Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Решение краевых задач локально нагруженных оболочек методом Годунова 17
1.1. Алгоритм переноса краевых условий методом Годунова 17
1.2. Система дифференциальных уравнений механики деформирования оболочек 25
1.3. Матричная каноническая форма представления дифференциальных уравнений 37
Глава 2. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения и методы их решения 49
2.1. Решение однородных дифференциальных уравнений методом Пикара 49
2.2. Мультипликативный интеграл Вольтерра 56
2.3. Матричный бином Ньютона 57
2.4. Частное решение 60
Глава 3. Перенос краевых условий мультипликативным методом 65
3.1. Постановка задачи 65
3.2. Алгоритм переноса краевых условий при вычислении значений функций Коши-Крылова в направлении от произвольно выбранной точки краевого интервала 66
3.2.1. Алгоритм переноса краевых условий 66
3.2.2. Формулы для вычисления функций Коши-Крылова и частного решения 69
3.3. Алгоритм переноса краевых условий при вычислении значений функций Коши-Крылова в направлении к произвольно выбранной точки краевого интервала 73
3.3.1. Алгоритм переноса краевых условий 73
3.3.2. Формулы для вычисления функций Коши-Крылова и частного решения 76
3.4. Ортонормирование краевых условий 77
3.5. Контроль погрешностей метода и счета 80
Глава 4. Исследование эффективности мультипликативного метода решения краевых задач 83
4.1. Сравнительный анализ вычислительных процедур мультипликативного метода и метода Годунова 83
4.2. Сравнение эффективности методов решения краевых задач осесимметричного деформирования оболочек 88
4.3. Сравнение эффективности методов решения краевых задач деформирования оболочек силами 103
Глава 5. Решение краевых задач локально нагруженных оболочек мультипликативным методом 117
5.1. Решение краевых задач для изотропных и ортотропных цилиндрических, конических и сферических оболочек, нагруженных по участкам линий главных кривизн 117
5.2. Решение краевых задач для слоистых ортотропных цилиндрических, конических, сферических и тороидальных оболочек, нагруженных по площадкам, ограниченными линиями главных кривизн оболочек и очерченными окружностями и эллипсами, оси которых совпадают с направлениями линий главных кривизн 127
Заключение 147
Литература 149
- Система дифференциальных уравнений механики деформирования оболочек
- Формулы для вычисления функций Коши-Крылова и частного решения
- Сравнение эффективности методов решения краевых задач осесимметричного деформирования оболочек
- Решение краевых задач для изотропных и ортотропных цилиндрических, конических и сферических оболочек, нагруженных по участкам линий главных кривизн
Введение к работе
Проектирование крупногабаритных тонкостенных конструкций выбранной архитектуры сопровождается многовариантными расчетами при параметрических исследованиях их прочности, устойчивости и колебаний. Одним из способов решения проблем механики сплошных сред является вычислительный эксперимент. Он более доступный, дешевый и малозатратный по времени по сравнению с экспериментом физическим. В основе численного эксперимента лежат математические модели рассматриваемых явлений. Фундаментальные исследования, поиск решений проблем и оптимизация без математического моделирования и вычислительных экспериментов невозможны.
Математические модели явлений механики сплошных сред чаще всего выражаются в дифференциальной форме. Таким образом, если первой задачей решения проблем механики является построение математических моделей, наиболее полно отражающих происходящие явления, то второй, не менее важной и сложной, является задача построения методов параметрического анализа дифференциальных математических моделей.
В последнее время быстро развивается вычислительная техника, возрастают ее возможности. В связи с этим постоянно наращивается эффективность известных численных методов. Кроме этого строятся новые более эффективные методы.
Теоретические основы численных методов изложены в монографиях И.С. Березина, Н.П. Жидкова, И. Бабушки, Э. Витасека, М. Прагера, К. Бате, Е. Вилсона, Н.С. Бахвалова, Г.М. Кобельникова, П.М. Варвака, Л.П. Варвака, 5- Д.В. Вайнберга, В.З. Ждана, С.К. Годунова, B.C. Рябенького, Э.И. Григолюка, В.И. Шалашилина, Б.П. Демидовича, ИА. Марона, А. Джорджа, Дж. Лю, О. Зенкевича, В.В. Иванова, Л.В. Контаровича, В.И. Крылова, А.Н. Крылова, Л. Коллатца, В.В. Бобкова, П.И. Монастырского, В.Д. Купрадзе, Д. Мак-Кракена, У. Дорна, Г.И. Марчука, С.Г. Михлина, Э. Митчелла, Р. Уэйта, В.И. Мяченкова, В.П. Мальцева, Д. Одена, Дж.Ортеги, У. Пула, Б.Е. Победри, Р.Б. Рикардса, В. Ритца, Р. Рихтмайера, К. Мортона, А.А. Самарского, И.В. Свирского, Г. Стренга, Дж. Фикса, И. Чанга, К. Флетчера и др.
Широкое применение при создании высокопрочных и надежных конструкций находят изотропные и анизотропные слоистые оболочки, подвергающиеся действию неравномерно распределенных нагрузок и температурного поля. Для исследования прочности оболочек, используемых в качестве конструктивных элементов, требуется знание их напряженно-деформированного состояния, что приводит к необходимости разработки эффективных методов решения краевых задач теории оболочек.
