Содержание к диссертации
Введение
1. Модели и методы решения спектральных задач конструктивно-нелинейной механики 11
1.1. Нелинейная теория жесткогибких оболочек, учитывающая трансверсальные деформации 11
1.1.1. ЯЯ-алгоритм учета трансверсальных деформаций в уравнениях кирхгофовской теории 11
1.1.2. Теория пологих оболочек типа Маргера-Тимошенко-Нагди (M-T-N) 15
1.1.3. Полудеформационный вариант граничных величин для теории типа M-T-N 19
1.1.4. Теория цилиндрических оболочек типа M-T-N 21
1.1.5. Теория типа K-T-N в полярных координатах для круглой пластины 24
1.2. Спектральные задачи конструктивно-нелинейной механики 26
1.3. Локальный метод поиска собственного числа положтельно однородного оператора 32
1.4. Комбинированный алгоритм „ППВ+ЛПВ" 34
2. Устойчивость одномерных элементов конструкций на границе раздела разномодульных винклеровских сред 38
2.1. Цилиндрическая оболочка постоянной толщины 38
2.2. Цилиндрическая оболочка переменной толщины 53
2.3. Круглая осесимметричная пластина 57
3. Учет поперечных сдвигов в задаче об устойчивости цилиндрической оболочки 66
3.1. Подготовка полевых и граничных уравнений 66
3.2. Постановка спектральной задачи 68
3.2.1. Случай разномодульных винклеровских сред 68
3.3.1. Решение задачи в случае однородной винклеровской среды 72
Заключение 77
- Спектральные задачи конструктивно-нелинейной механики
- Цилиндрическая оболочка переменной толщины
- Случай разномодульных винклеровских сред
- Решение задачи в случае однородной винклеровской среды
Введение к работе
Задача устойчивости является одной из важнейших задач механики деформируемых твердых тел. Теоретические предпосылки к рассмотрению вопросов устойчивости заложены еще в работах Л.Эйлера, Ж. Лагранжа, A.M. Ляпунова. Лагранж [23] говорил об устойчивом равновесии в том смысле, „... что если система находилась в состоянии равновесия, а затем была немного из него выведена, то она сама собою стремится вернуться к этому состоянию, совершая около него бесконечно малые колебания".
Устойчивое состояние упругой системы характеризуется тем, что малые возмущения приводят к незначительным изменениям их основных характеристик (перемещений, деформаций, напряжений и т.д). Однако возможны такие нагрузки, что даже незначительные возмущения приводят к большим изменениям основных характеристик упругой системы и в этом случае, как правило, система теряет свою несущую способность. Одной из первых задач такого рода была задача Эйлера об устойчивости стержня, сжатого продольными силами. Развитие проблемы устойчивости нашло отражение в работах Е.Л. Николаи [42], СП. Тимошенко [55-57], В.В. Болотина [2], Г. Циглсра [74, 75], В.И. Феодосьева [69], Я.Г. Пановко и И.И Губановой [46].
Особое внимание уделялось исследованию вопросов устойчивости тонких оболочек [5-7, 12, 43, 55, 58, 59, 71, 87], т.к. они обладают замечательным свойством выдерживать значительные нагрузки при малой толщине. Это свойство тонких оболочек позволяет создавать из них легкие конструкции с хорошими жесткостными и прочностными ха-
рактеристиками, что способствует широкому применению оболочек в судостроении, самолетостроении, строительстве крупных сооружений.
Исследованию задач на устойчивость, когда оболочка, пластина или балка связаны с упругой средой, посвящены работы [17, 55, 56].
В последнее время все большее внимание уделяется т.н. конструктивно-нелинейным задачам механики упругих систем. Особенность этих задач в том, что, в отличие от задач классической нелинейной теории упругости, они обладают нелинейностью как существенным (неустранимым) свойством. Природа такой нелинейности кроется в наличии односторонних связей в конструкции или материале, что формально описывается с использованием положительных и отрицательных срезок функций. Другая особенность конструктивно-нелинейных задач связана с тем, что к ним непосредственно, как правило, неприменимы методы традиционной нелинейной механики упругих тел.
