Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Современное состояние механики композитных материалов при больших деформациях : 16
1.1. Макромеханическое направление в механике композитных материалов при больших деформациях 19
1.2. Микромеханическое направление в механике композитных материалов при больших деформациях 22
ГЛАВА 2 Проблемы построения механики композитных материалов на основе систем волокон при больших деформациях 28
2.1. Обсуждение подходов механики структурно-неоднородных сред и возможностей их распространения на композитные материалы при больших деформациях 29
2.2. Обсуждение возможностей применения «теории эффективных модулей» для анализа сред композитных материалов при больших деформациях 31
2.3. Концептуальная схема теории композитных материалов и сред при больших деформациях 36
2.4. Концепция макроскопического поля перемещений как исходного ключевого понятия теории композитных материалов и сред при больших деформациях 42
2.5. Концепция макроскопических напряжений композитного материала при больших деформациях 45
2.6. Об уравнениях макроскопического равновесия и движения сред композитных материалов при больших деформациях и «теории эффективных напряжений» 51
2.7. Концепция макроскопического поля перемещений применительно к средам композитных материалов регулярной и не вполне регулярной структуры при больших деформациях 54
2.8. О структурной теории эластомерных композитных материалов при больших деформациях 57
2.9. О прикладных макромеханических теориях композитных материалов при больших деформациях 59
ГЛАВА 3 Структурная и каркасная теории композитных материалов и сред при больших деформациях 62
3.1. Основные положения структурной теории композитных сред 65
3.2. Основные положения каркасной теории композитных сред с неискрив-ленными и глобально искривленными волокнами 67
3.3. Деформационные и кинематические соотношения макромеханического уровня анализа композитных сред 72
3.4. Теория макроскопических напряжений композитных сред 75
3.5. Уравнения макроскопического движения композитных сред 83
3.6. Микромеханический уровень анализа композитных сред 92
3.7. Распространение каркасной теории на композитные среды с локально искривленными волокнами 98
3.8. Заключение 101
ГЛАВА 4 Теория деформационных характеристик композитных материалов при больших деформациях 103
4.1. Постановка задачи расчета деформационных характеристик композитного материала 103
4.2. Макромеханический уровень расчета композитного материала 107
4.3. Микромеханический уровень расчета композитного материала 111
4.4. Метод расчета параметров макроскопической деформации композитного материала 122
4.5. Заключение 123
ГЛАВА 5 Анализ эластомерных композитов на основе систем
5.1. Однонаправленно армированные эластомерные композиты при больших деформациях 125
5.1.1. Условия расчета однонаправленных эластомерных композитов 125
5.1.2. Микромеханический анализ однонаправленных эластомерных композитов при растяжении и сдвиге 132
5.1.3. Макромеханический анализ однонаправленных эластомерных композитов при растяжении 139
5.1.4. Макромеханический анализ однонаправленных эластомерных композитов при сдвиге 147
5.1.5.Заключение 149
5.2. Двунаправленно армированные эластомерные композиты при больших деформациях 151
5.2.1. Условия расчета двунаправленных эластомерных композитов 151
5.2.2. Микромеханический анализ двунаправленных эластомерных композитов при растяжении и сдвиге 157
5.2.3. Макромеханический анализ двунаправленных эластомерных композитов при растяжении 161
5.2.4. Макромеханический анализ двунаправленных эластомерных композитов при сдвиге 166
5.2.5. Заключение 171
5.3. Трехнаправленно армированные эластомерные композиты при больших деформациях 171
5.3.1. Условия расчета трехнаправленных эластомерных композитов 172
5.3.2. Микромеханический анализ трехнаправленных эластомерных композитов при растяжении и сдвиге 179
5.3.3. Макромеханический анализ трехнаправленного эластомерного композита с ориентацией в плоскости нагружения при растяжении 191
5.3.4. Макромеханический анализ трехнаправленного эластомерного композита с ориентацией в плоскости нагружения при сдвиге 194
5.3.5. Макромеханический анализ трехнаправленного эластомерного композита с ориентацией из плоскости нагружения при растяжении 196
5.3.6. Заключение 198
ГЛАВА 6 Расчеты и экспериментальные исследования резинокордных композитов при больших деформациях 199
6.1. Расчет и экспериментальное исследование растяжения и сжатия однонаправленно армированного резинокордного композита 199
6.1.1. Моделирование материала матрицы однонаправленного резинокомпо зита 200
6.1.2. Моделирование материала нитей корда однонаправленного резино-композита 202
6.1.3. Поперечное растяжение однонаправленного резинокомпозита 205
6.1.4. Поперечное сжатие однонаправленного резинокомпозита 209
6.1.5. Заключение 211
6.2. Расчет и экспериментальное исследование растяжения перекрестно мированного резинокордного композита 212
ного резинокомпозита 214
6.2.2. Методика расчета перекрестно армированного резинокомпозита 218
6.2.3. Результаты экспериментального исследования перекрестно армиро ванного резинокомпозита 218
6.2.4. Результаты расчета перекрестно армированного резинокомпозита 222
6.2.5. Заключение 227
ГЛАВА 7 Прикладная теория композитов с малыми наполнениями нитями при больших деформациях 228
7.1- Основные соотношения прикладной теории композитов с малыми на полнениями нитями 229
1.1. Метод расчета деформационных характеристик композитов с малыми наполнениями нитями 234
