Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Состояние вопроса. Постановка задачи
1.1. Методы исследования напряженно-деформированного состояния пересекающихся круговых цилиндрических оболочек 7
1.2. К выбору метода решения 19
ГЛАВА 2. Статические и кинематические условия совместности на линии пересечения упругих тонких оболочек
2.1. Принцип виртуальных работ для тонкой упругой оболочки 23
2.2. Связь между компонентами линейных и угловых перемещений пересекающихся оболочек 34
2.3. Условия сопряжения оболочек для произвольной гладкой границы 38
ГЛАВА 3. Аналитический метод решения задачи о пересечении круговых цилиндрических оболочек
3.1. Приложение теории Сандерса к описанию не-осесимметричного изгиба круговой цилиндрической оболочки 41
3.2. Решение дифференциального уравнения Симмон-дса. Однородное решение. Частное решение. Решение для случая нулевых корней характеристического уравнения 49
3.3. Системы координат и геометрия линии пересечения круговых цилиндрических оболочек
3.4. Граничные условия на линии пересечения круговых цилиндрических оболочек и на круговых торцах 65
3.5. Выполнение статических и кинематических условий совместности на линии пересечения круговых цилиндрических оболочек 68
ГЛАВА 4. Реализация на ЭЦВМ задачи о пересечении круговых цилиндрических оболочек
4.1. Алгоритм решения задачи 71
4.2. Особенности численной реализации задачи 82
4.3. Программа расчета на ЭЦВМ разветвлений круговых цилиндрических оболочек 86
ГЛАВА 5. Данные аналитического решения и экспериментальных исследований трубных пересечений
5.1. Постановка эксперимента 92
5.2. Сопоставительный анализ теоретических и экспериментальных результатов 96
5.3. Влияние геометрических параметров пересекающихся круговых цилиндрических оболочек на фактор концентрации напряжений ЮЗ
Выводы
Список литературы
Приложения:
- Методы исследования напряженно-деформированного состояния пересекающихся круговых цилиндрических оболочек
- Связь между компонентами линейных и угловых перемещений пересекающихся оболочек
- Решение дифференциального уравнения Симмон-дса. Однородное решение. Частное решение. Решение для случая нулевых корней характеристического уравнения
- Программа расчета на ЭЦВМ разветвлений круговых цилиндрических оболочек
Введение к работе
При сооружении объектов народного хозяйства широко применяются конструктивные"элементы типа пересекающихся круговых цилиндрических оболочек. Особенно часто они встречаются в системах магистральных и технологических трубопроводов в виде разного рода разветвлений трубопроводов, коллекторов, смотровых люков и т.д. Необходимость расчета конструкций такого типа на различные виды потери работоспособности требует разработки достаточно надежного метода определения концентрации и распределения упругих напряжений в области пересечения оболочек. Необъективная оценка уровня напряжений в зоне концентрации приводит либо к завышению запаса прочности трубного узла и^как следствие этого,неоправданным затратам материалов и труда на усиление конструкции, либо влечет за собой угрозу разрушения данного конструктивного элемента. Большие капиталовложения в строительство трубопроводных систем и высокая ответственность трубопроводов в общей схеме производств требуют эффективного расчетного анализа трубных узлов на стадии их проектирования.
В качестве расчетной схемы для трубного пересечения можно принять пересечение круговых цилиндрических оболочек. Научная практика уже знакома с решениями некоторых частных задач о пересечении круговых цилиндрических оболочек. В отечественных работах рассматривались, главным образом, ортогональные пересечения под действием внутреннего давления и при упрощенных граничных условиях на круговых торцах. Большинство решений основано на приближенных методах и носит оценочный характер. Не имеет еще достаточного отражения в отечественных исследованиях задача о неортогональном пересечении круговых
цилиндрических оболочек. Работы, выполненные в этих направлениях зарубежными авторами и опубликованные в доступных источниках, содержат, в основном, постановочные моменты и результаты машинного счета.
