Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Макроскопические свойства пьезоактивных композитов 18
1.1. Постановка задачи 18
1.2. Метод условных моментных функций 25
1.3. Плоские волны 34
1.4. Динамические макроскопические характеристики 39
1.5. Распространение макроскопических волн 45
ГЛАВА II. Распространение макроскопических волн в пьезоактивных композитах слоистой структуры 51
2.1. Определение динамических макроскопических характеристик слоистых композитов 51
2.2. Фазовая и групповая скорости, коэффициенты рассеяния 64
2.3. Распространение волн без учета рассеяния энергии .71
2.4. Распространение макроскопических волн вдоль слоев 79
2.5. Макроскопические постоянные слоистых пьезоактивных композитов .".'. v 84
ГЛАВА III. STRONG Распространение макроскопических волн в пьезоактивных композитах волокнистой
структуры STRONG 91
3.1. Определение динамических макроскопических характеристик волокнистых композитов 91
3.2. Распространение волн без учета рассеяния энергии 106
3.3. Макроскопические волны в упругих композитах с изотропными компонентами 120
3.4. Макроскопические постоянные волокнистых пьезоактивных композитов 126
ГЛАВА ІV. Макроскопические постоянные пьезоактивных композитов зернистой структуры 131
4.1. Макроскопические постоянные пьезоактивных композитов 131
4.2. Пьезоэлектрические композиты 138
4.3. Пьезомагнитные композиты с изотропными включениями 142
4.4. Предельные переходы: макроскопические постоянные слоистых и волокнистых композитов 153
Заключение 155
Литература
- Метод условных моментных функций
- Распространение волн без учета рассеяния энергии
- Распространение волн без учета рассеяния энергии
- Пьезоэлектрические композиты
Введение к работе
Современный прогресс в ультразвуковой технике, и в частности гидроакустики, в значительной мере связан с созданием новых пьезоактивных [ 86] (пьезоэлектрических и пьезомагнит-ных) материалов. Здесь исследования, направленные на поиск новых материалов, связаны с двумя основными направлениями: I) улучшение химического состава пьезокерамики и режимов технологии ее изготовления [ 21, 79, 82, ИЗ, 114] ; 2) армирование пьезокерамики высокомодульными включениями [82] различной формы, что особенно связано с повышением прочности мощных источников ультразвука. При этом распределение включений (слоев, непрерывных поликристаллических и дискретных монокристальных волокон [ 38, 66, 72, 80] ) в силу технологических причин может носить как регулярный, так и случайный характер.
В решении этой проблемы наряду с экспериментальными исследованиями важное значение занимают теоретические методы расчета, позволяющие прогнозировать различные свойства композитов по известным физико-механическим и геометрическим параметрам компонент и тем самым вести целенаправленный поиск композитной, структуры, которая оптимальным образом сочетала бы в себе требуемые физико-механические свойства и в то же время удовлетворяла экономическим требованиям. При этом наличие теоретических методов прогнозирования позволяет значительно сократить число экспериментов, которые для современных пьезоактивных композитных материалов в большинстве случаев являются дорогостоящими.
Теоретические методы расчета пьезоактивных композитов представляют собой синтез соответствующих методов механики упругих композитных сред и моделей деформирования упругих тел
5.
с учетом связности электрических и магнитных полей. Важный вклад в развитие этого направления внесли работы таких ученых как: В.В.Болотина, Г.А.Ванина, В.Т.Гринченко, А.Н.Гузя, А.А.Ильюшина, В.Г.Карнаухова, Я.С.Подстригача, Л.И.Седова, А.Ф.Улитко, Л.П.Хорошуна, Т.Д.Шермергора, Н.А.Шульги и целого ряда других как советских, так и зарубежных ученых.
Проявлением возрастающего интереса к теоретическим методам расчета композитных материалов является выход в последнее время монографий: В.В.Болотина и Ю.Н.Новичкова [9] , Г.А.Ванина [12] , С.Д.Волкова и В.П.Ставрова [20] , А.Н.Гузя и В.Т.Головчана [28] , Д.М.Карпиноса, Л.И.Тучинского и Л.Р.Выш-такова[37] , Р.Кристенсена [42] , А.К.Малмейстера, В.П.Таму-жа и Г.А.Тетерса [5б] , Л.П.Хорошуна и Б.П.Маслова [ 101 ] , Л.П.Хорошуна и А.С.Щербакова [l04] , Т.Д.Шермергора [Юб] , Н.А.Шульги [ 107 ] , Дж.Маккоя [ 122 ] , а также обобщающих многотомных изданий под общей редакцией А.Н.Гузя [ 28] и Л.Браутма-на и Р.Крока [ 40 ] .
