Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1, Устойчивость прямоугольных пластин, ослабленных отверстиями. 21
1.1. Задача потери устойчивости однородных пластин 21
1.2. Устойчивость прямоугольных пластин с одиночным отверстием , . 31
1.2.1. Численный метод исследования, , . 37
1 .2.2. Модель рассматриваемой пластины 39
1.3. Влияние количества элементов модели на величину критической нагрузки 40
1.4. Влияние различных геометрических факторов и граничных условий на устойчивость пластин 41
1.5 Влияние площади одиночного центрального квадратного отверстия. 42
1.6. Влияние пропорций пластины на величину критической нагрузки 43
1.6.1. Результаты численного анализа , 43
1.6.2. Обсуждение результатов 46
1.7. Влияние пропорций отверстия 48
1.8. Влияние граничных условий на боковых сторонах пластины 51
1.9. Влияние формы и положения отверстия. 54
1.10. Влияние перфорации 57
1.11. Устойчивость кольцевых пластин. 59
1.11.1. Потеря устойчивости круглой пластины 59
1.11.2. Влияние размера отверстия на устойчивость 62
1.11.3. Влияние ирспорций отперстия на устойчивость 64
1.12. Заключение 65
ГЛАВА 2. Устойчивость щшиндрических оболочек^ ослабленных отверстиями . 67
2.0.1. Постановка задачи 67
2,0,2. Уравнения устойчивости оболочек. Рассмотрение конкретных случаев нагружения 68
2.0.3. Численное исследование устойчивости оболочек. Сравнение числовых и асимптотических результатов 70
2.1. Устойчивость цилиндрических оболочек, ослабленных отверстиями, под действием внешнего нормального давления 74
2.1.1. В л Ріяіше площади отверстия 76
2.1.2. Влияние формы отверстия 78
2 1.З, Влияние положения отверстия. , 79
2.1.4. Влияние граничных условий 81
2.1.5. Влияние пропорций отверстия 82
2.1.6. Влияние окружной перфорации 83
2.2. Устойчивость цилиндрических оболочек, ослабленных отверстиями, под действием осевого сжатия * S3
2,2 1. Влияние площади отверстия 85
2.2.2. Влияние формы отверстия: на устойчивость 86
2.2.3. Влияние положення отверстия. + , 87
2.2.4. Влияние пропорций отверстия, 88
2.2.5. Влияние окружной перфорации 88
2.3. Заключение 90
ГЛАВА 3. Устойчивость ортотропных пластин и оболочек, ослабленных отверстиями , 91
З 1. Устойчивость ортотропных прямоугольных пластин с отверстием. 91
З 1.1. Задача потери устойчивости ортотропных пластин 91
З 1.2. Задача потери устойчивости ортотропных пластин с отверстием. 93
3.13. Численное решение для пластин без отверстия, .,.,., 9f
З 1 4 Влияние размера отверстия на устойчивость 9$
3.1.5. Влияние пропорций отверстия на устойчивость 9~
3.2. Устойчивость ортогропной круговой цилиндрической оболочки с отверстием 101
3.2.1. Влияние пропорций отверстия на устойчивость , 101
3.3. Заключение 10
Выводы 101
- Устойчивость прямоугольных пластин с одиночным отверстием
- Потеря устойчивости круглой пластины
- Устойчивость цилиндрических оболочек, ослабленных отверстиями, под действием внешнего нормального давления
- Задача потери устойчивости ортотропных пластин с отверстием.
Введение к работе
Актуальность работы. Обеспечение устойчивости равновесия и несущей способности тонкостенных деформируемых систем, состоящих из пластинок и оболочек, является одной из важнейших задач, решаемых при проектировании летательных аппаратов, конструкций различных машин и несущих инженерных сооружений. В прошлом столетии в этих областях происходило бурное развитие технологий, породив широчайший спектр разнообразных задач. Отсюда возникает повышенный интерес к поведению таких конструкций под действием различных внешних нагрузок. Внимание исследователей в первую очередь обращено на проблемы, имеющие непосредственное практическое значение. При расчёте таких систем возникают вопросы об их прочности и устойчивости в работе, т.к. наличие вырезов может существенно влиять на эти характеристики. Применение метода конечных элементов для моделирования тонкостенных деформируемых систем, ослабленных отверстиями, позволяет существенно ускорить экспериментальную часть исследования поведения таких систем. Изучение поведения тонкостенных деформируемых систем, ослабленных отверстиями, важно для понимания механизмов взаимодействия отверстий с упругими конструкциями и разработки математических моделей таких конструкций.
