Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Аналитические и численные методы исследования состояния в пластической области вершины трещины в упрочняющемся материале 8
1.1. Классическое решение Хатчинсона-Райса-Розенгрена 8
1.2. Применение модифицированного метода граничного слоя 17
1.3. Структура решений с учетом членов высоких порядков 20
1.4. Численные исследования эффектов стеснения в вершине трещины...26
ГЛАВА 2. Разработка модели поведения упрочняющегося материала при двухосном нагружении с учетом членов высоких порядков 31
2.1. Структура решений для безразмерных угловых распределений и амплитуд в двухчленном представлении 31
2.2. Формирование расчетной схемы МКЭ для моделирования произвольного двухосного нагружения пластины с центральной трещиной 35
2.3. Описание свойств деформационно-упрочняющихся материалов и условий двухосного нагружения 41
2.4. Метод интерпретации численных результатов МКЭ в пластической области вершины трещины для полярных распределений параметров НДС и амплитудных коэффициентов 45
ГЛАВА 3. Анализ эффектов стеснения при двухосном нагружении в условиях плоской деформации 51
3.1. Распределения компонент полных напряжений на продолжении трещины 51
3.2. Угловые распределения компонент полных напряжений 58
3.3. Полярные распределения вторых членов разложений компонент напряжений, деформаций и перемещений 63
3.4. Расчет амплитудных коэффициентов вторых членов разложений 70
ГЛАВА 4. Оценка эффектов стеснения в вершине трещины с учетом свойств материалов и условий деформирования 70
4.1. Особенности поведения упрочняющегося материала при плоском напряженном состоянии 76
4.2. Влияние показателя деформационного упрочнения на состояние в пластической области вершины трещины 86
4.3. Сравнительная оценка двух- и трехчленного представления полей параметров НДС по амплитудным коэффициентам 90
Выводы 108
- Применение модифицированного метода граничного слоя
- Формирование расчетной схемы МКЭ для моделирования произвольного двухосного нагружения пластины с центральной трещиной
- Угловые распределения компонент полных напряжений
- Влияние показателя деформационного упрочнения на состояние в пластической области вершины трещины
Введение к работе
В последнее время в литературе интенсивно обсуждается проблема эффектов стеснения, которая особенно актуальна для условий маломасштабной и развитой пластичности. Особая значимость этой проблемы обусловлена практическими приложениями, связанными с интерпретацией упруго-пластических характеристик сопротивления конструкционных материалов разрушению при статическом деформировании. Широкими исследованиями эффектов стеснения установлено, что, например, J-интеграл, который рассматривался как объединяющая идея нелинейной механики разрушения, является зависимым от геометрии и условий нагружения тела с трещиной.
Суть эффектов стеснения при разрушении, прежде всего, связана с обоснованием ограничений, накладываемых на пластические поля Хатчинсона-Райса-Розенгрена (ХРР или HRR). Характеристический размер зоны доминирования сингулярных ХРР-полей существенно зависит от геометрии и пластических свойств тела с трещиной. К настоящему времени уже ясно, что воздействие геометрии и условий нагружения реализуется, в том числе и через второй, несингулярный член (так называемое Т-напряжение), действующий параллельно плоскости трещины. Этот Г-член рассматривается как внутреннее свойство образцов различных геометрий или элементов конструкций. Само понятие Г-члена введено Райсом как частный случай упругого разложения напряжений по собственным функциям Вильямса.
Существующие методы исследования эффектов стеснения не делают различия между внутреішей двухосностью и наведенной двухосностью, кроме того неоднозначность Г-члена обуславливает неопределенность в оценке эффектов стеснения.
В этой связи в настоящей работе поставлена цель провести анализ эффектов стеснения с учетом пластических свойств материалов и
5 разработать метод расчета амплитудных коэффициентов и угловых распределений членов высоких порядков через непосредственный учет наведенной двухосности внешнего нагружения при фиксированном угле исходной ориентации трещины. Настоящая работа ограничена анализом поведения деформационно-упрочняющегося материала для формы нормального отрыва (мода I) при плоской деформации (ПД) и плоском напряженном состоянии (ПНС).
