Содержание к диссертации
Введение
1. Уравнения осесимметричного напряженно-деформированного состояния оболочек вращения 12
1.1. Квадратично-нелинейные уравнения в естественном триэдре срединной поверхности 13
1.1.1. Основные соотношения и краевые условия 13
1.1.2. Условия сопряжения на кольцевых ребрах 15
1.1.3. Приведение уравнений к каноническому виду 17
1.1.4. Разрешающие уравнения в безразмерной форме 17
1.1.5. Геометрические параметры типовых оболочек 19
1.2. Уравнения деформаций оболочек с большими углами поворота.. 20
1.3. Квадратично-нелинейные уравнения в цилиндрической системе координат 24
2. Уравнения вибрационной динамики оболочек вращения 27
2.1. Базовые уравнения динамики оболочек 27
2.2. Уравнения колебаний предварительно напряженных оболочек Вращения 29
2.3. Варианты однородных краевых условий 31
2.4. Уравнения в алгоритмической форме 31
2.5. Уравнения колебаний кольцевых ребер, стыкующих секции составных оболочек вращения 37
2.6. Условия сопряжения решений для смежных секций 40
3. Постановка задач и моделирование вынужденных колебаний оболочек с рассеянием энергии 42
3.1. Гармонические колебания оболочек с внутренними потерями 42
3.2. Совместные колебания оболочки и жидкости 44
3.3. Уравнения линейной акустики 46
4. Исследование статической задачи для емкости 48
4.1. Параметризация геометрии составной оболочки 48
4.2. Выбор модели и анализ НДС днища 51
5. Анализ динамики и ресурса емкости 55
5.1. Постановка задачи о колебаниях емкости при транспортировке 55
5.2. Учет жидкости методом присоединенных масс 56
5.3. Развитие метода расчета колебаний оболочек, содержащих жидкость, на основе решения связанных гранично-контактных задач.. 60
5.3.1. Построение системы уравнений связанных колебаний оболочки и жидкости на тригонометрическом приближении 60
5.3.2. Построение связанной системы с использованием сплайн-аппроксимации 64
5.4. Классификация динамического состояния и оценка коэффициента запаса по малоцикловой усталости 68
5.5. Сравнение теории и эксперимента 75
6. Анализ напряженного состояния вариантов днищ 77
6.1. Сравнение оболочек с плавным и ломаным меридианами 77
6.2. Оболочка с кольцевой канавкой 82
Заключение 85
Литература
- Условия сопряжения на кольцевых ребрах
- Уравнения колебаний кольцевых ребер, стыкующих секции составных оболочек вращения
- Совместные колебания оболочки и жидкости
- Выбор модели и анализ НДС днища
Введение к работе
Проблема взаимодействия оболочек с жидкой средой занимает важное место в динамике оболочек. Задачи по этой проблеме отличаются разнообразием по типам конструкций, математическим формулировкам и методам решения. К ним относятся: задачи динамической устойчивости оболочек, обтекаемых жидкостью или газом; задачи излучения и дифракции звуковых волн оболочками при колебаниях в акустической среде; колебания оболочек, полностью или частично заполненных тяжелой жидкостью; динамическая реакция оболочек на ударные волны в окружающей жидкости или газе; соударение оболочечных конструкций с поверхностью тяжелой жидкости и ряд других.
Значительный вклад в создание и развитие теории, моделей и методов механики оболочек и пластин внесли А. Ляв, В.З. Власов, СП. Тимошенко, А.Л. Гольденвейзер [22, 23], В.В. Новожилов [61, 62], Н.А. Кильчевский, Х.М. Муштари, А.И. Лурье, А.С. Вольмир [16], И.И. Ворович [18, 19], Э.И., Григолюк [27-29], Г.Н. Савин, С.А. Амбарцумян, А.Р. Ржаницын, Д.В. Вайнберг, К.Ф. Черных, Л.М. Зубов, Ю.А. Устинов, Э. Рейсснер [116] и ряд других ученых. Основы работ по гидроупругости, заложенные на рубежах XIX и XX веков лордом Рэлеем и Николаи, развивали в 30-е годы XX века Е.П. Гроссман, М.В. Келдыш, М.А. Лаврентьев, А.И. Некрасов, Э. Рейсснер, Лэмб, М.С. Лейбензон, Раушер, Кюснер, Вестергардт. Существенный вклад в развитие устойчивых численных методов и алгоритмов, получивших широкое применение в расчетной практике, внесли С.К. Годунов, ЯМ. Григоренко [30-32], А.В. Кармишин, В.И. Мяченков и их сотрудники [46, 58, 59], создавшие алгоритмы на основе метода дифференциальной прогонки с дискретной ортогонализацией [20, 30-32, 46, 58, 59]. Методы пристрелки широко использовал Н.В. Валишвили [14]. Более детальный обзор работ, связанных с темой диссертации, помещен в Приложении 2.