В механике неоднородных сред для определения различных свойств композитных структур условно выделяют два подхода, связанных с характером распределения неоднородностей в композитных материалах - это детерминированный и статистический. В детерминированном подходе важным условием является регулярность распределения включений, что на основе определенных предположений позволяет детерминированно учесть взаимодействие огромного числа включений. Этот подход позволяет решать задачи на основе точной трехмерной постановке. В статистическом подходе важным условием является случайность распределения включений и учет взаимодействия огромного числа включений проводится статистическими методами. Определение свойств композитов в таком подходе в конечном итоге сводится к проблеме
6.
многих тел, точное решение которой возможно лишь в простейших случаях. Поэтому при рассмотрении более сложных случаев предлагались различные приближенные теории такие как: корреляционное, одноточечное и сингулярное приближение, метод условных моментных функций и ряд других.
Если композитный материал представляет собой микронеоднородную среду (т.е. его размеры значительно превосходят характерные размеры армирующих включений: толщин слоев, диаметров волокон и т.д.), то в таких случаях микронеоднородный композит заменяется ему эквивалентной однородной средой, свойства которой описываются макроскопическими (иногда их называют эффективными, приведенными или интегральными) характеристиками, в которых отражается характер неоднородности реальной структуры и вид внешних нагрузок. К таким характеристикам можно отнести макроскопические постоянные, макроскопический волновой вектор и некоторые другие. Поэтому одной из центральных задач механики как упругих, так и пьезоактивных микронеоднородных сред является определение этих макроскопических характеристик, установление их зависимости от физико-механических свойств компонент, внутренней геометрии (формы, размеров и характера распределения включений) композита и вида внешних нагрузок.
Простейшие методы определения макроскопических постоянных микронеоднородных сред были предложены в работах В.Фойгта[і25] и АРейсса [123] , которые вводили соответственно гипотезы об однородности в теле деформаций (метод Фойгта) и напряжений (метод Рейсса). Оба метода являются довольно приближенными и устанавливают лишь вилку, внутри которой находятся истинные значения макроскопических постоянных. В последствии З.Хашин и С.Штрикман [П7] на основе вариационных принципов существен-
7.
но сузили вилку Фойгта-Рейсса. В-работах Р.Хилла[пв] , С.К. Канауна [ 34] и других для определения макроскопических постоянных неоднородных сред использовался метод самосогласования. В статье М.А.Кривоглаза и А.С.Черевко [41J предлагалось ви-риальное разложение, где в качестве малого параметра бралась концентрация одной из компонент.
Исследованию распространения волн в регулярно-слоистых композитах посвящены работы Л.М.Бреховских [її] , Н.А.Шульги [ 107, 108] , Н.А.Шульги и В.М.Антоненко [і, 109] , Сана, Ахенбаха и Германа [75, 76 ] , Све [ 77] и ряд других работ [116, 124] . При этом для решения волновых уравнений использовались различные методы. Так в работе [ II ] использовалась теорема Флоке для дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. В работе [ 107] краевая задача сводилась к бесконечной системе алгебраических уравнений и их решение проводилось на основе теории конечноразностных уравнений. В работе [7б] предлагалась теория эффективных жесткостей. Статья [ 124] посвящена экспериментальным исследованиям зон запирания упругих волн.
В работе А.Н.Гузя[ 24] на основе вариационных принципов предложена методика изучения динамических процессов в композитных материалах с начальными напряжениями, на основе которой были определены макроскопические постоянные [25-27 J и исследовано распространение упругих волн [ЗО, 45-47] в регулярно-слоистых композитах с начальными напряжениями.
Строгой трехмерной теории распространения и дифракции упругих волн в регулярно-волокнистых и зернистых композитах посвящены монографии А.Н.Гузя и В.Т.Головчана[ 28] , А.Н.Гузя, В.Д.Кубенко и М.А.Черевко [ 29] . Различным приближенным теориям распространения упругих волн в регулярно-волокнистых ком-
8.
позитах посвящены работы [ 2, 115, 120] и другие. В статьях [71, 83] приведены результаты экспериментальных исследований по дисперсии упругих волн в таких композитах.
