Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Устойчивость стержней постоянного поперечного сечения при продольном и поперечном нагружении 20
1.1. Устойчивость стержней при действии осевых сжимающих сил и с учетом собственного веса. 20
1.2. Устойчивость вращающихся стержней при действии осевых сжимающих сил 36
1.3. Устойчивость вращающихся стержней с учетом собственного веса 43
1.4. Устойчивость гибкого вращающегося стержня в жесткой трубе при действии осевых сжимающих сил и с учетом собственного веса 51
1.5. О решении интегро-дифференциальных уравнений изогнутой оси стержня 64
Глава II. Устойчивость стержней переменного поперечного сечения при продольном нагружении ?0
П.І. Устойчивость консольных стержней при учете собственного веса ^0
П.2. Устойчивость консольных стержней при особом изменении размеров поперечных сечений с учетом собственного веса ^9
П.З. Пределы применимости полученных формул для исследования устойчивости стержней перемен ного поперечного сечения 85
П.4. Устойчивость дымовых труб 87
Глава III. Устойчивость плоской фориы изгиба полос при поперечном нагружении 92
Ш.І. Устойчивость полос постоянного поперечного сечения при сложном нагружении 92
Ш.2. Дифференциальное уравнение устойчивости плоской формы изгиба полос переменного поперечного сечения 105
Ш.З. Устойчивость полос постоянного поперечного сечения при сложном закреплении и сложном нагружении 117
Ш.4. Пределы применимости полученных формул для исследования устойчивости плоской формы изгиба полос постоянного поперечного сечения. 126
Ш.5. 0 решении дифференциальных уравнений устой чивости плоской формы изгиба полос постоян ного поперечного сечения 129
Ш.6. Устойчивость полос переменного поперечного сечения 132
Ш.7. Пределы применимости полученных формул для исследования устойчивости плоской формы изгиба полос переменного поперечного сечения. 141
Ш.8. Замечание к исследованию устойчивости полос за пределами упругости 143
Глава IV Устойчивость полос при продольно-поперечном нагружении 148
ІУ.І. Дифференциальное уравнение устойчивости полос при продольно-поперечном нагружении 148
4.2. Устойчивость полос постоянного попереч ного сечения 150
Заключение 158
Литература
- Устойчивость вращающихся стержней с учетом собственного веса
- Устойчивость гибкого вращающегося стержня в жесткой трубе при действии осевых сжимающих сил и с учетом собственного веса
- Пределы применимости полученных формул для исследования устойчивости стержней перемен ного поперечного сечения
- Устойчивость полос постоянного поперечного сечения при сложном закреплении и сложном нагружении
Введение к работе
Область распространения металлических и композитных конструкций из тонкостенных элементов постоянно расширяется в связи с появлением новых, лёгких и высокопрочных материалов. Несущая способность таких конструкций определяется, как правило, устойчивостью их упругого (иногда и упруго-пластического) равновесия. Необходимость дальнейшего повышения эффективности расчётов на устойчивость тонких стержней и полос, применяемых в гражданском и промышленном строительстве, в авиации и транспортном машиностроении вытекает из мателиалов ХХУІ съезда КПСС и постановлений ЦК КПСС и Совета Министров СССР II декабря 1959 г., 3 января 1977 г. и 29 июля 1978 г.
Основы теории устойчивости и продольного изгиба были заложены Л. Эйлером [165, 288, 289]. Согласно концепции Эйлера потеря устойчивости выражается в переходе системы к новым формам равновесия, сколь угодно близким к исходной. При этом принимается, что влияние начальных отклонений от номинала несущественно. Возмущения, которые налагаются на систему, являются сколь угодно малыми. Перемещения предполагаются происходящими настолько медленно, что инерционные эффекты, связанные с наличием масс, являются несущественными. Появление смежных равновесных форм называют бифуркацией или разветвлением форм равновесия. Такой подход к решению задач устойчивости называют статическим [50, 173, 247].
Эта классическая схема не является универсальной. Можно отметить ещё четыре случая потери устойчивости: появление несмежных форм равновесия, исчезновение устойчивых форм равновесия, полное исчезновение любых форм равновесия, потеря устойчивости при ползу-
чести материала [l82] .
Если жесткости поперечных сечений стержня в главных плоскостях инерции значительно отличаются друг от друга, то при поперечном нагружении стержень также не устойчив. В данном случае при нагрузке, большей критической, плоская форма изгиба становится неустойчивой, появляются дополнительный изгиб в плоскости наименьшей жесткости и кручение.
Основы теории устойчивости плоской формы изгиба были заложены Л.Прандтлем [323] .
Если стержни достоточно тонкие и напряжения в них даже при значительном искривлении не превосходят предела пропорциональности, то они носят название гибких стержней. Поведение таких систем в закритичной области может быть исследовано лишь при помощи уравнений, описывающих большие перемещения [53, 108, 307, 309, 131, 266, 273, 279, 289, 290, 310, 322, 326] , но для определения критических сил достаточно воспользоваться обычными линейными уравнениями, составленными для малых прогибов [53, 232, 245, 261, 289, 309, ЗЮ] .
При расчете инженерных конструкций в большинстве случаев критическая нагрузка принимается за предельную, по которой и назначается запас устойчивости [247] .
Определению критических нагрузок стержней при сложном продольном и поперечном нагружении и посвящена данная работа. В работе рассматриваются однородные прямолинейные стержни как постоянного, так и переменного поперечного сечения. Предполагается, что для стержней, испытывающих поперечное нагружение, высота поперечного сечения значительно больше длины основания. Стержень с таким соотношением размеров называют полосой.
Нагружение и закрепление стержней рассматривается такое,
- 7 -что для анализа устойчивости достаточно использование статического критерия.
Методом решения почти всех рассматриваемых задач является непосредственное интегрирование дифференциальных уравнений изогнутой оси для отклоненного положения при помощи ЭЦВМ с использованием методики В.И.Феодосьева [24б] .
Гибкость стержней предполагается такой, что критическую нагрузку можно определить, решая линейные уравнения для малых прогибов, так как в данном случае при силах, даже ничтожно превышающих критическое значение, дополнительные напряжения изгиба достигают весьма больших значений и непосредственно угрожают прочности конструкции [182] .
В первой главе проводится исследование устойчивости стержней постоянного поперечного сечения. Устойчивость стержней при действии осевых сжимающих сил и с учетом собственного веса исследуется в первом параграфе.
Первые исследования сопротивления сжатых стоек принадлежат Леонардо да Винчи (1487-1490). Он ошибочно считал, что это сопротивление обратно пропорционально отношению высоты колонны к стороне квадратного сечения.
П.Муешенбрук [263] в 1729 г.доказал, что сопротивление сжатых стоек одинакового сечения пропорционально квадратам их длин.
Основы теории устойчивости стержней заложил Л.Эйлер. Он получил формулу для определения критической силы шарнирно закрепленного стержня [288, 289] . Исследуя устойчивость шарнирно опертого стержня, испытывающего одновременное действие осевой силы и собственного веса, Эйлер не учитывает возникающие в опорах горизонтальные реакции [і65І . В этой работе Л.Эйлер построил график, соответствующий консольному стержню, для которо-
-8-го и определяется критический собственный вес. Этот результат Эйлера повторили Ж.Лагранж [309, 3IGJ , М.Хейм [ібб] , А.Гринхилл [299] , Ф.С.Ясинский [261-263*] и Г.Эйнгельгардт [287] .
Р.Клебш [279] , С.Хальфен [ЗОО] , Е.Коллиньон [280] получили совпадения результатов решения приближенного уравнения изогнутой оси с результатами решения точного уравнения при малых прогибах. Такое совпадение обусловлено математическими свойствами точного и приближенного исходных дифференциальных уравнений.
М.Бресс [270І, Ф.Грасгоф [l98] , А.Ляв [іЗі] при определении критической силы внесли поправку на сжатие, В результате этого величина критической силы возросла меньше, чем на одну десятую процента [53] .
С.П.Тимошенко составил дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня с учетом поперечной силы. Поправка к величине критической силы является малой величиной такого порядка, как квадрат отношения ширины основания поперечного сечения балки к ее длине. Очевидно, что влияние поперечной силы для сплошных стержней не имеет практического значения.
В 1846 г.М.Ламарль [зіі] впервые указал пределы применимости формулы Эйлера.
Точное решение для поперечного изгиба(Д.Мичелл [314] , А.Ляв "jI3l] , Я.М.Хлытчева [252]) показывает, что выражение для кривизны определяется двумя членами. Первый пропорционален изгибающему моменту, а второй - постоянный член, возникающий при учете касательных напряжений и нормальных напряжений, действующих по площадкам, параллельным оси балки. Этот постоянный член, представляющий поправку к гипотезе Бернулли-Эйлера, является малой величиной такого порядка, как квадрат отношения высоты попереч-
- 9 -ного сечения балки к ее длине. В случае тонких призматических стержней этой поправкой можно пренебречь.
А.Гринхилл [299] дифференциальное уравнение изогнутой оси консольного стержня с учетом его собственного веса привел к уравнению Бесселя и определил величину критического веса, полученную Л.Эйлером. Ф.Е.Максименко [132] определил погрешность, возникающую при использовании приближенного дифференциального уравнения вместо точного при некоторых малых прогибах.
Ф.С.Ясинский ^61-263] рассматривал двенадцать случаев закрепления и нагружения и для каждого случая определил величину критической силы. Для четырех случаев закрепления стержня, которые в настоящее время называют классическими, получена обобщенная формула для определения критической силы.
В 1909 г.Б.Б.Галеркин [53, 55] рассмотрел восемь случаев закрепления и нагружения стержней при расчете многоэтажных стоек. При помощи приближенного метода исследована устойчивость консольного стержня при действии осевой сжимающей силы и с учетом его собственного веса.
В 1912 г.А.Н.Динник [67] , используя методику решения А.Гринхилла, определил критическую длину стержней при учете сил собственного веса и различных закреплениях концов. Исследована устойчивость консольного стержня при действии осевой силы и с учетом собственного веса. Полученная формула совпадает с формулой Галеркина [55]. К.С.Завриев [93]исследовал продольно-поперечный изгиб. С.П.Тимошенко [233, 32 и Н.П.Гришкова [б1 приближенным методом исследовали устойчивость консольного стержня и стержня с шарнирно закрепленными концами при действии осевой силы и с учетом сил собственного веса.
Исследования поведения стержней в закритической области прове-
- 10 -дены в работах Б.П.Ветчинкина и Н.ГЛенцова [44] , А.Н.Крылова [108, ПО] , Е.Н.Тихомирова [237-239] , М.Э.Бермана [32-34] , М.М.Мосткова [l5l] , В.М.Мучникова [159] и Н.И.Долгова [88] .
Н.К.Снитко при помощи метода начальных параметров определял критическую нагрузку сжатых и сжато-изогнутых стержней [215-22 .
В 1935 г.А.П.Коробов JI02) предложил приближенный метод расчета стержней на устойчивость, а Н.М.Митропольский [l47J на базе этого метода создал графо-аналитический метод. Графо-анали-тический метод упрощает вычисления и позволяет расширить круг решаемых задач [179, 25lJ .
А.Р.Ржаницын [18б] излагает графический метод определения критических сил при продольном изгибе, а в работах [187, 189] рассматривал составные стержни.
В.М.Макушин исследовал устойчивость стержней при действии равномерно распределенных продольных сил [133-138] .
А.Ф.Смирнов исследовал устойчивость упругих систем при помощи метода малых возмущений [208 - 211] .
Исследование проблем устойчивости проводили В.В.Болотин [39] , И.И.Гольденблат и Б.Л.Баженов [58, 59] , Л.С.Турищев [240] .
Для произвольно искривленного стержня П.Филзак [ЗЗЇ] построил общую линейную теорию устойчивости стержней.
Итак, устойчивость стержней при действии осевых сжимающих сил и с учетом собственного веса точными методами не исследована. Эта задача была решена диссертантом при помощи точного метода [19, 2б].
Во втором параграфе первой главы исследуется устойчивость равномерно вращающихся стержней при действии осевых сжимающих сил.
Случай вращающихся валов, сжатых осевой силой, был рассмот-
- II -
рен в 1907 г.С.П.Тимошенко [230] . Для шарнирно закрепленного стержня была получена формула для определения критической силы и, как частный случай, формула для определения критической угловой скорости. Вывод формулы этого частного случая повторяется А.Н.Крыловым [I07-II0].
В 1922 г.Л.С.Лейбензон [lI7] рассмотрел равномерное вращение консольного стержня при действии осевой растягивающей силы и с учетом растягивающих сил собственного веса. При помощи приближенного метода определена критическая угловая скорость. При помощи точного метода С.И.Шищенко и Р.И.Шищенко [257] получили формулу для определения критической угловой скорости без учета собственного веса. Рассмотрен также случай сжимающих сил и получена формула Тимошенко [30] .
А.Н.Динник І74, 75] исследовал влияние равномерного вращения стержня на величину критического крутящего момента при помощи приближенного метода.
В 1932 г.А.Линевский [122] при помощи приближенного метода получил формулу для определения критической угловой скорости колонны при осевом сжатии и при учете ее собственного веса.
Л.Е.Симонянц [20б] при помощи приближенного метода исследовал уравнение упругой линии вертикально расположенного вращающегося стержня при различных формах равновесия.
Я.Г.Пановко, исследуя вращение консольного стержня, получил формулу для определения критической угловой скорости [l73] . Эта задача решена и для вращающейся колонны бурильных труб [l30] .
Итак, устойчивость вращающихся стержней при действии сжимающих осевых сил исследована недостаточно. Эта задача исследована диссертантом в работе [I9J .
В третьем параграфе первой главы исследуется устойчивость
- 12 -равномерно вращающихся стержней с учетом их собственного веса.
Исследование на устойчивость таких стержней при помощи приближенных методов частично описано в [74, 75, 117, 122] . Эта задача была решена диссертантом при помощи точного метода[l9,25]
В четвертом параграфе первой главы исследуется устойчивость гибкого равномерно вращающегося стержня в жесткой трубе при действии осевых сжимающих сил и с учетом его собственного веса.
Исследованию работы бурильных труб при вращательном бурении посвящены многие работы [258, 259, 197] .
Г.М.Саркисов [197] , рассматривая плоскую со свободными концами полуволну без учета стенок скважины, при помощи энергетического метода получил формулы для определения длины этой полуволны и нормальных напряжений изгиба.
С.М.Кулиев экспериментально исследовал устойчивость бурильных труб [і 15] .
Поведение длинного упругого стержня с шарнирно закрепленными и защемленными концами, находящегося в жесткой трубе и испытывающего действие осевых сжимающих сил, рассмотрено В.И.Фео-досьевым [24б] , В.С.Федоровым и Л.Е.Симонянцем [249], А.Е.Сарояном [200] , Д.Ю.Мочернюком и др. [і52] , Е.И.Ишемгужиным и Б.З.Султановым [94Ї , М.М.Александровым [2, ЗІ , М.Б.Тусупбае-вым [241] и К.С.Кишауовым [99] , Р.А.Расуловым и др. [183, 38,
її] .
Растяжение и сжатие бурильных труб при вращении без учета собственного веса, давление полуволны на стенку скважины, длина этой полуволны с учетом стенок скважины, характер вращения бурильной колонны и нормальные напряжения изгиба исследованы в работах [5-7] .
Итак, поведение вращающегося гибкого стержня в жесткой тру-
- ІЗ -бе при действии осевых сжимающих сил и с учетом собственного веса исследовано недостаточно. Основные результаты этой задачи получены М.М.Александровым. Давление полуволны на стенки скважины определено без учета собственного веса и при средней интенсивности центробежных сил, а трансцендентные уравнения, из которых можно определить длину полуволны с учетом стенок скважины, не совсем удобны для практических расчетов.
Следует также отметить, что формулы [II, 38] , по которым можно определить давление полуволны на стенки скважины, требуют уточнения. Эта задача исследована в диссертации [2l] .
В пятом параграфе первой главы излагается метод решения ин-тегро-дифференциальных уравнении изогнутой оси стержня.
Если при исследовании устойчивости стержней получается ин-тегро-дифференциальное уравнение, то, его, как правило, дифференцируют [l9, 25, 26, 67, 230, 299] и рассматривают уже дифференциальное уравнение третьего или четвертого порядка.
В теоретическом плане определенный интерес представляет решение самого интегро-дифференциального уравнения изогнутой оси стержня. В такой постановке задача была решена диссертантом [l7] .
Вторая глава посвящена исследованию устойчивости стержней переменного поперечного сечения.
Первые исследования устойчивости стержней переменного сечения принадлежат Л.Эйлеру [289] . Он получил формулы для определения критической силы шарнирно опертых стержней.
Ж.Лагранж [309, ЗЮ] занимался исследованием устойчивости стержней переменного поперечного сечения. Решена задача для стержней, ограниченных какой угодно поверхностью вращения второго порядка. Ж.Лагранж поставил задачу о наивыгоднейшем очертании консольного стержня при действии осевой сжимающей силы. Решение
- 14 -этой задачи получено Т.Клаузеном [278] и дополнено Е.Л.Николаи [і64] . Различные условия и подходы к решению задач об оптимальном очертании стержней изложены в работах Х.Блазиуса [269], Н.Г.Ченцова [254] , Ж.Ратцерсдрфера [50] , Л.Ы.Воробьева [5l] , А.Ф.Смирнова [210] , И.Тоджбахша и Д.Келлера [226] , А.И.Лурье [129] , Д.Тейлора [227] , Д.Тейлора и К.Лю[228] , В.Прагера и Д.Тейлора [l80] , З.Г.Антоновой и П.А.Лукаша[іЗ] , В.Б.Гринева и А.П.Филипова [63, 64J , П.А.Лукаша [124] .
Устойчивость консольных стержней переменного поперечного сечения была исследована А.Гринхиллом [299] . И в этом случае дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня при помощи замены переменной приводится к уравнению Бесселя. Критических нагрузок А.Гринхилл почти не вычислял, так как не было таблиц функций Бесселя дробного порядка, которые нужны в данном случае.
Исследованием устойчивости стержней переменного поперечного сечения при действии осевых сжимающих сил занимались А.Франке [293, 294] , С.П.Тимошенко [23Ї] и А.Н.Динник [70-72, 76-79] .
Точные решения плоской задачи изгиба Л.Филона [292] и И.Левина [IIб]показывают, что дифференциальное уравнение изогнутой оси призматических стержней применимо к стержням переменного поперечного сечения. В работе [83] отмечено полное совпадение теоретических и экспериментальных результатов проверки устойчивости стержней переменного сечения.
Исследования устойчивости консольных стержней при действии распределенной нагрузки, начатые А.Гринхиллом [299] , были закончены А.Н.Динником [б9, 87] . Для всех возможных случаев изменения поперечного сечения и распределенной нагрузки вычислены значения критических нагрузок.
- 15 -Устойчивость консольных стержней, моменты инерции которых изменяются по закону дробно-линейных функций, исследована Н.К.Снитко [214, 216, 219, 221] .
А.Р.Ржаницын [l88] исследовал устойчивость клина и конуса при учете собственного веса.
А.Ф.Смирнов [21і]рассматривал устойчивость усеченной прямоугольной пирамиды. Е.П.Крюков [ill, 112] показал возможность распространения известных решений для консольных стержней на задачи для аналогичных стержней, но с другими характеристиками.
Исследованием устойчивости стержней переменного поперечного сечения занимались С.Д.Лейтес,[і20] , А.П.Мартьянов [144|__^, Ж.Даннел и В.Киссинг [282] , А.И.Ананьин [12] , М.Брунет и др. [175], М.Х.Муллагулов [154, 155, 157], И.А.Бахтин и В.К.Лубашев-ский [15] и др. [140, 193-196].
Итак, в данном случае дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня переменного сечения можно привести к интегральному уравнению Вольтерра.
Отсутствуют исследования по определению рациональной формы поперечного сечения консольных стержней. Кроме того, устойчивость консольных стержней при особом изменении размеров поперечного сечения нельзя исследовать по способу Гринхилла [299] .
Эти вопросы были исследованы в диссертации [іб, 18] .
В первом параграфе.второй главы излагается метод решения дифференциальных уравнений изогнутой оси и проводится анализ рациональности форм поперечных сечений.
Во втором параграфе излагается новый подход к использованию энергетического метода и исследуется устойчивость стержней, которую нельзя проанализировать при помощи классического метода
[299] .
В третьем параграфе второй главы определяются пределы применимости формул для исследования устойчивости, стержней переменного поперечного сечения.
В четвертом параграфе этой же главы исследуется устойчивость дымовых труб.
Третья глава посвящена исследованию устойчивости плоской формы изгиба полос. А.Прандтль [323]рассмотрел устойчивость плоской формы изгиба полос и составил линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Он исследовал восемь случаев закрепления и нагружения. Для консольного стержня рассмотрено влияние повышения точек приложения силы. Для этого же закрепления рассмотрено одновременное действие осевой и равномерно распределенных сил, а также силы, сохраняющей свое первоначальное направление.
С.П.Тимошенко [229] исследовал устойчивость плоской формы изгиба двутавровых балок, где, как частный случай, рассматриваются и прямоугольные балки. При помощи энергетического метода он определил критическую нагрузку для некоторых случаев закрепления и нагружения, изменение точек приложения сил от центра тяжести по оси поперечного сечения в вертикальной плоскости (232]
Подробное исследование влияния повышения и понижения точек приложения сил для различных случаев закрепления проведено А.П.Коробовым [iOO, IOl]. Приближенный метод расчета балок на устойчивость плоской формы изгиба изложен в [юз] .
А.Н.Динник [68] уравнение Прандтля [323] при помощи замены переменной привел к уравнению Бесселя и повторил почти все результаты, полученные раньше.
К.Федерхофер [290] составил и решил точные дифференциальные
- 17 -уравнения, а затем при малых деформациях получил результаты, совпадающие с результатами решения приближенного уравнения Прандт-ля [323І . В статье [29І] учитываются изменения начальной, кривизны оси стержня.
В.З.Власов [46-49] предложил новый метод расчета призматических балок из тонкостенных профилей при совместном действии осевой силы, изгиба и кручения. Из общей теории устойчивости плоской формы тонкостенных стержней и балок задача Тимошенко [229] и задача Прандтля [323] вытекают как частные случаи.
А.Ф.Смирнов [21І] исследовал устойчивость плоской формы изгиба балок при помощи метода малых возмущений. А.В.дятлов [90] указал, что учет кривизны при бифуркации повышает критическую нагрузку, если изгиб происходит в плоскости наибольшей жесткости.
В справочнике [182] для большинства случаев закрепления и нагружения балок критическая нагрузка определена приближенным способом.
К.Н.Гопак [бо] определяет оптимальные размеры консольной балки из условия устойчивости плоской формы изгиба.
Приближенным методом исследуется устойчивость прямоугольных балок переменного поперечного сечения в статье [зів] . Прямой матричный метод определения критических сил излагается в статье [ібЗ] , а в [308] - метод последовательных приближений.
Устойчивость плоской формы изгиба прямоугольных и двутавровых балок исследуется в работах [і, 42, 89, 126, 158, 225, 275, 281, 295, 312, 297, 319, 332, ЗЗЗ] .
Анализ показывает, что дифференциальные уравнения устойчивости плоской формы изгиба полос можно привести к интегральному уравнению Вольтерра. Отсутствуют исследования устойчивости полос, испытывающих одновременное действие двух силовых факторов.
- 18 -Хотя у Л.Прандтля (323] рассмотрен консольный стержень, но область устойчивости для осевой силы и равномерно распределенной нагрузки не определена. Отсутствует также дифференциальное уравнение для полосы постоянного поперечного сечения с полузащемленными или защемленными концами. Нет дифференциального уравнения и для полос переменного поперечного сечения.
Вопросы теории устойчивости плоской формы изгиба полос исследованы в этой части диссертации [20, 22-24J .
В первом параграфе третьей главы исследуется устойчивость полос постоянного поперечного сечения при сложном нагружении.
Во втором параграфе третьей главы составляется дифференциальное уравнение устойчивости плоской формы изгиба полос переменного поперечного сечения, из которого получаются все необходимые уравнения для полос постоянного поперечного сечения.
Устойчивость полос постоянного поперечного сечения при сложном закреплении и сложном нагружении исследуется в третьем параграфе.
В четвертом параграфе третьей главы определяются пределы применимости формул для исследования устойчивости плоской формы изгиба полос постоянного поперечного сечения.
В пятом параграфе третьей главы излагается метод решения дифференциальных уравнений устойчивости плоской формы изгиба полос.
Устойчивость полос переменного поперечного сечения исследуется в шестом параграфе.
В четвертой главе исследуется устойчивость полос при продольно-поперечном нагружении.
Л.Прандтль [323] рассмотрел консольный стержень, испытывающий действие силы под углом, которая вызывает сжатие и изгиб в
- 19 -в плоскости наибольшей жесткости. Вычислены таблицы зависимости критических нагрузок от величины угла наклона силы. Устойчивость балок, испытывающих сжатие и изгиб в плоскости наибольшей жесткости, при свободных концах исследовали А.Мичелл [зіз] и С.П.Тимошенко [229]. . Этот случай нагружения при помощи энергетического метода рассмотрен в [232] . Л.М.Пархомовский [l77] рассмотрел одновременное действие на балки продольных и поперечных нагрузок. Показано, что при поперечной нагрузке, вызывающей опрокидывание, сжимающие силы всегда меньше эйлеровых. Следовательно, критерием устойчивости является не продольный изгиб, а потеря устойчивости плоской формы изгиба. Критические нагрузки определяются при помощи метода Галеркина.
Устойчивость стержней при действии поперечных и продольных нагрузок исследована в работах {49, 96, 125, 182] .
В работе [I39J применяется уточненный энергетический метод [і6І| к исследованию устойчивости плоской формы изгиба балок при совместном действии продольной и поперечной нагрузки.
Очевидно, что нет дифференциального уравнения для исследования устойчивости полос при продольно-поперечном нагружении. Недостаточно исследована устойчивость полос постоянного и переменного поперечного сечения точными методами.
В первом параграфе четвертой главы диссертации составляется дифференциальное уравнение полос, испытывающих продольно-поперечное нагружение.
Во втором параграфе этой главы исследуется устойчивость полос постоянного поперечного сечения.
Работа изложена на 212 страницах машинописного текста, содержит 58 рисунков, 3 программы ЭЦВМ, 21 таблицу. Список литературы включает 333 работы на русском и иностранных языках.
Результаты исследований устойчивости стержней при продольном и поперечном нагружении используются в Казахском научно-исследовательском институте минерального сырья.
Выписка из заседания технической секции совета института и акт об использовании методов расчета прилагаются.
Основная часть материала диссертации принята в качестве спецкурса на тему "Устойчивость стержней при продольном и поперечном нагружении" на кафедре "Механика сплошной среды" факультета механики и прикладной математики Казахского ордена Трудового Красного Знамени государственного университета им.С.М.Кирова. Выписки из заседания кафедры и совета факультета прилагаются.
Устойчивость вращающихся стержней с учетом собственного веса
Окончательно решение уравнения .(1.58) примет вид (I.I2) с учетом формул (1.59), (1.60), (I.6I). И в этом случае легко доказывается равномерная сходимость решения (I.I2). Рассмотрим следующие частные случаи закрепления. Задача 1.9. Шарнирное закрепление стержня (рис.1.14). В данном случае Я?-О , При Х=С/ , Xя О U(V/ U , следовательно, в (I.I2) надо положить А0-и . При Х. , Х-і , , откуда получаем уравнение (І.І4). Числовой поиск аналогичен предыдущему. Полученные значения сведены в таблицу 6. Графическая зависимость между уб и Q аналогична предыдущей. - 46 ІІщуЗ-#жр=у/ , учитывая (1,38), получаем частный случай, т.е.формулу Тимошенко 230j А) -Ж1\ПШ[ , (1.62) а приу- учитывая (1.6), получаем частный случай, т.е.формулу Динника (І.І7). График зависимости между/5 иГ можно апроксимировать следующей кривой: Ji3+Qf4=i (1.63)
Определяя постоянные О при значениях на осях, получим: или, учитывая (1,6) и (1.38),
И в этом случае значения /3 и f , вычисленные по приближенной зависимости, расположены внутри области устойчивости. Наибольшее значение прогиба (рис.1.14) при 0,5 х-о 0,54 . (1.65) И в этом случае для пластических деформаций в формуле (1.64) модуль упругости " нужно заменить на приведенный модуль tnp . Это замечание также относится и ко всем остальным задачам этого параграфа. Задача 1.10. Стержень, у которого верхний конец шарнирный, а нижний защемлен. И в данном случае fffc-U, Из краевых условий, т.е.приХ=" , X-U , U(QJ-U , следо А п ._ Р .. J ,./,) л ..I/, )_/7 вательно .Л О.ъ Х .Ы ,0-0 л#уфО - 47 -Числовой поиск аналогичен предыдущему. Полученные данные сведены в таблицу 7. Графическая зависимость между А и Г имеет вид, аналогичный предыдущему. ЛщВ=.0 и Ґ- SzSSOJ , учитывая (1.38), получаем частный случай, т.е.формулу (1.43), а при/3 1144450 mg-.0 , учитывая (1.6), получаем формулу Динника (1.23). Приближенная зависимость (1.63) в данном случае имеет следующий вид: HMf -52,50 или, учитывая (1.6) и (1.38), получим: Qi + ОмЩ SMOEJk . (1 66) Значения л иг , определяемые по приближенной зависимости, также лежат внутри области устойчивости. Наибольший прогиб будет при 0,42 х0 0,46 f1-67 Задача I.II. Стержень, у которого верхний конец защемлен, а нижний конец шарнирно спертый. ПриХ=# ,Х=# у{й)-0 ъУ М . следовательно, Используя эти условия, получаем данные, которые занесены в таблицу 8. Графически зависимость между А ж Г имеет вид, аналогичный предыдущему. При /} 0жГ-\326601 » учитывая (1.38), получаем частный случай, т.е.формулу (1.43), а при = учитывая (1.6), получим формулу (1.26). Приближенная зависимость (1.63) для этого случая закрепле - 48 -ния следующая: или, учитывая (1.6) и (1.38), получим: $г+ш (1.68) Наибольшее значение прогиба при %58 х 0,63 (1.69) Задача I.I2. Стержень, у которого оба конца защемлены. Для этого случая закрепления при Следовательно, Ай 0жА 0 . ПриХ=/,Х=У ,#({)=Q Ч fl) = 0 .
Полученные по этим условиям данные занесены в таблицу 9. Графическая зависимость имеет вид, аналогичный предыдущему. При А 0 и Г- 4 75004І имеет место частный случай, т.е., учитывая (1.38), получим формулу (1.49) .Jb-4,2I0I75 жр 0 также характеризуют частный случай, т.е., учитывая (1.6), получаем формулу (1.30). Приближенная зависимость в данном случае следующая:
Задача I.I3. Консольный стержень (рис.1.15). В данном слу чае интенсивность центробежных сил определяется по формуле (I.5I). Тогда дифференциальное уравнение изогнутой оси (рис. I.I5) примет следующий вид:
Итак, по полученным формулам легко определяются критические нагрузки колонны бурильных труб при роторном бурении.
Рассмотрим упругий однородный, прямолинейный, вертикально расположенный стержень, находящийся в жесткой трубе и вращающийся вокруг своей оси с заданной угловой скоростью СО .
В случае малых отклонений стержень примет форму пространственной кривой. Чтобы исследовать закритическое состояние стержня, необходимо воспользоваться двенадцатью уравнениями Кирх-гоффа-Клебша [.307, 279J и тремя зависимостями, введя гипотезу о том, что моменты прямо пропорциональны изменениям кривизны и с учетом влияния стенок скважины. Это - задача очень сложная.
Из полученных приближенных результатов пространственного изгиба следует, что напряжения изгиба в бурильных трубах, вычисленных по известной методике плоского изгиба колонны [197] , существенно превышают напряжения, определяемые при спиральном изгибе.
Следовательно, результаты расчета по формулам плоского изгиба колонны получаются уже с запасом прочности. Поэтому, рассматривая полуволну (рис.1.16), предположим, что изгиб плоский. В данном случае влиянием крутящего момента можно пренебречь [122, 258, 259] . Рассмотрим полуволну отдельно, заменяя точки перегиба шарнирными опорами (рис.1.17). Получили один раз статически неопределенную систему. Для решения этой задачи составим дифференциальные уравнения для обоих участков.
Устойчивость гибкого вращающегося стержня в жесткой трубе при действии осевых сжимающих сил и с учетом собственного веса
Эта задача была сформулирована Ф.А.Бобылевым и рассмотрена диссертантом в 1965 г.(В.П.Белоусов. "Поведение колонны бурильных труб в процессе бурения".Алма-Ата, КазГУ, 1965). Если давление Р приравнять нулю, то, пренебрегая выражением 0,5о,получим уравнение, из которого ft +\/ФШ При Р-0,% следует формула Саркисова [19?] J или в новой редакции [198] где P Qbt- вес части колонны от нейтрального до рассматриваемого сечения, оСдлина колонны от границы между зонами растяжения и сжатия до сечения, где определяется полуволна. Если полуволна находится в зоне растяжения, то выражение 0,5 получится со знаком плюс.
Так как размерности величин, входящие в формулу Саркисова (1.89), находятся в разных системах измерения, то эту формулу представим следующим образом: Это и следовало ожидать, так как формула (1.89) получена без учета стенок скважины, т.е.при Ц О . Поэтому эта формула должна рассматриваться как приближенная, на что указывает А.Е.Сароян [200] и М.М.Александров [б, 7].
Следует отметить, что замена точек перегиба (рис.1.16) шарнирными опорами (рис.1.17) привела к формуле (1.89), которая получена при свободных концах. Следовательно, выбранная расчетная схема соответствует реальной конструкции.
Итак, чтобы определить контактную силу (1.88), необходимо иметь формулу для определения длины полуволны.
Вернемся к схеме (рис.1.17). Касание стержня со стенкой происходит в одной точке. Следующая форма равновесия стержня будет характеризоваться плотным его прилеганием к стенке в окрестности точки первоначального, касания. Тогда изгибающий момент на этом участке будет равен нулю, так как стержень остается прямым, Следовательно, условием перехода от одной формы равновесия к другой будет в данном случае равенство нулю изгибающего момента на средней опоре. Тогда из формулы (1.ь7) получим:
Итак, нормальные напряжения изгиба по формулам Саркисова (1.90) и (I.II2) получаются значительно завышенными.
Полученные формулы (I.I03), (I.I04), (I.II5) следует считать более точными, так как учтены основные виды нагрузок, а выбранная расчетная схема наиболее полно соответствует реальным условиям, в которых находится полуволна. Следует также отметить, что принятое уравнение изогнутой оси (1.93) является точным решением дифференциального уравнения, составленного для осевого нагруже-ния, а продольная сила, как известно, является доминирующим силовым фактором по сравнению с силами собственного веса и с центробежными силами.
Итак, нормальные напряжения изгиба, определяемые по формуле автора (I.II6), получаются намного меньше напряжении, определяемых по известной методике [і97] , а следовательно, и уменьшается разница между напряжениями, определяемыми по формулам спирального изгиба. Конкретное сравнение с результатами спирального изгиба бурильных труб провести нельзя, так как отсутствуют исследования этого изгиба колонны точными методами. Следовательно, полученные расчетные формулы приобретают определенный практический интерес для буровой механики.
Известно [l06J , что линейное неоднородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами можно привести к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Воспользуемся этим подходом.
Дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня (I.I) как постоянного, так и переменного сечения можно привести к следующему интегро-дифференциальному уравнению: где rfej и Q(х) - некоторые непрерывные функции.
Подставляя (I.II8) и (I.I2I) в уравнение (I.II7), получим линейное неоднородное интегральное уравнение Вольтерра второго рода: №-jf fi)- fy№+Q{x)-CiKfi0+c, , (I.I24) - 66 где И{Х,}) = tify-rt/x) - ОДР0 Уравнения, (к) Q(x)-Cih(x)+ Сг - свободный член. Решение уравнения (I.I24) будем искать в виде ряда, расположенного по степеням параметра Л этого уравнения: л(х) Т1 A zufx) (1Л25) Подставляя (I.I25) в уравнение (I.I24), получим равенство Откуда получаем формулы для последовательного определения функций З.п (Х): Z.(K)=4(X) , b( ) f fe) »(}) /? о .X X ( hf ( })& -і (})dj (I-126)
При условии непрерывности И(ХЛ) и т(к) легко доказать, [212] , что решение (I.I25) на конечном промежутке, определяемом из краевых условий задачи, при любом Л сходится абсолютно и равномерно, а его сумма 3L fx) есть непрерывная функция и удовлетворяет уравнению (I.I24).
Чтобы показать, насколько прост этот способ решения уравнений вида (1.117), рассмотрим два следующих классических случая закрепления и нагружения. Для этого вернемся к уравнению (1.2) и представим его так:
Пределы применимости полученных формул для исследования устойчивости стержней перемен ного поперечного сечения
Определяя коэффициенты #уи Oz» получим формулу (2.23), которая является точной формулой. Следовательно, формулы (2.67), (2.72), (2.76) и (2.80) следует считать точными. Расчет на прочность выполняется по формуле (2.52).
Итак, найден еще один подход к использованию энергетического метода. Изменяя значения /Г , можно получить такое уравнение (2.60), которое будет соответствовать действительному уравнению изогнутой оси стержня, а тогда по энергетическому методу без особого труда определяется точное значение критической нагрузки.
Пределы применшую сти полученных формул для исследования устойчивости стержней переменного поперечного сечения
Устойчивость стержней переменного поперечного сечения исследуется при помощи уравнений (2.1) и (2.62), которые имеют место, если справедлив закон Гука, т.е.когда критическое напряжение Олр (напряжение сжатия, соответствующее критической нагруз ке) не превышает предела пропорциональности :
Формулы (2.25), (2.29), ... (2.84) шжно представить так: где И - коэффициент, учитывающий изменение размеров поперечного сечения по длине стержня, S- размер поперечного сечения в закреплении .
Аналогично определяется предельное значение гибкости (2.92) и для других материалов. итак, если гибкость стержня Л , определяемая по формуле (2.90), больше или равна предельному значению гибкости (2.92), то полученные расчетные формулы применимы для исследования продольной устойчивости стержней переменного поперечного сечения. Для Л меньше Лпр , т.е.в случае появления пластических деформаций, во всех предыдущих формулах модуль упругостиЬ нужно заменить на приведенный модуль tnp.
Уравнение (2.99) при случае (2.53) также не решается. Воспользуемся энергетическим методом [232 J. За уравнение изогнутой оси примем по-прежнему уравнение (2.60). Определяя потенциальную энергию по формуле (2.56), а работу собственного веса по (2.57) и подставляя Uи А в равенство (2.55), получим:
Аналогично предыдущему можно определить критическую длину и для других значений /f . Критическое значение суммарной нагрузки определится по формуле а предельная гибкость определяется по формуле (2.92). Итак, получено уравнение (2.100), из которого можно определить необходимые формулы для расчета на устойчивость дымовых труб.
В случае пластических деформаций в формулах (2.106), (2.107), (2.108), (2.114), (2,115) и (2.116)/г нужно заменить на спр .
Под сложным нагружением следует понимать одновременное действие на стержень двух силовых факторов. Стержни предполагаются с узкими прямоугольными сечениями, для которых где - основание прямоугольника, а Л - высота прямоугольника. Следует отметить, что потеря устойчивости может произойти и при отношении сторон /?/&ЕЄ очень большом, если длина стержня достаточно велика. тде (у)- угол закручивания после потери устойчивости, jU. (x) -изгибающий момент в плоскости наибольшей жесткости, Ь Ед -наименьшая жесткость при изгибе, С = &3К- жесткость свободного кручения.
Следует отметить, что /- "полуследящий" момент, т.е.его вектор поворачивается вместе с торцевым сечением. Решение уравнения (3.6) ищем в виде ряда используя ЭЦВМ. Аналогично предыдущему, находя вторую производную / (К/ и подставляя ее и (3.7) в уравнение (3.6), получим: Докажем, что ряд (3.13) на отрезке [0,ljсходится равномер но. Для этого воспользуемся признаком равномерной сходимости рядов Вейерштрасса Г250] . Коэффициенты/4о и 4 определяются из граничных условий и поэтому ограничены. Следовательно, интерес представляют члены ряда (3.13), определяемые по формуле(3.12).
Устойчивость полос постоянного поперечного сечения при сложном закреплении и сложном нагружении
Уже отмечалось, что при поперечном нагружении полос плоская форма изгиба неустойчивая. После ее потери возникает изгиб в плоскости наименьшей жесткости и кручение.
Исследования показывают, что при наличии пластических деформаций можно установить приближенную линейную зависимость между кривизной и изгибающими моментами аналогично уравнениям (3.46), где вместо жесткостей 2/-=4 и = (/ возникнут УПА ОХпл ж РУпл-Вупл , т.е.жесткости, полученные при пластических деформациях. Приближенную линейную зависимость можно также получить и между относительным углом закручивания и крутящим моментом при пластических деформациях. Если использовать найденные линейные зависимости, то при повторном выводе получаются прежние уравнения устойчивости плоской формы изгиба полос с той только разницей, что вместо жесткостей х ,3у ж С появятся Длл ,$упл И С ПА щ Почти во все расчетные формулы входит только наименьшая жесткость изгиба. Поэтому рассмотрим изгиб полосы прямоугольно го поперечного сечения при наличии пластических деформаций в плоскости наименьшей жесткости, например, (рис.3.1) или (3.18). Допустим, что диаграммы растяжения и сжатия материала одинаковы и заданы графически. Для простоты рассмотрим диаграмму растяже ния, обладающую участком идеальной пластичности. В этом случае было получено J245J : I 7Гг -1= Ъ (3.189) где Or - предел текучести,4 2 - изгибающий момент в плоскости наименьшей жесткости.
Графическая зависимость кривизны (3.189) от момента показана на (рис.3.24). Кривизна полосы с увеличением момента возрастает и обращается в бесконечность при
Следовательно, все сечение охватывается пластической деформацией, и эпюра напряжений в поперечном сечении полосы изобразится в виде двух прямоугольников. Несущая способность полосы будет исчерпана. В действительности кривизна бруса не может обратиться в бесконечность. Поэтому указанный случай следует рассматривать как предельный.
Аналогично предыдущему кривизну можно получить и для любого вида диаграммы растяжения (245] . Переходим к исследованию деформации полосы в условиях упруго-пластического кручения. Так как поперечным сечением полосы является прямоугольник, то при решении данной задачи возникают определенные трудности. Поэтому предельное значение крутящего момента определим следующим образом. Рассмотрим квадратное сечение. Допустим, все сечение охватывается пластической деформацией. Рассмотрим четвертую часть площади квадрата. Допустим, на этой площадке действует одно напряжение (рис.3.25). Итак, если потеря устойчивости полосы происходит за пределами упругости, то жесткость изгиба 5Я и С из третьей главы нужно заменить на жесткости (3.190) и (3.194) или (3.I9I) и (3.195).
Дифференциальным уравнением изогнутой оси полосы в плоскости наименьшей жесткости от поперечного нагружения является уравнение (3.54). Если в этой плоскости имеется и продольное нагружение, то дифференциальное уравнение примет следующий вид: -где jUyifXj- изгибающий момент в плоскости наименьшей жесткости от продольной нагрузки
1. Получены уравнения устойчивости стержней и полос посто янного и переменного поперечного сечения при сложном продольном и поперечном нагружении. Разработаны методики решения полученных уравнений с применением ЭВМ.
В результате этого определена область устойчивости стержней и полос при одновременном действии двух силовых факторов. Получены расчетные формулы. Определены пределы применимости этих формул.
2. Исследована плоская форма устойчивости вращающейся буриль ной колонны с учетом ее взаимодействия со стенками вертикальной скважины.
Получены формулы для определения длины полуволны, прижимающих сил и нормальных напряжений изгиба. Наибольшие нормальные напряжения изгиба, определяемые по формулам автора, получаются в два раза меньше таких же напряжений, определяемых по известной методике Г.М.Саркисова.
3. При исследовании устойчивости консольных стержней пере менного поперечного сечения найден новый подход к использованию энергетического метода. В данном случае уравнение изогнутой оси задается в виде полинома, включающего не только неопределенные коэффициенты, но и неопределенные показатели степеней.
Энергетический метод в данном случае позволил определить точные значения критической нагрузки при особом изменении поперечного сечения стержня и с учетом его собственного веса. Исследована устойчивость дымовых труб. Получены расчетные формулы. Определены пределы применимости этих формул.
