Содержание к диссертации
Введение
Часть 1. Статический изгиб прямоугольных пластинок при сложных условиях закрепления контура 13
Глава 1. Модифицированный метод сплайн-коллокации в задачах статического изгиба изотропных прямоугольных пластинок 13
1.1 Постановка задачи и основные уравнения статического изгиба изотропной пластинки 13
1.2. Модифицированный метод сплайн-коллокации 14
1.3. Напряженно-деформированное состояние квадратных изотропных пластинок с двумя свободными смежными сторонами 24
1.4. Исследование НДС пластинок с шарнирным опиранием в угловых точках 29
1.5. Численное исследование некоторых задач изгиба консольной изотропной пластинки 34
1.6. Численное исследование изгиба кусочно - однородной прямоугольной пластинки из изотропного материала 42
Глава 2. Численное исследование статического изгиба прямоугольной ортотроиной пластинки 55
1.7. Постановка задачи и основные уравнения статического изгиба ортотропиой пластинки 55
1.8. Модифицированный метод сплайн-коллокации в случае пластинки из ортотропного материала 56
1.9. НДС ортотропной пластинки с двумя закрепленными смежными сторонами и свободной остальной частью контура 61
1.10. Ортотропные пластинки с подкрепленными угловыми точками... 65
Часть 2. Установившиеся колебания прямоугольных пластинок при сложных условиях закрепления контура 70
Глава 3. Численное исследование колебаний изотропных пластинок 70
2.1 Основные уравнения и соотношения теории вынужденных колебаний изотропной пластинки ,70
2.2. Установившиеся изгибные колебания прямоугольной изотропной пластинки с частично закрепленным контуром 71
Глава 4. Колебания прямоугольной пластинки из ортотропного материала79
2.3. Исследование колебаний прямоугольной пластинки из ортотропного материала 79
Глава 5. Колебания вязкоупругой пластинки 93
2.4. Постановка задачи и основные уравнения и соотношения вибрационного изгиба вязкоупругой пластинки 93
2.5. Пример числовых расчетов 106
Основные результаты и выводы 115
Список литературы 117
- Напряженно-деформированное состояние квадратных изотропных пластинок с двумя свободными смежными сторонами
- Модифицированный метод сплайн-коллокации в случае пластинки из ортотропного материала
- Установившиеся изгибные колебания прямоугольной изотропной пластинки с частично закрепленным контуром
- Постановка задачи и основные уравнения и соотношения вибрационного изгиба вязкоупругой пластинки
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена разработке модифицированного метода сплайн-коллокации для решения задач статического изгиба и установившихся колебаний токих идеально упругих и вязкоупругих пластин при различных условиях закрепления или нагружения контура пластины. В рамках предлагаемой модификации на граничные условия накладывается единственное ограничение - их вид в пределах каждой из сторон контура остается неизменным.
Актуальность работы.
Начало теории пластин и стержней положили работы великих математиков. Изучением деформации стержней занимались Я. Бернулли, Л. Эйлер, Д. Бернул- ли. Уравнение изгиба пластины было получено С. Жермен, а Г. Кирхгоф и А. Сен-Венан окончательно сформулировали идею понижения размерности. Изучению уравнений теории анизотропных пластинок посвящены работы С.Г. Лехниц- кого. Случай изотропных пластинок рассматривается в работах Б.Г. Галеркина и С.П. Тимошенко. В статьях М.М. Фридмана были получены решения задач об изгибе различных изотропных пластинок. Теории пластин и оболочек посвящены также монографии С.А.Амбарцумяна, А.Л. Гольденвейзера. В работах Тимошенко и Войновского-Кригера основное внимание уделяется решению конкретных задач об упругих деформациях пластинок и оболочек. Здесь проводится различие между тонкими пластинками, подвергающимся малым, в сравнении с толщиной пластинки, прогибам, и тонкими пластинками, подвергающимся большим прогибам. Чтобы вычислить напряжение для любой точки пластинки первого типа необходимо решить дифференциальное уравнение в частных производных, которое вместе с граничными условиями определяет прогиб пластинки, являющийся функцией двух координат в ее плоскости. Для таких пластинок разных геометрических форм рассмотрены изгибы по цилиндрической поверхности, чистый изгиб, симметричный изгиб, поперечные нагрузки, различные условия опирання по краям; также описывается изгиб анизотропной пластинки.
