Содержание к диссертации
Введение
1. Постановка задач устойчивости анизотропных пластин при термосиловом нагружении .. 18
1.1.Обобщенное плоское напряженное состояние. Полная система соотношений линейной теории упругости 18
1.1.1. Учет влияния поля температур 22
1.2. Изогнутое состояние пластин. Гипотезы. Основные соотношения теории упругости 24
1.2.1. Вектор перемещений. Тензор деформаций 24
1.2.2. Уравнение совместности деформаций. Условия неразрывности контуров 25
1.2.3. Напряжения. Дифференциальные уравнения равновесия. Статические граничные условия 26
1.2.4. Обобщенные силовые факторы. Дифференциальные уравнения равновесия. Краевые условия. Тензор изгибных жесткостей 27
І.3.Постановка задачи устойчивости 30
1.4.Выводы по главе 1 33
2. Вариационные методы решения задач теории упругой устойчивости анизотропных пластин при термосиловом нагружении 34
2.1.Принцип стационарности полной свободной энергии. Вариационная постановка задачи устойчивости упругих анизотропных пластин при термосиловом нагружении 34
2.2. Энергетический критерий устойчивости пластин. Функционал Брайана 38
2.3.Энергетический критерий устойчивости пластин. Функционал в форме Тимошенко 40
2.4.Некоторые обобщенные функционалы 41
2.4.1. Обобщенный функционал Тимошенко 46
2.4.2. Функционалы в форме Алфутова - Балабуха 48
2.5.Метод Ритца для функционалов в формах Брайана и Алфутова-Балабуха 50
2.5.1. Метод Ритца для функционала Брайана. 51
2.5.2. Метод Ритца для функционала в форме Алфутова-Балабуха ...54
2.6.Функционалы в формах Брайана и Алфутова-Балабуха в полярной системе координат 60
2.7.Выводы по главе 2 61
3. Исследование потери устойчивости кольцевых ортотропных пластин 62
3.1 .Устойчивость кольцевых изотропных пластин 63
3.2.Устойчивость кольцевых прямоугольно ортотропных пластин... 74
3.2.1. Ряды для функции прогибов и напряжений 76
3.2.2. Построение матриц для определения критической нагрузки..81
3.2.3. Тестирование программы 92
3.2.4. Численные результаты решения задачи 98
3.3.Устойчивость кольцевых цилиндрически ортотропных пластин... 107
3.3.1. Постановка задачи 107
3.3.2. Тестирование программы 111
3.3.3. Численные результаты решения задачи.. 114
3.4. Устойчивость кольцевых цилиндрически ортотропных пластин при термосиловом воздействии 125
3.4.1. Постановка задачи 125
3.4.2. Численные результаты решения задачи 133
3.5.Устойчивость кольцевых металлокомпозиционных пластин 149
3.5.1. Упругие характеристики армированных пластин 149
3.5.2. Постановка задачи 155
3.5.3. Численные результаты решения задачи 157
3.6. Выводы по главе 3. 167
4. Исследование локальной потери устойчивости бесконечных ортотропных пластин с эллиптическим отверстием при растяжении .. 168
4.1.Обзор работ по локальной потере устойчивости и разрушению пластин с вырезами 168
4.2.Исследование локальной потери устойчивости бесконечной пластины с круговым отверстием при действии растягивающих внешних нагрузок 175
4.2.1. Постановка задачи 176
4.2.2. Численные результаты решения задачи 181
4.3.Исследование локальной потери устойчивости бесконечной ортотропной пластины с эллиптическим отверстием при действии растягивающих внешних нагрузок 188
4.3.1. Постановка задачи 189
4.3.2. Численные результаты решения задачи 195
4.4.Выводы по главе 4 ...198
5. Исследование устойчивости квадратной изотропной пластины с круговым отверстием ... 199
5.1.Обзор работ по устойчивости прямоугольных пластин с круговыми вырезами 200
5.2.Постановка задачи 206
5.2.1. Выбор статически допустимого напряжённого состояния 209
5.2.2. Построение ряда для функции возмущенных напряжений... 212
5.2.3. Построение ряда для функции дополнительных напряжений 213
5.2.4. Построение ряда для функции прогибов 213
5.2.5. Метод Ритца 214
5.3.Численные результаты решения задачи 215
5.4.Выводы по главе 5 219
Заключение 220
Список использованных источников. 221
- Изогнутое состояние пластин. Гипотезы. Основные соотношения теории упругости
- Энергетический критерий устойчивости пластин. Функционал Брайана
- Устойчивость кольцевых цилиндрически ортотропных пластин при термосиловом воздействии
- Построение ряда для функции дополнительных напряжений
Введение к работе
Тонкие пластины различных очертаний находят широкое применение в конструкциях летательных аппаратов, кораблей, подъемно-транспортных средств.
При назначении нагрузки, которую могут нести эти элементы конструкций, во многих случаях принимают во внимание такую ее величину, при которой пластина может потерять устойчивость. Потеря устойчивости элемента конструкции, как правило, влечет за собой значительное снижение её жесткостных характеристик и перераспределение нагрузок во всей конструкции.
При исследовании устойчивости упругих систем первые шаги были сделаны Эйлером. В дальнейшем его подход был развит Лагранжем. По Эйлеру-Лагранжу потеря устойчивости отождествляется с выполнением условий существования новых форм равновесия, сколь угодно близких к исходной. Нагрузки, при которых эти условия выполняются, называются критическими. При расчете инженерных конструкций критическая нагрузка принимается за предельную, по которой и назначается запас устойчивости.
Для решения разнообразных задач устойчивости применяют динамический, статический и энергетический критерии [12; 18; 10; 84; 109]. Наиболее общим и строгим из них является динамический, он связан с рассмотрением свойств движения, вызванного возмущением положения равновесия. Статический критерий заключается в определении такого наименьшего значения нагрузки, при котором наряду с основным положением равновесия существует смежное, сколь угодно близкое к основному (метод Эйлера). Энергетический критерий рассматривает потенциальную энергию системы, и также заключается в определении наименьшего значения нагрузки, при котором потенциальная энергия основного равновесного состояния перестает быть минимальной.
Возможность применения того или иного метода к решению конкретной задачи [12; 18; 10; 84; 109] связывается с типом приложенной к системе нагрузки. В соответствии с принятой в книге Г. Циглера [109] классификацией систем и нагрузок, в данной работе далее рассматриваются консервативные системы (большинство задач устойчивости, возникающих при анализе конструкций принадлежит этому типу). Нагрузки, действующие на пластину будем предполагать «мертвыми», т.е. их проекции на оси неподвижной системы координат не изменяют своей величины при потере устойчивости.
Для подобных систем, как известно [12; 18; 10; 84; 109], динамический, статический и энергетический критерии дают один и тот же результат.
Являясь составной частью конструкций, пластины в общем случае могут находиться в условиях воздействия как поперечной нагрузки, так и сил, лежащих в серединной плоскости пластины. Напряженно-деформируемое состояние пластинок в этом случае сводится к решению системы уравнений Кармана [18].
Если предположить, что поперечная нагрузка отсутствует и заранее, путем решения плоской задачи теории упругости, определены напряжения от сил, лежащих в серединной плоскости пластины, то уравнения Кармана сводятся к известному уравнению устойчивости упругой пластины [18]. В соответствии с Эйлеровой постановкой (статический критерий) может быть поставлена задача об определении таких наименьших значений параметра внешней нагрузки, при которых это уравнение имеет нетривиальное решение. В дальнейшем, говоря о задачах устойчивости пластин, мы будем иметь в виду задачи именно такого типа.
Воспользовавшись энергетическим критерием, можно рассматривать задачу устойчивости пластин как вариационную задачу. Впервые это было сделано Брайаном в работе [116] к задаче о выпучивании пластины, где показано, что теорема Г. Кирхгоффа [53] об однозначности решений уравнений линейной теории упругости может не выполняться в случае исследования длинных стержней, тонких пластинок и оболочек. При этом исследовании им был введен в рассмотрение потенциал П упругой системы в виде суммы потенциальной энергии деформации и потенциала внешних сил. Пользуясь началом возможных перемещений Лагранжа [53], Брайан указывает признак равновесия системы как условие стационарности (8П=0) потенциала системы. Распространяя затем теорему Лагранжа, которая строго доказана Л. Дирихле [20] лишь для систем с конечным числом степеней свободы, на исследуемую континуальную систему, Брайан указывает, что в устойчивом со-стоянии потенциал системы имеет минимум (5 П>0), в неустойчивом максимум (82П<0), в безразличном - одинаков для всех состояний, смежных с рав-новесным (5 П=0).
В работе [117] Брайан формулирует энергетический критерий устойчивости пластин. Брайан составляет функционал разности потенциалов пластины до и после потери устойчивости и утверждает, что при потере устойчивости данный функционал будет иметь минимум. Функционал состоит из двух интегральных слагаемых: изменении потенциальной энергии пластины за счет ее изгиба и работы докритических напряжений на деформациях и сдвигах, возникающих в серединной плоскости пластины при ее выпучивании. Докритические напряжения, так же как и в дифференциальном уравнении устойчивости определяются заранее из плоской задачи теории упругости. Брайан дает вариационный вывод уравнения устойчивости. Здесь же он исследует устойчивость свободно опертой прямоугольной пластины, сжатой с четырех сторон внешним давлением, представляя прогиб в виде двойного тригонометрического ряда.
Энергетический метод был с успехом использован Тимошенко для решения различных задач устойчивости. Основные его результаты отражены в известной монографии [103]. При этом Тимошенко формулирует энергетический критерий не через внутренние силовые факторы, как это сделал Брайен [103, 117], а непосредственно через внешние нагрузки.
На основании работ [103; 101; 98; 99; 100] можно заключить, что метод Тимошенко состоит в следующем. В критическом состоянии потенциал системы (точнее его изменение в связи с возможностью появления искривленной формы равновесия) равен нулю, имеет место уравнение «баланса» энергий, которое, в отличие от Брайана [117], Тимошенко записывает непосредственно через внешние усилия: П(Р, w). Разрешая это уравнение относительно Р и подставляя в него прогиб w в виде ряда, каждый член которого удовлетворяет соответствующим граничным условиям, приходим к выражению Р=Р(Ат). Коэффициенты ряда Ат выбираются из условия экстремальности Р и подставляя их в формулу Р=Р(Ат), определяется наименьшее значение критической силы.
В работе [102] Тимошенко замечает, что изложенная выше последовательность решения задачи устойчивости эквивалентна задаче о разыскании стационарности значения потенциала П(Р, Ат).
Полный обзор работ Тимошенко в области устойчивости деформируемых систем содержится в приложении к сборнику [22], написанным Григо-люком.
В работе Болотина [13] из общих уравнений нелинейной теории упругости [81] выводятся уравнения и граничные условия задачи устойчивости упругой системы, нагруженной «мертвыми» силами. Записывается функционал, уравнения Эйлера-Остроградского [95] и естественные граничные уело-вия, которые совпадают с полученными Новожиловым. Если исходное состояние тела считается недеформированным, а начальные напряжения определять из уравнений линейной теории упругости, то функционал упрощается и совпадает с полученным ранее Треффтцем [145]. Показано в частности, что для пластинок этот функционал по виду совпадает с критерием Брайана, если заранее предположить справедливость гипотез Кирхгофа для закона деформирования пластинки [53].
Александров и Лащеников [1], приводят ряд примеров, из которых следует, что критерий устойчивости в том виде, в котором им пользовался Тимошенко, в некоторых задачах может привести к абсурдным результатам. Учитывая деформацию срединной поверхности пластины, авторы получают энергетический критерий в форме Брайана (ранее аналогичный вывод был сделан в работе [138]) и делают вывод, что для его использования необходимо решать плоскую задачу теории упругости (на это обстоятельство указано, например, в монографии Броуде [15]). В статье отмечается, что попытка избежать определения внутренних усилий путем использования критерия Тимошенко таит в себе опасность ошибки и приводит в общем случае к необходимости решения не менее сложной задачи о дополнительных деформациях, возникающих в пластине в момент потери устойчивости.
Изложенные выше результаты показывают, что представление энергетического критерия в форме Брайана вполне обосновано, тогда как энергетический критерий в форме Тимошенко не имеет достаточно последовательного обоснования. По-видимому, впервые возможность представления энергетического критерия в форме, не содержащей начальных напряжений, была обоснована в работах Ал футова и Балабуха [4; 5].
В работе [4] впервые показано, что если при решении задачи устойчивости использовать не действительное напряженное состояние, определенное путем предварительного решения плоской задачи теории упругости, а статически допустимое (т.е. удовлетворяющее лишь уравнениям равновесия и статическим граничным условиям), то критическое значение внешней нагрузки должно определяться не из функционала Брайана, а из условия стационарности нового функционала, в который кроме функции прогибов входит функция напряжений, описывающая возмущение напряженного состояния серединной плоскости пластины при потере устойчивости, и определяемая, как показано в [4] из решения уравнения совместности деформаций [18] (в настоящей диссертационной работе показано, что для многосвязных областей кроме уравнения совместности деформаций необходимо выполнить еще и условия неразрывности контуров).
В работе [11] Болотин впервые использует то обстоятельство, что задачам вариационного типа соответствует, вообще говоря, не один, а целое множество функционалов [47]. Переход от одного функционала к другому осуществляется с помощью преобразований [47], назначение которых состоит в том, чтобы избавиться от некоторых предварительных соотношений, выполнение которых по какой-либо причине затруднительно.
Вариационный подход к постановке задачи устойчивости развивался также в работах Л.А. Толоконникова [105; 106], Л.М. Куршина, К.А. Матвеева [51; 52; 48; 59; 63; 62; 64; 65; 60, 89; 88].
Большой интерес вызывает работа К. Васидзу [16], в которой автор, используя метод множителей Лагранжа для преобразования вариационных задач показал, что все известные и новые вариационные принципы теории упругости вытекают один из другого. Однако применительно к вариационной постановке задачи устойчивости платин это исследование нельзя считать исчерпывающим.
Заканчивая этот краткий исторический обзор вариантов энергетического критерия устойчивости необходимо отметить, что для некоторых из них четко не ясен вопрос о необходимости выполнения тех или иных предварительных условий, и кроме того, в случае многосвязных пластин некоторые из изложенных выше критериев устойчивости могут привести к неправильным результатам.
В последнее время для изготовления различных элементов конструкций широко используются композиционные материалы. Для расчетов композитную структуру приводят к анизотропному материалу. Большинство задач устойчивости, как изотропных, так и анизотропных пластин решается либо с помощью дифференциального уравнения устойчивости, либо на основе функционала Брайана [94; 113; 114; 121; 126; 139; 140; 115; 86; 55; 74; 26; 6;
14]. Для решения задач с помощью этих критериев необходимо предварительно определить докритические напряжения, что представляет дополнительные сложности. С другой стороны, для достаточно большого круга задач устойчивости анизотропных пластин более эффективными являются критерии устойчивости, не требующие предварительного решения плоской задачи теории упругости.
Актуальность темы диссертации. Во многие конструкции входят такие элементы, которые можно классифицировать как пластины. Они могут иметь сложную форму, вырезы, могут подвергаться не только силовым, но и температурным воздействиям. Для повышения прочности и снижения веса они могут быть выполненными из армированных композиционных материалов. С точки зрения строительной механики возможная расчётная схема для подобных элементов конструкций - это неоднородные (с переменными упругими и термоупругими характеристиками) анизотропные многосвязные пластины, подверженные термосиловому воздействию. Особенностью проектирования тонкостенных силовых элементов конструкций, к которым относятся пластины и панели, является обязательное прогнозирование их устойчивости. Решение задач устойчивости для пластин в таком общем виде может быть получено только численными вариационными методами. С одной стороны исследование потери устойчивости классическим методом, с помощью функционала Брайана, требует предварительного определения докритических напряжений, что при указанных условиях является отдельной сложной задачей. С другой стороны энергетические критерии устойчивости, не требующие предварительного определения докритических напряжений, в случае многосвязных пластин оставляют ряд вопросов и, кроме того, есть необходимость распространить эти критерии на неоднородные анизотропные неравномерно нагретые пластины.
Цель работы:
Развитие известных и разработка новых вариационных методов исследования устойчивости тонких упругих пластин, не требующих предварительного определения докритического напряженного состояния, их распространение на анизотропные неоднородные многосвязные пластины, подверженные термосиловому нагружению;
Разработка алгоритмов прямых численных методов решения задач устойчивости пластин на основе полученных вариационных формулировок;
Исследование сходимости и эффективности предложенных вариационных формулировок на примере решения ряда известных и новых задач устойчивости пластин.
Научная новизна работы:
Получен ряд вариационных формулировок теории устойчивости анизотропных упругих многосвязных неоднородных пластин при термосиловом нагружении. Среди них как известные - Брайана, Тимошенко, Алфутова-Балабуха, так и новые;
Разработан алгоритм прямого вариационного метода решения задачи устойчивости пластин с интегральным предварительным условием;
На основе разработанных вариационных методов решен ряд задач устойчивости;
На примере кольцевых цилиндрически ортотропных пластин исследовано взаимное влияние температурного поля и силового воздействия на выпучивание пластин;
Задача локальной потери устойчивости бесконечных пластин при растяжении была
Методы исследований основаны на: 1. Теории преобразования вариационных задач;
Использовании прямых методов решения вариационных задач и представленном в работе способе построения аппроксимирующих функций;
Применении апробированных алгоритмов численного интегрирования, решения систем линейных алгебраических уравнений и решения обобщенной проблемы собственных значений.
Достоверность научных положений, результатов и выводов, содержащихся в работе, основывается на:
Теории преобразования вариационных задач;
Использовании апробированных численных математических методов и алгоритмов и исследовании их сходимости;
Сопоставлении результатов расчёта с известными аналитическими решениями, с решениями, полученными с помощью программного комплекса метода конечных элементов и известными экспериментальными данными.
Практическая ценность результатов исследования заключается:
В разработке вариационных формулировок задачи устойчивости неоднородных анизотропных многосвязных пластин при термосиловом на-гружении, не требующих предварительного определения докритиче-ского напряженного состояния и алгоритмов решения задач устойчивости с помощью предложенных формулировок численными методами;
В построении областей устойчивости кольцевых цилиндрически орто-тропных пластин при термосиловом нагружении;
В оценке критических нагрузок металлокомпозиционных пластин;
В анализе работ по локальной потере устойчивости изотропных пластин с вырезами при растяжении, в получении собственных результатов и в обобщении задачи на ортотропные пластины.
На защиту выносятся:
Вариационные формулировки задач устойчивости упругих анизотропных неоднородных многосвязных пластин при термосиловом нагруже-нии;
Прямой вариационной метод решения задач устойчивости упругих анизотропных неоднородных многосвязных пластин при термосиловом нагружении с интегральным предварительным условием;
Исследование устойчивости кольцевых цилиндрически и прямоугольно ортотропных пластин;
Исследование устойчивости и алгоритм построения областей устойчивости для кольцевых цилиндрически ортотропных пластин, подверженных термосиловому воздействию;
Исследование устойчивости кольцевых металлокомпозиционных пластин;
Исследование локальной потери устойчивости бесконечных ортотропных пластин с эллиптическим вырезом при растяжении;
Исследование устойчивости квадратной изотропной пластины с круговым отверстием при сжатии.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на 17-й межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, ИТПМ СО АН РФ, 2001); на Международных российско-корейских научно-технических конференциях CORUS «Научные основы высоких технологий» (Томск, 1998г.; Новосибирск, 1999г.; Ульсан, Корея, 2000г.); на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование процессов в синергетических системах » (Улан-Удэ-Томск, 1999г.); на 1-м Российско-Корейском Международном симпозиуме по прикладной механике (Новосибирск, 2001г.); на школах-семинарах СО РАН «Математические проблемы механики сплошных сред» (Новосибирск, 1999, 2000 г.г.; рук. - чл.-корр. РАН Б.Д. Аннин); на IV Всероссийской конференции «Проблемы прочности и усталостной долговечности материалов и конструкций» (Новосибирск, Сибирский научно-исследовательский институт авиации, 1997.); на межвуз. научной конференции «Численно-аналитические методы решения краевых задач»" (Новокузнецк, 1998); на 18 Межреспубликанской конференции "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности" (Кемерово, 2003г.); на Всероссийской школе семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела (Новосибирск, 2003г); на IX международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва, 2003); на Юбилейной научно-технической конференции, посвященной 60-летию со дня основания отделений аэродинамики летательных аппаратов и прочности авиационных конструкций ФГУП «СибНИА им. С.А. Чаплыгина» (Новосибирск, Сибирский научно-исследовательский институт авиации, 2004г.); на семинаре по механике деформируемого твердого тела института Гидродинамики им. М.А. Лаврентьева (2006 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 работ [67; 66; 70; 68; 69; 90; 91; 130; 136; 135; 76; 134; 73; 92; 72; 71].
Содержание диссертации: Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы (147 наименований).
В первой главе систематизирована система соотношений теории упругости, описывающие НДС тонких упругих анизотропных неоднородных многосвязных пластин, подверженных термосиловому нагружению, до и после потери устойчивости; представлена постановка задачи устойчивости.
Во второй главе задача устойчивости анизотропных пластин, подверженных термосиловому нагружению, сформулирована как вариационная. Далее, с использованием теории преобразования вариационных задач мето- дом неопределенных множителей Лагранжа, получен «обобщенный» функционал. Показано, что выполняя заранее часть из соотношений описывающих постановку задачи устойчивости пластин, можно от вариационной задачи для «обобщенного» функционала перейти к известным энергетическим критериям устойчивости пластин. С помощью прямого вариационного метода Ритца на основе функционалов в форме Брайана и Алфутова-Балабуха разработаны алгоритмы решения задачи устойчивости пластин при термосиловом нагружении.
В третьей главе с помощью полученных во второй главе вариационных постановок задачи устойчивости исследуется устойчивость кольцевых орто-тропных пластин. Рассмотрено два вида ортотропии материала: прямоугольная и цилиндрическая. Для случая цилиндрической ортотропии кроме приложенной на границах пластины радиального давления предполагается присутствие температурного поля. Также была рассмотрена задача устойчивости кольцевых металлокомпозиционных пластин.
Четвертая глава посвящена исследованию «локальной» потери устойчивости бесконечной ортотропной пластины с эллиптическим отверстием при растяжении. Основные результаты получены с использованием вариационных методов исследования устойчивости пластин, разработанных в главе 2.
В пятой главе на основе вариационного метода решения задачи устойчивости, не требующего предварительного определения докритических напряжений, решена задача устойчивости квадратной изотропной пластины с центральным круговым отверстием при сжатии.
Изогнутое состояние пластин. Гипотезы. Основные соотношения теории упругости
Пусть к ( !, х2, х3) (і = 1,2, 3 ) - те дополнительные перемещения материальных точек пластины, которые появляются при ее изгибе. Тогда радиус-вектор этих точек после потери устойчивости записывается в виде: перемещениями устанавливается [112; 61] формулами: Здесь Я( =dR/dXi - векторы ковариантного базиса деформированной материальной системы координат ,-. Если принять гипотезы Кирхгофа [3; 112; 57; 81; 104] о виде тензора деформаций, то: Функции є у определяют те дополнительные (возмущенные) деформации срединной плоскости (хз = 0) пластины, которые возникают в связи с потерей устойчивости (изгибом). Они не могут быть произвольными, а должны удовлетворять некоторому уравнению совместности деформаций и условиям неразрывности контуров, ограничивающих неодносвязную область Q (рис. 1.2). Идея вывода искомых соотношений состоит в том, что выражениям є" у (1.30) можно придать форму соотношений Коши (1.2), записав их в виде: Подставив в (1.3) и (1.4) правую часть равенств (1.31), получим уравнение совместности деформаций и условия неразрывности контуров для срединной плоскости пластины (для осредненного по толщине тензора деформаций Єц) после потери устойчивости: причем три последних интегральных условия должны выполнятся на каждом внутреннем контуре, ограничивающем область. Вектор полного напряжения 5 { в сечении пластины Xj=const определим выражением: д{ =ст kiRk .
Причем векторы Rk (1.29), запишем для срединной плоскости (хз = 0) и с точностью до а в первой степени: Воспользовавшись равенствами (1.34) и дополнительными предположениями об относительной величине компонент тензора напряжений: сть-»аст3/из,ь азз»а 7 зиз, ; =1,2; /=1,2,3. (1-35) получим векторы полных напряжений: Внутри объема занятого пластиной, напряжения должны удовлетворять уравнениям равновесия, а на границе - статическим граничным условиям [89] соответственно: Подставив в (1.37) выражения для напряжений a,- - (1.36), получим: три скалярных дифференциальных уравнения равновесия изогнутой ( а Ф О ) пластины: а также статические граничные условия на ее боковой поверхности Введем двумерные характеристики напряженного состояния в изогнутой пластине - обобщенные силовые факторы [112; 57; 89]: Вектор продольных усилий Тп , перерезывающая сила Qn, изгибающий Й п и крутящий Н п моменты на площадке с нормалью п находятся из уравнении равновесия элементарного треугольника, вырезанного из пластины. Если учесть, что n = niel и /=f(.e(. (/=1,2; ti = -n2, t2 = n\), то искомые результаты можно представить в виде: Три дифференциальных уравнения, которым должны удовлетворять погонные силовые факторы получим, интегрируя равенства (1.38) и (1.39) по координате х з с учетом краевых условий на основании пластины. Еще два следуют после выполнения той же операции над уравнениями (1.38), умноженными предварительно над;з. В результате получим: Из статических граничных условий на боковой поверхности следует, что тензор продольных усилий должен удовлетворять следующим статическим граничным условиям:
На тех участках границы области О, где функция иъ и (или) ее нормальная производная никак не ограничены, должны выполняться такие [7; 112; 17; 89; 104] статические граничные условия: Если граница области Q не является гладкой, то в угловых точках, там где и з Ф 0, должны выполняться условия:
Энергетический критерий устойчивости пластин. Функционал Брайана
Выполним дальнейшие преобразования функционала (2.12): учтем, что обобщенное плоское напряженное состояние пластины (индекс "О") является равновесным, т.е. 8П [и;]=0. Из этого вариационного уравнения в качестве естественных условий следуют дифференциальные уравнения равновесия и статические граничные условия, записанные через перемещения: Заметим, что они совпадают с ранее полученными (1.25), (1.26) соответственно. С учетом сделанных выше замечаний Итак, если исходное состояние является равновесным (выполнены равенства (2.14) и (2.15)), то из выражений (2.12), (2.13) и (2.16) следует, что приращение полной свободной энергии пластины при переходе к изогнутому (не обязательно равновесному) состоянию определяется функционалом Этот функционал принято связывать с именем Дж. Брайана [3; 18; 22; 89].
Он задан на множестве функций прогибов срединной поверхности пластины - щ, заранее удовлетворяющих кинематическим граничным условиям. Напряжения а?, входят в него как параметры; они должны быть определены заранее из решения задачи об обобщенном плоском напряженном состоянии пластины. Напряженное состояние ст. будет являться устойчивым (т.е. невозможно существование близкого к нему изогнутого), если для всех кинематически допустимых щ(хі,х2) 1 0. Обобщенное плоское напряженное состояние пластины является критическим, если хотя бы для некоторых кинематически допустимых перемещений приращение полной свободной энергии 7[MJ]=0. Критерий устойчивости можно сформулировать и несколько иначе. Предположим, что напряженное состояние а?, таково, что возможно (7 0) существование изогнутого состояния пластины. Это изогнутое состояние также должно быть равновесным. Критическим является такой минимальный уровень внешней нагрузки, при котором вариационное уравнение Ы[и3]=0 имеет нетривиальное решение. Вариация функционала Брайана (2.17) может быть записана в Здесь Mn , Hn , Qn - обобщенные силовые факторы в пластине при изгибе; Нп\_ - разрыв крутящего момента в угловых (у) точках на границе S области Q.
Из вариационного уравнения 87=0 в качестве естественных условий следуют уравнения устойчивости и статические граничные условия: Мп[щ]=0 - на тех участках границы, где з.и О; Qn[ui\+Hns[ui\=Q (ди&0)\ Н -Н = 0 - в тех угловых точках границы, в которых ди&0. Таким образом, задача устойчивости эквивалентна при дополнительном требовании минимальности внешней нагрузки вариацион ной задаче о разыскании экстремалей функционала Брайана - энергетический критерий устойчивости пластин в форме Брайана. Возможен и другой вариант преобразования функционала приращения полной энергии (2.12). Воспользовавшись соотношениями Дюгамеля - Неймана, вместо равенства (2.16) можно записать следующее [89]: Если далее предположить, что дифференциальные уравнения а» = 0 и статические граничные условия a»Wy =0 выполнены, то равенство (2.21) перепишется в виде: Так как uL = 0 и ил = й}0, то подставив (2.22) в (2.12) получим следующее к \Sk выражение для приращения полной свободной энергии пластины: Этот функционал задан на множестве функций щ, иг, щ заранее удовлетворяющих кинематическим краевым условиям. Возмущенные перемещения щ и и2 точек срединной поверхности пластины должны удовлетворять уравнениям равновесия и статическим граничным условиям, соответственно:
Устойчивость кольцевых цилиндрически ортотропных пластин при термосиловом воздействии
Так же как и в п.3.3 будем рассматривать устойчивость цилиндрически орто-тропной пластины, нагруженной на границах нормальным давлением. В отличие от прошлой задачи (п.3.3), кроме силового фактора внешнего воздействия - давления добавим еще и температурный. За закон изменения температур возьмем изменение температурного поля в изотропной пла- Рис. 3.51 Расчетная схема стине, подогретой на внутренней границе на температуру 8 и внешней границе на температуру на температуру 0, верхняя и нижняя поверхность которой теплоизолированы. Решение соответствующей задачи Дирихле дает следующий закон распределения температуры в области занятой пластиной: Здесь Gy- безразмерные статически допустимые напряжения (2.10). Безразмерные компоненты тензора податливости в полярной системе координат как и цилиндрические жесткости являются постоянными величинами: Компоненты тензора линейного расширения в полярной системе координат так же являются постоянными величинами: где 0,у- безразмерная величина, a 0,-,-, $,, S2 - размерные (К ). В функционале (3.134) значок « » над Ф,у опущен, подразумевая, что эти величины, как и все остальные, входящие в функционал, являются безразмерными. Безразмерный закон изменения температурного поля в пластине запишется так: Здесь изменение температуры на внутреннем и на внешнем контуре выражаются через параметр температуры Т: Кроме того, введен в пользование безразмерный параметр температуры: Далее, как и в двух предыдущих задачах исследование вариационной задачи велось методом Ритца, общий алгоритм которого, описан в п. 2.5.2. После подстановки рядов функций щ и Ф в (3.134) и вычисления соответствующих интегралов, получим функцию: Из уравнений (3.153) и (3.156) следует, что Аа = Л(г = 0 (у= -щ,..., щ). Из уравнений (3.157) следует, что Л( = 0 (y=-«i,..., щ\ к=3,..., п2). Таким образом, не нулевые множители Лагранжа определяются из системы уравнений (3.154) и (3.155).
Запишем эту систему в матричном виде: Здесь проведена переиндексация по формулам (3.83): Решение системы (3.158), вектор Л, представляется как: где Л(Х,) и Л(т) вектора, определяемые из систем (см. п.2.5.2): Как отмечалось в п.2.5.2, в качестве промежуточных вычислений, можно определить докритические напряжения (размерные) в пластине: Таким образом, множители Лагранжа определены, и можно перейти к построению систем уравнений, определяющих критические параметры давления и температуры. Приравнивая оставшуюся часть производных к нулю, получим системы уравнений для определения критических параметров давления и температуры: где ф, задаваемый параметр, определяющий путь термосилового нагружения, ф параметр термосилового нагружения, определяемый из уравнений (3.163), (3.164). Можно показать, что, как и в случае устойчивости цилиндрически ортотропных пластин в отсутствии температурных полей, (см. п.3.3), пластинки теряют устойчивость по одной из следующих форм: В формулах (3.168) была использована переиндексация (3.83). Так же как и в предыдущих задачах, необходимо решить проблему собственных значений систем (3.167) и выбрать из всех собственных значений минимальное положительное, которое и будет критическим параметром термосилового нагружения фкР. Пара критических значений температуры и нагрузки определяется по формулам (3.165): . Если нарисовать график совместного влияния температуры и давления на устойчивость пластины, то параметр ф на нем будет являться полярным углом, фкр - полярным радиусом точки, в которой пластина выпучивается (см. рис. 3.52). Рис. 3.52
Кривая устойчивости Задавая ф в пределах 0 ф 7г/2, мы будем исследовать устойчивость пластин при «сжатии» и «нагреве», задавая я/2 ф ти при «сжатии» и «охлаждении», задавая п (р Зп/2 при «растяжении» и «охлаждении», и, наконец, задавая Зя/2 ф 0 при «растяжении» и «нагреве». Если из всех собственных значений систем, соответствующих параметру ф=ф+, выбрать максимальное отрицательное значение, то мы получим критический параметр термосилового нагружения кр при ф = ф" = п + ф+. Таким образом для исследования достаточно задать ф в пределах 0 ф 7Г, чтобы получить полную картину распределения критических параметров температуры и нагрузки в плоскости т-А,. По предложенным выше алгоритму была написана программа, вычисляющая параметры критических нагрузок, соответствующие им формы потери устойчивости и докритические напряжения, входные и выходные параметры которой, представлены в приложении П3.8. В приложении П3.9 представлены результаты тестирования программы. Для сравнения критических параметров нагружения кр рассматривались два частных случая данной задачи 1) температурные поля отсутствуют и 2) материал пластины изотропный. В первом случае кр=\кр сравниволось с Хкр, полученным в предыдущей задаче. Во втором случае известно точное напряженное состояние, подставив которое вместо (3.117) в (3.118) получим искомое фкр. В обоих случаях параметры критического нагружения совпали до 4 значащих цифр.
Также исследовалась сходимость оценки параметра критической нагружения ф р в зависимости от числа членов рядов. Максимальная погрешность из всех рассмотренных вариантов составила 8=3,49-10 , где Приведем результаты исследования задачи устойчивости для полярно ортотропных пластин при совместном воздействии температурных полей и нормального давления, приложенного к кромкам пластины. Будем исследовать совместное влияние температурного и силового факторов воздействия на устойчивость пластин, а именно, построим кривые на плоскости т-А., в каждой точке которых пластина теряет устойчивость. Таким образом, координаты точки, лежащей на кривой, являются критическим параметром температуры хкр и критическим параметром давления Хкр (см. рис. 3.52). А дан ная кривая, назовем ее кривой устойчивости, разделяет плоскость т-Х на области параметров т и X при которых пластина остается плоской, назовем ее область устойчивости и при которых пластина выпучивается, назовем ее областью неустойчивости (область устойчивости содержит начало координат: х=Х=0). Исследование будем проводить на примере трех материалов 3, 4 и 7 (см. таблицу 3.40). Также как и в предыдущих задачах рассмотрим три варианта силового нагружения: давление по внутреннему контуру (i=l, 2=0) давление по внешнему контуру (i=0, 2=1) и давление на обоих контурах одинаковой интенсивности ( 1= 2=1). Рассмотрим два варианта температурного воздействия: Хі=0, Хг=1 и Xi=l Х2=0 по закону распределения температур (3.139). Способы закрепления пластины остаются прежними: защемление по отверстию, защемление по внешней границе, защемление по обеим кромкам, шарнирное опирание по обеим кромкам.
Построение ряда для функции дополнительных напряжений
Функция прогибов щ должна удовлетворять кинематическим граничным условиям (5.29) на внешнем участке границы Г2. Кроме того, в качестве необязательных условий можно потребовать равенства нулю нормальных изгибающих моментов на шарнирно опёртых кромках пластины, которые в данном случае вырождаются в следующие условия: x2=±a -a xx a\ u322=0. (5 щ Ряд для функции прогибов при таких краевых условиях можно задать с помощью балочных функций: симметричная форма потери устойчивости шарнирно опёртой с двух концов балки. Заметим, что каждая базисная функция ряда (5.67), кроме обязательного условия (5.29) удовлетворяет ещё и необязательным (5.65) и (5.66), что даёт возможность улучшить сходимость ряда. После того, как все варьируемые функции заданы в виде ряда и статически допустимое напряжённое состояние найдено, в соответствии с методом Ритца необходимо подставить в функционал (5.27) и интегральное условие (5.28) представление функций рядами и статически допустимые напряжения, вычислив предварительно все производные, входящие в (5.27) и (5.28). После вычисления интегралов функционал (5.27) и интегральное условие (5.28) примут соответственно вид: Вследствие произвольности коэффициентов СҐ и . (5.70) эквивалентно системе уравнений: Не расписывая подробно процедуру метода Ритца, отметим лишь, что задача на условный экстремум для функции (5.70) со связями (5.71) с помощью метода множителей Лагранжа приводится к задаче на безусловный экстремум приве дённой функции, минимизируя которую, получим задачу на собственные зна чения, а затем, решив её и определив венное число, мы, таким образом, найдём критический параметр нагрузки X. Для вычисления интегралов об- i ласть пластины разбивалась на восемь подобластей (см. рис. 5.4), на каждой из которых вычислялся повторный интеграл, используя стандартную подпрограмму. Более подробное описание вычисления интегралов приведено в приложении П5.1.
Основываясь на выкладках, описанных в предыдущих пунктах, была написана программа, вычисляющая параметр критической нагрузки Я. Проследим процесс сходимости параметра критической нагрузки от числа членов ряда тип (см. формулы (5.62), (5.64), (5.67)). 1,802 1,803 1,805 Как видно из таблиц 5.2-5.10, выбранное число членов ряда для каждого отношения половины стороны к радиусу отверстия а даёт удовлетворительную точность вычисления. Построим график зависимости параметра критической нагрузки Я от отношения половины стороны пластины к радиусу отверстия, выбрав из таблиц 5.2-5.10 значения X при максимальном числе членов ряда. На основе функционала в форме Алфутова-Балабуха (2.76) была решена задача устойчивости квадратной изотропной пластины с центрально расположенным круговым отверстием, подверженной действию равномерно распределенной по двум противоположным кромкам нагрузки. Вследствие неканоничности области пластины основной сложностью задачи было определение статически допустимого напряженного состояния и базисных функций для функций возмущенных напряжений, отвечающих статическим граничным условиям. Результаты полученные в данной главе и другими авторами имеют хорошее соответствие. Основные результаты опубликованы в следующих работах автора: [135; 72]. Выделим основные, результаты диссертационной работы: 1. Получены новые вариационные постановки задачи устойчивости тонких упругих пластин, не требующие предварительного определения докритическо-го напряженного состояния. Эти вариационные постановки были обобщены на случай анизотропных неоднородных многосвязных пластин, подверженных термосиловому воздействию.
Показано, что все известные и новые вариационные методы исследования устойчивости пластин можно получить из обобщенного функционала, выполняя те или иные предварительные условия. 2. Развит прямой вариационный метод решения задач устойчивости с интегральным предварительным условием. Показано, что параллельно с решением задачи устойчивости алгоритм позволяет получить решение и плоской задачи теории упругости. 3. Разработаны методы построения статически допустимых докритических напряжённых состояний, в том числе и для пластин с вырезами. Это позволило расширить круг эффективно решаемых сложных задач. 4. С помощью разработанных методов решены и исследованы задачи «локальной» устойчивости бесконечных ортотропных пластин с эллиптическим отверстием при их растяжении. 5. Решены и исследованы задачи устойчивости кольцевых ортотропных пластин при термосиловом нагружении. Разработан метод построения областей устойчивости. Решены и исследованы задачи устойчивости для металлокомпо-зиционных кольцевых пластин. 6. С помощью разработанных методов решена задача устойчивости при сжатии для квадратной пластины с центральным круговым отверстием. 7. На примере решенных задач исследована сходимость разработанного алгоритма, продемонстрирована его эффективность.