Широким классом конструктивно-нелинейных задач являются задачи на устойчивость упругих элементов конструкций на границе раз-номодульных (т.е. области с различными жесткостями) винклеровских сред. Многие из таких задач сводятся к исследованию операторного уравнения вида
Аи = Аи + Ciu+ + С2и_ = \Qu, (0.1)
где A, Q - операторы, действующие в некотором гильбертовом пространстве; С\, Сі - операторы умножения; и+ = max{0,и}, и- = тгп {0, и} - срезки функции и.
Оператор А является положительно однородным, т.е. таким, что А (аи) = аАи, если а > 0. Следовательно, задачи на устойчивость
элементов конструкций при односторонних связях в виде винклеров-ских сред сводятся к проблеме собственных значений положительно однородного оператора. Для решения задач вида (0.1) был предложен т.н. локальный метод поиска собственных чисел полоэюителъно однородного оператора [33](ниже - локальный метод). Доказательство сходимости метода и примеры его применения приведены в работах [33, 52, 72]. Метод назван "локальным", потому что он позволяет находить какой-нибудь (локальный) минимум функционала, соответствующего уравнению (0.1). Сходимость метода доказана при весьма жестких требованиях к операторам А и Q [52]. Поиск глобального минимума может быть сведен к задаче сепарабельного программирования, для решения которой применима расчетная схема локального метода в сочетании с методом ветвей и границ [51].
Алгоритм полного перебора вариантов (ППВ) для решения одномерной спектральной задачи вида (0.1) впервые использовался в работе [52]. Он заключается в конечномерной аппроксимации уравнения (0.1) и в нахождении путем перебора вариантов непротиворечивой собственной формы, которой отвечает минимальное собственное число. В общем случае этот алгоритм позволяет находить не только первое собственное число, но и часть (в зависимости от размерности сетки) дискретного собственного спектра. Однако практическая реализация алгоритма ППВ наталкивается на т.н. "проклятие размерности": при применении этого алгоритма на сетке размерностью т приходится, установив правило перебора вариантов, решать 2m_1 линейных спектральных задач.
В данной работе предлагается комбинированный алгоритм перебора вариантов. Сначала на редкой сетке (т.е. такой, чтобы 2m_1 было не слишком большим числом) реализуется алгоритм ППВ и выбирается качественно адекватная собственная форма, т.е. имеющая устойчивый с ростом т вид графика (например, собственная форма с двумя полуволнами). Затем применяется алгоритм локального перебора вариантов (ЛПВ), который заключается в том, что число узлов сетки последовательно удваивается делением пополам, а перебор вариантов производится лишь вблизи корней собственной формы.
Целью работы является создание эффективного алгоритма решения задач на устойчивость оболочек и пластин в условиях конструктивной нелинейности.
В разделе 1 приведены известные сведения, на которые в дальнейшем делаются ссылки при изложении основного материала.
В подразделе 1.1 изложены основные сведения из нелинейной теории жесткогибких оболочек, учитывающей трансверсальные деформации, в том числе одноименные сдвиги как по модели С.П.Тимошенко, так и по модели Д.И.Журавского. Сформулирован основанный на этой теории ЯЯ-алгоритм учета трансверсальных деформаций в различных кирхгофовских вариантах теории оболочек. 9Я-алгоритм иллюстриро-
ван уточнением^нелиненой теории пологих^оболочек-Маргера.-Привсь.
дится полудеформационный вариант граничных величин, при использовании которого система уравнений Маргера-Тимошенко-Нагди является замкнутой. Приведены все необходимые соотношения для случая цилиндрической оболочки, которые найдут применение при изло-
жении раздела 3.
В подразделе 1.2 приводятся иллюстрации постановки задач на устойчивость в условиях конструктивной нелинейности, обусловленной наличием односторонних связей в виде разномодульных винклеров-ских сред.
В подразделе 1.3 рассматривается локальный метод поиска собственных чисел положительно однородного оператора. Названный метод сводится к решению последовательности задач минимизации выпуклого функционала при линейных ограничениях и дает какое-либо, не обязательно минимальное собственное число. К минимальному собственному числу алгоритм будет сходится при наличии достаточно хорошего начального приближения.
