Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Напряженно-деформированное состояние сопряженных сферических оболочек 13
1.1 Уравнения напряженно-деформированного состояния сферической оболочки 14
1.2 Об оценке области применения решения В.В.Новожилова для задач о деформации сопряженных сферических оболочек 21
1.3 Уравнения напряженно-деформированного состояния пологой сферической оболочки
1.4 Граничные условия на линии сопряжения оболочек 27
1.5 Напряженно-деформированное состояние склеры и( роговицы 28
1.6 Напряженно-деформированное состояние склеры и решетчатой пластинки 39
Глава 2. Деформация анизотропных круглых пластин под действием нормального давления 50
2.1 Деформация круглой пластины под действием нормального давления по теории Кирхгофа-Лява 55
2.2 Деформация круглой пластины под действием нормального давления по теории Тимошенко-Рейсснера 58
2.3 Деформация круглой пластины под действием нормального давления по уточненной теории Амбарцумяна 59
2.4 Деформация круглой пластины под действием нормального давления по уточненной теории Родионовой-Черныха 66
2.5 Трансверсально-изотропная круглая пластина под действием нормального давления 75
2.6 Цилиндрически ортотропная круглая пластина под действием нормального давления 79
Глава 3. Модели двух декомпрессионных операций 82
3.1 Изменение деформации решетчатой пластинки диска зрительного нерва после декомпрессионных операций 83
3.2 Срез слоя склеры вблизи роговицы как декомпрессионная операция 88
Заключение 91
Литература 93
- Об оценке области применения решения В.В.Новожилова для задач о деформации сопряженных сферических оболочек
- Напряженно-деформированное состояние склеры и( роговицы
- Деформация круглой пластины под действием нормального давления по теории Тимошенко-Рейсснера
- Срез слоя склеры вблизи роговицы как декомпрессионная операция
Введение к работе
Актуальность темы. Последние годы все большее внимание уделяется математическому моделированию различных процессов в биологических системах. Такой подход позволяет лучше понять причины и механизмы развития различных явлений в биологических структурах человека и животных, таких как сосуды, суставы и другие, помогает в разработке методов лечения.
Учебные программы ряда крупнейших высших учебных заведений страны содержат курс биомеханики, в Московском государственном университете несколько лет назад открылся первый в России факультет биоинженерии и биоинформатики.
Все чаще методы механики деформируемого твердого тела стали применяться для исследования состояния глаза. В 2001 г. в Московском Педиатрическом институте введен курс биомеханики глаза. На основе читаемого курса и исследований, проводимых в институте, коллективом авторов издана монография "Акустическая биомеханика глаза и ее значение для клиники" [64], первый раздел которой посвящен основным определениям и понятиям механики деформируемого твердого тела. В серии механика и ее приложения в технике и технологии в 2006 году вышла книга А.Р. Сковороды «Задачи теории упругости в проблеме диагностики патологий мягких биологических тканей» [71].
Изучение биомеханики глаза важно для понимания механизма многих заболеваний и травм глаза, для разработки экспериментальных моделей, при внедрении новых имплантатов, новых технологий. Новые знания в области биомеханики глаза позволяют улучшить диагностику различных заболеваний, развивать новые методы терапевтического и хирургического лечения глаза [19,89].
Рис. 1. Строение глаза
Глаз человека представляет собой сложную биомеханическую структуру (рис.1). Внешняя оболочка глаза - фиброзная или корнеосклеральная оболочка состоит из роговицы и склеры. Основное назначение фиброзной оболочки - обеспечение постоянной формы и размеров глазного яблока. В передней части фиброзная капсула глазного яблока переходит в более выпуклую, плотную, но прозрачную для световых лучей роговую оболочку, которая как бы вставлена в склеру наподобие часового стекла, так как на месте перехода склеры в роговицу в первую очередь прозрачными становятся глубокие слои склеры, а уже потом поверхностные [12]. Роговица не только участвует в защите содержимого глаза от внешних воздействий, но и является главной линзой оптической системы глаза. Склера занимает 93% всей фиброзной оболочки глаза человека, поэтому в задачах, связанных с изменением объема глазного яблока под действием внутреннего давления, биомеханические свойства склеры играют решающую роль и в таких задачах часто роговица не включается в модель, а оболочка глаза рассматривается как сферическая, состоящая целиком из склеры [12].
Однако в некоторых случаях, когда важно понять, например, как изменяется напряженно-деформированное состояние внешней оболочки глаза после рефракционных операций, меняющих толщину или кривизну роговицы, необходимо учесть и отличие свойств роговицы. В этом случае глазное яблоко необходимо моделировать сопряженными по периметру сферическими оболочками - склерой и роговицей.
