Простейшие задачи больших упругих деформаций композитов с периодической структурой Акинола, Аде Петер

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Методика осреднения в задачах о равновесии неоднородного тела регулярной структуры при конечных дефонлавдях 7

I. Постановка задачи и описание методики осреднения 8

2. Слоистая композиционная среда

3. Полулинейный материал Джона.

4. Теория эффективного модуля 26

5. Микронапряжения 28

Глава 2. Простейшие задачи о равновесии упругого изотропного и трансверсально изотропного тела при конечных деформациях 30

I. Задача о простом сдвиге

2. Задача о всестороннем сжатии 32

3. Озесимметрическая деформация кругового полого цилиндра 33

4. Радиальяо симметричная деформация полого шара . 42

5. Задача о кручении сплошного кругового цилиндра... 45

ГЛАВА 3. Сжимаемая среда при конечных дефонмциях .55

I. Об универсальных деформациях сжимаемого трансверсально изотропного тела 55

2. Задача о кручении сжимаемого полого цилиндра 59

3. Определение микрояалряжеяий 65

Заключение

Список литературы

• Слоистая композиционная среда
• Теория эффективного модуля
• Озесимметрическая деформация кругового полого цилиндра
• Задача о кручении сжимаемого полого цилиндра

Введение к работе

В современных конструкциях применяются материалы, обладающие некоторыми свойствами, которые не описываются с помощью классической (линейной) теории упругости. В частности такие материалы, как резины, пластмассы, органопластики, стеклопластики и др. допускают большие упругие деформации. Классическая теория упругости /75/ не обнаруживает такие явления, как эффект Пойнтинга: изотропный цилиндр изменяет свою .длину при кручении (1909) и при сдвиге (разница двух нормальных компонент напряжений пропорциональна соответствующему сдвиговому напряжению); эффект Кельвина: при простом сдвиге изотропного кубика все нормальные напряжения (среднее нормальное напряжение) отличны от нуля; эффект самозатягивания (скручиваемого соединения): кручение сжимаемой среды сопровождается изменением радиусов материальных окружностей (возникает натяг) /42/; при повороте внутреннего контура сжимаемой среды одновременно распространяются цилиндрические волны двух типов: волна чистого расширения и совместного расширения - сдвига Дз/.

Поэтому в последнее время большой интерес проявлен исследователями к теории упругости при больших деформациях. Действительно этот раздел теории упругости бурно развивается сейчас под названием "нелинейная теория упругости" Д 8,30,31,62,51,76,45.7 или "теория конечных деформаций" /Ї4,17,25,63,66,46/ или "теория больших упругих деформаций /2,65./.

Основоположниками этой теории являются Коши 0., Кирхгофф Г., Альманзи И., Кельвин, Поинтинг, Муни М., Джон Г., Кутилин Д.И. и др. Первое систематическое изложение этой теории принадлежит: Ку-тилину Д.И., Грину А.И. и Зерна В., Грин и Адкинс Е., Лурье А.И. В последнее время появляются новые и новые работы по этой тематике. К ним относятся работы Трусделл К., Эрикеєна Д., Ривлина Р., Мурнагана Ф., Зубова Л.М., Пальмова В.Л., Черных К.Ф., Толокон-никова Л.А. и др.

Отметим, что нелинейность в теории упругости может быть обусловлена или физическими нелинейными соотношениями /21,22,31,57/. (Например, сюда можно отнести теории малых улруголластических деформаций А.Л.Ильюшина при активном нагружении /21,22./) или геометрическими нелинейными соотношениями /25,30,3/ - когда соотношения между деформациями и перемещениями нелинейны. По-видимому, подобно кристаллографическому принципу Неймана /26,277, всякая геометрическая нелинейность влечет за собой и физическую нелинейность /30,57/.

В современных конструкциях при изготовлении деталей чаще и чаще появляется необходимость использовать не только однородные и изотропные материалы, но и неоднородные и анизотропные /49,60,737. Возникает потребность и в их эффективном расчёте. Примерами таких сред являются кристаллы, горные породы, композиты, элементы разнородных конструкций и т.д. Конечно, анизотропия таких материалов может быть или естественной (когда различие упругих свойств зависит от внутреннего строения) или фиктивной - среда, различие упругих свойств в которой зависит от конструкции.