7.3. Влияние наполнений нитями на точность макромеханического анализа композитов 248
7.4. Заключение 257
ГЛАВА 8 Пространственно армированные композиты с малыми наполнениями нитями трех и четырех систем при больших деформациях 259
8.1. Триортогонально армированный композит при больших деформациях растяжения 259
8.1.1. Условия расчета деформации растяжения триортогонально армированного композита 260
8.1.2. Результаты расчета деформации растяжения триортогонально армированного композита 263
8.1.3. Заключение 278
8.2. Триортогонально армированный композит при больших деформациях сдвига 279
8.2.1. Условия расчета деформации сдвига триортогонально армированного композита 279
8.2.2. Результаты расчета деформации сдвига триортогонально армированного композита 280
8.2.3. Заключение 296
8.3. Армированный по диагоналям куба 4D композит при больших деформациях растяжения 297
8.3.1. Условия расчета деформации растяжения 4D композита 297
8.3.2. Результаты расчета деформации растяжения 4D композита 301
8-3.3. Заключение 312
8.4. Армированный по диагоналям куба 4D композит при больших деформациях сдвига 312
ф 8.4.1. Условия расчета деформации сдвига 4D композита 313
8.4.2. Результаты расчета деформации сдвига 4D композита 314
8.4.3. Заключение 326
ГЛАВА 9 Прикладные модели осесимметричных оболочек из армированных нитями эластомерных слоев при больших перемещениях и деформациях 328
9.1. Безмоментная модель осесимметричных оболочек из армированных ни тями эластомерных слоев 328
9.1.1. Уравнения безмоментных оболочек из армированных нитями эласто мерных слоев 328
9.1.2. Метод расчета безмоментных оболочек из армированных нитями эластомерных слоев 335
9.1.3. Расчет армированной нитями эластомерной оболочки торообразной формы с открытым контуром 336
9.2. Моментная модель осесимметричных оболочек из армированных нитями эластомерных слоев 340
9.2.1. Уравнения моментных оболочек из армированных нитями эластомерных слоев 342
9.2.2. Метод расчета моментных оболочек из армированных нитями эластомерных слоев 351
9.2.3. Расчет армированной нитями эластомерной оболочки торообразной формы с замкнутым контуром 352
9.3. Расчет и экспериментальное исследование резинокордной диафрагмы 357
Выводы 369
Список использованной литературы 379
- Микромеханическое направление в механике композитных материалов при больших деформациях
- Об уравнениях макроскопического равновесия и движения сред композитных материалов при больших деформациях и «теории эффективных напряжений»
- Основные положения каркасной теории композитных сред с неискрив-ленными и глобально искривленными волокнами
- Распространение каркасной теории на композитные среды с локально искривленными волокнами
Введение к работе
Механика композитных материалов сформировалась как самостоятельная часть механики деформируемого твердого тела (МДТТ) и находится в стадии становления и развития. Разделы механики композитов разработаны с различной степенью глубины и общности. Некоторые из них еще только формируются и далеки от своего завершения. На стадии зарождения по существу находится механика композитных материалов на основе систем волокон при больших (конечных) деформациях составляющих компонентов (структурных составляющих). Большие деформации композитного материала обусловлены как высокими податливостями материала его матрицы и, возможно, материала армирующих волокон, так и переориентацией волокон систем армирования в деформируемой (текущей) конфигурации композита. При больших деформациях составляющих компонентов в проектировании композитных структур и конструкций предоставляются новые возможности на базе выбора материалов матрицы и волокон, геометрии волокон и схем их компоновки.
Композитные материалы, способные получать макроскопически большие деформации при отсутствии макроскопических разрушений, называем мягкими композитами. В зарубежной литературе такие композиты обычно называются податливыми. В условиях макроскопически больших деформаций композитов их структурные составляющие испытывают микроскопические (локальные) деформации, которые имеют упругую, пластическую, вязкую и высокоэластичную природу и сопровождаются образованием и накоплением микроскопических (локальных) повреждений и разрушений. К числу мягких композитных материалов относим эластомер-ные композиты, матрицы которых из эластомерных материалов, как-то натуральные и синтетические каучуки, полиуританы, материалы биологического происхождения и т.п. Эластомерные материалы обладают уникальным механическим свойством - большими, до нескольких сотен процентов, и практически обратными деформациями, имеющими, главным образом, высокоэластичный характер. Армирующие волокна эластомерных композитов могут быть из неорганических и органических материалов, металлическими, полимерными и эластомерными, являться
моноволокнами, поливолокнами, иметь текстильное строение.
Изделия из мягких композитов находят широкое применение в промышленности, транспорте, авиакосмической технике, технологиях добычи полезных ископаемых и т.п. В перечне таких изделий присутствуют амортизаторы различных типов, пневматические и массивные шины, передающие тяговый момент эластичные муфты, пневматические костры в практике строительства метро и подземной добычи полезных ископаемых и многое другое. Многообещающие перспективы использования мягких композитных материалов, в том числе эластомерных, при создании искусственных органов в медицинской практике. Велика роль мягких композитных материалов в живой природе, где биологические ткани являют собою такие материалы.