Актуальность темы. В связи с добычей нефти и газа, необходимостью хранения, транспортировки и переработки разнообразных химических жидкостей весьма актуальны проблемы прочности и ресурса оболочек резервуаров. Глобализация экономики, расширение рынков сбыта ведет к увеличению объемов грузооборота и расстояний перевозок.
Среди перевозимых грузов немалый тоннаж занимают экологически опасные и вредные для здоровья человека жидкости и вещества. Например, в Германии по некоторым оценкам на сегодняшний день только автотранспортом перевозится более 430 млн. тонн таких грузов. Среди них воспламеняющиеся и пожароопасные жидкости и вещества составляют 79.2%, ядовитые токсичные - 2.7%, едкие агрессивные - 2.7%, газы - 9.2%, другие - 1.1%. Значительность опасности связана со многими факторами свойств перевозимых грузов. Жидкости и вещества могут иметь низкую температуру кипения, склонность к разогреву при соединении с воздухом с последующим возгоранием или взрывом, быть ядовитыми при вдыхании и попадании на живые ткани и т.д. В ФРГ по степени опасности такие продукты классифицируются 13-ю градациями, среди которых 9 основных класса и 4 подкласса.
Данная проблема имеет всеобщий характер, внимание которой уделяет Организация объединенных наций (ООН). Еще в 50-е годы 20-го века рекомендации стали вырабатываться экспертами Совета по экономике и социальным вопросам ООН. В соответствии с этими рекомендациями риск при перевозке (доставке) опасных грузов должен минимизироваться одинаково во всех странах мира ("Оранжевая книга"). Это актуально и для России. В Западной Европе действуют предписания Европейского соглашения о международных перевозках.
В последние годы в промышленно развитых западных странах стали обращать активное внимание на случаи нарушения герметичности резервуаров для транспортировки экологически вредных жидких грузов. Острота проблемы имеет существенную экономическую составляющую
ввиду массового производства указанных резервуаров. В частности, в ФРГ производится в год более 30 млн. цилиндрических емкостей (стальных бочек). Экономический аспект проблемы связан и с ужесточением законодательства о загрязнении окружающей среды (штрафные санкции).
Вопросы, связанные с процессами перегрузки и складирования опасных жидких грузов в достаточной степени регламентированы и стандартизированы. Однако аспекты сохранение целостности тары и ее ресурс при транспортных вибрациях в процессе перевозок исследованы недостаточно. Понятно, что разрушение тары может грозить непредсказуемыми последствиями.
В решении комплекса возникающих проблем важной задачей является установление причин, приводящих к повреждениям оболочек упаковок опасных веществ с целью совершенствования их конструкций. Здесь можно выделить вопросы оптимизации конструкции тары и ее восстановления для возврата в оборот. Необходимость оптимизации связана с тем, что тара должна обеспечивать достаточную безопасность непосредственных и косвенных участников перевозки и быть приемлемой с экономической точки зрения.
Требования к конструкции, типу и материалу тары зависит от класса опасности перевозимого груза. Это могут быть бочки, канистры, ведра, резервуары, цистерны, контейнеры и другие емкости. Тара может быть жесткой, плотно заполняемой, а также препятствующей движениям груза внутри тары. В качестве материала часто используется сталь и полихлорвинил.
Особенности работы корпуса резервуара состоят в следующем. При транспортировке жидких материалов емкость испытывает динамические нагрузки, обусловленные колебаниями транспортного средства в процессе перевозки, а также в режимах разгона и торможения. Возникающие при этом напряжения суммируются с напряжениями, вызванными нагревом, или охлаждением, избыточным или отрицательным внутренним
давлением. Многократные переменные нагрузки приводят к возникновению усталостных трещин и нарушению герметичности что, с учетом специфики перевозимых веществ, наносит серьезный экологический и экономический ущерб.