Развитию теории композитных сред с различной степенью упорядоченности структуры посвящены работы Г.А.Ванина [12-19]. В монографии [12] на основе метода теории функций комплексного переменного исследованы различные макроскопические физико-механические (упругие, реологические, теплофизические, диффузионные, электромагнитные и другие) характеристики регулярно-волокнистых композитов. На основе развитой теории в работе [ІЗ] определены макрокопические электромагнитные постоянные анизотропных диэлектриков, в работе [15] предложена методика определения различных макроскопических термогальваномаг-нитных коэффициентов, а в статьях [16, 17] определены макроскопические постоянные продольного сдвига в регулярно-волокнистых пьезоэлектрических композитах. В статье [ 14] предложен новый метод учета взаимодействия в композитной среде, в котором потенциал взаимодействия представляется в виде суммы потенциалов, каждый из которых учитывает различную степень взаимодействия между компонентами. На основе предложенного метода в статьях [18, 19] развивается статистическая теория однонаправленных волокнистых композитов с учетом дисперсии свойств и геометрических параметров волокон и матрицы, несовершенств в фазах и на межфазных границах, дефектов в упаковке.
В работе И.М.Лифшица и Л.Н.Розенцвейга [53] , одной из первых, выполненных в статистической постановке, исследованы макроскопические постоянные поликристаллов. В ней дана постановка задачи, сформулированы стохастические уравнения равновесия и граничные условия. Макроскопические постоянные нахо-
9.
дятся в корреляционном приближении. Рассмотрена также одномерная задача, когда среда имеет слоистую структуру. В дальнейшем корреляционное приближение для определения макроскопических постоянных композитов развивалось в работах А.Г.Фокина и Т.Д.Шермергора [ 89] и Л.П.Хорошуна [92] .
В работах В.А.Ломакина [ 54, 55] для решения стохастических уравнений равновесия предложен метод малого параметра, который дает возможность представить решение через статистические характеристики поля упругих постоянных. В случае малой неоднородности, когда можно ограничиться моментами второго порядка, решение совпадает с корреляционным приближением.
Методы вычисления макроскопических постоянных, основанные на предположении малости флуктуации физико-механических свойств, дают хорошие результаты лишь для слабо неоднородных сред. Однако в реальных композитных материалах, в частности пьезоактивных, различия физико-механических свойств компонент может быть весьма существенным. Для определения макроскопических свойств композитов с сильно отличающимися свойствами компонент необходимо учитывать высшие приближения теории случайных функций. Важным этапом в этом направлении явились работы В.В.Болотина и В.Н.Москаленко [ 6-8] , А.Г.Фокина и Т.Д.Шермергора [90, 91] , Л.П.Хорошуна [92, 93 ] и некоторые другие [31, 81, 119] .
В работах В.В.Болотина и В.Н.Москаленко [ 6-8] предполагалось, что статистические моменты зависят лишь от расстояния между точками, что позволило провести интегрирование момент-ных уравнений и окончательный результат представить в компактной форме. Определены макроскопические коэффициенты теплопроводности, диффузии и упругие постоянные.
В работах А.Г.Фокина и Т.Д.Шермергора [90] и Т.Д.Шермер-
10.
гора [ Юб] определение макроскопических постоянных основывалось на перенормировке операторного уравнения равновесия и представление решения в виде операторного ряда, который при удержании сингулярных составляющих производных функций Грина, преобразовывался в числовой.
В работе Л.П.Хорошуна [92] пренебрегается угловыми составляющими в моментных функциях, что позволяет замкнуть бесконечную систему алгебраических уравнений относительно одноточечных моментов, не проводя суммирование рядов.
Перечисленные выше методы, учитывающие высшие приближения теории случайных функций, исходят из разных предпосылок. Однако в конечном итоге, при вычислении макроскопических постоянных, все они используют условие малости флуктуации случайных полей в пределах компонент.
В работах Л.П.Хорошуна [94, 95] предложен метод вычисления макроскопических постоянных, базирующийся на аппарате теории условных моментных функций, в котором заранее предполагается малость флуктуации случайных полей в пределах компонент. Это позволяет замкнуть цепочку уравнений, выполнить в них интегрирование и свести задачу к системе линейных алгебраических уравнений относительно одноточечных условных моментов. Предложенный метод оказался эффективным при исследовании макроскопических свойств стохастических композитов с усложненными физическими и геометрическими свойствами компонент. Так, в статье Б.П.Маслова [ 571 данный метод применялся для определения макроскопических постоянных стохастических композитов с анизотропными эллипсоидальными включениями, а в статье Л.П.Хорошуна и Б.П.Маслова [98] для композитов, пространственно армированных короткими волокнами. В работах Л.П.Хорошуна и Б.П.Маслова [99, I00J указанный метод применялся для
и.