В настоящее время усилиями многих поколений ученых построены различные теории, описывающие напряженно-деформированное состояние тонкостенных конструкций, и разработаны эффективные методы их расчета. Несмотря на то, что
достигнуты значительные успехи в развитии теории и разработке приближенных методов решения различных прикладных задач, круг проблем, требующих своего разрешения, по-прежнему обширен.
Одной из актуальных является проблема, связанная с разработкой таких приближенных методов решения краевых задач теории пластин, которые были бы универсальны, эффективны и не слишком требовательны к машинным ресурсам при реализации.
Цели диссертационной работы.
Разработка модифицированного метода сплайн-коллокации для решения задач статического изгиба и установившихся колебаний идеально упругих и вязкоупругих прямоугольных пластинок при сложных способах закрепления контура.
ние результатов с известными аналитическими решениями.
стинка с двумя смежными закрепленными сторонами, консольная пластинка, пластинка, подкрепленная в угловых точках и пр.).
Научная новизна. В работе впервые построена модификация метода сплайн- коллокации для решения задач статического изгиба и установившихся колебаний идеально упругих и вязкоупругих прямоугольных пластинок для сложных способов закрепления контура. Все задачи, решенные в рамках апробации предложенного метода, решены впервые (за исключением модельных). В ходе вычислительных экспериментов выявлен и исследован ряд механических эффектов и закономерностей.
Достоверность. Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью математической постановки задачи и обоснованным применением соответствующего математического аппарата при построении метода и хорошим совпадением результатов для модельных задач при численном решении.
Практическая значимость. Работа имеет как теоретический, так и прикладной характер. Предложенный в работе метод может найти применение при
решении широкого спектра задач статического изгиба и установившихся колебаний тонких пластин с разнообразными условиями закрепления или нагружения контура. Результаты, полученные в ходе численного решения задач, могут использоваться при моделировании поведения различных тонких пластин в разнообразных прикладных областях.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на:
Второй Всероссийской научной конференции (Самара, СамГТУ, 2005г);
V Российской конференции с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Саратов, СГУ, 2005г);
СГТУ, 2005);
ники Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского под руководством д.ф.-м.н., профессора Коссовича Л.Ю.
На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:
изгиба и установившихся колебаний идеально упругих и вязкоупругих пластинок для сложных способов закрепления контура.
тов по определению напряженно-деформированного состояния и резонансных частот прямоугольных пластинок со сложными условиями закрепления контура.
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных работах, из них 5 статей в журналах из списка, рекомендованного ВАК, 4 публикации в трудах конференций и сборниках научных трудов.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитированной литературы. Материал работы изложен на 124 страницах, содержит 41 рисунок и 17 таблиц, список цитированной литературы содержит 93 наименования.
Напряженно-деформированное состояние квадратных изотропных пластинок с двумя свободными смежными сторонами
В различных отраслях современной техники пластины и оболочки разнообразных форм являются наиболее распространенными элементами тонкостенных конструкций. Они широко применяются в строительном деле, машиностроении, гидротехнике, судо- и авиастроении, дорожном деле и в друпіх областях техники. В гражданском и промышленном строительстве это покрытия, перекрытия, рабочие площадки, некоторые виды фундаментов; в машиностроении - элементы технологического оборудования; п электронике - печатные платы из фольгированного стеклопластика и т.п.
Широкий спектр применения пластин и оболочек объясняется как большими функциональными возможностями тонкостенных конструкций, так и исключительно удачным сочетанием в них малого веса и прочности.
Вышеуказанные конструкции подвергаются различного рода статическим и динамическим воздействиям, при этом к их прочности и надежности предъявляются постоянно возрастающие требования. В XVITI веке предпринятые Л.Эйлером и вслед за ним Я.Бернулли (младшим) попытки построить математическую модель задачи о колебаниях пластинки не увенчались успехом, и только Софи Жермен вместе с Лагранжем в 1812 г. получили правильное уравнение для определения прогибов колеблющейся тонкой изотропной пластинки.
Первая более - менее удовлетворительная попытка построить теорию изгиба пластин удалась Навье (1823г.), который исправил ошибку, допущенную Пуассоном, и получил строгое аналитическое решение задачи об изгибе прямоугольной пластинки со свободно опертым контуром. Однако, по мнению С.П.Тимошенко [66], наиболее успешными в этом направлении следует считать исследования Г.Кирхгофа, который в работе, опубликованной в 1850г., сформулировал гипотезы ставшей впоследствии классической теории изгиба тонких изотропных пластинок. Завершение построения этой теории было выполнено У.Томпсоном (лордом Кельвином), который в 1870г. дал окончательное решение вопроса о количестве граничных условий, необходимых для корректной математической формулировки краевой задачи определения прогибов тонкой пластинки.