Данная работа выполнялась в сотрудничестве с Дортмундским университетом с целью комплексного теоретико-экспериментальное исследование напряженно-деформированных состояний (НДС), прочности и ресурса резервуаров. Экспериментальный цикл работ выполнен в лаборатории экспериментальной механики машиностроительного факультета Дортмундского университета. Математическое моделирование осуществлялось с участием автора диссертационной работы в отделе тонкостенных конструкций НИИ механики и прикладной математики им. Воровича И.И. Ростовского государственного университета (НИИМ и ПМ РГУ). Работа также связана с проектом 2512 "Теоретико-экспериментальное исследование напряженно-деформированного состояния, прочности и усталостного ресурса тонкостенных резервуаров для транспортировки экологически вредных жидких сред", выполнявшемся в 2000г. Проект относится к разделу "Экспортные технологии и международное научное сотрудничество" подпрограммы "Разработка и реализация федерально-региональной политики в области науки и образования". Подпрограмма входила в научно-технической программу "Научное, научно-методическое, материально-техническое и информационное обеспечение системы образования". Тема диссертации развивалась также в программе «Интеграция», разработанные методы и алгоритмы адаптировалась и применялась в задачах научно-технического сотрудничества с ООО «Севкавгаз».
Цели работы. К ним относятся:
1. Построение разрешающих систем уравнений, описывающих
статическое и динамическое напряженно-деформированное состояние
(НДС) составных оболочек вращения с жидкостью.
2. Разработка алгоритмов численного анализа и их реализация на
основе современных информационных технологий интегрированного математического пакета.
3. Проведение расчетно-теоретических исследований, включающих:
анализ статического НДС по линейным и нелинейным моделям днищ стандартных резервуаров цилиндрической формы под действием весового давления жидкости;
выбор адекватной математической модели;
определение динамического НДС при вертикальных гармонических колебаниях;
прочностной анализ и оценки коэффициентов запаса по усталостному ресурсу;
сопоставление теоретических решений и экспериментальных результатов по усталостному разрушению емкостей;
сравнительный анализ конструктивного исполнения днищ емкостей по критериям статической и динамической прочности и ресурсу;
4. Применение разработанных моделей, методов и алгоритмов к
другим актуальным конструкциям.
5. Использование современных информационных технологий
интегрированного математического пакета для компьютерного
моделирования поставленных задач.
Методика исследования. При математическом моделировании осесимметричных задач использовались два типа нелинейных уравнений напряженно-деформированного состояния тонких упругих оболочек вращения (типа В.В. Новожилова и Э. Рейсснера) и их линеаризованные варианты. При реализации алгоритмов уравнения приводились к безразмерной форме и каноническому виду. Построены полные системы уравнений, описывающие статическое и динамическое НДС оболочек с жидкостью и их линеаризованные аналоги. Колебания жидкости описываются уравнениями линейной акустики, связанными с уравнениями колебаний оболочки гранично-контактными условиями. Алгоритмы численного анализа построены на основе метода сведения исходных краевых задач к задачам Коши. Программы реализованы на базе современных информационных технологий интегрированного математического пакета MathCad. Использовалась лицензионная версия MathCad 2001. Пакет обладает широкими возможностями символьных
преобразований и вычислительной математики, средствами графической визуализации результатов решений и анимации.
Экспериментальные исследования вынужденных колебаний выполнялись по методике ускоренных испытаний с использованием сервоуправляемого вибрационного стола. Возможности стола позволяют резервуару массой 220 кг колебаться с ускорениями до 15g в вертикальной плоскости и до lg в горизонтальной. При испытаниях использовался комплекс современных методов. К ним относятся поляризационно-оптический, метод хрупких покрытий и муаровых сеток, тензометрические методы, термокамера для наблюдения концентрации механических напряжений при помощи термоэмиссионного анализа.
Научная новизна.
1. Обоснована необходимость использования нелинейной
математической модели для анализа статики оболочки емкости,
нагруженной весовым давлением жидкости.
2. Предложено два метода и реализованы численно-аналитические
алгоритмы для решения задач вынужденных колебаний статически
напряженных оболочек, содержащих сплошную среду. В методах
используются сочетание тригонометрических и сплайновых
аппроксимаций по одной или двум координатам (в зависимости от
размерности задачи). Методы быстро сходятся и дают и хорошо
согласующиеся между собой результаты.
3. Обнаружена возможность использования информации о
статическом напряженно-деформированном состоянии для
прогнозирования коэффициентов запаса по многоцикловой усталостной
прочности. Это связано с большими значениями коэффициентов
асимметрии циклов суммарных амплитуд.
Полученные теоретические модели позволили интерпретировать результаты практических наблюдений и лабораторных экспериментов по усталостному разрушению типовых двухсотлитровых емкостей.
