Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор современного состояния теории устой чивости упругопластических элементов конст рукций и методов расчета 8
1.1 .Этапы развития теории устойчивости. Современная кон цепция устойчивости 8
1.2. Неупругая устойчивость стержневых систем в условиях комбинированного нагружения 16
1.3. Практические методы расчета стержневых систем 21
1.4. МКЭ в задачах МДТТ 23
2. Основные уравнения для решения геометри чески и физически нелинейных задач стержне вых систем 30
2.1. Постановка задачи и основные уравнения метода конечных элементов 30
2.2. Решение нелинейных уравнений 39
2.3. Аппроксимация диаграммы деформирования 46
2.4. Описание алгоритма решения 48
2.5. Реализация теории бифуркации процесса нагружения в МКЭ 53
2.6. Метод разгружающих связей 55
3. Выпучивание, устойчивость и закритическое поведение упругопластических стержней 60
3.1. Линейно-упругие геометрически нелинейные задачи 60
3.2. Образование пластического шарнира 68
3.3. Выпучивание упругопластических стержней с начальны ми несовершенствами 70
3.4. Выпучивание стержней с локальными несовершенствами 83
4. Сложнопараметрическое нагружение стерж невых систем 94
4.1. Устойчивость при монотонном комбинированном нагру-жении стержней 94
4.2. Влияние немонотонного изменения возмущения на потерю устойчивости 110
4.3. Процессы нагружения пилона висячего моста 120
4.4. Устойчивость пилона при сложнопараметрическом на- гружении 124
Основные результаты и выводы 137
- Неупругая устойчивость стержневых систем в условиях комбинированного нагружения
- Решение нелинейных уравнений
- Образование пластического шарнира
- Влияние немонотонного изменения возмущения на потерю устойчивости
Введение к работе
Современное развитие строительства требует повышения эффективности проектируемых сооружений за счет снижения материалоемкости и улучшения строительных качеств конструкций. При этом широкое применение находят облегченные металлические конструкции.
Вопросы снижения материалоёмкости, улучшения технологичности конструкций и сооружений решаются, в частности, на основе использования в инженерной практике тонкостенных стержневых конструкций различного назначения. Несущая способность таких конструкций определяется критическими состояниями, возникающими вследствие потери устойчивости или достижения предельных нагрузок в области пластических деформаций.
Потеря устойчивости большинства металлических конструкций происходит в упругопластической стадии, причем, в целях снижения веса конструкций, пластические деформации осознанно допускаются или в ряде случаев просто неизбежны. Общепринятый метод расчета рамных конструкций состоит из двух этапов. На первом этапе рамы рассчитываются как линейно деформируемые системы, в которых определяют усилия во всех элементах, затем по найденным усилиям проверяют прочность и устойчивость отдельных стержней. В результате длительного применения этого метода выработаны различные уточнения, использование которых обеспечивает высокую эксплуатационную надежность рам.
В постановке задачи об устойчивости упругопластических систем важное место принадлежит учёту начальных несовершенств различного характера. При проектировании конструкций принято принимать её идеальную геометрическую форму за основную, как бы забывая о несовершенствах, и исследуя её на устойчивость под действием центрально приложенных внешних сил. Наличие в реальных конструкциях начальных не-
совершенств геометрического и конструктивного характера, а также действие поперечных нагрузок приводят к тому, что отдельные элементы уже в начальный момент нагружения находятся в сжато-изогнутом состоянии. Учёт наличия несовершенств, историй нагружения, выявление экстремальных условий нагружения, изучение закритической стадии работы позволяет более точно оценить запасы надежности и в конечном счете приводит к созданию сооружения наименьшего веса и экономии материала.
В настоящее время в области теории сооружений проводятся исследования по выявлению действительной работы конструкций. Совершенствование методов расчетов — важная составляющая повышения эффективности строительства. Решение задач устойчивости неупругих систем должно основываться на изучении процессов нагружения при различных историях их осуществления с учётом реальных свойств материала, геометрической нелинейности и начальных несовершенств, что составляет методологию современных исследований. Такой подход был реализован в трудах Тверской научной школы под руководством В.Г. Зубчанинова. Здесь была построена общая теория упругопластического выпучивания, устойчивости и закритического поведения упругопластических стержней, которая вошла в основу данной работы.
Цель работы - изучение закономерностей упругопластического деформирования стержневых систем в условиях комбинированного сложно-
параметрического нагружения с учетом геометрической нелинейности и реальных свойств материала.
В задачи работы входило:
анализ современного состояния исследований устойчивости стержней при упругопластических деформациях;
разработка алгоритма расчёта плоских стержневых систем с учетом геометрической и физической нелинейности в квази-
!
статической постановке;
численное исследование на ЭВМ устойчивости и закритиче-ского поведения упругопластических стержней с начальными несовершенствами;
изучение влияния истории нагружения на упругопластическое деформирование сжато-изогнутых стержневых систем;
разработка методики определения максимальной грузоподъемности плоских стержневых конструкций с учетом геометрической и физической нелинейностей, находящейся в условиях сложнопараметрического нагружения.
Научная новизна диссертационной работы:
на основе теории разгружающих и догружающих систем А.А. Ильюшина — В.Г. Зубчанинова предложен метод разгружающих связей для расчета стержневых систем на устойчивость;
разработан алгоритм статического расчёта плоских стержневых систем на действие силовых нагрузок и предварительного напряжения при произвольном комбинированном нагружении с учетом геометрической и физической нелинейности;
на основе численного исследования на ЭВМ получены новые
результаты по устойчивости плоских стержневых систем в ус
ловиях сложнопараметричекого упругопластического нагру
жения.
Основное содержание диссертации опубликовано в работах [46, 77, 102-112], в том числе в рецензируемых изданиях [46], доложено и обсуждено на:
ежегодном региональном межвузовском семинаре «Тверские
научные чтения в области механики деформированного твер
дого тела» под руководством д.т.н., профессора В.Г. Зубчани
нова (Тверь, 2005 - 2008 гг.);
VI международном научном симпозиуме «Современные проблемы пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела» (Тверь, 2006 г.);
7-ой межрегиональной специализированной выставке «Дорожное хозяйство и транспорт» (Тверь, 2006 г.);
VII и VIII Международных научно-технических конференциях «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии» (Тула, 2006 - 2007 гг.);
Международной научно-практической интернет-конференции «Современные методы строительства автомобильных дорог и обеспечение безопасности движения» (Белгород, 2007 г.);
Международной научно-практической конференции «Наука и инновации в современном строительстве — 2007» (Санкт-Петербург, 2007 г.).
Автор выражает благодарность: своему научному руководителю — д.т.н С.Л. Субботину за формирование научных взглядов, обсуждение полученных результатов, внимание и ценные советы; д.т.н., профессору В.А. Миронову за постоянную поддержку и внимание, а также сотрудникам кафедры СМТУиП и ее заведующему д.т.н., профессору В.Г. Зубчани-нову за внимательное рассмотрение работы и объективную критику. За неоценимый вклад в работу, постановку задачи и плодотворные беседы автор сохраняет признательность своему первому научному руководителю к.т.н.