В последнее время в задачах естествознания и техники возрастает потребность в исследовании свойств сред с регулярной струп-турой или с периодической структурой. В их изучении применяется метод осреднения. /8-11,72,71/. Математически этот метод заключается в сведении дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами, которые уже решаются гораздо проще. В задачах теории упругости этот метод заключается в том, чтобы привести задачу о неоднородных упругих телах (тела или среда, упругие характеристики которых меняются от точки к точке /28/ к задаче об анизотропных телах (тела, упругие характеристики которых меняются по направлениям /%6,27/), но уже однородным /34-377.

Укажем, не вдаваясь в подробности, что существуют разные методы осреднения. Например: метод эффективного модуля Фойгта-Рей-са /60,73/; асимптотический метод /8-П, 72,71/; метод самосогласования /54/; метод теории случайных функций /28,52/ и др.

Применяемый здесь метод осреднения "асимптотический метод" основан на работах Бахвалова Н.С. /8-II/ и Победры Б.Е. /34-37/.

Первыми работами по этому методу осреднения были работы Санчес-Паленсии Б. /71,77. Б этих работах дано (лишь) формальное изучение асимптотических разложений. Систематическое изложение этого вопроса дано в работах Б.Лиояса и Папаниколау /56,72/ и Бахвалова /Ї0ДІ/.

Преимущество этого метода заключается в том, что кроме того, что он дает возможность определить, эффективные характеристики (для теории эффективного модуля), он позволяет найти и микронапряжения в теле /З1?/. Более того, он позволяет вычислить характеристические данные разных или более высоких уровней: тем самым дает возможность улучшать решение задачи: т.е. этот метод позволяет решать задачи точнее, чем другие методы.

Однако, отметим один наблюдаемый дефект этого метода: он сопровождается громоздкими вычислениями. Это явление А.А.Ильюшин назвал "платой за точность".

Целью настоящей диссертационной работы является применение асимптотического метода осреднения ... . к композитам при больших упругих деформациях.

Для этого необходимо уметь решать задачу анизотропной теории упругости /54,37/ при больших деформациях. До сегодняшнего дня тлеются лишь два систематических изложения этого направления /62,73/. Требуется также умение построить упругий потенциал для соответствующей приведенной анизотропной среды.

В связи с этим в диссертационной работе в главе I излагается методика осреднения яри больших упругих деформациях для композита регулярной структуры (периодической структуры). Б частном случае слоистого композита приводятся точные соотношения "эффективных определяющих функционалов" и "локальных функционалов". Кроме того, строится теория нулевого приближения и находятся соотношения для определения микронапряжений. Более того, при конкретизации уравнения состояния используется полулинейный материал Джона /63, 297. Для этого материала проводится процедура осреднения: строится упругий потенидал приведенного трансверсально-изотропного тела в случае слоистого композита; приводятся соотношения для определения микронапряжений и даются выражения для их компонент при простом сдвиге.

Во второй главе решаются некоторые простейшие задачи. В третьей главе доказывается теорема об универсальных деформациях сжимаемого трансверсально-изотропного тела. Также решается и задача о сжимаемом цилиндрическом слое.

На основе построенной в главе I теории нулевого приближения находятся микронапряжения для простейших задач.

В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации.  