Выполнены сравнения оболочек различной геометрии в качестве альтернативных вариантов днищ емкостей и определены общие
рекомендации, ведущие к повышению прочности и ресурса.
Практическая значимость работы связана с вышеизложенным обоснованием актуальности темы. Она состоит в использовании разработанных методов и средств компьютерного моделирования к расчету конкретных конструкций емкостей, имеющих слабые места по усталостной прочности. Результаты работы имеют прямое отношение к решению проблемы безопасности перевозок экологически опасных грузов. Разработанные методы применены к анализу автомобильных газовых баллонов и могут использоваться для расчетов емкостей в виде оболочек вращения составной геометрии.
Достоверность результатов работы определяется: строгостью используемых уравнений и математического аппарата теории оболочек; параллельным использованием и согласованием решений краевых и гранично-контактных задач, решаемых разными вариантами уравнений и алгоритмов; обоснованным выбором адекватных моделей, отражающих физическую сущность объектов в заданных условиях внешних воздействующих факторов; согласованием теоретических и экспериментальных результатов.
Апробация работы. Результаты работы докладывались: на VI, VII, VIII, IX Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (1999-2002гг., Ростов-на-Дону); на XX Международной конференции по теории оболочек и пластин (2002г., Нижний Новгород); на семинарах отдела тонкостенных конструкций НИИМ и ПМ (2000-2004г.); на семинаре лаборатории экспериментальной механики машиностроительного факультета Дортмундского университета (2001г., 2004г.); на семинаре научного Совета НИИМ и ПМ, на научных семинарах кафедры теории упругости РГУ (2004г.) и Донского государственного технического университета (2006-2007г.г.).
Основное содержание диссертации опубликовано в 12 работах [90-95, 101-106]. Статьи [91, 92, 95, 102, 104, 105] написаны совместно с научным руководителем А.С. Юдиным. Соавторами работ [101, 103, 106] являются А.С. Юдин, В.Г. Сафроненко, Гончар Г.В. и коллеги из Дортмунда: Lorenz Н., Schussler W.H., Abramov I.
В работах [91, 92, 95, 102] руководителем выполнены постановка задач, предложены идеи методов, вывода уравнений и основных элементов алгоритмов. Соискателем выполнен вывод уравнений, реализованы методы и алгоритмы, проведены расчеты и совместный с руководителем анализ результатов.
В работе [101] Юдину А.С. принадлежит постановка задачи математического моделирования, разработка структуры алгоритма; В.Г. Сафроненко - участие в обсуждении работы в целом и анализе результатов расчетов; соискателю - параметризация модели емкости, подготовка входной информации, реализация комплекса программ в ИП, участие в анализе результатов.
В [103] российским авторам принадлежит теоретическая часть исследования, немецкой - физическая постановка задачи и экспериментальные результаты. Юдину А.С. принадлежит постановка задачи математического моделирования, разработка структуры алгоритма; В.Г. Сафроненко - участие в обсуждении работы в целом и анализе результатов расчетов; соискателю - параметризация модели и подготовка входной информации, реализация комплекса программ в ИП, участие в трактовке результатов при сравнении теории и эксперимента.
В работах [104, 105] руководителем дана постановка задач и заданий на расчет, предложена идея модификации уравнений; соискателем выполнен вывод уравнений, их программирование, параметризация моделей, проведены расчеты. Анализ результатов выполнен совместно.
В работе [106] Юдиным А.С. дана постановка задач для исследований, выполнена проверка безмоментного решения. Соискателем проведены расчеты для днища баллона и, совместно с Гончар Г.В., расчеты по модели составной оболочки. Анализ результатов выполнен совместно с научным руководителем.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести
глав, заключения, списка литературы, заключения и двух приложений. Объем основной части диссертации составляет 96с, включая список литературы из 118 наименований, 34 рисунка и 2 таблицы.
