Содержание к диссертации
Введение
1 Основные уравнения теории осесимметричных композитных оболочек вращения 15
1.1 Структурные и феноменологические модели КМ 15
1.2 Критерии прочности и начального разрушения 22
1.3 Исходные системы уравнений слоистых оболочек вращения 25
1.4 Разрешающая система уравнений ортотропиых оболочек вращения 33
2 Численные методы решения многоточечных краевых задач для нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений 41
2.1 Метод сплайп-коллокации 43
2.2 Метод дискретной ортогонализации 45
2.3 Анализ эффективности методов сплайп-коллокации и дискретной ортогонализации при решении задач теории пластин и оболочек
2.3.1 Слоистая длинная прямоугольная пластинка 47
2.3.2 Слоистая длинная цилиндрическая панель 54
2.3.3 Сопряженная арочная конструкция 59
2.3.4 Слоистая цилиндрическая оболочка 65
3 Многослойные армированные оболочки нулевой гауссовой кривизны 74
3.1 Влияние выбора геометрических теорий на НДС оболочек нулевой гауссовой кривизны 75
3.2 Влияние выбора структурных моделей КМ на НДС оболочек нулевой гауссовой кривизны 82
3.3 Влияние структуры армирования па НДС оболочек нулевой гауссовой кривизны 88
3.4 Влияние порядка расположения армированных слоев иа НДС оболочек нулевой гауссовой кривизны 90
3.5 Анализ достоверности численных решений 92
Многослойные армированные оболочки вращения ненулевой гауссовой кривизны 95
4.1 Эллипсоидальная оболочка 95
4.1.1 Влияние выбора геометрических теорий на НДС эллипсоидальных оболочек 96
4.1.2 Влияние выбора структурных моделей КМ на НДС эллипсоидальных оболочек 103
4.1.3 Анализ достоверности численных решений 111
4.2 Нодоидная оболочка 113
4.2.1 Влияние выбора геометрических теорий на НДС но-доидных оболочек 114
4.2.2 Влияние выбора структурных моделей и структуры армирования КМ на НДС нодоидных оболочек 120
4.2.3 Анализ достоверности численных решений 129
Расчет сопряженного сосуда давления 132
5.1 Влияние выбора геометрических теорий на НДС сопряженного сосуда давления 133
5.2 Влияние выбора структурных моделей и структуры армирования КМ на НДС сопряженного сосуда давления 137
5.3 Анализ достоверности численных решений 148
Проектирование осесимметричных оболочек вращения с равнонапряженной арматурой 150
6.1 Постановка задачи 150
6.2 Рациональные решения для эллипсоидальных оболочек 152
6.3 Рациональные решения для нодоидных оболочек 156
6.4 Рациональные решения для сопряженных оболочек 158
6.5 Анализ достоверности и эффективности рациональных решений 159
Приложение 1 162
Заключение 170
Литература 172
- Исходные системы уравнений слоистых оболочек вращения
- Анализ эффективности методов сплайп-коллокации и дискретной ортогонализации при решении задач теории пластин и оболочек
- Влияние выбора структурных моделей КМ на НДС оболочек нулевой гауссовой кривизны
- Влияние выбора структурных моделей КМ на НДС эллипсоидальных оболочек
Введение к работе
Тонкостенные оболочки являются важнейшими элементами многих современных конструкций. Ведущую роль они занимают в авиационной и ракетной технике, судостроении, машиностроении, нефтяной и химической промышленности. Большие перспективы но улучшению прочностных и эксплутациониых свойств конструкций в промышленности открыли композитные материалы (КМ). Более легкие, прочные, жесткие, КМ по своим удельным характеристикам существенно превосходят традиционные стали и сплавы.
Композит представляет собой неоднородный сплошной материал, состоящий из двух или более компонентов, среди которых можно выделить армирующие элементы, обеспечивающие необходимые механические характеристики материала, и матрицу, обеспечивающую совместную работу армирующих элементов.
В современных композитах тонкие волокна диаметром (5 -г 200)10-6 м являются армирующими элементами или служат основой для изготовления жгутов, лепт или тканей с различными типами плетения. Волокна должны удовлетворять комплексу эксплутациониых и технологических требований. Это условия по прочности, жесткости и стабильности свойств в процессе эксплуатации. Технологические свойства волокон определяют возможность создания высокопроизводительных процессов изготовления изделий на их основе. Еще одним важным требованием к КМ является совместимость материала волокон с материалом матрицы. В качестве армирующих элементов используются стеклянные, углеродные, борные, органические, стальные, вольфрамовые и другие волокна. Механические свойства некоторых волокон приведены в
табл. 1, где р, Е, <т*, є* — плотность, модуль упругости, предел прочности и предельная деформация волокна.
Таблица 1
Матрица, которая соединяет армирующие элементы, способствует совместной работе волокон и перераспределяет нагрузку при разрушении части волокон, фиксирует форму изделия. Метод изготовления конструкции определяется типом матрицы. Матрица должна обладать достаточной жесткостью, так как при нагружении, не совпадающем с ориентацией волокон, ее прочность является определяющей. Матрица также должна удовлетворять технологическим требованиям: возможность предварительного изготовления полуфабрикатов, хорошее смачивание волокна жидкой матрицей в процессе пропитки, качественное соединение слоев композита, обеспечение высокой прочности соединения матрицы с волокном. В качестве связующего применяются термореактивиые и термопластичные полимеры, углеродные, керамические и металлические матри-
цы. Механические свойства некоторых матриц приведены в табл. 2.
Таблица 2
Композиционные материалы обладают возможностью изменения своей внутренней структуры, что открывает широкие возможности по управлению напряжен но-деформированным состоянием (НДС) конструкций, тем самым обеспечивая наилучшие условия их работы.
Разработке теорий изотропных оболочек посвящены работы: А-Л. Гольденвейзера [21], В.В. Власова [16], А.И. Лурье [62] В.В. Новожилова [71], СП. Тимошенко, С.А. Войновский-Кригера [79] и др.
Обширная литература так же посвящена разработке теорий многослойных композитных оболочек и решению разнообразных конкретных задач. Результаты исследований представлены, в частности, в монографиях Н.А. Алфутова и др. [1], С.А. Амбарцумяна [2,3,4], А. Н. Андреева, Ю.В. Немировского [7] В.Л. Бажанова и др. [8] В.В. Болотина, Ю.Н. Но-вичкова [10], Г.А. Ван Фо Фы [12], В.В. Васильева [13], Ш.К. Галимова [19], Э.И. Григолюка, П.П. Чулкова [45], А.Н. Елпатьевского, В.В. Васильева [56] В.И. Королева [61] А.К. Малмейстера, В.П. Тамужа, Г.А. Те-терса [63], Ю.В. Немировского, B.C. Резникова [69], И.Ф. Образцова и др. [73], П.М. Огибалова, М,А. Колтуиова [74], А.О. Рассказова и др. [76], и др.
Построению теорий и некоторым подходам к формулировке и решению краевых задач теории оболочек и пластин в геометрически нелиней-
ной постановке посвящены монографии К.З. Галимова [18], А.С. Воль-мира [17], Х.М. Муштари, К.З. Галимова [65], В.В. Новожилова [70], П.Ф. Папковича [80] и др.
Методам расчета оболочечпых конструкций и решению конкретных задач на ЭВМ посвящены монографии Н.В. Валишвшш [14], Э.И. Григо-лгока, Г.М. Куликова [46], Э.И. Григолюка, В.И. Мамая [48], Я.М. Григо-реико и др. [49], Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко [50], Я.М. Григоренко, Н.Н. Крюкова [51], Я.М. Григоренко, А.П. Мукоеда [52, 53] В.И. Григорьева, В.И. Мяченкова [54], В.И. Королева [61], В.А. Мяченкова и др. [59], Р.Б. Рикардса [77] и др.
Если большинство вопросов по построению теорий оболочек на данный момент закрыто, то при расчете многослойных армированных сопряженных оболочечных конструкций остается много нерешенных проблем.
Использование композиционных материалов в изделиях современной техники приводит к необходимости учета выраженных анизотропных свойств армированного материала, что приводит к более тщательному выбору модели для описания поведения армированного слоя КМ. В большинстве работ по расчету НДС композитных конструкций используется феноменологический подход для описания свойств композиционного материала [46, 48, 49, 50, 51, 52, 54] и др. Этот подход предполагает, что свойства материала постоянны для всей конструкции, однако в реальной конструкции эти свойства могут зависеть от меридиональной и окружной координат. К тому же использование этого подхода делает невозможным параметрический анализ НДС конструкции от структуры армирования КМ, так как требует экспериментального определения большого набора механических констант для различных по структуре материалов. Использование феноменологических критериев прочности не позволяет определить механизмы разрушения композиционного материала и выявить, какой элемент КМ является наиболее слабым. От этих недосі'атков свободен структурный подход. Так как при построении структурной модели КМ всегда встает вопрос о важности таких фак-
торов, как работа связующего во всем композите или в армированном слое, моделировании волокна как одно- или двумерного тела. Еще одной важной задачей, практически не освещенной в литературе, является сравнений результатов, полученных по различным структурным моделям КМ и исследование зависимости НДС конструкции от структурных и механических параметров КМ.
Повышение требований к прочности современных конструкций, ограничение по весу и жесткие условия их эксплуатации приводит к необходимости при решении важных прикладных задач использовать наряду с классическими и линейными теориями, описывающими НДС оболо-чечных конструкций, неклассические и нелинейные теории. Применение классической теории Кирхгофа-Лява и теории Тимошенко для расчета многослойных армированных конструкций с выраженной анизотропией слоев может привести к существенным погрешностям в получаемых результатах. Использование теорий, основанных на гипотезах ломаной линии, позволяет находить более точные решения, но приводит к уравнениям, порядок которых зависит от количества слоев, что затрудняет получение конкретных результатов. В связи с этим, интерес представляет решение задач определения НДС многослойных армированных оболочек по неклассическим теориям, которые учитывают поперечные сдвиги в каждом слое и при этом система уравнений не зависит от числа армированных слоев.
В виду того, что теоретически сложно оценить погрешность, вносимую введением той или иной гипотезы при построении геометрических теорий оболочек, представляет интерес задача сравнения результатов, полученных по разным геометрическим теориям.
Как правило, в современной промышленности применяются комбинированные конструкции, состоящие из гладко сопряженных или сопряженных через шпангоуты, нескольких оболочек. Рассмотрение таких комбинированных конструкций приводит к значительному увеличению порядка системы уравнений, описывающей всю конструкцию в целом и
появлению наряду с краевыми условиями, условий сопряжения. Большое количество переменных параметров КМ также усложняет системы уравнений, применяемые в теории оболочек.
Аналитические решения в теории оболочек удается найти только для оболочек простейших геометрических форм. Численное решение систем уравнений, описывающих НДС многослойных оболочек вращения, осложняется тем, что эти системы являются жесткими, а решения имеют ярко выраженные краевые эффекты. Поэтому важной задачей является выбор методов решения таких систем, обоснование их эффективности и достоверности получаемых результатов.
Изменение внутренней структуры КМ позволило открыть дополнительные возможности для рационального проектирования по сравнению с изотропными материалами, так как требуемый критерий может быть обеспечен не только за счет выбора подходящего закона распределения толщины или формы оболочки, но и за счет выбора подходящей структуры армирования. Таким образом, увеличивается количество рациональных решений и предоставляются более широкие возможности реализации их на практике.
Исходя из положения, согласно которому нагрузки воспринимаются армирующим материалом, а связующее влияет в основном на равномерную передачу нагрузок на элементарные волокна, в качестве критерия рациональности для конструкций из волокнистых композитов часто используется требование равнонапряженности армирующих волокон. Этот критерий весьма естественен с практической точки зрения, поскольку возможности арматуры в этом случае используются наиболее полным образом.
Обзору и анализу подходов к проблемам рационального проектирования армированных оболочек, в частности и но критерию равнонапряженности арматуры, посвящена работа [23]. Методы решения задач рационального проектирования осесимметричных оболочек с равнонапряжен-ной арматурой, опубликованные в работах [24)-[27], используются при
нахождении рациональных решений для сосудов и резервуаров, состоящих из отдельной или нескольких оболочек. Помимо непосредственного нахождения рациональных решений, важной задачей является обеспечение их достоверности, а так же анализ эффективности рациональных конструкций.
Цель диссертационной работы.
Исследование особенностей осесимметричного деформирования армированных оболочек вращения при использовании классической и неклассических теорий в геометрически линейной и нелинейной постановках.
Выявление зависимостей напряженно-деформированного состояния многослойных армированных конструкций от структурных и механических параметров композиционного материала.
Решение задач рационального проектирования оболочечных конструкций с равыоиапряжегшой арматурой.
Научная новизна. *
Проведено сравнение НДС цилиндрических, комических, сферических, эллипсоидальных, нодоидных оболочек и комбинированных оболочечных конструкций, полученных по неклассической теории Андре-ева-Немировского с результатами, найденными по классической теории и теории Тимошенко в геометрически линейной и нелинейной постановках.
Исследовано влияние структурных и механических параметров КМ, порядка расположения армированных слоев, нелинейных слагаемых, выбора геометрических теорий тонкостенных оболочек и структурных моделей композиционного материала на НДС многослойных армированных конструкций различных геометрических форм.
Найдены решения задач проектирования эллипсоидальных, нодоидных и комбинированных армированных сосудов и резервуаров с рав-нонапряжеиной арматурой.
Достоверность полученных численных результатов подтверждается сравнением с известными, в частных случаях, аиалитически-
ми решениями и численными результатами других авторов, совпадением численных решений, полученных различными методами.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:
XXXVI, XXXVII, XXXVIII Международных научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1998; 1999; 2000); Новосибирской межвузовской научной студенческой конференции "Интеллектуальный потенциал Сибири" (Новосибирск, 1998); V Всероссийской научно-технической конференции молодежи "Механика летательных аппаратов и современные материалы" (Томск, 1998); II и V Сибирских школах семинарах "Математические проблемы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1998; 2001); V, VI, VII научных конференциях "Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф" (Красноярск, 1999; 2001; 2003); III Всероссийском семинаре "Проблемы оптимального проектирования сооружений" (Новосибирск, 2000); научных мероприятиях "Вычислительные технологии 2000" (Новосибирск, 2000); конференции молодых ученых, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН (Новосибирск, 2000); Международной конференции "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", посвященной 80-летию академика Н.Н. Яненко (Новосибирск, 2001); XVII, XVIII Межреспубликанских конференциях по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, 2001; Кемерово, 2003); Международных конференциях молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике (Новосибирск, 2001; 2002); Международных конференциях "Вычислительные технологии и математические модели в науке, технике и образовании" (Казахстан, Ал маты, 2002; Усть-Каменогорск, 2003); Russian-German advanced research workshop on computational science and high performance computing (Novosibirsk, 2003); семинаре "Проблемы математического и численного моделирования" ИВМ СО РАН (руководитель - чл.-корр. РАН В.В. Шайдуров, Красно-
ярск, 2003); объединенном семинаре "Информационно-вычислительные технологии"ИВТ СО РАН (руководитель - академик Ю.И. Шокин, Новосибирск, 2004); семинаре "Теоретическая и прикладная механика"ИТПМ СО РАН (руководитель - чл.-корр. РАН В.М. Фомин, Новосибирск, 2004).
Публикации. По результатам диссертации опубликованы 17 печатных работ [28J — [44].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения и двух приложений. Общий объем диссертации составляет 180 стр., включая 80 рисунков и 32 таблицы. Список литературы содержит 85 наименований.
Содержание работы.
Первая глава посвящена общей постановке задачи и выводу разрешающей системы уравнений статики анизотропных осесимметричиых оболочек вращения. Приведено описание ряда структурных моделей композиционного материала: нитяной модели, модели с одномерными волокнами, уточненной модели с одномерными волокнами, модели с двумерными волокнами. Перечислены используемые критерии прочности и начального разрушения. Приведена система дифференциальных уравнений, описывающая НДС осесимметричиых многослойных армированных комбинированных оболочек вращения, включающая в себя линейные и нелинейные варианты классической теории Кирхгофа-Л ява, теорий Тимошенко и Андреева-Немировского. Для случая оболочек из ортотропно-го материала выписаны коэффициенты матрицы разрешающей системы дифференциальных уравнений.
Вторая глава посвящена анализу эффективности используемых численных методов. Дается краткое описание численных методов сплайн-коллокации и дискретной ортогонализации. На примерах расчета НДС многослойных прямоугольной пластины, цилиндрической панели, сопряженной арочной конструкции и цилиндрической оболочки в иеклассиче-ской постановке проведено сравнение численных решений с аналитиче-
ским.
В третьей, четвертой и пятой главах для цилиндрических, конических, эллипсоидальных, нодоидных и комбинированных оболочек исследовано влияние геометрических теорий, нелинейных слагаемых, структурных моделей КМ, параметров армирования КМ, механических характеристик КМ, порядка расположения армированных слоев. Проведено сравнение численных решений, полученных различными численными методами и с численными решениями, полученными методом инвариантного погружения [7].
В шестой главе выписаны аналитические решения задачи рационального проектирования эллипсоидальных, нодоидных и комбинированных оболочек с равнонапряжешюй арматурой. Показана достоверность и эффективность рациональных решений.
В заключении приводятся основные результаты выполненной работы.
В приложения включены дополнительные результаты расчета НДС цилиндрических, конических и сферических оболочек.
Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю к.ф.-мль, доценту С.К. Голушко за помощь в работе, неизменное внимание и моральную поддержку, без которых данная работа вряд ли могла бы быть выполнена; д.ф.-м.н., профессору Ю.В. Немировскому, высказавшему свои критические и полезные замечания по работе; Е.В. Морозовой и А.В. Юрченко за полезные обсуждения и помощь в оформлении диссертации.
Исходные системы уравнений слоистых оболочек вращения
Аналитические решения в теории оболочек удается найти только для оболочек простейших геометрических форм. Численное решение систем уравнений, описывающих НДС многослойных оболочек вращения, осложняется тем, что эти системы являются жесткими, а решения имеют ярко выраженные краевые эффекты. Поэтому важной задачей является выбор методов решения таких систем, обоснование их эффективности и достоверности получаемых результатов.
Изменение внутренней структуры КМ позволило открыть дополнительные возможности для рационального проектирования по сравнению с изотропными материалами, так как требуемый критерий может быть обеспечен не только за счет выбора подходящего закона распределения толщины или формы оболочки, но и за счет выбора подходящей структуры армирования. Таким образом, увеличивается количество рациональных решений и предоставляются более широкие возможности реализации их на практике.
Исходя из положения, согласно которому нагрузки воспринимаются армирующим материалом, а связующее влияет в основном на равномерную передачу нагрузок на элементарные волокна, в качестве критерия рациональности для конструкций из волокнистых композитов часто используется требование равнонапряженности армирующих волокон. Этот критерий весьма естественен с практической точки зрения, поскольку возможности арматуры в этом случае используются наиболее полным образом.
Обзору и анализу подходов к проблемам рационального проектирования армированных оболочек, в частности и но критерию равнонапряженности арматуры, посвящена работа [23]. Методы решения задач рационального проектирования осесимметричных оболочек с равнонапряжен-ной арматурой, опубликованные в работах [24)-[27], используются при нахождении рациональных решений для сосудов и резервуаров, состоящих из отдельной или нескольких оболочек. Помимо непосредственного нахождения рациональных решений, важной задачей является обеспечение их достоверности, а так же анализ эффективности рациональных конструкций.
Исследование особенностей осесимметричного деформирования армированных оболочек вращения при использовании классической и неклассических теорий в геометрически линейной и нелинейной постановках. Выявление зависимостей напряженно-деформированного состояния многослойных армированных конструкций от структурных и механических параметров композиционного материала. Решение задач рационального проектирования оболочечных конструкций с равыоиапряжегшой арматурой. 1. Проведено сравнение НДС цилиндрических, комических, сферических, эллипсоидальных, нодоидных оболочек и комбинированных оболочечных конструкций, полученных по неклассической теории Андре-ева-Немировского с результатами, найденными по классической теории и теории Тимошенко в геометрически линейной и нелинейной постановках. 2. Исследовано влияние структурных и механических параметров КМ, порядка расположения армированных слоев, нелинейных слагаемых, выбора геометрических теорий тонкостенных оболочек и структурных моделей композиционного материала на НДС многослойных армированных конструкций различных геометрических форм. 3. Найдены решения задач проектирования эллипсоидальных, нодоидных и комбинированных армированных сосудов и резервуаров с рав-нонапряжеиной арматурой. Достоверность полученных численных результатов подтверждается сравнением с известными, в частных случаях, аиалитическими решениями и численными результатами других авторов, совпадением численных решений, полученных различными методами. Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: XXXVI, XXXVII, XXXVIII Международных научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1998; 1999; 2000); Новосибирской межвузовской научной студенческой конференции "Интеллектуальный потенциал Сибири" (Новосибирск, 1998); V Всероссийской научно-технической конференции молодежи "Механика летательных аппаратов и современные материалы" (Томск, 1998); II и V Сибирских школах семинарах "Математические проблемы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1998; 2001); V, VI, VII научных конференциях "Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф" (Красноярск, 1999; 2001; 2003); III Всероссийском семинаре "Проблемы оптимального проектирования сооружений" (Новосибирск, 2000); научных мероприятиях "Вычислительные технологии 2000" (Новосибирск, 2000); конференции молодых ученых, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН (Новосибирск, 2000); Международной конференции "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", посвященной 80-летию академика Н.Н. Яненко (Новосибирск, 2001); XVII, XVIII Межреспубликанских конференциях по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, 2001; Кемерово, 2003); Международных конференциях молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике (Новосибирск, 2001; 2002); Международных конференциях
Анализ эффективности методов сплайп-коллокации и дискретной ортогонализации при решении задач теории пластин и оболочек
Рассмотрим замкнутую оболочку вращения постоянной толщины Л, собранную из К армированных слоев (рис. 1.3). Пусть отсчетная поверх ность Q является внутренней поверхностью оболочки; Оу1у2у3 — прямоугольная декартова система координат; L — кривая класса С3, лежащая — ее параметризация. Параметрические уравнения поверхности Г2, полученной вращением кривой L вокруг оси xz имеют вид: где s, tp — ортогональная система координат, связанная с линиями кривизны поверхности вращения, s Є [so, si], (p Є [0,2n]. Параметры Ламе Лі, Аг и радиусы кривизны нормальных сечений в направлениях координатных линий Лі, R2 имеют вид: В случае, когда нормаль к поверхности направлена в сторону ее выпуклости, для параметров Ламе Н\, Яг, Щ пространственной ортогональной системы координат s, (ру z, нормально связанной с поверхностью, имеем следующие выражения:
При расчете многослойных композитных оболочек важной задачей является выбор геометрической модели, описывающей напряженно-деформированное состояние конструкции. Использование достаточно простых соотношений классической теории Кирхгофа-Лява позволяет в ряде практических случаев получить удовлетворительные результаты. Однако повышение требований к прочности и надежности современных обо-лочечных конструкций приводит к необходимости рассмотрения геометрических теорий, основанных на менее жестких предположениях, чем гипотеза сохранения нормального элемента.
Решение трехмерных задач теории упругости о нахождении НДС обо-лочечных конструкций на сегодняшний момент является очень сложной проблемой. Поэтому широкое применение получили методы сведения трехмерных задач к двумерным. Один из таких способов заключается в разложении искомых функций в ряды по координате, отсчитываемой по нормали к некоторой исходной поверхности, что приводит к последовательности двумерных краевых задач высокого порядка. Асимптотический метод состоит в разложении искомого решения в ряды по степеням некоторого малого параметра, характеризующего оболочку.
Большинство уточненных по сравнению с теорией Кирхгофа-Л ява моделей, описывающих НДС оболочек, получены с использованием гипотез о характере распределения напряжений, деформаций и перемещений по толщине оболочки. Преимуществом такого подхода является относительная простота разрешающих соотношений. Однако такой подход не обладает возможностью уточнения полученных на его основе результатов.
При построении уточненных моделей основным фактором является учет деформаций сдвига во всех или отдельных слоях оболочки. Гипотеза о прямолинейном элементе для всего пакета в целом стала одной из самых распространенных, используемая при построении теории оболочек Тимошенко. Однако для многослойных конструкций с существенно различными механическими параметрами слоев принятие гипотезы прямой линии для всего пакета в целом может вносить существенную погрешность в получаемые результаты. Использование гипотезы прямой линии для каждого слоя в отдельности позволяет находить более точные решения, но приводит к уравнениям, порядок которых зависит от количества слоев, что затрудняет получение конкретных результатов.
Другой способ построения уточненных моделей заключается в задании нелинейного закона распределения поперечных напряжений по толщине. Интерес представляет модель, приведенная в [6, 7], позволяющая рассчитывать НДС многослойных анизотропных оболочек с учетом поперечного сдвига в каждом слое. Порядок полученной системы уравнений при этом не зависит от количества слоев.
В данной работе расчет НДС многослойных армированных оболочек проводится с использованием линейных и нелинейных вариантов классической теории Кирхгофа-Лява, теорий Тимошенко и Андреева-Немиров-ского [7]. Полная система уравнений, описывающая НДС тонкостенных композитных пластин и оболочек в случае осесимметричного деформирования, состоит из трех групп соотношений: — уравнений равновесия, которые не зависят от физических свойств материала конструкции; — кинематических соотношений, которые строятся на основе определенных допущений о характере деформации (для композитных конструкций свойства компонентов материала и его внутренняя структура в значительной степени влияют на выбор допущений о характере деформирования); — физических соотношений, связывающих напряжения и деформации в конструкции и отражающих свойства материала, из которого она из-готовлеЕіа. Основную систему уравнений, описывающую равновесие оболочки вращения, выпишем в виде, включающем в себя линейный и нелинейный варианты классической теории Кирхгофа-Лява [71], теорий Тимошенко [50] и Андреева-Немировского [7]. Уравнения равновесия имеют вид.
Влияние выбора структурных моделей КМ на НДС оболочек нулевой гауссовой кривизны
Рассмотрим замкнутую оболочку вращения постоянной толщины Л, собранную из К армированных слоев (рис. 1.3). Пусть отсчетная поверхность Q является внутренней поверхностью оболочки; Оу1у2у3 — прямоугольная декартова система координат; L — кривая класса С3, лежащая — ее параметризация. Параметрические уравнения поверхности Г2, полученной вращением кривой L вокруг оси xz имеют вид: где s, tp — ортогональная система координат, связанная с линиями кривизны поверхности вращения, s Є [so, si], (p Є [0,2n]. Параметры Ламе Лі, Аг и радиусы кривизны нормальных сечений в направлениях координатных линий Лі, R2 имеют вид:
В случае, когда нормаль к поверхности направлена в сторону ее выпуклости, для параметров Ламе Н\, Яг, Щ пространственной ортогональной системы координат s, (ру z, нормально связанной с поверхностью, имеем следующие выражения:
При расчете многослойных композитных оболочек важной задачей является выбор геометрической модели, описывающей напряженно-деформированное состояние конструкции. Использование достаточно простых соотношений классической теории Кирхгофа-Лява позволяет в ряде практических случаев получить удовлетворительные результаты. Однако повышение требований к прочности и надежности современных обо-лочечных конструкций приводит к необходимости рассмотрения геометрических теорий, основанных на менее жестких предположениях, чем гипотеза сохранения нормального элемента.
Решение трехмерных задач теории упругости о нахождении НДС обо-лочечных конструкций на сегодняшний момент является очень сложной проблемой. Поэтому широкое применение получили методы сведения трехмерных задач к двумерным. Один из таких способов заключается в разложении искомых функций в ряды по координате, отсчитываемой по нормали к некоторой исходной поверхности, что приводит к последовательности двумерных краевых задач высокого порядка. Асимптотический метод состоит в разложении искомого решения в ряды по степеням некоторого малого параметра, характеризующего оболочку.
Большинство уточненных по сравнению с теорией Кирхгофа-Л ява моделей, описывающих НДС оболочек, получены с использованием гипотез о характере распределения напряжений, деформаций и перемещений по толщине оболочки. Преимуществом такого подхода является относительная простота разрешающих соотношений. Однако такой подход не обладает возможностью уточнения полученных на его основе результатов.
При построении уточненных моделей основным фактором является учет деформаций сдвига во всех или отдельных слоях оболочки. Гипотеза о прямолинейном элементе для всего пакета в целом стала одной из самых распространенных, используемая при построении теории оболочек Тимошенко. Однако для многослойных конструкций с существенно различными механическими параметрами слоев принятие гипотезы прямой линии для всего пакета в целом может вносить существенную погрешность в получаемые результаты. Использование гипотезы прямой линии для каждого слоя в отдельности позволяет находить более точные решения, но приводит к уравнениям, порядок которых зависит от количества слоев, что затрудняет получение конкретных результатов.
Другой способ построения уточненных моделей заключается в задании нелинейного закона распределения поперечных напряжений по толщине. Интерес представляет модель, приведенная в [6, 7], позволяющая рассчитывать НДС многослойных анизотропных оболочек с учетом поперечного сдвига в каждом слое. Порядок полученной системы уравнений при этом не зависит от количества слоев. В данной работе расчет НДС многослойных армированных оболочек проводится с использованием линейных и нелинейных вариантов класси- ческой теории Кирхгофа-Лява, теорий Тимошенко и Андреева-Немиров-ского [7]. Полная система уравнений, описывающая НДС тонкостенных композитных пластин и оболочек в случае осесимметричного деформирования, состоит из трех групп соотношений: — уравнений равновесия, которые не зависят от физических свойств материала конструкции; — кинематических соотношений, которые строятся на основе определенных допущений о характере деформации (для композитных конструкций свойства компонентов материала и его внутренняя структура в значительной степени влияют на выбор допущений о характере деформирования); — физических соотношений, связывающих напряжения и деформации в конструкции и отражающих свойства материала, из которого она из-готовлеЕіа. Основную систему уравнений, описывающую равновесие оболочки вращения, выпишем в виде, включающем в себя линейный и нелинейный варианты классической теории Кирхгофа-Лява [71], теорий Тимошенко [50] и Андреева-Немировского [7]. Уравнения равновесия имеют вид:
Влияние выбора структурных моделей КМ на НДС эллипсоидальных оболочек
В главе 2 было показано, что численные методы сплайн-коллокации и дискретной ортогонализации позволяют с высокой точностью решать задачи определения НДС многослойных длинных пластин, цилиндрических панелей и армированных цилиндрических оболочек. Теперь перейдем к решению прямых задач расчета композитных оболочек вращения, когда известны форма конструкции, структура и свойства ее материала, закон распределения толщины стенки, вид нагружения и закрепления. Требуется определить напряженно-деформированное состояние конструкции и уровень нагрузок начального разрушения. В последующих трех главах на примере цилиндрических, конических, эллипсоидальных, нодоидных и комбинированных оболочечных конструкций исследовано влияние выбора: — геометрических теорий, — нелинейных слагаемых, — структурных моделей КМ, — параметров армирования КМ, — механических характеристик КМ, — порядка расположения армированных слоев на вид НДС и уровень нагрузок начального разрушения. Рассмотрим задачу изгиба слоистой конической оболочки (рис. 3.1) толщины й, углом конусности 2а и состоящей из К армированных сло ев. Система уравнений, описывающая поведение конической оболочки, получается из (1.40) при А\ = 1, А2 = ssiim, Jfy = оо, R2 = s tga. В случае цилиндрической оболочки радиуса R необходимо положить А і = 1, Л2 = R, RY = со, Д2 = Д.
Исследуем влияние выбора геометрических теорий на НДС многослойных армированных оболочек нулевой гауссовой кривизны. Механические параметры для различных материалов волокон и связующих приведены в табл. 1,2.
Коническая оболочка с однородными слоями. Рассмотрим трехслойную жестко защемленную коническую оболочку, состоящую из однородных слоев, находящуюся под действием постоянного внутреннего давления.
На рис. 3.2 показаны максимальные безразмерные прогибы, осевые (сплошные линии) и окружные (штриховые линии) напряжения в зависимости от параметра Q = E\fE%. Здесь и далее, кривым 1 соответствуют величины, рассчитанные по линейной классической теории, кривым 2 — по линейной теории Тимошенко, кривым 3 — по линейной теории [7]. Расчеты проводились при h\ = h% = 0.1/І, Е\ = Е%, а = 7г/6, s\fh — 20,
Из рис. 3.2 видно, что результаты, соответствующие классической теории и теории Тимошенко, близки. Различие же между результатами, полученными по классической и неклассической теориям, существенно и составляет при Г2 = 100 для прогибов 25%, а для осевых напряжений — 60%. Для окружных напряжений отличие составляет не более 5%. Результаты расчетов трехслойной цилиндрической оболочки с однородными слоями приведены в Приложении 1. Углепластиковая коническая оболочка. Исследуем влияния структуры армирования и выбора геометрической теории на поведение трехслойной жестко защемленной углепластиковой конической оболочки. Внутренний слой оболочки толщины h\ армирован продольным семейством арматуры, средний слой толщины hi — окружным, а внешний слой толщины Дз — спиральными семействами арматуры под углами ф и —ф. Обозначим такую структуру армирования (0, 90, ф} —ф). На рис. 3.3 показаны максимальные приведенные интенсивности напряжений в связующем материале bsQ, продольном bs\ и спиральном 653 семействах арматуры, а так же безразмерные прогибы углепластиковой конической оболочки в зависимости от угла спирального армирования ф. Результаты получены с использованием структурной модели КМ с двумерными волокнами, hi = Л3 = 0.1ft. Здесь и далее bsQ — тахб5С) Из приведенных на рис. 3.3 результатов видно, что классическая теория и теория Тимошенко дают результаты, отличающиеся на 40% для связующего при ф = 70 и на 30% для спиральной арматуры при ф = 10. Для прогибов и интенсивностей напряжений в продольной арматуре различие не превышает 5%. Результаты, полученные по классической и неклассической теориям отличаются для продольного семейства арматуры до 40%, для спирального семейства — до 70%. Из рис. 3.3 также следует, что подходящим выбором угла спирального армирования можно понизить напряжения в связующем в 4 раза за счет увеличения напряжений в спиральном семействе арматуры в 2 раза. Стеклопластиковая цилиндрическая оболочка. Рассмотрим трехслойную стеклопластиковую, нагруженную внутренним давлением, цилиндрическую оболочку с жесткими днищами. На рис. 3.4 представлены зависимости максимальных приведенных интенсивностей напряжений в связующем 6SQ, продольной bs\ и окружной арматуре bs2, безразмерных, прогибов W от угла спирального армирования, полученные с использованием модели КМ с двумерными волокнами. Сплошным линиям соответствуют результаты при структуре (90,- , ,0), штриховым — (0,90,- , ). Остальные параметры имеют значения: Лі = h$ — O-l/i, R/h = 20, R/l = 0.5.