Актуальность темы диссертации
В настоящее время с той или иной степенью общности и приближенности разработаны методы расчетов жестких композитных материалов и сред (элементов конструкций из жестких композитов), работающих в области малых деформаций. При малых деформациях метрики структурных составляющих, плотности расположения и ориентации волокон практически остаются такими же, как в исходном (недеформированном) состоянии. Поэтому все усредненные (макроскопические) величины в терминах которых описывается деформационное поведение жестких композитов, относят к недеформированной метрике композитного материала. Новые понятия и представления, которыми оперирует теория жестких композитов, являются лишь некоторым расширением известных понятий и представлении теории однородной среды при малых деформациях.
Иная ситуация имеет место для сред мягких композитных материалов при больших деформациях. Ввиду сильного изменения в деформированном состоянии среды композита локальных метрик структурных составляющих и сильного различия между деформированными метриками элементов структуры с разрывами на границах раздела между ними не представляется возможным применить понятия теории жестких композитов к анализу композитных материалов при больших де 10 формациях. Затрудняется введение таких обобщающих понятий как макроскопические перемещения, деформации и напряжения, на базе которых проводится исследование среды композитного материала. Вместе с тем уникальные эволюции исходной конфигурации мягких композитных сред под воздействием внешних полей предопределяют высокие геометрические и физические нелинейности на микро- и макроскопическом уровнях анализа среды. Для выполнения анализа таких сред требуются специальные методы расчетов, учитывающие историю эволюции исходной конфигурации среды композитного материала.
В настоящее время исследование мягких композитов и конструкций из них проводят, главным образом, либо на базе натуральных экспериментов, либо на основе методов расчета жестких композитных материалов. Последнее применимо лишь для изделий, работающих в области малых деформаций. Указанные обстоятельства предопределяют актуальность разработки с единых позиций общих теоретических основ механики композитов при больших деформациях и создание на их базе методов и алгоритмов расчета конструкций из мягких композитных материалов.
Цель и задачи исследования
Целью и задачами исследования являются:
• создание общей теории больших деформаций композитных материалов и сред на основе систем волокон регулярного и не вполне регулярного строения, включающей микромеханический и макромеханический уровни анализа;
• анализ на основе микро-макромеханической теории одномерно, двумерно и трехмерно армированных композитныхматериалов при больших деформациях;
• проведение численных и натуральных экспериментов, подтверждающих адекватное отражение микро-макромеханической теорией реального деформирования композитных материалов при больших деформациях;
• построение прикладной макромеханической теории композитных материалов при больших деформациях с малыми наполнениями нитями;
• анализ на основе прикладной теории больших деформаций 3D и 4D композитных структур с малыми наполнениями нитями; • построение прикладных моделей армированных нитями эластомерных оболочек вращения и расчеты на основе этих моделей некоторых оболочек при больших деформациях;
• проведение расчетно-экспериментального исследования, свидетельствующего о возможностях макромеханического подхода, реализованного в прикладной теории композитных материалов и прикладных моделях армированных нитями оболочек при больших деформациях.
Объект исследования
Основной объект исследования диссертационной работы - композитные материалы и композитные оболочки на основе систем волокон при больших деформациях.
Предмет исследования
Предметом исследования являются построенные теории композитных материалов и сред на основе систем волокон при больших деформациях, достоверность этих теорий и их возможности.
Методы исследования
Построение теорий композитных материалов при больших деформациях осуществляется на базе основных понятий и соотношений нелинейной механики деформируемого твердого тела. Анализ больших деформаций армированных волокнами композитов производится по компьютерным реализациям теоретических построений, осуществленных на основе применения методов вычислительной МДТТ. Исследования некоторых композитных структур выполнены с помощью численного расчета и натурального эксперимента.
Научная новизна полученных результатов
Научная новизна полученных результатов состоит в решении следующих вопросов и задач нелинейной механики деформирования композитных материалов: • построена строгая каркасная теория композитных материалов и сред на основе систем волокон регулярного строения при больших деформациях на пути объединения микро- и макромеханического направлений в механике композитов; • построена структурная микро-макромеханическая теория композитных материалов и сред на основе систем волокон регулярного и не вполне регулярного строения при больших деформациях;
• построена теория эластомерных композитов на основе систем нитей при больших деформациях, включающая микромеханический уровень анализа матрицы материала и макромеханический уровень анализа нитей арматуры;
• разработана теория деформационных характеристик композитных материалов при больших деформациях;
• проведены расчеты деформационных характеристик и внутренних полей одно-, дву- и трехнаправленно армированных композитных материалов при больших деформациях на основе структурной и каркасной теорий;
• построена прикладная макромеханическая теория композитных материалов и сред с малыми наполнениями нитями при больших деформациях;
• разработан метод расчета деформационных характеристик композитных материалов при больших деформациях на основе прикладной теории;
• проведены расчеты деформационных характеристик слабоармированных 3D и 4D композитных структур при больших деформациях;
• построены прикладные безмоментная и моментная модели оболочек осесиммет-ричного строения из армированных нитями эластомерных слоев при больших перемещениях и деформациях;
• проведены расчеты оболочек осесимметричного строения из армированных нитями эластомерных слоев при больших перемещениях и деформациях.
Достоверность результатов диссертации
Достоверность результатов диссертации обеспечивается корректностью использования основных положений механики твердого деформируемого тела, строгостью использования математического аппарата, совпадением или несущественными различиями результатов расчетов композитных материалов при малых деформациях на основе предложенных теоретических построений с результатами расчетов на основе подходов механики жестких композитов, близостью получен 13 ных результатов с результатами натурных экспериментов для некоторых композитных структур при больших деформациях.