Условия сопряжения на кольцевых ребрах
Рассмотрим уравнения осесимметричного напряженно-деформированного состояния (НДС) тонких упругих оболочек вращения в рамках квадратично-нелинейной теории и гипотез Кирхгофа. Предположим радиальное осесимметричное деформирование, так что все функции зависят только от меридиональной координаты щ. В общей теории оболочек в качестве специальной системы отсчета обычно используется триэдр срединной поверхности. Кинематические соотношения для меридиональных и нормальных перемещений и компонент тангенциальных деформаций в этой системе имеют вид [46, 58]: U(ab z) = 11(0:0 + z0i(ai), W(ctb z) = w(cti); Cii(a1,z) = E11(ai) + zKi1(ai), є22(аь z) = Е22(а0 + zK22(aO; (1.1) En = u + kjw + 8i2/2, E22=yu + k2w, е -ш + ЫКн — е/, К22 = і/Єі; (1.2) (...) = (...)Л1/А = dG.-HAjda,), у = А27 А2 где: аь а2 - криволинейные ортогональные координаты отсчетной поверхности S0 оболочки: oti - меридиональная, a2 - окружная, z -координата по нормали п к S0; Аь А2 -коэффициенты Лямэ; ki, k2 главные кривизны; U,W - компоненты вектора перемещений произвольной точки оболочки; u, w - компоненты вектора перемещений точек поверхности S0; 9i - угол поворота нормали n; 8jk - компоненты тензора деформаций; Ец5 Е22 - компоненты тангенциальной деформации на S0 (растяжения-сжатия) по направлениям координат ai и 0 Кп, К22 -компоненты изгибной деформации (изменения главных кривизн); (...) = (...),а/А, - дифференциальный оператор по координате щ. Здесь положительным направлением нормали считается внешнее направление к оболочке. Кинематике (1.2) на основе принципа Лагранжа соответствуют уравнения равновесия в усилиях и моментах: Tii + vCTnaO + kiQu + qi-O, Q11 + VQ11 - kiT„ - k2T22 + q3 = 0, M1r + \KM„-M22)-Qii11e„ = 0, (1.3)
Вариант линейной теории следует из (1.2), (1.3), если отбросить квадратичные слагаемые. Далее ограничимся вариантом изотропного линейно-упругого материала, для которого выполняется закон Гука: о„= [E/(l-v2)](8U+V822), c22=[E/(l-v2)] (822+V8„). (1.4) С учетом гипотез теории оболочек Кирхгофа интенсивность напряжений определяется по формуле: CT=[an2+a222-alia22]1/2. (1.5) По критерию прочности Мизеса материал работает в пределах упругости при а стд, где обычно допустимая интенсивность напряжений стд равна ат - пределу текучести. Соотношения упругости для изотропных оболочек имеют вид: Т„ = В(ЕИ + vE22), Т22 = В(Е22 + vE„), М„ = D(K„ + vK22), М22 = D(K22 + vK„); (1.6) B = Eh/(l-v2), D = Eh3/[12(l-v2)], где В и D - эффективные жесткости оболочки на растяжение и изгиб, Е -модуль Юнга, v - коэффициент Пуассона. Краевые условия следуют из требования обращения в нуль контурных интегралов функционала Лагранжа. В случае однородных краевых условий на торцах оболочки приравниваются нулю или обобщенные перемещения, или обобщенные усилия: u(l-Yi)+YiTn=0, w(l-y2)+Y2Qn=0, Єі(1-у3)+узМ„=0 (1.7) при aj = аїл (на левом краю); и(1-у4)+74Тп=0, w(l-y5)+y5Qii=0, 0,(1 ) ,,=0 (1.8) при ai = ain (на правом краю), где Yj принимают значения 0 или 1.
Рисунок 1.1 В рассматриваемых уравнениях компоненты перемещений и силовые факторы разложены по осям триэдра основной поверхности. Поэтому для составных оболочек, образуемых секциями разной геометрии и имеющих изломы меридиана, скачки жесткостей, кольцевые нагрузки и другие нарушения непрерывности свойств, на линиях разрывов необходимо выполнять условия сопряжения. При этом обычно секции стыкуются через кольцевые ребра [46, 58]. Для формирования этих условий используются уравнения равновесия кольцевого ребра с учетом реакций примыкающих секций оболочек. Параметры и реакции левой секции отличаем индексом-знаком «-», правой - «+». Системы координат, связанные с поперечным сечением ребра, показаны на рисунке 1.1. Здесь: ось сс,к параллельна оси вращения оболочки, ось азк имеет направление полярного радиуса цилиндрической системы координат, а 0 отсчитывается по осевой линии ребра; а_, а+ - углы наклона нормали (меридиана) в точке стыковки.
Реализации алгоритмов целесообразно выполнять для уравнений в безразмерной форме. При переходе к безразмерным величинам используются основные нормирующие параметры Е„ v., R., h„ которые имеют смысл и размерность характерных величин: модуля Юнга, коэффициента Пуассона, радиуса кривизны или линейного размера, толщины.