Недалеко от заднего полюса через склеру из глаза выходит зрительный нерв (рис.2а). Участок склеры, через который проходит зрительный нерв, называют решетчатой пластинкой диска зрительного нерва. Сплошного дефекта склеры здесь нет, слой склеры становится намного тоньше и появляется множество мелких отверстий, через которые проходят пучки зрительного нерва (рис.2Ь), т.о. механические свойства этой небольшой области существенно отличаются от механических свойств склеры. Решетчатая пластина играет важную роль в балансе внутриглазного и внутричерепного давлений (ВГД и ВЧД).
Известно, что атрофия зрительного нерва при глаукоме происходит именно в области решетчатой пластинки диска зрительного нерва в результате ее деформации, если отношение ВГД и ВЧД увеличивается по сравнению с нормальным для конкретного пациента значением [20].
Как отмечают офтальмологи [26], экскавация диска свидетельствует о переходе гипертензии, то есть повышенного внутриглазного давления, в глаукому часто раньше, чем появляются дефекты в поле зрения. Таким образом, начальные изменения диска зрительного нерва имеют существенные значения для диагностики глаукомы, а определение изменения напряженно-деформированного состояний решетчатой пластинки имеет значение для оценки эффективности проводимой терапии [61]. Все это делает важным изучение напряженно-деформированного состояния решетчатой пластинки диска зрительного нерва при изменении внутриглазного давления. Задача о напряженно-деформированном состоянии решетчатой пластинки диска зрительного нерва также может быть рассмотрена как задача о составной оболочке, состоящей из склеры и решетчатой пластинки.
Рис. 2. Решетчатая пластинка диска зрительного нерва.
В настоящее время иногда при лечении глаукомы используются декомпрессионные операции. Один из вариантов декомпрессионной операции описан в работах [82, 83], Предложенная операция заключается в частичном рассечении склерального канала вблизи решетчатой пластинки. Таким образом, увеличивается длина окружности опорного склерального кольца. Построение механической модели такой операции возможно только при рассмотрении сопряженных сферических оболочек. Другой вариант декомпрессионных операций, которые давно используются, представлен в работе [33] и заключается во вставках имплантата на участке склеры недалеко от сопряжения с роговицей. При построении механической модели такой операции следует учитывать три сопряженные оболочки, склеру, роговицу и решетчатую пластинку.
Целью работы является построение моделей сопряженных сферических оболочек для оценки напряженно-деформированного состояния фиброзной оболочки глаза при изменении внутриглазного давления, оценки коэффициента запаса прочности роговицы после рефракционных операций, построение моделей деформации анизотропной решетчатой
пластинки диска зрительного нерва, а также описание некоторых декомпрессионных операций.
Диссертация состоит из введения, 3 глав и заключения.
Во введении обосновывается актуальность в современной офтальмологии задач о напряженно-деформированном состоянии сопряженных сферических оболочек с разными механическими свойствами под действием нормального давления, также объясняется необходимость решения задачи об анизотропной круглой пластине. Представлен краткий обзор литературы, связанной с рассматриваемыми в диссертации задачами.
Первая глава посвящена изучению напряженно-деформированного состояния сопряженных однородных изотропных сферических оболочек, находящихся под действием нормального давления. Проводится сравнение аналитических и численных решений, полученных в прикладном пакете ANSYS. Рассматривается задача о сопряженных оболочках склеры и роговицы, изучается влияние геометрических и механических параметров на прогиб роговицы, проводится оценка изменения коэффициента запаса прочности роговицы после рефракционных операций. В пакете ANSYS проведены также расчеты напряженно-деформированного состояния сопряженных трансверсально-изотропных сферических оболочек. Также с помощью построенной модели рассматривается задача о деформации составных оболочек - оболочек одного радиуса, склеры и решетчатой пластинки. Проводится сравнение численных и аналитических решений задачи о прогибе решетчатой пластины диска зрительного нерва под действием нормального давления в сопряжении со склерой и отдельно от нее. Показано, что изменение радиуса склерального кольца даже при высоком внутриглазном давлении незначительно, а нормальный прогиб решетчатой пластинки диска зрительного нерва, полученный при рассмотрении сопряженных оболочек, мало отличается от прогиба пластины или пологой оболочки с жесткой заделкой, поэтому можно рассматривать решетчатую пластинку диска зрительного нерва отдельно с учетом ее анизотропии.
Во второй главе рассматривается задача о прогибе ортотропных круглых пластин с жесткой заделкой под действием нормального давления. Приводятся аналитические результаты расчета прогиба пластинки с различными механическими и геометрическими
параметрами, полученные по классической теории пластин, по теории Тимошенко-Рейсснера, уточненной теории Амбарцумяна и уточненной итерационной теории Родионовой-Черныха. Приводятся также расчеты по трехмерной модели в пакете ANSYS. Проводится сравнение результатов, полученных по различным теориям.