Настоящая работа предлагает единый подход к расчету трубных пересечений для широкого диапазона конструктивных параметров и нагрузок. В диссертации рассматриваются вопросы упругого расчета конструкций типа пересекающихся круговых цилиндрических оболочек, нагруженных плавноизменяющейся поверхностной нагрузкой и системой балочных сил и моментов на круговых торцах. Рассматривается случай, когда оси оболочек лежат в одной плоскости и образуют между собой произвольный угол.
Все основные зависимости метода решения получены для общего случая пересечения оболочек произвольного вида, что позволяет применять результаты данной работы для расчетов других типов пересечений.
На защиту выносятся следующие основные положения:
вывод статических и кинематических условий совместности на линии пересечения упругих тонких оболочек общего вида на основе принципа виртуальных работ применительно к теории оболочек Сандерса;
метод получения условий связи компонент линейных и угловых перемещений срединных поверхностей пересекающихся оболочек общего вида;
решение дифференциального уравнения Симмондса для не-осесимметричного изгиба круговой цилиндрической оболочки;
подход к решению упругой задачи о неортогональном пересечении круговых цилиндрических оболочек нагруженных плавноизменяющейся поверхностной нагрузкой и балочной системой сил и моментов на круговых торцах;
- численная реализация задачи о пересечении круговых
цилиндрических оболочек.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов, списка литературы и приложений. В первой главе проводится , анализ опубликованных работ по исследованию напряженно-деформированного состояния в зоне пересечения круговых цилиндрических оболочек, дается постановка задачи и обоснование выбранного метода решения. Во второй главе устанавливается связь между компонентами линейных и угловых перемещений срединных поверхностей пересекающихся оболочек и на основе теории Сандерса тонких упругих оболочек дается вывод условий сопряжения оболочек для регулярной границы. В третьей главе дается аналитическое решение задачи о пересечении круговых цилиндрических оболочек. Четвертая глава посвящена вопросам реализации задачи на ЭВМ и содержит описание машинной программы на алгоритмическом языке ФОРТРАН-ІУ. В пятой главе приводятся данные аналитического решения и экспериментальных исследований трубных пересечений, дается сопоставительный анализ теоретических и экспериментальных результатов.
Основные положения и результаты диссертационной работы были опубликованы в статьях автора [39У40] и доложены на научных семинарах и конференциях:
X семинар молодых и ученых специалистов ВНЙЙСТа, Москва, 1977;
Творческая конференция молодых ученых Миннефтегаз-строя СССР, Москва, 1979;
Всесоюзная конференция "Повышение надежности и долговечности магистральных газонефтепроводов", Киев, 1981.
Данные о внедрении результатов диссертационной работы приведены в приложении.
Методы исследования напряженно-деформированного состояния пересекающихся круговых цилиндрических оболочек
Вопросы расчета пересечений круговых цилиндрических оболочек начиная с 30-х годов привлекают внимание многих отечественных и зарубежных исследователей. Ввиду трудностей, возникших при реализации этой задачи в теоретической постановке, внимание было сосредоточено на экспериментальных методах исследования. Первые результаты были получены при тен-зометрических испытаниях моделей равно- и неравно-проходных ортогональных тройников, нагруженных внутренним гидростатическим давлением [1 -5, 44 -44 J . Эти результаты были дополнены более поздними экспериментами в аналогичной постановке
Большой цикл исследований ортогональных тройников проведен во ВНИИСТе [б, 7] . методом тензометрирования исследовалось напряженно-деформированное состояние на внутренней и наружной поверхностях тройниковых соединений при различных типах нагрузок и в широком диапазоне конструктивных параметров. Модели нагружались внутренним гидростатическим давлением, изгибающими моментами и, приложенной к патрубку аксиальной силой. Авторы отмечают увеличение концентрации напряжений в зоне сопряжения отвода и магистральной трубы при увеличении параметров Ъ0 /Им и Ъм/Н » где Д - диаметр отвода; ])п - диаметр магистральной трубы; h - толщина стенки трубы.