Ниже безразмерные величины объединены в группы фигурными скобками с индексом «Б» В левых частях равенств. Их размерные (нормируемые) аналоги подразумеваются в скобках с индексом «Р» в правых частях формул:
Уравнения колебаний кольцевых ребер, стыкующих секции составных оболочек вращения
Инерционные характеристики единицы площади боковой поверхности оболочки определяются параметрами P4=p, + Aj, j = 1,2,3, (2.35) где Л 2 Pi = I (MV) +Z[PpkFPk/(v./M)] (2.36) X=l k=l - удельная масса собственно подкрепленной оболочки (р(х) - плотности материалов слоев, ррк - ребер), a Aj - инерционные составляющие масс, моделирующих полезное наполнение. Эти массы могут различным образом вовлекаться в колебания по различным координатным направлениям. К дополнительным массам относится и присоединенная масса жидкости в некоторых моделях. Входную информацию о конструкции можно вводить в размерной и безразмерной форме. В размерном варианте v. = 1.
При работе с конструктивно-анизотропными оболочками поверхность начала отсчета поперечной координаты предпочтительно выбирать либо близко к середине пакета слоев обшивки, либо между нейтральными поверхностями поперечных сечений подкрепленной оболочки, включая вариант совпадения с одной из нейтральных поверхностей.
Уравнения колебаний кольцевого ребра выводятся на основе принципа Гамильтона-Остроградского. Параметры и реакции секций различаются индексом-знаком «-» для секции слева от ребра и знаком «+» для правой секции. Системы координат, связанные с поперечным сечением ребра, показаны на рисунке 1.1 подраздел! 1.1. Здесь ось а аїк параллельна оси вращения оболочки; ось оТз ссзк имеет направление полярного радиуса цилиндрической системы координат; а2 отсчитывается по осевой линии ребра.
Распределение перемещений по поперечному сечению кольца на основе гипотезы плоских сечений и предположения о недеформируемости контура поперечного сечения подчиняется линейному закону: Uk(a2,a3) = uk(a2)+a39(a2), Vk(aI,a2,a3) = vk(a2) + a191(a2) + a3cp2(a2), Wk(a1,a2) = wk(a2)-a19(a2), (23?) где Uk, Vk , Wk - перемещения осевой линии кольца, фь ф2, р - углы поворота осей щ, а2, а3, связанных с поперечным сечением (ПС) кольца.
На основе гипотез Кирхгофа-Клебша предполагается, что процессе деформации сохраняется ортогональность плоскостей поперечных сечений кольца и его осевой линии. Тогда для углов поворота имеем: Фі = Uk,«2 Дк ф2 = (Vk - Wka2 )/Гк . (238)
Компоненты деформации связаны с обобщенными перемещениями формулами: є22к = є2к +a,x3 + а,3Хі» % = (vk,«2 +wk)/rk + (q ? +ф22), Хі = Ф2,«2 Ак Хз = (Фі,а2 - ф)Дк» (2.39) где: є2к - относительное удлинение осевой линии, Хі и Хз - изменения кривизн осевой линии в плоскостях ща2, и а3а2 соответственно. Соотношения упругости имеют вид: Т2к=ВкЄ2к Mlk=DlkXl+Dl3kX3 мзк = 03кХз+013кХі, Hk=Gkxk. (240) Здесь T2k - внутреннее усилие растяжения-сжатия, Mik, Мзк - изгибающие моменты для плоскостей aia2 и а3а2 соответственно, Нк - крутящий момент, Bk, Dik, Бзк, Dnk, Gk - жесткости кольца, "k= k k Dlk=bkJlk, 3k=EkJ3k, 13k= kM3k» Jk= k, k (2.41) где: Fk - площадь поперечного сечения (ППС) кольцевого ребра, Jik; hk моменты инерции ППС относительно осей осі и аз соответственно; Ji3k -центробежный момент инерции; Jk - момент инерции при кручении, Ек, Дк - модули Юнга и сдвига материала кольца.
Компоненты перемещений на линиях пересечения срединных поверхностей стыкуемых секций составной оболочки и боковой поверхности кольцевого ребра связаны формулами: uc=ulccos3c+u3csinpc, vc=vk+c9,+Typ2, wc = ulc sinpc -u3c cos3c, Slc = ф, (2 42) где: uic=wk-c9 и3с=ик+Лсф, с = -,+, (2 43) pc - углы наклона нормалей поверхностей отсчета стыкуемых секций к оси вращения, с, тс - координаты точек пересечения меридианов поверхностей отсчета секций с контуром ПС кольцевого ребра.
