Содержание к диссертации
Введение
1. Краткий обзор исследований по теж диссертации 8
1.1. Некоторые сведения об исследованиях напряжённо-деформированного состояния.и устойчивости тонкостенных конструкций 8
1.2. Теоретический анализ устойчивости оболочек с вырезами 10
1.3. Эксперименты.по устойчивости оболочек с выре- зами 14
1.4. Задачи настоящего.исследования 16
2. Постановка задачи 18
2.1. Основные уравнения и граничные условия 18
2.2. Приведение основных уравнений.и.граничных.условий к безразмерному виду 24
2.3. Выбор докритического. состояния. 26
3. Метод решения 29
3.1. Удовлетворение граничным.условиям.и условию... совместности деформаций 29
3.2. Применение метода Бубнова-Галёркина и. нахожде-т. ние элементов определяющих матриц 48
3.3. Численная реализация алгоритма 66
4. Численное исследование.конкретных.примеров 69
4.1. Осевое сжатие 69
4.2. Осевое растяжение 81
4.3. Равномерное внешнее давление. 85
4.4. Осевое сжатие с внутренним.давлением. 95
4.5. Обсуждение результатов 101
Заключение 105
- Теоретический анализ устойчивости оболочек с вырезами
- Выбор докритического. состояния.
- Применение метода Бубнова-Галёркина и. нахожде-т. ние элементов определяющих матриц
- Осевое растяжение
Введение к работе
Потребности современного производства, в частности, таких его отраслей, как машиностроение, судостроение и, особенно, авиационная промышленность вызывают необходимость всё более широкого использования тонкостенных конструкций, одним из главных достоинств которых является высокая прочность при относительно небольшом весе. В связи с этим предъявляются повышенные требования к качеству проектирования подобных конструкций, основанного на возможности предсказания их поведения при воздействии тех или иных внешних нагрузок, температуры, электромагнитных полей и т.д. Это, в свою очередь, требует проведения всё более глубоких и всесторонних исследований свойств тонкостенных конструкций и связанных с этими свойствами явлений.
Важное место среди указанных конструкций занимают тонкие оболочки с разного рода вырезами, и на практике часто бывает необходимо знать, каким образом и при каком значении внешней нагрузки произойдет процесс потери их устойчивости. Как показывают экспериментальные исследования [22, 33, 67-70, 91, 93, 107-109, 149-151 и др.], при наличии отверстия в оболочке общей потере устойчивости может предшествовать местная, когда возмущения локализуются около отверстия, затухая с удалением от него. Хотя это зачастую вовсе не означает исчерпания оболочкой несущей способности, однако, в тех случаях, когда в силу условий эксплуатации местная потеря устойчивости или вообще недопустима или может привести к общей потере устойчивости конструкции при незначительном возрастании внешней силы, встаёт вопрос об определении значения соответствующей критической нагрузки, а также характера локальных возмущений.
Вследствие существенной неоднородности напряжённо-деформированного до критического состояния в оболочках с отверстиями, нахожде - 5 ниє которого само по себе представляет достаточно сложную задачу, при исследовании локальной устойчивости возникают большие трудности математического характера. Это является одной из главных причин того, что, несмотря на достаточно хорошо разработанную общую теорию локальной устойчивости оболочек с вырезами [б, 7, 41J , конкретные исследования проводились лишь для наиболее простых случаев сферической оболочки [59, 60І, а также цилиндрической при равномерном осевом сжатии [29-32, 49, 51, 52, 149, 15(Л.
Целью настоящей работы является разработка эффективного метода решения некоторых задач локальной устойчивости цилиндрических оболочек с одним круглым вырезом, основанного на известных линейных уравнениях и общепринятых в теории локальной устойчивости гипотезах.
Научная новизна работы состоит в следующем:
- при постановке задачи локальной устойчивости до критическое состояние около выреза в цилиндрической оболочке выбрано в форме решения Лурье [72, 73J;
- в рамках линейной постановки предложен метод исследования, позволяющий точно удовлетворить всем граничным условиям и одному из уравнений устойчивости, при этом аналитические результаты существенно сократили объём численного счёта;
- на основе разработанного метода рассмотрен ряд новых задач локальной устойчивости цилиндрической оболочки с круглым вырезом;
- определены границы применимости метода, а также отмечена возможность его распространения на более широкий класс указанных задач.