Результаты аналогичных экспериментов приведены в работе [46] , где исследовались тонкостенные модели ортогональных тройников из углеродистой стали. Модели нагружались внутренним давлением и системой сил и моментов, приложенных к отводу и к одному из торцов магистральной трубы, в то время как другой торец был жестко заделан. В статье не приводятся полностью результаты исследований, а дается только сравнение с решением, полученным методом конечного элемента для случая внутреннего давления и моментов, приложенных к отводу.
Изучению напряженного состояния зоны шва в сварных тройниках при изменении диаметра отвода посвящена работа [45]. По замеренным на сварном шве деформациям авторы определили, что при внутреннем давлении наибольший коэффициент концентрации имеет место в равнопроходных тройниках, то есть при равных диаметрах магистральной трубы и отвода.
Интересный результат приведен в работе [9] по материалам тензометрических исследований толстостенных тройников, работающих в упругой области. Авторы отмечают, что при нагружении внутренним давлением сварных тройниковых соединений примерно равнопрочных труб с отношением диаметров Д,/2?м=0,5 на внутренней поверхности магистральной трубы в плоскости, проходящей под углом 10-15 к плоскости соединения, возникает ярко выраженный пик напряжений (Ks2,6 +3J. С увеличением толщины стенки отвода максимальные напряжения уменьшаются, а место пика смещается в сторону увеличения угла.
Применению поляризационно-оптических методов для исследования тройниковых соединений посвящены работы [&)#7}88] . Здесь особо следует отметить метод "замораживания", который обладает большими возможностями в условиях сложной пространственной формы тройникового соединения [В] .
Конструктивно тройниковое соединение состоит из оболочки с вырезом и сопрягаемой с ней по контуру выреза другой круговой цилиндрической оболочкой, поэтому аналитическое решение задачи о пересечении двух круговых цилиндрических оболочек можно представить в виде решения двух частных задач: - решение для оболочки с вырезом; - решение для пересекающей оболочки. Далее эти самостоятельные решения увязываются на линии пересечения оболочек с учетом условий сопряжения. Задаче о круговой цилиндрической оболочке, ослабленной отверстием, посвящен большой цикл работ. Библиография по этому вопросу приведена в сборнике [11] , монографиях [15у32} 47,48] . В зависимости от относительных размеров выреза в круговой цилиндрической оболочке различны и подходы к решению задачи. Для малых отверстий решение, как правило, строится на базе теории пологих цилиндрических оболочек /36J. Классической работой по анализу напряжений в окрестности малого кругового выреза является работа А. И. Лурье [12] . Применив разложение по степеням малого параметра (ВГ0) , где Г0 - радиус кругового выреза, для решения уравнений пологой круговой цилиндрической оболочки, Лурье получил решение, которое практически может быть использовано, если характерный геометрический параметр оболочки (j5 Ґ0) лежит в диапазоне 0 j3/ 1 . При выполнении граничных условий на контуре выреза предполагалось, что окрестность отверстия мало отличается от пластины. Подобный подход получил распространение в более поздних работах других авторов. В другой работе [43] Лурье предложил метод, в котором решение представлено в виде разложения Фурье с экспоненциальной частью, выраженной в функциях Крылова. В 1964 году Леккеркеркер сделал сообщение [49] , в ко тором описал метод близкий к M3J . Новизна заключалась в том, что экспоненциальная часть выражалась в функциях Бессе ля. Это позволило расширить диапазон практического исполь зования решения до Г0 /R = Оу2 (с погрешностью решения в Ъ%), Такой же подход к решению задачи избрали и другие ав торы Г50-52] .
Связь между компонентами линейных и угловых перемещений пересекающихся оболочек
Аналогичная задача, рассмотрена в работе [71] . Для отвода использованы уравнения Флюгге, а для несущей оболочки - уравнения Доннелла. Решение уравнений строилось в форме тригонометрических рядов, причем для несущей оболочки экспоненциальная часть решения выражалась в функциях Бесселя, а для отвода представлена экопонентой. Граничные условия на линии пересечения выполнялись в дискретных точках. Результаты вычислений имеют только качественное согласие с экспериментом. Следует отметить, что система линейных алгебраических уравнений, полученная при выполнении условий совместности в отдельных точках границы, бывает плохо обусловленной. Поэтому для реализации ее на ЭЦВМ требуется эффективная процедура уравновешивания коэффициентов системы.