Уравнения колебаний кольцевых ребер с учетом реакций от оболочек следуют из принципа Гамильтона-Остроградского. Для гармонических колебаний уравнения относительно амплитуд после выделения усилия Т2к предварительного осесимметричного растяжения или сжатия имеют вид:
После отделения окружной координаты 0 и перехода к безразмерным величинам по формулам Приложения 2 получим систему уравнений для коэффициентов рядов Фурье (индекс п опущен, s = -1 и 1):
Совместные колебания оболочки и жидкости
Здесь fj, j = 1,...,8, - компоненты вектора правых частей (2.25) однородной системы (2.24). Однородные краевые условия в данной задаче формулируются отдельно для реальных и мнимых частей компонент вектора у.
Обратимся теперь к условиям сопряжения на дискретных стыкующих кольцевых ребрах, каждое из которых может иметь свои комплексные модули Юнга и сдвига Ek=E(l-is0Tjk), Fk=m(l-is0rik) (3.8) и геометрические характеристики поперечных сечений. На ребре компоненты вектора решения у терпят разрывы первого рода. Если коэффициент го одинаков для всех участков оболочки, цх=Цо и нагрузок на кольцевых ребрах нет, то можно воспользоваться формулами перехода через ребро (2.47) и реализующей их подпрограммой независимо для векторов у\ и у2. В общем случае необходима новая процедура, к которой реальные и мнимые части перемешаны. Соответствующие формулы для ребер типа Киргофа-Клебша выведены в [36]. Обобщение условий сопряжения на модель ребра с учетом поперечного сдвига дано в [81].
При контакте вибрирующие конструкции с внешней или внутренней средой возникает сопротивление среды реакцией динамического давления. При этом колебательная энергия рассеивается в конструкции и контактирующей с нею среде.
В линейной постановке динамическое давление полагается действующим по нормали к оболочке, что соответствует идеальной жидкости. Рассеяние энергии в среде можно учесть заданием ее скорости звука в комплексной форме [77].
Введем реакцию динамического давления среды в уравнения вынужденных колебаний в варианте разделения реальных и мнимых R I частей. Полагая ±p(s) =P(S + lsoP(s) где плюс соответствует внешней среде, минус - внутренней, получим соответствующие дополнения в правых частях F4 и F)2. Для внешней среды имеем: F4=f4(y1)-q3(,) +Ло(Різ 2Уіб +q6(s))+ P(Rs) -ЛоРоо Fi2 =f4(y2)-q6(S) -ЛО(РІ3О2У8 +q3(s))+P(Is) +W(RS)- (3.9) Для внутренней среды знаки компонент динамического давления меняются на противоположные.
В комплексной форме уравнений амплитуда динамического давления входит в четвертое уравнение: ?4= 4-Яз(5)±Р(8), (ЗЛО) где U определяются видом (2.25) правых частей однородной задачи, только амплитуды основных функций, внешних нагрузок и динамического давления среды - комплексные величины.
Сложность проблемы учета влияния среды на вынужденные колебания оболочечных конструкций состоит в определении реакции внешнего давления [18]. В корректной постановке необходимо решать связанные дифференциальные или интегро-дифференциальные задачи фредгольмового типа на поверхности оболочки, привлекая интеграл Гельмгольца [77]. Такие подходы типа метода собственных форм и итерационные развиты в [19, 69]. Эффективен метод моделирования локального импеданса. В этом методе используются решения модельных задач в разделяющихся переменных. На их основе задается вид связи динамического давления и скорости (или амплитуд перемещений) на поверхности оболочки. В рассматриваемых случаях для этого используются решения волнового уравнения в цилиндрической системе координат [69, 89, 100]. Для внутренней среды используется также модель совместных колебаний оболочки и жидкости на основе построения связанной системы, включающей уравнения Гельмгольца [96,106].
Уравнения линейной акустики описывают колебания идеальной неподвижной жидкости (газа, среды) в линейном приближении. Они следуют из основных уравнений гидродинамики, включающих уравнения неразрывности, движения и адиабатического состояния, которые приводятся к волновому уравнению [77]: АФ = сс2Ф„ (3.11) Здесь: А = V - оператор Лапласа, V - оператор Гамильтона; Ф - потенциал скоростей точек среды: vc = -grao = -УФ; сс - скорость звука в среде. Волновому уравнению удовлетворяет также акустическое давление Р и относительное изменение плотности жидкости. Предполагается, что в области, занимаемой средой, отсутствуют объемные силы (источники). Давление р и потенциал Ф связаны соотношением P = Pc .t» (3.12) где рс - плотность покоящейся среды; (2.24) выполняется внутри и на границе области. Если граница области представляет собой непроницаемую оболочку, то на поверхности контакта w,t=±.v (3.13) где wt - скорость смещения оболочки, w - смещение по нормали V (внешней к оболочке); Ф;У = УФ - производная по нормали v. Плюс соответствует внешней жидкости, минус - внутренней.