В подразделе 1.4 изложена сущность комбинированного алгоритма перебора вариантов, составляющего основу данной работы.
В разделе 2 рассматриваются задачи на устойчивость одномерных элементов конструкций на границе разномодульных винклеровских сред. Приводится постановка задачи в конечномерном пространстве, аналитическое решение в случае однородной упругой среды, численное решение поставленной задачи и анализ полученных результатов.
В разделе 3 излагается полученное соискателем решение задачи на устойчивость продольно сжатой цилиндрической оболочки на границе разномодульных винклеровских сред, при учете в ней (оболочке) поперечных сдвигов по моделям Тимошенко и Журавского.
На защиту выносятся следующие результаты:
1. Комбинированный алгоритм „ППВ+ЛПВ" решения спектраль-
ных задач конструктивно-нелинейной механики.
2. Решения с использованием алгоритма „ППВ+ЛПВ" задач на устой
чивость продольно сжимаемой цилиндрической оболочки на границе
разномодульных винклеровских сред, в том числе
оболочки постоянной толщины по теории Кирхгофа;
оболочки переменной толщины по теории Кирхгофа;
оболочки постоянной толщины по теории Маргера-Тимошенко и теории Маргера-Журавского.
3. Решение задачи на устойчивость осесимметрично деформиру
емой круглой пластины на границе разномодульных винклеровских
сред под действием равномерно распределенной по граничному конту
ру сжимающей радиальной нагрузки.
Материалы диссертации опубликованы в работах [38, 60-67], докладывались и обсуждались на:
Всероссийской научной конференции с международным участием „Математическое моделирование и краевые задачи" (СамГТУ, г.Самара, 2008);
научной конференции-семинаре „Теория управления и математическое моделирование" (ИжГТУ, г. Ижевск, 2008);
I Всероссийской молодежной научной конференции „Молодежь и наука на Севере" (КНЦУрО РАН, г.Сыктывкар, 2008); _
международных научных конференциях "СЕВЕРГЕОЭКОТЕХ -2004", "СЕВЕРГЕОЭКОТЕХ - 2005" (УГТУ, г.Ухта) в 2004, 2005 г.г.;
ежегодных научных коференциях „Февральские чтения" (Сыкт-ГУ, г.Сыктывкар) в 2005-2008 г.г.
По теме диссертации выполнен проект „Исследование влияния учета трансверсальных деформаций на устойчивость пластин в условиях односторонних связей" при поддержке гранта Правительства С.Петербурга М04-2.2К-549.
Полностью работа докладывалась на кафедре математического моделирования и кибернетики Сыктывкарского университета (24 октября 2008 г.) и на семинаре кафедры теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского государственного университета (13 ноября 2008 г).
В работе [38] научным руководителем Е.И.Михайловским дана общая постановка задачи. Соискателю принадлежит алгоритм локального перебора вариантов и его численная реализация. Работы [66, 67] выполнены совместно с учениками соискателя.
Спектральные задачи конструктивно-нелинейной механики
Проблемы устойчивости конструкций при наличии односторонних ограничений на прогибы связаны с изучением точек бифуркации негладких уравнений или с определением параметров, при которых вариационные неравенства имеют неединственное решение. Трудность решения таких задач обусловлена тем, что уравнения в окрестности точки равновесия не могут быть линеаризованы, обладая негладкостью как существенным свойством. Рассмотрим некоторые постановки задач на примере цилиндрической оболочки. В практике нередки случаи, когда нагрузка, действующая на цилиндрическую оболочку, симметрично распределена относительно оси цилиндра. Труба, подвергнутая действию равномерно распределённого внутреннего давления, вертикальный цилиндрический резервуар, содержащий жидкость, или вращающийся барабан, подвергнутый действию центробежных сил, - вот примеры такого симметричного нагружения. Поскольку в этих случаях все точки средин- ной поверхности оболочки, лежащие в одном поперечном сечении, перпендикулярном к оси симметрии, имеют одно и то же смещение, достаточно рассмотреть одну элементарную полосу единичной ширины, вырезанную из оболочки двумя осевыми сечениями [56]. Пусть цилиндрическая оболочка длиной I нагружена продольной силой Р и находится на границе раздела двух упругих сред с жестко-стями с\ и С2, реагирующих на прогибы оболочки как простые винкле-ровские основания. Из уравнений (1.25) при Щ = h\ = 0, тп = 0, ф\ = ф2 = 0 в случае осесимметричного выпучивания пологой оболочки приходим к следующему разрешающему уравнению Задача устойчивости при граничных условиях шарнирного опирання (для определенности) сводится к проблеме определения таких значений параметра нагрузки Р, при которых краевая задача имеет нетривиальное решение. В уравнении (1.32)i штрихом обозначена производная по = x±/R; qn = —ciw+ — С2ІП-, w+ = max{Q,w}, w- = min{0,w} — срезки функции ги() (прогиба); 0 = l/R. Особенностью задачи (1.32) является ее нелинейность, обусловленная срезками функции ги(), т.е. нужно находить „собственные" функции негладких операторов.