Практически одновременно Ф.Герингом (1860г.) и М. Буссинеском (1879г.) делаются попытки построения уравнений изгиба анизотропных пластинок, но ряд фундаментальных результатов в этом направлении был получен только в работах М.Губера [73]-[75], опубликованных в 1921 -1929г.г. Последующие исследования С.Г.Лехницкого, выполненные в 30-е годы прошлого столетия, были обобщены в его монографии «Анизотропные пластинки» [41], [42]. В этой монографии последовательно и строго изложены основы теории изгиба анизотропных пластинок в рамках гипотез Кирхгофа и получены аналитические решения многочисленных конкретных задач (обобщение решений Навье и М.Леви на случай анизотропного материала, решение задачи о концентрации напряжений в бесконечной пластинке, ослабленной эллиптическим отверстием, и многих других).
Теории анизотропных пластин и оболочек посвящены также монографии С.А.Амбарцумяна [7, 8], в которых наряду с классической рассматриваются так называемые «уточненные» теории, базирующиеся на несколько иных исходных гипотезах.
В первой половине прошлого столетия вопросы изучения статического и динамического изгиба тонких пластинок являлись предметом исследования многих ученых. В частности, большое внимание было уделено разработке приближенных методов решения соответствующих краевых задач. Среди таких методов следует отметить вариационные методы, сводящие решение краевой задачи для дифференциального уравнения к отысканию минимума некоторого функционала. Наибольшее распространение получили метод Трсффтца, метод Ритца (1908г.), метод Бубнова - Галеркина (1915г.) и др. Детальный обзор этих методов и примеры их применения можно найти, например, в работах [1], [39], [61 ]. Эти методы остаются актуальными и продолжают развиваться и модернизируются и в настоящее время, о чем свидетельствуют, например, докторские диссертации [18], [21], [40].
Наибольшей универсальностью обладает один из вариантов метода Рэлея-Ритца - метод конечных элементов (МКЭ) [15], [16], [56]. В последнее время он получил наибольшее распространение на практике. Сейчас применяется большое количество разнообразных конечных элементов, способных описать практически любую задачу. Однако данный подход не лишен недостатков: трудно оценить погрешность метода, возможна неустойчивость счета вблизи точек смены граничных условий и т.п. К тому же МКЭ требует существенных затрат машинного времени и большого объема оперативной памяти ПЭВМ.
Вариационные методы в известной степени удовлетворяют запросам практики, их применение позволило решить большое количество задач. К сожалению, эффективность вариационных методов существенно снижается в задачах, имеющих смешанные граничные условия, из-за трудностей в построении координатных функций, которые должны удовлетворять различным граничным условиям на различных участках границы.
А.Л. Гольденвейзером в работе [24] для расчета пластин со сложными (в том числе и смешанными) граничными условиями был предложен асимптотический метод. Дальнейшему развитию и применению этого метода посвящены работы обширного круга ученых, например [11-13], [37], [76] и др. Основная идея данного метода заключается в том, что искомое решение представляется в виде суммы двух составляющих: основного во внутренней области, занимаемой пластиной, и корректирующего состояния типа динамического краевого эффекта, локализованного в малой окрестности контура и быстро затухающего при удалении во внутреннюю область. К сожалению, область применения метода ограничена динамическим!: задачами.
Модифицированный метод сплайн-коллокации в случае пластинки из ортотропного материала
На сторонах = 0 и у = Ь согласно способам закрепления или нагружения этих сторон могут быть сформулированы граничные условия, по два условия в каждой точке каждой из сторон. После подстановки соответствующих разложений \VM{,7}} в эти условия из требования, чтобы последние выполнялись в точках коллокации, получается система 8N + 8 уравнений для граничных значений неизвестных функций. Эти уравнения условно назовем условиями (Б).