Представляет интерес исследование зависимости критических нагрузок и форм потери устойчивости от различных параметров, характеризующих геометрию пластины либо оболочки и свойства материала тонкостенной конструкции, в частности, зависимость критических нагрузок от размера, пропорций и особенности расположения отверстий, а также количества отверстий. Аналитически задача исследования устойчивости упругих тел сводится к решению граничных задач на собственные значения, причём потере устойчивости соответствует наименьшее собственное значение, зависящее от набора
параметров (волновых чисел и т.д.). В связи с наличием отверстий, области, занимаемыми тонкостенными конструкциями, оказываются многосвязными. Исследование поведения собственных чисел операторов, заданных в таких областях, представляет отдельный теоретический интерес.
Цель диссертационной работы заключается в выявлении характера влияния отверстий на устойчивость пластин и оболочек.
Достоверность основных научных положений основана на строгой физической постановке соответствующих задач и корректных математических методах, использованных при их решении. В частных случаях расчёты по выведенным теоретическим зависимостям были сопоставлены с решениями других авторов и с экспериментальными результатами, подтверждающими достоверность основных положений диссертационной работы.
Научная новизна. Получены новые результаты касающиеся поведения значений критических нагрузок и форм потери устойчивости пластин и оболочек, ослабленных отверстиями, для широкого класса параметров и условий.
Практическая значимость. Полученные результаты могут применяться на практике для оценки прочности и жёсткости пластин и оболочечных конструкций.
Результаты и положения, выносимые на защиту:
1. Исследовано влияние отверстия на устойчивость тонкой изотропной пластины под действием осевого сжатия. Обнаружено существенное влияние размера отверстия на величины критической нагрузки, зависящее от жёсткости граничных условий на боковых сторонах пластины и пропорций пластины. Основным фактором, влияющим на величину критической нагрузки является интенсивность начальных напряжений в зоне между отверстием и боковой стороной пластины. Изучена зависимость критической нагрузки от пропорций отверстия. При некотором соотно-
шении параметров обнаружен факт роста критической нагрузки при увеличении размера отверстия.
Исследована зависимость критической нагрузки для перфорированных пластин и оболочек при разных видах нагружения. Обнаружены так называемые "резонансные" формы пластин и оболочек, при которых критические нагрузки резко уменьшаются.
Исследованы ортотропные прямоугольные пластины и цилиндрические оболочки с отверстиями. Обнаружено, что для пластины увеличение жёсткости материала в направлении, нормальном к оси действия сжимающей силы, приводит к увеличению величины критической нагрузки, а на устойчивость ортотропной цилиндрической оболочки под действием нормального давления существенное влияние оказывает увеличение жёсткости материала в окружном направлении.
Апробация работы. Материалы докладывались на следующих конференциях: Поляховские чтения 2009 [4], 2nd South-East European Conference on Computational Mechanics 2009 [7], IV Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной механике (ПГУПС, СПб.) [6], городской семинар "Компьютерные методы в механике сплошной среды" (г. Санкт-Петербург, 2005, 2009 г.г.) [3, 5]. В целом диссертация докладывалась на заседании кафедры теоретической и прикладной механики СПбГУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано восемь работ, из них две статьи [1, 2] в журналах, рекомендованных ВАК Российской Федерации. В работах [7, 8], написанных в соавторстве, автору принадлежит проведение численных экспериментов и составление соответствующих компьютерных программ. Соавтору А. Л. Смирнову принадлежит общая постановка задачи. В работе [6], написанной в соавторстве, автору принадлежит проведение
численных экспериментов по устойчивости оболочек, соавтору С. Н. Микрю-кову — проведение численных экспериментов, касающихся колебаний оболочек, соавтору А. Л. Смирнову — общая постановка задач.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы, включающего 65 наименований. Работа содержит 113 страниц, 63 рисунка, 4 таблицы.
Устойчивость прямоугольных пластин с одиночным отверстием
Точного аналитического решения задач устойчивости пластин с отверстиями не существует, поскольку наличие выреза в пластине не позволяет разделяться переменным в основном линеаризованном уравнении. Для решения таких задач используются аналитические приближенные подходы, такие как метод Ритца, Бубнова-Галёркина, а так же численные и экспериментальные методы. Здесь мы рассматриваем аналитические приближенные методы.
Введение приведённой толщины. Производится замена пластины с отверстием на сплошную, имеющую такую же массу и геометрические характеристику за исключением толщины пластины h. Рассмотрим плаеппгу с центральным квадратным отверстием стороной d Можно сделать грубую оценку зависимости критической нагрузки от величины отверстия, если вести усреднённую толщину пластины с учётом отверстия как Точность выражения (1.44) зависит от отсутствия больших концентраций напряжений в пластине. Такому условию удовлетворяет пластина со свободными боковыми краями.
Более широкую область применения имеет метод, изложенный в монографии [41]. Теория Преображенского, Рассмотрим приближенный метод аналитического решения задачи об упругой устойчивости прямоугольной, сжатой с четырёх сторон, шарннрно опёртой по наружному контуру пластинки с центральным прямоугольным неподкренленным вырезом, свободным от опор, Предложенный в [41] метод даёт приближенное решение задачи в замкнутом виде. Исследование проводилось в предположении, что возмущение, вносимое вырезом в докритическое напряженное состояние, в первом приближении при оценке устойчивости пластины можно не учитывать. Подобная гипотеза основывается на следующих соображениях. Исследуются лишь случаи, коша на участках конце тгграцигї напряжений деформации не выходят за пределы упругих, Прйїшмается во внимание и то, что появление пластических деформации в небольшом объёме детали не всегда существенно нарушает несущую способность конструкции и не приводит к местной (локальной) потере устойчивости. Кроме того, возникновение местных трещин далеко не всегда приводит к разрушению конструкции. Например, в строительных сооружениях железобетонные конструкции, в которых образование местных трещин не вызывает, как правило, опасений за всё сооружение в целом. 2. Рассматривается лишь общая, а не локальная устойчивость пластинок с отверстиями. При этом автор основывается на энергетическом критерии при оценке харакгера отклонённого положения равновесия системы. Одно из возникающих затруднений при использовании этого критерия связано с возможностью концентрации энергии в некоторых малых объёмах упругого тела. Однако в этом случае требуется, чтобы критерий устойчивости был выдержан в каждой малой области тела [13]. Его можно применять по отношению к конструкции в целом, используя средние значения перемещений и скоростей. Решение на основе сплошной модели как раз и базируется на подобных соображениях. Наличие вьгрезов в системе учитывается переменным параметром жёсткости сплошной модели. Неоднородность напряжённого состояния занимает ограниченную зону около выреза. Внутренние усилия R этой зоне перераспределяются. Появляются участки, где действуют усилия малой величины, в несколько раз меньшие средних, и участки с большими усилиями. Так как такие зоны пластины, граничащие с вырезами, перемещаются при потере устойчивости на соизмеримые между собой расстояния независимо от концентрации напряжений, то работа усилий здесь в среднем должна быть близка к работе тех же усилий, равномерно распределённых (работа является линейной функцией усилий). Величина овгибки меняется з зависимости от размеров.отверстий, их числа и месторасположения. Вдали ОТ вырезов напряжённое состояние —однородное, а пблизи— неоднородное. Однако запас энергии, поглощённой на деформацию участка вблизи выреза, должен быть близок к энергии, поглощённой тем же участком, но без выреза при соответствующем равномерном распределении внутренних усилий. Разница будет тем меньше, чем меньше площадь выреза в сравнении с площадью всей пластины.
Решение задач об изгибе прямоугольных пластин с отверстиями на основе сплошной модели приводит к цели быстрее, чем метод конечных разностей. Вес операции легко поддаются і программированию. И даже при ручном счёте для пластин с одним отверстием получается довольно точный результат при затрате сравнительно небольшого количества труда.
Пренебрежение неоднородностью напряжённою состояния: может быть в катсой-то степени обосновано принципом Сен-Вепатш, широко используемым в теории упругости. Несмотря на то, что Этот принцип до сих пор не имеет исчерпывающего теоретического обоснонакия [36], он является важным вспомогательным средством для решения многих задач линейной и нелинейной теории упругости. Полученные на его основе многочисленные теоретические результаты апробированы опытными исследованиями многих авторов. Возлгу-щение, вносимое вырезами в докритическое однородное напряжённое состояние сплошной пластины, есшт перейти к деформациям и перемещениям можно трактовать как начальную неправильность. Исследования устойчивости показываю что влияние начальных неправильностей на величину критической нагрузки для прямоугольных пластин незначительно в сравнении с их влиянием на критические нагрузки для оболочек. Поэтому изучение поведения нагруженных пластин осуществляется без учёта начальных неправильностей.
Рассматриваются только те пластины, у которых стороны выреза (в і гут- -реннего контура) параллельны внешним сторонам, т. е. сторонам наружного контура. Считается, что в процессе исследования ось я; направлена вдоль стороны длиною а у а ось у вдоль стороны длиною Ь.
Исследование критического состояния системы проводится в геометрически линейной постановке с помощью энергетического метода. При применения этою метода критические значения усилий, приложенных по контуру и действующих в срединной плоскости пластины, определяются из условия, что работа А этих сил, затрачиваемая нз изгиб пластины, должна быть равна соответствующему приращеншо потенциальной энергии пластины. Потенциальная энергия при изучении поведения жёстких пласгин включает в себя только энергию изгиба, определяемую по зависимости
Потеря устойчивости круглой пластины
На величину критической нагрузки при потери устойчивости пластины с отверстием оказывает влияние комбинация различных факторов, причем наличие отверстия может приводить как к росту критической нагрузки, так и к её снижению. Существенное значение имеет величина начальных напряжений в поперечном направлении, которая зависит от жесткости граничных условий, коэффициента Пуассона, расстояния между отверстием и боковой стороной пластины, Слабый эффект на величину критической нагрузки оказывает фор ма отверстия. Для перфорированной пластины существенный эффект проявляется для "резонансных" форм.
Наличие огверстия может приводить как к росту критической нагрузки пластины, подвергнутой осевому сжатию, так и к ее снижению в зависимости от граничных условий и геометрических параметров пластины и отверстия. Так, более жёсткое опиранеє боковых сторон способствует увеличению критической ншрузки. ГЛАВА 2 ,
Настоящая глава іюсвящена численному исследованию устойчивости цилиндрических оболочек, ослабленных отверстиями. Рассматриваются прямые круговые цмлшщрические оболочки. Исследуется влияние геометрических параметров оболочки и отверстия, количества отверстии, их положения на оболочке па критическую нагрузку.
В первой части главы рассматривается теоретическая постановка вопроса устойчивости оболочек, приводятся некоторые асимптотические формулы, Вторая часть — посвящена расчётам устойчивости цилиндрической оболочки под действием внешнего нормального давления, В третьей части — приведены результаты численных -жепериментов по расчёту цилиндрической оболочки, находящейся под действием осевой ежимающсіі силы, Постановка задачи. Рассматривается оболочка, нагруженная сгащчески консервативными поверхностными и краевыми силами. Силы называем консервативными-, если работа, совершаемая ими, зависит- только от конечного положения и не зависит от пути деформирования. К таким силам будут OTHOCHTbCHj например, силы внешнего нормального давления, направление которых зависит от деформированного состояния.
Устойчивости оболочки, как и любого упругого тела, можно рассматривать только неходя из первоначально нелинейной постановки задачи. Иначе, в силу теоремы. Кирхгофа задача о равновесии любого упругого тела в линейной постановке имеет единственное решение с точностью до перемещений тела как абсолютно твёрдого. Это решение непрерывно зависит от внешних возмущений, т.е, является устойчивым,
Исследуется только потеря устойчивости, связанная с геометрической нелинейностью задачи, т.е. с нелинейной зависимостью деформаций от перемещений и с нелинейными членами, связанными о различием систем координат до и после деформации. Физически Егслинейная постановка задачи (т.е. нелинейная зависимость напряжений от деформаций) не рассматривается. Критической называем такую нигрузку, при малом изменении которой идет перестройка формы прогиба оболочки, сопровождающаяся резким возрастанием деформаций, Также предполагаетея; что нагружение является од-їюпараметрическпм, то есть начальные усилия при нагружении возрастают пропорционально одному параметру А.
Уравнения устойчивости оболочек . Рассмотрение конкретных случаев нагружении. В качестве системы уравнений, описьтаюпгих устойчивость безмоментного состояния однородной (не ослабленной вырезами) оболочки возьмём следующую систему в безразмерном виде [46]:
Здесь ji 0—малый параметр; А 0 —искомый параметр нагружения; Ф — функция напряжений, возникающих в оболочке; tj — безмометные безразмерные начальные усилия; fc, —плавные кривизны срединной поверхности; Л — характерный линейный размер срединной поверхности; а, /3 — оргогональные криволинейные координаты на срединной поверхности оболочки; Л, Я —коэффициенты Ламе срединной поверхности обояочкп; —модуль Юнга; v — коэффициент Пуассона; h — толщина оболочки; и, v, и —компоненты вектора деформаций. Решение системы (2.1) ищем в следующем виде: где wo, Фп:Р5 q - подлежащие определению постоянные. Круговая цилиндрическая оболочка при осевом сжатии: рассматривается задача о потерн устойчивости оезмоментного напряжённого состояния Tjf Q,T$ = SQ = 0 цилиндрической оболочки радиуса R и длины L. В случае оболочки средней длины L Н в качестве уравнений устойчивости берём уравнения (2.1). Знеси Формула (2.S) была получена Лоренцем [57] и СП. Тимошенко [44]. Круговая цилиндрическая оболочка при внешнем давлении. В скучає потери устойчивости напряжённого состояния
Устойчивость цилиндрических оболочек, ослабленных отверстиями, под действием внешнего нормального давления
В этом разделе рассматривается влияние формы и положения, а также количества отверстий на величину критической нагрузки шарнирно опёртой по торцам цилиндрической оболочки, находящейся под действием внешнею нормально приложенного внешнего нормального давления. Стороны отверстий не закреплены. Исследуется влияние граничных условий и смещения отверстия вдоль оси цилиндра. I A-Afj Л,
Относительная разность численных Л (ANSYS) и асимптотических Л (формула (2,8)) значений критических нагрузок для оболочек радиой толщины под действием осевого сжимающего усилия (h=0,01 (точки), h=0,Q05 (квадраты), h=0,002 (треуі-соЕьники)). Модель рассматриваемой оболочки. Моделирование тонкостенной прямой круговой цилиндрической оболочки проводилось в программном пакете ANSYS vlG\ В качестве элемента, использованного для создания моделей, был взят SHHLL93, который был выбран исходя из критерия повышения точности полученных результатов. Характеристики элемента SHELL93: Количество узлов на элемент — 8 Размерность матрицы жесткости и возникающих усилий 2x2 Количество степеней свободы — 6 Общий вид элемента представлен на рис, 2,5. Более подробные характеристики элемента изложены в [58]. Примерное количество элементов в модели (меняется в каждой модели) 1000-2000. Форма разбиения модели менялась в зависимости от размеров отверстия и его формы. В случае прямоугольных вырезов сетка сгущалась в Рис. 2,5; Элемент SHELL93. углах отверстии. Во всех нижеизложенных экспериментах геометрическне параметры модели Сил ли следующие: Безразмерная: дли па оболочки L = 5. Безразмерная толщина стенок оболочки h -Круглое отверстие характеризуется радиусом г, квадратное — длиной стороны d. Введём 5 — нсличину смещения отверстия в осевом направлении относительно центральной параллели цилиндра. Далее будем использовать безразмерные пер сменные, связанные с размерными (с "v) соотношениями: {Tidf5} = {r,d,$}fR 2ЛЛ Влияние площади отверстия. Наибольший интерес представляет изучение влияния размера отверстия на критические значения нагрузки, Рассматривается тонкая цилиндрическая оболочка средней длины под действием внешнего нормального давления, Оболочка ослаблена квадратным отверстием с длиной стороны dT центр которого расположен на средней параллели оболочки (рис, 2,6). Для однородной оболочки величина критического давления задается формулой (2.12). К этому значению отнесены величины критических нагрузок для оболочек с отверстием. Для однородной оболочки разность в аналитических (формула Саутуэла-Папковича) и численных результатах была менее 5% : n - і1 не. 2.6: Цштинрическая оболочка, ослабленная единственным квадратным отверстием,
Рассматривалась цилиндрическая оболочка со следующими параметрами h --- 0,01, L = 5, Результаты численных экспериментов приведены на рис. 2/7, где по оси абсцисс отложена длина стороны отверстия, а по оси ординат — величина критической нагрузки,
Критическая наїрузка для однородной цилиндрической оболочки является двукратной, так как ей соответствуют две формы потерн устойчивости w — smny и ги — со з пу. При появлении отверстия эти нагрузки расщепляются, причём разница между ними меняется с ростом размера отверстия. Обе критические нагрузки убывают с ростом величины отверстия. Здесь и далее на иллюстрациях кратные нагрузки обозначены Af л — 1, 2, Ац —значение критической нагрузки для цилиндрической оболочки без отверстия,
Большое влияние на вычисления имеет выбор конечноэлсментиой сетки. Этим объясняется негладкость графика, В расчётах число разбиений в окружном и продольном направлениях составляло соответственно 20 и 24.
Отметим, что существенное падение критической Eiaгрузки начинается, когда характерный размер выреза становится близок к 1,5 радиуса оболочки. Падение величины кратной патрузки при размере выреза d/2 = 0\ 75 обуслов Ао
Влияние длины стороны d квадратного выреза на величину критической нагрузки. Сплошная линия — первая кратная критическая нагрузка Лі, пунктир —вторая Дален изменением формы потери устойчивости уменьшение количества воли в окружном направлении (с п = 3 до п — 2). В работе [26] проводилось аналогичное исследование (R = 44 мм L 3,5; Я/к - 32( ; и,1 — і [ЯН — 3,5... 89), было также отмечено падение критической нагрузки с ростом величины отверстия, однако менее интенсивное,
Задача потери устойчивости ортотропных пластин с отверстием.
Численное решение для,пластин без отверстия. Численное решение задач устойчивости ортотропных пластин и оболочек осуществлялось методом конечных: элементов в программном пакете ANSYS v. 10 (см. раздел 1.2.1.)- При моделировании пластины использовался элемент SHELL63 (см. раздел 1,2.2.), для которого предусмотрена возможность расчёта поведения ортотропного материала. Оценка точности проводилась путём сравнения полученных численных значенні! величины критической нагрузки с результатами, вычисленными по (3.10). Погрешность расчёта для пластин без отверстия с соотношением сторон г = 1,2,3,4, и коэффициентом є зк — 2 .,, 2 по сравнению с аналитическими результатами составляет менее 0,1 %. Для т а= 1; 4 точность вычислений можно оценить на рис. 3,1, 3,2, где сплошная линия соответствует результатам численных экспериментов, пунктир —формуле (3.10). Здесь и далее результаты отнесены к JV0 — неличине критической нагрузки для изотропной пластины без отверстия, по геометрическим параметрам полностью совпадающей с исследуемой пластиной. Влияние размера отверстия на устойчивость. Численные эксперименты показал и, что погрешность расчёта для пластин без отверстия со сюр оной г = 1,2, 3,4, и коэффициентом є = — 2.,. 2 по сравнению с аналитическими результатами (ЗЛО) составляет менее 0Д%. На рис. 3.3,..3.4 изображена зависимость критической нагрузки от коэффициента е для прямоугольных пластин с соотношением сторон г = 2:4, нахо і дящихеэт под действием осевого сжатия.
По сравнению с аналогичной изотропной пластиной, критическая нагрузка для ортотропной пластины монотонно возрастает с уменьшением є 0. Это объясняется тем, что увеличение жёсткости пластины в поперечном направлении приводит к росту соответствующих начальных напряжений, что ведёт к повышению величины критической нагрузки. Обратный эффект имеет место для положительных с Уменьшение жёсткости в поперечном направлении ли о
Прямоугольная пластина т — 4, влияние ортотропни: 1—пластина без отверстия, 2,3,4 — пластина с центральным отверстием площадью S — 0. 01:0, 04: 0, 09 соответственно ведёт к снижению величины критической нагрузки: Похожие, эффекты имеют место при приближении отверстия к боковым, сторонам пластины (см, раздел [ .9.) и при.увеличении!жёсткости граничных условий Набоковых сторонах (см, раздел 1.8.). Заметим, что этот эффект наблюдается даже: при отно-сителыю малом отверстии.. При увеличении параметра г более существенное влияние на величину критической нагрузки оказывают свойства материала, я не размер отверстия, Для однородной пластины с г = 2 при изменении параметра є меняется форма потери устойчивости. Так, на рис. 3.3 левая часть кривой 1 соответствует волновому числу п = 3, средняя — п — 2, правая — п = 1. Появление малого отверстия на пластине г = 2 приводит к фиксации формы потери устойчивости п = 2, Возрастание параметра г приводит к выполаживанию кривой 1, соответствующей зависимости величины критической нагрузки однородной пластины от параметра при этом количество смен форм потери устойчивости увеличивается. Влияние пропорции отверстия нд устойчивость. В настоящем разделе исследуется влияние свойств материала пластины на устойчивость прямоугольной пластины, ослабленной одним центральным прямоугольным отверстием, под действием осевой сжимающей силы, действующей иа боковые стороны пластины (вдоль оси ОХ). Материал пластины считаем орто-тропным, характеристики материала определяются, как и ранее, соотношениями (3-І1); в которых переименуем параметр Е в є,. Площадь отверстия Б пластине постоянна. Размеры сторон отверстия определим как в формуле (1.67), переименовав, є в-є/г. Граничные условия —шарнирное опирание сторон пластины (1.15), края отверстия: не закреплены (L16). Результаты расчётов для пластин с отверстием S = 0,01; 0,04; 0, 09 приведены на рис. 3:5? 36, 3,7 соответственно. Заметим, что при tm 0 возрастает жёсткость материала пластины в направлении оси ОХ, а при ch 0 отверстие нытягиваегся вдоль оси ОХ
На этих рисунках приведена зависимость величины критической нагрузки от параметра ch, линии соответствуют материалам со свойствами, определяемыми параметром е!П7 указанным рядом с каждым графиком. Наблюдается наложение эффектов, описанных в разделах L7. и ЗЛА При увеличении жёсткости пластины в поперечном направлении наблюдается рост величины критической нагрузки, усугубляемый растяжением отверстия в поперечном направлении. Но мере роста площади отверстия влияние последнего фактора растет. В точках, где графики теряют гладкость, имеет место смена формы потери устойчивости пластины. Б табл. 3.1а, 3.1Ъ, 3.2а? 3.2Ь приведена зависимость числа полуволн п в направлении оси ОХ от размера отверстия ( =0) и свойств материала пластины с различным соотношением сторон г = 1, 2,3,4, Повышение жёсткости материала в осевом направлении приводит к снижению количества полуволн, а появление отверстия ведет к их фиксации.
Похожие диссертации на Устойчивость тонких пластин и оболочек, ослабленных отверстиями