Энергия деформации оболочки определяется формулой Полная энергия деформации винклеровских сред выражается формулой Учитывая далее, что работа сжимающей силы Р определяется формулой для полной потенциальной энергии системы получим следующее выражение: штрихом обозначена производная по . Уравнение Эйлера-Пуассона для функционала типа (1.33) определяется равенством и разделив, полученное выражение на dQ/RA приходим к уравнению (1.32), которое и является уравнением Эйлера-Пуассона для интеграла (1.33) с подынтегральной функцией и (1.32) переходит в известное уравнение осесимметричного выпучивания цилиндрической оболочки с упругим заполнителем. Таким образом, спектральную краевую задачу (1.32) можно переформулировать так: найти такие значения параметра Р, при которых вариационная проблема имеет нетривиальное решение. Решение задачи (1.34) удовлетворяет уравнению (1.32). Теория типа Тимошенко (типа Журавского) При учете трансверсальных сдвигов используем уравнения уточненной теории (1.25) и граничных условиях шарнирного опирання приходим к проблеме определения таких значений параметра нагрузки Тц = —Т, при которых краевая задача имеет нетривиальное решение. Изгиб круглой осесимметричной пластины Основное уравнение Кармана изгиба плоских пластин в полярных координатах имеет вид В случае осесимметричной деформации уравнение (1.36) имеет вид rdr \ dr \r dr \ drj J J Общая постановка В общей форме такого рода задачи могут быть сформулированы следующим образом. Рассмотрим операторное уравнение где A, Q - операторы, действующие в некотором гильбертовом пространстве; Сі, С2 операторы умножения на неотрицательную функцию; и+ — тах{0, и] , «_ = min{0, и}- срезки элемента и . Задача на устойчивость формулируется как задача на собственные значения для уравнения (1.40): найти числа Л, при которых уравнение (1.40) имеет нетривиальное решение. К уравнению (1.40) могут быть сведены другие задачи [60] устойчивости одномерных конструкций с односторонними связями. Постановка задач в конечномерном случае При решении задач, сформулированных выше, приходится, так или иначе, переходить к конечномерному случаю. Рассмотрим задачу (1.40) в Rm г. Она сводится к отысканию чисел Л, при которых система уравнений имеет нетривиальное решение. В данном случае A, Q симметричные, строго положительно определенные матрицы; Сі, С2- диагональные матрицы с неотрицательными элементами су, где ф - знак транспонирования. Выражение для П(х) (см. (1.33)) в Rm l запишется так Здесь, как и в системе (1.41), матрицы A, Q- симметричные, строго положительно определенные; Сі, С2 - диагональные с неотрицательными диагональными элементами. Задачу (1.41) можно решить полным перебором, рассмотрев 2m_1 вариантов, а это трудно разрешимая задача в пространстве большой размерности. В подразделе 1.4 приведено описание алгоритма полного перебора вариантов. 1.3 Локальный метод поиска собственного числа положительно однородного оператора Рассмотрим функциональное гильбертово пространство Н с элементами, определенными на некоторой области Г2 С Rm с кусочно-гладкой границей.
Будем предполагать, что пространство Н ограниченно вкладывается в L2(Q), т.е. из условия и 6 Н следует, что и Є 2 2 (Г2) и любое множество, ограниченное в Н, является ограниченным также и в пространстве L2 (JT2); операторы A, Q определены на плотном множестве гильбертова пространства Н, переводят элементы этого множества в элементы 1 ( ) и ограничены. Считаем, что оператор А является положительно определенным, т.е. А- симметричный и такой, что и компактный, т.е. переводит всякую слабо сходящуюся последовательность {ип} С Я в сходящуюся в метрике пространства Ь2(0). Рассмотрим экстремальную задачу где функционалы f{u) и д(и) имеют вид Задача (1.45) разрешима [53] и существует обратное отображение F-i(u) = f (u) = Аи + С\и+ 4- CiU- - градиент функционала /. Пусть v - решение (1.45). По правилу множителей Лагранжа найдется число А такое, что выполнены соотношения Иначе говоря, v является также и нетривиальным решением уравнения (1.40). Если и О- решение (1.40), то полагая v = и/-\/д(и), получим решение (1.46). Будем такие точки также называть стационарными. Метод последовательных приблиоюений для поиска стационарных точек. Пусть щ Є М, Ло Є R1- некоторое начальное приближение. Предположим, что уже найдена точка щ Є М и число А& . Рассмотрим множество и найдем точку ик+1 Є Мк такую, что Решение задачи (1.47) существует и единственно, т.к. г +1 - точка минимума сильно выпуклого функционала на выпуклом множестве Мк. По правилу множителей Лагранжа найдется Хк+ґ- Ґ(ик+1) = Xk+iQuk. Нетрудно увидеть, Следующее (к -f 1)-е приближение строится по правилу Доказано [53], что последовательность {щ} сходится к некоторому решению уравнений (1.46) - элементу и . Иначе говоря, метод дает какое-нибудь, не обязательно минимальное собственное число Л = f(u ) уравнения (1.40) (и именно поэтому назван локальным). К минимальному собственному числу алгоритм будет сходится при наличии достаточно хорошего начального приближения щ. Таким образом, метод сводится к решению задач минимизации (1.47) в некотором бесконечномерном гильбертовом пространстве, эквива- лентных системам нелиненых уравнений вида При практической реализации приведенного алгоритма экстремальная задача (1.47) сводится к конечномерной используя проекционные методы (см. например [20]).
Цилиндрическая оболочка переменной толщины
Задача устойчивости является одной из важнейших задач механики деформируемых твердых тел. Теоретические предпосылки к рассмотрению вопросов устойчивости заложены еще в работах Л.Эйлера, Ж. Лагранжа, A.M. Ляпунова. Лагранж [23] говорил об устойчивом равновесии в том смысле, „... что если система находилась в состоянии равновесия, а затем была немного из него выведена, то она сама собою стремится вернуться к этому состоянию, совершая около него бесконечно малые колебания". Устойчивое состояние упругой системы характеризуется тем, что малые возмущения приводят к незначительным изменениям их основных характеристик (перемещений, деформаций, напряжений и т.д). Однако возможны такие нагрузки, что даже незначительные возмущения приводят к большим изменениям основных характеристик упругой системы и в этом случае, как правило, система теряет свою несущую способность. Одной из первых задач такого рода была задача Эйлера об устойчивости стержня, сжатого продольными силами. Развитие проблемы устойчивости нашло отражение в работах Е.Л. Николаи [42], СП. Тимошенко [55-57], В.В. Болотина [2], Г. Циглсра [74, 75], В.И. Феодосьева [69], Я.Г. Пановко и И.И Губановой [46]. Особое внимание уделялось исследованию вопросов устойчивости тонких оболочек [5-7, 12, 43, 55, 58, 59, 71, 87], т.к. они обладают замечательным свойством выдерживать значительные нагрузки при малой толщине. Это свойство тонких оболочек позволяет создавать из них легкие конструкции с хорошими жесткостными и прочностными ха- рактеристиками, что способствует широкому применению оболочек в судостроении, самолетостроении, строительстве крупных сооружений. Исследованию задач на устойчивость, когда оболочка, пластина или балка связаны с упругой средой, посвящены работы [17, 55, 56]. В последнее время все большее внимание уделяется т.н. конструктивно-нелинейным задачам механики упругих систем. Особенность этих задач в том, что, в отличие от задач классической нелинейной теории упругости, они обладают нелинейностью как существенным (неустранимым) свойством. Природа такой нелинейности кроется в наличии односторонних связей в конструкции или материале, что формально описывается с использованием положительных и отрицательных срезок функций. Другая особенность конструктивно-нелинейных задач связана с тем, что к ним непосредственно, как правило, неприменимы методы традиционной нелинейной механики упругих тел.
Широким классом конструктивно-нелинейных задач являются задачи на устойчивость упругих элементов конструкций на границе раз-номодульных (т.е. области с различными жесткостями) винклеровских сред. Многие из таких задач сводятся к исследованию операторного уравнения вида где A, Q - операторы, действующие в некотором гильбертовом пространстве; С\, Сі - операторы умножения; и+ = max{0,и}, и- = тгп {0, и} - срезки функции и. Оператор А является положительно однородным, т.е. таким, что А (аи) = аАи, если а 0. Следовательно, задачи на устойчивость элементов конструкций при односторонних связях в виде винклеров-ских сред сводятся к проблеме собственных значений положительно однородного оператора. Для решения задач вида (0.1) был предложен т.н. локальный метод поиска собственных чисел полоэюителъно однородного оператора [33](ниже - локальный метод). Доказательство сходимости метода и примеры его применения приведены в работах [33, 52, 72]. Метод назван "локальным", потому что он позволяет находить какой-нибудь (локальный) минимум функционала, соответствующего уравнению (0.1). Сходимость метода доказана при весьма жестких требованиях к операторам А и Q [52]. Поиск глобального минимума может быть сведен к задаче сепарабельного программирования, для решения которой применима расчетная схема локального метода в сочетании с методом ветвей и границ [51]. Алгоритм полного перебора вариантов (ППВ) для решения одномерной спектральной задачи вида (0.1) впервые использовался в работе [52]. Он заключается в конечномерной аппроксимации уравнения (0.1) и в нахождении путем перебора вариантов непротиворечивой собственной формы, которой отвечает минимальное собственное число. В общем случае этот алгоритм позволяет находить не только первое собственное число, но и часть (в зависимости от размерности сетки) дискретного собственного спектра. Однако практическая реализация алгоритма ППВ наталкивается на т.н. "проклятие размерности": при применении этого алгоритма на сетке размерностью т приходится, установив правило перебора вариантов, решать 2m_1 линейных спектральных задач.
Случай разномодульных винклеровских сред
В данной работе предлагается комбинированный алгоритм перебора вариантов. Сначала на редкой сетке (т.е. такой, чтобы 2m_1 было не слишком большим числом) реализуется алгоритм ППВ и выбирается качественно адекватная собственная форма, т.е. имеющая устойчивый с ростом т вид графика (например, собственная форма с двумя полуволнами). Затем применяется алгоритм локального перебора вариантов (ЛПВ), который заключается в том, что число узлов сетки последовательно удваивается делением пополам, а перебор вариантов производится лишь вблизи корней собственной формы. Целью работы является создание эффективного алгоритма решения задач на устойчивость оболочек и пластин в условиях конструктивной нелинейности. В разделе 1 приведены известные сведения, на которые в дальнейшем делаются ссылки при изложении основного материала. В подразделе 1.1 изложены основные сведения из нелинейной теории жесткогибких оболочек, учитывающей трансверсальные деформации, в том числе одноименные сдвиги как по модели С.П.Тимошенко, так и по модели Д.И.Журавского. Сформулирован основанный на этой теории ЯЯ-алгоритм учета трансверсальных деформаций в различных кирхгофовских вариантах теории оболочек. 9Я-алгоритм иллюстриро- ван уточнением нелиненой теории пологих оболочек-Маргера.-Привсь. дится полудеформационный вариант граничных величин, при использовании которого система уравнений Маргера-Тимошенко-Нагди является замкнутой. Приведены все необходимые соотношения для случая цилиндрической оболочки, которые найдут применение при изло- жении раздела 3. В подразделе 1.2 приводятся иллюстрации постановки задач на устойчивость в условиях конструктивной нелинейности, обусловленной наличием односторонних связей в виде разномодульных винклеров-ских сред. В подразделе 1.3 рассматривается локальный метод поиска собственных чисел положительно однородного оператора. Названный метод сводится к решению последовательности задач минимизации выпуклого функционала при линейных ограничениях и дает какое-либо, не обязательно минимальное собственное число. К минимальному собственному числу алгоритм будет сходится при наличии достаточно хорошего начального приближения. В подразделе 1.4 изложена сущность комбинированного алгоритма перебора вариантов, составляющего основу данной работы. В разделе 2 рассматриваются задачи на устойчивость одномерных элементов конструкций на границе разномодульных винклеровских сред.
Приводится постановка задачи в конечномерном пространстве, аналитическое решение в случае однородной упругой среды, численное решение поставленной задачи и анализ полученных результатов. В разделе 3 излагается полученное соискателем решение задачи на устойчивость продольно сжатой цилиндрической оболочки на границе разномодульных винклеровских сред, при учете в ней (оболочке) поперечных сдвигов по моделям Тимошенко и Журавского. На защиту выносятся следующие результаты: 1. Комбинированный алгоритм „ППВ+ЛПВ" решения спектраль- ных задач конструктивно-нелинейной механики. 2. Решения с использованием алгоритма „ППВ+ЛПВ" задач на устой чивость продольно сжимаемой цилиндрической оболочки на границе разномодульных винклеровских сред, в том числе — оболочки постоянной толщины по теории Кирхгофа; — оболочки переменной толщины по теории Кирхгофа; — оболочки постоянной толщины по теории Маргера-Тимошенко и теории Маргера-Журавского. 3. Решение задачи на устойчивость осесимметрично деформиру емой круглой пластины на границе разномодульных винклеровских сред под действием равномерно распределенной по граничному конту ру сжимающей радиальной нагрузки. Материалы диссертации опубликованы в работах [38, 60-67], докладывались и обсуждались на: — Всероссийской научной конференции с международным участием „Математическое моделирование и краевые задачи" (СамГТУ, г.Самара, 2008); — научной конференции-семинаре „Теория управления и математическое моделирование" (ИжГТУ, г. Ижевск, 2008); — I Всероссийской молодежной научной конференции „Молодежь и наука на Севере" (КНЦУрО РАН, г.Сыктывкар, 2008); _ — международных научных конференциях "СЕВЕРГЕОЭКОТЕХ -2004", "СЕВЕРГЕОЭКОТЕХ - 2005" (УГТУ, г.Ухта) в 2004, 2005 г.г.; — ежегодных научных коференциях „Февральские чтения" (Сыкт-ГУ, г.Сыктывкар) в 2005-2008 г.г.
Решение задачи в случае однородной винклеровской среды
По теме диссертации выполнен проект „Исследование влияния учета трансверсальных деформаций на устойчивость пластин в условиях односторонних связей" при поддержке гранта Правительства С.Петербурга М04-2.2К-549. Полностью работа докладывалась на кафедре математического моделирования и кибернетики Сыктывкарского университета (24 октября 2008 г.) и на семинаре кафедры теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского государственного университета (13 ноября 2008 г). В работе [38] научным руководителем Е.И.Михайловским дана общая постановка задачи. Соискателю принадлежит алгоритм локального перебора вариантов и его численная реализация. Работы [66, 67] выполнены совместно с учениками соискателя. Ниже приводятся основные уравнения нелинейной теории оболочек, уточненные за счет учета поперечных сдвигов и обжатия [27]. Как известно, неучет поперечных сдвигов приводит к очевидному противоречию кирхгофовской теории оболочек, связанному с необходимостью учитывать пропорциональные этим сдвигам поперечные напряжения через их интегральные характеристики - перерезывающие силы. С тем, чтобы уйти от этого противоречия обычно учитывают поперечные сдвиги по модели С.П.Тимошенко, что приводит к очередному противоречию, связанному с невыполнением статических граничных условий на лицевых поверхностях оболочки. Дело в том, что в соответствии с названной моделью напряжения 7г-3 являются постоянными по толщине оболочки, а это приводит к нарушению условий СГ3(±/І/2) = qf, наиболее явному при отсутствии тангенциальной поверхностной нагрузки qf = 0. Избежать этого противоречия для оболочки, испытывающей действие лишь нормальной поверхностной нагрузки, позволяет сдвиговая модель Д.И.Журавского. Основное геометрическое допущение нелинейной теории оболочек, построенной в работе [27], заключается в предположении, что радиус-вектор материальной точки исходной конфигурации оболочки - трансверсальная координата: Є [ fah, 72 ] h - толщина оболочки до деформации) в где функция /?() связана с выбором закона распределения поперечных сдвигов ф{, г = 1,2 по толщине оболочки.
Ограничимся рассмотрением следующих выражений для функции і(0 = (теория типа Тимошенко) У2(0 = — тр3 (теория типа Журавского) Кроме (1.1) используются допущения: (а) оболочка является тонкой и остается таковой в процессе дефор мирования, т.е. (oij, bij - компоненты метрического тензора и тензора кривизны срединной поверхности) (/3) тангенциальные компоненты тензора Грина-Лагранжа изменяются по толщине оболочки линейно; (7) поперечные сдвиги учитываются по линейной теории; (б) локальной изменяемостью функции Af (а) можно пренебрегать. В соответствии с принятыми допущениями получаются следующие формулы для компонент тензора Грина-Лагранжа: Для описания напряженно-деформированного состояния жестко-гибкой оболочки (т.е. изготовленной из жесткого сжимаемого материала и допускающей конечные перемещения за счет конечных углов поворота [29]) предпочтительно использовать упругий закон для теоретического стандартного материала 2-го порядка, который с учетом принятых выше допущений можно записать в виде (1 + 1/)(1-21/)1 r (l + i/) E,v- модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала оболочки. Усилия и моменты введены следующим образом: На основании соотношений (1.3), (1.4) определяющие уравнения упругости для жесткогибкой оболочки могут быть представлены в виде с1- контравариантные компоненты дискриминантного тензора поверхности; с0, d0- тангенциальная и изгибная жесткости оболочки: Уравнения равновесия выводятся из вариационного принципа Лагран-жа С использованием приведенных статических величин названные уравнения удается представить в следующем виде: Уравнения (1.8) при отсутствии тильд идентичны по форме записи уравнениям равновесия линейной теории оболочек (6.81) [44] и в этом смысле в работе [26] названы каноническими. Тот факт, что уравнения нелинейной механики оболочек удалось преобразовать к каноническому виду относительно приведенных статических величин (1.7), позволяет сформулировать быстрый алгоритм (0Я-алгоритм, Ш - Mikhailovskii) уточнения различных частично или полностью линеаризованных вариантов кирхгофовской теории оболочек за счет учета трансверсальных деформаций. ШТ-алгоритм заключается: - в замене статических величин соответсвующего варианта кирх гофовской теории оболочек (Тгз;, Мг , Т.гп) правыми частями формул (1-7); - в сохранении всех допущений рассматриваемого кирхгофовского варианта теории оболочек, связанных с выражением геометрических параметров деформированной срединной поверхности (aij,bij) через перемещения. типа Маргера-Тилюшенко-Нагди (M-N) В работе [27] ЗЯ-алгоритм иллюстрируется на примере уточнения теории пологих оболочек Маргера [84, 70] за счет учета поперечных сдвигов и обжатия. Как известно (см. например, [70]), в названной теории кроме допущений, связанных с пологостью оболочки, следуя Карману, учитываются в формулах для тангенциальных компонент тензора Грина-Лагранжа квадратичные слагаемые относительно углов поворота касательных к координатным линиям срединной поверхности. В конечном счете названные формулы имеют вид где За исходные (подлежащие уточнению) в работе [27] приняты уравнения (1.21), (1.22), (1.24)-(1.26) [6], которые, будучи приведенными к принятым выше обозначениям, записываются в виде (статические величины помечены тильдами, чтобы не выписывать систему дважды; Tij « Sij; предполагается, действие лишь нормальной нагрузки).
Похожие диссертации на Устойчивость оболочек и пластин конструктивно-нелинейной механики