Е.В. Харичеву
Неупругая устойчивость стержневых систем в условиях комбинированного нагружения
Еще Т.Карман обращал внимание исследователей на то, что необратимость процесса деформирования за пределом упругости приводит к его зависимости от истории нагружения. Одной и той же внешней нагрузке могут соответствовать различные деформированные состояния тела. И наоборот, различные истории нагружения могут приводить к различным критическим нагрузкам [49, 56, 135, 147]. Возможность использования упрочнения материала за площадкой текучести впервые теоретически и экспериментально обосновали А.А.Ильюшин и В.Г.Зубчанинов [55, 60]. Если стержень работает в составе конструкции, то при его выпучивании происходит перераспределение внутренних усилий между элементами конструкции. В 1932 г. И.М.Рабинович [90] показал, что перераспределение усилий, вызванное выпучиванием не изменяет величины воспринимаемой стержнем нагрузки. Иначе ведут себя неупругие системы. Выпучивание сжатого стержня в конструкции за пределом упругости может происходить как при увеличении, так и при уменьшении передаваемой на него нагрузки даже при неизменных внешних силах, действующих на конструкцию. По предложению А.А.Ильюшина [60] в первом случае конструкция была названа догру- жающей для этого стержня, а во втором - разгружающей. Послебифуркационное поведение стержней в догружающих и разгружающих системах исследовано В.Г.Зубчаниновым в работах [44, 52, 54]. Показано, что в разгружающих системах критическое значение передаваемой на стержень нагрузки может быть значительно увеличено путем использования в процессе нагружения временных поддерживающих связей. В [54] этот важный научный и практический результат впервые подтвержден экспериментально. Наличие или отсутствие временных поддерживающих связей приводит к различным историям нагружения конструкции. Это привело к созданию нового инженерного метода упругопластической тренировки элементов конструкций с целью повышения их устойчивости и несущей способности [43, 50]. Дальнейшее развитие и экспериментальное обоснование эти идеи получили в выполненных под руководством В.Г.Зубчанинова научных исследованиях, в том числе для пластин и оболочек [21, 22, 56].
При исследовании разгружающих систем было обнаружено, что даже при одновременном достижении во всех элементах приведенно-модульных критических нагрузок, определенных для каждого элемента независимо от других, ни местной, ни, тем более, общей потери устойчивости всей конструкции не произойдет. Конструкция может воспринимать возрастающую нагрузку. Причина этого в разгружающем действии работающих совместно элементов конструкции. Эффект увеличения критических нагрузок в задачах упругопластической устойчивости элементов, работающих в разгружающих конструкциях, проявляется также в составных или слоистых элементах [45, 51], где для каждого слоя такого элемента все остальные слои играют роль разгружающей, или поддерживающей конструкции, причем поддержка уже носит постоянный, а не временный характер. Поведение составной стойки в некотором смысле аналогично работе стержня в догружающей либо в раз- гружающеи системе, поэтому в зависимости от сочетания слоев составной элемент по аналогии с [60] может быть как саморазгружающимся, так и самодогружающимся. Роль истории нагружения при этом выполняет компоновка слоев стержня. Исследованию влияния истории нагружения на выпучивание стержня при монотонных процессах нагружения посвящены работы [31, 32, 42, 65, 66]. В них рассматриваются возмущённые процессы неупругого де-формирования, когда роль возмущений играют поперечные перемещения или поперечные силы, возрастающие и убывающие в процессе сжатия стержня. В [65, 66] решалась задача об устойчивости процесса сжатия стержня в динамической постановке. Возмущающим фактором служила начальная скорость для поперечного перемещения. Автор считает, что при анализе возмущенного движения изменением внешней сжимающей силы по сравнению с нагрузкой, при которой начался изгиб можно пренебречь.
Процесс деформирования системы силами основного состояния считается неустойчивым в данный момент, если возмущенное движение в рассматриваемой окрестности расходится от невозмущенного. В такой постановке автор приходит к выводам: I) если при нагрузке, меньшей касательно-модульной, стержень получил искривление, то последующее нагружение полностью его ликвидирует; 2) при нагрузке, большей касательно-модульной, ничем не поддерживаемый стержень не может оставаться прямым. В [42] рассмотрена аналогичная задача в квазистатической постановке, но без ограничения на величину приращения сжимающей нагрузки после начала процесса изгиба стержня в условиях продолжающегося нагружения. Автор приходит к выводу, что если при некоторое значении силы, меньшем касательно-модульного значения, но большем значения, определяющего переход в пластическое состояние прямого стержня, он начал выпучиваться вследствие приложения малой возмущающей поперечной силы, действие которой прекращается раньше, чем сжимающая нагрузка достигнет касательно-модульного значения, то: а) при достаточно малом значении возмущающей силы и интервале её действия искривление стержня ликвидируется в процессе продолжающегося нагружения; 2) при недостаточно малом значении возмущающей силы и интервале её действия искривление не ликвидируется в процессе продолжающегося нагружения и стержень не возвращается к своей исходной прямолинейной форме. После снятия возмущения искривление сначала уменьшается, а после достижения сжимающей силой касательно-модульного значения увеличивается с ростом нагрузки.
Решение нелинейных уравнений
Теория устойчивости сжатых стержней берет свое начало с 1744 г. в трудах Л. Эйлера при рассмотрении задачи об изгибе консольного стержня [129]. В частном случае он получил величину сжимающей силы, действующей на прямой стержень, при которой возможна изогнутая форма равновесия. Ему принадлежит первое определение устойчивости, сформулированное для плавающего тела. Отсюда берет начало метод Эйлера, согласно которому вопрос об устойчивости исходного состояния заменяется вопросом о бифуркации форм равновесия. Критическая нагрузка определяется как наименьшее значение силы, при которой наряду с исходным невозмущенным состоянием равновесия существует смежное возмущенное состояние. В общем случае задача Эйлера сводится к отысканию собственных значений линейных однородных дифференциальных уравнений изгиба. Дальнейшее развитие теория устойчивости получила в трудах Ж. Ла-гранжа, получившего решение для различных условий закрепления, и установившего, что критической силе соответствует прямолинейная форма равновесия и только при увеличении силы стержень искривляется. Ему принадлежит более общее динамическое понятие устойчивости, связанное с движением системы около невозмущенного состояния равновесия [78]. Динамический метод Лагранжа позволил решать задачи для неконсерва- I тивных систем, в которых метод Эйлера приводил к ошибочным результатам [14]. Важный итог работ Эйлера и Лагранжа - замена задачи решения дифференциальных уравнений равновесия либо движения рассмотрением свойств этих уравнений, позволяющих судить об устойчивости равновесия или движения системы. Позднее этой задачей занимались А. Пуанкаре [89] и A.M. Ляпунов [71]. С развитием техники теория Эйлера получает широкое применение, однако возникает вопрос о применимости ее для коротких стержней. В 1845 г. Е. Ламарль установил границу применимости формулы Эйлера, предложив для стержней, теряющих устойчивости за пределами упругости, принять критические напряжения равными пределу текучести. Первой попыткой обобщить метод Эйлера на упругопластические системы принадлежит Ф. Энгессеру, который в 1889 г. предложил вместо модуля Юнга в формуле Эйлера использовать касательный модуль, соответствующий критическому напряжению [142].
После критики Ф.С. Ясинского, указавшего на необходимость учета разгрузки на выпуклой стороне стержня [131], касательный модуль был заменен Энгессером на приведенный [143]. Однако широкое признание приведенно-модульная теория получила в результате исследований Т. Кармана, подтвердивших ее экспериментами на коротких стержнях [148]. Заслуга Кармана в том, что он рассмотрел как задачу устойчивости продольного изгиба стержня при эксцентричном приложении силы и за критическую нагрузку принял предельную точку на диаграмме усилие - характерное перемещение [55]. Теория Энгессера-Кармана, являющаяся следствием распространения бифуркационной задачи Эйлера в упругопластическую область, стала на длительный срок основополагающей для исследования устойчивости элементов конструкций. В условиях необходимости исследования более сложных систем, чем стержень, получают развитие энергетические методы расчета на устойчивость (Брайан Г. [136], Ритц Б. [152], Тимошенко СП. [121]): Учение о свойствах потенциальной энергии упругих систем приводит к энергетическому критерию устойчивости — в состоянии устойчивого равновесия функция, выражающая потенциальную энергию системы, имеет наименьшее значение по сравнению с положением, несколько отклоненным от этого равновесного состояния. Удачной оказалась форма энергетического критерия Тимошенко, согласно которому наименьшая критическая сила находится из условия равенства работы внешних сил на перемещения вследствие выпучивания и приращения энергии деформаций. Важным этапом в разработке приближенных методов решения задач явилось появление нового вариационного метода Бубнова-Галеркина в 1915 г. [23,17]. Работы Роша [153], Хвалла [137, 138], Ежека [146], явились важным этапом в развитии теории устойчивости сжатоизогнутых упругопластиче-ских стержней. Использование упрощающих предположений позволило получить приближенные решения. Хваллом тщательно исследовалась устойчивость внецентренно сжатых стержней. Он получил результаты для различных видов сечений, значений гибкостей и эксцентриситета. Все вычисления выполнялись на действительной диаграмме сжатия строительной стали, что характеризует точность полученных результатов, по которым можно оценивать точность приближенных методов. Ежеку в своих работах на модели идеального упругопластического тела удалось получить замкнутое аналитическое решение только для стержней прямоугольного поперечного сечения. Он также разработал приближенный метод расчета, позволяющий установить влияние формы поперечного сечения. Приближенность метода заключена в аппроксимации изогнутой оси стержня синусоидой при соблюдении условий равновесия между внешними и внутренними силами только в среднем по длине сечении. Новый этап в теории устойчивости начинается с работ Ф. Шенли, опубликованных в 1946 г [154, 155].
Он обнаружил на идеализированной модели стержня что теория приведенного модуля соответствует лишь частному случаю нагружения упругопластической системы. Рассмотрев результаты опытов на продольный изгиб стержня, Шенли пришел к выводу, что касательно-модульная нагрузка есть та максимальная нагрузка, при которой идеальный стержень будет ещё оставаться прямым. При нагрузке, большей касательно-модульной, имеет место изгиб стержня в процессе продолжающегося нагружения с разгрузкой на выпуклой стороне стержня. При приближении нагрузки к приведенно-модульному значению прогиб стержня устремляется в бесконечность. В комментарии к этой работе, Карман указал [147], что его приведенно-модульная нагрузка является лишь оценкой границы устойчивых состояний процесса упругопластиче-ского деформирования, и отметил необходимость рассмотрения задач устойчивости за пределами упругости с позиций исследования процессов нагружения. Концепция Шенли для реальных стержней получила свое развитие в работах А. Пфлюгера, Ю.Н. Работнова, В.Д. Клюшникова, Я.Г. Пановко, Ю.Р. Лепика и других авторов [64, 70, 84, 91, 151]. Под влиянием работ Дуберга и Уайлдера [141], Ю.Н.Работнова [91], В.Д.Клюшникова [64] в 1950-е годы сложилось мнение, что для оценки устойчивости достаточно определить бифуркационную нагрузку. Причем касательно-модульная нагрузка дает нижнюю границу устойчивых состояний, а приведенно-модульная — верхнюю. Идея Шенли о влиянии истории нагружения на величину критической нагрузки в 60-х гг. XX столетия привела А.А. Ильюшина [60] и В.Г. Зубчанинова [44, 55, 58] к созданию теории устойчивости стержней, учитывающей взаимодействие последних с конструкцией при выпучивании. А.А.Ильюшин показал, что выпучивание сжатого стержня, работающего в составе конструкции малой жесткости, может сопровождаться как умень- шением нагрузки на стержень (разгружающая конструкция), так и увеличением (догружающая конструкция). В отличие от работы А.А.Ильюшина, В.Г.Зубчанинов провел анализ процесса послебифуркационного выпучивания стержней в разгружающих и догружающих системах произвольной жесткости и показал, что имеется целый спектр нагрузок бифуркации с устойчивым и неустойчивым послебифуркационным выпучиванием. В догружающей конструкции бифуркационная нагрузка может иметь любое значение между касательно-модульной и приведенно-модульной, а в разгружающей системе - также любое, но между приведенно-модульной и некоторой величиной, больше приведенно-модульной, но меньше нагрузки Эйлера для упругого стержня.
Образование пластического шарнира
Исследования устойчивости стержневых систем за пределом упругости представляет собой более трудную проблему, чем отдельных стержней. Даже в самых простых случаях нагружения, когда все внешние силы растут пропорционально одному параметру, в результате перераспределения усилий, обусловленного влиянием перемещений на схему нагружения, изменение внутренних усилий не будет пропорциональным. Возможно появление зон сложного нагружения и разгрузки. Кроме этого упругопласти-ческие системы характерны еще и тем, что имеют более широкий спектр возможных форм потери устойчивости. В многократно статически неопределимых стержневых системах общей ее потере устойчивости может предшествовать местная потеря устойчивость отдельных стержней. В соответствии с существующими отраслевыми нормами рамные конструкции рассчитываются как линейно деформируемые системы. Такое допущение в отдельных случаях оправдано, однако более полный учет действительных свойств рам позволит полностью учесть ресурсы несущей способности конструкции. Более строгие расчеты, выполненные на ЭВМ, выявили значительную неравнопрочность различных элементов рамы [28]. Одной из попыток разработки более совершенного метода явился метод предельного равновесия, теоретически обоснованный А.А. Гвоздевым в 1934 г. [25]. Однако, использование жесткопластического тела, пренебрежение влияния продольных сил и расчет по недеформированной схеме приводит к приближенной оценке работы рамы. В [29] Геммерлингом А.В. и Вельским Г.Е. приближенно определены области применимости различных методов расчета рам за пределом упругости. Так метод последовательного образования пластических шарниров при расчете по недеформированной схеме может быть вполне допустим для рам, имеющих стойки гибкостью 50-60. При большей гибкости расчет рекомендуется вести по деформированной схеме. При расчете элементов рам, которые находятся в условиях продольно-поперечного изгиба необходимо учитывать протяженность зон пластических деформаций по длине элемента, что полностью игнорируется при расчете но методу последовательного образования пластических шарниров. На это указывается в работах [11, 27, 28].
Задача расчета жесткопластических систем как задача линейного программирования была сформулирована Чирасом А.А. [127, 128]. Математическая модель задачи создана на основе энергетических теорем. Показано, что из всех полей пластических деформаций, удовлетворяющих условию совместности, моменту разрушения соответствует то поле, при котором энергия диссипации будет минимальна. Однако, решения, полученные автором, являются приближенными. В 1958 г. Геммерлингом А.В. был предложен общий метод расчета рам за пределом упругости [27, 28], основанный на модели двух расчетных сечений. Рамы рассматривались как единые геометрические и физические нелинейные системы. Метод позволяет учитывать влияние продольных сил и зон пластических деформаций по длине на деформированное состояние стержня. Здесь соединены две задачи - расчет на деформативность и прочность, а также на устойчивость. Автором сформулирован критерий неустойчивости упругопластических систем — критерий нулевой отпор-ности. Введение специальных характеристик жесткости системы позволяет выполнить расчет в той же форме, что и обычных систем. Понятие двух расчетных сечений оказалось применимым как к стержням, так и к стержневым системам. При расчетах учитываются действительные формы изогнутых осей и изменение жесткости по длине стержня. Реализация алгоритма метода рассчитана на использование ЭВМ. Фундаментальность исследований подтверждается экспериментальными результатами, обосновывающими теоретические положения созданной те- ории, а также применением ее в расчетной практике. К недостаткам следует отнести использование модели нелинейно-упругого тела и некоторые ограничения общей постановки. Следует отметить работу [82], в которой изложены методы расчета стальных конструкций и их элементов с учетом пластических деформаций, а также способы проектирования конструкций минимального веса. Приведены данные по устойчивости конструкций и их несущей способности при повторных загружениях. Производится сравнение норм проектирования стальных конструкций в разных странах. В настоящее время развитие расчетов стержневых систем на устойчивость происходит с использованием численных методов, и, в частности, метода конечных элементов [19, 94 и др.], как наиболее распространенного и наличием готовых прикладных пакетов, ориентированных на решение конкретного класса задач. Многие практически важные задачи механики деформируемого твердого тела не могут быть решены аналитически, например расчет систем, имеющих нерегулярную физическую структуру и сложную геометрическую конфигурацию. Для решения таких задач применяются численные методы. В конце 20-го века, благодаря развитию информатики и электронно-вычислительной техники, численные методы анализа напряженно-деформированного состояния конструкций стали изменяться коренным образом.
Адаптирование численных методов к вычислительной технике было весьма актуально, поскольку в настоящее время они составили единое целое в универсальных компьютерных пакетах программ, имеющих широкое применение. Эти методы сделали возможным решение задач теории упругости и пластичности для самых сложных физических и геометрических моделей. Расчетные комплексы с графическим представлением информации удобны для описания геометрических схем и физических свойств объектов [33, 94]. Наличие мощной компьютерной техники и специализированного программного обеспечения дает возможность решать практически любые задачи механики. Однако применяемые в таких программах численные методы дают результат, в достоверности которого нельзя быть точно уверенным и необходимо оценивать величину погрешности. Существуют различные подходы к численному решению задач механики деформируемого твердого тела [10, 38, 62, 86 и др.], однако не существует единого метода или численной схемы, эффективно решающего любую поставленную задачу. Среди многообразия численных методов можно выделить несколько, занявших ведущие места и широкое распространение: вариационные методы (Ритца, Галеркина и др.) [47, 53 и др.], метод конечных элементов (МКЭ) [37, 100, 117 и др.], метод конечных разностей (МКР) [99 и др.], метод граничных элементов (МГЭ) [8, 15], вариационно-разностный метод (ВРМ) [9, 98]. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и недостатки этих методов. В данной работе в качестве численного метода решения используется метод конечных элементов (МКЭ). МКЭ, по крайней мере, его принципы, известны уже с начала XX века, однако признание он получил лишь с развитием современных средств информатики, а в последнее десятилетие занял ведущее положение и широко применяется в виде готовых программ, где автоматизированы [24, 36] трудоемкие процессы формирования матрицы жесткости и дискретизации объекта исследования.
Влияние немонотонного изменения возмущения на потерю устойчивости
В процессе нагружения стрежня по траектории, изображенной на рис. 4.14 при величине сжимающей силы Pi = PQ большем Ps, прикладывается поперечная возмущающая нагрузка Р2, действие которой прекращается при Р\ = PQI меньшем касательно-модульной нагрузки Истории нагружения и кривые выпучивания стрежня из Д16Т, рассмотренного в п. 4.1, при различном амплитудном значении нагрузки Ро = Q представлены на рис. 4.15, 4.16 (Р0=830 Получено, что если при значении силы Рх = Р0 = 830 кН, меньшем касательно-модульного значения Pt = 1000.4 кН, но большем значения Ps = 828 кН, определяющего переход прямого стержня в пластическое состояние, стержень начал изгибаться вследствие приложенной возмущающей нагрузки Р2 (P2max = Q ), действие которой прекращается раньше чем сжимающая нагрузка Pi достигнет касательно-модульного значения Pt, то: а) для малой возмущающей нагрузки, удовлетворяющей условию О Q.061-Qs = 4.185 кН, получаемое стержнем искривление полностью ликвидируется в процессе продолжающегося нагружения, и он возвращается к своей прямолинейной форме, а после достижения сжимающей силой Р\ касательно-модульной нагрузки происходит резкий рост перемещении, причем кривая выпучивания совпадает с кривой для невозмущенного процесса; б) для возмущающей нагрузки, удовлетворяющей условию 0.061-Qs Q 0.\91-QS, получаемое стержнем искривление полностью не ликвидируется, после снятия возмущения искривление сначала уменьша ется, а после достижения сжимающей силой касательно-модульного зна чения увеличивается вместе с ростом нагрузки; в) для возмущения, стремящегося за границу пределов устойчивости (Q 0.191-Qs = 68.6 кН), искривление стержня будет неограниченно расти и он потеряет устойчивость. Полученные результаты полностью соответствуют выводам, полученным в [42] для идеализированной модели стойки и диаграммы материала с линейным упрочнением.
Из рис. 4.16 видно, что описанные процессы нагружения влияют на величину критической нагрузки. В табл. 4.3 представлены значения критических параметров выпучивания для описан- ных истории нагружения и величина падения критической нагрузки: Таким образом, выводы, полученные в п. 4.1 ограничены рассмотренными классами траекторий комбинированного нагружения. На рис. 4.17 — 4.18 представлены картины развития упругопластиче-ских зон для различных траекторий нагружения. Над верхним торцом выписаны нагрузки /} , Р2 и характерное перемещение / . Под нижним торцом приведены эпюры напряжений в среднем сечении. Жирный шрифт соответствует моменту потери устойчивости, условные обозначения зон представлены нарис. 3.17. Видно, что после полной пластичности от сжатия возмущение, действующее в виде поперечной нагрузки, приводит к образованию зоны разгрузки на выпуклой стороне стержня и росту прогиба. Снятие возмущения приводит к уменьшению прогиба, переходу выпуклой стороны стержня в пластичность от сжатия и образованию зоны разгрузки на вогнутой стороне стержня. Продолжение нагружения сжимающей нагрузкой приводит для случая малого возмущения к выпрямлению стержня и полной пластичности от сжатия (рис. 4.17). Дальнейшее картина развития упругопла-стических зон сходна с картиной для стержня с малыми значениями несовершенства (см. рис. 3.17, п. 3.3). В случае действия значительного возмущения продолжающее нагружение сжимающей нагрузкой не выпрямляет стержень (рис. 4.18). Происходит закрытие зоны разгрузки на вогнутой стороне и вновь образуется зона разгрузки на выпуклой стороне. Даль-нейшее развитие зон также схоже с рис. 3.17. Для исследования влияния характера докритического нагружения на величину критической нагрузки рассмотрена четырехзвенная траектория -рис. 4.19: сначала стержень нагружается поперечной нагрузкой до величины Р2 — 1.460О5, затем производится нагружение сжимающей нагрузкой до величины Р\ = QA4PS; после чего нагружение продолжается по Р\ до значений Pi = 0.64Р„ а по Р2 разгружается до нуля. На последнем этапе на-гружение ведется по Р\ до потери устойчивости. На рис. 4.20 представлена кривая выпучивания для этой программы нагружения.
Стержень потерял устойчивость при Р1т = 0.999, что на 25.5% меньше критической нагрузки для невозмущенного процесса nfm = 0.35. Из этого можно сделать вывод, что в общем случае величина критической нагрузки зависит от док-ритической истории нагружения стержней и в случае сложнопараметриче-ского нагружения запас устойчивости необходимо определять исходя из критической нагрузки для заданной программы нагружения. На рис. 4.21 представлены картины развития упругопластических зон. Над верхним торцом выписаны нагрузки Р{ , Р2 и характерное перемещение / . Под нижним торцом приведены эпюры напряжений в среднем сечении. Жирный шрифт соответствует моменту потери устойчивости, условные обозначения зон представлены на рис. 3.17. Видно, что снятие возмущения приводит к разгрузкам на выпуклой и вогнутой сторонах стержня и локализации активных пластических деформаций у оси. С приближением к критической точке пластические деформации выходят на вогнутую сторону вблизи торцов, однако в середине стержня активные пластические деформаций внутри сечения ограничены зонами разгрузки. За-критическое нагружение приводит к закрытию зон разгрузки от сжатия в середине стержня и образованию зон разгрузки у торцов. Основываясь на полученных результатах, можно предложить следующий алгоритм определения запаса устойчивости в условиях сложнопа- раметрического нагружения стержневых систем: 1) на первом этапе определяется область устойчивых состояний для случая пропорционального нагружения; 2) на втором этапе находится предельная программа нагружения для которой не будет происходить потери устойчивости. Для этого: намечается предельно возможная программа нагружения, находящаяся внутри полученной области устойчивых состояний; выполняется расчет по заданной программе. Если на всем этапе программы нагружения потери устойчивости не произошло, то возможен пересмотр программы нагружения с целью увеличения нагрузок; в противном случае нагрузки необходимо уменьшить. Исходя из полученной программы нагружения и определяется запас устойчивости.
