Содержание к диссертации
Введение
1. Компьютерный синтез случайных разреженных структур 23
1.1. Моментные функции структурных модулей упругости 23
1.2. Компьютерный синтез случайных разреженных структур со сферическими включениями 29
1.3. Компьютерный синтез случайных разреженных структур с эллипсоидальными включениями 45
Выводы 54
2. Стохастическая краевая задача упругих дисперсных композитов 55
1.1. Постановка краевой задачи и метод решения 55
2.2. Расчет характеристик полей деформаций и напряжений в компонентах дисперсных композитов 67
2.3. Численные результаты расчета статистических характеристик полей деформирования 74
Выводы 85
3. Стохастическая краевая задача механики упругопллстических дисперсных композитов 86
3.1. Постановка краевой задачи и метод решения 86
3.2. Расчет характеристик полей деформаций и напряжений в компонентах дисперсных композитов 91
3.3. Численные результаты расчета статистических характеристик полей деформирования 95
Выводы 116
Заключение 117
Список литературы 1 19
- Компьютерный синтез случайных разреженных структур со сферическими включениями
- Расчет характеристик полей деформаций и напряжений в компонентах дисперсных композитов
- Расчет характеристик полей деформаций и напряжений в компонентах дисперсных композитов
- Численные результаты расчета статистических характеристик полей деформирования
Введение к работе
Под термином «композиционный материал» понимают структурно-неоднородные материалы, состоящие из двух и более компонентов, разделенных выраженной границей и различающихся по химическому составу. Свойства композиционного материала в целом отличаются от исходных свойств входящих в него компонентов.
Всестороннее освещение различных характеристик композиционных материалов является довольно сложной задачей. Изучение одних только механических свойств, необходимых при проектировании и изготовлении изделий и конструкций, до сих пор требует глубоких многосторонних исследований. Это объясняется тем, что в настоящее время наука обладает недостаточными знаниями в изучении физических эффектов, происходящих в композитах, несовершенным математическим аппаратом для их описания. В отличие от однородных материалов макроскопическое поведение композитов при нагружении в большинстве случаев отличается от поведения их на микро уровне, что требует строго индивидуального подхода при решении задач физики, химии и механики. Но это не останавливает, а наоборот, благодаря уникальным свойствам композиционных материалов, требует все более широкого их использования во многих областях народного хозяйства (в космической и ядерной технике, самолето- и автомобилестроении, медицине, металлургии и т. д.).
Растущие потребности современной науки и техники в принципиально новых конструкционных материалах привели к тому, что механика композиционных материалов в настоящее время является интенсивно развивающейся отраслью знания, охватывающей широкий спектр направлений теоретических и экспериментальных исследований.
Благодаря тому, что композиты можно конструировать и создавать с заранее заданными физико-механическими характеристиками, они обладают комплексом уникальных свойств (повышенной удельной прочностью и долговечностью, низкой плотностью массы и т. д.) и особенностей, существенно отличающих их от традиционных конструкционных материалов [32]. Рациональное сочетание свойств композитов позволяет получать эффективные конструкции с высокой степенью весового совершенства [54]. Известно, что композит, как правило, не существует отдельно от конструкции, а разработанные к настоящему времени эффективные автоматизированные технологические методы позволяют получать материалы, обладающие широким спектром механических и физических характеристик, которыми можно управлять в процессе изготовления конструкции путем подбора компонентов, изменения микро- и макроструктуры и анизотропии свойств. Таким образом, в принципе, для каждой конструкции может быть разработан и реализован материал, наиболее полно соответствующий ее назначению, полю действующих нагрузок и условиям эксплуатации, т. е. вопросы оптимизации должны решаться по новому: на уровне создания нового материала, а не усовершенствования конструкции из уже существующего материала. Поэтому актуальным является развитие таких подходов к анализу напряженно деформируемого состояния конструкций и оценке их прочности и работоспособности, которые дают возможность учесть эффективность работы каждого компонента композита, предсказать заранее механизм разрушения в зависимости от геометрических параметров конструкции, механических свойств армирующих волокон и связующего, условий нагружения и структуры армирования, а следовательно, разработать рекомендации для оптимального проектирования материалов и конструкций [13, 16, 36].
Существуют два основных подхода к исследованию композиционных материалов: феноменологический (макроскопический) и структурный. При феноменологическом подходе композит рассматривается как макро однородный. В рамках данного подхода не представляется возможным учесть влияние особенностей структуры композита на параметры материала (прочностные, жесткостные, термо-физические и т. д.), что обусловливает некорректность в прогнозировании поведения композита и определении механизмов разрушения. Из-за этого необходимо проводить серию дорогостоящих и трудоемких экспериментов для определения напряженно деформируемое состояния к моменту разрушения [54].
В рамках структурного подхода происходит описание поведения элементов структуры. Этот подход позволяет определять действительные поля напряжений и деформаций элементов структуры, а также оценивать их прочность, В зависимости от предположения о характере структуры материала развивается детерминированная и статистическая структурная теория композитов [43, 58].
Реальные композиты имеют стохастическую структуру. Вследствие этого материальные величины такой среды, а также деформации и напряжения являются случайными функциями координат. Случайная структура композитов может быть описана с помощью совокупности моментных функций структурных материальных величин упругости. Так, двухточечная момент-ная функция второго порядка характеризует взаимное расположение структурных элементов: степень и характер упорядоченности, трехточечная мо-ментная функция третьего порядка - форму включений. Четырехточечная моментная функция четвертого порядка позволяет установить, как группируются включения и как они распределены по размерам. Моментные функции можно определить: а) экспериментально на реальных образцах [ЇЗ]; б) теоретически на основе геометрических вероятностей по заданным распределениям длин промежутков, занятых компонентами, и промежутков между ними [28]; в) путем моделирования структуры композита на ЭВМ [13, 14, 20, 21,22,54].
Для исследования структурных полей деформирования и расчета эффективных характеристик микронеоднородных сред решаются стохастические краевые задачи. Стохастической краевой задачей называется задача, уравнения и граничные условия которой содержат случайные величины. Первые и наиболее простые методы аналитического определения механических свойств структуры неоднородных сред рассмотрены в работах в связи с исследованием упругих постоянных поликристаллов. Начало систематического изучения стохастических задач теории упругости положено работой [36] применительно к поликристаллам. В дальнейшем решению стохастических задач было посвящено большое количество работ.
Один из методов решения стохастической краевой задачи теории упругости микронеоднородных сред состоит в построении системы уравнений в моментных функциях. Для статистически нелинейной краевой задачи получаем бесконечную систему уравнений (в уравнения в моментных функциях низшего порядка входят неизвестные моментные функции более высокого порядка), конечное решение которой может быть теоретически получено только путем наложения некоторых условий относительно моментных функций высокого порядка. Наибольшее распространение получил способ, основанный на том, что исходное стохастическое уравнение преобразуется в ин-тегро-дифференциалыюе с помощью тензора Грина, а затем полученное уравнение решается методом итераций [54].
Результаты решения стохастической краевой задачи теории упругости зависят в первую очередь от вида координатной зависимости моментных функций структурных модулей упругости. При решении в моментных функциях стохастических краевых задач теории упругости, позволяющих определять макроскопические модули, а также структурные поля деформаций и напряжений в композитах стохастической структуры, исследователи использовали различные предположения:
- сингулярное приближение, которое заключается в том, что в интегральных уравнениях равновесия, ядрами которых являются вторые производные тензора Грина для изотропной неограниченной среды, удерживаются только сингулярные составляющие этих производных [58];
- гипотеза сильной изотропии в том смысле, что макроскопические характеристики композита не зависят от многоточечных моментных функций структурных модулей упругости (если микронеоднородная среда изотропна в мик po - и макрообъемах, то двухточечные моменты модулей упругости являются функциями только расстояния между двумя точками композита) [36, 58];
- предельная локальность моментных функций структурных модулей упругости: ограничиваются учетом дисперсий моментных функций [13, 50];
- использование априорно заданных корреляционных функций [51];
- корреляционное приближение основано на пренебрежении моментами выше второго порядка в уравнениях относительно моментов. В общем случае корреляционная теория может быть применена при малых пульсациях структурных модулей упругости, т. е. когда среднеквадратичные отклонения структурных модулей упругости являются малыми по отношению к их математическим ожиданиям, так что моментами третьего порядка можно пренебречь [36, 51, 58];
- одноточечное приближение является уточнением корреляционного приближения за счет использования одноточечных моментов всех порядков. С помощью одноточечного приближения нельзя описывать анизотропию свойств композиционных материалов, связанную с ориентацией включений, например, матрицы с ориентированными эллипсоидальными включениями [36, 58];
- метод лианеризации связан с непосредственным интегрированием основной системы уравнений стохастической краевой задачи теории упругости микронеоднородных сред. Предполагается, что пульсации структурных модулей упругости являются малыми в сравнении с математическими ожиданиями. Решение задачи представляется в виде разложения в ряд по малому параметру. Практическое осуществление этого метода связано с громоздкими вычислениями интегралов и необходимостью большого числа статистических данных о структуре [36].
Применение этих предположений, упрощающих решение задачи, оправдано при расчете эффективных характеристик композитов, но недопустимо при расчете напряженно-деформированного состояния, так как точность решения значительно снижается, и зачастую получается результат, не соответствующий физической картине: дисперсии напряжений и деформаций в компонентах композита оказываются равными нулю. Поэтому необходимо развивать методы расчета статистических характеристик случайных полей напряжений и деформаций в компонентах композитов стохастической структуры, наиболее полно учитывающие реальную структуру материала [35].
В процессе внешнего нагружения композиционных материалов происходит существенное изменение механических макроскопических свойств за счет зарождения и развития пластических деформаций. Для изучения влияния пластических деформаций в микронеоднородных средах на их эффективные свойства существует ряд подходов теоретических исследований.
Для исследования жесткопластических микронеоднородных сред эффективно используется энергетический подход [18]. Посредством этого метода на основе принципа минимума дисипации энергии была проведена оценка границ, в пределах которых должна находиться поверхность текучести макросреды, и было получено приближенное значение предела пластичности. Необходимо отметить, что деформирование неоднородных твердых тел приводит к появлению случайной составляющей упругого поля, в результате чего локальные напряжения в отдельных областях могут существенно превышать средние по материалу. На участках среды с повышенной концентрацией напряжений могут возникать микротрещины, пластические деформации. В связи с этим представляет интерес определение полей напряжений и деформаций. При этом даже в простейшем случае, когда поля напряжений и деформаций стационарны, для определения зависимости между математическими ожиданиями напряжений и упругих деформаций приходится решать нелинейную стохастическую краевую задачу. Распространение такого подхода на область пластического деформирования статистически неоднородных материалов встречает значительные трудности в силу усложнения пластических свойств по сравнению с упругими. При определении пластических свойств необходимо учитывать сложную статистику дефектов. Все это создает трудности при разработке статистической теории пластичности и пре доопределяет не строгость предпринятых до настоящего времени попыток построить теорию пластичности поликристаллов. Обычно кристаллы принимают либо пластичными, либо упрочняющимися по обобщенной теории В. Прагера [69], основанной на предположениях, что упрочнение линейно, а граница текучести перемещается как твердое тело. Кроме того, принимается гипотеза Е. Кренера о линейной связи между отклонениями напряжений и деформаций от их средних значений. Указанные предположения позволяют рассчитывать кривые напряжение-деформация для поликристаллов при некоторых видах их нагружения. В работах В.В. Новожилова и Ю.И. Кадашевича [26, 37] используется статистический характер пластического деформирования для описания упрочнения и других эффектов, наблюдаемых при симметричных и несимметричных циклических нагружениях. Неравномерность пластической деформации, обусловленная зернистостью структуры поликристалла и неравномерностью распределения дефектов в атомных решетках кристаллов, приближенно учитывается путем представления тензора пластических деформаций в виде суммы элементарных пластических деформаций, каждой из которых соответствует своя поверхность текучести и система внутренних микро упругих сил. Приемлемость этих предположений подтверждается рядом примеров, относящихся к числу сложных траекторий пластического деформирования.
Другим подходом теоретических исследований является изучение плоскостей скольжения отдельных кристаллов и влияние скольжения в каждом монокристалле на течение всего тела. Авторы работы [65] рассчитывают осредненное взаимодействие монокристаллов и определяют связь напряжений и деформаций в поликристалле как в поликристаллическом агрегате, состоящем из случайно ориентированных кристаллов, помещенных в упругую среду, в которых и происходит скольжение. Полученная зависимость линейно связывает приращение макроскопических деформаций с приращением пластических деформаций через локальные приращения напряжений и деформаций. Существуют работы, в которых монокристаллы предполагаются сферическими и применяется результат Дж. Эшебли об однородном деформируемом состоянии изолированного включения, поскольку равномерные напряжения, приложенные к поликристаллу, дают однородные напряжения течения в монокристалле [60]. Аналогичный подход применяется в работе [63] для случая, когда отдельные кристаллы подчиняются закону изотропного упрочнения, характеризующегося равномерным растяжением начальной поверхности текучести в пространстве напряжений при деформировании. При знакопеременной нагрузке поликристалл, содержащий лишь идеально-пластические кристаллы, показал наличие эффекта Баушингера.
В работе [1] рассмотрено деформирование материалов, обладающих большим числом плоскостей скольжения. На основе гипотезы об изотропности флуктуации тензора напряжений при развитом пластическом течении построены определяющие уравнения пластического течения поликристалла. В работах [7,29,30] авторы исследуют механическое поведение агрегатов в условиях пластического течения.
Перспективный путь был намечен в статье Ю.Ы. Работнова [45], в которой упругопластическая композиция или материал с упорядоченным армированием рассматривается как композиция отдельных субструктур, наделенных простейшими свойствами упругости, идеальной пластичности, и описывается многомерными векторами. Принятый закон ассоциированного течения материалов с микроструктурой позволяет построить предельную поверхность текучести композита и исследовать его упругопластическое поведение. Определены макроскопические определяющие соотношения композита и его предельное состояние. Общий метод определения эффективных характеристик показан на примере пластического деформирования плоской пластины, армированной в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
Случаи применимости упругопластического- анализа напряжений к композиционным материалам весьма редки и касаются в основном определения упругопластического модуля композита. Такая задача решалась Р.Хиллом [64]. Д.Друккер [17] сосредоточил свое внимание на идеальном жесткопластическом поведении композитов. В своей работе он рассчитал напряжения, возникающие на поверхности раздела между регулярно расположенными жесткими включениями гексагональной формы в жесткопластическом связующем. Дж. Кристоферсен модифицировал применительно к упругопластическим композитам самосогласованные модели, предложенные Е.Крекером, Б.Будянским и Т.Ву и Р.Хиллом [64], в которых предполагалось постоянство пластических деформаций. Дж.Кристоферсен предложил учитывать пластические деформации матрицы подбором тензора, являющегося интегральным ядром.
Для композиционных материалов, содержащих упрочняющие высокомодульные включения, пластическое деформирование характеризуется повышенным, по сравнению с материалом матрицы, пределом текучести и высокой скоростью упрочнения. В частности, особый интерес представляют пластические материалы, армированные волокнами в одном направлении. Основы развития теории пластичности однонаправленных композитов положены в работе [9]. Объектом исследования в этой работе служил материал матрицы в плоскости, перпендикулярной направлению волокон, во время его пластического течения при продольном и поперечном нагружении композитов относительно волокон. Механические характеристики волокон варьировались. Изучению деформации сдвига однонаправленных композиционных материалов, армированных абсолютно жесткими включениями, посвящены работы [4,5,62,68]. Авторы работы [67] рассматривали композит, предположив наличие упругой деформации вдоль направления армирования. В статье [66] построены макроскопические поверхности текучести композитов, армированных пластическими волокнами. Во всех перечисленных выше работах, затрагивающих теорию пластического течения однонаправленных композитов, предполагалось, что матрица может пластически деформироваться, даже если композит нагружается вдоль волокон, деформирующихся идеально упруго, что объясняет наличие петель гистерезиса диаграмм напряжение деформация при циклической, появляющихся в данных экспериментов.
Для теории пластичности, кик и для любой другой, существует ряд математических трудностей, не позволяющих построить точное решение, и поэтому наибольшая точность решения достигается рассмотрением частных случаев. К примеру, определен закон деформирования цилиндра, материал которого неоднороден и содержит упругие волокна [68], или теория жестко-пластических композитов, матрица которых обладает свойством упрочнения. В работе [I] рассмотрено приложение численных методов исследования свойств однонаправленных композитов к изучению неупругого поведения волокнистых композиционных материалов за пределом упругости методом конечных элементов, как при продольном, так и при поперечном нагружении материала. Многообразие пластического поведения композиционных материалов, армированных волокнами, также рассмотрено в работах [24,31,39,52,53].
Расчет соотношений между напряжениями и деформациями материалов, находящихся в пластическом состоянии, в частности композиций с пластической матрицей, упрочняемой частицами, можно условно разделить по специфике на подход, основанный на методах механики и относящийся, по сути, к математической теории пластичности, и подход, основанный на теории дислокаций и относящийся к физической теории пластичности.
Существенной чертой методов механики является математическая простота, необходимая для проведения расчетов и качественного анализа. Однако математическая теория пластичности является лишь формализацией известных экспериментальных данных [17] и опирается на гипотезы и предположения феноменологического характера. Расчет напряжений, основанный на методах механики, в некоторых случаях дает хорошее качественное согласие теории и эксперимента [61,70]. В основном теории этого класса базируются на применении континуальной теории дислокаций Дж.Эшебли [59].
В отличие от механических физические методы теории пластичности стремятся объяснить реальный характер процессов, но при этом не обладают математической простотой. Анализ механизмов упрочнения материалов дисперсными включениями обычно проводят на базе двух моделей — Орована, модифицированной Хиршем и Хэмфри, и Анселла-Ленела [25]. В некоторых случаях отмечались факты удовлетворительного соответствия этих моделей с экспериментальными данными.
Сложность теоретического анализа упругопластического поведения композитов заключается в наличии одновременного действия нескольких механизмов упрочнения, которые в зависимости от свойств отдельных компонентов композита, технологии его изготовления могут доминировать или играть второстепенную роль. Несомненно, для более полного описания свойств композита требуется привлечение различных механизмов упрочнения, однако современные модели опираются, как правило, на какое-либо одно свойство. Таким образом, упругопластическая задача в общем виде является многопараметрической. Сложность решения таких задач усиливается тем, что до сих пор четко не определена взаимосвязь между этими параметрами. Возникает задача разработки метода, позволяющего установить функциональную зависимость предела пластичности от объемного содержания упрочняющей фазы и геометрической структуры композита, а также от свойств составляющих компонентов. Установление подобной зависимости позволит прогнозировать структуру композиционного материала, а следовательно, и создать материалы с заданными сочетаниями макроскопических свойств. Разработка методов прогнозирования упругопластических свойств также позволит существенно сократить материальные затраты на создание необходимых композиционных материалов.
Можно отметить ряд авторов, которые в настоящее время занимаются теоретическими и экспериментальными исследованиями в области механики композитов. Так, расчету эффективных характеристик композитов посвящены работы [6,15,16,40,41]. В работе [53] определены механические характеристики и прочность однонаправленных композитов через характеристики связующего и армирующего материалов по результатам экспериментальных испытаний конструкций. В работах [10] предложены определяющие уравнения теории пространственно армированных сред с выпрямленными волокнами и матрицей, упрочненной сферическими частицами. Рассмотрена задача об учете разброса характеристик включений на эффективные параметры композита.
В работе [56] предлагается новая математическая модель неоднородного деформирования композиционного материала, справедливая для произвольных градиентов внешних нагрузок. Применение метода условных моментов и трехмерного преобразования Фурье приводит к модели теории деформирования, которая представляется в виде интегро-дифференциальных уравнений относительно средних перемещений. При этом получены выражения коэффициентов через упругие постоянные компонентов и геометрические параметры структуры композита.
Проводятся экспериментальные исследования закономерностей упругопластического деформирования при сложных нагружениях с частичной разгрузкой в одних направлениях и активных нагружениях в других. В работе [57] построены новые варианты соотношений между приращениями тензоров напряжений и деформаций упрочняющего тела. Анализу напряженно деформируемого состояния оболочек из композиционного материала посвящена работа [38]. Выявлены особенности за критического поведения слоистых оболочек в зависимости от жесткостных характеристик слоев, их взаимного расположения и видов нагружения. Получены уравнения напряженно-деформированного состояния, учитывающие структуру армирования.
В работе [3] на основе метода осреднения изложены способы получения жесткостных и прочностных характеристик композитов периодической структуры. В работе [46] предложена методика построения определяющих соотношений и расчета прочности легких волокнистых композитов, основан пая на концепции структурного анализа и механической модели стержневого типа.
Упругопластическое поведение композитов также рассмотрено в работах [11,23,45,47,48,49,50].
В данной диссертационной работе рассматриваются структурно неоднородные среды со случайным расположением и детерминированными свойствами элементов структуры, для которых ставятся стохастическая упругая и упругопластическая краевые задачи, решение ищется в интегро-дифференциальных уравнениях методом функций Грина в полном корреляционном приближении. При этом используется гипотеза сильной изотропии и многоточечное приближение. В упругопластической задаче используется метод статистического осреднения [49].
Целью данной работы является исследование случайных полей структурных напряжений и деформаций двухфазного композиционного материала с учетом свойств и геометрии компонентов структуры, а также разработка многоточечного приближенного метода решения нелинейной краевой задачи механики композитов со случайной структурой, получение новых численных результатов стохастических задач для упругих и упругопластических композитов. В ходе решения поставленной задачи производилось моделирование фрагмента разреженной структуры, построение ее статистического описания, анализ полей деформаций и напряжений на уровне элементов структуры. Для достижения поставленной цели необходимо:
- синтезировать неоднородные структуры с хаотически расположенными сферическими и раз ориентированными эллипсоидальными включениями;
- провести статистический анализ синтезированных структур и вычислить моментные функции структурных модулей упругости второго и третьего порядков;
- разработать уточненную методику расчета статистических характеристик полей структурных деформаций и напряжений для микронеоднородных сред с учетом реального вида моментных функций структурных мод :іей упругости;
- изучить влияние свойств компонентов и вида моментных функций структурных модулей упругости хаотически армированных композитов на характер распределения структурных деформаций и напряжений в компонентах композитов.
Получены следующие новые научные результаты:
- Разработана новая методика компьютерного синтеза разреженной структуры с раз ориентированными эллипсоидальными включениями.
- Впервые для разреженных структур композитов построены и исследованы моментные функции второго и третьего порядков модуля упругости микронеоднородной среды, предложены новые аналитические выражения для их аппроксимации.
- На основе решения стохастической краевой задачи теории упругости разработана методика вычисления средних значений, условных и безусловных бинарных корреляционных моментов полей деформирования.
- Получены новые численные результаты для статистических характеристик полей деформирования в композиционных материалах, состоящих из сферических и эллипсоидальных полых включений равного размера.
- С учетом реального вида моментных функций разреженных структур получено новое приближенное решение краевой задачи механики упругопластических композитов.
- Впервые рассчитаны условные и безусловные дисперсии структурных деформаций и напряжений в упругопластическом композите.
Все числовые расчеты проведены на ЭВМ по программам, составленным на языке TURBO C++.
"і Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью
постановки задач, использованием классических методов механики деформируемого тела для их решения. Содержащиеся в работе положения и выводы подтверждены реализацией решений поставленных в диссертации краевых задач и сравнением для некоторых частных случаев результатов работы с известными приближенными результатами и экспериментальными данными других авторов.
Практическая ценность. Результаты диссертационной работы, отраженные в математических моделях, методах, алгоритмах и оформленные в виде программ ЭВМ, могут быть использованы научно-исследовательскими и проектно-конструкторскими организациями, занимающимися разработкой и проектированием композиционных материалов и конструкций из них. Диссертация связана с выполнением на кафедре механики композиционных материалов и конструкций Пермского государственного технического университета ряда госбюджетных работ. Результаты диссертационной работы включены в отчеты по соответствующим гарантам, проектам РФФИ, используются в учебном процессе. Диссертационная работа выполнена в соответствии с научно-технической программой Мин образования России "Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники" 205.01.01.022, грантами Мин образования России Т00-6.8-1727 и Российского фонда фундаментальных исследований (проект РФФИ 01-01-96488, проект РФФИ 03-01-00394), планами НИР Пермского государственного технического университета.
Теоретические разработки диссертации используются в спецкурсах "Моделирование процессов деформирования и разрушения композитов" и "Исследование структуры и свойств композитов", читаемых в Пермском государственном техническом университете студентам специальности 121000 -"Конструирование и производство изделий из композиционных материалов".
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались:
- на 13-й Зимней школе по механике сплошных сред, 2003 г., Пермь;
- на 12-й Международной конференции по механике композитных материалов, июнь 2002 г., Рига; - на YIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, 2001г., Пермь;
- на 10-й Всероссийской научно-технической школе-конференции студентов и молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках», 26-29 сентября 2001 г., Пермь;
- на Областной научной конференции молодых ученых, студентов и аспирантов «Молодежная наука Прикамья-2000», 2000 г., Пермь;
- на Всероссийском семинаре им. С.Д. Волкова «Механика микронеоднородных материалов и разрушение», 2000 г., Пермь;
- на научных семинарах кафедры Механики композиционных материалов и конструкций ПГТУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора Соколкина Ю.В., 2000-2003 гг.
- на научном семинаре кафедры вычислительной математики и механики ПГТУ. Руководитель — профессор, доктор технических наук Труфанов Н.А., 2003 г.
- на научном семинаре кафедры динамики и прочности машин ПГТУ, руководитель—профессор, доктор технических наук Колмогоров Г.Л., 2003 г.
- на научном семинаре кафедры математического моделирования систем и процессов ПГТУ, руководитель - профессор, доктор физико-математических наук Трусов П.В., 2003 г.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех разделов, заключения и списка литературы. Работа содержит 95 страниц машинописного текста, 40 рисунков, 17 таблиц. Общий объем диссертационной работы 125 странниц. Библиография включает 70 наименования.
Во введении приведен краткий литературный обзор, отражающий современное состояние вопросов исследования. Сделано заключение об актуальности темы диссертационной работы. Сформулированы цели и задачи данной работы, полученные в ней новые научные результаты, ее новизна, применение и практическая ценность, приведена аннотация содержания глав диссертационной работы.
В первой главе с помощью компьютерного моделирования произведен синтез разреженных структур, состоящих из сферических и эллипсоидальных включений равного размера. Определяется совокупность моментных функций структурных модулей упругости, необходимая для построения полного корреляционного приближения. Построены моментные функции второго и третьего порядков структурных модулей упругости. Для их описания представлена новая аппроксимирующая зависимость. Приведено сравнение моментных функций для структур, состоящих из сферических и эллипсоидальных включений.
Во второй главе рассматривается постановка стохастической краевой задачи теории упругости микронеоднородных сред и приводится общая схема ее решения с учетом реального вида моментных функций структурных модулей упругости. Решение ищется в корреляционном приближении, с помощью функции Грина. Особенность решения заключается в том, что корреляционное приближение построено путем вычисления интегралов задачи по всей области статистической зависимости случайного поля упругости с учетом явного вида моментных функций. В результате получены формулы для моментов структурных деформаций и напряжений, в которые входят упругие свойства изотропных компонентов композитов, параметры аппроксимирующих выражений моментных функций структурного модуля упругости и компоненты произвольно заданного тензора макро деформаций. Получены аналитические выражения для вычисления средних значений, дисперсий структурных деформаций и напряжений в компонентах пористого материала.
Приведены численные результаты расчета средних значений, дисперсий структурных деформаций и напряжений как для композиционного материала в целом, так и для каждого компонента при разных видах макроскопического напряженно деформируемого состояния. Представлено сравнение с результатами других авторов. В третьей главе рассматривается постановка стохастической упругопластической краевой задачи и приводится схема ее решения с учетом реального вида моментных функций структурных модулей упругости и с использованием метода статистического осреднения.
На основе решения упругопластической краевой задачи получены новые результаты по прогнозированию эффективных свойств и расчету статистических характеристик композита. Приведены диаграммы деформирования, зависимости макроскопических характеристик от макро деформаций. Впервые построены дисперсии структурных деформаций и напряжений в матрице и в композите в целом для структур со сферическими и эллипсоидальными полыми включениями при таком напряженно деформируемом состоянии, как одноосное растяжение и чистый сдвиг.
В заключении изложены основные результаты диссертационной работы в целом.
Компьютерный синтез случайных разреженных структур со сферическими включениями
Практическая ценность. Результаты диссертационной работы, отраженные в математических моделях, методах, алгоритмах и оформленные в виде программ ЭВМ, могут быть использованы научно-исследовательскими и проектно-конструкторскими организациями, занимающимися разработкой и проектированием композиционных материалов и конструкций из них. Диссертация связана с выполнением на кафедре механики композиционных материалов и конструкций Пермского государственного технического университета ряда госбюджетных работ. Результаты диссертационной работы включены в отчеты по соответствующим грантам, проектам РФФИ, используются в учебном процессе. Диссертационная работа выполнена в соответствии с научно-технической программой Минобразования России "Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники" 205.01.01.022, грантами Минобразования России Т00-6.8-1727 и Российского фонда фундаментальных исследований (проект РФФИ 01-01-96488, проект РФФИ 03-01-00394), планами НИР Пермского государственного технического университета.
Теоретические разработки диссертации используются в спецкурсах "Моделирование процессов деформирования и разрушения композитов" и "Исследование структуры и свойств композитов", читаемых в Пермском государственном техническом университете студентам специальности 121000 -"Конструирование и производство изделий из композиционных материалов".
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались: - на 13-й Зимней школе по механике сплошных сред, 2003 г., Пермь; - на 12-й Международной конференции по механике композитных материалов, июнь 2002 г., Рига; - на YIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, 2001г., Пермь; - на 10-й Всероссийской научно-технической школе-конференции студентов и молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках», 26-29 сентября 2001 г., Пермь; - на Областной научной конференции молодых ученых, студентов и аспирантов «Молодежная наука Прикамья-2000», 2000 г., Пермь; - на Всероссийском семинаре им. С.Д. Волкова «Механика микронеоднородных материалов и разрушение», 2000 г., Пермь; - на научных семинарах кафедры Механики композиционных материалов и конструкций ПГТУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора Соколкина Ю.В., 2000-2003 гг. - на научном семинаре кафедры вычислительной математики и механики ПГТУ. Руководитель — профессор, доктор технических наук Труфанов Н.А., 2003 г. - на научном семинаре кафедры динамики и прочности машин ПГТУ, руководитель—профессор, доктор технических наук Колмогоров Г.Л., 2003 г. - на научном семинаре кафедры математического моделирования систем и процессов ПГТУ, руководитель - профессор, доктор физико-математических наук Трусов П.В., 2003 г. Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех разделов, заключения и списка литературы. Работа содержит 95 страниц машинописного текста, 40 рисунков, 17 таблиц. Общий объем диссертационной работы 125 странниц. Библиография включает 70 наименования. Во введении приведен краткий литературный обзор, отражающий современное состояние вопросов исследования. Сделано заключение об актуальности темы диссертационной работы. Сформулированы цели и задачи данной работы, полученные в ней новые научные результаты, ее новизна, применение и практическая ценность, приведена аннотация содержания глав диссертационной работы. В первой главе с помощью компьютерного моделирования произведен синтез разреженных структур, состоящих из сферических и эллипсоидальных включений равного размера. Определяется совокупность моментных функций структурных модулей упругости, необходимая для построения полного корреляционного приближения. Построены моментные функции второго и третьего порядков структурных модулей упругости. Для их описания представлена новая аппроксимирующая зависимость. Приведено сравнение моментных функций для структур, состоящих из сферических и эллипсоидальных включений.
Во второй главе рассматривается постановка стохастической краевой задачи теории упругости микронеоднородных сред и приводится общая схема ее решения с учетом реального вида моментных функций структурных модулей упругости. Решение ищется в корреляционном приближении, с помощью функции Грина. Особенность решения заключается в том, что корреляционное приближение построено путем вычисления интегралов задачи по всей области статистической зависимости случайного поля упругости с учетом явного вида моментных функций. В результате получены формулы для моментов структурных деформаций и напряжений, в которые входят упругие свойства изотропных компонентов композитов, параметры аппроксимирующих выражений моментных функций структурного модуля упругости и компоненты произвольно заданного тензора макродеформаций. Получены аналитические выражения для вычисления средних значений, дисперсий структурных деформаций и напряжений в компонентах пористого материала.
Приведены численные результаты расчета средних значений, дисперсий структурных деформаций и напряжений как для композиционного материала в целом, так и для каждого компонента при разных видах макроскопического напряженно-деформируемого состояния. Представлено сравнение с результатами других авторов. В третьей главе рассматривается постановка стохастической упруго-пластической краевой задачи и приводится схема ее решения с учетом реаль-ного вида моментных функций структурных модулей упругости и с использованием метода статистического осреднения.
На основе решения упругопластической краевой задачи получены новые результаты по прогнозированию эффективных свойств и расчету статистических характеристик композита. Приведены диаграммы деформирования, зависимости макроскопических характеристик от макродеформаций. Впервые построены дисперсии структурных деформаций и напряжений в матрице и в композите в целом для структур со сферическими и эллипсоидальными полыми включениями при таком напряженно-деформируемом состоянии, как одноосное растяжение и чистый сдвиг.
Расчет характеристик полей деформаций и напряжений в компонентах дисперсных композитов
В случае, когда хотя бы одно из расстояний ch меньше величины малой оси, изменяется направление второго эллипсоида путем сдвига крайней его точки от первого эллипсоида на расстояние (2с - 4), равное величине пересечения. Когда направление изменено, повторно вычисляются координаты точек Ли Вь а также расстояния /„ и сравнение начинается заново. Это продолжается пока все расстояния J, не станут больше малой оси, т. с. эллипсоиды не будут пересекаться. Затем генерируется следующая точка центра и точка направления эллипсоида, процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнута заданная объемная доля. В противном случае, когда необходимое число точек не смогло разместиться в заданном объеме, вычисляется объемная доля, соответствующая вместившемуся количеству включений. Данный алгоритм позволяет синтезировать эллипсоидальные структуры с объемным содержанием включений р = 0,20.
Построение нормированных моментных функций второго и третьего порядков для структур, состоящих из эллипсоидальных включений, осушсствлялось аналогичным образом, как и для структур со сферическими включениями (п. 1.2). Отличие заключается лишь в способе определения в узлах сетки наличия эллипсоида или матрицы.
Нормированные корреляционные функции были построены для структур с объемной долей 0,1; 0,15; 0,20 и представлены на рисунке 1.15. Видно, что нормированные корреляционные функции с увеличением объемной доли сдвигаются в сторону уменьшения аргумента. Это объясняется тем, что с увеличением концентрации включений вероятность попадания в один из компонентов (например, в матрицу) падает. Поэтому значения корреляционной функции при одном и том же аргументе уменьшаются, в то время как объемная доля включений возрастает.
Сравнивая моментные функции для структур, состоящих из сферических и эллипсоидальных включений, можно сделать вывод, что для структур с эллипсоидами кривая корреляционной функции сдвигается в сторону уменьшения аргумента. Данный эффект наблюдается благодаря тому, что при синтезировании структуры из эллипсоидальных включений возникает еще одна степень свободы, связанная с ориентацией главной оси эллипсоидов. За счет чего структура становится более разупорядоченной, и вероятность попадания в какой либо компонент снижается (рис. 1.16).
Ранее для сферических включений проводилось нормирование переменной \г — г,\ с целью использования одной осредненнои зависимости для описания всех нормированных корреляционных функций в диапазоне изменения объемной доли от 0,12 до 0,3. Нормирование производилось на величину среднего расстояния между включениями dcv, в случае эллипсоидальной структуры это недопустимо, т. к. невозможно определить величину г/ср, и нормирование проводилось на большую ось эллипсоида (2Ь). При данном нормировании можно сказать, что наблюдается так же эффект (рис. 1.16), когда все кривые «сходятся» к одной кривой. Нормированная моментная функция второго порядка в случае эллипсоидальной структуры, как и сферической, зависит от способа нанесения сетки. На рисунке 1,17 показано расхождение графиков корреляционных функций, построенных на тетрагональной и гексагональной сетке.
Решая задачу аппроксимации нормированных моментных функций, описывающих эллипсоидальную структуру, воспользуемся зависимостью (1.19), которая была предложена ранее для структур, состоящих из сферических включений: С помощью (1.22) для структур с объемными долями 0,1; 0,15; 0,20 были аппроксимированы нормированные корреляционные функции. Результаты аппроксимации представлены на рисунке 1.18.
Константы, входящие в выражение (1.22), определяются в процессе аппроксимации и приводятся в таблице 1.5.
Построение моментной функции третьего порядка для структур с эллипсоидальными включениями (рис. 1.19) осуществлялось таким же образом, как и для структур со сферическими включениями, с использованием гексагональной сетки.
На рисунке 1.19 видно, что моментная функция третьего порядка для структур с эллипсоидальными включениями почти не имеет область отрицательных значений (в отличие от корреляционной функции). Сравнение моментных функций третьего порядка для структур со сферическими и эллипсоидальными включениями представлено на рисунке 1.20. Аппроксимирующая зависимость для нормированной моментной функции третьего порядка записывается аналогичным образом, как и для моментной функции сферической структуры (согласно (1.21)): где коэффициенты с J и с2 представлены в таблице 1.5.
Таким образом, были выбраны аппроксимирующие выражения для нормированных моментных функций второго (1.22) и третьего порядков (І.23) и определены входящие в них «приведенные» константы (таблица 1.5).
Расчет характеристик полей деформаций и напряжений в компонентах дисперсных композитов
Рассматриваемая в данной главе стохастическая краевая задача теории упругости является основой статической механики композитов со случайной структурой. Начало систематическому изучению этой задачи положено работой И.М. Лифшица и Л.Н. Розенцвейга [33] применительно к поликристаллам, и в дальнейшем многочисленные результаты обобщены в монографиях [13,36,54 и др.]. При единой практически для всех работ в этом направлении постановке задач, связанной с представлением структурных модулей упругости как случайных статистически однородных функций координат и выбором граничных условий в виде, обеспечивающим однородность макроскопических деформаций, а также общности подхода к решению с использованием метода функций Грина уравнений теории упругости в перемещениях для неограниченной изотропной или анизотропной среды существуют различия в получаемых результатах для эффективных свойств композитов и, в большей мере, для статистических характеристик полей напряжений и деформаций в компонентах композитов. Это обусловлено статистической нелинейностью исследуемой задачи и построением приближенных решений, которые неодинаково адекватны физической модели композита, в частности его структуре.
Ниже приведены результаты решения стохастической краевой задачи теории упругости с учетом реального вида моментпых функций двухфазного композита. Построено полное корреляционное приближение задачи в перемещениях. Результаты проиллюстрированы решением частных случаев, связанных с определением статистических характеристик полей структурных напряжений и деформаций в матрице пористого композита.
Структурная модель материала представляет собой двухфазный композит, состоящий из матрицы и хаотически расположенных включений. Матрица является линейно упругой, однородной и изотропной, полностью скреплена с включениями по всей их поверхности; включения — сферы или эллипсоиды равных размеров.
Для построения механических моделей композитов широкое распространение получил структурно-феноменологический подход. Данный подход основан на том, что феноменологические уравнения и критерии механики деформируемого твердого тела рассматриваются на двух уровнях: структурном, в рамках которого описывается поведение элементов структуры, и макроскопическом, описывающем композиционный материал как однородный с эффективными свойствами.
В связи с этим удобно вместо всего объема композита ограничиться рассмотрением представительного объема I порядка малости V с характерным размером 1 таким, что 1 « L, где L - характерный размер конструкции [32]. В пределах элементарного объема II порядка малости Vk с характерным размером 1 k таким, что 1 k « 1, композиционному материалу присваиваются свойства элементов структуры. На этом уровне представляется возможным исследовать процессы с помощью моделей и методов механики деформируемого твердого тела. При этом результаты исследований используются в континуальных уравнениях макроскопически однородной среды с помощью некоторых осредненных параметров. Таким образом, в рамках структурно-феноменологической модели стохастической краевой задаче механики композитов в отсутствии массовых сил: где a,y(r), a,-,-(F)- структурные и макроскопические напряжения, e/;-(F), z,j{r)- структурные и макроскопические деформации, С//А/(г), С А/ - тензоры структурных и макроскопических модулей упругости, (J/ (F), 5,W(F) заданные тензоры перемещений и усилий. Тогда макроскопические (осредненные) деформации и напряжения определяются путем осреднения по элементарному макрообъему V выделенному вокруг этой точки: 57Для случайных однородных полей осреднение по объему совпадает со статистическим осреднением ... , т.е. при принятых ограничениях Прогнозирование макросвойств и отыскание макроскопического напряженно-деформированного состояния неразрывно связано с поиском полей структурных напряжений и деформаций. Если в некоторой точке М(г) тела известны макронапряжения а,у =5,у или макродеформации ztj = , тогда в элементарном макрообъеме, выделенном вокруг точки М(г), структурные поля деформирования удовлетворяют уравнениям (2.1) и граничным условиям в напряжениях (в силу однородности макронапряжений или макродеформаций)
Численные результаты расчета статистических характеристик полей деформирования
Рассмотрена постановка стохастической краевой задачи теории упругости микронеоднородных сред в моментных функциях. 2. Приведено решение стохастической краевой задачи теории упругости и приведены аналитические выражения для вычисления условных и безусловных моментов полей структурных деформаций и напряжений для пористых композитов с учетом реального вида моментных функций структурных модулей упругости. 3. Получены новые численные результаты расчета средних значений и дисперсий структурных деформаций и напряжений как для композита в целом, так и для каждого компонента в случае одноосного растяжения и чистого сдвига. 4. Показано, что учет реального расположения и взаимодействия компонентов структуры при деформировании дает ненулевые значения дисперсий деформаций и напряжений в матрице пористого материала, что соответствует физической картине. 5. Вычисленные с использованием предложенной в данной работе методики дисперсии структурных деформаций и напряжений соответствуют аналогичным величинам, приведенным в работе [9]. 6. Показано, что коэффициенты вариации компонент тензора структурных напряжений сопоставимы с коэффициентами вариации структурных модулей упругости. Стремление к более полному использованию несущей способности ответственных конструкций приводит к задаче определения предельных напряжений и деформаций композиционных материалов каждой конкретной структуры в условиях эксплуатации и, следовательно, необходимости исследования и учета при проектировании нелинейности деформационных зависимостей некоторых композитов. Причем, чем больше предполагаемые де-формации конструкции из композита, тем большее значение приобретает учет нелинейности при проектировании, поскольку при достаточно высоких нагрузках, превышающих предел текучести, возможно существенное изменение модуля материала и отклонение от упругого поведения конструкции. Физическое явление упругопластического поведения композиционных материалов и, главное, необходимость его исследования были обнаружены задолго до создания соответствующей математической теории. Поэтому многие исследователи в середине шестидесятых годов обратились к анализу поведения материалов при помощи простых моделей. Модель в виде набора параллельных составных элементов использовалась для приближенного описания неупругого деформирования однонаправленного композита при растяжении поперек волокон. Некоторые ученые использовали модель коаксиль-ных цилиндров, предполагая простейшее напряженное состояние матрицы. Применялась аппроксимация реального материала бесконечной средой с расположенным в ней единственным армирующим элементом. К настоящему времени, благодаря использованию численных методов механики деформируемого твердого тела и некоторых новых методов, разработанных непосредственно для структурно-неоднородных тел, получены ре- шения ряда задач неупругого деформирования с учетом сложного характера распределения напряжений и деформаций в структурных элементах. В данном разделе на основе решения нелинейных стохастических краевых задач механики микронеоднородных сред проводится исследование особенностей механического поведения упругопластических дисперсных композитов. При постановке и решении упругопластическои краевой задачи применяются основные допущения: - физические и геометрические величины, описывающие свойства композита, считаются статистически однородными и эргодическими случайными полями; - все процессы деформирования, протекающие в композиционных материалах под действием детерминированных нагрузок, являются квазистатическими; - адгезия между материалами компонентов по границам раздела предполагается идеальной; - воздействие массовых сил на компоненты композитов не учитывается. Геометрия и взаимное расположение элементов структуры предполагаются заданными и неизменяющимися в процессе деформирования, а сама среда обладает свойством макроскопической однородности. Структурная модель материала представляет собой двухфазный композит, состоящий из матрицы и хаотически расположенных включений. Матрица является упругопластическои, однородной и изотропной, полностью скреплена с включениями по всей их поверхности; включения — сферы или эллипсоиды равных размеров. Структурные напряжения среды в отсутствии массовых сил удовлетворяют уравнениям равновесия, структурные деформации — соотношениям Коши. Локальные нелинейные физические уравнения, описывающие упруго-пластическое поведение компонентов среды, имеют вид:
