Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Знакопеременное нагружение упругопластических оболочек вращения при осесішетричном деформировании 9
1. Вывод физических соотношений при знакопеременном нагружении оболочек вращения 9
2. Случай несжимаемости материала оболочки 26
3. Постановка задачи о знакопеременном нагружении оболочек вращения 29
Глава 2. Применение методов тиші установления при решении задач 42
1. Методы установления и решение задач в конечных разностях 42
2, Сходимость метода Ричардсона при однократном и знакопеременном нагружениях 49
3. О сходимости метода "динамическая релаксация" для тонких упругих оболочек 64
Глава 3. Решение некоторых нелинейных задач статики осесжметрично нагруженных оболочек вращения 73
1. Применение метода конечных разностей и сравнение решений 73
2. Решение задач с учетом сжимаемости материала. 83
3. Знакопеременное нагружение цилиндрической оболочки с учетом деформации, возникшей перед началом разгрузки 92
4. Влияние геометрической нелинейности на знакопеременное нагружение пластинки и конуса с подкрепляющим кольцом 99
Заключение 121
Литература
- Случай несжимаемости материала оболочки
- Сходимость метода Ричардсона при однократном и знакопеременном нагружениях
- О сходимости метода "динамическая релаксация" для тонких упругих оболочек
- Знакопеременное нагружение цилиндрической оболочки с учетом деформации, возникшей перед началом разгрузки
Введение к работе
Тонкостенные конструкции находят широкое применение в различных областях техники: машиностроении, авиастроении, судостроении, ракетостроении, строительстве. Многие из них работают в условиях, когда внешние силы прикладываются многократно, в том числе с изменением знака. Расчет на прочность в этом случае отличается от случая однократного нагруяения. Развитие науки и техники непрерывно выдвигает новые сложные задачи в области расчета этих конструкций, предъявляет высокие требования к точности расчетов, требуя учета нелинейных факторов геометрического или физического характера, при воздействии на конструкцию достаточно больших нагрузок. В некоторых случаях это вызвано видом самих конструкций, в которых могут возникать большие или конечные перемещения или деформации.
В то же время при проектировании легких и надежных конструкций следует учитывать реальные свойства материалов, в том числе деформаций пластичности, ползучести, вязкоупругости и т.д.
Отмеченные выше факторы приводят к необходимости совершенствования методов расчета тонкостенных конструкций. Учет нелинейных факторов как геометрического или физического характера, так и совместный их учет привели к изучению нелинейных проблем механики деформируемых тел, в том числе и решению нелинейных задач теории тонких оболочек.
В этих случаях возникают огромные математические трудности для решения важных практических задач, и, вероятно, они не могут быть решены классическими методами. В настоящее время использование ЭВМ и развитие общих методов дискретизации, таких, как метод конечных разностей, метод численного интегрирования и метод конечных элементов, сделали возможным численное решение проблемы.
Представляется возможным выделить четыре класса важнейших задач при решении проблемы: линейные (физически и геометрически), геометрически нелинейные (физически линейные), физически нелинейные (геометрически линейные), геометрически и физически нелинейные.
В развитии как линейной, так и нелинейной теорий оболочек большие заслуги принадлежат советским ученым. Геометрически нелинейной теории оболочек и методам решения нелинейных задач статики тонких оболочек посвящены многие монографии. Среди них работы Х.М.ЭДуштари, К.З.Галимова [44] , К.З.Галимова 15] *, В.В.Новожилова [46] , А.С.Вольмира [11] , М.С.Корнишина [32] , В.В.Петрова [50] , Н.В.Валишвили [10] , Э.Л.Аксельрода [2] и др. Известны многие зарубежные монографии, касающиеся этих же вопросов, например, работы А.Лява [37] , Р.Саусвелла [54] , А.Грина и Дж.Адкинса [24] и многие другие. Большое развитие получила геометрически нелинейная теория в работах теоретического и прикладного характера советских ученых Д.Ю.Панова [49] , В.М.Феодосьева [54] , Л.Я.Айнолы [і] , В.й.Усюкина [63] , Н.А.Алумяэ [4] , И.И.ВороЕича и Н.й.Минаковой [і4] , И.Д.Гер-лаку, В.П.Морара и Д.И.Іилькрута [17] , Э.И.Григолюка и В.И.Мамая [22] , Э.И.Григолюка, В.й.Мамая и А.Н.Фролова [23] , В.В.Гайдайчука, Е.А.Гоиуляка и В.И.Гуляева [іб] , М.С.Корнишина и Ф.С.Исанбаевой [33] , Л.С.Срубщика [56] , А.В.Коровайцева [34] , А.А.Шаповалова [7І] , Д.И.Шилькрута [73] и др. Много работ в этом направлении выполнено за рубежом. Назовем только некоторые из них статьи Э.Рейсснера [86,87] для больших осесим-метричных перемещений оболочек и [88] для уравнений на большие деформации, а также К.Маргерра 83 , Дж.Одена [84] , А.Кал- нинса [80] , В.Олмроса и Д.Бушнелла [77І , Дж.Стриклина [90] , Е.Попова и С.Ягхмаи [94] , В.Хайслера [79] и др.
Учету физической нелинейности материала оболочек посвящены монографии А.А.Ильюшина [28] , А.А.Ильюшина и Б.Е.Побед-ри [29] , Ю.Н.Работнова [51] , В.В.Москвитина [40] , В.И.Королева [35] , И.А.Виргера [7] , А.Г.Угодчикова и Ю.Г.Коротких [62] , Н.Н.Малинина [38] , К.И.Гольденблата [5] , в которых рассматриваются не только теоретические вопросы, но и методы решения и их приложения к решению задач статики тонких оболочек.
Большой интерес представляет совместный учет нелинейных факторов. Среди этих работ можно выделить работы советских и зарубежных ученых: А.В.Кармишина, В.А.Лясковца, В.И.Мячен-кова и А.Н.Фролова [30] , Н.И.Дедова, М.С.Корнишина, Н.Н.Столярова [27] , А.Н.Фролова 66 , И.В.Ширко и В.Л.Якушева [74], Й.С.Чернышенко 63 , В.Ф.Терентьева [бі] , А.П.Господарикова [20] , А.С.Юдина [75] , И.И.Воровича и Н.И.Минаковой [14] , С.А.Алексеева [3] , П.Маркола [8l] , Дж.Стриклина, В.Хаислера и В.Ван Рийзмана [91] и др.
Известны монографии и работы, изданные в Советском Союзе и за рубежом, в которых изучались переменные нагружения за пределом упругости и в которых учитывались реальные свойства материалов. Классическая теория упругости не различает случаи первого или последующего нагружения, если исключается наличие всякого рода начальных напряжений. То же самое показывают эксперименты, в том случае, когда число нагружении не очень велико. Если при первом нагружении во всем теле или в его некоторых областях возникли пластические деформации, то после удаления внешних сил в нем возникнут определенные остаточные деформации и напряжения. При последующем нагружении произвольной системой сил тело будет вести себя иначе, чем в случае его нагружения из исходного состояния. Гипотезы, позволяющие построить зависимости между напряжениями и деформациями при переменных нагружениях, предлагались известными зарубежными и советскими экспериментаторами: Г.Мазингом [82] , Х.Шойи [92], Р.Вулли [93] , А.П.Гусенковым и Р.МЛнейдеровичем [2о] и др. Здесь же следует отметить результаты, в которых теория переменных нагружений получила свое дальнейшее развитие, изложенные в монографиях В.В.Москвитина [40,4l] , Р.М.Шнейдеровича [75] , С.В.Серенсена [55] , й.А.Одинга І43] , Д.А.Гохфельда [21] , С.Мэнсона [45] , В.А.Стрижало [57] , Ю.Н.Шевченко [72], а также отдельные работы Й.С.Чернышенко Г.К.Шаршукова [70] , В.И.Берлянда [б] , В.В.Москвитина и С.И.Тараканова [42] , У.С.Саидкаримова и В.А.Толока [52] , С.И.Тараканова [58,60] и др.
Важное значение имеет также решение вопросов применимости и сходимости конкретных методов, используемых при решении задач. Результаты исследований в этой области, относящиеся к использованию метода упругих решений, даны в работах И.й.Ворови-ча, Ю.П.Красовского [12] , Д.Л.Быкова И . 3 последней работе, кроме того, доказывается сходимость метода переменных параметров упругости. Указывается преимущество одних методов перед другими. Анализируются достаточные условия сходимости различных процессов последовательных приближений. В работе А.Городецкого [19] дано доказательство сходимости метода последовательных приближений для одного класса циклических нагружений. В работах Т.(^.Красовской [Зб] и С.И.Тараканова [59] рассмотрен вопрос о применении методов установления к решению статических задач.
В работе, в рамках теории малых упругопластических деформаций Ильюшина, уточненной В.В.Москвитиным для переменных нагружений, получены новые физические соотношения для оболочек вращения, находящихся под действием осесимметричных нагрузок для случая знакопеременного нагружения. Разработан эффективный численный метод решения таких задач с учетом геометрической нелинейности и физической неоднородности материала. При решении конкретных задач с использованием ЗВМ представляется возможным проследить за изменением физического состояния в окрестности точки при знакопеременном нагружении независимо от того, в каком физическом состоянии (упругом или пластическом) находилась окрестность данной точки перед началом разгрузки. Новыми являются также доказательства сходимости методов типа установления, один из которых, метод "динамическая релаксация", применяется в данной работе.
На защиту выносятся следующие основные научные положения: физические соотношения нелинейной теории тонких оболочек при знакопеременном нагружении в рамках гипотез Кирхгофа-Лява; разработка эффективного численного метода решения нелинейных задач, учитывающих физическую и различные виды геометрической нелинейноетей, при однократном и знакопеременном нагружениях; сходимость методов типа установления, в которых применяются аналитические доказательства; выявление нелинейных факторов при знакопеременном нагружении; результаты решения конкретных задач.
Случай несжимаемости материала оболочки
Физические соотношения, полученные в 1, значительно упростятся, если принять условие несжимаемости материала оболочки, то есть положить - 0,5. В некоторых работах, например [бЭ] , рассматривался этот случай и анализировалось - какое изменение вносит условие несжимаемости на перераспределение напряженного состояния.
Соотношение, определяющее величину , перепишется в виде, если положить в (1.1.24) i) = 0,5 б" =_" _" (1.2.1) 33 // 21 У которое выполняется для любых процессов деформирования. Выражение для напряжения (э примет вид II ПК КУ& ( :-а») на D, (1.2.2) Теперь аналогично тому, как это делалось в 1, получим из (1.1.25) физические соотношения, соответствующие различным задачам.
При упругом деформировании из (1.1.25) вытекает н 1 її 2. гг; . Для однократного упругопластического нагружения - 27 Для случая упругой разгрузки запишем на сегменте [ 2 J Перепишем Выражения ДЛЯ УСИЛИЙ /.. И МОМенТОВ А/.. , ИСХО дя из формул (1.2.2)-(1.2.5). Лля знакопеременного нагружения из (1.1.30) г иг D2 J , г Для упругого деформирования Для однократного упругопластического деформирования (1.2.8)
Для упругой разгрузки г "1 (1.2.9) Для случая знакопеременного нагружения из формул (1.2.6) в некоторых случаях можно получить более простые выражения для I и г/ Предположим, что при первом нагружении пластичес кие области полностью распространились на сегменте [ 2 5 2 J то есть по всей толщине. В этом случае область [) отсутствует, а область [) представляем собой весь сегмент Г- ? -г /
Приведенные в этом параграфе физические соотношения будут использованы в главе 3 при решении конкретных задач.
В этом параграфе буд т приведены соотношения простейшей геометрически нелинейной теории в квадратичном приближении [71] , основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява. Этот вариант теории основан на соотношениях нелинейной теории упругости Новожилова [46] при допущениях, сформулированных Шаповаловым в Г 71] .
В ортогональных криволинейных координатах cL1 , oL ,d =Z , совпадающих с линиями кривизны срединной поверхности и внешней нормалью, выражения для шести компонент тензора деформаций согласно Г46І записываются Е виде
Здесь П - нормаль к поверхности F ; \) , t - единичные касательные векторы к координатам об, , оС2 по контуру Г ; d $ - элемент длины контура.
В том случае, когда срединная поверхность F ограничена гладким криволинейным контуром Г , совпадающим с координатными линиями oL oL , величины Q , Q , Q , Д/ явля V /7 » ются заданными. Остальные величины, входящие в контурный интеграл, определяются по формулам (контур Г совпадает с координатной линией об. _ const ):
Если на части контура заданы кинематические условия, то граничные условия в этом случае записываются в виде и = и 9 іГ=г/ -ur=vr] 9 = 9 , где U у ч! , vf , В - заданные величины.
При независимых в области F вариациях оц , о i7 , ovS и независимых вариациях d и out , о тлҐ , cf0t на контуре Г из вариационного уравнения Лагранжа (1.3.10) следуют уравнения равновесия L,-0, Lz=0, иг = 0 и статические граничные условия V . V V». mt"Mf Перепишем полученные соотношения применительно к оболочкам вращения, нагруженным осесимметрично.
Определим положение точек на срединной поверхности оболочки криволинейными ортогональными координатами: Ui = S , L2 - f ( 3 - длина дуги вдоль меридиана, f - полярный угол). Площадь элемента оболочки срединной поверхности можно записать так dc = = ds2+r2(S)df .
При таком выборе системы координат коэффициенты Ламе равны - 35 /1=1, й = rfS), где r(S) - расстояние от оси до образующей оболочки. Кроме того, ни одна иа упомянутых в этом парагра-фе величин не будет зависеть от координаты ог = f .С учетом вышенаписанного преобразуем формулы (1.3.7)-(1.3.11). Геометрические соотношения: „( ) = , + ,, Єгг(2)=єг+ха 2, V _ дв V г , 4 ЯД 4 2 Л » r- 7 9-иг о где 0 - угол поворота касательной к образующей; t/ , itf-перемещения в меридиональном и нормальном направлениях соответственно. Уравнения равновесия: / fr] = №tT„) ЭЙ йг L,iuJ s аз y «4v. V J t[ ds dS "„/ 4\ RjB, (1.3.13) Q - пеоерезнвающая сила. - 33 Граничные условия: (в-в )г+( -п:)(1- ъ)-о, (1.3.14) где tf. ( і = 1,2,3) принимают значения либо 0, либо 1. Заметим, что граничные условия (1.3.14) выполняются как на контуре .0 0 0 0 л S » так и на K0HTJPe ч = г » г гРаниЧы изменения ). Соотношения (1.3.12)-(1.3.14) не зависят от того, сжимаем или несжимаем материал, происходит ли в данный момент разгрузка или знакопеременное нагружение или еще какой-нибудь физический процесс. Перечисленные факторы оказывают влияние на физические соотношения (1.1.30). Таким образом, можно сформулировать постановку задачи о знакопеременном нагружении упругопластическйх оболочек вращения при осесимметричном нагружении, решаемой в перемещениях, Опре-делить функции u , bJ t U , І , і , эе , ЗЄ , І , I , Л1 , Пд , Q , которые удовлетворяют геометрическим соотношениям (1.3.12), физическим соотношениям (1.1.30), уравнениям равновесия (1.3.13) и граничным условиям (1.3.14).
Сходимость метода Ричардсона при однократном и знакопеременном нагружениях
Можно предложить следующую схему реализации метода "динамическая релаксация". Допустим имеется решение задачи . = ( -7 , г Г , ..., "US , U. и ) (символ Т сверху обозначает AJ 2 N транспонирование) для некоторого значения параметра нагрузки JU. . Требуется построить решение для JІ+І . Обозначим fL = {vri$ ..., гіГ , аг , „., dw ) . По вектору!/ образуем переменную ZL = ГгіГ+-]Г (і(ГМи )]Д[;таким об разом получаем зависимость ju. = ju(ZL) . Полагаем при t = Т =f =( 0,...,0)Т ; вектор р определим ниже. По перемещениям вычисляем деформации, усилия, изменения кривизн, моменты, далее операторы L ZJ- , при этом используются прогибы VlK и перемещения UK в узлах, в которых ставятся граничные условия. Рекуррентным образом продолжаем вычисления, пока погрешность удовлетворения уравнений равновесия не станет меньше величины О . Полученные при этом перемещения можно считать решением задачи при JU = J +i Далее увеличиваем J1 и повторяем цикл вычислений. Отметим, как выбираются значения параметра JU. и вектор U. для существенно нелинейных задач.
При с = 0 полагаем ju = О, Ц = 0. При с=1 JU выбирается достаточно малое, при котором заведомо не возникают пластические зоны и не происходит потери д f устойчивости; U = (0,...,0) . При і = 2 имеем JUZ = 2j 1 , У = 2 у При і & 3 значение параметра J c аппроксимируется квадратичной зависимостью по 3L в плоскости ju Зі .
Аналогично определяется вектор у/ . Такой способ задания Jui и Я значительно сокращает затраты машинного времени. Следует отметить, что схема вычислений (2.1.6),(2.1.7) сохраняется и для оболочек переменной толщины. Что же касается параметра г , то в некоторых случаях (например, при расчете упругих сильфонов) не удается добиться удовлетворения уравнений равновесия при постоянном на всем отрезке 1 0, J-A . Для таких (очень тонких) оболочек величина подбирается отдельно для каждой точки деления при дискретизации по ol каким-нибудь образом.
Погрешность уравнений равновесия вычислялась так. В операторах L. , L подсчитывалась абсолютная величина суммы сла-гаемых и величина суммы абсолютных величин слагаемых, затем первое делилось на второе и полученное значение принималось за погрешность.
Применяя метод "динамической релаксации" в сочетании с методом конечных разностей, получен алгоритм для определения напряженно-деформированного состояния оболочек вращения, который учитывает физическую и геометрическую нелинейности. Этот алгоритм реализован на ЭВМ ЗЭСМ-6 на языке FORTRAN . как для первого, так и для знакопеременного нагружения.
На стр.48 приведена блок-схема вычисления напряженно-деформированного состояния оболочек для однократного нагружения. При расчетах можно использовать различные уравнения равновесия и геометрические соотношения, при этом изменится лишь часть операторов, соответствующих блокам 2, 4.
Заметим, что, если вычислительный процесс является устойчивым при некотором ДІ -С , то он будет устой чив и при &t С # Величина оказывает влияние на быстроту установления. Сходимость процесса происходит при любых І її At С к одному и тому же решению, но при этом затрачивается различное число итераций для достижения удовлетворения уравнений равновесия.
Доказательство сходимости метода Ричардсона удается провести для нелинейно-упругого тела в рамках геометрически линейной теории при однородных граничных условиях в перемещениях /59 ] .
Пусть имеется некоторое тело, находящееся в равновесии. Соответствующие уравнения равновесия в перемещениях и граничные условия запишем в виде: LL{u( )} Яр) = 0} і = 1,2,3, (2.2.1) u.fx)\ =0 (2.2.2) где и (х)= ( Ui(x), иг(х) , из(х) ) - вектор перемещения, 2(a:J -г объем тела, ]Г - поверхность тела, X = ( Xi t Х2 t Х ) - координаты точек тела, LL - операторы, которые будут определены ниже. Согласно методу Ричардсона вместо уравнений (2.2.1) рассмотрим в Ъс (ос) уравнения краевые условия (2.2.2) и начальные условия U. {0уХ)=: К( ), (2 2-4) причем V-i » " паРаметР» монотонно возрастающий от 0 до о= # Пусть операторы L,. соответствуют операторам теории малых упругопластических деформаций Ильюшина при активном на-гружении. Будем рассматривать малые деформации, т.е. тензор деформаций .. выражается через вектор и соотношениями Коши: Уравнения (2.2.3) в этом случае запишутся в виде индексы с , J принимают любые из значений 1,2,3, причем по повторяющимся индексам ведется суммирование, а запятая перед индексом указывает на дифференцирование по соответствующей координате; Х- - компоненты вектора массовых сил. Функция и) , характеризующая нелинейность материала, удовлетворяет неравенствам 04 ід 4 a(f«) j (2.2.5) Будем считать, что решение задачи (2.2.3), (2.2.4), (2.2.2) существует, непрерывно и дважды непрерывно дифференцируемо.
О сходимости метода "динамическая релаксация" для тонких упругих оболочек
Рассмотрим численный метод "динамической релаксации" в сочетании с методом конечных разностей. Запишем в конечных разностях дифференциальные операторы поставленной в главе 1 ( 3) задачи. Прежде обратимся к рис.6, на котором схематично изображен отрезок образующей Го, S], разбитый точками деления с постоянным шагом Д 5 . Точку с номером К будем обозначать в дальнейшем К О ; в зтих точках вводим прогибы id . В серединах отрезков і(к і)А$) КЛ S вводим перемещения U к ( " точка деления отрезка пополам).
Номера 1,0; 2,«; 2,0; N-1,0; М ,«; f\j ,0 соответствуют законтурным точкам, в которых прогибы и перемещения определяются из граничных условий. В остальных точках, которые назовем внутренними, удовлетворяются уравнения равновесия.
Выпишем в конечных разностях формулы, определяющие напряженно-деформированное состояние оболочек, в рамках нелинейной теории в квадратичном приближении. (Аналогично были выписаны формулы для нелинейной теории при больших перемещениях в гл.1, 3, но здесь они не приводятся).
Для того чтобы молено было воспользоваться записанной на ЭВМ программой, требуется сделать следующее. Ввести в память ЭВМ массивы геометрических параметров "(к,о) , "(к,х) » $г(ко) » вы внешних нагрузок %г-к\, Я гко) паРаметров Ак , а также величины: Л/ - число точек дискретизации по координате 5 , A S - шаг дискретизации, погрешность О , Л, - количество точек по толщине оболочки, Ль _ Шаг по времени и механические характеристики \) , G , J3 и $/ .
После цикла вычислений специальная команда выводит на печать массивы перемещений UK , 1/Гк , массивы скоростей переме-щений WK , UK , усилии и моментов, погрешности в уравнениях равновесия. Печатается строка и таблица из целых чисел L(K) ,
І(к (.) , где С - номер точки деления по толщине оболочки при разбиении сегмента Г- -у , у I с постоянным шагом Л X , отсчитываемым от поверхности 2. = "?Г оболочки. Число I при первом нагружении принимает два значения 0 и 1; число О означает, что в сечении с номером К не возникли пластические зоны; если і =1, то пластические зоны возникли в сечении К ; при разгрузке и дальнейшем нагружении 1 переходит в 2.
Величина / может принимать четыре значения 0,1,2,3 при знакопеременном нагружении и два значения 0,1 при первом нагружении. При знакопеременном нагружении числа 0,1,2,3 соответствуют случаям 1,2,3,4, рассмотренным в таблице 1.
Записанная на ЗВМ программаї для определения напряженно- деформированного состояния при знакопеременном нагружении в обоих постановках $ 3 гл.1) называется "Переменное нагружение".
Приведем конкретные примерч расчетов в линейной и нелинейной постановках, подтверждающие достоверность используемого метода. Пример. 1. реформирование упругой круглой пластинки без учета геометрической нелинейности.
Рассмотрим пластинку постоянной толщины, находящуюся под действием нормально распределенного давления Р . Геометрические соотношения, уравнения равновесия, физические соотношения брались соответственно по формулам (1.3.17), (1.3.16), (1.1.31), в которых отсутствовали геометрически нелинейные члены. Граничные условия рассматривались двух типов: жесткое защемление и шарнирное опирание; в центре ставились условия симметрии. Запишем граничные условия в конечных разностях. ліесткое защемление: 1Г = О, 1ХҐ = О, 9 = 0. Эти условия удовлетворялись таким образом: 3 =0» vT = 0, В20 = 0.
Из последнего условия следует " (vff)/2 AS = 0 или, что Vf = т/Г Поэтому для законтурных узлов имеем три соотношения v = vJb , 1 = - » г "2 = о.
Шарнирное опирание: М = 0, tT = 0, г Г= 0. Эти условия удовлетворялись таким образом: fifif jh s0 , = 0, M . .=0. Из последнего соотношения, записанного з конечних разностях через перемещения, имеем 4= ((» ад rtJZA l -Z y li JZfi -i/uS).
Условия симметрии можно записать в виде vT = vT , U%= = Vf =-1 , » как нетрудно проверить, в этом случае if 2 4 выполняются условия {/ = 0, Э = 0, Q = 0 в центре пластинки. На рис.7а, 76 соответственно изображен процесс сходимости (или процесс установления) численного решения по прогибам ъсГ и изгибающим моментам Мн к аналитическому решению itf , Иi для центра пластинки в зависимости от времени t
Знакопеременное нагружение цилиндрической оболочки с учетом деформации, возникшей перед началом разгрузки
Рассмотрим вопрос о влиянии деформации, возникающей перед началом разгрузки на знакопеременное нагружение. Если геометрическая нелинейность не учитывается, то, по существу, все сводится к тому, как влияет коэффициент У , входящий в формулу (1.1.15), на этот процесс нагружения. Если напряженное состояние оболочки является однородным, то влияние коэффициента эквивалентно влиянию коэффициента Х , которое можно оценить по теореме о переменном нагружении [40] аналитически, исследуем поведение неоднородного напряженно-деформируемого состояния при различных значениях механического параметра У на цилиндрической оболочке.
Постановку задачи, а именно: геометрические соотношения, физические соотношения и уравнения равновесия примем по формулам (1.3.12), (1.2.6), (1.3.13). Граничные условия, механические характеристики и геометрические параметры оболочки - такими же, как в 2 этой главы.
Сначала на оболочку действует (монотонно возрастающее от нуля до некоторого значения) внутреннее давление, затем оно монотонно уменьшается до нуля, после этого находится под действием внешнего давления, которое монотонно увеличивается и по величине превосходит значение давления, которое было перед началом разгрузки.
Результаты расчета производились по программе "Переменное нагружение". На, рис.14а,б представлены зависимости от пара метра У безразмерного перемещения Vf = yf /fj ( i/fc прогиб точки срединной поверхности, равноудаленной от торцов; кривая 1) и безразмерного перемещения iXf = itf/h ( -yj прогиб точки срединной поверхности, удаленной от торца на рас стояние 5 = S/P = 0,083; кривая 2). На том участке изменения У , где 1/Г постоянно, уровень интенсивности де формаций при знакопеременном нагружении не достиг предела те кучести . Разгрузка начиналась при значении безразмерного давления, равного р = pR/hfc = 1,25. Рис.14 а,б соответствуют двум значениям безразмерного давления при знако # if переменном нагружении р = -1,02 и Р = -1,48. Кривая 2 построена для точки, в окрестности которой пластические зоны не возникли при первом нагружении, но которые возникли при давлении р = -1,48.
Заметим, что значение прогибов при р = 1,25 и р = -1,25 для точки срединной поверхности, равноудаленной от торцов, при значении параметра f = 0 практически отличаются только знаком. Полученный результат соответствует теореме о переменном нагружении [40] для циклически идеального материала.
На рис.15 а,б представлены графики для сравнения поведе-ния безразмерных прогибов от давления р тех же точек, для которых получены результаты, изображенные на рис.14. Цифрой 1 помечен прогиб VT t вычисленный с использованием разрешающих уравнений на ЭВМ, полученных в диссертации и [58] по программе "Переменное нагружение" (при значении параметра У = -0,2). Цифрой 2-е использованием теоремы о переменном нагружении (условия теоремы в этом случае не выполнены).
Так как на большей части оболочки значения -(и) не более, чем на 2/с, отличаются от величины 1,925 (исключение составляют области, находящиеся вблизи торцов), то при исполь зовании теоремы о переменном нагружении полагалось об = 1,925, При данных параметрах геометрическая нелинейность проявляется слабо, этим объясняется близость кривых 1,2 почти на всем участке нагружения на рис.15 а. Для точек, расположенных ближе к торцам оболочки, в которых не возникли пластические зоны при первом нагружении, соответствующая кривая 2 отличается от кривой 1 более заметно (рис.15 б).
На рис.16-18 показано, как распространяются зоны пластичности по толщине оболочки вдоль образующей в зависимости от давления Р при различных j . Результаты получены с использованием программы "Переменное нагружение". Цифрами 1,2,3,4 обозначены зоны, соответствующие случаям 1,2,3,4, рассмотренным в таблице 1. При однократном нагружении пластические зоны возникают у торцов оболочки. В дальнейшем пластические зоны быстро развиваются в сечениях, удаленных от торцов,-охватывая большую часть оболочки. Максимальное значение интенсивности деформаций сохраняется у торца. Развитие зон пластичности и характер напряжений совпадает с результатами [ЗО] . При знакопеременном нагружении области максимальных напряжений сохраняются. Зоны вторичных пластических деформаций появляются у торцов, а затем и на внешней поверхности оболочки, постепенно занимая всю область пластичности, которая была к моменту начала разгрузки. Далее возникают зоны пластичности (вблизи зон вторичных пластических деформаций) в областях, которые были упругими в момент начала разгрузки.
