Содержание к диссертации
Введение
1. Основные инкрементальные соотношения нелинейной теории упруго сти 17
1.1 Инкрементальные геометрические соотношения 18
1.2 Тензоры напряжений, используемые в инкрементальном подходе 21
1.3 Работа внешних сил и энергия деформации при пошаговом на-гружении 23
1.4 Использование упругого закона поведения материала в инкрементальном подходе 26
1.5 Вариационные уравнения, отнесенные к параметрам актуального, достигнутого и отсчетного равновесных состояний,..., 30
1.6 Использование нелинейно-упругого уравнения состояния для материала с наложенными связями в пошаговом методе решения. 32
1.7 Вариационные постановки задачи на шаге нагружения.. 36
2. Инкрементальные соотношения для задач нелинейно-упругого квазистатического деформирования тонких безмоментных оболочек в плоской и осесимметричной постановках 39
2.1 Инкрементальные геометрические соотношения для тонкой безмоментной оболочки 39
2.2 Использование упругого закона поведения материала при пошаговом нагружении тонкой безмоментной оболочки 42
2.3 Несжимаемый гиперупругий материал. Материал My ни 47
2.4 Вариационные постановки задачи для тонкой безмоментной оболочки 50
2.5 Уравнения для нелинейно-упругого квазистатического деформирования тонкой безмоментной цилиндрической оболочки 52
2.6 Уравнения для нелинейно-упругого квазистатического деформирования тонкой безмоментной осесимметричной оболочки 56
3. Использование МКЭ, алгоритмов и программных средств при пошаго вом численном исследовании задач нелинейно-упругого квазистатиче ского деформирования и контакта мягких оболочек в плоской и осесим метричной постановках 61
3.1. Применение МКЭ к задачам нелинейно-упругого квазистатического деформирования тонких безмоментных
оболочек в плоской и осесимметричной постановках 61
3.2 Алгоритм численного решения с использованием метода по шагового нагружения 65
3.3. Алгоритм вычисления матрицы жесткости и вектора сил на шаге нагружения 67
3.4. Алгоритм пошагового численного решения нелинейно-упругой квазистатической задачи нагружения мягкой оболочки 70
3.5. Алгоритм пошагового численного решения нелинейно-упругой задачи контакта мягкой оболочки с жесткой плоскостью 74
3.6. Структура и состав программных средств 79
4. Результаты численного исследования задач нелинейно-упругого квазистатического нагружения и контакта мягких оболочек в плоской и осесимметричной постановках 82
4.1 Использование метода пошагового нагружения в задаче накачивания цилиндрической пневмооболочки 82
4.2 Решение задачи накачивания цилиндрической пневмооболочки переменной толщины 89
4.3 Решение задачи накачивания неоднородной по материалу цилиндрической пневмооболочки 95
4.4 Решение задачи накачивания конической пневмооболочки 100
4.5. Решение задачи квазистатического деформирования тонкой
безмомеитнои конической оболочки под действием центробежных сил 107
4.6 Решение задачи контакта тонкой цилиндрической пневмооболочки с жесткой плоскостью 112
4.7. Решение задач накачивания и контакта тороеой пневмооболочки с жесткой плоскостью 119
Заключение 129
Список литературы
- Работа внешних сил и энергия деформации при пошаговом на-гружении
- Использование упругого закона поведения материала при пошаговом нагружении тонкой безмоментной оболочки
- Алгоритм численного решения с использованием метода по шагового нагружения
- Решение задачи накачивания неоднородной по материалу цилиндрической пневмооболочки
Работа внешних сил и энергия деформации при пошаговом на-гружении
Проверка достоверности результатов, полученных с использованием предлагаемой инкрементальной методики, осуществлялась сравнением с аналитическими решениями, с решениями, полученными другими авторами, контролем сходимости численных решений, контролем выполнения уравнений равновесия и закона сохранения энергии.
Практическая ценность Разработанные алгоритмы, программы и полученные новые результаты численного исследования процессов нелинейно-упругого квазистатического деформирования и контакта МО могут быть использованы в практике научных, проектных и конструкторских организаций на стадии проектирования и анализа прочности и ресурса.