определения макроскопических постоянных слоистых и волокнистых пьезоэлектрических композитов стохастической структуры. В статьях Б.П.Маслова [60, 59] и Б.П.Маслова и Л.П.Хорошуна [64І метод условных моментов применялся для нахождения макроскопических свойств стохастических композитов с начальными деформациями, с геометрически и физически нелинейными свойствами компонент.
Исследованию распространения упругих волн в стохастически неоднородных средах посвящены работы [49, 52, 58, 61, 87, 88, 96, 105, 106, ІІ0-ІІ2, 121, 122] и ряд других.
В статье И.М.Лифшица и Г.Д.Пархомовского [ 52] в корреляционном приближении найдена дисперсия и коэффициент рассеяния упругих волн в поликристаллах. Задача сводилась к вычислению динамических макроскопических постоянных, которые зависят от частоты внешней нагрузки и в динамической области имеют существенно комплексный характер. На базе осредненных уравнений движения находился волновой вектор макроскопической волны: действительная часть устанавливала закон дисперсии, мнимая часть коэффициент рассеяния. Рассматривались предельные случаи длинных и коротких волн. В дальнейшем указанный подход развивался в работах А.А.Усова и Т.Д.Шермерго-ра для исследования дисперсии и рассеяния упругих волн в пьезоэлектрических поликристаллах [ 87] и композитных материалах [ 88] . Несколько иные подходы для исследования распространения упругих волн в композитных средах использовались в работах А.М.Левина [ 49] и А.В.Чигарева [105] .
Работы Б.М.Шумана [ ІІ0-ІІ2] посвящены изучению распространения, дисперсии и рассеянию упругих волн в средах со случайными неоднородностями. В работе [ НО] решается задача о распространении продольных и поперечных волн в слабо неодно-
12.
родных композитах. Определяются коэффициенты рассеяния для сред с мелко- и крупномасштабными неоднородностями. В статьях [ III, 112] исследуется рассеяние волн на случайных шероховатостях.
В работах Б.П.Маслова [ 58, 61] изучено распространение и рассеяние упругих волн в стохастических композитах, армированных разориентированными волокнами. Динамические макроскопические характеристики найдены в приближении метода условных моментных функций. Исследованы скорость распространения и коэффициенты рассеяния продольных и поперечных упругих волн от механических свойств компонент, их концентрации, частоты, а также от начальных напряжений.
Обзоры работ, посвященных определению макроскопических постоянных и распространению упругих волн в микронеоднородных средах с регулярной структурой, приведены в [3, 40, 42, 65, 107] , а со случайной структурой в [65, 97, 101, 106, 121, 122 ] и других.
Из проведенного анализа литературы следует, что в настоящее время задачам определения макроскопических свойств микронеоднородных упругих сред посвящено значительное число работ, в которых предлагаются различные модели, подходы и методы решения. Однако применительно к пьезоактивным (пьезоэлектрическим и пьезомагнитным) микронёоднородным средам таких работ значительно меньше, что свидетельствует о недостаточно полном исследовании вопросов, связанных с определением макроскопических постоянных и распространением упругих волн в пьезоактивных композитах*
Краткая аннотация диссертационной работы
Целью настоящей работы является построение методики опре-
ІЗ.
деления динамических макроскопических характеристик пьезоактивных композитов стохастической структуры, и на ее основе исследование макроскопических динамических и статических свойств стохастических пьезоактивных слоистых, волокнистых и зернистых композитов с трансверсально изотропными компонентами.
На защиту выносятся следующие вопросы:
Постановка и решение задачи о распространении плоских гармонических упругих волн в стохастических пьезоактивных композитах, армированных однонаправленными эллипсоидальными трансверсально изотропными волокнами.
Исследование распространения упругих волн в стохастических слоистых пьезоактивных композитах с трансверсально изотропными компонентами, определение зависимости фазовой и групповой скорости и коэффициентов рассеяния продольных и поперечных макроскопических упругих волн от физико-механических свойств компонент, их концентрации и отношения длины волны к толщине армирующих слоев.
Исследование распространения упругих волн в стохастических волокнистых пьезоактивных композитах с трансверсально изотропными компонентами, определение зависимости фазовой и групповой скорости продольных и поперечных макроскопических упругих волн от физико-механических свойств компонент, их концентрации и отношения длины волны к диаметру армирующих волокон.
Определение макроскопических постоянных стохастических пьезоактивных композитов, армированных однонаправленными эллипсоидальными трансверсально изотропными волокнами, исследование их зависимости от физико-механических свойств компонент,
14.
концентрации и формы армирующих эллипсоидальных волокон.
Научная новизна и значимость результатов исследований. В работе развит метод условных моментных функций применительно к случаю динамического нагружения стохастических пьезоактивных композитов, на основе которого впервые решены задачи и раскрыты основные закономерности распространения, дисперсии и рассеяния упругих волн в слоистых и волокнистых пьезоактивных композитах, а также впервые определены и исследованы основные свойства макроскопических постоянных пьезоактивных композитов с однонаправленными эллипсоидальными включениями.
Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием достаточно строгого и обоснованного метода условных моментных функций, вычислениями на ЭВМ с контролируемой точностью и достаточно хорошим совпадением некоторых частных результатов с имеющимися точными решениями для регулярных структур.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.
Первая глава посвящена построению методики определения динамических макроскопических характеристик, использующихся в дальнейшем для определения макроскопических постоянных, а также для исследования распространения, дисперсии и рассеяния упругих волн, в стохастических пьезоактивных композитах.
Рассматриваются композиты, армированные однонаправленными дискретными волокнами в форме эллипсоидов вращения. Предполагается, что матрица и включения обладают трансверсально изотропными электромагнитоупругими свойствами. Строятся стохастические уравнения движения, которые интегрируются при помощи метода условных моментных функций. Находятся динамические макроскопические характеристики, которые в динамической
15.
области являются комплексными величинами. Из макроскопических уравнений движения найден комплексный волновой вектор. Устанавливается функциональная зависимость фазовой и групповой скорости, а также коэффициентов рассеяния макроскопических продольных и поперечных упругих волн от физико-механических свойств компонент, их концентрации, формы включений, частоты и направления распространения волны.
Во второй главе на базе полученных результатов исследуется распространение макроскопических упругих волн в слоистых пьезоактивных композитах. Рассматриваются случаи распространения волн поперек и вдоль слоев. Устанавливается аналитическая зависимость фазовой и групповой скорости, а также коэффициентов рассеяния макроскопических продольных и поперечных упругих волн от физико-механических свойств компонент, их концентрации и отношения длины волны к толщине армирующих слоев. Рассматриваются случаи пьезоэлектрических и пьезомагнитных композитов. В частном случае рассмотрено распространение волн без учета рассеяния энергии. В предельном статическом случае найдены макроскопические постоянные слоистых пьезоактивных композитов.
В третьей главе исследуется распространение макроскопических упругих волн в волокнистых пьезоактивных композитах. Рассматривается случай распространения волн вдоль волокон. Без учета рассеяния энергии,-найдены формулы, устанавливающие зависимость фазовой и групповой скорости макроскопических продольных и поперечных упругих волн от физико-механических свойств компонент, их концентрации и отношения длины волны к диаметру армирующих волокон. В частном случае, при отсутствии пьезоэффекта, получены соответствующие формулы для упругих композитов с изотропными компонентами. В предельном статичес-
16.
ком случае найдены макроскопические постоянные волокнистых пьезоактивных композитов.
Четвертая глава посвящена определению макроскопических постоянных пьезоактивных композитов, армированных однонаправленными эллипсоидальными волокнами. Макроскопические постоянные находятся из выражений для динамических макроскопических характеристик, определенных в главе I, путем предельного статического перехода. Устанавливается аналитическая зависимость макроскопических постоянных от физико-механических свойств компонент, их концентрации и формы эллипсоидальных включений. Получены соответствующие выражения для пьезоэлектрических композитов с трансверсально изотропными эллипсоидами и для пьезо-магнитных композитов с изотропными эллипсоидами. В предельных переходах получены соответствующие формулы для макроскопических постоянных слоистых и волокнистых пьезоэлектрических и пьезомагнитных композитов.
Изложенные в работе результаты докладывались на: П Республиканской конференции молодых ученых и специалистов (Киев, 1979), ХУ Всесоюзном научном совещании по тепловым напряжениям в элементах конструкций (Канев, 1980), Ш конференции молодых ученых и специалистов по механике композитных материалов (Рига, 1981), У Всесоюзной конференции по композиционным материалам (Москва, 1981), IX научной конференции молодых ученых Института механики АН УССР (Киев, 1981), ХУ конференции молодых исследователей (Новосибирск, 1982), I Всесоюзной научно-технической конференции "Прочность, жесткость и технологичность изделий из композиционных материалов" (Каменец-Подольский, 1982), I теоретической школе - семинар по электродинамике гетерогенных систем (Киев, 1983) и научных семинарах отдела механики стохастически неоднородных сред Института
17.
механики АН YCGP (Киев, 1980-1984), а также опубликованы в работах [50, 51, 62, 63, 102, 103] .