Особое место занимают оболочки вращения, они находят широкое применение в качестве конструктивных элементов машин, летательных аппаратов, приборов, различных сооружений и т.д.
Основные теоретические результаты, полученные в теории оболочек, приведены в работах С.П.Тимошенко [279], В. 3. Власова [107], А.Л.Гольденвейзера [120], Н.А. Кильчевского [Ц6], В.В.Новожилова [219], А.И. Лурье [196], И. Геккелера [116] и других авторов.
Изучение напряженно-деформированного состояния оболочек переменной жесткости при силовых и температурных воздействиях получило развитие в исследованиях Л.И. Балабуха [16], И.А. Биргера [34, 35], И.Н. Векуа [56], А.Д. Коваленко [169,170,171—173], К.Ф. Черных [296,297] и др.
Для решения краевых задач механики деформирования оболочечных конструкций используются прямые методы. Основополагающими в развитии прямых методов явились работы И.Г. Бубнова, Б.Г. Галеркина, В.З. Власова, П.Ф. Попковича, Ритца, СП. Тимошенко и др. В работе [257] предлагается метод Ритца и дается его математическое обоснование. Этот метод получил свое развитие в работе СП. Тимошенко [280], посвященной изучению устойчивости упругих систем. Большинство ранних работ, рассматривающих вопросы собственных колебаний и устойчивости, решались на основе метода Ритца. Прочно -6 стной расчет многослойных пластин с помощью метода Ритца выполняется в работе В.В. Болотина, Ю.Н. Новичкова [37]. Там же методом Релея-Ритца определяются частоты собственных колебаний многослойных плит. Теоретическое обоснование вариационных методов и их численная реализация дается в книгах [113, 129, 212, 224]. Применение вариационных методов для расчета пространственных конструкций рассматривается в работе И.Ф. Образцова [224]. Использование вариационных методов для решения задач механики деформирования тонкостенных конструкций возможно при применении тех или иных методов декомпозиции и структурного способа организации вычислений. Один из таких методов и соответствующая ему вариационная формулировка смешанного типа предложены В.Н. Паймушиным [232]. Им построены вариационные формулы типа Рейснера, предназначенные для решения задач статики однослойных [233] и многослойных [235] оболочек.
Теоретические основы и определение области применения метода Бубно-ва-Галеркина изложены в монографиях [272, 290]. Метод получил широкое применение для расчета оболочек и тонкостенных конструкций на прочность, устойчивость и колебания. Этим методом решались краевые задачи в работах [182,254].
Необходимо отметить, что в задачах определения напряженно-деформированного состояния при нестационарном нагружения методы Ритца и Бубнова-Галеркина, базирующиеся на глобальных базисных функциях, обладают существенными недостатками. Решения, получаемые с помощью этих методов, сильно зависят от конкретного вида базисных функций, аппроксимирующих перемещения.
Современным, широко распространенным на практике методом исследования механики деформирования оболочек и тонкостенных конструкций является метод конечных элементов (МКЭ). Фундаментальные результаты теории МКЭ получены в работах О.Зенкевича [156], С.Г. Михлина [211, 212], К. Ректориса [255], J.T. Oden [226]. В работах А.И. Голованова [122, 123], М.С. Корнишина, В.И. Савинова [180] МКЭ использовался для расчета тонкостенных конструкций. Для расчета оболочек по уточненным теориям, учитывающим деформации сдвига и растяжения-сжатия в поперечном направлении, существенную анизотропию упругих свойств КЭ предложены в работах В.Н. Бакулина и В.И. Демидова [15], B.C. Кривцова [184], Р.Б. Рикардса[256].
Другим методом, который наряду с МКЭ принято называть универсальным, получившим широкое применение, является метод конечных разностей (МКР). Теоретическое обоснование МКР дано в работах С.К. Годунова, B.C. Рябенького [119], Л.В. Канторовича, В.Г. Крылова [164], А.А. Самарского [267]. Этим методом решались краевые задачи статики, устойчивости и колебаний пластин, оболочек и тонкостенных конструкций в работах Э.И. Григолюка , и В.М.Толкачева [134], В.И.Гуляева [144], М.А. Ильгамова, В.А.Иванова, Б.В. Гулина [161], Ю.В. Липовцева [194], В.И. Моссаковского [213]. Нелинейные задачи рассмотрены в работах [32, 33].
Достойное место в ряду других и особенно таких общепризнанных методов как МКР и МКЭ занимает метод граничных элементов (МГЭ) при решении задач теории упругости. Достоинствами МГЭ являются понижение размерности решаемой задачи за счет поиска неизвестных только на границе исследуемой области и возможность определения параметров напряженно-деформированного состояния во внутренних точках тела. Применение МГЭ оправдано, если фундаментальное решение имеет компактный явный аналитический вид. В противном случае возникают вычислительные трудности при численном решении граничных интегральных уравнений (ГИУ). Основой МГЭ является интегральное представление решения системы дифференциальных уравнений, описывающих поведение исследуемого объекта. Впервые такое представление в теории потенциала было получено Г. Грином [127]. Применительно к задачам теории упругости В.Д. Купрадзе [190] ввел некоторые интегральные уравнения на основе упругих потенциалов простого и двойного слоя, доказал существование решений этих уравнений и предложил приближенный метод
-8 решения статических задач для однородных упругих тел. В работах В.З. Партона, П.И. Перлина [231] МГЭ на основе упругих потенциалов получил дальнейшее развитие. Прикладное значение интегрального представления решения уравнений статических задач трехмерной теории упругости определено в работах Cruse Т.А., Rizzo F.J. [187, 188]. В монографии [25] суммируется опыт применения МГЭ в самых различных разделах механики.
Во многих работах отмечается, что комбинированные методы, основанные на подходе Л.В. Канторовича, показывают большую эффективность, чем универсальные. Преимущество появляется и в методах частичной дискретизации при конечно-разностной аппроксимации по одному из координатных направлений. Вариационно-разностный метод применен в работе В.Г. Баженова, Е.А. Журавлева [14]. Дифференциально-разностный метод (метод прямых) используется в трудах М.Б. Вахитова [52], ЯМ. Григоренко, Н.Н. Крюкова [140], Ю.П. Петрова [239] и др. Комбинация МКР и метода конечных сумм (МКС), получившая название интегрально-разностного метода (ИРМ), изложена в работе В.А. Фирсова [287]. Дифференциальную форму МКЭ можно найти в работе [237].
Эффективными при решении краевых задач оказались методы, в которых двумерная задача сводится к одномерной путем разделения переменных методом Фурье, методом Канторовича, разностной аппроксимацией производных по одной из координат и другими способами. В результате математическая модель представляется в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которая затем интегрируются при помощи различных численных методов интегрирования, наибольшее распространенным из которых получили методы Рунге-Кутта различных степеней. Для численного решения краевых задач механики разработаны различные методы, сводящие решение краевой задачи к задаче Коши. Наиболее простым из них является метод начальных параметров. Этот метод использовался В.З. Власовым [106], Л.В. Андреевым и др. [6], А.А. Зотовым [158]. Примеры использования метода начальных пара -9 метров можно найти в работе [47]. Однако, как отмечается в работах [30, 47, 118] этот метод является неустойчивым при счете для решения жестких дифференциальных уравнений. Широкое распространение получили и так называемые методы переноса краевых условий, в основе которых лежат численные пошаговые методы интегрирования линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. И. Бабушка, Э. Витасек, М. Прагер [11] отмечают, что при интегрировании жестких дифференциальных уравнении возникают вычислительные трудности, связанные с неустойчивостью счета. Для преодоления этих трудностей, были разработаны специальные методы: факторизации И.М. Гельфанда и О.В. Локуциевского [117] и встречной прогонки А.А. Абрамова [2]. Первый метод проще в реализации, но не всегда обеспечивает устойчивость счета. Особенно это проявляется при решении задач устойчивости и колебаний оболочек. Недостатком метода Абрамова, который всегда устойчив при решении краевых задач механики, описываемых жесткими дифференциальными уравнениями, является увеличение в два раза порядка разрешающей системы дифференциальных уравнений с появлением сложных математических функций в преобразованных правых частях уравнений и, следовательно, неоправданным ростом времени счета и необходимой оперативной памяти ЭВМ. При этом также теряется простой и понятный физический смысл входящих в разрешающую систему уравнений неизвестных. Наибольшее распространение для решения краевых задач для жестких линейных обыкновенных дифференциальных уравнений теории пластин, оболочек и тонкостенных конструкций получил метод ортогональной прогонки, предложенный С.К. Годуновым [118]. Метод Годунова получил свое развитие применительно к решению задач прочности, устойчивости и колебаний в работах В.Л. Бидермана [29], В.В. Болотина, Ю.Н. Новичкова [37], Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко, Е.И. Беспаловой [142], В.И. Мяченкова, И.В. Григорьева, В.П.Мальцева [66, 214, 215] и др. На основе этого метода были созданы и опубликованы пакеты прикладных программ для решения краевых задач тео -10 рии оболочек и механики деформирования тонкостенных конструкций. Необходимо отметить, что методы переноса краевых условий при смене последних требуют повторного интегрирования дифференциальных уравнений. То есть требуется заново решать переопределенную краевую задачу для прежней конструкции. В задачах устойчивости и колебаний при определении собственных значений необходимо многократно решать одну и ту же задачу полностью при вычислении нуля определителя для каждого собственного значения. Необходимость проведения процедуры ортогонализации при решении задачи существенно зависит от геометрических параметров, характеризующих тонкостенную конструкцию. Критическая длина интервала устойчивого счета определяется численным экспериментом при изменении параметров жестких дифференциальных уравнений. Не поддаются строгому математическому контролю и погрешности счета, которые также контролируются численным экспериментом при параллельном счете с уменьшением шага интегрирования.
Различные методы решения краевых и начально-краевых задач на ЭВМ совершенствуются и развиваются в следующих направлениях. Универсальные МКЭ и МКР используются при создания программных комплексов для решения линейных и нелинейных многомерных задач параметрического анализа в автоматическом режиме механики сплошных сред путем распараллеливания алгоритма и организации вычислительного процесса в диалоговом режиме с использованием многопроцессорной техники и использованием для решения поставленной задачи различных методов (МКЭ, МКР, итерационных процессов и т.д.), с обработкой многомерных массивов данных и визуализацией результатов счета. Развитие идет в направлении моделирования универсальными методами явлений и объектов с учетом возможно большего количества параметров влияния. Комплексы совершенствуются в направлении расширения их возможностей, упрощения использования. В то же время мало внимания уделяется проблеме контроля за погрешностями счета.
Методы переноса краевых условий, дифференциально-разностный и дру -11 гие, основанные на численных методах интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, являются менее универсальными и развиваются медленнее. В работах О.А. Дмитриевой [150] строятся новые алгоритмы для решения обыкновенных дифференциальных уравнений большой размерности. Предлагается параллельное вычисление интеграла на начальном отрезке (разгонном участке) для блочных многошаговых методов. В работе А.В. Копылова и Е.Б. Кузнецова [177] формулируются условия однозначной разрешимости начальной задачи для смешанного дифференциально-разностного уравнения, и рассматривается вопрос оптимальной параметризации его решения. Однако при совершенствовании и этих методов проблеме контроля за погрешностями счета так же уделяется мало внимания.
За всю историю существования методов решения краевых задач теории оболочек, которая является фундаментом для строительной механики тонкостенных конструкций, важнейшим стимулом для развития строительной механики являлось стремление к весовому совершенству тонкостенных конструкций. Основная проблема теории пластин и оболочек - совершенствование известных и построение новых математических моделей их деформирования. Главным образом, исследования направлены на совершенствование математических моделей с целыо наилучшего отражения реального поведения оболочек и, следовательно, составленных из них тонкостенных конструкций. В то же время совершенствование известных и построение новых более эффективных методов решения краевых задач теории пластин, оболочек и тонкостенных конструкций остается не менее важной фундаментальной проблемой. Она тесно связана с постоянным совершенствованием математических моделей их деформирования.
Когда вычислительная техника была еще слабой, исследования математических моделей механики деформирования пластин, оболочек и тонкостенных конструкций развивались в направлении построения приближенных теорий (безмоментных, полубезмоментных, асимптотических с расчленением напря -12 женного состояния на безмоментное, чисто моментное и краевой эффект и др.) с определением областей их применимости. Такое развитие исследований было продиктовано необходимостью решения прикладных краевых задач теории оболочек и механики деформирования тонкостенных конструкций, находящих применение в строительстве летательных аппаратов, снижение веса которых было первостепенной задачей. Теоретическое обоснование приближенных методов решения краевых задач изложено в работах О. Блюменталя, В.В. Болотина, В.З. Власова, И.И. Воровича, В. Базова, М.И. Вишика, Т.В. Виленской, Н.В. Геккелера, А.Л. Гольденвейзера, В.М. Даревского, В.М. Корнеева, А. Лява, Л.А. Люстерника, Н.Н. Моисеева, В.В. Новожилова, В.Ю. Ольшанского, П.Е. Товстика, В.Е. Хроматова, В.И. Феодосьева, Г.Н. Чернышева, К.Ф. Черных и др. Итоги развития асимптотических методов подведены в монографии И.Ф. Образцова, Б.В. Нерубайло, И.В. Андрианова.
Несмотря на то, что были получены аналитические решения дифференциальных уравнений линейной моментной теории механики деформирования оболочек, например, замкнутых в окружном направлении, они не использовались для решения прикладных краевых задач. Причиной являлось слишком большое число вычислительных операций, требуемых для их решения, такое, что выполнить эти операции вручную не представлялось возможным, а счет на ЭВМ был неустойчивый.
С увеличением быстродействия ЭВМ и ростом оперативной памяти начали развиваться известные и строится новые более эффективные численные методы с устойчивым счетом и контролируемой погрешностью для решения краевых задач механики деформирования пластин, оболочек и тонкостенных конструкций [84, 89, 91,98,101-104]. При этом быстро определились главные проблемы: простота реализации методов, универсальность их для решения многообразных краевых задач, устойчивость счета, скорость счета и контроль за погрешностями в результатах счета.
Отметим дополнительно природу наиболее распространенных численных методов. Конечно-разностные методы построения приближенных решений дифференциальных уравнений используют конечно-разностные аппроксимации производных. В основе других, например, метода конечных элементов, метода Бубнова-Галеркина, метода Рэлея-Ритца лежат попытки аппроксимировать решения дифференциальных уравнений конечными линейными комбинациями заданных функций: полиномов, тригонометрических функций, сплайн-функций и т. п. Во всех случаях, в конечном итоге, задача сводиться к решению системы линейных алгебраических уравнений. Хотя для них системы строятся по узловым точкам заданного интервала изменения аргумента, природа решений этих систем совершенно различная. В конечно-разностных методах - это приближения к значениям решения дифференциального уравнения в точках сетки. В других же - это коэффициенты представления приближенного решения.
В смешанных численных методах, например, дифференциально-разностных; численно-аналитических, таких как метод граничных элементов и других, используется различная природа известных подходов с целью объединения их свойств для повышения эффективности решения специализированных задач. Отметим, что прогресс в области построения мощных программных средств не означает, что необходимость в менее сложных специализированных и простых методах отпадает. Проблема создания эффективных численных методов остается актуальной и сейчас и в будущем, И.И. Ворович, А.С. Юдин, В.Г. Сафроненко [111]. Помимо теоретической ценности в части обогащения известных методов методами с иной природой, относительно простые численные методы необходимы для тестирования более сложных, поскольку формализованных доказательств правильности функционирования сложных программ на допустимом поле входных данных не существует. Практика решения краевых задач показывает, что проблемой остается оценка погрешностей при определении напряженно-деформированного состояния пластин, оболочек и тонкостенных конструкций при концентрации напряжений. Избежать этого явления в конструкциях невозможно. Невозможно, например, избежать передачи усилий локально приложенными и часто близкими к сосредоточенным нагрузками. Особенно актуальными такие задачи являются для тонкостенных конструкций из композиционных материалов. После определения потока внутренних сил в сложных пространственных конструкциях с помощью мощных вычислительных комплексов на основе универсальных методов требуется уточненный расчет отдельных наиболее нагруженных тонкостенных элементов конструкций с помощью простых численных методов, погрешности счета которыми поддаются надежному контролю.
Таким образом, актуальной проблемой является совершенствование алгоритмов и вычислительных процедур известных методов, построение на новой теоретической основе и достаточно просто реализуемых численных специализированных методов, эффективных малыми затратами машинного времени, требованиями к оперативной памяти ЭВМ и позволяющих получать результаты счета с априорно контролируемой погрешностью.
Целью работы являются анализ эффективности решения различными методами линейных обыкновенных дифференциальных уравнений механики деформирования оболочек, построение эффективных мультипликативных алгоритмов переноса краевых условий и решения класса задач о локальном нагружения оболочек.
Научная новизна состоит в следующем:
1. Дана оценка эффективности решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений механики деформирования оболочек на основе методов последовательных приближений Пикара, на основе определения интеграла по Вольтерра, бинома Ньютона и порожденных ими общей формулы.
2. Построены эффективные мультипликативные алгоритмы переноса краевых условий в произвольную точку краевого интервала, когда вычисление значений функций Коши-Крылова для дифференциальных уравнений различными методами выполняется в направлениях от произвольно выбранной точки или к ней.
3. Построенные алгоритмы позволяют априорно оценивать погрешности муль . типликативного метода и контролировать погрешности счета.
4. Выполнены исследования механики деформирования изотропных, ортотроп ных слоистых цилиндрических, конических, сферических и тороидальных локально нагруженных по участкам линий главных кривизн, площадкам, очерченным линиями главных кривизн оболочек, и по площадкам, очерченным окружностями и эллипсами, оси которых совпадают с направлениями линий главных кривизн оболочек.
Достоверность основных научных результатов обеспечивается строгостью математических выкладок, доказательством сходимости решений для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, вычислительными экспериментами и сравнением результатов решения краевых задач механики деформирования оболочек при локальном нагружении с известными.
Прикладная ценность работы состоит в:
- построении эффективных простых в реализации алгоритмов переноса краевых условий при решении краевых задач, которые позволяют сократить затраты машинного времени на два порядка.
- математических априорных оценках погрешностей, которые вносит в результаты метод.
- исследовании концентрации напряжений в оболочках при локальных нагружения.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Корректность математических моделей механики деформирования ортотропных слоистых оболочек.
2. Эффективность вычисления по формулам значений функций Коши-Крылова - решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
3. Эффективность мультипликативных алгоритмов переноса краевых условий.
4. Вычислительные эксперименты сравнительного анализа эффективности построенных алгоритмов решения краевых задач.
-16 5. Корректность решения класса краевых задач механики деформирования локально нагруженных оболочек.
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции "Актуальные проблемы механики оболочек" (Казань, 2000), конференции, посвященной 40-летию кафедры "Аэрокосмические системы" (СМ-2) МГТУ им. Баумана (Москва, 2000), конференции "Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы" (Москва, 2001), XI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Истра, 2001), Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), 4-й Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и математическое моделирование" (Новокузнецк, 2001), XX Международной конференции по теории оболочек и пластин (Нижний Новгород, 2002).
По теме диссертации опубликовано 11 работ.
Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения и краткого обзора литературы, 5 глав и заключения. Она изложена на 176 страницах машинописного текста. Список аннотированной литературы представлен 307 работами отечественных и зарубежных авторов.
Система дифференциальных уравнений механики деформирования оболочек
В смешанных численных методах, например, дифференциально-разностных; численно-аналитических, таких как метод граничных элементов и других, используется различная природа известных подходов с целью объединения их свойств для повышения эффективности решения специализированных задач. Отметим, что прогресс в области построения мощных программных средств не означает, что необходимость в менее сложных специализированных и простых методах отпадает. Проблема создания эффективных численных методов остается актуальной и сейчас и в будущем, И.И. Ворович, А.С. Юдин, В.Г. Сафроненко [111]. Помимо теоретической ценности в части обогащения известных методов методами с иной природой, относительно простые численные методы необходимы для тестирования более сложных, поскольку формализованных доказательств правильности функционирования сложных программ на допустимом поле входных данных не существует. Практика решения краевых задач показывает, что проблемой остается оценка погрешностей при определении напряженно-деформированного состояния пластин, оболочек и тонкостенных конструкций при концентрации напряжений. Избежать этого явления в конструкциях невозможно. Невозможно, например, избежать передачи усилий локально приложенными и часто близкими к сосредоточенным нагрузками. Особенно актуальными такие задачи являются для тонкостенных конструкций из композиционных материалов. После определения потока внутренних сил в сложных пространственных конструкциях с помощью мощных вычислительных комплексов на основе универсальных методов требуется уточненный расчет отдельных наиболее нагруженных тонкостенных элементов конструкций с помощью простых численных методов, погрешности счета которыми поддаются надежному контролю.
Таким образом, актуальной проблемой является совершенствование алгоритмов и вычислительных процедур известных методов, построение на новой теоретической основе и достаточно просто реализуемых численных специализированных методов, эффективных малыми затратами машинного времени, требованиями к оперативной памяти ЭВМ и позволяющих получать результаты счета с априорно контролируемой погрешностью.
Целью работы являются анализ эффективности решения различными методами линейных обыкновенных дифференциальных уравнений механики деформирования оболочек, построение эффективных мультипликативных алгоритмов переноса краевых условий и решения класса задач о локальном нагру-жении оболочек. Научная новизна состоит в следующем: 1. Дана оценка эффективности решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений механики деформирования оболочек на основе методов последовательных приближений Пикара, на основе определения интеграла по Вольтерра, бинома Ньютона и порожденных ими общей формулы. 2. Построены эффективные мультипликативные алгоритмы переноса краевых условий в произвольную точку краевого интервала, когда вычисление значений функций Коши-Крылова для дифференциальных уравнений различными методами выполняется в направлениях от произвольно выбранной точки или к ней. 3. Построенные алгоритмы позволяют априорно оценивать погрешности муль . типликативного метода и контролировать погрешности счета. 4. Выполнены исследования механики деформирования изотропных, ортотроп ных слоистых цилиндрических, конических, сферических и тороидальных локально нагруженных по участкам линий главных кривизн, площадкам, очерченным линиями главных кривизн оболочек, и по площадкам, очерчен ным окружностями и эллипсами, оси которых совпадают с направлениями линий главных кривизн оболочек. Достоверность основных научных результатов обеспечивается строгостью математических выкладок, доказательством сходимости решений для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, вычислительными экспериментами и сравнением результатов решения краевых задач механики деформирования оболочек при локальном нагружении с известными. Прикладная ценность работы состоит в: - построении эффективных простых в реализации алгоритмов переноса краевых условий при решении краевых задач, которые позволяют сократить затраты машинного времени на два порядка. - математических априорных оценках погрешностей, которые вносит в результаты метод. - исследовании концентрации напряжений в оболочках при локальных нагру-жения. Основные положения, выносимые на защиту: 1. Корректность математических моделей механики деформирования орто-тропных слоистых оболочек. 2. Эффективность вычисления по формулам значений функций Коши-Крылова - решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. 3. Эффективность мультипликативных алгоритмов переноса краевых условий. 4. Вычислительные эксперименты сравнительного анализа эффективности построенных алгоритмов решения краевых задач. 5. Корректность решения класса краевых задач механики деформирования локально нагруженных оболочек. Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции "Актуальные проблемы механики оболочек" (Казань, 2000), конференции, посвященной 40-летию кафедры "Аэрокосмические системы" (СМ-2) МГТУ им. Баумана (Москва, 2000), конференции "Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы" (Москва, 2001), XI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Истра, 2001), Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), 4-й Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и математическое моделирование" (Новокузнецк, 2001), XX Международной конференции по теории оболочек и пластин (Нижний Новгород, 2002). По теме диссертации опубликовано 11 работ. Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения и краткого обзора литературы, 5 глав и заключения. Она изложена на 176 страницах машинописного текста. Список аннотированной литературы представлен 307 работами отечественных и зарубежных авторов.
Формулы для вычисления функций Коши-Крылова и частного решения
Таким образом, получены в виде сходящихся матричных степенных рядов (2.12), (2.13) решения для матричных линейных однородных дифференциальных уравнений с переменными и постоянными коэффициентами.
По форме выражения (2.10) - (2.13) представляют собой матричные ряды Тейлора для матричной экспоненты. Матричная экспонента еААх обладает теми же функциональными свойствами, какими обладает и скалярная экспонента eaSXi, за исключением неперастановочности матриц в произведении, АВФВА. Полученные в виде формул (2.10) - (2.13) решения однородного дифференциального уравнения (2.1) обладают замечательным свойством. Они обращаются в единичную матрицу Е при х = XQ или х=0 и поэтому удовлетворяют произвольным начальным условиям Y(x)\ _ =Y0 или Y(x)\ =Y0 задачи Ко ши. Функции с такими свойствами, используя методу Коши, впервые получил А. Н. Крылов для расчета балок, лежащих на упругом основании. Мы будем называть функции, полученные по формулам (2.10) - (2.13) функциями Коши-Крылова, их значения - значениями функций Коши-Крылова, а матрицу, элементами которой являются функции Коши-Крылова или их значения, будем обозначать и далее Кхо(А(х)) или К о и называть матрицами Коши-Крылова. Произвольно выбранный интервал [х0, х] промежуточными точками х0, хи Х2,..., ы ь- -г п делим на части с интервалами [ к-ь к] и текущему аргументы присваиваем произвольно значение х=хп. Интеграл однородного дифференциального уравнения, когда G(x)=0, (2.1) на интервале [х0, х], используя свойство (2.6) функций Коши-Крылова, определим в виде произведения Интеграл на интервале [дгк-ь к] определим по формуле (2.11) где размер Дхк =хк- хк_х интервала выбран достаточно малым, чтобы можно было осреднить на нем элементы матицы А(х) дифференциального уравнения (2.1), то есть А(тк) = const на интервале [х .и Хк] , 2 - сумма членов ряда, начиная со второго порядка малости для Axk. Подставляя выражение (2.15) в (2.14), получим выражение для решения однородного дифференциального уравнения (2.1) с переменными коэффициентами, когда G(x)=0, в виде К = [Е + А(тп)Ахп]..[Е + А(тк)Ахк]..[Е + А(Т2)АХ2\Е + A{tl)hxl]+Е4, где Ек - сумма членов рядов, начиная со второго порядка малости. Переходя к пределу при неограниченном увеличении числа к участков Ахк разбиения произвольно выбранного интервала [хо, хп] и, следовательно, стремлении к нулю длин этих участков, получаем точную предельную формулу А{ = А(тх), А2=А(т2),...,Ап = А(тп). Выражение, стоящее под знаком предела в правой части последнего равенства, представляет собой интегральное произведение, аналог интегральной суммы для обычного интеграла. Предел этого интегрального произведения на зывают мультипликативным интегралом (мультипликация - лат. multiplicatio -умножение) и обозначают символом Мультипликативный интеграл впервые ввел Вольтерра в 1887 году. Приближенно мультипликативный интеграл для однородного дифференциального уравнения (2.1), когда G(x)=0, определяется формулой Для дифференциального уравнения (2.1), если оно имеет постоянные коэффициенты A(x)=A=const, формула (2.16) приближенного вычисления интеграла в виде произведения матриц превращается в матричный бином Ньютона, если интервалы Ахк, А=1, 2,..., п одинаковые, где п - число интервалов Ахк, на которые делится произвольно выбранный интервал [ о, хп]. Формулы (2.11) и (2.16) порождают новую формулу При этом формулы (2.16) и (2.18) можно переписать в сокращенном виде Естественный интерес представляет решение дифференциального уравнения, например, для изгиба балки. Интерес объясняется тем, что решение этого уравнения легко находится интегрированием и образует систему степенных функций. С другой стороны решение этого же уравнения можно определить с помощью матричного ряда Тейлора, который является степенным, и с помощью матичного бинома Ньютона.
Сравнение эффективности методов решения краевых задач осесимметричного деформирования оболочек
Алгоритм метода построен для переноса краевых условий в задачах математической физики для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, записанных относительно искомых величин, на которые накладываются краевые условия в матричной форме. Такую форму представления дифференциальных уравнений будем называть канонической.
Пусть система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений приведена к канонической. Известно, что это всегда можно сделать. Представляется она в матричной форме где Y(x) = [Уі,у2і—,уп]т - транспонированный вектор-столбец искомых величин, А(х) = \\aik " - матрица, элементами а& (/=1,2,..., п) которой являются коэффициенты системы дифференциальных уравнений, G(x) - вектор-столбец для неоднородного дифференциального уравнения. Необходимо найти решение канонического матричного дифференциального уравнения (3.1) при известных краевых условиях где ЯДОНЫ (/=1,2,..., s; =1,2,..., п)и #Д0) = Ы (/=1,2,..., и-s; =1, 2,..., п); s - число краевых условий при х=0, п - порядок дифференциального уравнения (3.1) или п=г - ранг матрицы aj" . Матрицы ЩО) и НХ(Ь) - прямоугольные, ненулевые элементы которых в виде единиц заносятся для выбора величин из вектора столбца У м,. L = [yi,y2i—,yn]l=o;x=L искомых величин, на которые накладываются известные краевые условия. Y(0) = Y(x)\x=Q столбцы искомых величин на краях; Rt (0) = \rx,r2,...,rs ]х=0 и Rr (L) = [г,,г2,...,_, ] =L - векторы-столбцы, ненулевыми элементами которых являются известные значения физических величин на краях. Решение задачи достигается переносом краевых условий (3.2) в произвольную точку краевого интервала с помощью решения для канонического матичного дифференциального уравнения (3.1) и решением системы алгебраических уравнений для объединенных в этой точке краевых условий. При этом определяются значения искомых величин в произвольно выбранной точке, то есть при произвольно выбранном значении аргумента х=Х[. 3.2. Алгоритм переноса краевых условий при вычислении значений функций Коши-Крылова в направлениях от произвольно выбранной точки краевого интервала. Свойства мультипликативных формул для определения общего решения матричного дифференциального уравнения (3.1) позволяют записать решение в виде где ( ) м указывает, что вычисление значений функций Коши-Крылова матрицы К -1 однородного дифференциального уравнения и частного решения Y х выполняются выполняется в направлении от произвольно выбранной точки jq к левому краю, то есть от точки х\ к точке х\.\, рис. 3.1. Для первого интервала [х0, х\], прилегающего к левому краю o=0, решение (3.3) принимает вид Исключая с его помощью 7(0) из условия (3.2) на левом краю, получим Таким образом левые краевые условия переносятся в точку х\. При переносе краевых условий в точку Х2 получим Продолжая итерации, получаем формулу для переноса левых краевых условий в произвольную точку ХІ при вычислении значений функций Коши-Крылова в направлении к левому краю. Если матричное дифференциальное уравнение (3.1) имеет постоянные коэффициенты Л(д;)=Л, длины интервалов [XJ.I, JCJ (/=1, 2,..., п) одинаковые, то матрицы значений функций Коши-Крылова для них одинаковые, и формулы (3.5) принимают вид яд ядок , ( .)= (0)- (0)(7 +кгхх12 +...+ мг ). (з.б) Здесь индекс / обозначает степень матицы. Для последнего интервала [хп.\, хп], xn=L, прилегающего к правому краю, решение дифференциального уравнения (3.1) принимает вид Исключая Y(L) из краевых условий (3.2) для правого края, получаем выражения для краевых условий в точке xn.i Аналогично правые краевые условия из точки хп.\ переносятся в точку ;сп.2. Продолжая итерации, получаем формулы для определения краевых условий в точке xi, перенесенных с правого края. Если дифференциальное уравнение (3.1) имеет постоянные коэффициенты и длины интервалов [x\.i, х{\ (/=1, 2,..., п) переноса краевых условий выбираются одинаковыми, то К = К и формулы (3.8) принимают вид
Решение краевых задач для изотропных и ортотропных цилиндрических, конических и сферических оболочек, нагруженных по участкам линий главных кривизн
Оценка погрешностей является одной из фундаментальных проблем численного анализа. Погрешность складывается из той, которая появляется из-за погрешностей в исходных данных задачи, которая обусловлена численным анализом дифференциальных моделей явлений даже тогда, когда можно провести счет с точными числами, и из той, которая появляется при операциях ЭВМ с приближенными числами.
Обратим внимание на, так называемую, погрешность метода, которая появляется из-за численного решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе численно определяются решение линейного обыкновенного дифференциального уравнения и частное решение по формулам (2.10-2.20) и (2.30 - 2.32) соответственно.
Формулы (2.10-2.13), полученные на основе метода последовательных приближений Пикара, представляют собой матричные, как доказано, сходящиеся ряды Тейлора. Известно, что в этом случае контроль за погрешностями метода можно осуществлять путем сравнения частичных сумм ряда Тейлора. Априорно заданную погрешность можно контролировать по формуле где є - матрица наперед заданной величины погрешности метода, т - число удерживаемых членов ряда Тейлора при определении матрицы значений функций Коши-Крылова - решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Предложенная формула определения абсолютной погрешности метода естественно повторным счетом учитывает и погрешности, вносимые осреднениями значений элементов матрицы А линейных обыкновенных дифференциальных уравнений при вычислении матрицы В.
Относительную погрешность в % определить не представляет трудности. При использовании определения интеграла по Вольтерра при вычислении матрицы значений функций Коши-Крылова для контроля за априорно заданной погрешностью можно использовать матричный ряд Тейлора. При этом мы осуществляем количественную оценку погрешностей метода. Можно использовать качественную оценку погрешностей, которая определяется степенью аппроксимации численного решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Степень аппроксимации численного решения дифференциальных уравнений определяется равенством степени последнего удерживаемого члена матричного ряда Тейлора и числом сомножителей определения решения по Вольтерра. При использовании бинома Ньютона при численном определении решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами степень аппроксимации и, следовательно, погрешность метода определяется степенью бинома Ньютона. Предложенные мультипликативные алгоритмы позволяют контролировать погрешности счета, которые появляются из-за операций ЭВМ с приближенными числами. Сравнивая выражения (3.4) и (3.26), находим, что ( м,/М м-.)= где Е - единичная матрица. Таким образом мы можем контролировать погрешности вычислений значений функций Коши-Крылова однородного матричного дифференциального уравнения (3.1), когда G(x)=0, на каждом из участков устойчивого счета при переносе краевых условий в произвольную точку х краевого интервала. Сравнивая выражения (3.5) и (3.27) для Rfai), находим, что Полученное равенство можно использовать для оценки погрешности, которая появляется при вычислении частного решения неоднородного линейного обыкновенного дифференциального уравнения на каждом из участков устойчивого счета. Оценки погрешностей при решении системы алгебраических уравнений, которые обусловлены округлениями при счете, известны. В построенном алгоритме они несущественны.анализ вычислительных процедур мультипликативного метода и метода Годунова. Метод Годунова переноса краевых условий для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений характеризуется следующими существенными признаками 1. Дифференциальные уравнения записываются в виде системы уравнений, каждое из которых первого порядка, в канонической матричной форме. 2. Интегрирование дифференциальных уравнений осуществляется численным методом Рунге-Кутта четвертой степени с учетом краевых условий путем решения на первом участке однородного дифференциального уравнения с начальными условиями в виде г единичных линейно независимых векторов z0), {к = 1,2,...,г), число которых равно числу неизвестных на данном краю условий и решения неоднородного дифференциального уравнения с начальными условиями в виде вектора г\ компонентами которого являются значения известных на данном краю условий и нули на месте неизвестных условий. На втором и последующих участках интегрирования начальными условиями для решения однородного и неоднородного дифференциальных уравнений являются вычисленные на предыдущем шаге решения соответствующих дифференциальных уравнений.
Похожие диссертации на Мультипликативные алгоритмы переноса краевых условий в задачах механики деформирования оболочек