Слоистая композиционная среда

В современных конструкциях применяются материалы, обладающие некоторыми свойствами, которые не описываются с помощью классической (линейной) теории упругости. В частности такие материалы, как резины, пластмассы, органопластики, стеклопластики и др. допускают большие упругие деформации. Классическая теория упругости /75/ не обнаруживает такие явления, как эффект Пойнтинга: изотропный цилиндр изменяет свою .длину при кручении (1909) и при сдвиге (разница двух нормальных компонент напряжений пропорциональна соответствующему сдвиговому напряжению); эффект Кельвина: при простом сдвиге изотропного кубика все нормальные напряжения (среднее нормальное напряжение) отличны от нуля; эффект самозатягивания (скручиваемого соединения): кручение сжимаемой среды сопровождается изменением радиусов материальных окружностей (возникает натяг) /42/; при повороте внутреннего контура сжимаемой среды одновременно распространяются цилиндрические волны двух типов: волна чистого расширения и совместного расширения - сдвига Дз/. Поэтому в последнее время большой интерес проявлен исследователями к теории упругости при больших деформациях. Действительно этот раздел теории упругости бурно развивается сейчас под названием "нелинейная теория упругости" Д 8,30,31,62,51,76,45.7 или "теория конечных деформаций" /Ї4,17,25,63,66,46/ или "теория больших упругих деформаций /2,65./. Основоположниками этой теории являются Коши 0., Кирхгофф Г., Альманзи И., Кельвин, Поинтинг, Муни М., Джон Г., Кутилин Д.И. и др. Первое систематическое изложение этой теории принадлежит: Ку-тилину Д.И., Грину А.И. и Зерна В., Грин и Адкинс Е., Лурье А.И. В последнее время появляются новые и новые работы по этой тематике. К ним относятся работы Трусделл К., Эрикеєна Д., Ривлина Р., Мурнагана Ф., Зубова Л.М., Пальмова В.Л., Черных К.Ф., Толокон-никова Л.А. и др. Отметим, что нелинейность в теории упругости может быть обусловлена или физическими нелинейными соотношениями /21,22,31,57/. (Например, сюда можно отнести теории малых улруголластических деформаций А.Л.Ильюшина при активном нагружении /21,22./) или геометрическими нелинейными соотношениями /25,30,3/ - когда соотношения между деформациями и перемещениями нелинейны. По-видимому, подобно кристаллографическому принципу Неймана /26,277, всякая геометрическая нелинейность влечет за собой и физическую нелинейность /30,57/. В современных конструкциях при изготовлении деталей чаще и чаще появляется необходимость использовать не только однородные и изотропные материалы, но и неоднородные и анизотропные /49,60,737. Возникает потребность и в их эффективном расчёте. Примерами таких сред являются кристаллы, горные породы, композиты, элементы разнородных конструкций и т.д. Конечно, анизотропия таких материалов может быть или естественной (когда различие упругих свойств зависит от внутреннего строения) или фиктивной - среда, различие упругих свойств в которой зависит от конструкции.

В последнее время в задачах естествознания и техники возрастает потребность в исследовании свойств сред с регулярной струп-турой или с периодической структурой. В их изучении применяется метод осреднения. /8-11,72,71/. Математически этот метод заключается в сведении дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами, которые уже решаются гораздо проще. В задачах теории упругости этот метод заключается в том, чтобы привести задачу о неоднородных упругих телах (тела или среда,упругие характеристики которых меняются от точки к точке /28/ к задаче об анизотропных телах (тела, упругие характеристики которых меняются по направлениям /%6,27/), но уже однородным /34-377. Укажем, не вдаваясь в подробности, что существуют разные методы осреднения. Например: метод эффективного модуля Фойгта-Рей-са /60,73/; асимптотический метод /8-П, 72,71/; метод самосогласования /54/; метод теории случайных функций /28,52/ и др. Применяемый здесь метод осреднения "асимптотический метод" основан на работах Бахвалова Н.С. /8-II/ и Победры Б.Е. /34-37/. Первыми работами по этому методу осреднения были работы Санчес-Паленсии Б. /71,77. Б этих работах дано (лишь) формальное изучение асимптотических разложений. Систематическое изложение этого вопроса дано в работах Б.Лиояса и Папаниколау /56,72/ и Бахвалова /Ї0ДІ/. Преимущество этого метода заключается в том, что кроме того, что он дает возможность определить, эффективные характеристики (для теории эффективного модуля), он позволяет найти и микронапряжения в теле /З1?/. Более того, он позволяет вычислить характеристические данные разных или более высоких уровней: тем самым дает возможность улучшать решение задачи: т.е. этот метод позволяет решать задачи точнее, чем другие методы.

Теория эффективного модуля

Однако, отметим один наблюдаемый дефект этого метода: он сопровождается громоздкими вычислениями. Это явление А.А.Ильюшин назвал "платой за точность". Целью настоящей диссертационной работы является применение асимптотического метода осреднения ... . к композитам при больших упругих деформациях. Для этого необходимо уметь решать задачу анизотропной теории упругости /54,37/ при больших деформациях. До сегодняшнего дня тлеются лишь два систематических изложения этого направления /62,73/. Требуется также умение построить упругий потенциал для соответствующей приведенной анизотропной среды. В связи с этим в диссертационной работе в главе I излагается методика осреднения яри больших упругих деформациях для композита регулярной структуры (периодической структуры). Б частном случае слоистого композита приводятся точные соотношения "эффективных определяющих функционалов" и "локальных функционалов". Кроме того, строится теория нулевого приближения и находятся соотношения для определения микрояаярякений. Более того, при конкретизации уравнения состояния используется полулинейный материал Джона /63, 297. Для этого материала проводится процедура осреднения: строится упругий потенидал приведенного трансверсальяо изотропного тела в случае слоистого композита; приводятся соотношения для определения микронаяряжений и даются выражения для их компонент при простом сдвиге. Во второй главе решаются некоторые простейшие задачи. В третьей главе доказывается теорема об универсальных деформациях сжимаемого трансверсально-изотропного тела. Также решается и задача о сжимаемом цилиндрическом слое. На основе построенной в главе I теории нулевого приближения находятся микронапряжения для простейших задач. В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации. Некоторые материалы, применяющиеся в технике, например, резина, древесина, пластмассы, сохраняют упругие свойства в области достаточно больших деформаций. Поэтому теория конечных деформаций является важным практическим разделом механики сплошной среды /23/. В последнее время появились работы, где рассматриваются композиционные материалы, некоторые компоненты которых подчиняются физически или геометрически нелинейным соотношениям /73,3Q/. В настоящей главе рассматриваются композиты регулярной структуры с упругими компонентами, работающими в области конечных деформаций.

Применяя технику осреднения /36,11,4,38/, исходная задача сводится к двум рекурентным последовательноетям задач. К одной из этих последовательностей относятся задачи на так называемой ячейке периодичности, в которых разыскиваются некоторые "эффективные" характеристики среды и локальные функционалы /37,4/, позволяющие найти микронапряжеяия, т.е. напряжения в каждом компоненте композита. Ко Еторой последовательности относятся краевые задачи для приведенной среды - в частности задаче эффективного модуля. Характерная особенность этих задач заключается в том, что приведенная среда является анизотропной, если даже компоненты композита- изотропные. Поэтому требуется научиться решать задачи нелинейной теории упругости для анизотропной среды. Подробнее мы останавливаемся на слоистых композитах, каждый слой которых изготовлен из"полулинейного" материала Джона /30,63/. Приведенное тело оказывается трансверсально изотропным. Поэтому зная решение некоторой задачи для однородного трансверсально изотропного тела /3/, пользуясь теорией нулевого приближения /36,4/, микроналряжєния в соответствующем слоистом композите. ! Постановка задачи и описание методики осреднения Рассматривается неоднородная среда. Таковой является среда с регулярной структурой - в частности периодический композит. Для такой среды можно ставить статическую задачу теории упругости в "перемещениях". Пусть в яедеформированном состоянии введена некоторая криво to і линейная система координат у" , 1 » \ и некоторая мате-риальная точка, имеющая радиус-вектор 2 , после деформации перейдет в точку, описываемую радиусом-вектором деформированного состояния fs , причем градиент вектора места будет обозначать через V& / 29/, где оператор \/ относится к дифференциро-ванию по координатам j,u в базисе недеформированяого состояния. Пусть связь между тензором Пиолы р и градиентом вектора места для произвольного неоднородного тела записывается в виде

Озесимметрическая деформация кругового полого цилиндра

Геометрия деформации задается преобразованием подобия: R = К1 , где К - коэффициент подобия. Градиент места примет вид: у к К& К 2 25 = КЕ » 7R , а тензор меры Коши-Грина г /30J ; fi 5 7?-Й?т = № 1 ?Л = V 1 л?і Д?3= = Отсюда следует, что Or; = Кг . Но н (І+ L)2" - 2, Поэтому U t - К t=i,2;i . Объем тела Y определяется формулой V = JfrT? $Г = V i = КL где - 33 -9 - тензор меры деформации начального объема. Из уравнения сохранения массы получаем зависимость объема от давления, а значит от величины /( ; V - /? - Лг - К" Выбирая упругий потенциал в виде (I), для компонент напряжений Пиолы имеем: (2,1) -поверхностное нагружение осуществляется равномерными распределенными по внутренней и наружной поверхностям цилиндра давлениями р = р 7 и Р Pi при йв20 и 2 = 21 соответственно. При таких условиях нагружения следует предполагать, что радиальное перемещение зависит только от 2 , а осевое перемещен УЯ и тензор-мера Фингера Г соответственно имеют выражения: В этом случае С &z и поскольку задача осесимметричная (главные оси до и после деформации не меняются), то мы имеем: что U 2 t? и 0 = ( - единичный тензор) Заметим, что в изотропном случае А - і В 0 , что совпа / дает с известным яС2+ - решением /29/. Краевые условия имеют вид: где П. - единичный вектор нормали к поверхности цилиндра в начальном объеме тела V , d - элемент площади в начальном состоянии d t - элемент площади в конечном состоянии. Поскольку Д = ; f = рёг и н. = -J& (Ё-Цг-п) \ то вместо (3,8) имеем: или, принимая во внимание значение г и j- , получим: (3,8) Для нахождения трех констант о( , t± 2. над0 использовать краевые условия на боковой поверхности цилиндра и на его торцах. Поэтому к (3,8) добавляем выражения главного вектора силы Q на торцах цилиндра: (Г (3,9) где "f - сила на единицу площади сечения 6" цилиндра. Q=2TT jV dz =ZV\ i+JS Z —і F1— + - 1( + )/) + fa+2 J -(2 2Л?)] (3,9)