В случае d, =d, =0 при граничных условиях (1.6.14.1) или (1.6.14.П) и им подобных при х = ах+аг система уравнений (А) в совокупности с условиями (Б) составляет краевую задачу для определения всех неизвестных функций в разложениях Wlt)(,T]). Если при d,=d2=0 граничные условия на стороне х = 0 имеют вид (1.6.14ЛП), то число неизвестных функций в разложении WM(4,?) увеличивается до N + 3. Тогда из (А) с учетом (1.6.18) следует исключить вторые, а после двукратного дифференцирования и четвертые производные функций Фдо(7) (к = 1,2). Преобразованная таким образом система (А) в совокупности с (1.6.18) составит полную систему разрешающих уравнений в этом случае. При этом к граничным условиям (Б) необходимо присоединить еще четыре условия, которые получаются из условий нагружения или деформирования сторон у=0 и у = Ь при = 0. Если на стороне х = а1+а2 также заданы условия типа (1.6.14.Ш), то из (А), используя (1.6.18) и (1.6.20), исключают производные функций ФуД7?) и v.iM (k = l»2). Полученные уравнения вместе с уравнениями (1.6.18) и (1.6.20) составят систему разрешающих уравнений, соответствующую такому варианту условий при дг = 0 и х = а%+аг . К граничным условиям (Б) в этом случае кроме условии на концах стороны х = 0 еще добавляются условия на концах стороны х = а, + аг . Совершенно аналогично получаются краевые задачи, когда 3, 0,d, ФО. Например, если в этом случае на сторонах х = 0 и x = at+a2 задано распределение нагрузки, то из (А) с помощью (1.6.13), (1.6.18) и (1.6.20) исключаются производные функций Результат такого преобразования вместе с уравнениями (1.6.13), (1.6.18) и (1.6.20) дает систему разрешающих уравнений, граничные условия для которой состоят из условий (Б) и условий на концах отрезков х = 0у х = а1их = аї+а2 . Несколько иначе строятся краевые задачи, когда один из коэффициентов dk равен нулю, а второй отличен от нуля. Наметим порядок решения в этом случае, например, при граничных условиях (1.6.14.1) или (Ї.6.14.11) и им подобных на правой стороне пластинки. Тогда неизвестными функциями в разложениях WKk)(4,7j) будут Ufyi)&.ifl) и ,(#) \j = Q,N), Если в качестве системы разрешающих уравнений для этих функций принять систему (Л) и уравнение (1.6.12), которому должна удовлетворять функция Ux{j])i то для определения произволов интегрирования потребуется 8W + 10 условий, из которых SN + 8 составляют условия (Б). Недостающие условия естественно формулировать в концевых точках отрезка х = ах. Однако в каждой из этих точек можно записать по два условия, и вопрос о том, какие два из четырех условий выбрать, имеет неоднозначное решение. Чтобы избежать подобной ситуации, за систему разрешающих уравнений в этом случае примем систему (А), дополненную дважды продифференцированным по 77 уравнением (1.6.12). Число граничных условий для такой системы должно равняться 8ЛГ + 12. В качестве этих условий примем условия (Б), к которым добавлены четыре условия в концевых точках линии контакта х = а,. Такой подход делает постановку краевой задачи для указанной системы разрешающих уравнений математически корректной. Построенные указанным выше способом краевые задачи решаются численно. Для этого система уравнений, входящая в краевую задачу, разрешается относительно старших производных от искомых функций. Возможность этой процедуры обеспечивается соответствующим выбором параметра /, определяющего взаимное расположение узлов и точек коллокации % (i = 0,JV). Полученной системе ставится в соответствие эквивалентная система дифференциальных уравнений первого порядка, записанная в нормальной форме Коши. В общем случае эта система в векторной форме имеет вид - известные квадратная матрица и вектор соответствующей размерности, Z{f]) - вектор неизвестных, компонентами которого являются неизвестные функции в разложениях функций W{i)(g,7j) и их производные. Например, если ?,= 72=0, а при = 0 имеют место условия (1.6.14.1) или (1.6.14.П) и им подобные придг = а, +аг.
Установившиеся изгибные колебания прямоугольной изотропной пластинки с частично закрепленным контуром
В первой половине прошлого столетия вопросы изучения статического и динамического изгиба тонких пластинок являлись предметом исследования многих ученых. В частности, большое внимание было уделено разработке приближенных методов решения соответствующих краевых задач. Среди таких методов следует отметить вариационные методы, сводящие решение краевой задачи для дифференциального уравнения к отысканию минимума некоторого функционала. Наибольшее распространение получили метод Трсффтца, метод Ритца (1908г.), метод Бубнова - Галеркина (1915г.) и др. Детальный обзор этих методов и примеры их применения можно найти, например, в работах [1], [39], [61 ]. Эти методы остаются актуальными и продолжают развиваться и модернизируются и в настоящее время, о чем свидетельствуют, например, докторские диссертации [18], [21], [40].