В третьей главе представлены результаты моделирования декомпрессионных операций, направленных на снижение прогиба решетчатой пластинки, основанных на изменениях геометрических параметров склеры. Задачи решены методом конечных элементов в прикладном пакете ANSYS. Построены трехмерные и упрощенные двумерные модели сопряженных оболочек, позволяющие определить некоторые параметры изменения оболочки, при которых прогиб решетчатой пластинки уменьшается наибольшим образом.
В заключении приведены основные выводы относительно рассмотренных задач.
В работе получены следующие новые результаты:
Построены аналитические решения задач о напряженно-деформированном состоянии сопряженных сферических изотропных оболочек под действием нормального давления в случае, когда обе оболочки рассматривались как сферические, и в случае, когда одна из оболочек рассматривалась, как пологая оболочка. Получена оценка области применимости асимптотического решения комплексных уравнений В.В. Новожилова.
Для конкретной задачи о деформации решетчатой пластинки диска зрительного нерва проведено сравнения решения задачи о деформации составной оболочки (склеры и решетчатой пластинки) с решением задач о прогибе пологой оболочки и пластины с жесткой заделкой.
Проведен сравнительный анализ аналитических решений задачи о деформации круглых однородных ортотропных пластин под действием нормального давления, полученных с помощью различных теорий оболочек — классической теории Кирхгофа-Лява, теории Тимошенко-Рейсснера, уточненной теории Амбарцумяна, уточненной итерационной теории Родионовой-Черныха, а также численного решения, полученного с помощью прикладного пакета ANSYS. По теории
Родионовой-Черныха получены аналитические соотношения, описывающие напряженно-деформированное состояние трансверсально-изотропной и ортотропной однородной круглой пластины с жесткой заделкой.
4. В прикладном пакете ANSYS построены модели двух декомпрессионных операций. Модели представляют собой задачи о напряженно-деформированном состоянии сопряженных трансверсально-изотропных оболочек с учетом изменения толщины одной из оболочек на отдельном ее участке.
Методы решения. При решении поставленных задач применялись различные методы. Аналитические соотношения, использованные в работе, основаны на асимптотических методах, а также различных двумерных теориях пластин и оболочек. Ряд результатов получен с помощью программной системы конечно-элементного анализа ANSYS.
Полученные в работе результаты докладывались на семинарах «Математические методы и биомеханика в современном университете» (Ростов-на-Дону, 2008) [17] и «Компьютерные методы в механике сплошной среды» (Санкт-Петербург, 2005, 2008) [49] и конференции «Обозрение прикладной и промышленной математики» (Москва, 2005) [11].
По материалам диссертации опубликовано 7 научных работ, в том числе четыре работы1 [11,45,46,48] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК. В работе [17] автору принадлежит модель декомпрессионной операции и связанные с ней расчеты, проведенные в прикладном пакете ANSYS. В [11] содержатся результаты решенной автором задачи, которая была поставлена научным руководителем СМ. Бауэр.
Задачи статики анизотропных пластин и оболочек. Решение задач о напряженно-деформированном состоянии тонкостенных конструкций в рамках трехмерной теории упругости сопряжено с большими трудностями, и поэтому, как известно, создаются приближенные теории, сводящие трехмерные уравнения теории упругости анизотропного тела к двумерным уравнениям теории оболочек и пластин.
Широкое применение в механике анизотропных пластин и оболочек получила классическая теория, разработанная сначала для изотропных однородных структур [5,7,50,51]. При такой постановке задачи отличие теории анизотропных пластин и оболочек
от теории изотропных конструкций заключается только в соотношениях упругости. При этом для расчета пластин и оболочек применяются и аналитические методы, разработанные для однородных изотропных тонкостенных конструкций. Вопрос о погрешности этого подхода обсуждался в [9,15].
Иногда для ортотропных объектов (круглых пластин и сферических оболочек), когда главные направления упругости материала совпадают с координатными линиями, при определенных механических параметрах такой подход дает хорошие результаты [6,7,15,50].
В [87,92] классический подход использован для решения задач об осесимметричном изгибе круглых изотропных пластин в случае, когда модуль упругости или толщина оболочки являются функциями радиальной координаты. Многочисленные результаты, полученные по классической теории анизотропных пластин, представлены в монографии С.Г. Лехницкого [51]. Однако дальнейшие исследования показали, что при рассмотрении некоторых прикладных задач классическая теория дает слишком грубые оценки и требует уточнения. К таким вопросам относятся, например, задачи о деформировании пластин средней толщины. В связи с этим появилось много уточненных теорий, построенных, как и классическая, методом гипотез о характере распределения перемещений, деформаций или напряжений по толщине оболочки, однако свободных от основной гипотезы классической теории - гипотезы недеформируемых нормалей. Все уточненные теории тем или иным способом учитывают деформацию сдвига.