Практическое значение работы заключается в том, что предложен метод решения задач локальной устойчивости ослабленных одним круглым вырезом круговых цилиндрических оболочек в линейной постановке;
- соответствующий численный алгоритм устойчив, быстро сходится и легко реализуется на ЭВМ с очень малой затратой машинного времени;
- теоретически исследован ряд актуальных задач локальной устойчивости цилиндрической оболочки с круглым вырезом;
- изучено влияние геометрии и свойств материала оболочки на величины соответствующих критических нагрузок и формы прогибов;
- рассмотрен вопрос о распространении метода на другие практически важные задачи локальной устойчивости цилиндрических оболочек с вырезами, а также установлена область его применимости.
Достоверность полученных в диссертации результатов состоит в том, что
- принятые за основу линейные уравнения [б, 4і] достаточно хорошо описывают процесс локальной потери устойчивости в случае небольших отверстий, которым мы здесь и ограничились;
- для рассматриваемого диапазона изменения размеров вырезов решение Лурье даёт значение коэффициента концентрации напряжений, а также характер их распределения в до критическом состоянии оболочки около выреза достаточно близкими к реальным, при этом для получающихся соответствующих критических нагрузок возможен учёт поправочного коэффициента;
- решение известной задачи об сеевом сжатии цилиндрической оболочки с круглым вырезом обнаружило хорошее совпадение полученных результатов с соответствующими теоретическими результатами других авторов [49, 51, 52 , а также с экспериментальными данными ГЗЗ, 67, І49-І5Ї] .
Апробация работы. Основные научные результаты диссертации доложены на I Всесоюзной конференции "Механика неоднородных структур" в г.Львове (1983г.), на семинаре кафедры теоретической механики Каз.ун-та (1983г.) и на семинарах кафедры теории упругости МТУ (1982, 1983г.).
Основное содержание диссертации опубликовано в работах Гб2, - 7 101, 102].
Работа выполнена в период с октября 1979 г. по октябрь 1982 г. на кафедре теории упругости механико-математического факультета Московского государственного университета, возглавляемой чл.-корр.АН СССР А.А. Ильюшиным.
Теоретический анализ устойчивости оболочек с вырезами
Впервые подробная постановка задач локальной устойчивости тонких упругих оболочек с отверстиями дана в работе [б], где получены соответствующие линеаризованные уравнения, а также намечен общий подход к решению проблемы. Несмотря на необходимость учёта концентрации напряжений в докритическом состоянии оболочки, а также детального распределения докритических мембранных усилий и прогиба около отверстия, решение подобных задач облегчается возможностью разделения напряжённо-деформированного состояния на докритическое (определяемое с учётом выреза) и возмущённое, вызванное локальной потерей устойчивости. При этом характеристики возмущённого состояния должны удовлетворять условиям затухания с удалением от отверстия. Общий вид основных уравнений с учётом начальных неправильностей оболочки получен в работе [7] . Теоретическому исследованию конкретных задач локальной устойчивости для случая равномерного осевого сжатия круговой цилиндрической оболочки с одним вырезом на боковой поверхности посвящены работы [29-32, 49, 51, 52, 149, 150 . В нову бралась линейная теория пологих оболочек, критическая нагрузка определялась как точка бифуркации положения равновесия, а докритическое состояние, которое считалось безмоментным, приближённо описывалось решением для сжатой пластины с вырезом соответствующей рассматривались оболочки с круглым отверстием. Задача рещалась с помощью метода Рэлея-Ритца (задавался прогиб, затухающий с удалением от выреза и отличный от нуля на контуре отвер- гладкого отьерстия произвольной формы. Предложен численный метод решения указанных задач, состоящий в сведении с помощью метода Буб-новк-Галёркина исходной двумерной задачи к одномерной и дальнейше- го использования конечно-разностного аналога. В исследова- на локальная потеря устойчивости при осевом сжатии цилиндрических эллиптические и оболочек, имеющих круглые вырезы, а в квадратные с закруглёнными углами. Выяснено, что с увеличением размеров отверстия критическая нагрузка локальной потери устойчивости уменьшается, при этом форма отверстия имеет второстепенное значение.
Проведено, кроме того, исследование зависимости результатов от геометрии, свойств материала оболочки, а также жесткостных характеристик подкрепляющего элемента в случае круглого отверстия. Установлену но, что характерным параметром задачи является величина y2=Jo//% ( R и ІП - соответственно радиус и толщина цилиндрической оболочки, f 0 - радиус выреза). Для Y 3 численные результаты указанных работ хорошо согласуются с соответствующими экспериментальными данными однако, для v2 3 наблюдается существенное завыше- ние теоретических результатов над данными опытов. Исследования . При анализе локальной выполнены для случая осевого сжатия цилиндрической оболочки с неподкреплённым круглым вырезом на основе геометрически нелинейной теории пологих оболочек. Авторами был предложен метод, основанный на применении вариационных принципов. В полярной на развертке цилиндра системе координат соответствующие вариационные уравнения были выведены в устойчивости функция напряжений и прогиб разбивались на две части, при этом одна часть бралась из решения задачи о напряжённо-деформи- рованном состоянии соответствующей оболочки согласно другая (представляющая собой возмущения) - входила с качестве неизвестного в нелинейные вариационные уравнения устойчивости. При этом точно выполнялись граничные условия на контуре выреза, а также удовлетворялись условия затухания возмущений с удалением от этого контура. Результаты численных расчётов, приведённые для У 2.5 , показали неплохое совпадение с экспериментальными данными 33 . Локальная устойчивость при осевом сжатии цилиндрической оболочки с одним прямоугольным вырезом исследовалась на основе линейной теории и безмоментного докритического состояния в работе 154 . Прямолинейные кромки выреза (вдоль образующей) считались свободными, а круговые (по направляющей) - свободно опёртыми. Задача решалась с помощью исследования локальной устойчивости соответствующих цилиндрических панелей, мысленно вырезанных из оболочки и имеющих длину равную длине стороны прямоугольного отверстия. ставлены в работе Теоретические результаты исследования локальной устойчивости ослабленных вырезами оболочек из композиционного материала пред- . Здесь на основе конечно-разностного метода рассматривается соответствующая задача для трёхслойной цилиндрической оболочки с прямоугольными отверстиями.
Исследования относятся к изучению напряжённо-деформированного состояния сферических оболочек с вырезом после локальной потери устойчивости вплоть до исчерпания несущей способности. Автором предложен метод разложения по параметру, в качестве которого взята безразмерная нагрузка. Решение строится с учётом геометрически нелинейной теории. Рассмотрен случай свободного выреза при жёстком или шарнирном закреплении внешнего контура сферической оболочки. , при этом Изучению в целом проблемы общей потери устойчивости тонких уп- ругих оболочек с отверстиями посвящены работы авторы отмечают, что сложность анализа в данном случае усугубляется невозможностью рассмотрения напряжённого состояния в виде суммы основного и возмущённого, т.к. ещё до достижения верхней критической нагрузки общей потери устойчивости в оболочке имеет место су- предложено выде- щественное перераспределение напряжений. В 41 лить два класса задач - с большими и малыми отверстиями, причём отверстие следует считать малым, если оно не влияет на общую потерю устойчивости оболочки. Для вырезов, размеры которых соответствуют границе между этими классами предлагается вначале провести анализ локальной устойчивости, а затем поступать исходя из практических условий работы данной конструкции.
Выбор докритического. состояния.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением случаев внешнего воздействия лишь в виде сжимающей или растягивающей осевой силы, а также равномерного внешнего или внутреннего давления на боковую поверхность оболочки. Напряжённо-деформированное состояние даже при такого рода воздействиях является весьма сложным, о чём свидетельствует целый ряд работ как экспериментальных (например, I ), так и теоретических Тем не менее, существует достаточно простое приближённое аналитическое решение в предположении малос- этих задач, полученное А.И.Лурье , приближенно ти размеров выреза, построенное для области, примыкающей квырезу. Это решение учитывает влияние на концентрацию напряжений кривизны оболочки и радиуса отверстия, являясь при осевой внешней силе обобщением на случай цилиндрической поверхности решения Кирша для пластины с круглым вырезом. Будем считать, что напряжённо- деформированное состояние, полученное в работе описывает реальное распределение напряжений и прогиба около небольшого отверстия в цилиндрической оболочке при указанных видах внешних нагрузок. Параметр Р , входящий в выражение для безразмерного значения Л » при равномерной осевой внешней нагрузке представляет собой модуль напряжения на торцах оболочки, а в случае равномерного внешнего или внутреннего давления интенсивности &. (отверстие при этом считается закрытым крышкой, передающей на его контур лишь равномерную перерезывающую силу) р=/ Q. I R У] Как показал соответствующий анализ, докритические моменты , VQ и Lrfe , определяемые по выбранному в форме (2.12) проги- бу ЬУ при помощи (2.1), являются убывающими по / " только в некоторой области С- вокруг выреза, поэтому считаем, что они в какой-то мере описывают реальное распределение докритических моментов лишь в области & , а вне её докритическое состояние безмо-ментное, причём, поскольку около неподкреплённого отверстия наибо- лее важен момент Qe , то и указанную область будем приближённо строить, исходя только из поведения & в . Заметим, что в случае осевой силы для небольших значений параметра о можно пренебречь на контуре выреза напряжениями от изгиба, равными 6 &Jh , по сравнению с соответствующими мембранными h/h , что позволяет в ограниченных пределах изменения пара- метра jf приближённо считать докритическое состояние безмомен- тным.