Практическое значение полученных результатов
Построенные каркасная и структурная теории композитных материалов и сред на основе систем волокон описывают микро- и макромеханические поля перемещений, деформаций и напряжений композитных материалов и сред волокнистого строения при больших деформациях компонентов структуры в условиях мак-ромеханического равновесия и движения среды материала. Объем вычислений при расчетах сред композитных материалов с помощью компьютерных реализаций каркасной и структурной теорий на несколько порядков меньше, чем в случае расчетов на основе теории кусочно-однородной среды (теории взаимодействия многих деформируемых тел). Благодаря этому становится возможной реализация расчетов композитных сред с определением внутренних полей в компонентах структуры на современных компьютерах большой вычислительной мощности.
Построенная прикладная теория описывает параметры макроскопической деформации и усилия в нитях арматуры композитных материалов и сред с малыми наполнениями нитями при больших деформациях. Теория может использоваться для проведения ограниченного прочностного анализа слабоармированных материалов при малых и больших деформациях с произвольными схемами пространственного армирования. Прикладная теория весьма эффективно реализуется на современных персональных компьютерах. Объем вычислений при анализе композитной среды лишь в несколько раз, в соответствии с числом систем армирования, превосходит объем вычислений при анализе однородной среды.
Построенные прикладные модели осесимметричных оболочек из армированных нитями эластомерных слоев описывают упругое деформирование оболочек, происходящее при неограниченных вне принятой гипотезы обжимаемого нормального элемента перемещениях и деформациях.
Разработанные на базе вычислительных методов МДТТ компьютерные реализации структурной и каркасной микро-макромеханических теорий, прикладной макромеханической теории и прикладных моделей армированных оболочек могут быть применены к решению широкого круга задач расчета композитных материалов и конструкций при больших деформациях компонентов структуры. Основные результаты, которые выносятся на защиту
• Структурная и каркасная микро-макромеханические теории композитных материалов на основе систем волокон при больших деформациях.
• Теория деформационных характеристик композитных материалов при больших деформациях.
• Микро-макромеханический анализ композитных материалов с одномерной, двумерной и трехмерной схемами армирования при больших деформациях на основе структурной и каркасной теорий.
• Прикладная макромеханическая теория композитных материалов с малыми наполнениями нитями при больших деформациях.
• Метод расчета деформационных характеристик композитных материалов с малыми наполнениями нитями при больших деформациях на основе прикладной теории.
• Макромеханический анализ слабоармированных композитных материалов с трех- и четырехнаправленной пространственными схемами армирования на основе прикладной теории.
• Прикладные безмоментная и моментная модели деформирования оболочек осе-симметричного строения из армированных нитями эластомерных слоев при больших перемещениях и деформациях.
• Численное решение краевых задач оболочек осесимметричного строения из армированных нитями эластомерных слоев при больших перемещениях и деформациях.
• Расчетно-экспериментальные исследования резинокордных композитных материалов при больших деформациях и осесимметричной оболочки из резинокордных слоев при больших перемещениях и деформациях.
Личный вклад соискателя
В диссертационной работе все теоретические результаты, программные реализации теоретических построений, расчеты и численные эксперименты выполне 15 ны лично автором и опубликованы в работах без соавторов. Исключением являются публикации трех работ в журнале МКМ и двух в материалах международных конференций, посвященные расчетам и дублирующим их экспериментальным исследованиям конкретных композитных структур. В указанных работах соавтору В.П. Луневу принадлежит описание геометрии и материалов структур, изготовленных по промышленным технологиям, и экспериментальной части (методик проведения натурных экспериментов и их результатов).
Апробация результатов диссертации
Результаты, изложенные в диссертации были доложены на Всесоюзной научно-технической конференции «Состояние и перспективы применения мягких оболочек на подземных горных выработках», Днепропетровск, 1991; на IX международной конференции по механике композитных материалов, Рига, 1995; на X международной конференции по механике композитных материалов, Рига, 1998; на XI международной конференции по механике композитных материалов, Рига, 2000. В полном объеме диссертационная работа докладывалась на семинарах Национальной металлургической академии Украины, Института прикладной механики РАН, Тверского государственного университета, Московского авиационного института, Научно-исследовательского института шинной промышленности.
Публикации
Результаты исследований, включенные в диссертацию, изложены в 26 работах, из которых 20 опубликованы в специализированных изданиях [1, 3-5, 7, 8, 11 — 15, 18-26]. Остальные работы опубликованы в материалах Всесоюзной конференции «Состояние и перспективы применения мягких оболочек на подземных горных выработках» [2] и материалах IX, X, XI Международных конференций по механике композитных материалов [6, 9, 10, 16, 17].
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, девяти глав, заключения, списка использованной литературы (127 наименований на 11 страницах). Общий объем работы составляет 389 страниц. Она содержит 85 рисунков на 73 страницах и 22 таблицы на 21 страницах.
Микромеханическое направление в механике композитных материалов при больших деформациях
Наиболее общее направление исследования больших деформаций композитных материалов, при котором на микромеханическом уровне анализа осуществляется определение внутренних полей в структурных составляющих, представлено решением лишь нескольких задач частного характера для однонаправлено армированных и армированных по направлениям в плоскости композитных материалов. В [52] рассмотрена задача о вычислении упругих модулей и упругопластиче-ских макрохарактеристик для композита с двоякопериодическим расположением круглых цилиндрических волокон или включений. В частном случае рассмотрена матрица с цилиндрическими полостями. Границы эффективных констант материала находятся на основе экстремальных принципов Хашина-Штрикмана [53] для уп-ругопластической матрицы с независящими от скорости деформирования свойствами. Для различных свойств компонентов построены верхняя и нижняя границы упругопластических свойств композита. В [54] представляется конечноэлементное моделированное процессов деформирования композитов при больших пластических деформациях и деформациях ползучести. Выясняются зоны наибольших деформаций матрицы, наиболее предрасположенные к образованию трещин, в зависимости от схемы расположения волокон. Показано, что расположение центров волокон в узлах треугольной решетки является более предпочтительным по сравнению с расположением в узлах квадратной решетки. Результаты моделирования с использованием определяющих уравнений «достаточно общего вида» могут применяться для различных схем регулярного армирования с учетом расстояния между волокнами и их объемной доли.
Конечноэлементная модель для характеристики напряженно-деформированного состояния при одноосном растяжении композиционных материалов с подкрепляющими волокнами также построена в [55]. Основное внимание уделяется исследованию больших пластических деформаций для некоторых схем регулярного расположения волокон, а также варианта их случайного расположения. Проанализировано подкрепляющее и стабилизирующее влияние армирующих волокон на процесс пластического течения композита в зависимости от схемы их размещения, объемного содержания, граничных условий. Обсуждаются аспекты неустойчивой пластической деформации исследуемых композитов и даны рекомендации по оптимальному размещению подкрепляющих волокон. С данной работой методологически близки [56, 57], где изучаются условия взаимодействия упру гопластической матрицы с упругими волокнами при больших деформациях сжатия материала поперек волокон. Во всех указанных выше работах производится расчет однонаправлено армированных материалов в условиях макроскопически одноосного растяжения или сжатия по направлению волокон либо поперечно волокнам. Внутренние (микроскопические) поля находятся из решения микрокраевой задачи для блока структуры материала (ячейки периодичности строения) по методу конечных элементов. В силу условий симметрии ограничивающие грани структурного блока, будучи плоскими в исходном состоянии остаются плоскими и в деформированном состоянии, и граничные условия, удовлетворяющие условиям периодичности, легко формулируются на основе задания компонент перемещений или напряжений на гранях блока (часть из которых являются нулевыми ввиду симметрии решаемой задачи). В [58] излагается метод гомогенизации применительно к задаче о выкладках плоских заготовок, изготовленных дублированием армированных волокнами слоев, на поверхностях со сложной (двойной) кривизной. Слои в заготовках образуются на основе однонаправленно расположенных прямых волокон или на основе переплетенных по ткацкой технологии волокон и получивших при этом соответствующие искривления. Описывается метод гомогенизации для анализа механического поведения плоской композитной заготовки, заменяющий неоднородную структуру материала на эффективную однородную. Макроскопические напряжения при этом определяются как производные от энергии упругой деформации ячейки периодичности материала, отнесенной к величине объема ячейки, по компонентам макроскопической деформации. Для «нейтрализации» влияния граничных условий, задаваемых на основе компонент макроскопической деформации, предшествуемая процедуре гомогенизации краевая задача решается для фрагмента композита, включающего рассматриваемую ячейку как центральную. Данное обстоятельство является весьма существенным следствием несовершенства применяемой методики анализа композитного материала. Однако главный ее недостаток в том, что она построена на основе геометрически и физически линейных уравнений теории упругости (на базе уравнений классической линейной теории упругости) для каждого из компонентов композита. Поэтому полученные результаты могут использоваться применительно к материалам с ограниченными деформациями (в работе представлены расчеты одноосных поперечных растяжений и чистых поперечных и продольных сдвигов однонаправленных композитов с величинами деформаций 8, 16, 24 и 32%.
По итогам проведенного обзора отметим, что несмотря на отдельные попытки, до сих пор не удалось построить теорию композитных сред при больших, формально неограничиваемых деформациях, обладающую достаточно строгим и общим характером. Проведенные исследования некоторых частных задач базируются на известных понятиях и соотношениях нелинейной механики однородной среды, а также на таких понятиях механики жестких композитных материалов, как макроскопические напряжения и деформации, эффективные материальные постоянные (эффективные определяющие соотношения) и идеи гомогенизации, формальная сторона которой заключается в том, чтобы выявить эффективные определяющие соотношения среды материала и эффективные материальные постоянные, в них содержащиеся. Однако используемые понятия о макроскопических деформациях и напряжениях по сути имеют априорный характер, так как не базируются на аксиоматически строгом определении макроскопического поля перемещений (последнее в механике жестких композитов принято рассматривать как результат осреднения поля материальных перемещений). Авторы в своих работах строят компоненты макродеформаций и макронапряжений на основе усреднения соответствующих локальных (микроскопических) величин по «характерным» объемам или площадкам. Поле макроскопических перемещений при этом либо вообще не упоминается, либо, в лучшем случае, рассматривается как усредненное поле материальных перемещений (без флуктуацион-ной составляющей, усреднение которой по макроэлементарному объему представления приводит к «нулевому» результату). Такой подход вполне обеспечивает успех при исследовании малых или ограниченных деформаций композитных материалов и их сред, когда метрики структурных составляющих компонентов изменяются не очень существенно и мало разнятся между собой в деформированной кон
Об уравнениях макроскопического равновесия и движения сред композитных материалов при больших деформациях и «теории эффективных напряжений»
Рассмотрение условий макроскопического движения композитной среды приводит к уравнению движения среды, которое, будучи отнесенное к метрике исходной конфигурации, в координатном представлении приобретает следующий вид (см. подробнее главу 3): Здесь pm и pn - плотности материалов матрицы и волокон систем армирования в исходном состоянии среды; Ve и Vn - объемы структурного блока и области блока, занимаемой волокнами п-й системы, в исходном состоянии среды; v(x ,t) - поле скоростей макроскопического движения среды; Fm(x\t) и Рп(х Д) - плотности массовых сил, воздействующих на матрицу и волокна п-й системы армирования. На основе уравнения (2.20) формулируются краевые статические и динамические задачи макромеханического уровня анализа среды композитного материала, армированного системами волокон. Расчет композитной среды осуществляется на основе неразрывного сочетания микро- и макромеханического уровней анализа. На макромеханическом уровне анализа производится решение макрокраевой статической или динамической задачи на основе уравнения макромеханического равновесия или движения среды (2.20) при соответствующих макроскопических начальных и граничных условиях, сопровождающееся вычислениями микромеханического уровня анализа. На микромеханическом уровне анализа решаются микрокраевые задачи на основе уравнений МДТТ для (узловых) структурных блоков среды, расположенных в окрестностях узловых точек дискретной схемы макромеханического уровня анализа, при граничных условиях (2.8) - (2.10) с последующим определением компонент макроскопических напряжений для данных узловых точек (узловых блоков) среды композита.
Микрокраевые задачи решаются в квазистатической (мгновенной) постановке в соответствии с анализом макродинамических процессов, не учитывающем микроволновое движение в структурных составляющих (см. также главу 4). Анализ статически нагруженных композитных сред производится с выявлением полной микромеханической картины внутренних полей в структурных составляющих, которая по точности практически не уступает анализу, производимого непосредственно на базе уравнений МДТТ, когда композит рассматривается как совокупность многих взаимодействующих деформируемых тел в предположении о возможности осуществления такого анализа. Исключением может являться узкая область композитной среды с кромочным эффектом, анализ которой на основе уравнений МДТТ можно осуществлять вместе с представленным микро-макромеханическим анализом среды как при малых, так и больших деформациях составляющих компонентов материала среды. Проблема отсутствия макроскопических (эффективных) определяющих уравнений вполне решается с привлечением вместо данных уравнений способа расчета макроскопических напряжений на базе информации о внутренних полях в элементах структуры материала. В конечном итоге эффективные (макроскопические) напряжения оказываются найденными в зависимости от компонент макроскопической деформации и определяющих соотношений материалов элементов структуры по месту узловой области (узлового элемента представления структуры) композитной среды. Таким образом, в соответствии с подходом «теории эффективных напряжений» уравнения макроскопического равновесия или движения среды (2.20) следует рассматривать как уравнения в неявно заданном виде относительно полей компонент макроскопических перемещений. При указанном подходе решение макрокраевои задачи на основе уравнений (2.20) следует проводить с помощью итерационной процедуры, уточняющей начально заданное приближение поля макроскопических перемещений (см. подробнее главу 3, раздел 3.5). В случае применения данного подхода к решению линейной задачи деформирования композитной среды (при малых деформациях) уже первая уточняющая итерация, выполняемая на базе обладающего большой общностью метода Ньютона [101, 102], приведет к значениям искомых макроперемещений в узловых точках макромеханической (глобальной) схемы расчета среды. Формально данная схема расчета может быть применена и к однородным средам. Напряжения среды в этом случае рассчитываются непосредственно с помощью ее определяющих соотношений (а не из решения микрокраевой задачи). В случае линейно-упругой однородной среды, если начальное приближение поля макроскопических приближений задать нулевыми значениями в глобальных узловых точках, то уточняющие приращения перемещений, найденные в первой итерации метода Ньютона, будут равняться искомым перемещениям узловых точек дискретной схемы краевой задачи. При расчетах среды композитного материала при больших деформациях, когда макромеханическии уровень анализа характеризуется высокими геометрическими и физическими нелинейностями, решение макрокраевои задачи в условиях квазистатической постановки следует проводить поэтапно с учетом истории нагружения среды. При этом сопровождающие решения локальных краевых задач микромеханического уровня анализа также осуществляются с учетом «локальных» историй нагружения на микроструктурном уровне материала среды.