Наибольшей универсальностью обладает один из вариантов метода Рэлея-Ритца - метод конечных элементов (МКЭ) [15], [16], [56]. В последнее время он получил наибольшее распространение на практике. Сейчас применяется большое количество разнообразных конечных элементов, способных описать практически любую задачу. Однако данный подход не лишен недостатков: трудно оценить погрешность метода, возможна неустойчивость счета вблизи точек смены граничных условий и т.п. К тому же МКЭ требует существенных затрат машинного времени и большого объема оперативной памяти ПЭВМ.
Вариационные методы в известной степени удовлетворяют запросам практики, их применение позволило решить большое количество задач. К сожалению, эффективность вариационных методов существенно снижается в задачах, имеющих смешанные граничные условия, из-за трудностей в построении координатных функций, которые должны удовлетворять различным граничным условиям на различных участках границы.
А.Л. Гольденвейзером в работе [24] для расчета пластин со сложными (в том числе и смешанными) граничными условиями был предложен асимптотический метод. Дальнейшему развитию и применению этого метода посвящены работы обширного круга ученых, например [11-13], [37], [76] и др. Основная идея данного метода заключается в том, что искомое решение представляется в виде суммы двух составляющих: основного во внутренней области, занимаемой пластиной, и корректирующего состояния типа динамического краевого эффекта, локализованного в малой окрестности контура и быстро затухающего при удалении во внутреннюю область. К сожалению, область применения метода ограничена динамическим!: задачами. Новый этап в развитии исследований по теории изгиба пластинок и оболочек начался со второй половины пятидесятых годов прошлого столетия, когда стали широко распространяться электронно-вычислительные машины. Это привело к появлению новых численных методов решения сложных краевых задач для дифференциальных уравнений, реализации которых с помощью логарифмической линейки и механического арифмометра «Феликс» ранее была невозможна. К числу таких методов относится метод конечных разностей (МКР) который позволил решить некоторые задачи статики и динамики пластин со смешанными граничными условиями различных типов. Однако и в этом случае оценка точности полученных результатов представляет самостоятельную задачу, требующую дополнительного исследования. Примеры применения МКР имеются в работах [14], [20], [59], [60], [68] и др.
Близким по духу МКР является метод коллокацнй. Суть его состоит в том, что исходное дифференциальное уравнение равновесия или движения пластины удовлетворяется в отдельных точках внутри области, занимаемой пластиной (точках коллокаций).
Впервые идея применения коллокационных методов для решения краевых задач математической физики изложена акад. Л.В. Канторовичем в 1934 году. В работе [34] предлагаются два варианта коллокационных методов - метод вігутренней коллокаций и метод коллокаций по линиям, приводится пример решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения.
Frazer R.A. с соавторами в 1937 году в работе [72] предложили различные варианты аппроксимации искомых функций и сделали первую попытку обоснования метода внутренней коллокаций.
Метод граничной коллокаций впервые был применен для приближенного решения линейной краевой задачи об изгибе пластины J. Barta в 1937 г в работе [71]. Дальнейшему развитию метода внутренней коллокации посвящены работы [10], [38], практическое применение метода граничной коллокации рассматривается в работах [22], [30], [36], [43], [45], [57], [63], [77] и пр. Математическому обоснованию коллокационных методов посвящены работы [19], [35], [70]. Наиболее полный обзор коллокационных методов и полученных результатов исследований в этой области приведен в работе [62].
В настоящее время усилиями многих поколений ученых построены различные теории, описывающие напряженно-деформированное состояние тонкостенных конструкций, и разработаны эффективные методы их расчета
Несмотря на то, что достигнуты значительные успехи в развитии теории и разработке приближенных методов решения различных прикладных задач, круг проблем, требующих своего разрешения, по-прежнему обширен.
Одной из актуальных является проблема, связанная с разработкой таких приближенных методов решения краевых задач теории пластин и оболочек, которые были бы универсальны, эффективны и не слишком требовательны к машинным ресурсам при реализации.
Постановка задачи и основные уравнения и соотношения вибрационного изгиба вязкоупругой пластинки
Ряд результатов в решении смешанных задач теории пластин получен методом кратных рядов, основная идея которого заключается в следующем: находится общее решение дифференциального уравнения, содержащее набор произвольных постоянных, затем на каждом участке смешанных граничных условий постоянные выбираются так, чтобы условия удовлетворялись. Если решение представлено рядом Фурье, то получается столько различных рядов. сколько имеется участков смены граничных условий. В случае, когда решение представлено интегралом Фурье, получается набор кратных интегральных уравнений. Далее к полученной системе рядов (уравнений) применяется конечное интегральное преобразование, которое приводит кратные ряды (уравнения) к бесконечной системе линейных алгебраических (интегральных) уравнений, решаемых известными методами. Данный подход применялся В.М. Александровым и его учениками [2-6], [33] в задачах о расчете НДС и колебаний пластин со смешанными граничными условиями.
Вышеописанными методами удобно пользоваться в случае, когда размеры участков границы с различными условиями закрепления соизмеримы с линейными размерами пластины. В том случае, когда эти участки малы, можно перейти к некоторым осредненным граничным условиям. Методика их построения изложена в работе [44].
Для решения двумерных задач теории пластин и оболочек в последние два десятилетия широко применяется метод сплайи-коллокации. Этот метод, предложенный в 1987г. Я.М. Григоренко и М.Н. Береновым [28], и получивший дальнейшее развитие в [25-27], быстро получил признание научного сообщества [29]. Для исследования колебаний вязкоупругих пластинок при сложном закреплении краев он применялся, в частности, П.Ф.Недорезовым в работах [46], [50]. Проверка метода сплайн-коллокацнн на большом количестве тестовых задач показала его высокую точность. Однако этот метод в классическом его виде применим только, когда две противоположные стороны пластинки закреплены. Если у пластинки закреплена одна сторона (консоль) или две смежных стороны при заданной нагрузке на остальной части границы, метод сплайн-коллокации в его классическом виде не применим.
В диссертационной работе рассматривается модификация метода сплаГш-коллокации для решения задач статики и динамики тонких прямоугольных пластин при произвольных граничных условиях на контуре пластины. На граничные условия накладывается единственное ограничение -их вид в пределах каждой из сторон контура остается неизменным. В данной работе применение предлагаемого метода иллюстрируется результатами вычислений, которые выполнялись для квадратных пластинок с размером стороны а = 1.0 м, А = 0.01 м, за исключением п. 1.5, в котором рассматривается прямоугольная консольная пластинка и исследуется влияние отношение размеров сторон пластинки на ее напряженно-деформированное состояние. Апробация данного подхода была проведена на ряде модельных задач, для которых известны аналитические или численные решения. Цели диссертационной работы. Разработка модифицированного метода сплайн-коллокации для решения задач статического изгиба и установившихся колебаний идеально упругих и вязкоупругих пластинок при сложных способах закрепления контура. Решение модельных задач для апробации разработанной методики, сравнение результатов с известными аналитическими решениями. Решение различных задач при нестандартных условиях закрепления (пластинка с двумя смежными закрепленными сторонами, консольная пластинка, пластинка, подкрепленная в угловых точках). Научная новизна. В работе впервые построена модификация метода сплайн-коллокации для решения задач статического изгиба и установившихся колебаний идеально упругих и вязкоупругих прямоугольных пластинок для сложных способов закрепления контура. Все задачи, решенные в рамках апробации предложенного метода, решены впервые (за исключением модельных). В ходе вычислительных экспериментов выявлен и исследован ряд механических эффектов и закономерностей. Достоверность полученных результатов обеспечивается При построении метода - строгостью математической постановки задачи и обоснованным применением соответствующего математического аппарата. При численном решении - хорошим совпадением результатов для модельных задач. Практическая значимость. Работа имеет как теоретический, так и прикладной характер. Предложенный в работе метод может найти применение при решении широкого спектра задач статического изгиба и установившихся колебаний тонких пластин с разнообразными условиями закрепления контура. Результаты, полученные в ходе численного решения задач, могут использоваться при моделировании поведения различных тонких пластин в разнообразных прикладных областях. Апробация работы. Основные результаты докладывались на: Второй Всероссийской научной конференции (Самара, СамГТУ, 2005г); V Российской конференции с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Саратов, СГУ, 2005г); XXI Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов,СГТУ, 2005); научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственпюго университета им. Н.Г. Чернышевского под руководством д.ф.-м.н., профессора Коссовича Л.Ю. На защиту выносятся: Модификация метода сплайн-коллокации для решения задач статического изгиба и установившихся колебаний идеально упругих и вязкоупругих пластинок для сложных способов закрепления контура.