В случае изотропии j) = 0 Л = і / 5" и второй член пропадает. Для прэстоты потребуем чтобы длина цилиндра не менялась, т.е. ь( sі и чтобы цилиндр был нагружен или только наружным давлением рі , или внутренним давлением pe . Тогда находим константы Сг и С і : при р s i и pe а о ; С, = і - -Pi 1 f Л a - A - h 7 -д 2 J VA 5 + % а при P«p0 и pd -О имеем: - 38 G 1 їй J 4 Я - Яь Jh 2 + s » ft» f V я5 + -/ля5 Я5-Яг - Ре Ut ЛІ + As -Д% - % - Po 7-J я, _я5 -р и В таблице I показано распределение напряжений в круглых трубах, Mia Мм , Mui , Миг , Миг и Ниц под действием внутреннего давления Р=Р" =10 дин./см . Композит Mi2 изготовлен из изотропных материалов Миі и Muz с упругими коэффициентами Ламе Р =1,129 х ТО12 ие является линейной функцией Н и не зависит от В начальном объеме тела место точки частицы задается выраже а в конечном объеме места точки частицы определяется выражением: Базисные векторы имеют вид: где контравариантные базисные векторы z і - І ; 2 , а определяются соотношениями 2 і я 2; причем JLJ s \ l . 2-ї компоненты метрического тензора 9 Тогда градиент вектора места УК тензор - мера Коши-Грина г и транспонированные им тензор УЯ и тензор-мера Фингера Г соответственно имеют выражения: В этом случае С &z и поскольку задача осесимметричная (главные оси до и после деформации не меняются), то мы имеем: что U 2 t? и 0 = ( - единичный тензор) Заметим, что в изотропном случае А - і В 0 , что совпа / дает с известным яС2+ - решением /29/. Краевые условия имеют вид: где П. - единичный вектор нормали к поверхности цилиндра в начальном объеме тела V , d - элемент площади в начальном состоянии d t - элемент площади в конечном состоянии. Поскольку Д = ; f = рёг и н. = -J& (Ё-Цг-п) \ то вместо (3,8) имеем: или, принимая во внимание значение г и j- , получим: (3,8) Для нахождения трех констант о( , t± 2. над0 использовать краевые условия на боковой поверхности цилиндра и на его торцах. Поэтому к (3,8) добавляем выражения главного вектора силы Q на торцах цилиндра: (Г (3,9) где "f - сила на единицу площади сечения 6" цилиндра. Q=2TT jV dz =ZV\ i+JS Z —і F1— + - 1( + )/) + fa+2 J -(2 2Л?)] (3,9) В случае изотропии j) = 0 Л = і / 5" и второй член пропадает. Для прэстоты потребуем чтобы длина цилиндра не менялась, т.е. ь( sі и чтобы цилиндр был нагружен или только наружным давлением рі , или внутренним давлением pe . Тогда находим константы Сг и С і : при р s i и pe а о ; С, = і - -Pi 1 f Л a - A - h 7 -д 2 J VA 5 + % а при P«p0 и pd -О имеем: - 38 G 1 їй J 4 Я - Яь Jh 2 + s » ft» f V я5 + -/ля5 Я5-Яг - Ре Ut ЛІ + As -Д% - % - Po 7-J я, _я5 -р и В таблице I показано распределение напряжений в круглых трубах, Mia Мм , Mui , Миг , Миг и Ниц под действием внутреннего давления Р=Р" =10 дин./см . Композит Mi2 изготовлен из изотропных материалов Миі и Muz с упругими коэффициентами Ламе Р =1,129 х ТО12 дин./см2 ft = 0,803 х х Ю12 дин./см2 и Pi =1,042 х I012 дин./см2, /W = 0,490 х Ю12 дин./ewr соответственно: а композит Мы+ изготовлен из изотропных материалов Ми и nw/ имеющих упругие коэффициенты Я = 0,1353 х ТО12 дин./см2 /V = 0,275 х ТО12 дин./см2 и Pi = 0,259 х Ю12 дин./см2 М = 0,166 х I012 дин./см2 соответственно. Внутренний радиус цилиндров 20 - 4 см, а наружный 2t = = 5 см.

