Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор современного состояния вопроса. цели работы и ее содержание 5
1.1. Этапы развития теории пластичности -
1.2. Теория упругопластических процессов. Гипотеза компланарности 13
1.3. Численные методы решения краевых задач 24
1.4. Заключение по разделу 1. Цели исследования и структура диссертационной работы 30
2. Метод конечных элементов в плоской краевой задаче теории упругопластических процессов 35
2.1. Основные уравнения метода конечных элементов в скоростях -
2.2. Аппроксимации функционалов пластичности и диаграммы деформирования 48
2.3. Пошаговый метод решения 56
2.4. Численная реализация алгоритма решения задачи на ЭВМ . 62
3. Процессы простого и сложного нагружения в условиях однородного НДС 68
3.1. Расчетная конечно-элементная схема -
3.2. Учет изменения границы пределов текучести при простом нагружении - разгружении 70
3.3. Оценка влияния учета изменения границы пределов текучести для двузвенных траекторий нагружения 81
3.4. Влияние повышения предела текучести на прямоугольной замкнутой траектории нагружения 92
4. Процессы сложного нагружения в условиях неоднородного НДС 103
4.1. Модельная задача -
4.2. Квадратная пластина при нагружении сосредоточенными силами в условиях плоского напряженного состояния 111
4.3. Влияние характера распределения нагрузки по поверхности контакта 124
Основные результаты и выводы 135
Библиографический список 137
Приложения 148
- Теория упругопластических процессов. Гипотеза компланарности
- Аппроксимации функционалов пластичности и диаграммы деформирования
- Оценка влияния учета изменения границы пределов текучести для двузвенных траекторий нагружения
- Квадратная пластина при нагружении сосредоточенными силами в условиях плоского напряженного состояния
Введение к работе
При решении краевых задач теории пластичности, в расчет должны закладываться физические соотношения, достоверно описывающие свойства материалов. В настоящее время имеется достаточное количество экспериментальных данных о свойствах материалов при сложном нагружении и их физически достоверное описание в рамках гипотезы компланарности А.А.Ильюшина с помощью функций пластичности В.Г.Зубчанинова. Для получения достоверных расчетных результатов при решении краевых задач при неупругих деформациях необходимо использовать численные методы решения. Здесь имеется ряд новых актуальных вопросов, которые нужно исследовать. В частности, это вопросы построения вычислительного алгоритма, использующего соотношения между напряжениями и деформациями в скоростях в соответствии с современной математической теорией упругопластических процессов, корректировка аппроксимаций функционалов пластичности для получения достоверных расчетных результатов.
В большинстве программных комплексов по расчету конструкций за пределом упругости не используется современная теория упругопластических процессов. Решение задач, в которых учитываются экспериментальные зависимости между напряжениями и деформациями при сложном нагружении, наталкивается на трудности, связанные с достоверным описанием таких зависимостей. Это представляет собой самостоятельную задачу теории пластичности даже в условиях однородного напряженно-деформированного состояния. При неоднородном НДС краевых задач на основе общих соотношений теории упругопластических процессов решено мало. Все это делает выбранную тему диссертации актуальной.
Теория упругопластических процессов. Гипотеза компланарности
Во второй половине 20-го столетия различные направления теории пластичности получили развитие в трудах А.А.Ильюшина, Д.Драккера, Р.Хилла, В.Прагера, В.В.Соколовского, Ю.И.Кадашевича, В.В.Новожилова, В.Д.Клюшникова, В.С.Ленского, А.М.Жукова, Б.Е.Победри, И.А.Кийко, А.С.Кравчука, Дао Зуй Бика, В.Г.Зубчанинова, В.И.Малого, А.А.Лебедева, Ю.Н.Шевченко, Л.А.Толоконникова, С.А.Христиановича, Е.И.Шемякина, Р.А.Васина, А.Ю.Ишлинского, Д.Д.Ивлева, В.С.Бондаря, Ю.Г.Коротких, А.А.Поздеева, П.В.Трусова, Н.Д.Тутышкина, Н.Н.Малинина, и других ученых. [84, 81, 87, 37, 153, 130, 92, 94, 103, 38, 99, 33, 48, 49, 74, 108, 140, 144-146, 91, 76-77, 22, 141, 118, 107, 12 и др.]
Толчком к этому послужила разработка А.А.Ильюшиным [83, 84, 86, 87, 81, 79] основ общей математической теории пластичности при сложном нагружении. Частный вариант этой теории на основе постулата изотропии А.А.Ильюшина [84, 79, 86] был назван теорией упругопластических процессов. Это был существенно новый этап в развитии теории пластичности в широком смысле этого слова. Векторное представление процессов деформирования, нагружения и определяющих соотношений связи напряжений с деформациями оказалось эффективным и геометрически ясным при описании сложных процессов нагружения, встречающихся в практике инженерных расчетов. Эта была другая конкретизированная форма общей математической теории пластичности, отличная от теории течения Мелана-Прагера [157, 158]. В теории процессов разложение полной деформации на упругую и пластическую составляющие не применяется, за исключением случаев простого нагружения - разгружения [48].
Основополагающей была работа А.А.Ильюшина [84], в которой были изложены основные положения общей теории пластичности при сложном нагружении сплошных сред (1954 г). Впервые для придания процессам деформирования и нагружения геометрической наглядности были введены понятия девиаторных пятимерных пространств деформаций Э$ и напряжений (75, траекторий векторов напряжений ст и деформаций Э, образа процесса нагружения (рис. 1.1.1).
Направляющие тензоры деформаций и напряжений приобрели смысл единичных векторов, связанных с траекториями деформирования и нагружения, а внутренние геометрические параметры последних (длина дуги, параметры кривизны и кручения) стали естественными характеристиками сложности процессов нагружения и деформирования. Были введены основные понятия теории процессов - простого и сложного нагружения [81, 48]. Был сформулирован основной закон теории упругопластических процессов - постулат изотропии [84, 79, 86], согласно которому образ процесса нагружения полностью определяется внутренней геометрией траектории деформации и инвариантен по отношению к преобразованиям отражения и вращения всего образа в
На его основе можно существенно сократить число экспериментов, постановка которых необходима для определения материальных функций (функционалов пластичности), входящих в определяющие соотношения. Одновременно с этим А.А.Ильюшиным был сформулирован принцип запаздывания [79, 86], согласно которому для описания напряженно-деформированного состояния в некоторый момент времени достаточно учитывать геометрию лишь конечного предшествующего участка траектории деформации, а не всю траекторию. Данный принцип отражает фундаментальное свойство материалов и дает эффективное средство анализа функционалов пластичности [81, 48]. В дальнейшем, постулат изотропии и принцип запаздывания были подтверждены экспериментальными исследованиями В.С.Ленского, А.М.Жукова, Л.С.Андреева и других авторов [104,105, 38, 3, 4 и др.]. Значительные теоретические и экспериментальные исследования были проведены в лаборатории механических испытаний каф. СМТУиП ТГТУ под руководством В.Г.Зубчанинова [74, 49, 64, 66, 46 и др.].
Теория упругопластических процессов А.А.Ильюшина и экспериментальное обоснование ее физической достоверности успешно развивались его учениками и последователями. Появление частных теорий пластичности на основе теории процессов началось для класса траекторий типа двузвенных ломаных [86, 20, 104], разработанной А.А. Ильюшиным, B.C. Ленским, Р.А. Васиным. Также были разработаны теории пластичности для траекторий малой кривизны - А.А.Ильюшиным [87], для траекторий средней кривизны - А.С. Кравчуком, В.И. Малым, Дао Зуй Биком [99, 108, 33], для траекторий малого кручения, локально-простых и квазипростых процессов - В.Г.Зубчаниновым [48, 49, 45].
В 1971 году А.А.Ильюшиным была выдвинута гипотеза компланарности [81, 48, 49] для связи между напряжениями и деформациями без уточнения функционалов пластичности. Согласно этой гипотезе три локальных вектора - вектор напряжений а, его приращение сіїз, и приращение вектора деформаций йЭ лежат в одной плоскости, совпадающей с соприкасающейся плоскостью Р\Р2 репера Френе, сопровождающего изображающую точку на траектории деформирования.
В векторной форме определяющее соотношение гипотезы компланарности в девиаторном пространстве деформаций имеет вид [81, 48]: где Эу , Sy - компоненты девиаторов деформаций и напряжений, о - модуль девиатора напряжений, s - длина дуги траектории деформации, dj - угол сближения в процессе упругопластического деформирования (угол между вектором напряжения и вектором скорости деформации) в девиаторном изображающем пространстве А.А.Ильюшина. Точкой обозначено дифференцирование по параметру прослеживания процесса (обобщенному времени). Функционалы процесса Р и N должны конкретизироваться на основе экспериментальных исследований и аппроксимируются функциями, достоверными для реализуемых траекторий нагружения и деформации [48, 49].
В 1982 г. В.Г.Зубчанинов [45] предложил теорию пластических процессов для траекторий малого кручения и произвольной кривизны (вторая гипотеза компланарности трех векторов о,р\,р2). Согласно этой теории предполагается, что вектор напряжений а лежит в соприкасающейся плоскости Р\Р2 и ПРИ кручении траектории, вектор а вместе с соприкасающейся плоскостью поворачивается вокруг р\ со скоростью Х2 В этом случае определяющие соотношения содержали уже три функционала пластичности. Для равного нулю кручения (%2-) определяющие соотношения гипотезы компланарности А.А.Ильюшина следовали из теории малого кручения В.Г.Зубчанинова как частный случай для плоских траекторий. Следует отметить, что гипотеза компланарности (1.2.1), (1.2.2) следует из более общих соотношений теории упругопластических процессов [48, 49], что впервые получил В.Г.Зубчанинов [45].
Аппроксимации функционалов пластичности и диаграммы деформирования
Проведенный выше анализ литературы, посвященный математической теории пластичности и методам численного решения задач МДТТ позволяет сделать следующие выводы:
Численное моделирование процессов упругопластического деформирования материалов и элементов конструкций является на сегодняшний день актуальной проблемой. Для решения задач теории упругопластических процессов целесообразно развитие экспериментально-расчетного подхода, основанного на использовании экспериментальных результатов и численного моделирования процессов деформирования. Для оценки достоверности численного моделирования имеется большой объем экспериментальных данных лабораторных испытаний образцов при различных условиях нагружения.
Таким образом, целью диссертационной работы является разработка методики решения плоских краевых задач теории упругопластических процессов при сложном нагружении на основе метода конечных элементов (МКЭ) при использовании определяющих соотношений гипотезы компланарности А.А. Ильюшина с экспериментально обоснованными аппроксимациями В.Г. Зубчанинова для функционалов пластичности. Построение вычислительного алгоритма, использующего соотношения между напряжениями и деформациями в скоростях, учет деформационного упрочнения материала и изменения предела текучести в процессе нагружения.
Научная новизна работы заключается в следующем: 1. Разработана методика алгоритмического описания функций пластичности в рамках гипотезы компланарности, которая дает расчетные результаты, согласующиеся с экспериментальными данными для процессов сложного нагружения, содержащих участки активного нагружения и разгрузки. 2. Предложен способ учета изменения предела текучести в аппроксимирующих функциях В.Г Зубчанинова для процессов сложного нагружения. 3. Дана оценка необходимости учета изменения предела текучести в зависимости от вида упругопластического процесса. 4. В задаче о сжатии квадратной пластины сосредоточенными силами, распределенной нагрузкой и нагрузкой, передаваемой через жесткий штамп, получены траектории напряжений и деформаций по различным вариантам рабочих теорий пластичности и дана оценка влияния сложного нагружения. Достоверность результатов обеспечена использованием строго математического аппарата и законов механики деформируемого твердого тела; применением в расчетном алгоритме традиционных вычислительных схем, хорошо зарекомендовавших себя в решении задач подобного рода; использованием данных экспериментов, полученных на расчетно-экспериментальном комплексе СН-ЭВМ в Тверском государственном техническом университете в лаборатории механических испытаний кафедры СМТУиП. Полученные для рассматриваемых задач расчетные результаты с достаточной точностью соответствуют известным экспериментальным результатам и теоретическим решениям. Практическое значение работы. Разработана методика расчета, которая позволяет на основе современной теории упругопластических процессов достоверно моделировать процесс деформирования элементов конструкций, работающих в условиях плоского напряженного состояния при сложном нагружении. Внедрение результатов. Полученные в работе результаты используются в учебном процессе при подготовке магистров техники и технологии по специальности «Теория и проектирование зданий и сооружений» в Тверском государственном техническом университете. Приведенные в диссертации расчетно-теоретические исследования напряженно-деформированного состояния пластины, под действием нагрузки в ее плоскости, внедрены в практику проектирования архитектурно-строительного отдела ОАО «Стройиндустрияпроект» и используются для оценки достоверности результатов, получаемых на существующих программных комплексах по расчету конструкций, не учитывающих сложное нагружение. Структура диссертационной работы: диссертация состоит из 4 разделов, введения, заключения, содержащего основные результаты и выводы, и списка литературы. Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы и определяются основные направления исследования. В первом разделе дается краткий обзор исторического развития и современного состояния математической теории пластичности и методов решения задач, формулируются основные цели диссертационной работы. В связи с тематикой работы основное внимание в обзоре уделяется теории упругопластических процессов и методам решения краевых задач теории пластичности. Отдельно рассмотрен выбранный численный метод решения -метод конечных элементов.
Во втором разделе для случая плоского напряженного состояния рассматриваются основные уравнения краевых задач теории упругопластических процессов с позиций МКЭ с учетом сложного нагружения в рамках гипотезы компланарности, приводится система разрешающих уравнений метода конечных элементов в скоростях и ее пошаговый метод решения. Описаны аппроксимации функционалов пластичности, используемые при решении упругопластических задач, и несколько вариантов аппроксимаций диаграммы деформирования при простом нагружении на основе экспериментальных данных. Учтена возможность изменения величины предела текучести (пропорциональности) в пространстве напряжений при сложном нагружении. Приводится описание алгоритма и составленного на его основе программного комплекса для пошагового расчета краевых упругопластических задач МКЭ. Главные особенности используемого алгоритма для численной реализации на ЭВМ наглядно описаны на примере одного треугольного конечного элемента.
Оценка влияния учета изменения границы пределов текучести для двузвенных траекторий нагружения
Полная система уравнений метода конечных элементов в скоростях состоит из уравнений (2.1.24), (2.1.8), (2.1.13). В основе разработанного алгоритма численного решения упругопластических краевых задач МКЭ лежит вычисление значений векторов перемещений, деформаций и напряжений, которое осуществляется методом «Эйлера-Коши» по одношаговой вычислительной схеме «прогноз-коррекция» [125]. За параметр прослеживания принимается обобщенное время t, монотонно возрастающее в процессе нагружения. Начальные значения скоростей деформаций и напряжений вычисляются из решения линейно-упругой задачи теории упругости при нулевой нагрузке. Затем делается малый шаг по обобщенному времени At, решается система уравнений вида (2.1.24) для всей конечно-элементной расчетной схемы и находится прогноз вектора скоростей узловых перемещений [U \ , прогноз вектора скоростей деформаций [є] по (2.1.8) и прогноз вектора скоростей напряжений [б] по (2.1.13). Затем находятся прогнозируемые значения векторов перемещений, деформаций и напряжений на данном шаге: Значения функционалов пластичности N и Р на каждом шаге находятся и корректируются в зависимости от достигнутого напряженно-деформируемого состояния в каждом конечном элементе. Далее выполняется коррекция и снова решается система уравнений (2.1.24) и находятся скорректированные значения вектора скоростей узловых перемещений кор , вектора скоростей деформаций [ є ] кор и вектора скоростей напряжении [ о ](кор) по формулам (2.1.8) и (2.1.13) соответственно. Затем выполняется коррекция векторов перемещений, деформаций и напряжений: Таким образом, решение системы уравнений (2.1.24) дает скорости перемещений узлов сетки конечных элементов. По найденным скоростям перемещений в каждом узле определяются перемещения по формуле (2.3.4), скорости деформации по формуле (2.1.8), деформации конечного элемента по формуле (2.3.5), скорости напряжений по формуле (2.1.3) и напряжения по формуле (2.3.6). После этого делается следующий шаг. Сходимость вычислительного процесса обеспечивается малым шагом по обобщенному времени At. Алгоритм расчетного ядра, после дискретизации рассматриваемой области совокупностью конечных элементов, нумерации узлов и элементов сетки КЗ, можно представить в следующем виде: Нулевой шаг - решение линейно-упругой задачи теории упругости при нулевой нагрузке. На этом этапе определяются начальные значения скоростей перемещений, деформаций и напряжений. Шаг по параметру прослеживания (обобщенному времени) t разделен на несколько этапов: 1. Прогноз. 1.1. Вычисление значений геометрической матрицы В. 1.2. В зависимости от достигнутого напряженно-деформированного состояния в каждом КЭ из аппроксимации диаграммы деформирования определяются значения модулей сдвига Gp и G . 1.3. Вычисляется косинус угла сближения cosOj и зависящие от него функционалы процесса Р и N для каждого КЭ. 1.4. Вычисляются упругопластические характеристики - компоненты матрицы D. 1.5. Формирование матриц жесткостей КЭ элементов и построение глобальной матрицы жесткости [к] системы алгебраических уравнений и вектора скоростей узловых сил [Р\. Вычисление глобальной матрицы жесткости производится методом непосредственного сложения жесткостей. Получаемая матрица жесткости является вырожденной, поскольку часть уравнений оказываются взаимно зависимыми.
1.6. Учет граничных условий, при котором происходит корректировка глобальной матрицы жесткости [к], что приводит к невырожденной системе алгебраических уравнений. 1.7. Решение системы линейных уравнений [к]\u\= [Р\ методом Гаусса, определение прогноза вектора скоростей перемещений [ U \ . 1.8. Определение прогноза векторов скоростей деформаций [є] и напряжений [с]. 1.9. Определение прогноза векторов перемещений [и], деформаций [ є ] и напряжений [ ст ] методом Эйлера-Коши. 2. Коррекция. Выполняется аналогично прогнозу, при вычислении угла сближения используются значения векторов напряжений и скоростей деформаций, полученные при прогнозе. 3. Повторная коррекция. Выполняется аналогично прогнозу, при вычислении угла сближения используются значения векторов напряжений и скоростей деформаций, используемые при коррекции. Таким образом, значения функционалов пластичности N я Р яа каждом шаге находятся и корректируются в зависимости от достигнутого напряженно деформируемого состояния в каждом конечном элементе. Переход к следующему шагу. Полученные на данном шаге значения векторов перемещений, деформаций, напряжений и их скоростей являются начальными значениями для следующего шага. Окончание расчета происходит при достижении параметром прослеживания t задаваемого конечного значения tK0H, т.е. при достижении внешней нагрузкой конечного значения. Для реализации вышеописанного алгоритма в среде программирования Visual Basic 6.5 был разработан программный комплекс FEMvs для пошагового расчета краевых упругопластических задач методом конечных элементов [136]. Программный комплекс можно условно разделить на три подпрограммы: предпроцессор, расчетное ядро и постпроцессор. Предпроцессорная часть является сервисной программой, ее функция -генерация сетки конечных элементов. Она предполагает ввод координат узлов, локальной и глобальной нумерации конечных элементов, задание закреплений узлов, скоростей узловых нагрузок, траектории нагружения, аппроксимации диаграммы простого нагружения материала и других сопутствующих данных в память компьютера. КЭ сетка генерируется автоматически с разбиением тела равномерной сеткой треугольных конечных элементов. Выходными данными предпроцессора является промежуточный файл, содержащий информацию о расчетной модели, материале и программе нагружения.
Квадратная пластина при нагружении сосредоточенными силами в условиях плоского напряженного состояния
Сопоставление полученных результатов с данными эксперимента В.Г.Зубчанинова, Н.Л.Охлопкова, В.В.Гараникова [74], проведенного на базе лаборатории кафедры СМТУиП Тверского государственного технического университета на автоматизированном расчетно-экспериментальном комплексе СН-ЭВМ [49, 74] (точки 2 на рис 3.4.3, 3.4.7; точки 5 на рис 3.4.2), показывает, что неучет упрочнения материала в аппроксимации диаграммы деформирования по формулам (2.2.8), (2.2.9) путем изменения предела текучести, не дает достоверных результатов для процессов активного нагружения после сложной разгрузки (линия 3 на рис. 3.4.2, звено 5-6 на рис. 3.4.3).
Экспериментальные данные [74] хорошо согласуются со звеном 5-6 траектории деформирования, полученной с учетом увеличения предела текучести (рис.3.4.7). Для остальных звеньев данной программы нагружения, различий в откликах в пространстве деформаций, диаграммах деформирования (рис. 3.4.2) и расхождения с экспериментом практически нет. Такое поведение материала связано с теми упругопластическими процессами, которые происходят на каждом участке траектории нагружения: звено 0-1 - простое активное нагружение; звено 1-2 - сложное активное нагружение, стремящееся к локально-простому процессу (в смысле В.Г.Зубчанинова [48, 49]), угол Sj 90; звено 2-3 - сложная разгрузка (угол 31 уменьшается от начального значения, большего 90, до значения, приблизительно равного 90; звено 3-4 - локально простая разгрузка (&j «180); звено 4-5 - локально простое активное нагружение (Э] » 0); звено 5-6 - сложное активное нагружение (аналогичное звену 1-2), для которого - const до тех пор, пока не будет достигнут действительный предел текучести материала о"д. Сопоставление расчетных результатов с экспериментальными данными показывает, что если после участков разгрузки имеются участки активного упругопластического нагружения (участок 5-6 на рис. 3.4.1), то в расчете для этих участков нужно учитывать изменение предела текучести. Если таких участков нет, то изменение предела текучести в аппроксимирующих функциях В.Г. Зубчанинова (2.2.1) можно не учитывать (участки 0-1-2-3-4-5 нарис. 3.4.1).
Для данной программы нагружения было проведено сравнение результатов расчета с учетом увеличения предела текучести по различным рабочим теориям пластичности. Для диаграммы из прямолинейных участков с дугой эллипса по (2.2.8), (2.2.9) расчет был выполнен по трем теориям: теории упругопластических процессов, деформационной теории пластичности и теории пластического течения с изотропным упрочнением. Значения функционалов пластичности для этих теорий описаны в пункте 2.2 диссертации. В деформационной теории пластичности была принята модель нелинейно-упругого материала. Активный процесс нагружения и разгрузка шли по универсальной диаграмме простого нагружения ст = Ф(Э). При таком расчете, результат в каждой точке сложного процесса, не отличается от расчета по лучу простого нагружения в данную точку процесса. Следовательно, различие откликов по теории упругопластических процессов и теории течения с изотропным упрочнением от деформационной теории, будет показывать влияние сложного нагружения.
На рис. 3.4.11 приведены расчетные отклики в пространстве деформаций для трех рабочих теорий пластичности и расчетные глобальные диаграммы деформирования. Как видно из рисунка 3.4.11а, полученные отклики по теории упругопластических процессов (кривая 1) и теории течения с изотропным упрочнением (кривая 3) качественно имеют схожий вид. Однако теория течения упругопластических процессов лучше согласуется с результатом эксперимента [74] (точки 4 на рис. 3.4.11а). Деформационная теория пластичности (кривая 2 на рис. 3.4.11) дает расчетный результат, противоречащий данным опыта [74].
Ввиду симметрии можно рассмотреть четверть схемы (рис. 4.1.16). В этом случае легко получить аналитическое решение задачи, удобное для анализа.
Неизвестными являются вертикальные перемещения V\ и Vi узлов 1 и 2 соответственно. Деформации, напряжения и узловые силы находятся по формулам, приведенным в пункте 2.1 данной диссертации.