Основные положения каркасной теории композитных сред с неискрив-ленными и глобально искривленными волокнами
Рассматриваем композитные среды, регулярно армированные волоками и являющиеся структурно непрерывными или структурно кусочно-непрерывными. Структурная непрерывность имеет пространственный характер и понимается как непрерывность полей параметров структуры среды по каждой из систем армирования. В отчетный момент времени t0 среда композита с объемом V, ограниченным гладкой или кусочно-гладкой поверхностью А, приходит в движение, сопровождающееся деформацией ее структурных составляющих. Макроскопическое движе- ниє композитной среды для произвольного момента времени t характеризуется полями перемещений, деформаций и напряжений в структурных составляющих, которые несущественно изменяются на расстояниях в один или несколько периодов армирования по каждой из систем. Текущее состояние среды описываем на основе применения системы криволинейных координат 6 , которая определяется отсчет-ной конфигурацией среды или некоторыми из направлений армирования среды системами волокон. Из среды композита поверхностями, в которых располагаются осевые линии волокон каких-либо двух из перекрещивающихся систем, или эквидистантными поверхностями, выделяем структурные блоки регулярности (периодичности) строения среды. Однонаправлено армированные среды с одной или большим числом систем армирования разделяются на структурные блоки по одной из систем армирования. Системы армирования, по которым производится разбиение среды на структурные блоки, будем называть базовыми системами армирования. Для многонаправленных сред и однонаправленных с многими системами выбор базовых систем армирования и, следовательно, разбиение среды на структурные макроэлементы, является неоднозначным. Выбор базовых систем армирования на результаты исследования среды не влияет и определяется соображениями целесообразности при реализации микромеханического уровня анализа (см. раздел 3.6). Структурные блоки композитной среды представляют собой параллелепипеды, в общем случае косоугольные с искривленными гранями, кривизна которых определяется искривлениями траекторий армирования среды волокнами базовых систем. Точки, расположенные в вершинах структурных блоков (макроэлементов) среды, назовем каркасными точками композитного материала или композитной среды. В соответствии с определением структурного блока каркасные точки среды могут принадлежать либо только осевым линиям волокон одной из двух базовых систем армирования, либо только областям, занимаемым волокнами одной из армирующих систем, либо только области, занимаемой матрицей композитного материала. Для однонаправленно армированной среды каркасными точками являются все точки осевых линий волокон системы армирования, которая принята в качестве базовой. Топологию структурных блоков поясняет рис. 3.1, где изображаются структурные макроэлементы сред с одной системой волокон (одномерное армирование), двумя системами волокон (двухмерное армирование), тремя и четырьмя системами волокон (трехмерные армирования) с указанием каркасных точек в вершинах макроэлементов.
При увеличении количества систем и направлений армирования увеличивается количество включаемых структурным блоком среды композита периодов армирования по некоторым или всем системам (рис. 3.1 г). Анализ композитной среды производим на основе введения векторного поля u(9 , t), определяющего перемещения каркасных точек среды где u(0 , t) - поле материальных (истинных) перемещений в структурных составляющих среды; 9К - координаты каркасных точек среды в системе координат 0 . Поле u(9 , t) перемещений каркасных точек среды композита назовем полем каркасных или макроскопических перемещений среды. Конфигурацию композитной среды, являющуюся образом отсчетной конфигурации при отображении в поле ii(9 , t) каркасных перемещений, будем называть текущей каркасной или текущей макроскопической конфигурацией среды. Линии, поверхности и объемы текущей макроконфигурации, представляющие собой образы соответствующих геометрических объектов отсчетной конфигурации при отображении в каркасном поле й(9 , t), как и образы объектов, отображенных в поле макроскопических перемещений, называем макроскопическими линиями, поверхностями и объемами текущей среды композита. Макрокоординатные линии и макрокоординатные поверхно сти применяемой системы координат 0 представляют собой образы координатных линий и координатных поверхностей отсчетной конфигурации среды в поле й(0 , t) каркасных перемещений. Координаты точек, положения которых в макро скопической конфигурации среды задаются полем u(0 , t), называем макроскопическими координатами. Макроскопические координаты материальных точек, определяемые на основе поля каркасных перемещений й(0 , t) и отвечающие матери альным координатам 91, также обозначаем 01 и отличаем их от материальных координат. В текущей материальной конфигурации среды материальные линии, поверх А ности и объемы определяются полем материальных перемещений u(0 , t) и представляют собой образы отображаемых в этом поле соответствующих линий, поверхностей и объемов отсчетной конфигурации среды. Материальные линии и материальные поверхности, гладкие в исходном состоянии, в текущей среде могут приобретать «рельефный» характер с изломами по месту пересечений с границами раздела матрицы и волокон систем. Соответствующие макроскопические линии и поверхности, будучи гладкими в отсчетной конфигурации, остаются гладкими и в текущей макроскопической конфигурации. Это имеет место в силу гладкого ото бражения геометрических объектов в поле каркасных перемещений u(0 , t), в отличие от негладкого отображения в поле истинных перемещений u(0 , t). В отсчетной конфигурации среды материальные и макроскопические положения материальных точек совпадают между собой, как и совпадают между собой материальные и макроскопические объекты геометрического содержания. Величину ид(0\ t), представляющую собой разницу между полями материальных и макроскопических перемещений как в случае определения (3.2) на основе поля макроскопических перемещений (3.1), называем полем локальных, или микроскопических перемещений. Векторы (3.4) локальных перемещений материальных точек 0 к, являющихся каркасными точками среды, имеют нулевые значения в силу определения (3.3) каркасного поля перемещений.