Задача о кручении сжимаемого полого цилиндра

"Еще один критерий", для построения упругого потенциала, "состоит в сравнительной доступности последующего математического рассмотрения". (А.И.Лурье). Действительно, для решения некоторых задач нелинейной теории упругости (особенно - при сжимаемости тела) придется изменить вид упругого потенциала (1# 4, 10). На самом деле, это уместно, на основании доказанной теоремы об универсальных деформациях. Ниже рассматривается задача о сжимаемом цилиндрическом слое, решенная в изотропном случае в [42] или задача кручения сжимаемого полого цилиндра. Исследуется плоская деформация сжимаемой трансверсально изотропной по радиальному направлению среды. Следуя Суюншкалиеву /427, предлагается вид преобразования, осуществляющего плоскую деформацию такой среды из начального объема V в конечный V . В цилиндрической системе координат радиус-вектор частиц г: бг + К в отсчетной конфигурации преобразуется в радиус-вектор той же частицы в актуальной конфигурации: Соответствующее точечное преобразование задается соотношениями: где j и Q предстоит определить. Принимая во внимание /29/ формулы дифференцирования базисных векторов: найдем, что: - Тензор-градиент вектора места и тензор поворота имеют вид: VR « J Теперь возьмем упругий потенциал Э0 в ДРУГ0М виде, нежели (I, 4, 10)в Из-за того, что рассматривается деформация - плоская, будем считать, что Эв зависит лишь от трех инвариантов Эо « случае изотропии d зО Я? направлению среды. Следуя Суюншкалиеву /427, предлагается вид преобразования, осуществляющего плоскую деформацию такой среды из начального объема V в конечный V . В цилиндрической системе координат радиус-вектор частиц г: бг + К в отсчетной конфигурации преобразуется в радиус-вектор той же частицы в актуальной конфигурации: Соответствующее точечное преобразование задается соотношениями: где j и Q предстоит определить. Принимая во внимание /29/ формулы дифференцирования базисных векторов: найдем, что: - Тензор-градиент вектора места и тензор поворота имеют вид: VR « J Теперь возьмем упругий потенциал Э0 в ДРУГ0М виде, нежели (I, 4, 10)в Из-за того, что рассматривается деформация - плоская, будем считать, что Эв зависит лишь от трех инвариантов Эо « случае изотропии d зО Я?-Л /) , - Я Считая тело гиперупругим, для тензора Пиолы имеем: Если рассматривать бесконечный слой то в качестве J В (2,8) сведен параметр анизотропии - = ; в слу чае изотропии он равен нулю. Из (2,8) и (2,9) видно, что для определения функций і и надо использовать граничные условия: Заметим, что уравнение (2,9) не связанное с параметром анизотропии, интегрируется точно: отсюда находим выражение для В раз и навсегда. где С констант интегрирования, В s 0О Для решения уравнения (2,8) применим метод малого параметра к функции \ : Тогда вместо (2,8) получим последовательность рекурентних соотношений при одинаковых степенях j : где 2о - радиус внутреннего контура слоя.

Соотношениями задается (2,15) решение нулевого приближения. Чтобы получить решение в первом -Л /) , - Я Считая тело гиперупругим, для тензора Пиолы имеем: Если рассматривать бесконечный слой то в качестве J В (2,8) сведен параметр анизотропии - = ; в слу чае изотропии он равен нулю. Из (2,8) и (2,9) видно, что для определения функций і и надо использовать граничные условия: Заметим, что уравнение (2,9) не связанное с параметром анизотропии, интегрируется точно: отсюда находим выражение для В раз и навсегда. где С констант интегрирования, В s 0О Для решения уравнения (2,8) применим метод малого параметра к функции \ : Тогда вместо (2,8) получим последовательность рекурентних соотношений при одинаковых степенях j : где 2о - радиус внутреннего контура слоя. Соотношениями задается (2,15) решение нулевого приближения. Чтобы получить решение в первом приближении надо решить уравнение (2,14). Потребуем, чтобы величина /{.J была константной. Из решения нулевого приближения (2,15) такая константа при 2=г„равнаП . Поэтому будем полагать (2,14) имеем: тем самым мы получили неоднородное дифференциальное уравнение Эйлера с известной правой частью }# ( 0 - из решения нулевого приближения): при граничных условиях (2, 10);