Выбор модели и анализ НДС днища
Рассматриваются вертикальные колебания емкости типа цилиндрической оболочки с днищем составной геометрии. Днище является наиболее нагруженным элементом и, как показывает практика и эксперименты, его несущая способность определяет ресурс всей конструкции. Считаем, что статическое напряженно-деформированное состояние (НДС) оболочки днища известно. Необходимо решить задачу о гармонических колебаниях с учетом предварительных напряжений.
Как и в статической задаче, днище емкости моделируется оболочкой вращения, составленная из сегментов сферы в центральной части, тора и кольцевой пластины на периферии (подраздел 4.1, рисунок 4.2).
Разрешающая система в каноническом виде и безразмерной форме для осесимметричных колебаний имеет вид: Неизвестными функциями являются: у і = Ти — усилие растяжения-сжатия (в направлении меридиана); у2 = Qn — перерезывающая сила; у3 = Мц — изгибающий момент; у4 = и — перемещение в направлении касательной к меридиану; у5 = w — перемещение по нормали к оболочке; у6 = ві — угол поворота элемента оболочки относительно касательной к окружной координатной линии. Безразмерный параметр частоты колебаний Q=(oR./c„ где co=27cf, f - частота в герцах, c.=[E./(p.(l-v. ))] -характерная скорость звука в материале днища.
Амплитуды динамической интенсивности напряжений вычисляется последовательностью формул: Инерционные характеристики единицы площади поверхности оболочки определяются суммой собственной инерции и присоединенной (или соколеблющейся) массы жидкости: Рі=рі0+ріж- В рассматриваемом варианте piо=1.
Анализ частотного диапазона для автотранспорта (подраздел 5.1, [76]) показывает, что по отношению к жидкости колебания являются низкочастотными. В акустическом приближении в излучении низких частот преобладает реактивное сопротивление излучения, что соответствует основному влиянию среды как соколеблющейся массы [72, 77]. Действие соколеблющейся массы (СМ) эквивалентно тому, которое оказала бы масса некоторого объема среды, колеблющаяся вместе с излучающей поверхностью. Такие подходы достаточно распространены в задачах колебаний конструкций в контакте с жидкостью [21, 24, 51]. Принимая эту модель определим СМ приближенно по формуле для круглой пластинки радиуса гд, колеблющейся в экране и излучающей в полупространство [72]. В безразмерном виде удельная масса (на единицу площади) вычисляется по формуле: ріж=ржгд/(3яєі)=3.846. Если присоединить всю массу жидкости, то ріж =113.3. Колебания для этого варианта также рассматривались.
Расчеты выполнялись для ряда частот в диапазоне 4...120Гц в соответствии с зависимостями уровней вибрации для разных типов дорог, рисунок 5.1. Некоторые результаты для частоты г=60Гц (Q=0.02) представлены на рисунках 5.2-5.4 для дорог типа А. На рисунке 5.2 пунктиром показаны амплитуды колебаний незаполненной емкости. Характер динамического напряженно-деформированного состояния оказался аналогичен статическому, рисунок 5.3. Наибольшие значения прогибов и напряжений возникают в зоне торовой оболочки. Также имеет место инверсия соотношения между мембранными усилиями, рисунок 5.4. Однако амплитуды динамической составляющей на несколько порядков меньше статических значений, т.е. суммарное состояние относится к динамическому с высокой асимметрией циклов.
Рассмотрим систему первого приближения. Анализ показывает, что все ее правые части не зависят от zn, а два уравнения с правыми частями под номерами 10 и 12 образуют независимую подсистему. Исключая эти уравнения и уравнение z n=Zi3, получим основную систему, определяющую колебания оболочки с учетом динамической реакции жидкости. Аналогичный анализ и формирование основной системы необходимо выполнять и в более высоких приближениях. Так для системы второго приближения автономную подсистему составляют уравнения
Уп = Уі5, Ув=Уіб, Уи =-Уі5/г-КоУі2, у[6 =-уі6/г-К1уіз, (5.32)
а уи отсутствует в правых частях уравнений и может быть определено после решения основной задачи. Отделение этих уравнений от главной системы обеспечивает эффективность и устойчивость счета последней. Для М=1 основная система имеет вид:
