Содержание к диссертации
Введение
1. Уравнения невозмущенного и возмущенного движения цилиндрической оболочки 24
1.1. Вывод уравнений движения оболочки 24
1.2. Вывод уравнений возмущенного движения оболочки при осесимметричной невозмущенной реакции 30
1.3. Невозмущенное движение оболочки 33
2. Применение метода функций.Ляпунова к суждениям о динамической устойчивости цилиндрической оболочки 43
2.1. Определение понятия динамической устойчивости цилиндрической оболочки 43
2.2. Применение функций Ляпунова для исследования технической устойчивости решений уравнений 53
2.3. Выбор конкретного вида функции Ляпунова 59
2.4. Оценки движения цилиндрической оболочки под действием продольной краевой нагрузки и возмущающих факторов 61
3. Применение численно-аналитического метода представления решений уравнений возмущенного движения к задачам динамической устойчивости цилиндрических оболочек 73
3.1. Численно-аналитический метод интегрирования уравнений 73
3.2. Оценки движения цилиндрической оболочки под действием продольной краевой нагрузки, давления и возмущающих факторов 79
Заключе ниє 86
Литература 87
- Вывод уравнений возмущенного движения оболочки при осесимметричной невозмущенной реакции
- Применение функций Ляпунова для исследования технической устойчивости решений уравнений
- Оценки движения цилиндрической оболочки под действием продольной краевой нагрузки, давления и возмущающих факторов
Введение к работе
Современный уровень развития техники характеризуется широким применением об о л очечных конструкций, особенно в самолетостроении и ракетной технике. В процессе эксплуатации в самолетных и ракетных конструкциях оболочки и панели подвергаются, как правило, динамическим нагрузкам. Иногда выход из-строя оболочеч-ной конструкции обусловлен потерей ее устойчивости под действием динамических нагрузок. В связи с этим, возникает-класс задач МДТТ об исследовании -условий динамической устойчивости оболочечных конструкций. В частности, большой практический интерес представляют задачи исследования устойчивости.осесимметричной реакции упругих, цилиндрических оболочек. Актуальность этой проблемы вызывает все-возрастающее количество публикаций по динамической устойчивости оболочек, в том. числе и цилиндрических, причем различные исследователи используют различные, понятия устойчивости систем, в зависимости от практических потребностей исследования.
Теории устойчивости.движения посвящаются исследованиям влияния, возмущающих.факторов на движение.материальной системы. Под возмущающими факторами обычно.понимаются силы, не учитываемые, при..описании движения, вследствие их малости по сравнению с основными .силами. Эти.возмущающие силы-Обычно неизвестны..Они могут действовать, мгновенно, что сведется к малому.применению начального состояния ма териа ль ной-системы. Но эти .силы могут действовать ив течение всего времени движения системы. . . . Влияние малых возмущающих факторов на. движение материальной сиетемы.будет неодинаковым для.различных движений. На одни движения это влияние незначительно, так что возмущенное движение мало отличается от невозмущенного, на других движениях вли яние возмущений сказывается весьма значительно, так что возмущенное движение значительно отличается от невозмущенного, по истечение некоторого промежутка времени. Движения первого рода называются устойчивыми, движения второго рода - неустойчивыми.
Теория устойчивости, движения и занимается установлением признаков, позволяющих судить, будет ли рассматриваемое движение устойчивым или неустойчивым.
Впервые наиболее строгое и общее определение устойчивости было дано А.М.Ляпуновым [38]. Им была рассмотрена произвольная динамическая система, движение которой описывается системой дифференциальных уравнений = YAt.y, ys),K=t.i S (і)
Далее выделялось некоторое частное решение ук = fKXt) Это движение называется невозмущенным, в отличие от других движений, которые называются возмущенными. Разнооти значений величин ук в каком-нибудь.возмущенном и невозмущенном движениях называются возмущениями. . А.М.Ляпунов дал следующее определение устойчивости.. .Невозмущенное движение называвтся. .устойчивым,по отношению к величинам ук , если.для всякого положительного.числа є , как бы мало оно ни было, найдется другое положительное число п ( е ), такое, что для всех возмущенных движений ук- ук ( t ), для которых в начальный момент t = tо выполняются неравенства yK(to) - f (to) rj (2) будут при всех t tа выполняться неравенства yK(t)-fn(t) Є (3)
В приложении к исследованию цилиндрических оболочек данное определение было положено в основу изучения параметрической неустойчивости цилиндрических оболочек под действием периодических нагрузок, так как в этом случае по поведению системы на неограниченном интервале времени можно качественно оценить характер движения на конечном интервале времени. Уравнения движения оболочки в возмущениях сводились методом Бубнова-Галеркина к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, устойчивость нулевого решения которых по Ляпунову исследовалась-одним из известных методов [58, З, 13, 23, II, 70, 71, 75, 76, 80]. Цилиндрическая оболочка считалась устойчивой, если нулевое решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений было устойчиво в смысле определения Ляпунова.
В рамках данного подхода были определены области параметрической неустойчивости (в пространстве параметров нагрузки) цилиндрических оболочек под действием различного вида периодических нагрузок [8, 10, 64, 71, 82]]; подкрепленных оболочек [67, 46, 62]; оболочек с присоединенными массами [34, 52]; оболочек с несовершенствами формы срединной поверхности [ЗЗ]; слоистых анизотропных оболочек [12, 21, 25, 28, 29]; оболочек с упругим заполнителем [35, 36]; с учетом инерции в тангенциальной плоскости [79] и т.д.
В работах Зубова В.И. [27], Мовчана А.А. [44, 45], Матро-сова В.М. [42] подход Ляпунова к исследованию устойчивости движения был обобщен на системы с распределенными параметрами, описываемыми дифференциальными уравнениями в частных производных.
Движения системы с распределенными параметрами рассматриваются в некотором метрическом пространстве, причем его метрика выбирается конкретно в каждой задаче. Вместо функции Ляпунова в рассмотрение вводится функционал Ляпунова, определенный для.каждой точки метрического пространства движений. В качестве функционала Ляпунова обычно выбирают интеграл типа интеграла энергии возмущенного движения системы [65, 74]. Об устойчивости системы с -распределенными параметрами судят по свойствам функционала, Ляпунова, исходя из теоремы об устойчивости А.А.Мовча-на [44].
С помощью данного подхода были исследованы задачи о динамической устойчивости бесконечной цилиндрической оболочки, нагруженной равномерной осевой силой и осесимметричной волной внешнего давления, движущейся с постоянной скоростью вдоль оболочки [бб], и о динамической устойчивости оболочки под действием следящей тангенциальной нагрузки [?4]. Причинами недоста-точно широкого применения данного подхода к задачам исследования устойчивости оболочек являются значительные математические трудности при анализе поведения функционала Ляпунова, а также отсутствие общих конструктивных методов его построения. Это приводит к тому, что различные исследователи, использующие различные функционалы Ляпунова и методы их исследования, получают при решении одной и той же задачи результаты, отличающиеся примерно в 50 раз [37].
Разработанные А.М.Ляпуновым методы решения задачи об устойчивости движения являются строгими методами в решении многих прикладных задач. В то же время новые практические задачи, связанные с необходимостью оценки движения, повлекли многочисленные обобщения и стимулировали дальнейшее развитие понятия устойчивости, учитывающие те или иные специфические особенности функционирования систем.
Понятие устойчивости по Ляпунову построено на следующих трех концепциях.
1. Определение устойчивости не содержит каких-либо конкретных количественных ограничений на величины є и ц ( є ), они предполагаются просто достаточно малыми.
2. В определении устойчивости не предполагаются иные возмущаю- . щие факторы, кроме начальных возмущений.
3. В определении устойчивости предполагается неограниченный интервал времени.
Вторая концепция уже ограничивает крут прикладных задач, так как система может находиться под воздействием не только начальных возмущений, но и возмущающих сил, действующих на систему на протяжении всего интервала времени. Однако дальнейшее развитие теории устойчивости в смысле Ляпунова позволило сформулировать понятие устойчивости при.постоянно действующих возмущениях.. В работах Четаева [бі, Дубошина [24], Малкина [39] метод функций Ляпунова обобщен на исследование устойчивости систем при постоянно действующих возмущениях.
Третья концепция не позволяет рассматривать системы, время функционирования которых ограничено. Но большинство технических систем функционируют в течение конечного интервала времени, и обычно исследователя интересуют свойства соответствующего процесса в течение конечного промежутка времени, не превышающего времени функционирования системы. Понятие устойчивости по Ляпу- нову, являясь характеристикой качества процесса при t— -°° , может представлять качество процесса и в пределах конечного промежутка времени (периодические процессы), но далеко не всегда.
Поэтому в связи с потребностями практики возникла потребность в определении понятия устойчивости процессов на конечном интервале времени и построение соответствующей теории.
Определение устойчивости на конечном интервале времени, по-видимому, впервые было дано Н.ГЛетаевым [бі]. В настоящее время известно несколько отличающихся друг от друга постановок задачи устойчивости на конечном интервале времени. Общим для всех постановок является.введение определенной функциональной связи между областями допустимых возмущений в начальный момент to и при t tо в пределах конечного интервала времени. Различие же между ними проявляются, во-первых, в характере ограничений, налагаемых на отклонения параметров процесса, и, во-вторых, в форме и характере изменения во времени области допустимых возмущений.
В развитии теории устойчивости на конечном интервале времени имеются два разных направления. Одно из них берет свое начало с упомянутой работы Н.Г.Четаева и характеризуется тем, что в постановках задач размеры и форма областей допустимых возмущений определяются вполне конкретными, наперед заданными величинами. По терминологии Н.Д.Моисеева понятие устойчивости в этом случае называется "технической устойчивостью".
. Понятие технической устойчивости формируется следующим образом.
Рассмотрим динамическую систему, состояние которой характеризуется величинами yf , уг ,..., ys и описывается векторным дифференциальным уравнением 4т- = ecttY) + g(t.Y) (4) at где 9 ( t , Y) - известная векторная функция, д ( t , Y )-известная или неизвестная векторная функция.
Выделение в математической модели процесса функции д ( t, Y) отражает то обстоятельство, что при формализации явлений нередко некоторые факторы, существенно влияющие на процессы, не удается подвергнуть явному математическому описанию с удовлетворительной достоверностью. Компоненты вектор-функции д ( t , Y) в этом случае рассматриваются как возмущения и именуются возмущающими силами.
Без учета возмущающих сил состояние динамической системы представляется уравнением dY dt = d(t%Y) (5)
Предполагается, что правые части уравнений (4), (5) обладают свойствами, гарантирующими существование и единственность решения задачи Коши в областях Ь Dy х Dg к J0 х DYl где la d [tf oo), a DY И Dg - открытие множества в соответствующих векторных пространствах.
Полагают, что вектор-функция д ( t , Y ) участвует в математической модели с ограничением д € Л it )ciDg (t€lo) (6) где Л ( t ) - некоторая область возможных или допустимых значений возмущающих сил.
Выделим какое-либо частное решение уравнения (5) у"{ t ) будем рассматривать его как невозмущенное движение. Тогда все движения, отличиные от невозмущенного, называются возмущенными движениями системы.
Каждое возмущенное движение отличается от невозмущенного вследствие либо возмущений начального состояния системы, либо воздействия на траектории возмущающих сил.
Замена переменных Y=Y°(t) + x (?) приводит уравнение (4) к виду --=f(t.X) + g(ttX) . (8) где f(t,x)=/(t%Yo+x)-0(ttYo(t)) , g(t.Ye(t)+x)=g(t,x) .
Невозмущенному движению в новых координатах соответствует тривиальное решение х ( t ) = О уравнения §- = f(t.x). (9)
Далее вводится вполне определенная область 0)о начальных возмущений Хо=х( to) и рассматриваются траектории, которые берут начало в точках х„ со0 ; задается определенное множество Iczlo значений времени {[t0 t 7"]); вводятся области значений возмущений x{t)-co(t)m возмущающих сил - Л ( t ) на множестве / .
Тогда основное понятие технической теории устойчивости формулируется следующим образом.
Невозмущенное движение называется технически устойчивым на I относительно заданных со0 , JC ( t ), со ( t ) в том и только том случае, если возмущенное движение, определенное начальным условием ОС (to) Wo (10") при всяких возмущающих силах д ( t , д: ), ограниченных требованием удовлетворяет условию x(t) 6 o Ct; , V tei (12)
Система (8) называется технически устойчивой, если соответствующее невозмущенное движение устойчиво.
Правые части уравнений возмущенного движения обычно зависят от ряда конструктивных параметров системы с, , сг ,..., ст. Пусть х обозначает некоторую область в пространстве параметров cf , с2 ,..., ст - подмножество допустимых значений этих параметров. В.И.Зубов [26] сформулировал следующие три задачи относительно областей и)а , со и х .
1. При заданных со и х определить ш0 из условия, что интегральные кривые уравнений возмущенного движения, начинающиеся при t = to в области сОо , остаются при значениях параметров с,- , .взятых из а? в пределах области ш { t ) при t [to. Г].
2. При заданных д/ и а? определить ( t ) при условии задачи I.
3. При заданных cv0 и со ( t ) определить х из условия технической устойчивости системы.
Впервые, по-видимому, элементы технической теории устойчивости в приложении к анализу динамической устойчивости цилиндрических оболочек были использованы в работах А.С.Вольми-ра [15 - 18]. Им рассматривались цилиндрические оболочки, имеющие несовершенства срединной поверхности, нагруженные быстро возрастающими осесимметричными нагрузками. К нелинейным уравнениям движения оболочки.с начальными несовершенствами применяется процедура Бубнова-Галеркина, и задача сводится к решению получаемой таким образом системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Результатом численного решения на ЭВМ этих уравнений является зависимость характерного параметра прогиба оболочки і/ґ от времени t , схематически показанная на рисунке I.
-На участке ВС происходит резкое изменение характера движения оболочки, амплитуда некоторых не осесимметричных форм начинает резко возрастать. Обычно считают, что на участке АВ оболочка динамически.устойчива, а.на участке ВС происходит потеря.динамической устойчивости оболочки.
.. А.С.Вольмиром были.предложены следующие основные.критерии динамической устойчивости оболочек [14, 15]. Оболочка, находящаяся под действием возрастающей нагрузки считается динамически устойчивой в некотором интервале времени
а) если стрела прогиба в течение.этого интервала времени меньше заданной величины (обычно меньше, чем толщина оболочки);
б) до тех пор, пока скорости нарастания прогиба не начали резко . увеличиваться.
При сначала возрастающей, а затем резко уменьшающейся нагрузке был предложен следующий критерий динамической устойчивости оболочки. Оболочка динамически устойчива, если в период возрастания нагрузки выполняются условия а), а в период уменьшения нагрузки прогибы оболочки не превосходят прогибов в конце периода нарастания нагрузки. При ударном нагружении оболочек массой за критическую скорость удара, начиная с которой оболочка считается динамически неустойчивой, принимается такая скорость, при которой наблюдается экспоненциальный рост амплитуд некоторых форм движения оболочки [25, 31, 32].
Из приведенных формулировок критериев динамической устойчивости видно, что они меняются при переходе от одной задачи к другой в зависимости от характера изменения действующих на оболочку нагрузок. Именно такой способ введения критериев устойчивости характерен для технической теории устойчивости.
Исходя из того, что различные авторы [2, 40, 53, 43, 6, 4J предлагают, обосновывают и используют различные критерии динамической устойчивости оболочек, А.С.Вольмиром [іб] было обращено внимание на то, что "дополнительному исследованию должен быть подвергнут вопрос о критериях динамической устойчивости". Техническая теория устойчивости снимает вопрос о выборе единого критерия устойчивости. При решении конкретных технических задача должны назначаться свои критерии устойчивости, исходя из ограничений, которые накладываются условиями эксплуатации данной конструкции.
Как уже отмечалось, применение данного подхода к исследованию динамической устойчивости цилиндрических оболочек с несовершенствами формы срединной поверхности началось с работ А.С.Вольмира [іб, 18], где исследовались упругие изотропные и ортотропные оболочки под действием осевой сжимающей силы и равномерного давления. В дальнейшем исследовалась динамическая устойчивость цилиндрических оболочек с различного рода подкреплениями [8, 63, 73, 66, 68]; оболочек несущих систему распределенных масс [57]; оболочек с упругим заполнителем [9, 54]и т.д.; под действием осевых сил, давления, различно изменяющегося во времени [81, 8]; нагрузок ударного типа [4, 43, 83] ; крутящих нагрузок [72,..78]; при учете демпфирующих свойств материала оболочки [77], а также инерции в тангенциальной плоскости [78].
При исследовании динамической устойчивости цилиндрических оболочек в рамках данного подхода использовались и численные методы: метод конечных разностей [19, 47]и метод конечных элементов [69].
Наиболее полно постановка задачи о динамической устойчи вости цилиндрических оболочек на конечном интервале времени в терминах технической теории устойчивости была осуществлена в работе А.С.Черевацкого [бо]. В приложениях им была рассмотрена ор-тотропная цилиндрическая оболочка, имеющая начальный прогиб срединной поверхности в ненагруженном состоянии. Оболочка шарнирно закреплена по торцам и нагружена линейно возрастающим во времени давлением. Рассматривалась устойчивость безмоментного невозмущенного движения оболочки. Начальные прогибы срединной поверхности оболочки являлись изначальными возмущениями, и постоянно действующими возмущениями, так как их учет приводит к неоднородным уравнениям возмущенного движения. Вводились ограничения на величину.начальных прогибов срединной поверхности и полных прогибов оболочки. По введенным ограничениям на начальный прогиб и последующие прогибы оболочки аналитически отыскивалось критическое время нагружения оболочки. При одночленной аппроксимации функции начальных несовершенств срединной поверхности оболочки и полного прогиба уравнение возмущенного движения оболочки методом Бубнова-Галеркина сводилось к линейному неоднородному дифференциальному уравнению с переменными коэффициентами. При определенных допущениях получено аналитическое выражение для определения критического времени нагружения оболочки, которое затем минимизировано по номерам гармоник собственных форм оболочки с целью определить наиболее быстро растущую форму оболочки.
Для данной постановки задачи устойчивости оболочки характерно следующее.
I. Области.начальных возмущений и начальных несовершенств оболочки совпадают и аппроксимированы одночленной зависимостью.
2. Не учитывается колебательный характер решения в первоначальный период нагружения,-прогиб считался монотонно возрастающим.
3. Форма начальных несовершенств определяется после решения задачи.
Только .при данных упрощающих допущениях А.СЛеревацкому удалось получить аналитическое выражение для критического времени нагружения.
В работах Байрамова Ф.Д. [5], Мартынюка А.А. [41], Тихонова А.А. [55] идеи технической теории устойчивости были распространены на системы с распределенными параметрами. Рассмотрение систем с распределенными параметрами имеет свои особенности.
1. Начальные возмущения в этом случае не числа, а функции пространственных переменных. Допустимыми являются только такие начальные возмущения, которые не приводят к бесконечным значениям потенциальной энергии системы в начальный момент времени. Отсюда возникает необходимость ограничивать значения не только самих функций начальных возмущений, но и их соответствующие производные по пространственным координатам.
2. Мерой отличия возмущенного движения от невозмущенного является интеграл по объему от возмущений и соответствующих их производных по пространственным координатам и времени.
3. Величина возмущающих сил ограничивается некоторой функцией только времени.
Применительно к задачам механики деформируемого твердого тела эти особенности постановки задачи об устойчивости на конечном интервале времени приводят к некоторым затруднениям. Мера возмущений есть интегральная характеристика возмущенного дви --жения по объему деформируемого твердого тела, поэтому из оценки возмущенного движения по этой мере нельзя оценить величину возмущений в каждой конкретной точке тела. Но условие возможности оценки возмущений в каждой точке деформируемого твердого тела во многих практических задачах является необходимым для назначения критериев технической устойчивости движения деформируемого твердого тела. Таким критерием, например, может являться выполнение условия неразрушения в каждой точке деформируемого твердого тела. Даже если имеется информация о распределении начальных возмущений и возмущающих сил по объему тела, то при решении .задачи об устойчивости движения деформируемого тела в данной постановке, а конкретно - при переходе к интегральной мере возмущений, эта информация теряется.
Если имеется информация о распределении начальных возмущений и возмущающих сил по объему тела, то при решении задачи .об устойчивости движения на конечном интервале времени желательно получить распределение оценок возмущений по объему тела. Для этого предлагается представить начальные возмущения и возмущающие силы в виде разложений по формам собственных движений деформируемого твердого тела и ограничивать, величины коэффициентов этих разложений. Тогда уравнения возмущенного движения системы с распределенными параметрами методом Бубнова-Галеркина можно свести к.системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов разложения возмущений по формам собственных движений деформируемого твердого тела. Далее исследование устойчивости полученной таким образом системы обыкновенных дифференциальных уравнений вести методами технической теории устойчивости. Ограничивая величины коэффициентов разложе -ния начальных возмущений, возмущающих сил и допустимых возмущений, можно получить области со0 , at , со , соответственно.
Тогда систему с распределенными параметрами будем считать динамически устойчивой на заданном конечном интервале времени, если невозмущенное движение соответствующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений технически устойчиво.
В нашей диссертации исследуется динамическая устойчивость упругой цилиндрической оболочки, имеющей несовершенства срединной поверхности. Оболочка шарнирно оперта по торцам и находится под действием осесимметричной системы динамических нагрузок: продольного краевого усилия и давления.
В качестве начальных возмущений рассматривались прогибы оболочки и радиальные скорости точек срединной поверхности. В качестве постоянно действующих возмущающих факторов приняты несовершенства срединной поверхности оболочки, так как их учет приводит к неоднородным уравнениям возмущенного движения оболочки. Возмущающие факторы и возмущения представлялись в виде разложений по формам собственных движений оболочки. Применением процедуры Бубнова-Галеркина уравнения движения оболочки в возмущениях сводились к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В пространстве коэффициентов разложения возмущающих факторов и возмущений были ограничены области начальных возмущений, возмущающих сил и допустимых возмущений.
Исследование технической устойчивости и оценки решений полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений проведены с помощью метода функций Ляпунова, который является основным методом в теории технической устойчивости. Наряду с методом функций Ляпунова для данной конкретной задачи предложен и -другой метод оценки решений, основанный на том, что в данном случае удалось представить решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений в виде ряда по степеням коэффициентов разложения несовершенств формы срединной поверхности по собственным формам оболочки.
Оболочка считается динамически устойчивой в заданном интервале времени, если соответствующая система обыкновенных дифференциальных уравнений, полученная из уравнений возмущенного движения оболочки, технически устойчива.
В диссертации рассмотрены вторая и третья задачи технической теории устойчивости по классификации В.И.Зубова [26].
1. По заданным областям начальных возмущений - со0 и несовершенств формы срединной поверхности оболочки - зС определена область допустимых значений возмущений Ш из условия технической устойчивости системы в заданном интервале времени е[ ,т].
2. По заданным областям начальных возмущений - ша и допустимых возмущений - ш определена такая область несовершенств формы срединной поверхности оболочки, при которой система будет технически устойчива в заданном интервале времени
Кроме вышеизложенного кратного обзора постановок и методов исследования задач о динамической устойчивости цилиндрических оболочек, представленная диссертация содержит три раздела и заключение.
В первом разделе, в рамках классической теории оболочек, выведены уравнения движения упругой пологой цилиндрической оболочки, имеющей начальные прогибы срединной поверхности, отли чающиеся от общепринятых уравнений [l7] тем, что в них учтены все слагаемые, которые представляют собой произведения начальных прогибов оболочки и смещений точек срединной поверхности, а также их производные. При выводе уравнений движения не использовалось предположение о малости начальных прогибов срединной поверхности по сравнению с толщиной оболочки, поэтому данные уравнения позволяют описывать движение цилиндрических оболочек с начальными прогибами порядка толщины оболочки.
На основе представления реального движения цилиндрической оболочки с несовершенствами формы срединной поверхности как суммы невозмущенной осесимметричной реакции идеальной цилиндрической оболочки на осесимметричкую нагрузку и малых возмущений, вызванных действием возмущающих факторов выведены линеаризованные относительно возмущений уравнения возмущенного движения оболочки.
Исследованы уравнения осесимметричного невозмущенного движения цилиндрической оболочки. После некоторых преобразований выведено одно дифференциальное уравнение относительно прогибов, имеющее зависящие от нагрузки переменные коэффициенты, которое затем линеаризовано. Исследовано осесимметричное движение оболочки под действием периодической краевой нагрузки. В этом случае применение процедуры Бубнова-Галеркина к уравнению движения оболочки приводит к системе независимых неоднородных уравнений Матье. Построены главные области параметрической неустойчивости некоторых осесимметричных форм движения оболочки. На конкретном численном примере показано принципиальное отличие поведения решений общепринятых линейных уравнений осесимметричного движения оболочки и линеаризованных уравнений,выведенных в дан ном разделе.
Во втором разделе возмущения и несовершенства срединной поверхности оболочки представлены в виде разложений по формам собственных движений оболочки. Применением процедуры Бубнова-Га леркина_к уравнениям возмущенного движения оболочки после некоторых преобразований получена система неоднородных обыкновенных уравнений относительно коэффициентов разложения возмущений. . . Осуществлена математическая постановка задачи о динамической устойчивости цилиндрической оболочки. Выделены область начальных возмущений, область изменения возмущающих сил, область допустимых возмущений...С помощью метода функций Ляпунова проведена оценка решений полученной системы уравнений, на основании которой можно судить о технической устойчивости или неустойчивости полученной системы уравнений, а следовательно и о динамической устойчивости оболочки. Численно исследована зависимость оценок решений от параметров нагружения оболочки и величины возмущающих факторов. Проанализировано влияние выбора функции Ляпунова на результаты расчетов, даны соответствующие рекомендации по выбору функции Ляпунова.
В третьем разделе предложен метод построения решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных во втором разделе, в виде сходящегося ряда по степеням коэффициентов разложения несовершенств формы срединной поверхности оболочки. На основе такого представления решений получены оценки для решений данной системы уравнений. На конкретных численных примерах проанализировано, влияние параметров нагружения, начальных возмущений и несовершенств формы срединной поверхности оболочки на величину оценок возмущений. Приведено сравнение ре -зультатов, полученных применением метода функций Ляпунова и метода, предложенного в этом разделе.
Вывод уравнений возмущенного движения оболочки при осесимметричной невозмущенной реакции
В процессе эксплуатации в самолетных и ракетных конструкциях оболочки и панели подвергаются, как правило, динамическим нагрузкам. Иногда выход из-строя оболочеч-ной конструкции обусловлен потерей ее устойчивости под действием динамических нагрузок. В связи с этим, возникает-класс задач МДТТ об исследовании -условий динамической устойчивости оболочечных конструкций. В частности, большой практический интерес представляют задачи исследования устойчивости.осесимметричной реакции упругих, цилиндрических оболочек. Актуальность этой проблемы вызывает все-возрастающее количество публикаций по динамической устойчивости оболочек, в том. числе и цилиндрических, причем различные исследователи используют различные, понятия устойчивости систем, в зависимости от практических потребностей исследования.
Теории устойчивости.движения посвящаются исследованиям влияния, возмущающих.факторов на движение.материальной системы. Под возмущающими факторами обычно.понимаются силы, не учитываемые, при..описании движения, вследствие их малости по сравнению с основными .силами. Эти.возмущающие силы-Обычно неизвестны..Они могут действовать, мгновенно, что сведется к малому.применению начального состояния ма териа ль ной-системы. Но эти .силы могут действовать ив течение всего времени движения системы. . . . Влияние малых возмущающих факторов на. движение материальной сиетемы.будет неодинаковым для.различных движений. На одни движения это влияние незначительно, так что возмущенное движение мало отличается от невозмущенного, на других движениях вли - 5 яние возмущений сказывается весьма значительно, так что возмущенное движение значительно отличается от невозмущенного, по истечение некоторого промежутка времени. Движения первого рода называются устойчивыми, движения второго рода - неустойчивыми.
Теория устойчивости, движения и занимается установлением признаков, позволяющих судить, будет ли рассматриваемое движение устойчивым или неустойчивым. Впервые наиболее строгое и общее определение устойчивости было дано А.М.Ляпуновым [38]. Им была рассмотрена произвольная динамическая система, движение которой описывается системой дифференциальных уравнений = YAt.y, ys),K=t.i S (і) Далее выделялось некоторое частное решение ук = fKXt) Это движение называется невозмущенным, в отличие от других дви жений, которые называются возмущенными. Разнооти значений вели чин ук в каком-нибудь.возмущенном и невозмущенном движениях называются возмущениями. . А.М.Ляпунов дал следующее определение устойчивости.. .
В приложении к исследованию цилиндрических оболочек данное определение было положено в основу изучения параметрической неустойчивости цилиндрических оболочек под действием периодических нагрузок, так как в этом случае по поведению системы на неограниченном интервале времени можно качественно оценить характер движения на конечном интервале времени. Уравнения движения оболочки в возмущениях сводились методом Бубнова-Галеркина к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, устойчивость нулевого решения которых по Ляпунову исследовалась-одним из известных методов [58, З, 13, 23, II, 70, 71, 75, 76, 80]. Цилиндрическая оболочка считалась устойчивой, если нулевое решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений было устойчиво в смысле определения Ляпунова.
В рамках данного подхода были определены области параметрической неустойчивости (в пространстве параметров нагрузки) цилиндрических оболочек под действием различного вида периодических нагрузок [8, 10, 64, 71, 82]]; подкрепленных оболочек [67, 46, 62]; оболочек с присоединенными массами [34, 52]; оболочек с несовершенствами формы срединной поверхности [ЗЗ]; слоистых анизотропных оболочек [12, 21, 25, 28, 29]; оболочек с упругим заполнителем [35, 36]; с учетом инерции в тангенциальной плоскости [79] и т.д.
В работах Зубова В.И. [27], Мовчана А.А. [44, 45], Матро-сова В.М. [42] подход Ляпунова к исследованию устойчивости движения был обобщен на системы с распределенными параметрами, описываемыми дифференциальными уравнениями в частных производных.
Применение функций Ляпунова для исследования технической устойчивости решений уравнений
Движения системы с распределенными параметрами рассматриваются в некотором метрическом пространстве, причем его метрика выбирается конкретно в каждой задаче. Вместо функции Ляпунова в рассмотрение вводится функционал Ляпунова, определенный для.каждой точки метрического пространства движений. В качестве функционала Ляпунова обычно выбирают интеграл типа интеграла энергии возмущенного движения системы [65, 74]. Об устойчивости системы с -распределенными параметрами судят по свойствам функционала, Ляпунова, исходя из теоремы об устойчивости А.А.Мовча-на [44].
С помощью данного подхода были исследованы задачи о динамической устойчивости бесконечной цилиндрической оболочки, нагруженной равномерной осевой силой и осесимметричной волной внешнего давления, движущейся с постоянной скоростью вдоль оболочки [бб], и о динамической устойчивости оболочки под действием следящей тангенциальной нагрузки [?4]. Причинами недоста-точно широкого применения данного подхода к задачам исследования устойчивости оболочек являются значительные математические трудности при анализе поведения функционала Ляпунова, а также отсутствие общих конструктивных методов его построения. Это приводит к тому, что различные исследователи, использующие различные функционалы Ляпунова и методы их исследования, получают при решении одной и той же задачи результаты, отличающиеся примерно в 50 раз [37]. Третья концепция не позволяет рассматривать системы, время функционирования которых ограничено. Но большинство технических систем функционируют в течение конечного интервала времени, и обычно исследователя интересуют свойства соответствующего процесса в течение конечного промежутка времени, не превышающего времени функционирования системы. Понятие устойчивости по Ляпу- нову, являясь характеристикой качества процесса при t— - , может представлять качество процесса и в пределах конечного промежутка времени (периодические процессы), но далеко не всегда.
Поэтому в связи с потребностями практики возникла потребность в определении понятия устойчивости процессов на конечном интервале времени и построение соответствующей теории.
Определение устойчивости на конечном интервале времени, по-видимому, впервые было дано Н.ГЛетаевым [бі]. В настоящее время известно несколько отличающихся друг от друга постановок задачи устойчивости на конечном интервале времени. Общим для всех постановок является.введение определенной функциональной связи между областями допустимых возмущений в начальный момент to и при t tо в пределах конечного интервала времени. Различие же между ними проявляются, во-первых, в характере ограничений, налагаемых на отклонения параметров процесса, и, во-вторых, в форме и характере изменения во времени области допустимых возмущений.
В развитии теории устойчивости на конечном интервале времени имеются два разных направления. Одно из них берет свое начало с упомянутой работы Н.Г.Четаева и характеризуется тем, что в постановках задач размеры и форма областей допустимых возмущений определяются вполне конкретными, наперед заданными величинами. По терминологии Н.Д.Моисеева понятие устойчивости в этом случае называется "технической устойчивостью".
Далее вводится вполне определенная область 0)о начальных возмущений Хо=х( to) и рассматриваются траектории, которые берут начало в точках х„ со0 ; задается определенное множество Iczlo значений времени {[t0 t 7"]); вводятся области значений возмущений x{t)-co(t)m возмущающих сил - Л ( t ) на множестве / .
Тогда основное понятие технической теории устойчивости формулируется следующим образом. Впервые, по-видимому, элементы технической теории устойчивости в приложении к анализу динамической устойчивости цилиндрических оболочек были использованы в работах А.С.Вольми-ра [15 - 18]. Им рассматривались цилиндрические оболочки, имеющие несовершенства срединной поверхности, нагруженные быстро возрастающими осесимметричными нагрузками. К нелинейным уравнениям движения оболочки.с начальными несовершенствами применяется процедура Бубнова-Галеркина, и задача сводится к решению получаемой таким образом системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Результатом численного решения на ЭВМ этих уравнений является зависимость характерного параметра прогиба оболочки і/ґ от времени t , схематически показанная на рисунке I.
При сначала возрастающей, а затем резко уменьшающейся нагрузке был предложен следующий критерий динамической устойчивости оболочки. Оболочка динамически устойчива, если в период возрастания нагрузки выполняются условия а), а в период уменьшения нагрузки прогибы оболочки не превосходят прогибов в конце периода нарастания нагрузки. При ударном нагружении оболочек массой за критическую скорость удара, начиная с которой оболочка считается динамически неустойчивой, принимается такая скорость, при которой наблюдается экспоненциальный рост амплитуд некоторых форм движения оболочки [25, 31, 32].
Оценки движения цилиндрической оболочки под действием продольной краевой нагрузки, давления и возмущающих факторов
Из приведенных формулировок критериев динамической устойчивости видно, что они меняются при переходе от одной задачи к другой в зависимости от характера изменения действующих на оболочку нагрузок. Именно такой способ введения критериев устойчивости характерен для технической теории устойчивости. Исходя из того, что различные авторы [2, 40, 53, 43, 6, 4J предлагают, обосновывают и используют различные критерии динамической устойчивости оболочек, А.С.Вольмиром [іб] было обращено внимание на то, что "дополнительному исследованию должен быть подвергнут вопрос о критериях динамической устойчивости". Техническая теория устойчивости снимает вопрос о выборе единого критерия устойчивости. При решении конкретных технических задача должны назначаться свои критерии устойчивости, исходя из ограничений, которые накладываются условиями эксплуатации данной конструкции.
Как уже отмечалось, применение данного подхода к исследованию динамической устойчивости цилиндрических оболочек с несовершенствами формы срединной поверхности началось с работ А.С.Вольмира [іб, 18], где исследовались упругие изотропные и ортотропные оболочки под действием осевой сжимающей силы и равномерного давления. В дальнейшем исследовалась динамическая устойчивость цилиндрических оболочек с различного рода подкреплениями [8, 63, 73, 66, 68]; оболочек несущих систему распределенных масс [57]; оболочек с упругим заполнителем [9, 54]и т.д.; под действием осевых сил, давления, различно изменяющегося во времени [81, 8]; нагрузок ударного типа [4, 43, 83] ; крутящих нагрузок [72,..78]; при учете демпфирующих свойств материала оболочки [77], а также инерции в тангенциальной плоскости [78].
При исследовании динамической устойчивости цилиндрических оболочек в рамках данного подхода использовались и численные методы: метод конечных разностей [19, 47]и метод конечных элементов [69].
Наиболее полно постановка задачи о динамической устойчи - 16 - вости цилиндрических оболочек на конечном интервале времени в терминах технической теории устойчивости была осуществлена в работе А.С.Черевацкого [бо]. В приложениях им была рассмотрена ор-тотропная цилиндрическая оболочка, имеющая начальный прогиб срединной поверхности в ненагруженном состоянии. Оболочка шарнирно закреплена по торцам и нагружена линейно возрастающим во времени давлением. Рассматривалась устойчивость безмоментного невозмущенного движения оболочки. Начальные прогибы срединной поверхности оболочки являлись изначальными возмущениями, и постоянно действующими возмущениями, так как их учет приводит к неоднородным уравнениям возмущенного движения. Вводились ограничения на величину.начальных прогибов срединной поверхности и полных прогибов оболочки. По введенным ограничениям на начальный прогиб и последующие прогибы оболочки аналитически отыскивалось критическое время нагружения оболочки. При одночленной аппроксимации функции начальных несовершенств срединной поверхности оболочки и полного прогиба уравнение возмущенного движения оболочки методом Бубнова-Галеркина сводилось к линейному неоднородному дифференциальному уравнению с переменными коэффициентами. При определенных допущениях получено аналитическое выражение для определения критического времени нагружения оболочки, которое затем минимизировано по номерам гармоник собственных форм оболочки с целью определить наиболее быстро растущую форму оболочки.
Применительно к задачам механики деформируемого твердого тела эти особенности постановки задачи об устойчивости на конечном интервале времени приводят к некоторым затруднениям. Мера возмущений есть интегральная характеристика возмущенного дви - 18 -жения по объему деформируемого твердого тела, поэтому из оценки возмущенного движения по этой мере нельзя оценить величину возмущений в каждой конкретной точке тела. Но условие возможности оценки возмущений в каждой точке деформируемого твердого тела во многих практических задачах является необходимым для назначения критериев технической устойчивости движения деформируемого твердого тела. Таким критерием, например, может являться выполнение условия неразрушения в каждой точке деформируемого твердого тела. Даже если имеется информация о распределении начальных возмущений и возмущающих сил по объему тела, то при решении .задачи об устойчивости движения деформируемого тела в данной постановке, а конкретно - при переходе к интегральной мере возмущений, эта информация теряется.
Если имеется информация о распределении начальных возмущений и возмущающих сил по объему тела, то при решении задачи .об устойчивости движения на конечном интервале времени желательно получить распределение оценок возмущений по объему тела. Для этого предлагается представить начальные возмущения и возмущающие силы в виде разложений по формам собственных движений деформируемого твердого тела и ограничивать, величины коэффициентов этих разложений. Тогда уравнения возмущенного движения системы с распределенными параметрами методом Бубнова-Галеркина можно свести к.системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов разложения возмущений по формам собственных движений деформируемого твердого тела. Далее исследование устойчивости полученной таким образом системы обыкновенных дифференциальных уравнений вести методами технической теории устойчивости. Ограничивая величины коэффициентов разложе - 19 -ния начальных возмущений, возмущающих сил и допустимых возмущений, можно получить области со0 , at , со , соответственно.