В заключении автор выражает глубокую благодарность свое му научному руководителю проф., д.ф.-м.н. Л.П.Хорошуну, а также с.н.с, к.ф.-м.н. Б.П.Маслову за постоянное внимание к настоящей работе, полезные советы и замечания.
18.
Метод условных моментных функций
Таким образом, наличие в системе уравнений (1.28) двух-точечной условной плотности распределения компонент »%к , зависящей от радиус-вектора X X , позволяет описывать не только композиты с сильно отличающимися свойствами компонент, но и их анизотропию. Следует отметить, что система уравнений (1.28) справедлива для композитов произвольного вида армирования. В дальнейшем, для ее решения, необходимо конкретизировать вид армирования, т.е. построить условную плотность г к .
Для условной плотности w. справедливы следующие очевидные соотношения
Построим условную плотность r jK при общем условии, когда композит стохастически армирован однонаправленными (для определенности вдоль оси Хг ) дискретными (короткими) волокнами в форме эллипсоидов вращения ("усами") [104 ] . Будем предпо-латать, что для г к выполняются следующие условия: 1) композит статистически изотропен в плоскости ХЛХ ; 2) длины хорд, образованные пересечением прямой в произвольном направлении с волокнами, и расстояние между соседними волокнами вдоль этой прямой распределены по экспоненциальным законам; 3) все варианты пересечения прямой с волокнами равновероятны.
Из первого условия следует, что для і к имеет место и достаточно построить г к в произвольной плоскости проходящей через ось Хг . Проведем в этой плоскости некоторую прямуюХг-УПЧ, Тогда на основании второго условия можно записать S %" где S - длина хорды, - расстояние между соседними волокнами, сЦ и olt - соответственно их средние значения. Функция Р ) (х") на этой прямой представляет собой условную плот ЗІ. ность перехода марковского случайного процесса из в \ -состояние. При этом из соотношений (1.30) следует, что условная плотность г к(" 0 должна удовлетворять дифференциальному уравнению [22І "Т" i+x w-i к) (1-31) ах решение которого имеет вид Р кМ = Ск+ Аехр(- - ) . (1.32) Используя условие 3) из (1.29), получим
Из третьего условия для і ,к следует, что среднюю длину хорды dL-4 пересечения прямой Хг=У с эллипсоидом вращения можно определить как среднюю хорду по объему эллипсоида вращения. Проведя вычисления, получаем СЦ а к (1.34) где К, и - размеры полуосей эллипсоида вращения соответственно в поперечном и продольном направлениях. Подставим в (1.34) YY\SX / Z. И приняв во внимание выражение (1.33) для условной плотности RMCOO » окончательно получим
Условия, наложенные на условную плотность 1 »л , определяют класс симметрии физико-механических свойств компонент. Нетрудно убедиться, что как матрица, так и волокна могут обладать не только изотропными, но также и трансвереальноизотроп-ными свойствами при условии, что ось симметрии физико-механических свойств матрицы и волокон совпадает с осью Хг (что характерно для реальных пьезоактивных композитов).
Распространение волн без учета рассеяния энергии
Рассмотрим частный случай волнового процесса, когда можно пренебречь влиянием рассеяния энергии на величину скорости и дисперсии макроскопической волны, т.е. считать, что мнимая часть волнового вектора равна нулю
На основании формул (2.40), а также из остальных выражений, их определяющих, следует, что в случае распространения волн без учета рассеяния энергии достаточно учитывать лишь действительные части тензоров И ;: и \-лъ\ т.е. выра-жения для « A IJ и \-&ъ\ » определенные формулами (2.8) и (2.10).
Условие (2.47) также справедливо к выражениям (2.50)-(2.51), если \) - компонента изотропна.
В качестве примера исследуем распространение упругих волн в слоистом пьезоэлектрике, представляющем собой пьезоэлектрическую керамику PZT-A , упрочненную высокомодульными слоями. Физико-механические постоянные слоев и матрицы соответственно равны толщина армирующего слоя бралась d = 0,001 м.
На рис. 2.1 представлена зависимость безразмерной фазовой скорости продольных волн от безразмерного волнового вектора при концентрации слоев Ct = 0,3. На рис. 2.2 представлены аналогичные зависимости при концентрации слоев С, = 0,6. Из графиков видно, что наличие пьезоэлектрического эффекта увеличивает значение скоростей, а с ростом волнового вектора значение скоростей уменьшается.
На рис. 2.3 приведены кривые зависимости фазовой скорости продольных волн от концентрации слоев для различных частот. На рис. 2.4 приведены аналогичные кривые, когда в матрице отсутствует пьезоэлектрический эффект. Из этих рисунков видно как влияет наличие пьезоэффекта в матрице на величину продольных волн. При этом, с ростом частоты, величина скорости уменьшается для всего диапазона концентраций.
На рис. 2.5 представлено сравнение различных приближенных теорий распространения волн в слоистых композитах. Обозначения те же, что и на рис. 2.1 или рис. 2.2, только для поперечных волн. Кривая 0 соответствует теории эффективных модулей. Кривая I - предложенной здесь теории, кривая 2 - теории смесей [ 96 "J , кривая 3 - теории эффективных жесткостей [7б] . Из рисунка видно, что все три приближенные теории, учитывающие дисперсию, практически совпадают в большом интервале изменения волнового вектора (частот), что говорит о некоторой их равноправности. Однако, предлагаемая здесь теория, по сравнению с другими, более проста и может описывать более сложные явления: анизотропию, нелинейность, связность, рассеяние энергии и т.д.
Построенная здесь методика, исследования распространения волн поперек слоев, может быть аналогично использована для изучения распространения волн вдоль слоев. Для этого следует положить в выражениях (1.77) $ = 90. G учетом этого интеграл (2.1) примет вид
Затем, подставим значение интеграла (2.53) в выражения (1.59) и выполним интегрирование. Потом, полученные результаты последовательно подставим в формулы (1.56), (1.55), (1.57) и (1.80)Формулы (2.53)-(2.63) совместно с выражениями (1.85) и (1.83) определяют законы распространения, дисперсии и рассеяния продольных и поперечных макроскопических упругих волн в слоистых пьезоактивных композитах.
В качестве примера рассмотрим упругий композит с изотропными слоями. Упругие постоянные и плотности компонент равны
На рис. 2.6-2.8 приведено сравнение результатов, полученных по предложенной методике (пунктирные кривые) с точными решениями (сплошные кривые) для регулярно-слоистых композитов [75, 107 . Из рисунков видно, что для длин волн вплоть до порядка двух-трех раз больше толщин слоев, результаты обеих теорий имеют хорошие совпадения, что говорит о достоверности и границах применимости предложенной методики.
Макроскопические постоянные слоистых пьезоактивных композитов Из формул (2.33), (2.35) и (2.37) для динамических макроскопических характеристик в предельном статическом случае (со =0) можно легко получить выражения для макроскопических упругих, электромагнитных и пьезоактивных постоянных слоистых пьезоактивных композитов. После соответствующих преобразований находим
Распространение волн без учета рассеяния энергии
Таким образом, формулы (3.32)-(3.37) совместно с выражениями (3.21), (3.23), (3.25), (3.27), (3.29) и (3.31), а также (3.7), (3.9), (ЗЛІ), (3.12), (3.14), (3.16), (3.18) и (3.19), полностью устанавливают аналитическую зависимость динамических (в случае распространения волн вдоль волокон) мак-роскопических характеристик ліиь І VLW И К Ъ волок" нистых композитов от физико-механических свойств компонент, их концентрации и отношения длины волны к диаметру армирующих волокон. Из этих формул видно, что их симметрия, вследствие пьезоактивного эффекта и неоднородности материала, является несколько ниже симметрии постоянных компонент (1.64). Кроме этого возникают новые постоянные 45 = - 4 И 2. = - 2, , которые исчезают для материалов, в которых постоянная Q О , а также в статическом случае, когда U3 =0.
Теперь, зная динамические макроскопические характеристики можно на основании уравнения (1.80) найти волновой вектор макроскопической волны. Так как в данной главе рассматривается распространение волн вдоль направления расположения волокон (или вдоль оси симметрии), то следует положить = 0 в выражениях (1.79). При этом из (1.80) с учетом (3.32), (3.34) и (3.36) получим
При изучении распространения волн без учета рассеяния энергии, диссипативными процессами (наличие комплексности волнового вектора) в поперечных волнах можно пренебречь. В этом случае можно считать, что Из (3.39) с учетом (3.40) и (3.41) имеем
Тогда, на основании выражений (I.8I) и (1.85) с учетом (3.33), (3.35) и (3.37) после соответствующих преобразований, находим формулы для фазовых и групповых скоростей продольных и поперечных макроскопических упругих волн в волокнистых пьезоактивных композитах без учета рассеяния энергии Остальные величины, входящие в выражения (3.43)-(3.46), определяются соотношениями (3.7), (3.9), (3.II) и (3.12).
Таким образом, полученные формулы устанавливают аналитическую зависимость фазовой и групповой скорости макроскопических упругих продольных и поперечных волн вдоль волокон в волокнистых пьезоактивных композитах без учета поглощения энергии. Из этих формул видно, что фазовая и групповая скорости в конечном итоге зависят от физико-механических свойств компонент, их концентрации и отношения длины волны к диаметру волокна. Наличие пьезоэффекта влияет на изменение скорости как продольных, так и поперечных волн. Следует заметить, что формулы (3.43) справедливы для пьезоактивных композитов с трансверсальноизотропными волокнами. Следовательно они должны включать в себя, как частный случай, соответственные выражения для пьезоэлектрических и пьезомагнит-ных композитов с трансверсальноизотропными и изотропными волокнами. Здесь схема перехода к частным случаям следующая.
С одной стороны, положив в формулах (3.43) 0 (Х)-1,г) э находим соответствующие выражения для пьезоэлектрических композитов с трансверсальноизотропными волокнами. Далее, положив находим выражения для упругих композитов с трансверсальноизотропными компонентами. Наконец, полагая, что гЛЪ c\t» \t " \ .Ы W\ Jto где X и - постоянные Ламе N - компоненты, находим формулы для упругих композитов с изотропными компонентами.
С другой стороны, положив в формулах (3.43) условие (3.47), находим соответствующие выражения для пьезомагнит ных композитов с изотропными волокнами. Далее, положив (3.48) находим выражения для упругих композитов с изотропными компонентами.
В качестве примера исследуем распространение упругих волн в волокнистом пьезоэлектрике, представляющем собой пьезоэлектрическую керамику Р Т-5 } упрочненную высокомодульными трансверсально изотропньми волокнами.
Пьезоэлектрические композиты
В настоящей диссертационной работе на основе метода условных моментных функций построена методика изучения динамического деформирования пьезоактивных (пьезоэлектрических и пьезомагнитных) композитных сред стохастической структуры и исследованы основные закономерности макроскопического поведения слоистых, однонаправленно-волокнистых и зернистых композитов при динамических и статических нагружениях. Основные результаты работы заключаются в следующем:
1) Дана постановка и предложена методика решения задач об определении динамических макроскопических характеристик и распространении плоских гармонических упругих волн для стохастических пьезоактивных композитов с трансверсально изотропными матрицей и эллипсоидальными включениями
2) На основе полученных данных
- Изучено распространение, дисперсия и рассеяние плоских гармонических упругих волн в слоистых пьезоактивных композитах с трансверсально-изотропными компонентами, исследована зависимость фазовой и групповой скорости и коэффициентов рассеяния продольных и поперечных макроскопических упругих волн от упругих, электромагнитных и пьезоактивных постоянных компонент, их концентрации и частоты внешнего поля;
- Изучено распространение и дисперсия плоских гармонических упругих волн в однонаправленно-волокнистых пьезоактивных композитах с трансверсальн изотропными компонентами, исследована зависимость фазовой и групповой скорости продольных и поперечных макроскопических упругих волн от упругих, электромагнитных и пьезоактивных постоянных компонент, их концентрации и частоты внешнего поля;
- Определены макроскопические упругие, электромагнитные и пьезоактивные постоянные пьезоактивных композитов, армиро ванных однонаправленными короткими эллипсоидальными транс версально изотропными включениями, исследована их зависимость от упругих, электромагнитных и пьезоактивных постоянных ком понент, их концентрации и формы эллипсоидальных волокон.
В результате выполненных исследований можно, в частности, сделать такие выводы:
- Метод условных моментных функций позволяет решать динамические задачи для стохастических композитов в длинноволновом приближении.
- Динамические макроскопические характеристики дают возможность описывать явления распространения, дисперсии и рассеяния волн, а также определять макроскопические постоянные для микронеоднородных стохастических композитов.
- Симметрия тензоров динамических макроскопических характеристик ниже симметрии тензоров соответствующих макроскопических постоянных.
- С увеличением частоты фазовая скорость продольных волн в слоистых и волокнистых композитах уменьшается.
- Наличие пьезоэффекта может вносить большой вклад на величину и характер дисперсии упругих волн.
- Форма армирующих включений существенно влияет на величину макроскопических постоянных, что дает возможность управлять физико-механическими свойствами композита.
- В связанных пьезоактивных задачах большинство макроскопических постоянных одновременно зависят от упругих, электромагнитных и пьезоактивных постоянных компонент.
- Сравнение некоторых частных результатов с существующими точными решениями для регулярных композитов дает хорошее совпадение, что говорит о правомерности применения полученных формул в практических инженерных расчетах.
Похожие диссертации на Пргнозирование макроскопических свойств пьезоактивных композитов стохастической структуры
