Содержание к диссертации
Введение
1: Исходные соотношения, описывающие нелинейное напряженно- деформированное состояние пластин и оболочек вращения при статиче ском и динамическом нагружении 10
1.1. Деформированное состояние. Геометрически нелинейные соотношения для двумерных краевых задач 16
1.1.1. Уравнения теории пластин и оболочек Тимошенко 17
1.1.2. Геометрические параметры для оболочек вращения и пластин 19
1.2. Напряженное состояние. Физические соотношения для неод нородных оболочек 22
1.2.1. Однослойные ортотропные оболочки. 23
1.2.2. Многослойные оболочки из композиционных материалов 25
1.2.3. Соотношения деформационной теории пластичности 28
1.3. Статика оболочек. Вариационный принцип Лагранжа и урав нения равновесия 31
1.4. Динамика оболочек. Вариационный принцип Остроградского- Гамильтона и уравнения движения 34
1.5. Граничные и начальные условия для оболочек, пластин и панелей 35
1.6. Деформирование пластин и оболочек с вырезами. 37
1.7. Формулировка начально-краевой задачи об ударном взаимо действии оболочек с жесткими массами 40
1.7.1. Удар жесткой массой по боковой поверхности оболочки 40
1.7.2. Торцевой удар 43
2. Вариационно-разностная формулировка исходной нелинейной начально-краевой задачи 45
2.1. Основные этапы вычислительного эксперимента в механике пластин и оболочек 45
2.2. Построение разностной схемы. 49
2.2.1. Конечно-разностная аппроксимация параметров деформиро ванного состояния пластин и оболочек 51
2.2.2. Конечно-разностная аппроксимация параметров напряжен ного состояния пластин и оболочек 55
2.2.3. Построение PC.при решении физически нелинейных задач 55
2.3. Построение конечно-разностных аналогов уравнений равновесия 57
2.4. Построение конечно-разностных аналогов уравнений движения. 67
2.5. Конечно-разностная аппроксимация граничных и начальных условий. 70
2.5.1. Аппроксимация граничных условий на внешнем и внутрен нем контуре оболочки, совпадающем с координатными линиями. 70
2.5.2. Конечно-разностная аппроксимация начальных условий. 74
2.6. Особенности конечно-разностной аппроксимации задачи об ударном взаимодействии оболочек с жесткими массами при боковом и торцевом ударе. 75
2.7. Особенности построения ВРС для случая неравномерных сеток 77
3. Численные методы решения сеточных уравнений. 81
3.1. Численное решение нелинейных статических задач теории оболочек 81
3.1.1. Решение статических задач теории оболочек методом установления. 81
3.1.2. Определение оптимальных значений параметров итерационного процесса 86
3.1.3. Ускорение сходимости метода установления в задачах статики теории пластин и оболочек 95
3.1.4. Особенности применения метода установления при решении физически нелинейных задач 98
3.2. Численное решение нестационарных задач теории пластин и оболочек 99
3.3. Особенности построения численных решений статических и динамических задач для оболочек вращения с жестким шпангоутом 102
3.4. Исследование влияния параметров разностной схемы на сходимость и точность результатов численных решений 104
3.3.5. Правило Рунге оценки погрешностей численных решений 108
3.3.2. Влияние параметров искусственной вязкости на сходимость итерационного процесса 111
3.3.3. Зависимость численных решении от параметров сетки 113
4. Исследование нелинейных процессов деформирования оболочечных конструкций при комбинированном нагружении 119
4.1. Исследование зависимости несущей способности тонких пластин от скорости соударения с жестким ударником 119
4.2. Нелинейное деформирование статически нагруженной цилин дрической оболочки с прямоугольными вырезами при торцевом ударном нагружении. 123
4.3. Переходные процессы в предварительно нагруженной цилинд рической композиционной оболочке с прямоугольными вырезами при ударном нагружении 132
Выводы 142
- Напряженное состояние. Физические соотношения для неод нородных оболочек
- Удар жесткой массой по боковой поверхности оболочки
- Конечно-разностная аппроксимация граничных и начальных условий.
- Особенности построения численных решений статических и динамических задач для оболочек вращения с жестким шпангоутом
Введение к работе
Тонкостенные пластины и оболочки, выполняющие несущие функции, широко применяются в различных отраслях современного машиностроения и строительства. Исследование прочностной надежности тонкостенных конструкций, испытывающих в процессе эксплуатации воздействие статических и динамических нагрузок различного вида, является интенсивно развивающимся разделом механики деформируемого твердого тела. Одним из наиболее опасных для пластин и оболочек является сочетание статических нагрузок с различного вида кратковременных динамических воздействий [24,70,74]. Такие виды комбинированного на-гружения зачастую приводят к систематическому прощелкиванию тонкостенных элементов с последующим образованием усталостных трещин. К числу динамических нагрузок относится не только воздействие ударных волн различного характера по поверхности или краевому контуру конструкции, но и ударное воздействие различными скоростными жесткими телами - ударниками. Проблема взаимодействия тонкостенных конструкций с твердыми ударниками и, как следствие, проблема их пробивания является весьма актуальной для различных областей современной техники, в частности, для проектируемых космических станций - в связи с опасностью столкновениях космическим мусором, метеоритным дождем и т.п., когда скорости соударения могут иметь порядок УЦОД-ИО) км/с. Аналогичные проблемы возникают и при оценке взрывобезопасности конструкций в аварийных условиях, а также при оценке остаточной несущей способности (остаточной прочности) поврежденных пластин и оболочек.
Необходимо отметить, что в отличие от исследования поведения тонкостенных конструкций при различных видах статических и динамических нагрузок, решение задач о комбинированном нагружении неоднородных пластин и оболочек сопряжена со значительными трудностями [70,74]. Это обусловлено как сложностью современных конструкций с несущими тонкостенными элементами, обладающими особенностями и неоднородностями различного рода, внедрением перспективных композиционных материалов с ярко выраженной анизотропией физико-механических характеристик, так и экстремальностью условий эксплуатации и высокими требованиями к прочностной надежности конструкций.
Поскольку практическая отработка поведения конструкций на основе натурного физического эксперимента сопряжена, как правило, со значительными трудностями, то в настоящее время для исследования особенностей деформирования пластин и оболочек при различных видах нагружения широко используется вычислительный эксперимент, заключающийся в исследовании реальных процессов методами вычислительной математики;Важнейшим этапом вычислительного эксперимента является разработка и развитие адекватных математических моделей, экономичных численных методов и алгоритмов и их практическая реализация в виде пакетов прикладных программ для ЭВМ. Использование таких пакетов существенно сокращает сроки проектных работ и дает возможность оптимизировать конструкцию по широкому спектру конструкционных, технологических, эксплуатационных и экономических требований.
К настоящему времени как в нашей стране, так и за рубежом выполнены значительные фундаментальные, прикладные и экспериментальные исследования по механике пластин и оболочек. Однако, известные результаты исследования процессов деформирования неоднородных тонкостенных конструкций сложной геометрии при статическом и динамическом силовом нагружении в рамках нелинейных моделей с учетом реальных конструктивных особенностей, физико-механических свойств материалов, условий эксплуатации и т.д., не охватывают многие важные в практическом отношении задачи. Это обусловлено, в первую очередь, трудностями математического характера, возникающими как при разработке физико-математических моделей процессов деформирования тонкостенных конструкций при сложном, комбинированном нагружении, так и при реализации численных решений для соответствующих дискретных моделей на ЭВМ. Следует отметить, что среди всего многообразия форм тонкостенных конструкций наибольшее распространение как в машиностроении, так и строительстве получили оболочки вращения. При этом в большинстве случаев конструкции обладают теми или иными особенностями и неоднородностями: локальным или общим изменением толщины, наличием вырезов, вносимым по конструктивным либо технологическим соображениям, анизотропией используемых многослойных композиционных материалов и т.д. Современные требования к адекватности расчетных моделей обуславливают также необходимость учета так называемых "усложняющих" факторов: нелинейностей геометрического и физического типа, т.к. рассматриваемые особенности деформирования конструкций могут быть описаны только с позиций нелинейной теории пластин и оболочек.
Напряженное состояние. Физические соотношения для неод нородных оболочек
Напряженное состояние в точке характеризуется симметричным тензором напряжений где ти- нормальные напряжения; ап - a2i,cru = 0-3,, = аъг - касательные напряжения. Далее для касательных напряжений используются обозначения r{. = ai}. Тензор напряжений может быть представлен в виде суммы шарового тензора и девиатора напряжений Dff Внутренние усилия и моменты, приведенные к координатной поверхности оболочки, определяются через компоненты тензора напряжений по формулам Тм = jou(l + zk2)dz; Т12 = где Tjj =Tli(a1,a3), Ту = Т (а,,а2), Qi3 = ( 3(0 ,а2)- нормальные, сдвигающяеи перерезывающие силы, Мп =М!;(а1;а2), М- =М (а[,а2) - изгибающие и крутящие моменты, h = h(at,a2)- толщина оболочки; (ij-1,2). Принятые положительные направления для усилий и моментов показаны на рис. 1.10. Вместо сдвигающих сил Т Дгі и крутящих моментов Мі2,М2] в теории оболочек вводятся статически им эквивалентные симметричные факторы Рассмотрим физические соотношения для ряда частных случаев неоднородных оболочек. Для анизотропного материала, у которого в каждой точке существуют три ортогональные плоскости упругой симметрии, перпендикулярные соответствующим координатным направлениям;аьа2,аз (ортотроиного материала), уравнения обобщенного закона Гука в предположении т31= 0 записываются в виде [3,22] где Ei,E2 - модули Юнга по координатным направлениям ai,a2;Gi2,Gi3,G23 - модули сдвига, v,2,v21 - коэффициенты Пуассона, первый индекс указывает направление действующего напряжения, а второй — направление возникающей прш этом поперечной деформации. При этом Физико-механические характеристики, материала оболочки — Ei,E2,V2,v21. Gi2,G]3,G23 - в общем случае являются функциями координат ai,ct2,z. Многие современные композиционные материалы (например, волокнистые композиты) в силу особенностей технологии их изготовления являются трансверсально изотропными в поперечной плоскости. В трансверсально изотропном теле все направления в плоскости изотропии и направление, перпендикулярное этой плоскости, являются главными направлениями упругости.
Для такого тела главные оси деформированного состояния совпадают с главными осями напряженного состояния, если одна из главных осей напряженного состояния перпендикулярна плоскости изотропии. Число независимых коэффициентов, характеризующих упругие свойства такого тела, равно пяти [11,22]: Для рассматриваемого случая трансверсальной изотропии: Е2 - модуль упругости в плоскости изотропии, Ei - модуль упругости в направлении, перпендикулярном плоскости изотропии, G23 - модуль сдвига в плоскости изотропии, Gi3=Gi2- модули сдвига в плоскостях, перпендикулярных плоскости изотро-ram,v2I,v,2- коэффициенты Пуассона, характеризующие сокращения в плоскости, изотропии и в направлении, перпендикулярном этой плоскости при растяжении в плоскости изотропии; При этом Формулы для усилий и моментов получаются при выполнении операции интегрирования по толщине оболочки в (1.28) с учетом зависимостей (1.15),(1.30) и пренебрежении членами порядка h/Rj. Для случая однослойной ортотропной оболочки, принимая в качестве координатной срединную поверхность оболочки, можно получить следующие выражения для усилий и моментов В (1-34) к2 = 5/6 - коэффициент сдвига, учитывающий параболический ЗІ кон распределения поперечных касательных напряжений по толщине. Для оболе чек, изготовленных из изотропного материала, в формулах (1.33),(1.34) следуе положить: Ei=E2=E, vi2 v2i=v, Рассмотрим многослойную оболочку, собранную из N анизотропных слоеь различной толщины, жестко связанных между собой в единый пакет (рис. 1.11). Индекс "і" используется для нумерации слоев, а также обозначения расчетных параметров и физико-механических характеристик слоя {i 1,2,3,...,N). Предполагается, что слои деформируются без взаимного скольжения и отрыва, так, что для всего пакета в целом могут быть приняты гипотезы Тимошенко. В качестве координатной принимается срединная поверхность оболочки, но может быть принята срединная поверхность любого слоя, либо одна из поверхно стей контакта слоев. Главные направления упругости Xj,y/ материала /-го слоя могут быть ориентированы по отношеншо к координатным направлениям аьсі2 под некоторым углом (р/ (рис. 1.12).
Тогда силовые факторы в многослойной оболочке выражаются через компоненты тангенциальной, изгибной и трансверсальной деформации координатной поверхности следующим образом Жесткостные коэффициенты АщпЗптїСптДЗгіт определяются через упругие характеристики слоев и их толщины по формулам Коэффициенты B выражаются через характеристики материала /-го слоя в системе координат главных направлений упругости x/,y/,z по следующим формулам преобразования В соотношениях (1.37),(1.38) Е(х!),Е(у0,vg,v ,Gg,G ,Gg- модули Юнга, коэффициенты Пуассона и модули сдвига материала 1-го слоя в системе координат x,y,z. Полагая физико-механические характеристики материала г-го слоя неизменными в пределах слоя и отсчитывая координату z от внутренней поверхности оболочки, формулы (1.36) можно привести к виду С точки зрения технических приложений наибольший интерес представляет симметричная относительно срединной поверхности схема укладки слоев, когда каждому слою, армированному под углом +q zv соответствует такой же слой с углом армирования -ф,. Большинство автоматизированных технологических процессов формирования многослойного пакета обеспечивают именно симметричную укладку или же взаимное переплетение смежных симметричных слоев с углами ±ф-. В данном случае для упрощения формул в качестве координатной следует принимать срединную поверхность, которая в случае четного числа слоев будет проходить по границе смежных слоев, а при нечетном - через середину срединного слоя [22]. Формулы для определения жесткостных характеристик, входящих в соотношения упругости (1.35), в данном случае приобретают вид где n,m=l,2. Остальные жесткостные параметры равны нулю. В случае нечетного числа слоев срединный слой условно разделяется срединной поверхностью на два; слоя, т.е. суммарное число слоев увеличивается на единицу. В равенствах (1.40) суммирование производится по слоям, лежащим по одну сторону от координатной поверхности.
Удар жесткой массой по боковой поверхности оболочки
Проблема взаимодействия тонкостенных конструкций типа пластин и оболочек с твердыми высокоскоростными ударниками и, как следствие, проблема их пробивания является весьма актуальной для различных областей современной техники. При проектировании космических, станций необходимо учитывать высокую вероятность столкновения их в процессе эксплуатации с космическим мусором, метеоритным дождем и т.п., когда скорости соударения могут иметь порядок V«(0,l-rlO) км/с. Аналогичные проблемы возникают и при оценке взрывобе-зопасности конструкций в аварийных условиях, а также.при оценке остаточной несущей способности (остаточной прочности) поврежденных оболочек. В данном параграфе разрабатывается физико-математическая модель для задачи о взаимодействии системы "оболочка-ударник" для случая бокового (по поверхности) и торцевого (краевого) удара, позволяющая оценивать кинематические и силовые параметры динамического процесса: силу удара, перемещения и ускорения, остаточные прогибы и т.д. При формулировке задачи о динамическом взаимодействии жесткого (не-д сформируемо го) тела (ударника) массой m с оболочкой уравнения движения тела записываются в виде где vm - перемещение тела, Fs - реакция оболочки на ударное воздействие. Начальные условия для уравнений (1.75) в момент удара (t=to=0) имеют вид где V0 - скорость соударения тела с оболочкой. Рассматривается случай нормального ударника vm совпадает с нормальной компонентой перемещения (прогибом) m w оболочки (рис. 1.17). Зона контакта представляет собой некоторую область Q на боковой поверхности оболочки, ограниченную контуром длиной G=G(ai,cc2,t) и площадью F=F(a]jO:2,t) для всех (0.1,0 eQ). В начальный момент времени to: F=G=0. .В зоне П реализуются следующие кинематические условия жесткого контакта тела с оболочкой Функция vm(t) зависит от развития процесса взаимодействия ударника и оболочки ив текущий момент времени t определяется формой и размерами кон- тактирующей части ударника в зоне контакта С1. Реакция оболочки Fs определяется контурным интегралом вида где ds - дифференциал дуги. Обобщенная перерезывающая сила Qnn, распределенная по контуру G, вычисляется как где a - угол между нормалью п и координатной линией а2, перерезывающие силы Qn»Q22 определяются формулой (1.56).
Для частного случая, когда контур G совпадает с координатными линиями ai,a2 так, что область П ограничена контурами Г],Гз (для av const) и Г2,Г4 (для a2-const), выражение (1.78) записывается в виде Условия отскока (отсутствия контакта) формулируются в виде Представленная модель (1.75)-( 1.81) ударного взаимодействия оболочки с жестким телом позволяет не только определять параметры НДС оболочки, но и время активного периода взаимодействия, ускорения и силу удара F =abs(Fs) и т.д. Данная модель представляет собой некоторый аналог подвижной заделки на боковой поверхности оболочки при соответствующих кинематических и силовых условиях контакта в зоне П. Аналогичная модель ударного взаимодействия может быть построена также при косом, под некоторым углом 9 по отношению к нормали к поверхности оболочки, соударении ударников с оболочкой. При моделировании задачи о торцевом ударе по оболочке вращения предполагается, что ударное воздействие ударника массой т, движущегося со скоростью VQ, воспринимается недеформируемым элементом — диском или круговым шпангоутом (кольцом), жестко связанным с соответствующим краем оболочки (например, cti=0 на контуре Г0, рис. 1.18). Предполагается, что движение кольцевого шпангоута характеризуется только перемещением vm=vm(t) как жесткого целого вдоль оси вращения оболочки. Кроме того, на оболочку через шпангоут может передаваться осевая нагрузка F , которая в общем случае является функцией времени F =F (t), в частном случае (как для задач статики, так и при комбинированном нагружении - динамики) F =const (F =0). Положительные направления для vm и F показаны на рис. 1.18. Уравнение движения недеформируемого шпангоута с учетом реакции оболочки Fs и заданной нагрузки — осевой силы F - имеет вид где Msm m+Mjh, Msh - масса шпангоута. После выполнения условий отскока ударника (1.81): Реакция оболочки вычисляется интегрированием по контуру Г0 (рис. 1) где в соответствии с принятыми положительными направлениями для силовых факторов На контуре Го формулируются следующие кинематические граничные условия для жёстко связанных между собой оболочки и шпангоута (рис. 1.18) где звездочками отмечены заданные перемещения на контуре оболочки Го. Начальные условия для уравнения движения недеформируемого шпангоута (1.82) в момент удара (t=to=Q) для общего случая комбинированного нагружения (например,, «статика-динамика») имеют вид где v - перемещение шпангоута в результате предварительного статического деформирования оболочечной конструкции. В частном случае Используемая для описания напряженно-деформированного состояния разрешающая система исходных нелинейных двумерных дифференциальных уравнений теории оболочек Тимошенко имеет десятый порядок при соответствующих граничных условиях на внешнем и внутреннем краях оболочек. Аналитическое решение этих уравнений удается получить только для ряда частных случаев - оболочек простой геометрии при определенных видах нагружения [22,81]. В настоящее время для теоретического исследования процессов статического и динамического деформирования пластин и оболочек широко используется вычислительный эксперимент (ВЭ), заключающийся в исследовании реальных процессов методами вычислительной математики [12,105,118]. Вычислительный эксперимент включает в себя несколько этапов. На первом этапе разрабатывается физико-математическая модель оболочки.
При построении физической модели учитывается, какие параметры конструкции являются определяющими в данном исследовании, а какими можно пренебречь. Физическая модель описывается с помощью математической модели - системы дифференциальных или интегральных уравнений, которые обычно выражают законы сохранения основных физических величин. Первый этап вычислительный эксперимент был реализован в предыдущей главе настоящей работы. На втором этапе ВЭ разрабатывается дискретная модель исходной интегро-дифференциальной задачи, а также вычислительный алгоритм для соответствующего численного метода решения задачи. Вычислительный алгоритм должен обеспечивать решение задачи с заданной точностью 5 0 за конечное число действий п(5). Разработанная физико-математическая модель, сформулированная в функциях от непрерывных координат, сводится к конечномерной, что связано с необходимостью преобразования дифференциальной задачи к чисто алгебраической форме, обеспечивающей возможность реализации решения на ЭВМ. Это достигается путем построения соответствующей разностной схемы (PC). При построении PC осуществляется дискретизация исходной континуальной задачи, что позволяет ;перейти от бесконечного множества чисел, представляющих функции непрерывных аргументов, к конечному множеству параметров как функциям дискретного аргумента. В теории оболочек для построения разностных схем наиболее широко используется метод конечных элементов (МКЭ) и метод конечных разностей (МКР). Третий и четвертый этапы заключаются в программировании вычислительного алгоритма и проведении расчетов на ЭВМ. Пятый этап - это анализ полученных численных результатов и, возможное последующее уточнение физико-математической модели конструкции. Вычислительный эксперимент, затраты на проведение которого существенно меньше затрат на натурный физический эксперимент, позволяет еще на стадии проектирования проводить оптимизацию конструкций по различным параметрам. Кроме того, во многих случаях бывает невозможно при помощи экспериментального оборудования воспроизвести реальные условия работы оболочечных конструкций. Метод конечных элементов представляет собой один из видов вариационно-разностных методов [12,29,78,84,93,98,104]. В МКЭ аппроксимируется само решение задачи при помощи базисных функций. Дискретизация МКЭ начинается с разбиения конструкции с помощью некоторой сетки на неперекрывающиеся подобласти конечных размеров - конечные элементы (КЭ), взаимосвязанные между собой в узловых точках.
Конечно-разностная аппроксимация граничных и начальных условий.
Граничные илачальные условия должны быть аппроксимированы разностными, операторами того же порядка аппроксимации, что и основные уравнения. Если же основные уравнения аппроксимируются с порядком kj, а краевые или начальные условия - с порядком k2 (ki k2), то порядок аппроксимации к всей PC определяется как =min(kbk2) [12,13,104]. Рассмотрим конечно-разностную аппроксимацию граничных условий, когда края оболочки совпадают с координатными линиями он =const или o const. Краям оболочки a,i=const соответствуют узловые точки с индексами ї=0 (контур Г3) и i=N (контур Г]), а краям a2=const - с индексами j=0 (контур Г4) и j=M (контур Г2). Граничные условия аппроксимируются в узлах основной сетки ij (рис. 2.6). При этом вводится по одному ряду законтурных (фиктивных) узлов на каждом краю оболочки, в которых определяются законтурные значения сеточных функций обобщенных перемещений через значения сеточных функций в граничных и внутренних узлах. Так, например, при задании на контуре Г3 неоднородных граничных условий типа жесткого защемления (1.61) сеточные функции обобщенных перемещений в узловых точках контура i=0 и в законтурных узлах с индексами (і-Гj) определяются в явном виде из следующих конечно-разностных аппроксимаций (рис2.6а): При задании граничных условий типа подвижного защемления (1.65) или шарнирного опирання (167) сеточные функции обобщенных перемещений в граничных узлах: Ujj - для (1.65) или u;j,(yi)ij - для (1.67), определяются из решения основных уравнений, получаемых при варьировании 3(ij) по тем перемещениям, которые не заданы на контуре: - условия (1.65): варьирование только по и-ц S9ti,j) -условия (1.67): варьирование только по U;J и (уОц .. На рис. .2.6 заштрихованы участки PC, для которых выполняются операции численного интегрирования относительно узловой точки ij, принадлежащей кон- туру.
Весовые коэффициенты в конечно-разностных аналогах уравнений равновесия (2.24) на контуре Гз принимают следующие значения: При расчете оболочек с вырезами, края которых совпадают с одной или несколькими координатными линиями, разностная сетка строится таким образом, чтобы линия, отображающая на плоскости главных координат a],ct2 линию контура выреза, проходила через узловые точки основной сетки (рис.2.7). Сеточные функции обобщенных перемещений и их скоростей в узловых точках на контуре выреза определяются из решения основных уравнений, аппроксимированных в этих узлах. На рис.2.6,27 заштрихованы участки сеточной области, в которых вы полняются, операции численного интегрирования для узловых точек контура вы- - реза. Нерегулярные узловые точки на контуре выреза могут быть классифицированы следующим образом: а) узловые точки на гладких участках краев ai=const (Г,Г3) и a2=const (Г2,Г4); б) узловые точки в угловых точках AJBfC,D (рис.2.7). Значения весовых коэффициентов для нерегулярных узловых точек на контуре выреза даны в Табл. 2.1,2.2. Весовые коэффициенты с в угловых точках выреза принимают значение с =0,75, а в остальных узловых точках контура выреза Г Гг, v Г3,Г4 с =0,5. Для разработанной ВРС при построении сеточных аналогов уравнений равновесия (2.24) используются значения силовых факторов только в точках типа a,b,c,d (рис.2.1), поэтому не возникает трудностей при вычислении усилий и моментов на контуре выреза. В связи с этим ВРС (2.22)-(2.24) является наиболее универсальной и позволяет эффективно проводить исследования для оболочек с вырезами с учетом физической нелинейности, а также для многослойных оболочек из композиционных материалов. Начальные условия (1.69) аппроксимируются следующим образом (рис. 2.8) В начальный момент времени tm 0 вариации обобщенных перемещений равны нулю, поэтому с учетом построения дискретизированного функционала 1м (237), начальный временной слои п=0 полагается совпадающим с узлом основной сетки (рис. 2.8). Уравнения (2.39) реализуются только для слоев с п 0. Для начального слоя гН) весовые коэффициенты в (2.39) равны: [=0; їгі=1; f =0,5. Поскольку ис- пользуется скрещивающаяся PC, в которой сеточные функции обобщенных перемещений uk(i j) соотносятся с узлами основной сетки ttn), а сеточные функции скоростей ufc(ij) - с узлами вспомогательной сетки t(n±3y2), (рис.2.4,2.8), то для определения сеточных функций [икщ на временном слое п=1 используется разложение в ряд Тейлора где [іік][j}- заданные начальные ускорения.
С учетом (2.33),(2.45) сеточные функции обобщенных скоростей на временном слое t(1/2), определятся как (рис. 2.8) Особенности конечно-разностной аппроксимации задачи об ударном взаимодействии оболочек с жесткими массами при боковом и торцевом ударе При конечно-разностной аппроксимации задачи об ударном взаимодействии пластин и оболочек с жесткими массами при боковом ударе (1.75)-(1.81) предполагается, что в начальный момент времени t=0 контакт ударника с оболочкой (пластиной) осуществляется в заданной узловой точке (i0JoX в которой реализуются начальные условия где Wo - начальные прогибы для задач о комбинированном нагружени и (например, вида «статика-динамика»), Vo - скорость соударения. Реакция оболочки Fs вычисляется: по линиям вспомогательной сетки численным интегрированием (рис. 2.1) При конечно-разностной аппроксимации задачи о торцевом ударе (1.82)-(1.87) предполагается, что линия контура оболочкиТ0 совпадает с линией вспомогательной сетки (i±l/2). Например, если контур Го соответствует контуру Г3, то линия сетки, совпадающая с ним, имеет индексХі-І ) (рис. 2.9). Тогда кинематические условия контакта (1.85) в конечно-разностной форме для узловой точки вспомогательной сетки (і-1/2 j) на контуре Г0 запишутся в виде При действии поверхностных и/или краевых нагрузок локального характера или в задачах об ударном взаимодействии пластин и оболочек с малоразмерными ударниками, когда область распределения или воздействия нагрузки существенно меньше всей расчетной области в целом, использование равномерных сеток оказывается нерациональным. Это связано, в первую очередь с тем, что для моделирования локальных полей параметров НДС с высокими градиентами необходимо сгущать сетку, в то время, как в основной расчетной области, где изменение параметров НДС носит достаточно плавный характер, использование мелкой сетки, не приводя к существенному повышению точности результатов, увеличивает затраты машинного времени и памяти ЭВМ. С точки зрения построения неравномерных разностных сеток наиболее эффективной является ВРС (2.22)-(2.24), поскольку в ней все параметры НДС вычисляются в узлах вспомогательной сетки (i±l/2,j±l/2) через значения сеточных функций обобщенных перемещений в узлах основной сетки і j. При построении неравномерной сетки на соответствующих участках рас-четной области вводится сетка с минимальным шагом A,m;„=const, в основной рас- четной области - сетка с максимальным шагом A onst (основная сетка), а также сетка с переменным шагом \v для перехода на некотором заданном числе шагов К ОТ Кпт-ї Ьтах ному закону: (A,v)k=a(A,v)k.b (Xv)i-aA,min, где а — коэффициент пропорциональности, k - индекс шага: 1 к К. Коэффициент а должен удовлетворять условию: (Xv - Kasx- Изменение шагов сетки может происходить как для одного, так и для обоих координатных направлений.
Особенности построения численных решений статических и динамических задач для оболочек вращения с жестким шпангоутом
При построении численных решений статических и динамических задач для оболочки вращения, жестко связанной с недеформируемым шпангоутом (1.7), уравнение движения шпангоута с учетом реакции оболочки FSJ заданной нагрузки - осевой силы F и искусственного вязкого сопротивления, характеризуемого обобщенной силой вязкого сопротивления R=-SsVm (Es O)» МОЖНО представить в виде Сопоставляя (3.63)-(3.66) с (3.8)-(3.(11),(3.54), нетрудно видеть, что при соответствующих значениях параметра вязкости Єз соотношения (3.63)-(3.66) позволяют получать численные решения динамических или статических (по методу установления) задач для составных обол очечных систем. Параметр искусственной вязкости s в динамических задачах может быть использован для учета диссипации энергии аналогично (3.55)-(3.60), а при решении начально-краевых задач о комбинированном нагружении типа «динамика-статика» - для подавления воз- можньгх микроосциляции высокочастотных составляющих решения при выходе на установившийся режим составной конструкции. Оптимальное (с точки зрения решения статической задачи) значение вязкости s может быть получено, если рассмотреть систему «шпангоут-оболочка» как некоторый аналог задачи о колебаниях одномассовой системы (3.55) с параметром жесткости С и массой М. Для случая предельного апериодического движения (п=й ) имеем В соответствии с теоремой о сходимости, если разностная схема устойчива и аппроксимирует исходную дифференциальную задачу с порядком к, то она сходится, причем скорость ее сходимости равна порядку аппроксимации [12,104]. Для рассматриваемого класса нелинейных уравнении и соответствующих им разностных схем теоретическое доказательство сходимости связано со значительными математическими трудностями, поэтому исследование сходимости разработанных ВРС проводится методом вычислительного эксперимента с проведением расчетов на сгущающейся сетке и сопоставлением численных результатов с известными теоретическими и экспериментальными данными.
При сопоставлении с теоретическими результатами рассматривается осе-симметричное статическое деформирование упругой цилиндрической оболочки, длиной L, радиусом R и толщиной h из трансверсально-изотропного материала с модулем Юнга Е, модулем поперечного сдвига Go и коэффициентом Пуассона v. Ограничимся практически важным случаем; когда на оболочку действует лишь равномерное давление интенсивностью Яз=Ч Для рассматриваемого случая нагружения цилиндрической оболочки известны аналитические решения: для уравнений теории оболочек Тимошенко -для линейной краевой задачи, а для уравнений оболочек Кирхгофа-Лява - как для линейной, так и. для геометрически нелинейной краевой задачи [81,106]. Уравнения равновесия цилиндрической оболочки в обобщенных перемещениях для случая линейной краевой задачи с учетом qi=mi=0, q3=const имеют вид Как следует из (3.79)-(3.86), структура общего решения для трансверсально-изотропной оболочки зависит от соотношения между параметрами g2 и Л,2, характеризующими геометрические и физико-механические параметры оболочки,-Понятия «длинная» и «короткая» оболочка также не являются чисто геометрическими, а определяются, кроме того, степенью анизотропии, характеризующейся отношением E/Gn [22,81]. При исследовании процессов деформирования оболочечных конструкций методами вычислительного эксперимента погрешности полученных результатов зависят от точности исходных физико-математических моделей, описывающих эти процессы (первый этап ВЭ), а также от погрешностей, обусловленных переходом от исходной задачи, континуальной по пространственным координатам ai,a2 и времени t, к дискретной с функциями от параметров Дх,Ау и At (четвертый этап ВЭ). С математической точки зрения при (Дх,Ду,Дх)-»0 решение дискретной (конечно-разностной) задачи стремится к решению континуальной (интегро-диффе-ренциальной), т.е. уменьшение параметров сетки повышает точность численных решений. Погрешности численных решений начально-краевых задач теории пластин и оболочек могут быть определены в виде где гИ(ссьсі2) - точное решение (функции параметров НДС) дифференциальных уравнений равновесия (1.53) при граничных условиях (1.61)-( 1.68); f),=fi,j(A.i, Я.2) -численное решение (сеточные функций параметров НДС) конечно-разностных аналогов уравнений равновесия (2.31) для принятых значений NxM. Погрешность Ах зависит от числа точек дискретизации N,M, формы разностного шаблона и порядка точности формул численного дифференцирования и интегрирования, используемых при построении ВРС. Погрешность Af\ стремится к нулю лишь при N,M—»оо, поэтому с точки зрения практических приложений требуется предварительное исследование сходимости и точности численных решений в зависимости от параметров сетки N и М.
Теоретическое решение этих вопросов в общем случае связано со значительными математическими трудностями, поэтому исследование сходимости и точности разработанных ВРС проводится методом вычислительного эксперимента [12,68,104]. Для практической оценки погрешности численных решений используется правило Рунге [12,102]. Правило Рунге основано на выделении главного члена погрешности по результатам расчетов с двумя различными шагами сетки. Главный член Af (K) погрешности Afx определяется из уравнения вида где К-К№ Х-Х] - для координатного направления аь К=КМ, Х=Х2 - для координатного направления а2; fx.(K) - численное решение сеточных уравнений при заданном К; С -Ісонстанта, не зависящая от К. Поскольку при построении ВРС использовались разностные операторы второго порядка аппроксимации 0(Х]+Х22) то показатель степени т=2. Если имеется два численных решения fx(Ki) и fx(K2) одной и той же задачи, полученные при числе шагов К К\ и К К2 (K2= Ki, 1), то главный член погрешности А\ можно определить из следующей совокупности приближенных равенств Из (3.94) нетрудно получить выражение для главного члена Afx(K) абсолютной погрешности Afx при К 1 а также формулу для более точного по порядку, чем і\(К2), приближения к f Относительная погрешность 5[ (К)] (&) численного решения fi(K2) с учетом приближений (3.95),(3.96) может быть определена как Минимальное количество узлов К(5), необходимых для получения численного решения ї\ с заданной погрешностью 5(:0=5, можно оценить из (3.94) как Как следует из (3.98), с ростом К главный член погрешности Af убывает как Е,"2. Соотношения (3.93)-(3.98) носят асимптотический характер, поэтому для получения достоверных оценок константы С шаг-ЦКг) должен быть достаточно мал. Параметр может быть любым ( 1), но обычно принимается ,=2; Формулы (3.93)-(3.98) позволяют определять не только погрешности численных решений, но и оптимальные значения параметров PC, при которых численные решения, исходной интегро-дифференциальной краевой задачи могут быть получены в пределах заданной точности при минимальных затратах машинного времени. При проведении практических расчетов исходные данные - геометрические параметры оболочки, физико-механические свойства материалов, нагрузки и т.д. - задаются с определенными погрешностями. Поэтому нецелесообразно добиваться повышения точности численных решений до значений, существенно превышающих точность задания исходных данных.
Похожие диссертации на Нелинейное деформирование неоднородных пластин и оболочек вращения при комбинированном нагружении
