Содержание к диссертации
Введение
1 Структурные модели композиционного материала 26
1.1 О феноменологическом и структурном подходах к моделированию свойств композитов 26
1.2 Определяющие соотношения полиармированного слоя . 28
1.3 Критерии прочности полиармированного слоя 37
1.4 Сравнительный анализ расчетных характеристик композиционных материалов с экспериментальными данными . 40
2 Классические и уточненные уравнения упругих композитных пластин и оболочек вращения 44
2.1 Задачи статики упругих композитных пластин и оболочек 45
2.2 Неосесимметричные задачи упругих композитных оболочек 55
2.2.1 Исходные уравнения и соотношения 55
2.2.2 Разрешающие системы уравнений 61
2.3 Осесимметричные задачи упругих композитных оболочек . 64
2.3.1 Исходные уравнения и соотношения 64
2.3.2 Разрешающие системы уравнений 68
2.4 Круглые и кольцевые упругие композитные пластины . 76
2.4.1 Исходные уравнения и соотношения 76
2.4.2 Разрешающие системы уравнений 77
3 Методы решения краевых задач механики композитных пластин и оболочек вращения 82
3.1 Проблема жесткости систем уравнений, отличие краевых задач от задач Коши 82
3.2 Метод сплайн-коллокации 85
3.3 Метод дискретной ортогонализации 86
3.3.1 Основы алгоритма метода 87
3.3.2 Проблемы вычисления векторов начальных данных и решения многоточечных задач 93
3.3.3 Обеспечение устойчивости расчетов 98
3.3.4 Обеспечение точности расчетов с использованием неравномерных сеток 108
3.3.5 Алгоритм решения жестких краевых задач 115
3.4 Анализ эффективности методов дискретной ортогонализа ции и сплайн-коллокации при решении задач теории плас тин и оболочек 117
3.4.1 Слоистая длинная цилиндрическая панель 118
3.4.2 Сопряженная арочная конструкция 123
3.4.3 Слоистая цилиндрическая оболочка 129
Неосесимметричные задачи композитных оболочек 138
4.1 Напряженно-деформированное состояние рефлектора па раболической антенны 138
4.1.1 Постановка задачи 139
4.1.2 Рефлектор под действием собственного веса (осе-симметричный случай) 141
4.1.3 Рефлектор под действием температурного нагруже- ния (осесимметричный случай) 144
4.1.4 Рефлектор под действием собственного веса (неосе-симметричный случай) 147
4.1.5 Рефлектор под действием ветровой нагрузки . 149
4.1.6 Рефлектор под действием температурной и ветровой нагрузок 152
4.1.7 Анализ достоверности численных решений 156
4.2 Особенности поведения и начальное разрушение армиро ванных куполов и сводов 157
4.2.1 Купол под действием собственного веса 160
4.2.2 Купол под действием собственного веса и ветровой нагрузки 164
4.2.3 Купол под действием собственного веса, ветровой и температурной нагрузок 168
4.2.4 Анализ достоверности численных решений 171
4.3 Влияние анизотропии материала на деформирование резинокордной тороидальной оболочки 172
4.3.1 Влияние выбора модели КМ и теории оболочек на вид НДС 173
4.3.2 Влияние анизотропии и неоднородности материала на поведение оболочки 178
4.3.3 Об использовании несимметричных схем армирования 180
Нелинейные осесимметричные задачи упругих композит ных оболочек вращения 183
5.1 Оболочки нулевой гауссовой кривизны 184
5.1.1 Влияние выбора теорий на НДС оболочек нулевой гауссовой кривизны 184
5.1.2 Влияние выбора структурных моделей КМ на НДС оболочек нулевой гауссовой кривизны 191
5.1.3 Влияние структуры армирования на НДС оболочек нулевой гауссовой кривизны 196
5.1.4 Влияние порядка расположения армированных слоев на НДС оболочек нулевой гауссовой кривизны 198
5.1.5 Анализ достоверности численных решений 200
5.2 Сферические и эллипсоидальные оболочки 203
5.2.1 Влияние выбора теорий на НДС эллипсоидальных оболочек 203
5.2.2 Влияние выбора структурных моделей КМ на НДС эллипсоидальных оболочек 210
5.2.3 Анализ достоверности численных решений 217
5.3 Нодоидные оболочки 220
5.3.1 Влияние выбора теорий на НДС нодоидных оболочек 221
5.3.2 Влияние выбора структурных моделей КМ и структуры армирования на НДС нодоидных оболочек 226
5.3.3 Анализ достоверности численных решений 235
5.4 Сопряженные сосуды давления 237
5.4.1 Влияние выбора теорий на НДС сосуда давления 238
5.4.2 Влияние выбора структурных моделей КМ и структуры армирования на НДС сосуда давления 242
5.4.3 Анализ достоверности численных решений 252
5.5 Решение пространственной задачи упругости для цилинд
рической оболочки 254
5.5.1 Постановка задачи и разрешающая система уравнений 254
5.5.2 Расчет НДС однослойного цилиндра 256
5.5.3 Расчет НДС трехслойного цилиндра 261
Круглые и кольцевые упругие композитные пластины 264
6.1 Аналитические и численные решения задач изгиба трехслойных круглых и кольцевых пластин 264
6.2 Влияние выбора моделей КМ на параметры жесткости и
вид НДС пластины 272
6.3 Влияние выбора теорий на вид НДС пластин 280
6.4 Влияние схем армирования и типа волокон на величины нагрузок начального разрушения 282
Основные задачи проектирования композитных пластин и оболочек вращения 295
7.1 О постановках задач рационального проектирования армированных оболочек 305
7.2 Получение условий совместности при использовании кри терия равнонапряженности арматуры 307
7.3 Получение условий совместности при использовании критерия полужесткости 311
7.4 Получение условий совместности при использовании критерия постоянства удельной потенциальной энергии . 313
Вывод, анализ и решение разрешающих систем уравнений рациональных оболочек 318
8.1 Вывод разрешающих систем уравнений 318
8.1.1 Оболочки с равнонапряженной арматурой 318
8.1.2 Полужесткие оболочки 321
8.1.3 Оболочки с постоянной удельной потенциальной энергией 323
8.2 Аналитические решения задач рационального проектиро
вания осесимметричных оболочек 325
8.2.1 Оболочки с равнонапряженной арматурой 325
8.2.2 Полужесткие оболочки 329
8.2.3 Оболочки с постоянной удельной потенциальной энергией 331
8.2.4 Эллипсоидальные оболочки 334
8.2.5 Нодоидные оболочки 341
8.2.6 Купола и своды 343
8.3 Рациональные решения для комбинированных конструкций 353
8.4 Анализ достоверности и эффективности рациональных решений 356
Заключение 362
Литература
- Критерии прочности полиармированного слоя
- Осесимметричные задачи упругих композитных оболочек
- Проблемы вычисления векторов начальных данных и решения многоточечных задач
- Рефлектор под действием температурного нагруже- ния (осесимметричный случай)
Введение к работе
Тонкостенные оболочки являются важнейшими элементами многих современных конструкций. Ведущую роль они занимают в авиационной и ракетно-космической технике, судо- и автомобилестроении, энергетическом и химическом машиностроении, жилищном и промышленном строительстве. Оболочки широко используются в качестве корпусов и днищ различного рода сосудов, резервуаров и емкостей для хранения жидких, газообразных и сыпучих продуктов, в конструкциях перекрытий и защитных ограждений.