В работе [72] исследовалось влияние температурного фактора на концентрацию напряжений в зоне стыка двух нормально пересекающихся круговых цилиндрических оболочек равного диаметра. Решение задачи строилось в прямоугольных координатах на базе уравнений Морли тонкостенной теории оболочек. Решение уравнений получено с помощью рядов Фурье. Граничные условия на линии пересечения оболочек выполнялись в дискретных точках.
Большие математические трудности, возникающие при точном аналитическом решении задачи о пересечении круговых цилиндрических оболочек, вызвали ряд оценочных решений этой проблемы, позволяющих в первом приближении судить о величине концентрации напряжений в зоне стыка оболочек. К примеру, в работе [31] сформулирована упрощенная задача, основанная на том .факте, что максимальные напряжения имеют место в точках сопряжения, лежащих в продольной плоскости симметрии конструкции. Автор исследовал краевой эффект в этой зоне, решая задачу о пересечении балок на упругом основании.
При постановке упрощенных задач часто производится замена одной из оболочек более простым конструктивным элементом, например, в работе [50] пересекаемая оболочка заменена эквивалентной по жесткости пластиной; в работе [26] отвод аппроксимировался системой дискретных абсолютно жестких ребер бесконечно малой толщины.
Появление быстродействующих вычислительных машин с большими объемами памяти позволило обратиться к численным методам решения проблемы пересечения оболочек, в частности, к методу конечного элемента (МКЭ).
В работе [65] МКЭ применялся для расчета нормально пересекающихся круговых цилиндрических оболочек, нагруженных внутренним гидростатическим давлением. Исследовалась конструкция с отношением диаметров пересекающихся оболочек 1:2. Оболочки аппроксимировались совокупностью плоских треугольных элементов с 12 степенями свободы (3 линейных перемещения в каждом узле и изгибающий момент на каждой стороне элемента). Четыре треугольные элемента объединялись в неплоский четырехугольный элемент с 16 степенями свободы. Вследствие того, что конструкция имеет две плоскости симметрии, то для решения задачи достаточно было смоделировать четвертую часть конструкции. В зоне концентрации напряжений использована сгущающаяся сетка разбиения на элементы.
В работе f64J на основе МКЭ исследовалось распределение напряжений на участке разветвления оболочек, когда узел между осями отвода и несущей оболочки принимал значения 90,60,30 градусов. Конструкция нагружалась внутренним гидростатическим давлением и силой, приложенной к отводу в плоскости осей оболочек. Для дискретизации конструкции применялись плоские четырехугольные элементы с 16 степенями свободы, аналогичные [65] . Результаты расчета сравнивались с экспериментальными данными. При этом, отмечалось существенное расхождение с экспериментом для случая неортогонального расположения отвода.
В работе [В 9] рассматривалось К -образное сопряжение оболочек. Здесь МКЭ реализовался в форме метода перемещений. Для аппроксимации конструкции использовались плоские треугольные элементы с 15 степенями свободы (по 3 линейных перемещения в каждой вершине и 2 угловых перемещения относительно осей, лежащих в плоскости симметрии элемента). В пределах элемента тангенциальные перемещения представлены, как линейные функции координат, а перемещение, нормальное к срединной поверхности, как полином третьей степени. Четыре треугольные элемента объединялись в неплоский четырехугольный элемент с 20 степенями свободы.
В работе Г46] применялся пространственный четырехугольный элемент для расчета нормально пересекающихся оболочек, нагруженных внутренним давлением и произвольной системой сил и моментов на круговых торцах. Результаты расчета хорошо согласуются с экспериментом.
Оболочечные конечные элементы использованы в работе [J4J для исследования влияния геометрических параметров подкрепленных и неподкрепленных трубных конструкций на величину концентрации напряжений в зоне сопряжения оболочек. Применение пространственных конечных элементов для расчета трубных пересечений можно найти также в работах [27,66,67].
Решение дифференциального уравнения Симмон-дса. Однородное решение. Частное решение. Решение для случая нулевых корней характеристического уравнения
Координатная плосксоть 2У» в которой лежат оси пересекающихся оболочек, является плоскостью симметрии конструкции. Внутреннее давление Р и компоненты вектора сил FY 7 Fz и вектора моментов Мх на круговых торцах создают в оболочках напряженно-деформированное состояние, симметричное относительно плоскости Zy . Нагрузка, представленная компонентами FX?MH? My, действует в ортогональной к пл. %У плоскости и вызывает кососимметричное относительно пл. Zy напряженно-деформированное состояние.
Сумма решений симметричной и кососимметричной задач.дает полное решение для общего случая нагружения.
Если рассматривается симметричная задача, то в плоскости %У должны соблюдаться условия симметрии решения, то есть для каждой из сопрягаемых оболочек при значениях окружных координат ( V9, в )=0, X должны выполняться следующие равенства: Условия симметрии (4.1) будут тождественно выполняться, если в решении (3.24), (3.25) сохранять только члены, содержащие функцию cos(nQ) . В случае кососимметричной задачи при значениях окружных координат ( f, G )= О, X должны соблюдаться условия косой Наличие симметрии в решении позволяет рассматривать не всю конструкцию, а только часть ее, лежащую по одну сторону от плоскости % У. Для симметричной (кососимметричной) задачи в случае сопряжения трех оболочек с индексами 01, 02, 03 общее число неизвестных постоянных интегрирования составит 18 +fN0 + М02 + + Noi) » гДе Чч, N02, 03 " число гармоник в реше нии у соответствующих оболочек. Если рассматриваемую конструкцию зафиксировать в пространстве по плоскости сопряжения оболочек 01 и 02, это будет равносильно исключению шести произволов интегрирования из общего числа неизвестных постоянных. Жесткое закрепление одного из торцов, сопрягаемых оболочек уменьшает количество неизвестных на три, что соответствует ограничению трех степеней свободы у закрепляемой оболочки; В качестве первого приближения на круговых торцах оболочек принимаются безмоментные граничные условия. Считается, что затухающая часть решения не достигает круговых тор-цев. Это допущение позволяет определить неизвестные постоянные неэкспоненциального решения, за исключением произволов, характеризующих смещение оболочки как жесткого целого, из граничных условий на круговых торцах. Частное решение уравнения (3.13) принимаем в виде квадратур по безмоментной теории круговых цилиндрических оболочек. Это решение входит в правую часть зависимостей (3,9). Если оболочка нагружена внутренним гидростатическим давлением, то частное решение будет иметь вид: для оболочки с открытыми торцами: граница ОА пересечения оболочек 01 и 02; граница АВ пересечения оболочек 02 и 03; граница АС пересечения оболочек 01 и 02. Для каждого участка линии пересечения оболочек составляются условия совместности (2.59) и (2.69) с матрицей [(?] в виде (3.61а). Статические и кинематические условия совместности на каждом участке линии пересечения выполняются в дискретных точках. Для каждой точки коллокации записываются восемь уравнений совместности. В итоге получается система, содержащая 8М линейных алгебраических уравнений, где М -суммарное число точек коллокации по всем участкам. В соответствии с принятыми обозначениями (3.74) результирующая система уравнений имеет вид: ГА] [С] -[Н] ft.6) Если матрицы усилий и перемещений, входящие в условия совместности (2.59, 2.69), представить как показано на рис. II, то матрица [С] неизвестных постоянных, матрица [А] коэффициентов при неизвестных и матрица [HJ правых частей будут иметь структуру, изображенную на рис. 12. Компоненты матриц даны в таблицах 3, 4, 5. В системе (4.5) коэффициенты при неизвестных будут различаться на несколько порядков, поскольку в одни уравнения входят силовые факторы, в другие - перемещения. Как известно, точность машинного решения системы линейных алгебраических уравнений зависит от того, в какой степени уравновешены элементы матрицы [А] . Для повышения точности решения системы следует провести масштабирование ее коэффициентов. Для этого все уравнения системы (4.5) умножаются на коэффициент К і у где:
Программа расчета на ЭЦВМ разветвлений круговых цилиндрических оболочек
Один из вопросов, который приходится решать при постановке задачи на ЭЦВМ, состоит в получении хорошо уравновешенной матрицы коэффициентов при неизвестных в системе линейных алгебраических уравнений (3.70). Эта цель достигается масштабированием системы линейных алгебраических уравнений и использованием ряда допущений, исходящих из физической сущности задачи. Масштабирование выполняется умножением каждого коэффициента системы (3.70) на множитель (4.6), что позволяет привести к одному порядку уравнения для усилий и перемещений, входящие в систему линейных алгебраических уравнений.
В ходе счета контрольных примеров замечено, что в зоне, примыкающей к плоскости симметрии конструкции, составляющие решения, соответствующие корням характеристического уравнения К,, и К2 , на 2-3 порядка меньше компонент решения, соответствующих корням К5 и Кц . Этот факт можно объяснить тем, что корни К4 и К2 определяют быстрозатухающий процесс типа простого краевого эффекта, а корни К3 и К4 соответствуют медленно затухающему чисто моментному состоянию оболочки. В зоне, прилегающей к плоскости симметрии конструкции, напряженно-деформированное состояние оболочки близко к простому краевому эффекту, то есть характер напряженно-деформированного состояния определяется корнями КА и К2 .
При удалении от плоскости симметрии пересечения составляющие решения соответствующие корням К5 и К4 , возрастают и становятся того же порядка величины, что и составляющие решения для корней КА и К2 . Это соответствует известному факту, что в зоне, где линия пересечения касается асимптотических линий оболочки, имеет место обобщенный краевой эффект. Из данных рассуждений следует, что для повышения точности решения необходимо рассматривать отдельно участки примыкающие к продольной плоскости симметрии конструкции и зону обобщенного краевого эффекта. Для зоны простого краевого эффекта из решения можно исключить составляющие решения, соответствующие корням К3 и К4 , что позволяет получить хорошо уравновешенную матрицу [А] ДЛЯ этого участка.
Для зоны обобщенного краевого эффекта составляющие решения, соответствующие корням К4 К2 и К3, Кц имеют один порядок величины, поэтому матрица ("Д] ДЛЯ ЭТОГО участка также будет хорошо уравновешена. Точки коллокаций для зоны простого краевого эффекта следует группировать в области, .при приближенной к плоскости симметрии конструкции. Если исследуется область обобщенного краевого эффекта, то точки колло-каций следует располагать ближе к плоскости . Соответственно решение, полученное для данного способа группировки точек коллокаций, с большей степенью точности будет характеризовать напряженно-деформированное состояние в зоне концентрации точек коллокаций, чем в любом другом месте линии пересечения.
Количество гармоник, которое необходимо сохранить в решении для получения заданной точности решения, исследовано на примере расчета ортогонального пересечения круговых цилиндрических оболочек, нагруженных внутренним гидростатическим давлением. На рис. 13 показаны амплитудные значения гармоник решения в зависимости от номера гармоники. Решение получено для изгибающих моментов М и Mf в координатных площадках пересекающей оболочки в плоскости симметрии конструкции. Из графика 13а видно, что для получения решения с удовлетворительной степенью точности в разложении достаточно сохранить гармоники до номера N = 10, 12. Сохранение большего числа гармоник в решении может привести к снижению точности решения задачи вследствие увеличения размеров матрицы коэффициентов при неизвестных [А] И как следствие этого накопление ошибки при решении системы (3.75).
Как показывают контрольные расчеты, на точность решения влияют также относительные величины геометрических параметров пересекающихся оболочек. Хорошая точность решения задачи на ЭЦВМ имеет место, когда жесткости пересекаемых оболочек сопоставимы между собой. В случае существенного различия в жесткостях пересекаемых оболочек точность решения понижается вследствие неуравновешенности матрицы коэффициентов
