложной невыпуклой формы;
на сведении геометрических обратных задач рассеяния в дифракционной постановке к нелинейным системам интегральных уравнений, для которых разрабатывается метод градиентного спуска с квадратичной аппроксимацией на каждом шаге;
на сведении геометрических обратных задач высокочастотного рассеяния в лучевом приближении к нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка известной геометрической проблемы Минковского в специальной системе координат, для которого построены точные аналитические решения и разработаны численные методы.
В первых трех главах диссертации исследуется классическая задача рассеяния высокочастотной волны от точечного источника, находящегося в акустической или упругой среде на поверхности одного рассеивателя или поверхностей системы рассеивателей с учетом возможных переотражений.
В главе 1 рассматривается двумерная задача о рассеянии высокочастотных продольных и поперечных волн на криволинейных контурах полостей, находящихся в упругой среде.
1. В рамках двумерной задачи динамической теории упругости исследовано
высокочастотное рассеяние продольной и поперечной волн на
криволинейной замкнутой гладкой границе полости, находящейся в
изотропной упругой среде. Падающая высокочастотная круговая волна
обусловлена сосредоточенной силой, изменяющейся во времени по
гармоническому закону. На основе оценки дифракционного интеграла
Кирхгофа методом стационарной фазы получен главный член асимптотики
перемещений в отраженных продольной и поперечной волнах.
2. Исследовано высокочастотное рассеяние упругих волн на граничных
контурах системы двух полостей, находящихся в безграничной упругой
24 среде. Для двукратно отраженных волн изучены все случаи переотражений с учетом возможных трансформаций волн: продольной в поперечную и поперечной в продольную.
3. На основе асимптотической оценки кратных интегралов Кирхгофа методом многомерной стационарной фазы получены главные члены асимптотики перемещений в переотраженных произвольное конечное число раз упругих волн с учетом их возможных трансформаций на граничных поверхностях систем полостей, находящихся в упругой среде.
Однократное отражение поперечной волны от криволинейного контура препятствия: s-s отражение, s-p трансформация
Аналогичная двумерная задача о коротковолновой дифракции акустической волны на абсолютно твердом контуре была рассмотрена в [12] и [274] различными асимптотическими методами, при этом формула для давления р(х) в точке х имеет вид [12]
Формула (1.1.20) отличается от (1.1.21) лишь присутствием в качестве множителя коэффициента отражения V \у) для упругого случая (1.1.20).
Замечание. Следует выделить для формул (1.1.20), (1.1.21) особые сингулярные случаи. К ним относятся случаи, когда выражение в скобках в формуле (1.1.19) обращается в нуль. Такие случаи должны быть рассмотрены с учетом малых более высокого порядка малости, чем (As) , так как в этих случаях выражение (1.1.20) не определено.
Случай p-s трансформации. В этом случае (рис. 1) декартовы координаты вектора перемещений и (х), А: = 1,2 определяются вторым слагаемым интегрального представления (1.1.6)
Таким образом, в данном параграфе получены явные выражения (1.1.20) и (1.1.30) главных членов асимптотических представлений амплитуд перемещений в отраженных волнах при р - р отражении и р - s трансформации на граничном контуре полости, находящейся в упругой среде.
Расчет полного дифрагированного поля от контура препятствия в общем случае (1.1.6) включает в себя и отраженные волны при падении поперечной составляющей (1.1.3) круговой волны (1.1.1). Так же как и в 1.1 исследуем при падении поперечной s -волны (1.1.3) амплитудные характеристики отраженной s -волны и р- волны (рис. 2). Это исследование проводится в таких же системах координат, как и при изучении отражения от криволинейного контура р - волны в 1.1.
Направление падения волны q = {-sin ух, -cos /,} (ух - угол между направлением падения волны и внешней нормалью к контуру) отнесем к правой декартовой системе координат ОХхХ2 в точке у , ось ординат ОХ2 которой совпадает с внешней нормалью п (направленной в сторону упругой среды) к контуру полости, а ось ОХх совпадает с касательной к контуру в точке у . В этой системе координат вектор q, имеет координаты q, = { -cos ух, sin ух }, а нормаль п имеет координаты п = { 0, 1}. Перейдем в (1.2.4), (1.2.5) к локальной полярной системе координат г, в в точке у криволинейного контура /. При этом полюс совпадает с точкой у , а полярная ось с осью ОХх. Тогда главные асимптотические члены вектора перемещений отраженной волны в полярной системе координат имеют вид
При асимптотической оценке интеграла Кирхгофа в формуле (1.2.6) компоненты полного поля перемещений ик {у; s), к = \,2 под знаком интеграла следует выбрать как решение локальной задачи дифракции об отражении плоской падающей s -волны от свободной от нагрузок прямолинейной границы упругой полуплоскости [45, 89].
Таким образом, в данном параграфе получены явные выражения (1.2.12) и (1.2.23) главных членов асимптотических представлений амплитуд перемещений в отраженных волнах при s-s отражении и s-p трансформации на граничном контуре полости, находящейся в упругой среде.
Настоящий параграф посвящен развитию лучевой теории дифракции применительно к произвольным (невыпуклым) гладким двумерным препятствиям, находящимся в упругой среде. Двукратное переотражение высокочастотной волны с учетом возможных трансформаций может формироваться как в пределах контура одного препятствия (рис. 3), так и двух различных препятствий (рис. 4). Численное исследование задач высокочастотного рассеяния упругих волн существенно затруднено в случае, если длина волны много меньше среднего размера рассеивателя. Возможные здесь численные методы - метод конечных элементов, метод граничных элементов требуют в этом случае большого количества узлов на сетке. Это приводит к неустойчивости счета. Для вычисления амплитуды перемещений в многократно переотраженной волне возможно применение геометрической теории дифракции (ГТД) Келлера, основанной на использовании коэффициентов расходимости, которое является достаточно громоздким. Если исследовать о задачу о переотражении высокочастотной волны от контура препятствия в упругой среде с различными возможными трансформациями волн произвольного N числа раз, то, на наш взгляд, более удобно исходить из оценки N кратного дифракционного интеграла методом многомерной стационарной фазы. Основой общего случая произвольного числа переотражений является задача о двукратном отражении (рис. 3, 4), к рассмотрению которой переходим.
Двукратное отражение акустической волны
на граничных контурах некоторых полостей по одной точке Таким образом, в настоящем параграфе получен главный член асимптотики (1.5.3) амплитуды перемещения ur \x2N + l) в отраженной вдоль луча х0 - у[ -у\-... - у\ц.\ - y 2N X2N + і высокочастотной продольной волне при р- s- р-...- р- s- р трансформации от 2N полостей, находящихся в упругой среде в двумерном случае. Амплитуда перемещения отраженной продольной волны определяется расстояниями от источника продольной волны до первой точки у\ зеркального отражения L0, от последней точки y 2N зеркального отражения до точки приема L2N, расстояниями Ln, n = \,2,...,2N-\ между точками у п и у Точки принадлежать как границам 1х,12,- 12ы-\ кы 2N изолированных полостей, так и границе / одной полости сложной невыпуклой формы. Возможны случаи расположения зеркального отражения, а на других полостях сложной невыпуклой формы - по несколько точек зеркального отражения. Главный член асимптотики перемещения содержит в явном виде также радиусы кривизны рх, p2,..,p2N_x, p2N в точках y\,y2,...,y2N.x,y2N, направлениями у\р\ y\s\ у(2\ riPK--- APN-i Аі-і Уг1 YIN падающих и отраженных р- и s -волн в точках зеркального отражения, а также коэффициентами трансформации Vps(y\), Vsp(y 2), ... , Vps(y2N_x), Vsp(y2N) . Фаза отраженной продольной волны иг [x2N + l) определяется расстояниями L0, Lx, L2, ... , L2N_X, L2N волновыми числами kp и ks, знаком 52N матрицы Гессе D2N, а также количеством точек (2N) зеркального отражения.
В рамках двумерной задачи динамической теории упругости исследовано высокочастотное рассеяние продольной и поперечной волн на криволинейной замкнутой гладкой границе полости, находящейся в изотропной упругой среде. Падающая высокочастотная круговая волна обусловлена сосредоточенной силой, изменяющейся во времени по гармоническому закону. На основе оценки дифракционного интеграла Кирхгофа методом стационарной фазы получен главный член асимптотики перемещений в отраженных продольной и поперечной волнах.
Исследовано высокочастотное рассеяние упругих волн на граничных контурах системы двух полостей, находящихся в безграничной упругой среде. Для двукратно отраженных волн изучены все случаи переотражений с учетом возможных трансформаций волн: продольной в поперечную и поперечной в продольную.
На основе асимптотической оценки кратных интегралов Кирхгофа методом многомерной стационарной фазы получены главные члены асимптотики перемещений в переотраженных произвольное конечное число раз упругих волнах с учетом их возможных трансформаций на граничных поверхностях системы полостей, находящихся в упругой среде.
Глава посвящена развитию лучевой теории дифракции применительно к произвольным невыпуклым гладким препятствиям в скалярном случае. Рассматривается трехмерная задача. Излагается асимптотический метод оценки дифракционных интегралов, основанный на методе многомерной стационарной фазы. Дифракционные интегралы получены на основе обобщения физической теории дифракции Кирхгофа. Получены явные формулы для давления в отраженной волне в случаях её однократного, двукратного и произвольного числа переотражений.
Точное исследование рассеяния высокочастотных волн на поверхностях в сплошных средах сталкивается с существенными трудностями, если длина волны много меньше среднего размера препятствия [188]. Численные методы, такие как метод конечных элементов, метод граничных элементов, требуют в этом случае большого количества узлов на сетке. Это приводит к неустойчивости счета.
Для преодоления этой трудности были развиты различные асимптотические подходы, такие как геометрическая теория дифракционных лучей Келлера, теория Кирхгофа, ползущие волны и другие. Аналитические методы для рассматриваемого класса задач достаточно подробно изложены в монографиях [42, 125, 192, 293].
Основное ограничение лучевых методов связано с тем, что они развиты в основном для выпуклых препятствий, поскольку только для таких объектов легко разделяются зоны «света» и «тени». Из недавних работ отметим [96], в которой применяется метод, основанный на аналитическом продолжении рассеянного поля, истоки которого восходят к работам Рэлея.
Двукратное переотражение упругих волн с учетом возможных трансформаций
Если точка отражения у эллиптическая и луч падает на выпуклую часть поверхности (кх 0, к2 0), то все слагаемые положительные и рассеяние наибольшее, если луч падает на вогнутую часть (кх 0, к2 0), то второе слагаемое (Н О, к 0, К 0) отрицательное и рассеяние меньше по сравнению с первым случаем. Заметим, что при уменьшении у вклад слагаемого со средней кривизной Н увеличивается, а с к - уменьшается. В случае нормального падения волны второе слагаемое учитывает только среднюю кривизну. С увеличением у увеличивается вклад кривизны к нормального сечения.
Если точка отражения у гиперболическая (К О), то главные кривизны кх и к2 имеют разные знаки. Следовательно, одно из главных сечений загибается в сторону выбранной нормали, а другое - в обратную сторону. В такой точке существуют два асимптотических направления (к = 0), симметрично расположенных относительно главных направлений. Из двух пар вертикальных углов, образованных асимптотическими направлениями, одна пара заключает направления, отвечающие нормальным сечениям с отрицательной кривизной к, другая пара - с положительной. Вблизи гиперболической точки поверхность имеет седлообразную форму. При этом знак третьего слагаемого с К всегда отрицательный, а знак второго зависит от Н, к и у.
Если точка отражения у параболическая (К = 0), то по крайней мере один из кх и к2 равен нулю. Предельный случай кх = к2 = 0 формулы (2.1.12) рассмотрен ниже. Пусть, например, кх = 0, к2 =0. Средняя кривизна Н = кх и к = кх cos гср имеет такой же знак как кх, который может быть как положительным, так и отрицательным. В случае параболической точки третье слагаемое равно нулю, а второе имеет знак ненулевой главной кривизны, при этом для нормального падения волны геометрические свойства поверхности определяются через ненулевую кривизну главного сечения, которая присутствует во втором слагаемом в качестве множителя.
Таким образом, в этом параграфе получено явное выражение (2.1.12) главного члена асимптотики давления р{х) в отраженной от поверхности твердого рассеивателя высокочастотной акустической волне. Установлены количественные особенности зависимости давления Р\Х) в отраженной волне от локальных параметров поверхности рассеивателя в точке зеркального отражения: средней и гауссовой кривизны, кривизны нормального сечения поверхности плоскостью падающего луча, расстояний между точками зеркального отражения, их удалений от источника волны и точками приема отраженной волны, а также направлений падающих волн.
Формула для давления в один раз отраженной волне (2.1.12) от акустически твердой поверхности приведена в монографии [252]. В ней она получена на основе геометрической теории дифракции (ГТД) Келлера. Это означает, что главный член асимптотики дифракционного интеграла совпадает с расчетами давления в отраженной волне по ГТД. Вместе с тем, применение ГТД Келлера, основанной на использовании коэффициентов расходимости, уже в случае двукратного отражения волны является достаточно громоздким. Если исследовать задачу о переотражении высокочастотной волны от поверхности произвольного N числа раз, то, на наш взгляд, более удобно исходить из оценки 2N кратного дифракционного интеграла методом многомерной стационарной фазы. Основой исследования общего случая произвольного числа переотражений является задача о двукратном отражении, к рассмотрению которой и переходим.
Прямой численный метод в трехмерной задаче дифракции с переотражениями: численное моделирование и сравнение с лучевым методом
Переменная n принимает последовательно натуральные значения 1, 2, 3,... с условием, что каждый из индексов / и j элементов dtj ( U j = 1, 2, 3,..., 2N ) не превосходит числа 2N.
Заметим, что оценка многомерного дифракционного интеграла (2.3.8) не сводится к последовательному асимптотическому анализу двукратных интегралов, поскольку структура фазовой функции представляет собой довольно сложную комбинацию, зависящую от всех точек окрестностей ,, S2,...,SN, участвующих в отражении луча.
Получены явные выражения (2.1.11), (2.2.21), (2.3.26) главного члена асимптотики дифрагированного поля в случаях однократного, двукратного и многократного отражения.
Формулы для давления р(х) в отраженной волне устанавливают его зависимость от параметров задачи, которые определяются главными кривизнами, гауссовыми и средними кривизнами, кривизнами нормальных сечений поверхностей, расстояниями между точками зеркального отражения, удалением источника волны от первой точки отражения, удалением точки приема от последней точки отражения, от направлений падающих волн, а также углами между плоскостями падения лучей в соседних точках зеркального отражения.
Теоретическая значимость формулы (2.3.26) состоит в том, что давление в отраженной акустической волне в случае произвольного конечного числа её переотражений получено в замкнутом виде. Практическая важность формулы (2.3.26) определяется тем, что вычисление давления в переотраженной N раз волне сведено к вычислению определителя симметричной ленточной матрицы Гессе порядка 2N с шириной ленты, равной семи, который на современных компьютерах вычисляется в реальном масштабе времени.
В данном параграфе исследуется полученная в предыдущем параграфе формула амплитуды акустической волны, переотраженной произвольное конечное число раз в предельном случае расположения в точках зеркального отражения плоских участков отражающих поверхностей. Рассмотрены переотражения волны в двух случаях. Первым исследован случай многократного переотражения высокочастотной волны от плоских частей вдоль луча, расположенного в одной плоскости. Во втором случае изучается амплитуда многократно переотраженной волны от системы плоских отражателей вдоль луча, представляющего собой пространственную ломаную линию.
Вычислить аналитически в этом случае гессиан det(Z)2jV) весьма затруднительно. Справедливость формулы (2.4.2) проверим численно на примере двукратного переотражения высокочастотной акустической сферической волны от двух акустически твердых плоских отражателей вдоль луча, представляющего собой пространственную ломаную линию. В качестве траектории луча выбирается траектория луча A-B-C-D (задача 4.2, рис. 20, 21), в точках В и С которой помещены два акустически твердых плоских квадратных (со стороной, равной d = R = 1) отражателя, лежащих в касательных плоскостях к сферам единичного радиуса R = 1 в точках В и С. Центры этих квадратов совпадают с точками В и С. Параметр kR полагался kR = 2\Q, 230,250. При геометрических параметрах траектории луча задачи 4.2. проведены численные расчеты с последующим сравнением. На основе интегрального представления (4.2.1) проведено прямое численное вычисление четырехкратного интеграла по поверхностям плоских квадратных отражателей. На каждой стороне отражателя бралось 360 точек разбиения. Если за точное значение давления в точке D взять давление р{р), рассчитанное по формуле (2.4.2) при N=2, то относительная погрешность числовых значений составляет 10 . Относительная погрешность числовых значений, полученных на основе главного члена асимптотики (2.2.21) и формулы (2.4.2) составляет 10" . Проведенные сравнения расчетов подтверждают справедливость формуле (2.4.2) в случае траектории переотраженного луча, представляющую собой пространственную ломаную линию, если применять вычисления с двойной точностью на Фортране.