Среди большого разнообразия геометрических форм особо выделяются оболочки вращения — цилиндрические, конические, сферические, эллипсоидальные, параболические, тороидальные, нодоидные, ундулоид-ные и др., которые вследствие ряда неоспоримых преимуществ широко используются в конструктивных решениях для различных объектов техники. Трубо-, нефте- и газопроводы, нефте- и газохранилища, котлы энергетических установок, купола и своды различных зданий и сооружений — это лишь небольшой перечень примеров использования оболочек вращения. На современном этапе развития техники с помощью оболочек, как структурных элементов конструкций, решается комплекс самых разнообразных задач, особенно при создании летательных и глубоководных аппаратов, исследовательских объектов ближнего и дальнего космоса, емкостей для хранения и транспортировки самых разнообразных продуктов, транспортных средств, подземных и подводных коммуникаций.
В силу многообразия геометрических форм оболочек, условий нагру-жения, закрепления и соединения с другими конструктивными элементами, их напряженно-деформированное состояние (НДС) может иметь весьма сложный характер, изменяясь как по толщине, так и вдоль ме-
ридианов и параллелей, причем оно может сильно изменяться не только при увеличении амплитуд нагрузок, но и при сравнительно небольших пространственных отклонениях в распределении поверхностных нагрузок. Поэтому очень важно уметь выделять условия наиболее благоприятной работы конструкции. Наиболее эффективно тонкостенные конструкции будут работать в условиях преимущественных растяжений поверхности. Идеальным при этом следует считать равномерное распределение напряжений по толщине стенки конструкции, когда материал в сечении нагружается равномерно. Такое состояние называется безмоментным и может быть реализовано только за счет принятия специальных мер по согласованию форм оболочек, законов распределения толщины оболочки и характера изменения нагрузок.
Для большинства конструкционных материалов поведение при растяжении и сжатии теоретически равноценно. Однако в тонкостенных оболочках механизмы разрушения при растягивающих и сжимающих напряжениях могут быть существенно различными. Если в условиях растяжения предельно допустимые состояния возникают при достижении определенной меры эквивалентного напряжения предела прочности или предела упругого сопротивления, то при сжимающих напряжениях разрушение конструкции может проявиться задолго до этого уровня нагрузок, вследствие появления других опасных механизмов разрушения, вызванных общей или местной потерей устойчивости (потерей формы конструкции). Чтобы избежать опасных последствий местного изгиба в таких областях, с помощью различного рода усилений в виде накладок, направленного изменения толщины, анизотропии и неоднородности можно попытаться перераспределить усилия и выровнять напряженное состояние доведя его до безмоментного, равномерно распределенного по сечению.
Во многих случаях осуществление безмоментного состояния практически неосуществимо. В этих случаях эффективные оболочечные проекты могут быть осуществлены за счет создания конструктивной неоднородности и/или анизотропии. Одним из простейших решений в этом на-
правлении является переход от однослойных конструкций к многослойным. Число и характер слоев определяется при этом конструктивными особенностями и назначением оболочки. Каждый слой является носителем тех или иных свойств. В настоящее время широко используются трехслойные оболочки с легкими и жесткими заполнителями. Трехслойные оболочки с легкими заполнителями представляют собой в сечении пакет с внешними несущими слоями изготовленными из металла (сталь, алюминиевые, титановые сплавы и т.п.), фанеры, текстолита, армированных пластиков, металлов или керамики и промежуточного "легкого" (малопрочного и маложесткого) заполнителя, обеспечивающего работу сечения, как единого пакета и препятствующего потере устойчивости несущих слоев при сжатии и сдвиге. Возможны различные сочетания материалов несущих слоев: например, один слой из металла, а другой из стеклопластика. В качестве заполнителей используются пенопласты, пробки, пористые металлические губки, сотовые полимерные конструкции и т.п. В оболочках с жестким заполнителем используются либо заполнители с характеристиками близкими к материалам наружных слоев, либо жесткие ребристые конструкции разных форм: сотовых, складчатых, гофрированных и др. Соединение наружных слоев и заполнителей обычно осуществляется методами склейки и точечной сварки. Трехслойные конструкции позволяют обеспечивать высокую изгибную жесткость при относительно малом весе и могут быть использованы в областях со значительными изгибными деформациями.
Двухслойные оболочки состоят из двух несущих квазиоднородных слоев с материалами разной природы. Подкрепленные ребристые оболочки — это конструкции, сочетающие в себе двухмерные элементы — собственно оболочки и одномерные элементы — силовой набор (ребра). Меридиональные и окружные ребра могут располагаться как снаружи, так и внутри оболочки. Слоистые и подкрепленные ребристые оболочки в современных конструкциях авиационной, ракетной и судостроительной техники находят самое широкое применение. Многослойные и ребристые конструкции порождают принципиально новые свойства, которые
не присущи ни одному из слоев. Варьируя в широком диапазоне свойства материалов, геометрические параметры слоев и наборов ребер можно существенно улучшить весовые, габаритные, стоимостные качества конструкции, ее несущую способность и устойчивость.
В настоящее время наиболее распространенными технологическими способами изготовления тонкостенных слоистых полиармированных конструкций типа оболочек и пластин являются процессы выкладки и непрерывной намотки, сочетающиеся в ряде случаев с технологиями склейки и напыления защитных и упрочняющих слоев. При таких способах изготовления конструкции приобретают не только анизотропные, но также и неоднородные свойства. Однако во многих существующих методах расчета пластин и оболочек последнее обстоятельство не учитывается.
Большие перспективы по улучшению прочностных и эксплутационных свойств конструкций в промышленности открыли композиционные материалы (КМ). Более легкие, прочные, жесткие, КМ по своим удельным характеристикам существенно превосходят традиционные стали и сплавы.
Композит представляет собой неоднородный сплошной материал, состоящий из двух или более компонентов, среди которых можно выделить армирующие элементы, обеспечивающие необходимые механические характеристики материала, и матрицу, обеспечивающую совместную работу армирующих элементов.
В современных композитах тонкие волокна диаметром (5 -г 200) Ю-6 м являются армирующими элементами или служат основой для изготовления жгутов, лент или тканей с различными типами плетения. Волокна должны удовлетворять комплексу эксплутационных и технологических требований. Это условия по прочности, жесткости и стабильности свойств в процессе эксплуатации. Технологические свойства волокон определяют возможность создания высокопроизводительных процессов изготовления изделий на их основе. Другим важным требованием к КМ является совместимость материала волокон с материалом матрицы. В качестве армирующих элементов используются стеклянные,
углеродные, борные, органические, стальные, вольфрамовые и другие волокна. Механические свойства некоторых волокон приведены в табл. 1, где /О, Е, а*, є* — плотность, модуль упругости, предел прочности и предельная деформация волокна.
Таблица 1
Матрица, которая соединяет армирующие элементы, способствует совместной работе волокон и перераспределяет нагрузку при разрушении части волокон, фиксирует форму изделия. Метод изготовления конструкции определяется типом матрицы. Матрица должна обладать достаточной жесткостью, так как при нагружении, не совпадающем с ориентацией волокон, ее прочность является определяющей. Матрица также должна удовлетворять технологическим требованиям: возможность предварительного изготовления полуфабрикатов, хорошее смачивание волокна жидкой матрицей в процессе пропитки, качественное соединение слоев композита, обеспечение высокой прочности соединения матрицы с волокном. В качестве связующего применяются термореактивные
и термопластичные полимеры, углеродные, керамические и металлические матрицы. Механические свойства некоторых матриц приведены в табл. 2.