Для достижения поставленной цели перед автором были поставлены следующие задачи: провести комплексный анализ структуры полей параметров напряженно-деформированного состояния (НДС) в пластической области вершины трещины через члены высоких порядков на основе непосредственного учета условий двухосного нагружения и ориентации трещины; установить различия в поведении материалов, обладающих различным комплексом упругопластических свойств, характеризуемых показателем деформационного упрочнения п = 5 и п = 10; определить различия в характере распределения полей НДС при плоском напряженном состоянии и плоской деформации для двух вариантов симметричного нагружения в условиях нормального отрыва для углов ориентации трещины (5 = 0 и р = 90; обосновать понятия параметра стеснения и установить его зависимость от вида напряженного состояния и свойств упруго-пластической среды.
Научная новизна работы состоит в: обосновании необходимости разложения обобщенного параметра нагружения на геометрическую и силовую составляющие, определяемые видом двухосного нагружения и углом ориентации трещины; разработке и численном обосновании модели состояния в упруго-пластической области вершины трещины; количественной оценке влияния вида двухосного нагружения в сочетании с определенной ориентацией трещины и пластических свойств материала на поля НДС и параметры стеснения в области вершины трещины; разработке методики и комплекса программ исследования количественных и качественных эффектов стеснения с учетом членов высоких порядков для условий пластичности при плоской деформации и плоском напряженном состоянии.
Результаты научной деятельности автора нашли отражение в диссертации, которая состоит из введения, четырех глав, выводов и списка литературы из 110 наименований.
Первая глава посвящена анализу современного состояния по предмету и направлениям исследований, представленных в диссертации.
Во второй главе разработана модель напряженно-деформированного состояния в области вершины трещины для упрочняющегося материала при двухосном нагружении с учетом членов высоких порядков и разработан алгоритм нахождения элементов ее структуры.
Третья глава посвящена анализу эффектов стеснения при двухосном нагружении при плоской деформации.
В четвертой главе дана оценка эффектов стеснения в вершине трещины с учетом свойств материалов и условий деформирования. В данной главе показано, что под действием двухосного нагружения при плоском напряженном состоянии упрочняющийся материал обладает рядом особенностей поведения.
На защиту выносятся: модель напряженно-деформированного состояния упрочняющегося материала в пластической области вершины трещины при двухосном нагружении с учетом членов высоких порядков; формулировка граничных условий на внешнем контуре расчетной схемы МКЭ через непосредственный учет геометрической и силовой составляющих номинального двухосного нагружения; методика интерпретации и численные результаты решения задач МКЭ в пластической области вершины трещины для полярных распределений параметров НДС и амплитудных коэффициентов; сравнительная оценка упруго-пластических параметров НДС второго и третьего порядков в области вершины трещины.
Работа выполнена в лаборатории Вычислительной механики деформирования и разрушения Исследовательского центра Проблем энергетики Казанского научного центра РАН.
Отдельные результаты докладывались и обсуждались на:
Аспирантско-магистерских научных семинарах (Казань, КГЭУ - 2003, 2004, 2005 гг.);
11-ом международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва, МАИ-2005 г);
11-ой международной конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (Москва, МЭИ - 2005 г);
Научном семинаре Исследовательского центра Проблем энергетики Казанского научного центра РАН (Казань - 2005 г).
В полном объеме диссертация докладывалась на кафедре Динамики и прочности машин Казанского государственного энергетического университета, на кафедре Теоретической механики Казанского государственного университета, в лаборатории Моделирования физико-механических процессов и систем Казанского физико-технического института Казанского научного центра РАН.
Применение модифицированного метода граничного слоя
Подавляющее большинство работ по исследованию эффектов стеснения построено на идеологии модифицированного метода граничного слоя (ММГС), впервые использованного Ларссоном и Карлссоном [77]. ММГС основан на методе конечных элементов (МКЭ), наиболее популярном среди специалистов по сингулярному анализу тел с трещинами. Теория метода МКЭ впервые наиболее полно изложена в известной монографии Зенкевича [11]. Накопленный опыт исследований по приложениям МКЭ в механике разрушения обобщен в монографиях Морозова, Никишкова [25,88,89], Сиратори, Миеси, Мацусита [36], Голованова А.И. [7-9], Шлянникова В.Щ43] и коллективном труде под редакцией Атлури [6], а также в обзорных статьях Либовитца, Мойера [79] и Альтенбаха, Вильтингера [48]. По мнению этих авторов первоначально анализ параметров напряженно-деформированного состояния (НДС) и расчет упругих коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) был основан на прямом МКЭ со сгущением сетки к вершине трещины. Однако плохая обусловленность решений и ограниченные возможности вычислительной техники привели к созданию специальных сингулярных элементов, моделирующих асимптотику перемещений в области вершины трещины различными методами.
Практическое применение МКЭ по отношению к пространственным конструкциям отражено в работах Черникова С.К. [40,41]. Хилтон и Си [72,75] впервые объединили МКЭ и аналитические асимптотические решения. Они предложили разбивать тело на две области и использовать каждый метод там, где он обладает наибольшей точностью, при этом обеспечив их стыковку на границе раздела областей. Так асимптотические сингулярные решения использованы в области, окружающей вершину трещины, а МКЭ - везде вне этой области. Данный метод получил название асимптотического МКЭ с учетом сингулярности. Часть специалистов отдавала предпочтение энергетическим методам анализа НДС тел с трещинами на основе МКЭ. Обобщением исследований в этом направлении можно считать разработанный Никишковым [48] метод эквивалентного объемного интегрирования. Суть модифицированного метода граничного слоя [50,77,98,90], состоит в выделении круговой области, внешний контур которой находится в упругой области, а внутренний контур воспроизводит трещину с конечным радиусом кривизны. Область вершины трещины находится в пластическом состоянии. Соотношение между радиусом кривизны вершины трещины и радиусом внешней круговой области выдерживается в пределах 3 5 порядков. Несомненным удобством такого подхода в вычислительном плане является возможность исследования эффектов стеснения на одной и той же расчетной схеме МКЭ. При этом условия удаленного нагружения воспроизводятся через граничные перемещения на внешнем контуре выделенной круговой области. В свою очередь эти перемещения являются непосредственными функциями упругих коэффициентов интенсивности напряжений и несингулярного Т -члена. Методология решения задач на основе модифицированного метода граничного слоя с учетом Г-члена построена на применении разложений упругих напряжений и перемещений в ряд по радиусу в окрестности вершины трещины. Согласно решению Вильямса [63,106] упругие напряжения в окрестности вершины трещины можно представить в виде разложения в ряд по степеням г: где первый член этого асимптотического решения является сингулярным, тогда как члены более высоких порядков конечны и ограничены. Второй член разложения (1.23) назван Райсом [93] как Т-напряжение или несингулярный Г-член. При удержании первых двух членов разложения (1.23) компоненты упругих напряжений могут быть выражены через коэффициенты интенсивности напряжений в следующей форме Обобщение упругого решения для плоской задачи, в двухчленном представлении для произвольного двухосного нагружения в условиях смешанных форм разрушения дано Эфтисом,
Субрамонианом и Либовитцем [62,63] и Теокарисом и Михопоулсом [102-104] и для компонент напряжений и перемещений [44,45] имеет вид: Здесь Г-несингулярный второй член или Г-напряжение, т0- предел текучести по напряжениям, а- номинальное напряжение, приложенное вдоль оси OY, р- угол ориентации трещины относительно оси OY, г] коэффициент двухосности, G- модуль сдвига, г и 0- полярные координаты с центром в вершине трещины, v - коэффициент Пуассона, К1 и К2 - упругие КИН для форм нормального отрыва и поперечного сдвига, а- длина трещины. Перемещения, определяемые формулами (1.27), воспроизводят условия внешнего двухосного нагружения на контуре выделенной круговой области в пластине и включают в себя несинулярный Г-член. В общем случае упругие КИН Kt и К2 (1.28.1) содержат в виде сомножителей -тарировочные где a - длина трещины, w -ширина пластины. Через К -тарировки осуществляется учет конкретной геометрии образца с трещиной и схемы его нагружения. Тем самым, обеспечивается возможность на выделенном контуре круговой области задавать перемещения, соответствующие телам конечных размеров. Для нелинейной механики трещин в теоретическом и прикладном планах весьма актуальной является проблема учета членов высоких порядков в разложениях компонент напряжений, деформаций и перемещений. Известно, что классическое решение Хатчинсона-Райса-Розенгрена, является одночленным асимптотическим представлением параметров напряженно-деформированного состояния в пластической области вершины трещины, т.е. не может отражать влияние несингулярного члена Т.