Широкое распространение в теории однослойных оболочек получила теория, основанная на гипотезе С.П.Тимошенко - гипотезе прямолинейного элемента [65,74]. В монографии [65] последовательно изложены основы теории оболочек на базе этой гипотезы. Принято, что модуль сдвига для плоскостей нормальных к срединной поверхности независим от модуля Юнга в срединной поверхности, и таким образом фактически учтена трансверсальная изотропия материала оболочки. В ряде работ [27,34] теорию, изложенную в [65,74], называют теорией трансверсально-изотропных оболочек.
В связи с тем, что линейное распределение перемещений по толщине не всегда согласуется с решением трехмерных задач, получили развитие и другие модели. Обзор работ по уточненным теориям пластин, основанным на задании распределения перемещений,
содержится в работе [91]. Развивались также модели теории оболочек и пластин, в которых задавались законы распределения касательных напряжений, согласованные с условиями нагружения лицевых поверхностей. Таким уточненным теориям анизотропных пластин и оболочек посвящены монографии С.А. Амбарцумяна [5,7]. Основная из его теорий, названная общей уточненной теорией, основана на гипотезах Новожилова В.В. [62]: нормальное к срединной поверхности перемещение не изменяется по толщине, а касательные напряжения в плоскости, перпендикулярной поверхности пластины, изменяются по толщине пластины по квадратичному закону. Эта теория позволяет получить более точное значение нормальной к срединной поверхности составляющей вектора перемещений. В монографии [7] на основе общей уточненной теории представлены решения задач об изгибе симметрично нагруженных круглых пластин при различных граничных условиях.
Новая уточненная итерационная теория деформации анизотропных пластин, удобная для разработки алгоритмов численных решений краевых задач, представлена в монографии В.А. Родионовой, Б.Ф. Титаева, К.Ф. Черныха [66]. Предложенная теория позволяет построить модель деформации пластины, учитывающую поперечные сдвиги, поперечные нормальные напряжения, повороты волокон, а также изменение их длины.
Следует отметить, что метод гипотез - не единственный способ сведения трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям теории оболочек и пластин. Метод асимптотического интегрирования, использующий малость относительной толщины оболочки, не только приводит к приближенным двумерным уравнениями, но и дает асимптотический порядок их погрешности. Для линейных конструкций этот метод использовался во многих работах ([28-31] и др.), подробно данный метод представлен в монографии А.Л. Гольденвейзера [30].
В современной технике наряду с гладкими оболочками широко используются сопряженные (составные) оболочки. В связи с этим актуальными являются разработка новых и совершенствование уже существующих методов расчета тонкостенных конструкций такого типа, подвергающихся воздействию статических и динамических нагрузок. Этой важной теме посвящена монография С.Б.Филиппова «Теория сопряженных и подкрепленных оболочек» [78].
Точные решения краевых задач о напряженно-деформированном состоянии сопряженных и подкрепленных оболочек в виде бесконечных тригонометрических рядов удалось получить лишь в немногих исключительных случаях с использованием упрощающих предположений [8]. При решении этих задач обычно применяются приближенные методы расчета: численные, вариационные, асимптотические.
Иногда напряженно-деформированное состояние сопряженных оболочек представляется в виде суммы основного состояния и простого краевого эффекта, а граничные условия разделяются на главные и дополнительные. Основное состояние является решением вырожденной системы уравнений с главными граничными условиями. Разделение простых граничных условий заделки, шарнирного края и др. на главные и дополнительные в задачах теории колебаний и устойчивости проведено в работах Н.А. Алумяэ [4], А.Л. Гольденвейзера [30,31], П.Е. Товстика [75] и др.
Граничные условия на линиях сопряжения оболочек и линиях, подкрепленных ребром жесткости, являются достаточно сложными. Проблема разделения таких условий в задачах статики довольно хорошо изучена [36,52,53,63,79,80].
Об оценке области применения решения В.В.Новожилова для задач о деформации сопряженных сферических оболочек
Последние годы все большее внимание уделяется математическому моделированию различных процессов в биологических системах. Такой подход позволяет лучше понять причины и механизмы развития различных явлений в биологических структурах человека и животных, таких как сосуды, суставы и другие, помогает в разработке методов лечения.
Учебные программы ряда крупнейших высших учебных заведений страны содержат курс биомеханики, в Московском государственном университете несколько лет назад открылся первый в России факультет биоинженерии и биоинформатики.
Все чаще методы механики деформируемого твердого тела стали применяться для исследования состояния глаза. В 2001 г. в Московском Педиатрическом институте введен курс биомеханики глаза. На основе читаемого курса и исследований, проводимых в институте, коллективом авторов издана монография "Акустическая биомеханика глаза и ее значение для клиники" [64], первый раздел которой посвящен основным определениям и понятиям механики деформируемого твердого тела. В серии механика и ее приложения в технике и технологии в 2006 году вышла книга А.Р. Сковороды «Задачи теории упругости в проблеме диагностики патологий мягких биологических тканей» [71].
Изучение биомеханики глаза важно для понимания механизма многих заболеваний и травм глаза, для разработки экспериментальных моделей, при внедрении новых имплантатов, новых технологий. Новые знания в области биомеханики глаза позволяют улучшить диагностику различных заболеваний, развивать новые методы терапевтического и хирургического лечения глаза [19,89]. Рис. 1. Строение глаза
Глаз человека представляет собой сложную биомеханическую структуру (рис.1). Внешняя оболочка глаза - фиброзная или корнеосклеральная оболочка состоит из роговицы и склеры. Основное назначение фиброзной оболочки - обеспечение постоянной формы и размеров глазного яблока. В передней части фиброзная капсула глазного яблока переходит в более выпуклую, плотную, но прозрачную для световых лучей роговую оболочку, которая как бы вставлена в склеру наподобие часового стекла, так как на месте перехода склеры в роговицу в первую очередь прозрачными становятся глубокие слои склеры, а уже потом поверхностные [12]. Роговица не только участвует в защите содержимого глаза от внешних воздействий, но и является главной линзой оптической системы глаза. Склера занимает 93% всей фиброзной оболочки глаза человека, поэтому в задачах, связанных с изменением объема глазного яблока под действием внутреннего давления, биомеханические свойства склеры играют решающую роль и в таких задачах часто роговица не включается в модель, а оболочка глаза рассматривается как сферическая, состоящая целиком из склеры [12].
Однако в некоторых случаях, когда важно понять, например, как изменяется напряженно-деформированное состояние внешней оболочки глаза после рефракционных операций, меняющих толщину или кривизну роговицы, необходимо учесть и отличие свойств роговицы. В этом случае глазное яблоко необходимо моделировать сопряженными по периметру сферическими оболочками - склерой и роговицей.
Недалеко от заднего полюса через склеру из глаза выходит зрительный нерв (рис.2а). Участок склеры, через который проходит зрительный нерв, называют решетчатой пластинкой диска зрительного нерва. Сплошного дефекта склеры здесь нет, слой склеры становится намного тоньше и появляется множество мелких отверстий, через которые проходят пучки зрительного нерва (рис.2Ь), т.о. механические свойства этой небольшой области существенно отличаются от механических свойств склеры. Решетчатая пластина играет важную роль в балансе внутриглазного и внутричерепного давлений (ВГД и ВЧД).
Известно, что атрофия зрительного нерва при глаукоме происходит именно в области решетчатой пластинки диска зрительного нерва в результате ее деформации, если отношение ВГД и ВЧД увеличивается по сравнению с нормальным для конкретного пациента значением [20].
Как отмечают офтальмологи [26], экскавация диска свидетельствует о переходе гипертензии, то есть повышенного внутриглазного давления, в глаукому часто раньше, чем появляются дефекты в поле зрения. Таким образом, начальные изменения диска зрительного нерва имеют существенные значения для диагностики глаукомы, а определение изменения напряженно-деформированного состояний решетчатой пластинки имеет значение для оценки эффективности проводимой терапии [61]. Все это делает важным изучение напряженно-деформированного состояния решетчатой пластинки диска зрительного нерва при изменении внутриглазного давления. Задача о напряженно-деформированном состоянии решетчатой пластинки диска зрительного нерва также может быть рассмотрена как задача о составной оболочке, состоящей из склеры и решетчатой пластинки. Рис. 2. Решетчатая пластинка диска зрительного нерва.
Напряженно-деформированное состояние склеры и( роговицы
Как уже отмечалось, в настоящее время широко распространенными рефракционными операциями по поводу миопии и астигматизма являются операции LASIK и ФРК [10]. В результате рефракционных операций меняется толщина и кривизна роговицы. В связи с этим представляет интерес вопрос об изменении напряженно-деформированного состояния роговицы после указанных операций. Подобные задачи рассматривались в [14,38]. В работе [14] этот вопрос рассматривался в предположении, что склера является значительно более жесткой, чем роговица, таким образом, роговица рассматривалась, как жестко защемленная пологая оболочка. Однако в литературе имеются разные данные о соотношении модулей упругости склеры и роговицы. Например, в работе [101] принимается, что , / Е2 = 5 . В работе Иомдиной Е.Н. [41] на основе экспериментальных данных получено соотношение Ех1Е2 = 3 . Одной из первых работ, в которой внешняя оболочка глаза рассматривалась как сопряженные сферические оболочки разного радиуса, является работа [18], посвященная исследованию напряженно-деформированного состояния роговицы методом фотоупругости. Аналитические расчеты в работе [18] выполнялись по теории тонких изотропных оболочек [62]. В работе приведены графики, характеризующие напряжения в роговице при разных соотношениях модулей упругости роговицы и склеры. При этом всегда полагалось, что модуль упругости роговицы больше, чем модуль упругости склеры. В настоящее время накоплено больше экспериментальных данных, позволяющих сделать вывод о том, что роговица существенно мягче склеры [41,42,101]. Для построения адекватных математических моделей необходимы данные, как о механических, так и о геометрических характеристиках глаза. В последнее время появилось много работ, посвященных этому вопросу. В работах Саулгозиса Ю.Ж., Иомдиной Е.Н., Зимина Б.А. [39,42,68,70,101,103] и др. содержатся данные о толщине оболочки глаза, модулях упругости, оценки предела прочности при растяжении и сдвиге. Все параметры, как и любые параметры биологических тканей колеблются в широких пределах, зависят от возраста, от нагрузок, связанных с родом деятельности человека, от возможных заболеваний и пр. В некоторых работах [39,40,42] отмечается, что основная оболочка глаза, склера, является неоднородной и анизотропной. В других работах [2,3,67,68] полагают, что анизотропией склеральной оболочки можно пренебречь.
Рассмотрим задачу о напряженно деформированном состоянии сопряженных оболочек, склеры и роговицы. Склера представляется незамкнутой однородной сферической оболочкой, напряженно-деформированное состояние которой найдено на основе решения, полученного методом асимптотического интегрирования комплексных уравнений В.В.Новожилова [62], согласно (1.9). Сопряженная со склерой роговица, рассматривается, как пологая однородная изотропная оболочка другого радиуса. Напряженно-деформированное состояние роговицы найдено с помощью решения комплексных уравнений пологих оболочек, полученных Назаровым А.А. [56], согласно (1.17). В точке сопряжения оболочек выполняется равенство (1.19). Таким образом, задача сводится к решению системы пяти уравнений (1.25) для поиска констант интегрирования А ,ВХ,А,В,С.
В расчетах полагаем, что радиус склеры равен 11 мм, роговицы - 8 мм, (рис. 1.7) толщина склеры - 1 мм, роговицы - 0.52 мм, коэффициент Пуассона 0.4 и 0.5 соответственно, модули Юнга склеры 14.3 МПа и роговицы 2.86 МПа [12,101]. Рис. 1.7. Сопряженные оболочки склера и роговица.
При моделировании последствий операции ФРК меняется радиус кривизны роговицы. В задаче, когда радиус кривизны уменьшается на 1 мм, а толщина увеличивается на 0.1 мм, максимальный абсолютный прогиб в центре оболочки снижается на 35%) - с 0.106 мм до 0.068 мм. Для сравнения подхода, при котором роговица рассматривается как пологая оболочка и случая, когда роговица рассматривается как сферическая оболочка (п. 1.1.) приведем некоторые результаты расчетов. Ниже в таблицах представлены данные для прогиба оболочки в центре роговицы, получающиеся при обоих подходах для тонких, средних и толстых роговиц. Данные представлены для нормального ВГД 15 мм.рт.ст. и повышенного ВГД = 30 мм.рт.ст.
Результаты расчетов при различных соотношениях модулей упругости показывают, что чем тоньше роговица, тем больше ее прогиб и чем меньше модуль упругости роговицы по отношению к склере, тем также больше ее прогиб (рис. 1.10). Значения численных и аналитических результатов различаются не более, чем на 16%. Следует отметить, что аналитический результат, найденный согласно разным теориям (табл. 1.4 и 1.5) отличаются менее, чем на 10%.
Деформация круглой пластины под действием нормального давления по теории Тимошенко-Рейсснера
Один из вариантов декомпрессионной операции описан в работах [82, 83], Предложенная операция заключается в частичном рассечении склерального канала вблизи решетчатой пластинки. Таким образом, увеличивается длина окружности опорного склерального кольца. Построение механической модели такой операции возможно только при рассмотрении сопряженных сферических оболочек. Другой вариант декомпрессионных операций, которые давно используются, представлен в работе [33] и заключается во вставках имплантата на участке склеры недалеко от сопряжения с роговицей. При построении механической модели такой операции следует учитывать три сопряженные оболочки, склеру, роговицу и решетчатую пластинку.
Целью работы является построение моделей сопряженных сферических оболочек для оценки напряженно-деформированного состояния фиброзной оболочки глаза при изменении внутриглазного давления, оценки коэффициента запаса прочности роговицы после рефракционных операций, построение моделей деформации анизотропной решетчатой пластинки диска зрительного нерва, а также описание некоторых декомпрессионных операций. Во введении обосновывается актуальность в современной офтальмологии задач о напряженно-деформированном состоянии сопряженных сферических оболочек с разными механическими свойствами под действием нормального давления, также объясняется необходимость решения задачи об анизотропной круглой пластине. Представлен краткий обзор литературы, связанной с рассматриваемыми в диссертации задачами.
Первая глава посвящена изучению напряженно-деформированного состояния сопряженных однородных изотропных сферических оболочек, находящихся под действием нормального давления. Проводится сравнение аналитических и численных решений, полученных в прикладном пакете ANSYS. Рассматривается задача о сопряженных оболочках склеры и роговицы, изучается влияние геометрических и механических параметров на прогиб роговицы, проводится оценка изменения коэффициента запаса прочности роговицы после рефракционных операций. В пакете ANSYS проведены также расчеты напряженно-деформированного состояния сопряженных трансверсально-изотропных сферических оболочек. Также с помощью построенной модели рассматривается задача о деформации составных оболочек - оболочек одного радиуса, склеры и решетчатой пластинки. Проводится сравнение численных и аналитических решений задачи о прогибе решетчатой пластины диска зрительного нерва под действием нормального давления в сопряжении со склерой и отдельно от нее. Показано, что изменение радиуса склерального кольца даже при высоком внутриглазном давлении незначительно, а нормальный прогиб решетчатой пластинки диска зрительного нерва, полученный при рассмотрении сопряженных оболочек, мало отличается от прогиба пластины или пологой оболочки с жесткой заделкой, поэтому можно рассматривать решетчатую пластинку диска зрительного нерва отдельно с учетом ее анизотропии.
Во второй главе рассматривается задача о прогибе ортотропных круглых пластин с жесткой заделкой под действием нормального давления. Приводятся аналитические результаты расчета прогиба пластинки с различными механическими и геометрическими параметрами, полученные по классической теории пластин, по теории Тимошенко-Рейсснера, уточненной теории Амбарцумяна и уточненной итерационной теории Родионовой-Черныха. Приводятся также расчеты по трехмерной модели в пакете ANSYS. Проводится сравнение результатов, полученных по различным теориям. В третьей главе представлены результаты моделирования декомпрессионных операций, направленных на снижение прогиба решетчатой пластинки, основанных на изменениях геометрических параметров склеры. Задачи решены методом конечных элементов в прикладном пакете ANSYS. Построены трехмерные и упрощенные двумерные модели сопряженных оболочек, позволяющие определить некоторые параметры изменения оболочки, при которых прогиб решетчатой пластинки уменьшается наибольшим образом. 1. Построены аналитические решения задач о напряженно-деформированном состоянии сопряженных сферических изотропных оболочек под действием нормального давления в случае, когда обе оболочки рассматривались как сферические, и в случае, когда одна из оболочек рассматривалась, как пологая оболочка. Получена оценка области применимости асимптотического решения комплексных уравнений В.В. Новожилова. 2. Для конкретной задачи о деформации решетчатой пластинки диска зрительного нерва проведено сравнения решения задачи о деформации составной оболочки (склеры и решетчатой пластинки) с решением задач о прогибе пологой оболочки и пластины с жесткой заделкой. 3. Проведен сравнительный анализ аналитических решений задачи о деформации круглых однородных ортотропных пластин под действием нормального давления, полученных с помощью различных теорий оболочек — классической теории Кирхгофа-Лява, теории Тимошенко-Рейсснера, уточненной теории Амбарцумяна, уточненной итерационной теории Родионовой-Черныха, а также численного решения, полученного с помощью прикладного пакета ANSYS. По теории Родионовой-Черныха получены аналитические соотношения, описывающие напряженно-деформированное состояние трансверсально-изотропной и ортотропной однородной круглой пластины с жесткой заделкой.
Срез слоя склеры вблизи роговицы как декомпрессионная операция
В прикладном пакете ANSYS построены модели двух декомпрессионных операций. Модели представляют собой задачи о напряженно-деформированном состоянии сопряженных трансверсально-изотропных оболочек с учетом изменения толщины одной из оболочек на отдельном ее участке.
Методы решения. При решении поставленных задач применялись различные методы. Аналитические соотношения, использованные в работе, основаны на асимптотических методах, а также различных двумерных теориях пластин и оболочек. Ряд результатов получен с помощью программной системы конечно-элементного анализа ANSYS.
Полученные в работе результаты докладывались на семинарах «Математические методы и биомеханика в современном университете» (Ростов-на-Дону, 2008) [17] и «Компьютерные методы в механике сплошной среды» (Санкт-Петербург, 2005, 2008) [49] и конференции «Обозрение прикладной и промышленной математики» (Москва, 2005) [11].
По материалам диссертации опубликовано 7 научных работ, в том числе четыре работы1 [11,45,46,48] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК. В работе [17] автору принадлежит модель декомпрессионной операции и связанные с ней расчеты, проведенные в прикладном пакете ANSYS. В [11] содержатся результаты решенной автором задачи, которая была поставлена научным руководителем СМ. Бауэр.
Задачи статики анизотропных пластин и оболочек. Решение задач о напряженно-деформированном состоянии тонкостенных конструкций в рамках трехмерной теории упругости сопряжено с большими трудностями, и поэтому, как известно, создаются приближенные теории, сводящие трехмерные уравнения теории упругости анизотропного тела к двумерным уравнениям теории оболочек и пластин.
Широкое применение в механике анизотропных пластин и оболочек получила классическая теория, разработанная сначала для изотропных однородных структур [5,7,50,51]. При такой постановке задачи отличие теории анизотропных пластин и оболочек от теории изотропных конструкций заключается только в соотношениях упругости. При этом для расчета пластин и оболочек применяются и аналитические методы, разработанные для однородных изотропных тонкостенных конструкций. Вопрос о погрешности этого подхода обсуждался в [9,15].
Иногда для ортотропных объектов (круглых пластин и сферических оболочек), когда главные направления упругости материала совпадают с координатными линиями, при определенных механических параметрах такой подход дает хорошие результаты [6,7,15,50].
В [87,92] классический подход использован для решения задач об осесимметричном изгибе круглых изотропных пластин в случае, когда модуль упругости или толщина оболочки являются функциями радиальной координаты. Многочисленные результаты, полученные по классической теории анизотропных пластин, представлены в монографии С.Г. Лехницкого [51]. Однако дальнейшие исследования показали, что при рассмотрении некоторых прикладных задач классическая теория дает слишком грубые оценки и требует уточнения. К таким вопросам относятся, например, задачи о деформировании пластин средней толщины. В связи с этим появилось много уточненных теорий, построенных, как и классическая, методом гипотез о характере распределения перемещений, деформаций или напряжений по толщине оболочки, однако свободных от основной гипотезы классической теории - гипотезы недеформируемых нормалей. Все уточненные теории тем или иным способом учитывают деформацию сдвига.
Широкое распространение в теории однослойных оболочек получила теория, основанная на гипотезе С.П.Тимошенко - гипотезе прямолинейного элемента [65,74]. В монографии [65] последовательно изложены основы теории оболочек на базе этой гипотезы. Принято, что модуль сдвига для плоскостей нормальных к срединной поверхности независим от модуля Юнга в срединной поверхности, и таким образом фактически учтена трансверсальная изотропия материала оболочки. В ряде работ [27,34] теорию, изложенную в [65,74], называют теорией трансверсально-изотропных оболочек.
В связи с тем, что линейное распределение перемещений по толщине не всегда согласуется с решением трехмерных задач, получили развитие и другие модели. Обзор работ по уточненным теориям пластин, основанным на задании распределения перемещений, содержится в работе [91]. Развивались также модели теории оболочек и пластин, в которых задавались законы распределения касательных напряжений, согласованные с условиями нагружения лицевых поверхностей. Таким уточненным теориям анизотропных пластин и оболочек посвящены монографии С.А. Амбарцумяна [5,7]. Основная из его теорий, названная общей уточненной теорией, основана на гипотезах Новожилова В.В. [62]: нормальное к срединной поверхности перемещение не изменяется по толщине, а касательные напряжения в плоскости, перпендикулярной поверхности пластины, изменяются по толщине пластины по квадратичному закону. Эта теория позволяет получить более точное значение нормальной к срединной поверхности составляющей вектора перемещений. В монографии [7] на основе общей уточненной теории представлены решения задач об изгибе симметрично нагруженных круглых пластин при различных граничных условиях.
Новая уточненная итерационная теория деформации анизотропных пластин, удобная для разработки алгоритмов численных решений краевых задач, представлена в монографии В.А. Родионовой, Б.Ф. Титаева, К.Ф. Черныха [66]. Предложенная теория позволяет построить модель деформации пластины, учитывающую поперечные сдвиги, поперечные нормальные напряжения, повороты волокон, а также изменение их длины.