Распространение каркасной теории на композитные среды с локально искривленными волокнами
Каркасная теория распространяется на композитные среды с локально искривленными волокнами на основе дополнительных обобщающих понятий. Рассматриваем среды, армированные системами волокон с локальными искривлениями регулярного характера и описываемые непрерывными по координатным переменным параметрами структуры. К данным средам относим также среды с текстильными каркасами (среды тканых композитов). Локальную кривизну волокон представляем как наложенную на их глобальную кривизну, которая имеет место на протяжении среды композита в целом. В матрице и волокнах армирующих систем и на границах их раздела могут присутствовать повреждения и дефекты структуры с регулярными или квазирегулярными распределениями. Линии, определяющие пространственно усредненные положения осевых линий волокон, назовем каркасными линиями или каркасными траекториями армирования. Направления, задаваемые каркасными линиями, называем каркасными направлениями армирования. Кривизна каркасных линий представляет собой глобальную кривизну осевых линий волокон систем. В случае систем локально неис-кривленных волокон каркасные линии совпадают с осевыми линиями волокон. Поверхности, в которых располагаются каркасные линии каждой из систем армирования, будем называть каркасными поверхностями среды. Системы армирования, каркасные линии которых перекрещиваются между собой, называем перекрещивающимися. Каркасными поверхностями по двум из перекрещивающихся систем, принятых в качестве базовых, или эквидистантными поверхностями выделяем структурные блоки регулярности строения среды, представляющие собой прямоугольные или косоугольные параллелепипеды. Грани таких макроэлементарных объемов имеют глобальные искривления в соответствии с искривлениями базовых каркасных поверхностей. С усложнением схемы армирования увеличивается число периодов, включаемых структурными блоками по некоторым или, возможно, всем системам армирования несоответственно этому, увеличиваются объемы блоков.
Вершины структурных блоков будем называть каркасными точками среды или композитного материала среды. Каркасные точки среды располагаются на каркасных линиях волокон одной из двух перекрещивающихся систем, принятых в качестве базовых при разбиении среды на структурные блоки. В случае, когда грани структурных блоков расположены в поверхностях, эквидистантных каркасным поверхностям базовых систем армирования, каркасные точки среды могут принадлежать как областям, занимаемым волокнами одной из систем, так и области, занимаемой матрицей. Схема разбиения среды на структурные блоки, определяющая каркасные точки среды при выбранных в качестве базовых перекрещивающихся системах волокон, и сам выбор базовых систем волокон не влияют на результаты микромакромеханического расчета среды. Это легко доказывается для макроскопически однородных сред, а затем результат доказательства переносится на макроскопически неоднородные среды с непрерывными и кусочно-непрерывными структурами. На рис. 3.3 представлена схема среды, армированной двумя системами искривленных в плоскости плана волокон и одной системой прямолинейных или пространственно-искривленных волокон, ориентированных из плоскости плана. Контурными линиями выделены структурные блоки двух типов с каркасными точками в их вершинах (в плоскости плана показаны четыре из восьми каркасных точек для каждого блока). Из шести плоских поверхностей, выделяющих структурный блок первого типа, две поверхности ориентированы в плоскости плана и содержат каркасные линии первой системы армирования. Эти плоскости отстоят друг от друга на расстоянии периода армирования среды из плоскости плана, который определяется как периодами расположения волокон первой и второй систем из плоскости L] и Ki - осевые и каркасные линии волокон первой системы армирования; L2 и Кг - проекции на плоскость плана осевых и каркасных линий второй системы армирования; В] и В2 - контурные линии в плоскости плана для структурных блоков первого и второго типов; Ь и Ь - каркасные точки среды при ее разбиении на структурные блоки первого и второго типов. Рисунок 3.3 -
Схема среды с двумя системами искривленных в плоскости плана волокон и системой волокон, ориентированных из плоскости плана плана, так и периодом изменения кривизны волокон третьей системы армирования. Остальные выделяющие поверхности ортогональны к плоскости плана. Две из этих поверхностей содержат каркасные линии первой системы армирования, а две другие - каркасные линии второй системы армирования. Расстояния между этими плоскостями определяются периодами расположения в плоскости плана волокон первой и второй армирующих систем. Для структурного блока второго типа ортогональные к плоскости плана выделяющие поверхности эквидистантны каркасным поверхностям первой и второй систем и отстоят от них на полупериоды композита среды в плоскости плана. Каркасные точки при разбиении среды на структурные блоки первого и второго типов располагаются, соответственно, в матрице среды и на осевых линиях волокон третьей системы. Анализ сред композитов с локально искривленными волокнами и сред композитов с текстильными каркасами на основе обобщающего понятия каркасных точек композитного материала производится как и анализ сред, армированных системами волокон, не имеющих локальных искривлений. Формальный аппарат анализа, представленный в разделах 3.3-3.6 полностью сохраняет свою актуальность для сред с локально искривленными волокнами. Изменяется лишь трактовка результатов, получаемых на основе формул макромеханического уровня анализа, определяющих параметры структуры композитной среды в текущем состоянии (раздел 3.3). В случае сред, армированных системами локально искривленных волокон, эти соотношения определяют удлинения каркасных линий систем армирования, плотности расположения каркасных линий, каркасные направления армирования и т.п. в текущей каркасной конфигурации композитной среды. 3.8. Заключение Структурная и каркасная теории жестких и мягких композитов объединили микро- и макромеханический уровни анализа материала. Теории является физически и геометрически нелинейной при неограничиваемых нелинейностях структурных составляющих композитного материала. Геометрически нелинейная сторона теории обусловила необходимость построения специальной концепции макроско пических напряжений композитного материала, учитывающей изменения метрик матрицы и элементов арматуры в текущем состоянии среды материала. В зависимости от интерпретации поля макроскопических перемещений структурная и каркасная теории распространяются на композитные среды с волокнистой, слоистой и матричной структурами.
