Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Линейные задачи 34
1. Исследование напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки с начальными несовершенствами формы при неравномерном статическом нагружении 34
2. Исследование напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки с начальными несовершенствами формы при динамическом нагружении 47
3. Исследование напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки с начальными несовершенствами формы при свободных колебаниях , 54
4. Численное исследование сходимости метода И.Г. Бубнова 57
Глава II. Нелинейное деформирование и устойчивость гибкой цилиндрической оболочки с учетом начальных несовершенств при неравномерном нагружении 61
1. Применение метода ИХ. Бубнова 62
2. Решение системы нелинейных алгебраических уравнений 69
3. Обоснование достоверности результатов 73
4. Механические эффекты 82
Выводы по главе 113
Глава III. Динамическая потеря устойчивости гибкой цилиндрической оболочки с учетом начальных несовершенств при неравномерном нагружении 115
1. Динамическая потеря устойчивости оболочки при действии прямоугольного импульса бесконечной продолжительности 116
2. Свободные колебания 140
3. Динамическая потеря устойчивости оболочки при действии прямоугольного импульса конечной продолжительности 147
Выводы по главе 151
Глава IV. Исследование устойчивости несовершенной гибкой цилиндрической оболочки при неравномерном статическом нагружении с использованием уравнений в вариациях 153
Выводы по главе 162
Основные результаты и выводы по диссертации 163
Литература
- Исследование напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки с начальными несовершенствами формы при динамическом нагружении
- Исследование напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки с начальными несовершенствами формы при свободных колебаниях
- Решение системы нелинейных алгебраических уравнений
- Динамическая потеря устойчивости оболочки при действии прямоугольного импульса конечной продолжительности
Исследование напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки с начальными несовершенствами формы при динамическом нагружении
Большой обзор работ зарубежных авторов в этом направление дан в [87]. Среди работ отечественных авторов отметим работу В.И. Бастина, И.Ф. Ларионова, A.M. Тонконоженко [15], в которой рассматривается возможность вероятностной оценки несущей способности конструкций оболочечного типа под внутренним давлением, определяются возможные значения разрушающей нагрузки в пределах партии изделий с учетом наличия микродефектов.
В статье В.А. Ильина, Н.П. Овчарова, А.А. Сукалло [45] с помощью теории статистической регрессии исследуется зависимость критической нагрузки тонкостенных цилиндрических оболочек при осевом сжатии от параметров начальных несовершенств и приведены результаты прогнозирования критической нагрузки для серии испытанных оболочек.
В кандидатской диссертации А.Д. Горшкова [34], выполненной под руководством А.П. Филина, предложена вероятностная модель, описывающая несовершенства геометрической формы и материала элементов конструкций, базирующаяся на основе линейных уравнений. Разработан алгоритм реализации этой модели на основе метода конечных элементов, разработаны модели конечных элементов для расчета оболочек вращения с осесимметричными несовершенствами. В качестве тестовых примеров рассмотрены: круговая цилиндрическая оболочка с одним свободным и другим заделанным торцами под действием радиальной нагрузки на свободном конце; свободно опертая на обоих торцах круговая цилиндрическая оболочка под действием радиального давления. Исходными величинами являются вероятностные характеристики рассматриваемых несовершенств, например, математическое ожидание, дисперсия, функция плотности вероятности. По ним определяются вероятностные характеристики усилий и напряжений в конструкциях. Программный комплекс был разработан и успешно внедрен на промышленном предприятии для расчета НДС сильфонных компенсаторов. Главным препятствием для успешного распространения вероятностного подхода является отсутствие обширного банка данных о начальных прогибах, характерных для различных способов производства, а также большое компьютерное время необходимое для полного анализа нелинейного докритического состояния и несущей способности конструкции.
Поэтому большинство исследований устойчивости конструкций с несовершенствами формы ограничивается выявлением наиболее опасных для конструкции несовершенств, наиболее сильно сказывающихся на статической и динамической устойчивости. Для этих несовершенств определяются величины изменения статической и динамической критических нагрузок, собственных частот колебаний конструкции, областей динамической неустойчивости.
Этот подход к проблеме, как и вероятностный, нуждается в точных и эффективных аналитических и численных методах решения нелинейных задач статики и динамики. На сегодняшний день, математические методы, позволяющие исследовать нелинейные дифференциальные уравнения и получать аналитически точные решения, еще недостаточно разработаны. Поэтому ограничиваются получением приближенных аналитических решений или приближенных численных решений.
В обоих случаях, от нелинейных систем уравнений с распределенными параметрами переходят к системам с сосредоточенными параметрами. То есть, реальный оболочечный объект заменяют идеализированной дискретной физической моделью, такой, которая достаточно правильно отображала бы статические или динамические свойства исходного объекта и, в то же время, была бы в математическом отношении значительно проще его. Чаще других для сведения нелинейных распределенных систем к сосредоточенным моделям применяется методы Ритца, Бубнова - Галеркина, метод коллокаций, метод разложения решения по собственным формам порождающей линейной системы и некоторые другие. Далее, к системам с сосредоточенными параметрами применяются различные асимптотические методы для получения приближенных аналитических решений или численные методы решения нелинейных систем, иногда используют комбинации первых и вторых методов.
При учете в уравнениях начальных несовершенств формы также используются разные способы, первый - рассмотрение начальных несовершенств в составе полного прогиба, второй - учет начальной погиби через измененную кривизну.
Этапы становления и развития нелинейной теории оболочек, обзоры по методам решения статических и динамических задач, различные подходы к учету начальных несовершенств формы представлены в книгах и статьях А.С. Вольмира [24-27], И.И. Воровича [29, 30], Э.И. Григолюка и В.В. Кабанова [37], Я.М. Григоренко [38] , Х.М. Муштари и К.З. Галимова [79], Л.С. Срубщика [93], А.П. Филина [101]. Обзор зарубежных работ представлен в статьях, входящих в сборник [87], а также в [4, 20]. В последние годы появилось много обзоров, посвященных современному состоянию проблемы нелинейного деформирования цилиндрических оболочек, например обзоры Г.Д. Гавриленко и Дж. Г. А. Кролла [31, 64], Я.М. Григоренко и В.И. Гуляева [39], В.Д. Кубенко и П.С. Ковальчука [69], В.В. Пикуля [84], А.В. Погорелова и В.И. Бабенко [86], В.К. Иноземцева и Н.Ф. Синевой [46].
Рассмотрим некоторые работы, посвященные статической и динамической устойчивости несовершенных цилиндрических оболочек.
В задачах статической устойчивости можно выделить два основных направления. Первое - это определение критических нагрузок и оценка несущей способности конструкций при задании некоторых определенных начальных несовершенств. Второе - это разработка методов расчета, позволяющих достаточно точно прогнозировать критические нагрузки, имея минимальную информацию о начальных прогибах.
Исследование напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки с начальными несовершенствами формы при свободных колебаниях
Приведем некоторые численные результаты. Исследовались вынужденные колебания оболочки при нагружении прямоугольным импульсом неравномерного внешнего давления бесконечной и конечной продолжительности. Рассмотрим сначала идеальную оболочку (w0=0), находящуюся под воздействием бесконечного импульса внешней нагрузки. На Рис. 1.9 показано влияние демпфирования среды. Колебание оболочки совершается возле прогиба оболочки, полученного при решении задачи статики. При 40 методом установления получаем статическое решение при t 0.1. На Рис. 1.10 и 1.11 построены зависимости прогиба от времени при различных Л п Ку. На Рис. 1.12 построены графики w при различных Т9 где Т - продолжительность действия импульса. Кривая 1 - при Т = 0.5, 2 - при Т = 0.05, 3 - при Т = 0.11. Результаты, приведенные на Рис. 1.9-1.12, получены при qx = 0.02.
Рассмотрим колебания идеальной и несовершенных оболочек при одинаковых нагрузках и размерах площадки нагружения. Рассмотрены несовершенства вида а), Ь), с), описанные в 1 данной главы (Рис. 1.13, 1.14). Рассматривались колебания точек, в которых прогиб максимален при заданных размерах площадки нагружения (Таблица 1.1). Нагрузка qx задавалась равной 0,005, чтобы прогибы не превышали допустимых значений. Для всех рассмотренных случаев Л = 1,5; Ку=1\ 2,5; /? = 0,2; v = 0,3; N = 4; М = 12.
Колебания оболочки совершаются возле прогиба, близкого к прогибу оболочки в задаче статики. Зависимости w в точке с максимальным прогибом для идеальной и рассмотренных несовершенных оболочек близки. Таким образом, можно сделать вывод о том, что поведение оболочки при малых нагрузках, когда прогибы не превышают четверти толщины оболочки, мало зависят от формы начальных несовершенств в оболочке.
Объект исследования тот же. Оболочка нагружается статическим неравномерным внешним давлением. Под действием такой нагрузки поверхность оболочки получает некоторые перемещения. Исследуем колебания оболочки после снятия приложенной нагрузки.
Для исследования свободных колебаний оболочки в линейной постановке воспользуемся системой дифференциальных уравнений движения (1.16), считая нагрузку равной нулю:
К системе (1.27) применим метод И.Г. Бубнова. Решение ищем в виде (1.21). Начальный прогиб задаем в виде (1.10). Проводя преобразования, аналогичные преобразованиям в 1, 2, и используя обозначения (1.12) - (1.14), получим систему дифференциальных уравнений относительно неизвестных A z (t), Bvz (t):
Реальная цилиндрическая оболочка представляет собой систему с бесконечно большим числом степеней свободы. Между тем, пользуясь методом И.Г. Бубнова, мы вводим конечное число варьируемых параметров при аппроксимации прогиба w и функции напряжений Ф в форме (1.9) или (1.21): (w90) = \Ay(t)9By(t)jsinifixcosjy. Это ограничивает число степеней свободы системы, накладывая на нее лишние связи, что приводит к расхождению с точным решением.
Однако, достоинством метода И.Г. Бубнова является то, что увеличивая число варьируемых параметров А 9 Bvz, мы можем сколь угодно близко подойти к точному решению. Современные вычислительные средства позволяют решать рассматриваемые задачи в высших приближениях, что обеспечивает достаточную точность метода. Теоретические вопросы исследования сходимости метода И.Г. Бубнова рассмотрены в [77]. Обратимся к численному исследованию сходимости метода И.Г. Бубнова. Зафиксируем N-\ и начнем последовательно перебирать значения М = 1; 2; 3;.... Построим графики прогиб-нагрузка в линейной задаче динамики при различных Л/. Исследовать сходимость по окружной координате будем для разных значений кривизны оболочки Ку. По Рис. 1.16 - 1.18 видно, что графики при М = 10 и Л/= 12 близки друг к другу, а, начиная с М = 12, начинают совпадать.
Зафиксируем М = 12 и начнем перебирать значения Лґ = 1;2;3.... По продольной координате исследовать сходимость будем для разных значений безразмерной длины оболочки я. По графикам 1.19 - 1.21 видно, что для сходимости достаточно задавать N = 4.
Решение системы нелинейных алгебраических уравнений
Рассмотрим систему 2N(M +1) нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов Ад, Btj с параметром qx (2.11), полученную в предыдущем параграфе. Запишем ее в виде: F(X) = 0, (2.12) где X — вектор неизвестных. Среди методов решения таких систем наилучшей сходимостью обладает итерационный процесс Ньютона: XiM)=X{k)-J-xF(xw). (2.13) Здесь через Х{к) обозначено -ое приближение к решению, через J - матрица dXj Якоби системы уравнений (2 Л 2), вычисленная при X = Xw: J Формула (2.13) метода непосредственно указывает на условия, необходимые для реализации процесса Ньютона: - возможность построения матрицы Якоби J системы уравнений (2.12), - обратимость, то есть неособенность J, - наличие некоторого начального приближения Х(0\ «близкого» к точному решению.
Наличие аналитических выражений (2.11) для функции F позволяет точно вычислять матрицу Якоби, не прибегая к замене частных производных разностными отношениями. Обращение матрицы Якоби выполняется с помощью стандартных алгоритмов линейной алгебры.
Признаком первой критической точки при использовании метода Ньютона является условие равенства нулю якобиана системы: det/ = 0. Одним из способов, дающих возможность строить кривую деформирования также вблизи критической точки и в закритической области, является добавление к системе дополнительного уравнения. Этот искусственный прием обеспечивает неравенство нулю якобиана. К системе (2.11) было добавлено уравнение последовательности определяемые методом Ньютона, начинающимся с заданного Х{0\ лежат в S с Л/; последовательность (х( }) имеет предел Jf є5, служащий решением уравнения JF(AT) = 0; справедлива оценка погрешности
Фактором, осложняющим применение метода Ньютона к решению п-мерных систем, является необходимость решения п-мерных линейных задач на каждой итерации (обращение матрицы Якоби), вычислительные затраты на которые растут с ростом п, вообще говоря, непропорционально быстро. Уменьшение таких затрат - одно из направлений модификации метода Ньютона [22]: Если матрицу Якоби F\X) вычислить и обратить лишь один раз - в начальной точке то от метода Ньютона придем к модифицированному методу Ньютона
Этот метод требует значительно меньших вычислительных затрат на один итерационный шаг, но итераций при этом может потребоваться значительно больше для достижения заданной точности по сравнению с основным методом Ньютона, поскольку, являясь частным случаем метода простых итераций, он имеет лишь скорость сходимости геометрической прогрессии. Приведем теорему, задающую условия сходимости модифицированного метода Ньютона [22]
Компромиссный вариант между основным и модифицированным методом Ньютона - это вычисление и обращение матрицы Якоби не на каждом итерационном шаге, а через несколько шагов.
Многие утверждения о сходимости метода Ньютона опираются на работы Л.В. Канторовича, перенесшего метод Ньютона на нелинейные операторные уравнения в банаховых пространствах, в связи с чем, и метод в таком общем случае называют методом Ньютона-Канторовича.
С целью уменьшения затрат машинного времени метод Ньютона используется при расчетах в модифицированном варианте (2.15), с сохранением матрицы Якоби неизменной в течение нескольких итераций. А именно, вычисляется матрица Якоби при задании нового значения параметра w, сохраняется в течение трех итераций, если еще не достигнута требуемая точность, то далее происходит пересчет матрицы на каждой последующей итерации. Вычисление неизвестных Aij9 Btj, q} производилось с относительной погрешностью равной 0,05. Для достижения требуемой точности требовалось, в среднем, 3-4 итерации, а вблизи критических точек - 5-6 итераций. 3. Обоснование достоверности результатов
Для того, чтобы убедиться в достоверности получаемых результатов, рассмотрим решение данной задачи также и другими методами.
Широкое применение при решении нелинейных краевых задач теории оболочек нашел метод последовательных нагружений [83, 46, 65, 80]. Метод был разработан В.В. Петровым на основе идей, высказанных В.З. Власовым. В этом методе весь процесс решения строится из последовательных этапов, на каждом из которых решается линейная краевая задача для малой части нагрузки с учетом известных из предыдущего этапа внутренних усилий и деформаций. Такой подход позволяет линеаризовать исходные нелинейные дифференциальные уравнения и свести задачу к последовательному решению линейных задач.
Применим метод последовательных нагружений к исходной системе уравнений, записанной в безразмерном виде (2.3). В дальнейшем не используем «-» в обозначениях безразмерных величин.
Динамическая потеря устойчивости оболочки при действии прямоугольного импульса конечной продолжительности
Рассмотрим для каждого параметра а несовершенство, наиболее сильно снижающее критическую нагрузку, чтобы выявить границы изменения критической нагрузки при заранее известной максимальной стреле прогиба. Это несовершенство обозначено как k)w0 = є іпілх cos jy и строится в соответствии с требованиями, описанными в Главе И. То есть, і J и знак s{ а Идеальная оболочка Несовершенная оболочка Вид і) Виді) Видк) соответствуют max в разложении в ряд (1.9) формы потери устойчивости идеальной оболочки и берутся из Таблицы 2.3. Если в разложении (1.9) имеется , то нагрузка сильнее коэффициент Ад , по модулю близкий к max снижается при задании в несовершенстве k) w0 =,1sin ;zxcos jy большего из номеров jjx. Результаты расчетов приведены в Таблице 3.2. Для рассмотренных значений параметров Kv, v, X влияние несовершенств с максимальной амплитудой єх = 0,2 может понизить критическую нагрузку приблизительно на 16%. В случае нагружения оболочки по кольцу понижение составляет 21%.
Таким образом, зная только максимальную амплитуду возможных отклонений от идеальной формы и не зная закона распределения начальных несовершенств, можно прогнозировать величину возможного понижения критической нагрузки.
Рассмотрим колебания идеальной оболочки при различных нагрузках и формы волнообразования в оболочке в разные моменты времени. На Рис. 3.11, 3.12 представлены колебания идеальной оболочки при докритической и критической нагрузке, площадка нагружения имеет размеры х=1,3; р=0,2. Были рассмотрены формы изгиба оболочки на данном отрезке времени и выведены номера /,у, соответствующие max Л J в разложении этой формы в ряд (1.9). Коэффициент і = 1, значения j приведены на рисунках. Наибольшему отрезку времени соответствует у = 6. Что согласуется со статикой, где max AtJ в форме потери устойчивости оболочки с теми же а, р также соответствует у = 6. Отметим, что / 6, когда оболочка еще мало отклонена от исходного положения или возвращается к нему. Для других параметров а сохраняется преобладание коэффициента Afj, того же, что и в форме потери устойчивости в статике. Это еще раз подтверждает, что наибольший понижающий эффект и в статике, и в динамике окажут несовершенства с тем же числом волн по направляющей и образующей, что и в форме потери устойчивости идеальной оболочки. Формы изгиба в окружном направлении идеальной и несовершенной оболочек при qi=0,l Рис. ЗЛЗ Влияние начальных несовершенств вида е) на колебания оболочки. Ку=112,5; X—1,5; а=0,4; р=0,2; N=4; М=12; х=0,5; у=0
Формы изгиба в окружном направлении идеальной и несовершенной оболочек при qi=0?l Рис. 3.14 Влияние начальных несовершенств вида f) на колебания оболочки. Ку=112,5; А=1,5; х=1; [3=0,2; N=4; М=12; х=0,5; у=0,63 137 фарманач.ггогиби в сечении x=0,5 W -6.00 t 0.0 10.00 V Рис. 3.15 Влияние начальных несовершенств вида е) на колебания оболочки. Ку=112,5; Х=1,5; сН),8; (3=0,2; N-4; М=12; х=0,5; у=0,63 идеальная несовершенная (вид f)) форма нач. погиби в сечении х=0,5
Влияние начальных несовершенств вида f) на колебания оболочки. Ку=112,5; А=1,5; а=1,5; р=0,2; N=4; М=12; х=0,5; у=1,26 138 На Рис. 3.13-3.16 представлены зависимости w для идеальной и несовершенной оболочек в точке с максимальным положительным прогибом. Рассматривались несовершенства формы видов е)форма изгиба идеальной оболочки в статике при а = 0,3 ;/? = 0,2 ;#, =0,03; ґ)форма изгиба идеальной оболочки в статике при а = \ ;/? = 0,2; =0,06. Зависимости построены для докритической и закритической нагрузок. Размер площадки нагружения по координате у (параметр а) соответствует случаю максимального понижения (Рис. 3.13-3.14) или повышения (Рис. 3.15-3 Л 6) нагрузки для рассматриваемого несовершенства формы (Таблица 3.1). Приведены формы волнообразования оболочки в различные моменты времени в окружном направлении. Наиболее сильно формы изгиба идеальной и несовершенной оболочек отличаются при возвращении оболочки к исходному положению равновесия.
При определении динамических критических нагрузок был выявлен, также, еще один эффект, который оказывают начальные несовершенства формы на колебания оболочки. Рассмотрим переход идеальной цилиндрической оболочки от малых прогибов, отвечающим докритическим нагрузкам, к большим прогибам, соответствующих критической нагрузке. Можно ввести величину Aw - разницу между амплитудами прогибов при докритической и закритической нагрузке. Эффект состоит в следующем. Если некоторая начальная погибь при данных размерах площадки нагружения понижает критическую нагрузку, то она, также, будет уменьшать величину Aw, если же критическая нагрузка увеличивается, то увеличивается и Aw. На Рис. 3.17 показано как изменяют величину Aw по сравнению с идеальной оболочкой противоположные несовершенства i) w0 = -0,8х(х -1) cos 6 у и