В этой главе предложен метод решения задач локальной устойчивости цилиндрической оболочки с небольшим круглым вырезом. Дополнительный прогиб и функция усилий выбраны в форме, которая позволяет точно удовлетворить всем граничным условиям и одному из уравнений устойчивости. Использование метода Бубнова-Галёркина позволило выполнить второе уравнение приближённо, при этом все коэффициенты полученной в конечном счёте алгебраической системы линейных уравнений найдены аналитически. Изложен алгоритм вычисления минимального положительного собственного значения указанной алгебраической системы с учётом входящих в её коэффициенты неопределённых параметров. чётное число М , константы Э , і t кк t ckKf /U, ( к-Р2,47...,Л/J t а также функции Ф , m = 3 4,.--/ подлежат определению. Выбор и " в виде (3.1), (3.3) означает предположение о том, что при локальной потере устойчивости около выреза наиболее важными характеристиками прогиба являются его форма на контуре ( Г= /)? а также степень затухания с удалением от выреза, характеризуемая параметром 2 . Величина j: , как увидим в дальнейшем, является гораздо менее существенной характеристикой прогиба, чем , и введена здесь, главным образом, для того, чтобы в дальнейшем контролировать стабильность получаемых результатов при численной реализации алгоритма вычисления критической нагрузки и формы прогиба. Для представленного в виде (3.1), (3.3) прогиба ЪГ , очевидно, удовлетворяется при Л—-= условие его затухания вместе со всеми производными. Константы же оСк И cLK позволяют точно вы полнить граничные условия (2.9) для ЬҐ на контуре выреза Г= / , Для этого при подстановке в третье и четвёртое условия (2.9) выра жения (3.1) следует собрать члены, стоящие сомножителями при оди наковых косинусах, и результат приравнять нулю.
Тогда для каждого к = 0/2) А/ будем иметь: Второе уравнение системы (2.8) выполним приближённо, исполь зуя неопределенные константы А Лі,Яч,.--,Я . Для это го применим метод Бубнова-Галёркина. Подставим согласно этому ме тоду в левую часть уравнения (2.8) и V , задаваемые соотно шениями (3.1), (3.2), помножим полученное выражение на ъГь(г)со$п9 , л= , 2-,.--) и приравняем нулю результат интегрирования этого произведения по области / л t 0 9 7F/2 (напомним, что задача симметрична). Величину Z считаем пока неизвестной. Выбрав таким образом область интегрирования, мы предполагаем, что при r Z возмущения, вызванные локальной потерей устойчивости, пренебрежимо малы по сравнению с соответствующими возмущениями около выреза и их можно неМы получили линейную алгебраическую систему (3.26) относитель но неизвестных констант ftK , к=0,2, .... ,/v . Порядок этой системы Д , где $ = 1 /2.+1.
Применение метода Бубнова-Галёркина и. нахожде-т. ние элементов определяющих матриц
Это равенство представляет собой уравнение относительно собственного значения А . Минимальный положительный корень этого уравнения определяет искомую критическую нагрузку, а элементы собственного вектора Vji (j = \, 2, .. . , ) соответствующие этому корню и вычисляемые (после его нахождения) по (3.27) с точностью до постоянного множителя, определяют форму прогиба, возникающего в результате локальной потери устойчивости оболочки. Учитывая вид операторов отношения (2.II), (2.12) для Тг ле подстановки в вышеприведённые интегралы соответствующих функ-ций ъГп(г) , m(r)t q,m(r)t y(r) _ /m70 f(r) ( l--\,l;n--0,i,.., ;ГЛ--0Лі... М ), ооглаоно (.3.3) и (3.18)-(3.25), в результате интегрирования получим аналитические выражения для элементов всех матриц, входящих в формулы (3.28) для Mij . Заметим, что указанное интегрирование произвести несложно, поскольку переменные Г и # во всех подынтегральных функциях оказываются разделёнными, причём зависимость их от & выражает ся произведениями типа & кОьоЯтУ где и т _ чётные, а зависимость от Г - суммами конечного числа слагав-мыхтипа Г , Ґ1Ьпт , rviUlr Выражения для элементов Dll и LJ получаются наиболее простыми. Приведём соответствующие формулы, считая везде к = 2 -0, Итак, Dij и Л// полностью определяются формулами (3.31), (3.32), а все ненулевые элементы остальных матриц имеют выражения: для / . 4/ - (3.34), для / , 7 , L i - (3.35) и для "Vf/ , Я7 , Xij , 47 . -(3.36). При этом соответствующие коэффициенты и степени, входящие в эти выражения в зависимости от вида матрицы вычисляются согласно (3.21)-(3.25), а также (3.37), (3.39), куда, в свою очередь, посредством (3.8), (3.12) и (3.38) входят константы, характеризующие докритическое состояние (2.II), (2.12) и константы к 7 J к { -М-, .. N) t опреде-ляемые по (3.4). Таким образом, в (3.28) матрицы Mij , M;j , rHj полностью находятся. Необходимо отметить, что если в докритическом состоянии пренебречь моментами, по-прежнему задавая мембранные усилия выражениями (2.II), то структура М ] существенно упрощается.
Действительно, как отмечалось в конце предыдущего параграфа, в этом случае вое функции $ М,Ц(г), (r) JK4г)7 {г)(к-о, ..., ) тождественно равны нулю и, следовательно, согласно исходному определению введённых в (3.29) матриц отличными от нуля останутся лишь Отметим, также, что для того, чтобы элементы всех рассмотренных выше матриц, вычисляемых с использованием выражений (3.33)-(3.36), имели конечный предел при 2 - , следует заменить первоначальное условие положительности параметра S , которое обеспечивает затухание при г- - дополнительных моментов и мембранных усилий, на условие зе Поскольку в выражения для элементов Mlj входят, помимо Л , неопределённые параметры , 3? и f , минимальный положительный корень уравнения (3.30) также будет от них зависеть. Поэтому для нахождения величины Лк-р , соответствующей искомому критическому значению параметра нагрузки ЯР , а также для определения границы области возмущений, применим следующую процедуру. Устремив 2 к бесконечности (при численном расчёте на ЭВМ достаточно 2 положить равным некоторому числу г 77 і , находим минимальный положительный корень уравнения (3.30) А ( s }, Затем проводим минимизацию Л по и jr , в результате которой будет найдено значение р- 1 , а также со-ответствующие ему точки минимума 9Є.О , &, . Критическое значение параметра нагрузки определится по формуле Чтобы найти теперь границу зоны возмущений, зафиксируем дв6 и . Монотонно увеличивая значение Н , начиная с г - / , будем рассматривать соответствующую величину А =/ \ [& , ) , 2) -Акр\/Акр, где Р уже найдено с помощью описанного выше способа. Когда достигнем такого г" с , что для всех 2 0 получим ( - выбранная точность), то будем считать, что искомая граница найдена, т.е. " - есть область распространения возмущений. При численной реализации на ЭВМ алгоритма вычисления критической нагрузки, нахождения формы прогиба и границы области возмущений на основе полученных в предыдущем параграфе аналитических вы- ражений для элементов матриц Mij , Mi/ , Mtj возникает необходимость следующих численных процедур. 1. Определение минимального положительного корня урав нения (3.30) при фиксированных значениях z , & , Ч . Во всех приводимых в следующей главе примерах величина находилась по смене знака определителя dd Mi] . При этом во всех случа ях обнаруживалась высокая точность и устойчивость счёта, которые являются результатом хорошей обусловленности матриц Mij t Mij f 2.
Минимизация по и f (при этом Z 7l На_ хождение Л icf = W J1 А и соответствующих точек минимума & , )Р во всех рассмотренных задачах осуществлялось простым перебором 92. (исключая целые), с шагом Л на отрезке I J , где &\ l & /) и аналогичным перебором \ с шагом Л \ на отрезке [ , 1р г L . Как показал численный анализ, зависимость А от является весьма слабой. Так, например, в исследованных конкретных задачах разброс ЗНаЧе-ний А при различных фиксированных ае. для о, 2. \ і составил не более Зуб» при этом для j значение ХГ несколько увеличивается. Подобных результатов следовало ожидать, и, как было замечено выше, это в какой-то мере является подтверждением правильности гипотезы относительно общего вида прогиба (3.1), (3.3), а также отсутствия ошибок в аналитических формулах и численных расчётах. Таким образом, положив ? равным, например-, единице, доста- ._ _.,-, . ..— только по 3EL , что существен но сокращает объём счёта. Величины л ЭР и дь следует выбирать в зависимости от конкретной задачи. Во всех исследованных приме рах вполне достаточно было перебрать 10-15 значений эй- , чтобы величина составляла менее Ь%. 3. Нахождение границы зоны возмущений. Эта процедура не представляет сложности для реализации на ЭВМ и проводится согласно методике, изложенной в предыдущем параграфе. 4. Нахождение с точностью до постоянного множителя констант определяющих форму прогиба ЪГ . Эта процедура осуществлялась на основе системы (3.27). Положив А = Yi = 1 t находим остальные константы - fc = J ( J = $ $ , K=2lj-i)) из решения линейной неоднородной системы где Л р определено согласно процедурам I и 2. Вследствие хорошей обусловленности соответствующих матриц полученная линейная система численно легко решается. Для нахождения Yf (j использовался метод Гаусса. Необходимое для достижения требуемой точности вычислений число членов в разложении прогиба (3.1) зависит от конкретного вида внешней нагрузки, действующей на оболочку, однако на основе проведённых численных исследований можно утверждать, что для всех рассмотренных в настоящей работе видов внешнего воздействия это число не превышает пяти (при S S Ркр уменьшается не более чем на 1-2$).
Осевое растяжение
Рассмотрим случай .равномерной растягивающей нагрузки интенсивности Р , приложенной к торцам вышеуказанной оболочки с круглым вырезом. Зависимость концентрации растягивающих напряжений на контуре отверстия при 9 = Я/2 от величины Р для такой задачи с учётом геометрической нелинейности изучалась в работе 48 . Теоретические, а также экспериментальные исследования, касающиеся вопроса устойчивости для указанной задачи, отсутствуют. Явление локальной потери устойчивости при осевом растяжении с вырезом может произойти благодаря наличию в оболочке области сжимающих напряжений, которые достигают максимума на контуре отверстия при 8-0 . Как и в случае осевого сжатия, пренебрежём моментностью докритического состояния, взяв коэффициенты d и С2. в выражениях (2.II) равными На основании расчётов исследовалось влияние / , d и 9 на величину п =\Ркр/р0\ , где Ркр - критичеокая нагрузка локальной потери устойчивости при растяжении, а Н - по-прежнему критическая нагрузка для соответствующей сплошной оболочки при осевом сжатии, вычисляемая по (4.3). Как и в предыдущем случае, существенным параметром задачи здесь является лишь j[ . Для 0. 5 У 2..5 кривая зависимости 7.гот )( при ck-V 00 и У - 0.5 приведена на рис.4.6. Для больших значений jf максимальная концентрация сжимающих напряжений на контуре выреза (при В- 0 )f найденная согласно решению Лурье, получается несколько выше, чем полученная из более точных расчётов и экс- периментов . Поэтому при проведении соответствующих вычислений необходимо уточнять величину п с помощью поправочного коэффициента К так же, как это делалось в предыдущем параграфе. Влияние на л параметра и коэффициента Пуассона \) при фиксированном f- устанавливается с помощью табл.4.4 ( jf= - ): максимальный разброс значений при выбранных к и V не превышает % Форма прогиба на контуре выреза изображена на рис.4.7 для различных значений при d= і/300 и У = 0.5 . Прогиб максимален в месте наибольшей концентрации напряжений сжатия ( r=/ t v и ). Параметр затухания 32 оказался лежащим в пределах /.2-Ї- 2.2 t а характерный размер 2 области возмущений равен примерно восьми радиусам выреза.
При расчётах критической нагрузки для случая осевого растяжения в разложении (3.1) для прогиба достаточно было ограничиться тремя-четырьмя членами ряда. Рассмотрим цилиндрическую оболочку с круглым вырезом, подверженную воздействию равномерного внешнего давления й (рис.4.8). Будем предполагать, что отверстие закрыто крышкой, передающей на его контур за счёт внешнего давления лишь равномерную перерезывающую силу, равную -Qio /2 Как показывают эксперименты , при значениях пара- метра / , превосходящих некоторую величину їо , общей потере устойчивости предшествует локальная, когда возмущения сосредоточены около выреза. Для не слишком больших отверстий локальная потеря устойчивости происходит хлопком, при больших же отверстиях .;хлопок отсутствует: имеет место плавное нарастание прогибов вплоть до общей потери устойчивости установили, что в процессе медленного нагружения даже для оболочек с относительно небольшими вырезами ещё до хлопка, характеризующего локальную потерю устойчивости, при некотором внешнем давлении Ы начинается визуально хорошо наблюдаемое нелинейное выпучивание около отверстия, наступает "предкритическое" состояние. Для того, чтобы правильно рассчитать нагрузку, при которой происходит локальный хлопок, следует учесть геометрическую нелинейность задачи. В выбранной же нами линейной постановке бифуркационный критерий, как увидим ниже, даст значения критическо- то давления, близкие к наблюдавшейся в опытах ла нелинейного выпучивания около отверстия, которая, строго говоря, не есть нагрузка локальной потери устойчивости оболочки. Отметим, что теоретические исследования такой задачи отсутствуют, хотя воздействие внешнего давления на цилиндрическую оболочку с несколькими большими прямоугольными вырезами рассматривалось коэффициенты С] и Сь - 86 -и, кроме того, общая потеря устойчивости цилиндрической оболочки с большим количеством отверстий при внешнем давлении изучалась в работах І28, 90, 98J.
Поскольку в нашей постановке расчётное значение & р не может зависеть от длины оболочки , в то время как критическое давление 0.0 общей потери устойчивости для соответствущей сплошной оболочки существенно зависит от её длины 18, 35 , то для удобства исследования зависимости Q P ОТ / , и рассмотрим отношение Т -Яко/ТЗо00 , где Эта величина представляет собой критическое давление для очень длинной {L ) сплошной оболочки 18 с теми же значениями к и , что и в ослабленной круглым отверстием. В случае сплошной оболочки средней длины критическое давление можно представить в виде где коэффициент С зависит от граничных условий на торцах и от начальных неправильностей. Тогда величина п =QKp/QL0 оп ределится выражением Проведённые исследования показали, что слабо зависит от коэффициента Пуассона V при фиксированных f и к как при учёте докритических моментов, так и без их учёта. В первом случае разброс значений г? составил не более 2%, а для второго случая зависимость от 9 при k-\/bl5 и /= приве- дена на рис. 4.9. Для обоих вариантов величина 1 f при фикси-рованном jf оказалась прямо пропорциональна отношению R/h Этот результат иллюстрирует рис. 4.10 (моментное докритическое состояние) и рис.4.II (безмоментное докритическое состояние). Влияние jf на 1 при ))-0.3 и ск- Агв (оболочки с такими параметрами использовались в опытах [68, 70]) показано на рис. 4.12 (кривая I - при учёте докритических моментов, кривая 2 -без их учёта). На основании вышесказанного можно записать где /Г/2) определяется из рис.4.12 в зависимости от варианта докритического состояния. Заметим, что пропорциональность /1Ъ величине "/h , а также отсутствие зависимости - и 2 от cL (от. два предыдущих параграфа) означают, что при всех трёх рассмотренных видах внешнего воздействия на оболочку критическое значение размерного параметра нагрузки Ркр при фиксированном jf оказывается прямо пропорциональным Л . Для оболочки с жёстко закреплёнными торцами (в формуле (4.10) согласно [Ь7 J С = 1,12. ) и значениями параметров L/R= 3. 5" , d = j/32.6 t У 0.5 расчётные зависимости 3 от У с учётом и без учёта докритических моментов приведены на рис.4.13 (соответственно кривые I и 2). Здесь же цифрой 3 отмечена экспериментальная кривая работы Гб8J для оболочки с теми же параметрами и условиями на торцах. Эта кривая соответствует такому, внешнему давлению Q. , при котором начинается существенное нелинейное (хотя и плавное) нарастание прогибов около отверстия. Обе теоретические кривые на рис.4.13 расположены ниже экспериментальной, причём рас-чёт по безмоментной теории для / А даёт результаты более близкие к опытным.