Формирование расчетной схемы МКЭ для моделирования произвольного двухосного нагружения пластины с центральной трещиной
Данный раздел описывает порядок и особенности формирования расчетной схемы и её структуру согласно модифицированному методу граничного слоя на основе МКЭ [38.2]. В предыдущем разделе отмечено, что для реализации поставленной задачи необходимо сочетание аналитического и численного решений. Общей постановкой задач исследования предполагается анализ влияния условий двухосного нагружения для трещин нормального отрыва. Следовательно, формируемая расчетная схема МКЭ должна обеспечивать воспроизведение условий произвольного двухосного нагружения различной интенсивности. Рассмотрим пластину бесконечных размеров, нагруженную системой взаимно перпендикулярных нормальных напряжений ( т и сг ) и ослабленную внутренней сквозной центральной прямолинейной трещиной, расположенной вдоль оси ОХ или вдоль оси OY (рис.1). Положение плоскости трещины определяется углом ее ориентации /3, который для трещин нормального отрыва может принимать значения р = л/2 или (5 = О. Вершина трещины имеет достаточно малый, но конечный радиус кривизны. Коэффициент двухосности приложенных номинальных напряжений определяется как отношение г? = cr"Jcr . На удалении от вершины трещины в упругой области пластины проведем окружность, центрированную на вершину трещины, которая будет служить внешним контуром рассматриваемой области (рис.1). В силу симметрии геометрии и условий нагружения достаточно рассмотреть только одну четверть пластины. Выделение ряда областей в геометрии тела с трещиной, рассматриваемой в настоящей работе, является традиционным для модифицированного метода граничного слоя (ММГС), как это приведено на рис.1.
Внутри отдельно показанной на рис.2 круговой области, ограниченной поверхностями трещины и внешней окружностью, используется конечно-элементное разбиение. На контуре внешней окружности задаются граничные перемещения, которые собственно и воспроизводят заданные варианты номинального двухосного нагружения пластины на удалении от вершины трещины. Порядок расчета заданных перемещений будет приведен в следующем разделе. Форма рассматриваемой области представляет собой окружность радиуса R = l м, разрезанную вдоль оси ОХ до центра. Начало декартовой системы координат и центр внешнего радиуса R окружности совпадают. Ширина разреза - расстояние между поверхностями трещины составляет 2р = 0.002 м, причем центральная линия разреза совпадает с осью ОХ. Конец разреза или вершина трещины смоделирована как полуокружность радиуса р = 0.001 м, центр которой совмещен с центром основной внешней окружности. За счет введения в расчетную схему конечного радиуса кривизны предоставляется возможность учета затупления вершины трещины при пластическом деформировании. Для удобства формирования расчетной схемы, область с разрезом делилась на 14 подобластей, последовательно вложенных друг в друга таким образом, чтобы внешний радиус предыдущей являлся внутренним радиусом последующей, как это показано на рис.3.
По мере приближения к центру окружности размер элементов существенно уменьшался в пропорции близкой к геометрической прогрессии. Принцип разбиения на конечные элементы сохраняется для всех подобластей, сетка формируется двумерной, правильной, состоящей из четырехугольных элементов. При формировании расчетной схемы использованы плоские восьмиузловые изопараметрические элементы PLANE 182 с двумя степенями свободы Ux, Uу в каждом узле. На рис.4 показано более детальное моделирование области вершины трещины. Расчетная схема включает 49 концентрических окружностей, центрированных на вершину трещины и содержащих по 80 промежуточных узлов каждая с шагом по углу 4.5. Радиусы кривизны вершины трещины и внешней окружности отличаются на три порядка.
Угловые распределения компонент полных напряжений
Для материалов со слабым и средним упрочнением степень отличия численных результатов от ХРР-решения является одинаково существенной, что указывает на безусловное влияние условий двухосного нагружения на распределение напряжений в области вершины трещины. В настоящем и предыдущем разделах данной главы представлен подробный количественный анализ полярных распределений полных компонент напряжений, полученных численно на основе МКЭ. В результате установлено, что в области вершины трещины наблюдается эффект стеснения, а также, что на параметры НДС непосредственно в области вершины трещины влияют условия нагружения (номинальное напряжение а, коэффициент двухосности /;, угол ориентации трещины /?) и пластические свойства материала, описываемые показателем упрочнения п.
Следует отметить, что подобный характер влияния исследуемых факторов имеет место и при исходной ориентации трещины /? = 0 [38.6]. На pnc.l2(a-g) проиллюстрирована качественная картина распределения полей полных компонент напряжений ст д дМ, полученных численно с помощью проблемно-ориентированного программного пакета ANSYS. Сравнивались распределения напряжений для материалов с показателем деформационного упрочнения п = 5 и и = 10 для значений параметра Т є[-1.00;0.53]. Белый просвет на данном рисунке - это собственно сама принимаемым абсолютным значением. Красным цветом выделены области максимальных напряжений. На характерных для плоской деформации пластических зонах распределения напряжений видно, что расположение и размеры области локализации максимума окружной компоненты напряжений меняются в зависимости от пластических свойств материала и условий нагружения пластины, т.е. имеет место перераспределение напряжений. В материале с меньшим показателем степени упрочнения размер области разгрузки меньше, тогда как площадь области локализации максимальных напряжений больше. Достаточно наглядно это видно в случае равнодвухосного растяжения при и = 5 (рис. 12(c)), при этом максимальные напряжения сосредоточены на поверхности вершины трещины.
При л = 10 имеет место разгрузка, т.е. максимальные напряжения расположены на некотором удалении от вершины трещины. Это объясняет тот факт, что под действием одинаковой нагрузки более пластичные материалы, как правило, оказываются устойчивее к разрушению. Необходимо отметить совершенно очевидную тенденцию увеличения абсолютных значений компонент действительных напряжений с ростом параметра Т. Так при положительных значениях параметра Т максимум располагается на расстоянии порядка радиуса кривизны от поверхности вглубь пластины. При переходе в область отрицательных значений Т координата максимума смещается на саму криволинейную поверхность вершины трещины. Результаты, представленные на рис.12 иллюстрируют описанные тенденции как для равнодвухосного растяжения, так и для равнодвухосного растяжения-сжатия. В главе 2 разработан и подробно описан метод расчета амплитудных коэффициентов и безразмерных угловых распределений вторых членов разложений напряжений, деформаций и перемещений в пластической области вершины трещины. Разделы 3.3 и 3.4 посвящены анализу результатов, полученных на основе этого метода. Согласно этому методу в качестве основной использовалась двухчленная структура полей для области вершины трещины. Анализ безразмерных угловых распределений компонент параметров НДС и амплитудных коэффициентов для первого и последующих членов разложений показал, что первый член разложения является классическим ХРР-решением. Одновременно, выше показано, что упруго-пластические параметры НДС в области вершины трещины зависят от условий нагружения и пластических свойств материала. Таким образом, поскольку ХРР-решение является одночленным приближением разложения параметров НДС и не учитывает влияние условий нагружения и пластических свойств материала, возникла необходимость в анализе второй составляющей разложения компонент параметров НДС [38.4,38.7,38.10]. Напомним, что многочленное представление полей, в частности рассматриваемое двухчленное, в области вершины трещины при определенных условиях предполагает возможность декомпозиции. При этом каждое слагаемое включает в себя две составляющие, количественную и качественную. Качественная характеристика описывается безразмерными угловыми компонентами параметров НДС для первого и последующих членов разложений. Количественная характеристика выражается через амплитудные коэффициенты и рассматривается в параграфе 3.4. Угловые распределения компонент напряжений для второго члена разложения (2.1), определенные по уравнению (2.5) как разность между общим МКЭ-решением и ХРР-полем показаны на рис.13 для двух исследованных сталей, обладающих различными пластическими свойствами.
Влияние показателя деформационного упрочнения на состояние в пластической области вершины трещины
Цель настоящего параграфа состоит в обосновании представления о влиянии пластических свойств материала на напряженно-деформированное состояние в пластической области вершины трещины при произвольном двухосном нагружении. При этом основной акцент будет сделан на исследование поведения амплитуды или коэффициента интенсивности напряжений второго члена с учетом изменения пластических свойств материала [38.6]. Прежде всего, было исследовано распределение напряжений на продолжении трещины (# = 0). На рис.25 показаны распределения нормированных на предел текучести компонент нормальных напряжений для показателей упрочнения « = 5.02 и « = 10.61, относящихся к общему МКЭ решению (без декомпозиции на структуру первого и второго членов).
Для сравнения на эти графики нанесены ХРР-решения, соответствующие каждому из показателей упрочнения. Для четырех вертикальных линий на каждом из графиков цифрами введены обозначения расстояний от вершины трещины для контуров, в которых определялись безразмерные полярные распределения компонент напряжений, а именно для « = 5.02 (1- г =2.3, 2 Совершенно четко можно заметить проявление эффектов конечных деформаций и разгрузки вследствие затупления вершины трещины для (rcr0)/J 3. При больших расстояниях от вершины трещины влияние упругого несингулярного члена и двухосности нагрулсения имеет достаточно упорядоченный характер. Положительные значения Т и двухосности напряжений /7 в диапазоне TJ Є (+1.0 +2.0) не оказывают существенного влияния на распределение напряжений. Напротив, монотонное увеличение отрицательных значений Т или переход от равнодвухосного растяжения 7 = +1 к двухосному растяжению-сжатию j = -0.9 приводит к существенному отклонению полученных распределений напряжений от ХРР-решения. Заметим, что случай равнодвухосного растяжения 7/ = +1 (когда Т = 0) наиболее близко совпадает с ХРР-решением и соответствует области определения этого асимптотического упруго-пластического решения. Градиент напряжений в пластической области вершины трещины существенно зависит от показателя деформационного упрочнения. Кроме этого, область совпадения ХРР и МКЭ распределений для Г = 0 при « = 10.61 существенно меньше, чем при П = 5.02 . Представленные на рис.25 данные коррелируют с численными результатами О Доуда и Ши [90] и Бетегона и Хэнкока [59] в отношении характера и степени влияния несингулярного члена. Основная часть наших расчетов посвящена определению амплитуды второго члена Qee [38.7]. Согласно разработанной в данной работе методике (гл.2), параметр стеснения Quo определяется как разность между численным и аналитическим решением, нормированная на величину rlaf. По результатам расчетов установлено, что параметр стеснения Qee существенным образом зависит от вида общего НДС.
На рис.26 приведены результаты исследования амплитуды или коэффициента интенсивности второго члена, рассчитанного по уравнению (2.8). Данные рис.26 дают совершенно четкую информацию о характере изменения коэффициента интенсивности напряжений второго члена или параметра стеснения Qee на продолжении трещины в случае ПД. Можно заметить, что зависимость параметра Qee от радиальной координаты становится более существенной при положительных значениях обобщенного параметра нагружения Т и коэффициента двухосности приложенных номинальных напряжений TJ. Различия в поведении при л = 5 и « = обусловлены градиентами соответствующих компонент напряжений по радиальной координате. Из графиков на рис. 24 и рис. 26 видно, что диапазон изменения амплитуды Qee при плоском напряженном состоянии существенно меньше, чем при плоской деформации, т.е. эффект стеснения наиболее ярко выражен в случае ПД. Так при (гсг0/./) 3 эффекты стеснения при плоском напряженном состоянии уже почти не значимы, что совпадает с литературными данными. В отличие от этого при плоской деформации эффекты стеснения сохраняются на значительных расстояниях от вершины трещины. Параметр стеснения Qog проявляет совершенно четкую зависимость от условий двухосного внешнего нагружения. На рис.27 представлены зависимости амплитуды второго члена Qeg от величины упругого несингулярного члена Т для различных значений расстояния от вершины трещины. На этих графиках цифры соответствуют следующим значениям нормированной координаты r=ra0/J: для л = 5: 1 7=23, 2- г =4.05, 3- г =6.83, 4 - г =11.3; для « = 10: 1- г =2.45, 2- г =4.12, 3-г=6.84, 4 - г =9.44. Можно отметить, что материал с высокой степенью упрочнения проявляет большую чувствительность к изменению радиальной координаты. Установлено, что в отличие от амплитуды сингулярности первого или доминирующего члена, амплитуда второго члена является в определенных ситуациях двухосного нагружения величиной неинвариантной к радиальной координате. Степень подобных различий также зависит от пластических свойств материала.