Таблица 2
Композиционные материалы обладают возможностью изменения своей внутренней структуры, что открывает широкие возможности по управлению НДС конструкций, тем самым обеспечивая наилучшие условия их работы.
Существенный прогресс в проектировании и применении оболочеч-ных конструкций может быть обеспечен при использовании новых типов конструкционных композитных материалов: армированных пластиков, металлов и керамик. На основе композитов становится реальным создание материалов с требуемыми свойствами за счет подбора материалов матриц и траекторий армирующих волокон. Существующие сегодня угле- и боропластики выгодно отличаются высокой жесткостью и прочностью, превосходя в несколько раз соответствующие параметры высокопрочных сталей. В то же время эти материалы обладают намного меньшим удельным весом. Качество подобных материалов можно варьировать в широких пределах, при том, что в качестве арматуры можно использовать волокна и других материалов: графита, карбида кремния, базальта и других. В рамках единой технологии могут создаваться по-лиармированные композиты с одновременным внедрением в матрицу волокон разной природы и с разными траекториями. Следует также иметь
в виду, что создание композитных оболочек из армированных пластиков во многих случаях может оказаться технологически более простой процедурой, чем создание конструкций из металлов. Например, стальной корпус цистерны или котла изготавливают путем сварки из предварительно согнутых листовых заготовок. Тогда как стеклопластиковая конструкция изготавливается путем намотки стеклонити на разборную оправку заданной формы. Подобная технологическая процедура может быть реализована при создании слоистой оболочки, если в качестве заготовки использовать однослойную металлическую оболочку заданной геометрии или предварительно изготовленную армированную оболочку с наращиванием на нее слоев с другими волокнами или другой структурой армирования. Наряду с требованиями обеспечения прочности и надежности оболочечных конструкций и наличия удобных производственно-технологических средств их изготовления важное значение имеет также проблема снижения материалоемкости. Для конструкций используемых в авиации, космонавтике и подводном судостроении повышенная материалоемкость может привести к невозможности качественного функционирования технического объекта. В последнее время эта проблема становится ключевой также при создании объектов машиностроения и индустриального строительства по экономическим соображениям из-за отсутствия и дороговизны необходимых конструкционных материалов. Поэтому в последние десятилетия во всем мире проводятся активные разработки теории оптимального и рационального проектирования конструкций.
Использование композитных пластин и оболочек в качестве несущих элементов в конструкциях ответственного назначения вызвали необходимость учета дополнительных факторов, в частности, ярко выраженную анизотропию деформативных свойств полиармированных материалов, а также ослабленное сопротивление многослойных конструкций трансвер-сальным деформациям. Это, в свою очередь, потребовало разработки неклассических вариантов теорий пластин и оболочек и поставило перед специалистами принципиально новые задачи. Использование существен-
но различных статических и кинематических гипотез привело в результате к значительному разнообразию расчетных схем и систем уравнений.
Анализ работ, посвященных многослойным оболочкам, позволил выделить несколько основных направлений в развитии общей теории таких оболочек.
К первому, исторически более раннему направлению относятся работы, в которых применяются гипотезы Кирхгофа — Лява для всего пакета слоев. Эта расчетная схема является простейшей и до сих пор применяется во многих работах по многослойным оболочкам. Для тонких изотропных и слабо анизотропных оболочек она является вполне приемлемой. Статическим и динамическим задачам расчета анизотропных слоистых оболочек, базирующихся на гипотезах Кирхгофа — Лява, посвящена обширнейшая литература.
Ко второму направлению могут быть отнесены работы, посвященные построению неклассических уточненных двумерных теорий, учитывающих поперечный сдвиг (и реже поперечные нормальные деформации и напряжения в слоях), на основе "интегральных" гипотез о характере распределения поперечных касательных напряжений и перемещений по толщине всего пакета слоев в целом. Порядок получающихся при этом систем уравнений не зависит от числа слоев. В большом числе работ учет деформаций поперечного сдвига производится на основе гипотезы Тимошенко (гипотезы прямой линии) для всего пакета слоев. Другой вариант построения теории анизотропных слоистых оболочек этого направления связан с введением тех или иных гипотез о характере распределения поперечных касательных напряжений по толщине всего пакета слоев. Применительно к тонким пластинам и оболочкам такие допущения о распределении поперечных касательных напряжений были предложены С.А. Амбарцумяном и названы им итерационной, уточненной и новой итерационной теорией [3, 4, 5].
Особо отметим монографию А.Н. Андреева, Ю.В. Немировского [11], обобщающую цикл исследований этих авторов, в которой дан критический анализ работ этого направления, разработаны и приведены непроти-
воречивые с точки зрения вариационных принципов системы дифференциальных уравнений слоистых пластин и оболочек, установлены системы внутренних усилий, соответствующие принятым моделям деформирования, сформулированы корректные краевые условия, предложен и реализован метод численного решения краевые задач неклассической теории многослойных оболочек, основанный на идеях инвариантного погружения.
К третьему направлению относятся работы, посвященные построению уточненных двумерных теорий, учитывающих поперечный сдвиг, а нередко и поперечные нормальные деформации и напряжения в слоях, введением кинематических гипотез для каждого отдельного слоя. Порядок получающихся систем уравнений при этом зависит от числа слоев. Наиболее известными работами этого направления являются работы Э.И. Григолюка, П.П. Чулкова [142, 143,144] и В.В. Болотина, Ю.Н. Но-вичкова [30]. Подробный анализ работ этого направления дан в обзоре Э.И. Григолюка, Г.М. Куликова [136].
И хотя к настоящему времени достигнут значительный прогресс в развитии математического моделирования и методов расчета тонкостенных оболочечных систем, изготовленных из КМ, однако эта область механики деформируемого твердого тела остается еще весьма сложной и недостаточно изученной.
В связи с этим, разработка и сравнительный анализ уточненных теорий пластин и оболочек, структурных моделей композитов, учитывающих особенности реальной структуры, нелинейные процессы деформирования и разрушения, разработка методов решения прямых задач расчета и обратных задач рационального проектирования композитных конструкций, несомненно, являются актуальными проблемами.
Следует отметить, что переход от классической теории пластин и оболочек к тем или иным уточненным теориям сопровождается не только увеличением порядка систем дифференциальных уравнений, но и качественным изменением структуры их решений, появлением новых быстро-возрастающих и быстроубывающих решений, имеющих ярко выражен-
ный характер погранслоев. Традиционные схемы и алгоритмы численного интегрирования краевых задач на таких классах жестких систем нелинейных дифференциальных уравнений оказываются малопригодными. Поэтому разработка эффективных численных методов решения краевых задач для уточненных теорий пластин и оболочек является также весьма важной и актуальной проблемой.
Актуальным является и применение уточненных теорий пластин и оболочек, структурных моделей КМ при решении практически важных задач расчета НДС композитных конструкций, определении механизмов их разрушения.
ЦЕЛЬ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ заключается в:
исследовании проблемы деформирования упругих слоистых поли-армированных пластин и оболочек вращения на основе различных теорий, выявлении особенностей их поведения от структурных и механических параметров композиционных материалов;
разработке эффективных алгоритмов и создании программного комплекса для решения краевых задач для жестких систем нелинейных дифференциальных уравнений, возникающих при анализе поведения композитных пластин и оболочек;
разработке метода решения задач рационального проектирования упругих армированных оболочек вращения, исследовании возможностей реализации в них рациональных напряженно-деформированных состояний.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ определяется следующими результатами, которые выносятся на защиту.
Поставлены и решены новые краевые задачи расчета напряженно-
деформированного состояния упругих композитных элементов кон
струкций различных геометрических форм: круглых и кольцевых
пластин, цилиндрических, конических, сферических, эллипсоидаль
ных, параболических, тороидальных, нодоидных оболочек и ком
бинированных оболочечных конструкций. Проведен сравнительный
анализ их поведения при использовании классической и ряда уточненных теорий пластин и оболочек в геометрически линейной и нелинейной постановках.
Впервые выполнено комплексное исследование влияния структурных и механических параметров композиционных материалов, порядка расположения армированных слоев, геометрии оболочек и вида нагружения на поведение таких конструкций. При анализе прочности слоистых композитных пластин и оболочек использован послойный структурный критерий прочности композиционного материала, что позволило вычислить нагрузки, определить зоны и механизмы начального разрушения, оценить эффективность работы каждого элемента композита.
Разработан новый эффективный алгоритм и создан программный комплекс, основанный на методах дискретной ортогонализации и сплайн-коллокации, предназначенный для решения многоточечных краевых задач для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при анализе поведения композитных пластин и оболочек.
Разработан метод решения широкого класса задач рационального проектирования тонкостенных упругих оболочек из волокнистых композиционных материалов при использовании критериев рациональности общего вида. Исследован ряд новых задач рационального проектирования армированных оболочек, когда в качестве критериев рациональности выступают требования равнонапряженности арматуры, полужесткости и постоянства удельной потенциальной энергии оболочки.
Для каждого из перечисленных критериев рациональности в мо-ментной постановке получены условия разрешимости исходных систем уравнений, построены разрешающие системы уравнений относительно различных функций проектирования: толщины стенки и
формы меридиана оболочки, углов и интенсивностей армирования композиционного материала.
Получены новые классы аналитических решений для осесиммет-
ричных армированных оболочек, комбинированных резервуаров и
сосудов давления при использовании различных критериев рацио
нальности. Показана эффективность конструкций с рациональными
параметрами.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Результаты работы могут служить методической основой при расчетах и проектировании широкой номенклатуры элементов конструкций оболочечного типа, изготавливаемых из слоистых и волокнистых композиционных материалов, и найти применение в конструкторских бюро и отраслевых НИИ авиа-, судо- и машиностроительного профиля.
Исследования выполнялись в соответствии с планами научно-исследовательских работ Института вычислительных технологий СО РАН по темам:
"Разработка теории и алгоритмов численных методов решения задач математической физики и механики сплошной среды" (номер государственной регистрации 01. 9. 40 000848);
"Качественные и численные методы исследования нелинейных задач математической физики" (номер государственной регистрации 01. 99. 00 10290);
"Теоретические исследования моделей и разработка эффективных численных методов решения нелинейных задач математической физики" (номер государственной регистрации 01. 2. 00 313336);
поддерживались грантами: РФФИ (проекты 00-15-96172, 05-01-04002); Федеральной целевой программы "Интеграция" (грант № 274); Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ РФ (№ НШ-2314. 2003. 1).
Результаты исследований нашли применение в учебном процессе Новосибирского государственного университета в виде специального курса "Прямые и обратные задачи механики композитов".
ДОСТОВЕРНОСТЬ полученных результатов обеспечена корректностью постановок рассматриваемых задач и методов их решения, предельными переходами от моделей конструктивно-неоднородных анизотропных пластин и оболочек к классическим моделям однородных изотропных конструкций, сравнением с известными для частных случаев аналитическими решениями и решениями пространственной теории упругости, с численными и экспериментальными результатами других авторов, совпадением решений, полученных двумя принципиально различными численными методами.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: III конференции молодых ученых и специалистов по механике композитных материалов (Рига, 1981); Республиканской научно-технической конференции по прикладной математике и механике (Томск, 1983); IX, X, XI, XV, XVII, XVIII, XIX Всесоюзных и Межреспубликанских конференциях по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Саратов, 1985; Красноярск, 1987; Волгоград, 1989; Новосибирск, 1997; 2001; Кемерово, 2003; Бийск, 2005); XI, XII, XIV конференциях молодых ученых Вычислительного центра СО АН СССР (Красноярск, 1985-1989); XII конференции молодых специалистов Центрального института авиационного моторостроения (Москва, 1987); I, III, IV Всесоюзных школах молодых ученых по численным методам механики сплошной среды (Шушенское, 1987; Абрау-Дюрсо, 1991; 1992); IV школе молодых математиков Сибири и Дальнего Востока (Новосибирск, 1988); Всесоюзной конференции "Оптимальное проектирование неупругих элементов конструкций" (Тарту, 1989); XVI конференции молодых ученых Института механики АН УССР (Киев, 1991); III Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур (Львов, 1991); Междуна-
родной научно-технической конференции "Проблемы техники и технологий XXI века" (Красноярск, 1994); Международной научно-технической конференции "Проблемы обеспечения качества изделий в машиностроении" (Красноярск, 1994); Международных конференциях "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", посвященных 75 и 80-летию академика Н.Н. Яненко (Новосибирск, 1996; 2001); II и III Всероссийских семинарах "Проблемы оптимального проектирования сооружений" (Новосибирск, 1997; 2000); III Международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" (Москва, 1997); Международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1997); Международной конференции "Математические модели сплошной среды, вычислительные технологии и автоматизированное проектирование в авиа- и машиностроении" (Казань, 1997); I, II, V Сибирских школах-семинарах "Математические проблемы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1997; 1998; 2001); 55 юбилейной научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава НГАСУ (Новосибирск, 1998); Международной конференции "Симметрии в естествознании" (Красноярск, 1998); III Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике "ИНПРИМ-98" (Новосибирск, 1998); научных мероприятиях "Вычислительные технологии" (Новосибирск, 1998; 2000); Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, 1998); VI Japan-Russia Joint Symposium on Computational Fluid Dynamics (Japan, Nagoya, 1998); V Всероссийской научно-технической конференции "Механика летательных аппаратов и современные материалы" (Томск, 1998); V, VI и VII научных конференциях "Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф" (Красноярск, 1999; 2001; 2003); Международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения" (Красноярск, 2000); Международных конференциях "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" (Алматы, 2002; 2004; Усть-Каменогорск, 2003); I, II, III Совещаниях
Российско-Казахстанской рабочей группы по вычислительным и информационным технологиям (Новосибирск, 2003; 2005; Алматы, 2004); I и II Russian-German Advanced Research Workshops on Computational Science and High Performance Computing (Russia, Novosibirsk, 2003; Germany, Stuttgart, 2005).
В полном объеме материалы докторской диссертации докладывались и обсуждались на Объединенном семинаре "Информационно-вычислительные технологии" Института вычислительных технологий СО РАН, Новосибирского государственного университета и Новосибирского государственного технического университета (руководители — академик Ю.И. Шокин и д.ф.-м.н., профессор В.М. Ковеня; Новосибирск, 2004); семинаре "Проблемы математического и численного моделирования" Института вычислительного моделирования СО РАН (руководитель — чл.-корр. РАН В.В. Шайдуров; Красноярск, 2004); Общеинститутском семинаре "Моделирование в механике" Института теоретической и прикладной механики СО РАН (руководитель — чл.-корр. РАН В.М. Фомин; Новосибирск, 2005).
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано более 70 печатных работ. В диссертации приведен список из 55 наименований [70-124].
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения, восьми глав, заключения, библиографического списка, включающего 325 наименований. Общий объем диссертации составляет 400 страниц.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении дано обоснование актуальности темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, приведено краткое содержание диссертации по главам.
Первая глава диссертации посвящена вопросам моделирования свойств композитов. Приведены определяющие соотношения ряда структурных моделей композиционного материала: нитяной модели, модели с одномерными волокнами, уточненной модели с одномерными волокнами, модели с двумерными волокнами. Представлены используемые критерии прочности и начального разрушения композитов. Проведен сравнительный анализ расчетных характеристик композиционных материалов с экспериментальными данными.
Вторая глава диссертации посвящена описанию основных положений классической и ряда уточненных теорий пластин и оболочек. В ней приведены исходные и получены разрешающие системы дифференциальных уравнений, описывающие НДС многослойных армированных пластин и оболочек вращения, включающие в себя линейные и нелинейные варианты классической теории Кирхгофа — Лява, теорий Тимошенко, Андреева — Немировского и Григолюка — Куликова.
Третья глава посвящена методам решения краевых задач механики упругих композитных пластин и оболочек вращения. Рассматриваемые системы дифференциальных уравнений имеют высокий порядок, переменные коэффициенты, малые параметры, приводящие к появлению краевых эффектов. Математически это проявляется в наличии в фундаментальной системе решений как быстро, так и медленно возрастающих и убывающих функций, что приводит к плохой обусловленности матрицы системы, определяющей произвольные постоянные в общем решении исходной системы дифференциальных уравнений. Такие системы принято называть жесткими, а соответствующие задачи — задачами с погранслоем. При численном решении задач с погранслоем возникают трудности, связанные с неустойчивостью счета. Обсуждаются проблемы и подходы преодоления таких трудностей. Приведено описание метода сплайн-коллокации и метода дискретной ортогонализации, который лег в основу созданного программного комплекса. Рассмотрены различные аспекты применения методов дискретной ортогонализации и сплайн-коллокации для решения задач классической и уточненных тео-
рий пластин и оболочек. Аналитические решения, полученные для ряда задач многослойных конструкций (длинных прямоугольных пластин и цилиндрических панелей, сопряженной арочной конструкции, цилиндрической оболочки), позволили провести исследования устойчивости и точности метода дискретной ортогонализации, выработать рекомендации к решению жестких краевых задач механики тонких упругих композитных пластин и оболочек, исследовать различные механизмы потери устойчивости метода дискретной ортогонализации, разработать правила, позволяющие осуществлять устойчивое численное интегрирование жестких задач, спектральные радиусы которых могут достигать значений порядка 104-105. Предложено несколько способов построения неравномерных сеток для интегрирующей процедуры, показано, что использование неравномерных сеток, адаптивных к решению, позволяет на 3-4 порядка увеличить точность расчетов.
В четвертой, пятой и шестой главах приведены постановки, аналитические и численные решения прямых задач расчета НДС и определения нагрузок начального разрушения упругих слоистых полиарми-рованных круглых и кольцевых пластин, оболочек вращения различных геометрических форм, а также комбинированных обол очечных конструкций.
Четвертая глава посвящена исследованию класса линейных неосе-симметричных задач упругих композитных оболочек вращения. Исследовано влияние структурных и механических характеристик КМ на НДС рефлектора параболической антенны, выполненного в виде тонкой композитной оболочки и подверженного действию собственного веса, ветровой и температурной нагрузок. Исследованы особенности деформирования, определены нагрузки начального разрушения упругих армированных куполов и сводов, находящихся в условиях сложного напряженного состояния. Изучено влияние неоднородности и анизотропии КМ на деформирование резинокордной тороидальной оболочки.
Пятая глава посвящена изучению класса нелинейных осесиммет-ричных задач упругих композитных оболочек вращения. Рассчитано НДС
и определены нагрузки начального разрушения многослойных композитных оболочек нулевой гауссовой кривизны, а также сферических, эллипсоидальных, нодоидных оболочек и комбинированных сосудов давления. Проведено сравнение численных решений, полученных методами дискретной ортогонализации и сплайн-коллокации между собой и с численными решениями, полученными методом инвариантного погружения.
Шестая глава посвящена изучению класса круглых и кольцевых упругих композитных пластин. Получены аналитические и численные решения задачи определения НДС многослойных круглых и кольцевых пластин с изотропными слоями, симметричного относительно срединной поверхности строения, нагруженных равномерно распределенным внешним давлением. Исследовано влияние выбора схем армирования и структурных моделей КМ на вид НДС и уровень нагрузок начального разрушения кольцевых бороалюминиевых и углепластиковых пластин.
В седьмой главе рассмотрены основные задачи рационального проектирования упругих композитных пластин и оболочек вращения. Представлен обзор работ и анализ подходов к проблеме рационального проектирования упругих армированных оболочек. Дана общая постановка задачи рационального проектирования, в моментной постановке получены условия разрешимости переопределенных систем дифференциальных уравнений упругих осесимметричных оболочек при использовании в качестве критериев рациональности требований равнонапряжешюсти арматуры, полужесткости и постоянства удельной потенциальной энергии.
Восьмая глава посвящена выводу, анализу и решению систем уравнений рациональных оболочек. Получены классы аналитических решений для задач рационального проектирования цилиндрических, конических, сферических, эллипсоидальных, нодоидных оболочек, комбинированных резервуаров и сосудов давления, когда в качестве критериев рациональности выступают требования безмоментности напряженного состояния, равнонапряжешюсти арматуры, полужесткости и постоянства удельной потенциальной энергии, а в качестве параметров проектирова-
ния: толщина стенки и форма меридиана оболочки, углы и интенсивности армирования композиционного материала. Показана достоверность и эффективность рациональных решений.
В заключении приведены основные результаты диссертационной работы.
Автор считает своим долгом выразить глубокую и искреннюю признательность директору Института вычислительных технологий СО РАН академику Шокину Юрию Ивановичу за поддержку на всех этапах работы; д.ф.-м.н., профессору Немировскому Юрию Владимировичу за ценные научные консультации.
Автор благодарен своим ученикам: к.ф.-м.н. Горшкову В.В., к.т.н. Мержевичу В.В., аспирантам Баранову А.И., Морозовой Е.В., Одновалу СВ., Юрченко А.В. за плодотворную совместную работу.
Критерии прочности полиармированного слоя
Проблемы прочности КМ разрабатывались многими авторами и получили в литературе широкое освещение. Так же как и при построении моделей КМ, при установлении критериев прочности можно выделить два основных похода — феноменологический и структурный. В рамках первого из них КМ рассматривается как квазиоднородная упругая среда, для которой постулируется критерий прочности. Параметры, входящие в его математическую формулировку, определяются из экспериментальных данных. Среди феноменологических критериев прочности важное место занимает тензорно-полиномиальный критерий [205], который обобщает практически все известные феноменологические критерии. Однако следует отметить, что даже для относительно простых видов напряженного состояния требуется реализовать весьма трудоемкие программы экспериментов и математической обработки полученных данных. Другой недостаток таких критериев — их формулировка в терминах средних напряжений, что не позволяет выявить механизм возникновения начального разрушения и исследовать направление его дальнейшего развития.
Структурный подход свободен от указанных недостатков. Это направление базируется на изучении напряжений в элементах субструктуры, для каждого из которых принимается тот или иной критерий прочности. После определения средних характеристик НДС в конструкции, напряжения в элементах КМ восстанавливаются с помощью уравнений структурной модели. Таким путем вычисляются разрушающие интенсивности внешних нагрузок всех элементов композита, и наименьшая из них принимается за нагрузку начального разрушения. Этот подход позволяет выявить эффективность работы связующего и армирующих элементов, указать рациональные по прочности параметры армирования.
Рассмотрим структурный критерий прочности волокнистого КМ [11], который будет использован ниже в конкретных расчетах. Наряду с допущениями, сформулированными в предыдущем разделе, примем следующие два постулата: — адгезионная прочность связующего не ниже когезионной; — материалы связующего и армирующих элементов подчиняются условиям прочности вида: -FV(a/?) T(a3), СТ+, а ) = 1, (1.21) где т+, о — пределы прочности материала на растяжение и на сжатие соответственно. В качестве условий прочности можно принять, например, критерий Баландина [125], тогда F = FB= [ Тп + 0 + 0-33 - 011022 - 0-ЦСГ33 - 022033 + + За212 + Зт + Зг3 - (о+ - o--)(o-ii + 0-22 + 0-33)] (0-+0-")-1. І1-22) Если пределы прочности на растяжение и сжатие совпадают а+ = о = о- , то из (1.22) получаем критерий Мизеса: Рм( Г{аР)іЧаЗ) 7 ) = 1- С1-23) При использовании критерия Мизеса удобно использовать приведенные интенсивности напряжений в матрице и волокнах n-го семейства арматуры bsc = max I /sup FM(cr a0)cV r( 3)cl,a ), /sup FM( (Q/3)C2, T(a3)c2,0"c) » К = ир м( )а,г("а3)а,аГ), (l-24) где V — область занятая слоем. Начальное разрушение в матрице или волокнах произойдет в случае, когда bsc, 6s" = 1, соответственно.
Основываясь на приведенных зависимостях, линейная задача определения нагрузки начального разрушения армированного слоя решается следующим образом. Пусть рассматриваемая оболочка нагружена системой внешних нагрузок, интенсивности которых пропорциональны скалярному параметру Р. В силу линейности дифференциальных уравнений и граничных условий соответствующей краевой задачи статики обо-лочечных конструкций напряжения в волокнах и связующем будут про порциональны Р [11]. Тогда нагрузки начального разрушения обратно-пропорциональны интенсивностям напряжений в соответствующих элементах и равны для связующего, волокон n-го семейства и слоя в целом p; = p.Vs-c\ р:п = р-(ьРа)-\ p = min{p;,p;n}, (1.25) где величины bsc, bsa соответствуют НДС при значении скалярного параметра Р = Р.
Для определения нагрузки начального разрушения в нелинейном случае можно использовать следующий итерационный процесс. 1. Задается начальное значение нагрузки Р . 2. Решается задача определения НДС оболочки/пластины при значении скалярного параметра Р = Р . 3. Вычисляется 6s = max{6s", bsc} и Р по приведенным выше формулам. 4. Если 1 — bs \ є 0, то задается новое значение величины Р = Р и осуществляется возврат к пункту 2. 5. Искомое значение нагрузки начального разрушения равно Р .
Вопрос о сравнении эффективных упругих и прочностных характеристик армированных композитов, рассчитанных на основе различных моделей армированной среды, с данными, полученными из экспериментов весьма актуален. В литературе, в основном, представлены экспериментальные данные по продольному и поперечному растяжениям и сдвиговой деформации в плоскости слоя однонаправленно армированного образца.
В табл. 1.1, 1.2 приведены эффективные модули Е\, Е2 и Gu = G для однонаправленных композиционных материалов, полученные экспериментально [325, 187], по формулам (1.2) и МДВ. Здесь S — относительная разность между величинами, полученными экспериментально, и по моделям [11, 30].
На рис. 1.3 приведены результаты расчетов эффективных модулей Е\, Е2 однонаправленно армированного бороалюминиевого слоя, в зависимости от удельного содержания арматуры, с применением МДВ (сплошные кривые) и МОВ при az = 1 — ша (пунктирные кривые) и при az = 1 (штриховые кривые). Символами "А" на графике обозначены соответствующие экспериментальные данные [187]. Как видно, результаты расчетов модулей Е\ по МДВ и МОВ при az = 1 — ша совпадают и достаточно близки к экспериментальным — максимальная разница не превышает 10%. Однако при расчете Еч по МОВ при az = 1 — ша результаты не просто отличаются от экспериментальных данных численно (разница составляет от 25% до 400%), но и имеют несовпадающую с экспериментом тенденцию к уменьшению данного эффективного модуля при увеличении объемного содержания арматуры. При использовании МОВ с а2 = 1 ситуация исправляется, но все же недостаточно — отличие от экспериментальных данных может достигать 200%, при этом величина модуля Е\ переоценивается на 10-j-15%. МДВ оценивает модуль Ei достаточно эффективно — отличие от экспериментальных данных не превышает. 20%.
Осесимметричные задачи упругих композитных оболочек
Выразим функции из правых частей полученных уравнений через функции из их левых частей, которые выберем в качестве разрешающих. Выражение для д2 в явном виде приведено в (2.33). В соотношениях (2.36), (2.67) приведены явные выражения для Є22 и 22 через выбранные функции и $2- Из (2.68) с учетом (2.38) получаем 2х12 = h{2el2 ——- 6оШ) + - [ + - ) , (2.77) а из (2.47) имеем Иг = (США + №2ІАКА + {Kmx + k2D12lX)xt\ - (Гмв + k2M12Q). (2.78) Соотношения (2.47) для Тц, Ми и выражения (2.77) и (2.78) составляют систему линейных алгебраических уравнений, разрешая которую относительно переменных ц, хп, єі2, х\2 получаем их выражения через разрешающие и уже выраженные через них функции. Таким образом все присутствующие в правых частях (2.47) функции определены и, как следствие, все Тар, Мар выражены через разрешающие функции. Остается получить Qi и QI из (2.45) и (2.69), чтобы иметь представления для всех неизвестных функция в правых частях системы уравнений через разрешающие.
Таким образом, система уравнений (2.70)-(2.76) может быть записана в виде g = Ay + B + Cg + f, (2.79) где У = Гц, 5i2, Qi, Ми, uh «a, w, tfiT, (2.80) A = A(s,ip), В = B(s,(p), С = C(s,(p) — матричные функции размерности 8 x 8, f = f (s, ip, у) — вектор-функция размерности 8, содержащая свободные и квадратичные члены. Дополняя полученную систему условиями склейки по окружной координате и граничными условиями Gi-yM = &, Gr-y(sr) = gr, (2.81) где Gj, Gr — матрицы размерности 8x4 такие, что ранг составленной из них матрицы равен 8, a gj, gr — векторы размерности 4, получаем замкнутую краевую задачу для системы 8-ми дифференциальных уравнений в частных производных относительно 8-ми неизвестных функций.
В ряде случаев, для сведения двумерных краевых задач вида (2.62), (2.65) и (2.79), (2.81) к одномерным, удобно воспользоваться методом разделения переменных с применением тригонометрического базиса, что автоматически обеспечивает выполнение краевых условий по окружной координате. Для этого коэффициенты систем, в нашем случае — матрицы А, В, С, не должны зависеть от окружной координаты, что выполняется когда от нее не зависит структура материала. В векторе f необходимо избавиться от зависимости от разрешающего вектора, для чего задачу можно, предварительно, линеаризовать методом простой итерации. Тогда исходные краевые задачи сводятся к ряду одномерных краевых задач для систем ОДУ 20-го и 16-го порядка соответственно. В случае, когда, кроме перечисленного, материал оболочки имеет дополнительную плоскость симметрии — вдоль меридиональной координаты, получаемые одномерные задачи распадаются на подзадачи 10-го и 8-го порядков.
Приведем пример использования метода разделения переменных для сведения к ряду одномерных задач двумерной краевой задачи определения НДС однослойной ортотропной оболочки вращения с использованием теории оболочек Кирхгофа —Л ява.
Представим внешние нагрузки и температурное поле в виде gi(r Ч ) = gi.oM + 53[gi,mW со пир + gi.-mW sin my?], го=1 где gi = ді, дзТ, 92 = 9.2- Аналогично поступим с краевыми усилиями и перемещениями, тогда решение задачи можно искать в виде Fi(r, ср) = Fi)0(r) + [Fi,m(r) cos my? + Fi _m(r) sin my?], m=l oo F2(r,y?) = F2)0(r) + [F2,m(r) sin my? + F2 _m(r) cos my?], (2.82) m=l где Fi = Ti, T2, Mi, M2, Q, eh e2, xi, x2, u, w, tfiT, F2 = 5, H, 3 3 V\\T После подстановки разложений (2.82) в исходную систему уравнений, задача сводится к ряду независимых краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений на коэффициенты в разложениях (2.82). Каждая из этих систем записывается в виде Г = Атп(г)-утп + Ът(г), (2.83) аг где ym = \\TitTn,Qm,Miim,Sm,um,wm,-&itmivm\\T; Ат(г) — 8x8 матрица системы с компонентами у (г) - Аы,т(г); bm(r) — свободный вектор с компонентами 7(0 &fc,m(0 {k,l = 1,.. .,&). Вместе с соответствующими граничными условиями Утутіп) = ё/,т» г Утутах) = Sr,m V " / система (2.83) образует замкнутую краевую задачу.
Основную систему уравнений, описывающую равновесие оболочки вращения, выпишем в виде, включающем в себя линейный и нелинейный варианты классической теории Кирхгофа — Лява [246], теорий Тимошенко [153], Андреева — Немировского [11]. Уравнения равновесия имеют вид :
Проблемы вычисления векторов начальных данных и решения многоточечных задач
В силу единственности решения задачи Коши УІ(Х) и уо(ж) являются решениями соответствующих задач Коши с начальными данными УІ(ХІ), Уо(хі). Кроме того, любое невырожденное линейное преобразование L столбцов набора Y(x) не меняет его статуса фундаментальной системы решений (ФСР) системы (3.10). Из вышесказанного, в частности, следует, что набор {УІ(ХІ)} должен быть линейно независим, т.е. образовывать базис 5-мерного векторного пространства, при том, что это может быть произвольный базис.
Таким образом, решение краевой задачи (3.6)-(3.8) представимо в виде (3.9), где Y(x) — матричная функция, составленная из вектор-столбцов УІ(Х), которые являются решениями задач Коши для системы (3.10) с начальными данными УІ(Х{) = у , где {УІ,І} — произвольный базис 5-мерного векторного пространства; уо( ) — решение задачи Коши для системы (3.6) с произвольными начальными данными Уо(#0 = Уо,/-Вектор произвольных постоянных с определяется из граничных условий (3.7), (3.8) как решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Gr(Y(a?0-c + yo(a:i)) = &, (3.11) Gr (Y{xr) с + уо(жг)) = gr. (3.12)
Набор вектор-столбцов Y разбиваем на два поднабора Yi, Y2, вектор с на две части Сі и сг, где Yi — первые 5/ столбцов Y, Y2 — оставшиеся 5Г столбцов, Сі — первые Si элементов с, С2 — остальные 5Г элементов. Теперь подсистему (3.11) можно записать в виде G, (Yi,f С! + Y2;/ с2 + y0,z) = , (3.13) где Yi;/ = Yi(xi), Y2,i - Y2(xi). Т.к. Y; — Y(xt) выбирается как произвольный линейно-независимый набор вектор-столбцов, то его можно построить так, чтобы Y2,/ -L Gj, Y\j = Gj. Если при этом выбрать Уо,/ : Gi уо,/ = gi, что допустимо, то система (3.13) приводится к виду G; Gj СІ = 0. Вследствие невырожденности G; Gj, единственным решением такой системы становится с і = 0.
Вектор-функции из построенного таким образом набора Yi не имеют вклада в решение задачи (3.6)-(3.8) и их можно не искать, а неизвестная часть с2 вектора с определяется из граничного условия на правом крае как решение системы Gr (Y2{xr) с2 + уо(яг)) = ёг- (3.14)
Такой подход позволяет при решении краевой задачи (3.6)-(3.8) не искать полную ФСР системы (ЗЛО), ограничиваясь лишь Sr независимыми функциями, построенными особым образом. Т.к. не имеет принципиального значения какую из границ принять за "левый", а какую за "правый" край, общее количество решаемых задач Коши всегда будет не больше [5/2] +1.
Алгоритм, основанный на изложенном подходе — построение специальным образом начальных данных Y2,i, Уо,ь решение (5r + 1) задач Коши, отыскание неизвестной части с2 вектора свободных коэффициентов, получение решения краевой задачи (3.6)-(3.8) в виде
y(x) = Y2(x)-c2 + y0(x)1 (3.15)
называют методом начальных параметров или методом стрельбы. Он является одним из самых простых методов решения линейных краевых задач для систем ОДУ.
При решении краевых задач для жестких систем ОДУ методом начальных параметров возникает две проблемы. Одна из них — описанная ранее проблема неограниченного роста погрешности численного интегрирования задач Коши, в случае, когда в спектре матрицы системы есть значения с большой положительной действительной частью. Другая проблема в том, что в какой-то момент векторы-столбцы матрицы Y могут стать линейно зависимыми. Начиная с такого момента, во всех последующих точках, наборы векторов Y также будут вырожденными, в итоге система (3.14) становится либо неразрешимой, либо имеет бесконечное количество решений, что недопустимо.
По изложенным причинам метод начальных параметров практически неприменим к решению задач расчета НДС тонкостенных композитных конструкций даже при использовании классической теории Кирхгофа — Лява и теорий типа Тимошенко.
В алгоритм метода дискретной ортогонализации, для преодоления проблемы сингулярности матрицы системы алгебраических уравнений, возникающей при поиске произвольных постоянных, а также проблемы неограниченного экспоненциального роста погрешностей, вводятся механизмы ортогонализации и нормирования компонент решения уо, у в дискретном наборе точек интервала решения. Такой механизм не имеет четкого физического смысла, и метод не поддается полному теоретическому анализу. Однако, как показывает практика, применение такого подхода оправдано.
Изложим основы алгоритма метода дискретной ортогонализации. В любой точке и на любом интервале представление (3.15) можно преобразовать следующим образом y(x)=Y(x)-c + y0(x), (3-16) где Y(x) = Y(x) L, с - L-1 (с + 1), у0(х) = у0(х) - Y(x) 1; L -произвольное невырожденное линейное преобразование порядка Sr, а 1 — произвольный вектор порядка Sr. Так как вид представлений (3.15) и (3.16) совпадает, эти преобразования можно продолжать рекурсивно.
Интервал решения разбивается на J подинтервалов узлами Xj Є (xi,xr), j = 1... J — 1, Xj Xj+\. Начальные данные Yj, yo,j строятся аналогично методу начальных параметров. При достижении заданной точки Xj во время численного интегрирования задач Коши набор Y(XJ), yo(xj) преобразуется по формуле (3.1G), что будет соответствовать применению преобразования на интервале [a;j,a;r]. В качестве L выбирается оператор Wj, ортогонализующий и нормирующий Y(rcj), а вектор 1 = Wj Wj : yo(xj) _L Y(XJ).
Рефлектор под действием температурного нагруже- ния (осесимметричный случай)
Как уже отмечалось, метод дискретной ортогонализации получил широкое распространение. Он хорошо зарекомендовал себя и показал высокую эффективность при расчете тонкостенных конструкций в рамках классической теории оболочек Кирхгофа —Лява [96, 97, 98]. Для решения таких задач вполне достаточно использовать равномерные сетки узлов ортогонализации и интервалов интегрирования. При этом типичное количество узлов ортогонализации, достаточное для устойчивого счета, относительно невелико — до 20, а количество интервалов интегрирования, необходимое для достижение приемлемой относительной точности (порядка Ю-5) составляет от 200 до 400. Однако при переходе к использованию уточненных теорий пластин и оболочек, учитывающих поперечные сдвиги, таких значений оказывается явно недостаточно, и появляется необходимость дополнительного контроля точности и устойчивости расчетов.
В методе дискретной ортогонализации, в дополнение к шагу интегрирования, появляется ещё один управляющий параметр — расстояние между узлами ортогонализации. Совместно, эти параметры позволяют контролировать и управлять устойчивостью численного расчета, его точностью и вычислительной емкостью. Дополняя алгоритм метода дискретной ортогонализации процедурами выбора шага интегрирования и расстояния между узлами ортогонализации, а также процедурой линеаризации, можно построить алгоритм решения краевых задач для жестких систем ОДУ.
Проведем экспериментальную оценку значений расстояний между узлами ортогонализации и шагов интегрирования, необходимых для обес печения устойчивости расчета. Для этого рассмотрим модельную задачу изгиба слоистой длинной прямоугольной пластины, нагруженной равномерно распределенным давлением. Обезразмеренная разрешающая система ОДУ, описывающая поведение такой пластины в уточненной постановке, имеет вид [11]:
На рис. 3.3 приведен вид решения задачи изгиба жестко защемленной на обоих краях трехслойной пластины в разрешающих функциях, нормированных в равномерной метрике (геометрические и механические параметры пластины: l/h = 15, Л.2/ 1 = 8, Е\/Е2 = 10, v\ = vi = 0.3). Сплошные линии на рис. 3.3 соответствуют W (x), Ut(x); штриховые — Wi(x), Ul(x); пунктирные — W"(x), П (я); штрих-пунктирные — W" , П . Видно, что получаемые решения имеют ярко выраженные краевые эффекты.
Таким образом, данная задача является очень удобным инструментом для исследования проблемы обеспечения устойчивости и точности вычислений, так как она описывается жесткой системой уравнений с постоянными коэффициентами, и жесткость системы легко регулируется с помощью параметров задачи. При этом, полученное аналитическое решение позволяет вычислять как глобальные, так и локальные погрешности вычислений.
Исследовалось влияние расстояния между узлами ортогонализации и количества интервалов интегрирования между ними на точность расчетов, которая использовалась как критерий их устойчивости. Проведенные численные эксперименты показали, что с увеличением жесткости задачи начинает проявляться проблема "размазанности" "области перехода" от неустойчивых расчетов к устойчивым при уменьшении расстояния между узлами ортогонализации. При этом, данная проблема проявляет 102 ся сильнее при большем количестве интервалов интегрирования между соседними узлами ортогонализации. Так на рис. 3.4 представлены за висимости погрешности вычислений (логарифмированной по основанию 10) от числа узлов ортогонализации для различного числа интервалов интегрирующей процедуры: штриховые кривые соответствуют трем интервалам, пунктирные — четырем, сплошные — пяти. Зависимости получены для описанной выше задачи при значении l/h = 100 (рис. 3.4а) и l/h = 500 (рис. 3.46), спектральный радиус матрицы системы при этом равняется Л = 1037.73 и 5188.63 соответственно. Из рисунка видно, что при меньшем спектральном радиусе прослеживается четкая граница перехода от неустойчивых решений к устанавливающимся, т.е. таким, погрешность которых стабильно уменьшается при уменьшении шага сетки. При больших спектральных радиусах очень существенной становится проблема обеспечения устойчивости численного интегрирования, что проявляется в возникновении осциляций погрешности на графике. Отметим, что при значении l/h = 1000 осциляций возникают уже при использовании трех интервалов интегрирования. Таким образом, чем выше жесткость системы уравнений, тем меньшее количество интегрирований допускается между узлами ортогонализации.
Рассмотрим теперь какое расстояние между узлами ортогонализа ции необходимо для устойчивого расчета. Для этого построим зависимость числа узлов ортогонализаций при котором расчет является устойчивым (по признаку стабильно небольшой погрешности) от спектрального радиуса системы Л. На рис. 3.5а представлены два варианта таких зависимостей: при нефиксированном (больше трех, подбираемом в зависимости от результатов) количестве интегрирований между узлами ортогонализаций (пунктирная кривая) и при фиксированном (три интегрирования, сплошная кривая), во втором случае фиксировался и критерий устойчивости — достижение погрешности вычислений порядка 10 3. Видно, что использование числа интервалов интегрирования больше трех целесообразно, но только для задач малой и средней жесткости, для очень жестких задач это приводит к нестабильности результата (о чем сказано выше), а выигрыш в количестве ортогонализаций составляет 30% для Л = 5000 и уменьшается с ростом Л. В обоих случаях зависимость приближенно стабилизируется на некоторой линейной функции при увеличении Л. Однако, для фиксированного количества интегрирований между узлами ортогонализаций эта зависимость более стабильная: ОРпит « 0.095 Л + 25.
При описании метода дискретной ортогонализаций [68] С.К. Годунов указывает в качестве критерия его работоспособности/устойчивости, кроме естественного условия невырожденности набора векторов Y во всех точках интервала решения, близость к единице определителей матриц Wj. Эти матрицы имеют особую структуру — они верхнедиагональные, таким образом их определители равны произведению их диагональных элементов, которые, в свою очередь, являются нормирующими множителями для векторов-решений. Последнее и накладывает ограничения на их величины — нормирование не должно приводить к существенным потерям в значащих цифрах компонент векторов-решений.
Рассмотрим поведение двух различных величин, характеризующих матрицу W: maxj{— log10 \Wa\} и — log10 det W. На рис. 3.56 приведены зависимости max;{— log10 ІИ І} от Л для построенных на рис. 3.5а кривых. Видно, что "близость к единице" нормирующих множителей весьма относительна — они могут отличаться от нее на 2 -j- 8 порядков. Тем не менее можно видеть, что при увеличении спектрального радиуса матрицы системы рассматриваемые величины стабилизируются — гиперболически приближаются к значениям порядка 4-=-5. Отметим, что для задач "малой"жесткости, при фиксированном числе интегрирований между ортогонализациями, условия устойчивости выполняются "с запасом", т.е. реально расчет становится устойчивым при значительно меньшем количестве узлов ортогонализации, а недостающую точность можно легко компенсировать измельчая сетку процедуры интегрирования.
Посмотрим теперь как меняется матрица W при изменении числа узлов ортогонализации. В табл. 3.1 представлены данные для задач с разным соотношением l/h. В качестве второго параметра рассматривается величина ОРпит l/h, что позволяет, в определенной степени, оставаться независимыми от жесткости задачи при исследовании величин maxf{— log10 \Wu\} и — log10 det W. Действительно, если посмотреть на нижнюю половину таблицы, то видно, что детерминант матрицы W практически не изменяется по горизонтали и, при этом прямо пропорционален предложенному параметру.
Похожие диссертации на Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения
