Содержание к диссертации
Введение
1. Краткий исторический обзор научной литературы и современное состояние вопроса 8
1.1. Развитие теории выпучивания и устойчивости сжатых элементов конструкций 8
1.2. Обоснование выбора варианта теории пластичности для решения практических задач 18
1.3.Современная концепция устойчивости В.Г. Зубчанинова 25
2. Связь между деформациями и перемещениями. основные зависимости между напряжениями и деформациями 32
2.1 .Варианты связи между деформациями и перемещениями 32
2.2. Гипотеза компланарности. Связь между напряжениями и деформациями с учетом сложного нагружения на базе теории упругопластических процессов В.Г. Зубчанинова 35
2.3.Постановка задачи 45
2.4.Гипотеза единой кривой Роша и Эйхингера. Диаграмма деформирования материала 48
2.5.Касательно-модульная нагрузка бифуркации для цилиндрических панелей 51
3. Численная реализация процесса выпучивания и устойчивости оболочек на основе метода конечных элементов (МКЭ) 65
3.1 .МКЭ. Основная концепция МКЭ. Преимущества и недостатки... 65
3.2. Дискретизация области. Разбиение области на конечные элементы. Нумерация узлов 71
3.3.Конечный элемент. Аппроксимация поля перемещений 77
3.4.Уравнения метода конечных элементов. Матрица жесткости, узловых перемещений и усилий. Алгоритм численного исследования 81
3.5.Реализация МКЭ на ЭВМ. Построение глобальной матрицы жесткости. Система линейных уравнений 88
3.6.Общая блок-схема вычислений 92
3.7. Применение численного интегрирования при определении матриц элемента 98
4. Численное исследование процесса выпучивания и устойчивости упругопластических прямоугольных в плане пластин и пологих цилиндрических панелей 102
4.1.Описание программного комплекса (ПК) 102
4.2.Решение тестовых задач 107
4.2.1. Решение тестовых задач выпучивания и устойчивости упругих пластин и цилиндрических панелей шарнирно опертых по контуру 107
4.2.2. Решение тестовых задач выпучивания и устойчивости упругопластических пластин и цилиндрических панелей шарнирно опертых по контуру 115
4.3.Экспериментальное исследование выпучивания и устойчивости упругопластических квадратных пластин 119
4.3.1. Образцы для испытаний, механические свойства материала испытуемых пластин 119
4.3.2. Методика проведения экспериментальных исследований. Сопоставление результатов эксперимента с теоретическими расчетами 122
4.4. Результаты численного исследования процесса выпучивания и устойчивости упругих и упругопластических прямоугольных в плане пластин и пологих цилиндрических панелей шарнирно опертых по контуру 125
4.4.1. Исследование влияния густоты сетки КЭ на точность численного решения задачи 125
4.4.2. Исследование влияния начального прогиба на поведение пластин и цилиндрических панелей 127
4.4.3. Исследование влияния стрелы подъема на поведение пластин и цилиндрических панелей 129
4.4.4. Исследование влияния гибкости на поведение пластин и цилиндрических панелей 132
Основные результаты, выводы и рекомендации 136
Библиографический список 138
Приложения 155
- Обоснование выбора варианта теории пластичности для решения практических задач
- Гипотеза компланарности. Связь между напряжениями и деформациями с учетом сложного нагружения на базе теории упругопластических процессов В.Г. Зубчанинова
- Дискретизация области. Разбиение области на конечные элементы. Нумерация узлов
- Решение тестовых задач выпучивания и устойчивости упругих пластин и цилиндрических панелей шарнирно опертых по контуру
Введение к работе
В условиях современной рыночной экономики большое внимание уделяется вопросам повышения эффективности научно-исследовательских работ, ускорению внедрения их результатов в промышленное производство. Главной целью научных исследований должно быть повышение несущей способности элементов конструкций и сооружений, снижение их материалоемкости и себестоимости при одновременном обеспечении надежности и долговечности. Одним из путей для достижения этой цели является усовершенствование методов расчета, т.к. все создаваемые инженерные сооружения требуют предварительного расчета, обеспечивающего надежность и долговечность их эксплуатации.
На решение этих задач направлено современное развитие и совершенствование механики деформируемого твердого тела (МДТТ).
Современные конструкции, применяемые в строительной индустрии, машиностроении, авиастроении, кораблестроении и т.п. состоят, как правило, из основных конструктивных элементов: стержней, пластин и оболочек (в частности цилиндрических панелей). Пологие цилиндрические панели входят в состав различных конструкций (крыла самолета, корпуса корабля, кузова вагона и т.д.) обычно в виде панелей обшивки, усиленных подкрепляющими ребрами. Обшивка в этих конструкциях воспринимает вместе с другими элементами основные усилия (от общего изгиба крыла самолета, корпуса судна или вагона и т.п.). Во многих случаях эти усилия могут вызвать сжатие, изгиб либо сдвиг панели в ее плоскости и привести, при известных условиях, к ее выпучиванию и потере устойчивости. Поэтому расчет цилиндрических панелей на устойчивость представляет собой неотъемлемую часть общего расчета конструкции.
Цилиндрические панели, подкрепленные по краям, способны и после начала выпучивания нести возрастающую нагрузку. Следовательно, инженера должно интересовать не только явление начала выпучивания панели, но и
ее дальнейшее поведение, поскольку при возрастании нагрузки основная ее часть начнет передаваться на подкрепляющие элементы, что вызовет в них быстрый рост напряжений.
Многие цилиндрические панели, входящие в состав конструкций и сооружений (при значительной пологости эти оболочки применяются в качестве междуэтажных перекрытий), имеют относительно небольшие размеры в плане и относительно большую толщину. Исследование устойчивости таких пластин может быть проведено лишь с использованием теории пластичности. Учет упругопластической стадии деформирования значительно повышает надежность инженерного расчета даже тогда, когда панель работает в пределах упругости.
Таким образом, исследование процесса выпучивания прямоугольных упругопластических цилиндрических панелей имеет весьма важное практическое значение для выяснения их истинной несущей способности и поэтому является актуальным. Это и является целью данной работы.
Поставленная задача решается на базе концепции устойчивости, разработанной В.Г. Зубчаниновым. Поэтому при решении исследуется процесс нагружения панели, начиная от исходного состояния и вплоть до момента потери устойчивости. Для исследования процесса нагружения производится учет геометрической нелинейности и больших деформаций. Геометрическая нелинейность учитывается при помощи использования тензора Лагранжа-Грина, который связывает деформации точек конструкции с их перемещениями.
В качестве основного варианта, связь между напряжениями и деформациями описывается на базе теории упругопластических процессов Ильюшина - Зубчанинова в рамках гипотезы компланарности. Все зависимости гипотезы компланарности записываются для общего случая объемного напряженно-деформированного состояния (НДС). В этом случае выявлена необходимость учета сжимаемости материала в виде гипотезы об упругом изменении объема.
Учет геометрической нелинейности имеет ряд преимуществ. Во-первых, в отличие от линейной задачи, в которой по существу определяются только бифуркационные значения нагрузок, нелинейный подход позволяет исследовать процесс нагружения. Во-вторых, в отличие от линейной задачи, в которой рассматриваются только идеальные конструкции, нелинейный подход позволяет исследовать конструкции любой конфигурации с любыми начальными несовершенствами. В-третьих, именно нелинейная постановка дает возможность получить максимально приближенные к действительности значения критических нагрузок, что имеет большое значение для инженерной практики.
Решение геометрически и физически нелинейных задач о нагружении оболочек возможно только численными методами. Поэтому рассматриваемая задача решается методом конечных элементов (МКЭ) как пространственная задача МДТТ [20, 21, 22, 24, 25]. Для ее решения сконструирован пространственный восьмиузловой изопараметрический геометрически нелинейный конечный элемент [23, 25]. МКЭ на сегодняшний день является одним из наиболее эффективных методов решения задач механики деформируемого твердого тела, который позволяет моделировать конструкции практически любой конфигурации.
Применение МКЭ, в котором используется объемный КЭ, дает возможность отказаться от традиционных в таких задачах гипотез Кирхгофа-Лява. В этом случае имеет место общее объемное НДС, при котором в тензорах напряжений и деформаций присутствуют все компоненты. Присутствие всех компонент значительно усложняет задачу и увеличивает объем вычислений. Кроме того, в этом случае необходимо учитывать сжимаемость материала, что вносит дополнительные трудности.
Таким образом, в работе предпринята попытка подойти к задаче о выпучивании и устойчивости конструкций с общих позиций, привлекая минимум упрощающих гипотез и используя по возможности самые общие соотношения.
Обоснование выбора варианта теории пластичности для решения практических задач
В решении задач выпучивания упругопластических пластин много трудностей. Эти трудности возникают с самого начала, когда надо установить, какой теорией пластичности можно пользоваться. Уже в пятидесятые годы XX века было ясно, что в развитии теории уп-ругопластической устойчивости надо идти путем исследования процессов с учетом сложного нагружения как в докритическом состоянии, так и в момент потери устойчивости. Влияние сложного нагружения на устойчивость сказывается, прежде всего, в момент начала выпучивания идеальной системы; в этот момент происходит излом траекторий деформаций и нагружения, т.е. процесс резко отличается от простого.
В окрестности точки излома связь между приращениями напряжений и деформаций зависит, вообще говоря, от угла излома и должна выражаться дифференциально-нелинейными соотношениями [54]. Сложный процесс нагружения происходит не только в малой окрестности точки бифуркации, он может иметь место до точки ветвления за счет непропорционального изменения внешних сил и осуществляться при послеби-фуркационном деформировании, а также при докритичесокм выпучивании неидеальных пластин. На необходимость использования для решения задач устойчивости законов деформации при сложном нагружении впервые указал А.А.Ильюшин. В созданной им теории упругопластических процессов выделен и специально рассмотрен вопрос о соотношении связи между напряжениями и деформациями применительно к проблеме устойчивости и дана общая формулировка задачи. Дальнейшее развитие эта теория получила, главным образом, в работах В.Г.Зубчанинова. В теории пластичности изучаются законы связи между напряжениями и деформациями (определяющие соотношения) при упругопластическом деформировании и разрабатываются методы решения задач о равновесии и движении деформируемых твердых тел.
При решении задач о выпучивании самой простой моделью является модель идеально упругого тела, рассматриваемая классической линейной теорией упругости твердого тела. Для такого тела характерна наиболее простая линейная зависимость между деформациями и напряжениями: в любой момент времени t в данной точке тела напряжения а,- зависят только от деформаций в этой же точке в тот же момент времени при той же температуре Т. Рассеяние W предполагается равным нулю. Перемещения ик и их градиенты дик /дхк считаются малыми. В этом случае лагранжевы и эйлеровы координаты можно считать совпадающими (ху =л,). Для деформаций имеем выражение Здесь и в дальнейшем используется индексная система обозначений и правило суммирования по повторяющемуся индексу. Для изотропной линейной упругой среды закон упругого изменения объема: где та - среднее напряжение, К - модуль объемной деформации, cQ -средняя деформация, а - коэффициент линейного теплового расширения материала, АГ - изменение температуры в физической точке тела. Законы связи между напряжениями и деформациями имеют вид: где s ,Dlf - девиаторы напряжений и деформаций соответственно, а,Э - модули девиаторов напряжений и деформаций соответственно, G - модуль сдвига. Следующей по сложности является нелинейная теория упругости, рассматривающая тела, за которыми сохранено только свойство упругости, но зависимость между напряжениями и деформацией нелинейная. где (7= Ф(э) - универсальная функция для любого сложного напряженного состояния. Для объемного расширения имеем скалярное уравнение Для многих первоначально изотропных материалов зависимость (1.2.5) при Т = const является простейшей где# - относительное изменение объема. В данной работе расчет ведется на основе теории упругопластических процессов Ильюшина- Зубчанинова [53, 54]. Эта теория с точки зрения расчетов является наиболее сложной по сравнению с линейной и нелинейной теориями упругости, но именно она позволяет выявить прочностные и деформационные ресурсы различных материалов. Наряду с развитием общей теории упругопластических процессов, для практического приложения разработан ряд упрощенных теорий пластичности, справедливых для определенных классов процессов нагружения и материалов. Для этих теорий характерна неоднозначная зависимость между напряжениями и деформациями. Напряжения зависят не только от текущих деформаций, но и от того, какова была история деформирования, т. е. от процесса. Определяющие уравнения связи напряжений с деформациями не содержат время в явном виде. Подробное изложение частных вариантов теории пластичности дано в работах [50-54, 60, 65-67]. Ниже приводятся краткие сведения о тех из них, которые часто используются в расчетах.
Гипотеза компланарности. Связь между напряжениями и деформациями с учетом сложного нагружения на базе теории упругопластических процессов В.Г. Зубчанинова
Определяющие соотношения теории упругопластических процессов (1.2.14) включают в себя функционалы процесса, знание структуры которых необходимо для решения конкретных задач. Построение функционалов пластичности, в том числе их аппроксимация, представляет собой весьма трудную и еще не завершенную проблему. Поэтому естественно, что выдвигаются различные гипотезы, упрощающие задание функционалов пластичности. Одной из таких гипотез является гипотеза компланарности векторов do, d3, о (рис. 2.2.1). Рис. 2.2.1. Образ процесса нагружения в пространстве деформаций При рассмотрении процесса нагружения в соответствии с этой гипотезой считается, что в любой момент времени векторы do, d3, о расположены в одной плоскости [54]. Здесь о - вектор напряжений; do - его приращение за время dt; d3 - приращение вектора деформаций Э за то же время. Гипотеза компланарности привлекательна тем, что определяющие соотношения многих частных теорий пластичности в общем случае напряженно-деформированного состояния могут быть приведены к соотношению, справедливому, строго говоря, только для плоских траекторий в плоских задачах Это соотношение обобщается на случай любых пространственных траекторий деформаций.
Используя то, что cos#, = ар{, p{=d3/ds, #,=/? (рис. 2.2.1), вышеописанное соотношение приведем к виду - функционалы пластичности Ильюшина; Xr кривизна траектории деформации; ds- приращение длины дуги траектории нагружения [67, 68]. Соотношение (2.2.1) в скалярной форме имеет вид Размерность определяющего соотношения равна пяти. В (2.2.3) Sk,3k- компоненты векторов т, Э , тождественные тензорам-девиаторам напряжений и деформаций; для этого должны выполняться условия [53, 54] Для функционалов процесса В.Г. Зубчаниновым предложены аппроксимирующие функции [53, где G, Gp, Gk - упругий, пластический (секущий) и касательный модули сдвига; puq- экспериментальные константы. Замечательным свойством этих аппроксимаций является то, что нет необходимости в определении границы раздела зон активного и пассивного деформирования, т.к. функционалы N и Р меняются непрерывно от cos5, и координаты z, т.е. имеют одинаковую структуру в обеих зонах. Структура аппроксимаций функционалов позволяет описывать различные эффекты, включая так назвываемые «нырки пластичности», возникающие при сложном процессе нагружения и деформирования. Пластический и касательный модули сдвига определяются на основании универсальной зависимости сг = ф(Э) (гипотеза единой кривой) - модуль девиатора напряжений; аи - интенсивность напряжений, определяемая так -модуль девиатора деформаций; еи- интенсивность деформаций в смысле Бе-зухова Универсальная кривая ст = Ф(Э) строится на основании зависимостей (2.2.6) и (2.2.8) и диаграммы растяжения, являющейся основным источником сведений о механических свойствах материала. Функции (2.2.4) при р = 4 и q = 0.3 физически достоверно описывают процессы упругопластического деформирования углеродистой стали, поэтому они используются как основной расчетный вариант. Для использования выражения (2.2.1) в МКЭ, его необходимо записать в конечных приращениях где Sk- компоненты вектора напряжений; АЭк- компоненты вектора приращения деформаций. Для общего случая сжимаемого материала компоненты вектора напряжений, вектора приращений напряжений и вектора приращений деформаций выражаются через компоненты тензоров напряжений, приращений напряжений и приращений деформаций следующим образом [54, 54]:
Дискретизация области. Разбиение области на конечные элементы. Нумерация узлов
Разбиение области на подобласти представляет собой первый шаг на пути к решению задачи, и именно этот шаг не имеет теоретического обоснования. Искусство разбиения области зависит от имеющихся инженерных навыков. Плохое или несовершенное разбиение будет приводить к ошибочным результатам, если даже остальные этапы метода осуществляются с достаточной точностью. Дискретизация области (тела) включает задание числа, размеров и формы подобластей, которые используются для построения дискретной модели реального тела. Инженеры сталкиваются при этом с довольно деликатной ситуацией. С одной стороны, элементы должны быть выбраны достаточно малыми, чтобы получались приемлемые результаты, а с другой стороны, применение достаточно крупных элементов сокращает вычислительную работу. Нужно иметь некоторые общие соображения об окончательных значениях, с тем, чтобы можно было уменьшить размеры элементов в тех областях, где ожидаемый результат может очень сильно меняться (большие величины градиентов), и увеличить их там, где ожидаемый результат почти постоянен.
Процесс дискретизации может быть разделен на два этапа: разбиение тела на элементы и нумерация элементов и узлов. Последний этап логически, совершенно прост, но усложняется в связи с желанием повысить эффективность вычислений. В этом пункте рассматривается разбиение трехмерной цилиндрической панели на объемные восьмиузловые изопараметрические конечные элементы (КЭ). Именно такие КЭ применяются в данной работе для исследования процесса выпучивания и устойчивости упругопластических панелей. В пункте 3.3 будет дано подробное описание данного КЭ. Здесь остановимся только на вопросах дискретизации области, ее разбиении на КЭ и нумерации узлов.
При разбиении трехмерной панели на восьмиузловые элементы она мысленно разрезается взаимно перпендикулярными координатными поверхностями г = const,в-const,z = const (r,6,z - цилиндрические координаты точек тела). Такие поверхности между подобластями должны быть границей там, где изменяются геометрия, приложенная нагрузка или свойства материала. В результате получается дискретная система, состоящая из отдельных элементов, представленная на рис. 3.2.1. Так как координатная поверхность/- = const является криволинейной, то криволинейные границы элементов заменяются на прямые отрезки. Система координат, представленная на рис. При разбиении системы на элементы необходимо стремиться к тому, чтобы соотношение сторон было оптимальным. Для каждого типа КЭ оно свое и вычисляется из условий точности вычислений. Здесь необходимо исходить из того, что чем гуще сетка конечных элементов, тем точнее решение. Но в тоже самое время чрезмерное сгущение значительно увеличивает объем задачи и время ее решение. Кроме того, принятие большого числа слоев КЭ по толщине панели, заставляем сгущать сетку КЭ в плане, т.к. в этом случае изменяется соотношение сторон КЭ.
Общее правило для выбора густоты сетки КЭ говорит о том, что чем больше градиент изучаемой величины в некотором направлении, тем гуще должна быть сетка КЭ в этом направлении.
Равномерное разбиение, когда все элементы имеют одинаковую форму и размеры, обычно не проводится, потому что существуют концентрация напряжений, температурные градиенты и т. п. Возможность варьировать размеры элемента — важное достоинство метода конечных элементов. Однако, в данной работе рассматриваются системы достаточно простой геометрии, в которых всегда применяется равномерная сетка КЭ. В задачах механики твердого деформируемого тела необходимо отметить узлы, которые имеют определенные перемещения. Для обозначения неподвижных узлов применяется символ затушеванного прямоугольника (рис. 3.2.2). В этом случае запрещены все перемещения узлов. В данном случае каждый узел имеет три степени свободы - три линейных перемещения. Введения упрощенных обозначений для различных видов связей связано с тем, что обычные обозначения значительно загромождают изображения.
Решение тестовых задач выпучивания и устойчивости упругих пластин и цилиндрических панелей шарнирно опертых по контуру
В каждой научной работе всегда стоит вопрос о достоверности полученных результатов. Эту достоверность можно оценить, например, путем сравнения с экспериментальными данными или с решениями, полученными другими авторами по другим теориям. В данной работе проводится сравнение полученных результатов и с результатами других авторов и с результатами эксперимента. Для оценки достоверности полученных результатов в данной работе решен ряд тестовых задач. Сначала было проведено сравнение кривых выпучивания для упругой квадратной шарнирно опертой пластины, сжатой в продольном направлении равномерно распределенной нагрузкой с нагрузкой бифуркации для этой пластины. В качестве возмущения принималась сосредоточенная сила в центре рис. 4.2.1.1. 108 На рис. 4.2.1.2 представлено сравнение кривых выпучивания, построенных для разной величины возмущения с нагрузкой бифуркации, которая отмечена горизонтальной линией. Рис. 4.2.1.2. Сравнение численных кривых выпучивания для шарнирно опертой упругой пластины с нагрузкой бифуркации Из рис. 4.2.1.2 видно, что при малых возмущениях значительный рост прогибов начинается при достижении кривых выпучивания нагрузки бифуркации. Существует граничное значение возмущения, которое разделяет устойчивость и неустойчивость математического решения. Если величина возмущения будет меньше этого значения, то происходит срыв решения. На рис. 4.2.1.2 представлены три кривых, у которых произошел срыв решения при достижении нагрузки порядка нагрузки бифуркации (максимальное значение нагрузки на этих кривых превысило нагрузку бифуркации на 8%). Далее решены задачи выпучивания упругих пластин и цилиндрических панелей шарнирно опертых по контуру сжатых в продольном направлении равномерно распределенной нагрузкой. Модуль упругости принимался рав-ным Е=20600кН/см , а коэффициент Пуассона ц=0.3. Особое внимание уделялось на соответствие граничных условий. Все вычисления производились с сеткой конечных элементов (КЭ) 10x10 в плане и два слоя КЭ по толщине. В 109 следующих пунктах приведено исследование влияния густоты сетки КЭ на результаты решения задачи.
Сравнение производилось с известным решением, полученным А.С. Вольмиром методом Бубнова-Галеркина, в котором форма выпучивания описывалась выражением (4.2.1.2) [26, 27] На рис. 4.2.1.3 - 4.2.1.5 приведено сравнение кривых выпучивания для упругих квадратных пластин (к-0, f/b=0) шарнирно опертых по контуру с относительной гибкостью 6//г = 100, полученных по формуле (4.2.1.3) и с использованием рассматриваемого в данной работе конечного элемента. На всех графиках этого и последующих пунктов по горизонтальной оси отложен безразмерный прогиб w=w/h, а по вертикальной оси - безразмерная равномерно распределенная погонная нагрузка, действующая на единицу ширины срединной поверхности где рх- внешнее усилие, действующее на единицу ширины срединной поверхности панели (пластины); G- модуль сдвига; h,b- толщина и ширина панели (пластины) соответственно. На рис. 4.2.1.3 представлены кривые выпучивания для случая, когда начальный прогиб равен w0-0.025h. Вообще формула (4.2.1.3) позволяет построить кривые выпучивания для любых начальных прогибов. На рис. 4.2.1.3 - 4.2.1.5 начальные прогибы и полные относительные приняты как в [67]. Из рис. 4.2.1.3 видно, что численная кривая сначала лежит выше теоретической, затем при относительном прогибе w « 0.8/г пересекается с ней, а затем идет ниже. Т.е. сначала конечно элементная модель ведет себя жестче теоретической, а затем становиться гибче. Возможно это связано с тем, что аналитическая зависимость получена из предположения, что прогибы на всем протяжении процесса выпучивания изменяются по одной полуволне по закону синуса. В действительности, даже при возрастании прогиба наблюдается смена числа полуволн. Кроме того, при прогибах больше толщины граничные условия начинают не соответствовать друг другу. Максимальное расхождение составило 13%.