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы и содержит 145 страниц печатного текста, 68 рисунков, 5 таблиц. Список литературы включает 121 наименование.
Во введении дан краткий обзор и проведен сравнительный анализ применения численных методов расчета нелинейно - упругих задач и задач теории мягких оболочек, приведено обоснование актуальности и необходимости разработки инкрементальной методики численного исследования.
В первой главе для квазистатического деформирования получены инкрементальные соотношения нелинейной пространственной теории упругости. При подходе Лагранжа и модифицированном подходе Лагранжа с использованием уравнений равновесия записаны вариационные уравнения. Для нелинейно-упругого материала и материала с наложенными связями представлены уравнения состояния, а так же произведена их линеаризация на шаге нагружения. Для линейно-упругого закона поведения на шаге предложен способ определения энергии деформации и работы внешних сил. Представлен вариант вариационной постановки задачи при модифицированном подходе Лагранжа с использованием тензора истинных напряжений и учетом "следящих" поверхностных сил.
Во второй главе полученные в первой главе инкрементальные соотношения записаны в компонентном представлении для тонкой безмоментной -оболочки. Приведены нелинейно-упругие и линеаризованные на шаге уравнения состояния с использованием истинных и условных напряжений. Представлены вариационные уравнения и записаны вариационные постановки задачи при подходе Лагранжа и модифицированном подходе Лагранжа. Приведены инкрементальные соотношения и постановки задач для квазистатического деформирования тонких безмоментных некруговой цилиндрической и осесимметричной оболочек.
В третьей главе произведена линеаризация используемых на шаге вариационных уравнений и применен МКЭ. Приведено описание созданных алгоритмов численного решения нелинейных квазистатических задач деформирования и контакта МО. В первой части главы рассматривается применение МКЭ к линеаризованной на шаге постановке задачи. Для конечно-элементной дискретизации используется двухузловой прямолинейный элемент, с линейными функциями формы, аппроксимирующими перемещения на шаге. Во второй части главы описан общий алгоритм решения задачи с использованием метода пошагового нагружения. В третьей части главы приведены алгоритмы численных исследований задач нагружения и контакта мягкой оболочки с жестким штампом. В четвертой части главы приведено структурное описание созданных исследовательских программных средств.
В четвертой главе приводятся результаты решения тестовых задач, а так же задачи деформирования и контакта безмоментной торовой оболочки с жесткой плоскостью. В первой части главы приведено тестирование методики на примере, имеющем аналитическое решение - део ормирование под действием избыточного внутреннего давления круглого цилиндра. Проверка учета действия на оболочку массовых сил производилось на примере задачи вращения усеченной конической оболочки вокруг оси симметрии. Для проверки возможности учета при решении неоднородностей, решены задачи нагружения внутренним давлением цилиндра неоднородного по материалу и с переменной толщиной меридиана. Так же, проверка точности решения осуществлялась на примере деформирования под действием избыточного внутреннего давления усеченного конуса. Тестирование контактной задачи производилось на примере задачи контакта круглого цилиндра с жесткой плоскостью. Срав -16 нение с известной методикой пошагового решения показало эффективность методики, разработанной в диссертационной работе. Во второй части главы приводится решение задач деформирования под действием внутреннего давления и контакта с жесткой плоскостью тонкой безмоментной торовой оболочки. Численное решение контактной задачи строилось для двух случаев: с учетом "прилипания" контактных узлов к поверхности контакта и с отсутствием сил трения.
Основные инкрементальные соотношения нелинейной теории упругости. Анализ литературы показал, что разработка эффективной методики инкрементального численного исследования нелинейно-упругого квазистатического нагружения при больших деформациях является актуальной задачей. Однако эффективность методики зависит от точности используемых соотношений и постановки задачи, а так же быстроты алгоритмов.
В связи с этим в главе, на основе изложенной А. И. Лурье [64] , К. Ф. Черныхом [105], К. Truesdell [91] нелинейной теории упругости, получены инкрементальные соотношения, с использованием подхода Лагранжа и модифицированного подохода Лагранжа построены вариационные постановки задачи. Рассмотрен случай наложения на материал связей, особое внимание уделяется несжимаемому гиперупругому материалу, хорошо описывающему при больших деформациях законы поведения резин и некоторых видов полимеров [15], [105].
В процессе квазистатического нагружения равновесная конфигурация тела Q изменяется, вследствие чего Q зависит от некоторого временного параметра т. В пошаговом методе рассматривается последовательность TQ,TX,...XN_VTK. Этим временным значениям соответствует последователь 0 1 4-1 к к+\ #-1 N ность равновесных состояний Q,Q,...Q,Q,Q,...Q,Q, в которой для характеристики процесса пошагового решения выделяются три характерных о к состояния [54]: Q отсчетное (начальное, недеформированное), Q достигнутые тое (исходное, найденное), Q актуальное (текущее, искомое). Поскольку параметры актуального состояния неизвестны, имеет смысл их выразить через известные параметры отсчетного состояния, т. е. использовать подход Лагранжа, или параметры достигнутого состояния, т. е. использовать модифицированный подход Лагранжа.
Использование упругого закона поведения материала при пошаговом нагружении тонкой безмоментной оболочки
Одним из наиболее эффективных методов решения нелинейных задач является метод пошагового нагружения. Он естественным образом позволяет проводить исследования промежуточных состояний, комбинировать различные этапы нагружения, например, после решения задачи накачивания решать задачу контактного взаимодействия и, таким образом, проследить всю историю нелинейного деформирования. При этом эффективность работы программных средств, в которых реализован этот метод, помимо точности используемых соотношений и постановок задач, существенно зависит так же от моделей дискретизации, эффективности и быстроты алгоритмов решения и программных средств.
В главе приводятся, полученные в результате дискретизации, геометрические соотношения на шаге и вариационные уравнения для плоской и осе-симметричной задач деформирования мягких оболочек. Так же описываются созданные автором алгоритмы численного решения задач нагружения и контакта, приводятся структура и состав разработанных программных средств.
Применение МКЭ к задачам нелинейно-упругого квазистатического деформирования тонких безмоментных оболочек в плоской и осесимметричной постановках.
При численном исследовании задачи нагружения мягкой оболочки в плоской и осесимметричной постановках используется МКЭ. Для конечно -62 элементной дискретизации соотношений гл.2 применяется двухузловой прямолинейный элемент. Обозначим через {Au JAupAu Au Aujf - вектор узловых перемещений элемента, где верхний индекс обозначает номер глобальной оси, нижний - номер узла. Таким образом, вектор приращения перемещения в ] - том узле Аиу для задач деформирования цилиндрической оболочки равен Д и, = Auje, + Аіфу (рис. 2.5.1), для осесимметричной оболочки A(fe)u; = Аи)ех + Auje (рис. 2.6.1). угол наклона элемента. Согласно этим соотношениям при численных исследованиях производится вычисление компонент тензоров деформаций, тензоров кратностей удлинений и углов поворота.
С учетом дискретизации линеаризованные на шаге вариационные уравнения (2.5.10), (2.6.7), основанные на модифицированном подходе Лагранжа, преобразуются к виду {Au}r([M f)]+[Mw]+[M(/)]) {Au}=(-( )f + {Г(Л}Г)У{ДІІ}. (3.1.1) Здесь [M(/)J - инкрементальная геометрическая матрица жесткости [19], [M jr)J - матрица жесткости, [М(/)] - матрица, образованная действием "следящих сил", fF(0} - вектор узловых усилий, f(/)} - вектор узловых внешних сил. В вариационном уравнении (2.5.10), используемом в плоской постановке задачи компоненты (3.1.1) будут равны радиуса в узле. Заметим, что матрица [м ] является несимметричной. Это накладывает определенные неудобства при решении системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и ее хранении в памяти ЭВМ, однако, как будет показано в гл. 4, использование MV)J позволяет существенно сократить время вычислений и эффективно решать задачи при малых жесткостях.
Далее приведем, полученные в результате конечно-элементной дискретизации, уравнения равновесия для актуального состояния, используемые для контроля точности при численном решении. Пусть: Lt, t\,tl ,ht - длина, меридиональные и окружные усилия, толщина і-го элемента в актуальном состоянии соответственно; f/,fj и p kpp k - компоненты векторов поверхно Дг+1 #+1 к+1 стной f и объемной р к нагрузок действующих на /-ый элемент; Д - ме -65-ридиональный радиус кривизны, вычисленный по трем узловым точкам элементов 1-1, і, ї + l. С учетом дискретизации, уравнения равновесия для цилиндрической оболочки (2.5.5) запишем в виде
Согласно (3.1.1), вариационную постановку задачи на шаге, основанную на модифицированном подходе Лагранжа, можно обозначить как систему L нелинейных уравнений [79J bfpi+A A uUo Параметры этой системы Р зависят от вектора перемещения достигнутого состояния Р = Рu I, а приращение вектора нагрузки A(fc)f определяет вектор приращения перемещения на шаге А(А)и. Поскольку достигнутое состояние является равновесным, то имеет место равенство к к LI РХ Как уже отмечалось, неявная нелинейная система трудна для решения, поэтому, воспользовавшись разложением относительно достигнутого состояния, представим ее в виде LPJ+ A(i)f,Awu j = ІЦ P,f,0 j A( f + L J P,f,0 J A(i)u + 0f где Ьдг - матрицы, - невязка. Ограничившись только линейными членами, получим линейную систему Ьдг (Р, f A Awf + llj P,f A Awu = 0, (3.2.1) решив которую находим вектор приращения перемещения на шаге. По полученному вектору определяем полное перемещение тела и его новую конфигурацию равновесному состоянию, нужно воспользоваться итерационным методом, при котором нагрузка фиксирована и соответствует актуальному (искомому) состоянию. В качестве такого метода удобно использовать метод Ньютона (Ньютона - Рафсона [79]), где расчет производится по следующей итерационной схеме
Громоздкость выражений и большое количество параметров приводят к необходимости использовать в программной реализации алгоритмы создания (3.1.1). Ниже в параграфе приводится, разработанный автором диссертационной работы, алгоритм построения матрицы жесткости и вектора узловых сил на шаге нагружения для конечного элемента. Структура алгоритма (рис. 3.3.1) определяется формулами (3.1.2 - 3.1.6), (3.1.7 - 3.1.11).
При построении матрицы жесткости элемента исходными параметрами являются: координаты узлов в отсчетном и достигнутом состояниях, толщина h и плотность р элементов, в отсчетном состоянии, компоненты векторов по k k+\ k fe+1 верхностной нагрузки f, f и объемной силы к, к достигнутого и актуального состояний. По координатам достигнутого состояния вычисляются геометрические параметры конечного элемента в достигнутом состоянии, используемые при построении СЛАУ, такие как угол наклона элемента у?, длина L, средний окружной радиус кривизны (для осесимметричной задачи) рср . Координаты элемента Координаты элемента в отсчетном сост. в достигнутом сост. 1 г і г Определение компонент тензора кратностей удлинений Вычисление толщины элемента достигнутого состояния 1 W f т Толщина элемента отсчетного состояния Определение КОМП.тензора Коши достигнутого Вычисление КОМП. мод. тензора упр. модулей дост. сост ь Вычисление матрицы жесткости Вычисление вектора узловых сил
Алгоритм численного решения с использованием метода по шагового нагружения
Тестирование численной методики осуществлялось на примере решения задачи нагружения внутренним избыточным давлением неоднородной по толщине тонкой безмоментнои оболочки. На рисунках 4.2.1 - 4.2.7 приведен численный расчет нагружения внутренним избыточным давлением цилиндра с жестко заделанными основаниями, имеющего в отсчетном состоянии синусоидальное распределение толщины по меридиану (рис. 4.2.2). На этих рисунках показаны графики, соответствующие внутренним избыточным давлениям р= 0, 2.8, 5.6,... ,28 (КПа).
В качестве материала использовался несжимаемый гиперупругий материала Муни с постоянными Сь =950, С2 =175 (КПа). Радиус основания цилиндра составлял 0.2 м, длина основания принималась 0.7 м. Меридиональное и окружное усилия оболочки в отсчетном состоянии были равны 0.1
Н/м2. Расчеты производились при 100 конечных элементах на 70 шагах нагружения. На каждом шаге осуществлялись итерации, максимальное число которых (кроме первого шага) не превышало 3. Критерием остановки итерационного процесса было условие, для которого величина меры вектора приращения перемещения на шаге меньше 10 6м .
Деформирование меридионального сечения и изменение толщины в процессе нагружения в зависимости от длины меридиана в отсчетном состоянии s показано на рис. 4.2.1 и рис. 4.2.2. Распределение по длине меридиана меридиональных и окружных усилий демонстрируется на рис. 4.2.3 и 4.2.4. Энергия деформации и работа внешних сил, распределенные по срединной поверхности отсчетного состояния, приведены на рис. 4.2.5 и 4.2.6. График зависимости энергии оболочки от величины избыточного давления продемонстрирован на рис. 4.2.7. Величина энергии деформации в конце на -90 гружения была равна Э = 3741 Дж . При конечном давлении максимальные деформации имели следующие значения: меридиональные е = 120% у
Достоверность результатов подтверждалась контролем выполнений уравнения равновесия и закона сохранения энергии. Максимальное отклонение от уравнений равновесия не превышало 1%. Отклонение от закона сохранения энергии - 1.05%. Так же достоверность результатов проверялась сравнением с известным решением. В работе [81] приведено решение задачи для малых деформаций, которое было построено на основе уравнения равновесия Ч 0 ы ыо (4.2.1) ds в котором не производится учет изменения геометрии при деформировании. Результаты сравнения приведены на рис. 4.2.8. Здесь показана зависимость т т относительного отклонения окружных усилий htb для элемента находящего о ся на середине меридиана s = 0,35м от величины окружной деформации в этом элементе. Из графика видно, что при малых окружных деформациях (до 7%), относительное отклонение окружных усилий в оболочке не превышает 10%. Для большего диапазона деформаций учет изменения геометрии при деформировании существенно влияет на точность решения.
Так же для проверки эффективности методики на примере решения рассматриваемой в параграфе задачи осуществлялось ее сравнение с известной методикой [19]. На рис. 4.2.9 для двух методик показана зависимость числа итераций на шаге нагружения от величины нагрузки. Кривая 1 соответствует решению по методике, представленной в диссертации, кривая 2 - по известной методике [19]. Как видно из графика, из-за задания величин начальных усилий, решение на первом шаге начинается не с равновесной конфигурации. Как следствие, появляется большая невязка, которая устраняется большим количеством итераций. При давлении около 4 КПа число итераций известной методики становится больше, и к давлению 25 КПа их увеличение носит лавинообразный характер.
Решение задач с учетом неоднородности материала оболочки демонстрируется на примере нагружения избыточным внутренним давлением жестко закрепленного по торцам тонкого безмоментного цилиндра. Вследствие симметричности оболочки при численном решении рассматривалось деформирование ее левой части. На рис. 4.3.1 изображено меридиональное сечение оболочки, на котором показаны геометрические размеры и условия закрепления. Оболочка изготовлена из материала Трелоара с упругой постоянной С ЗвОіШа, и материала Муни с постоянными С1=950КПа, С2 =\15КПа. Численное решение задачи строилось на 100 конечных элементах. Шаг нагрузки выбирался по величине допустимых деформаций и углов поворотов равной 0,5%. На каждом шаге производились итерации, критерием остановки которых служило условие Awu 10 6Af. Нагружение производилось до конечной величины давления 2.7 КПа. Для решения задачи на первом шаге начальные меридиональное и окружное усилия принимались равными О.Ш/м. На рис. 4.3.2 - 4.3.8 показаны графики соответствующие давлениям 0, 81.3, 273, 552, 890,1261, 1629, 1965, 2251, 2700 (Па). На рис. 4.3.2 демонстрируется изменение меридионального сечения левой части цилиндрической оболочки при деформировании. Распределения толщин, меридиональных и окружных усилий по меридиональной кривой отсчетного состояния на стадиях нагружения приведены на рис. 4.3.3, 4.3.4, 4.3.5 соответственно. На рис. 4.3.6 и 4.3.7 показаны зависимости, распределенных по срединной поверхности отсчетного состояния, потенциальной энергии деформации и работы внешних сил от текущей длины меридиана s соответственно. Зависимость полной энергии цилиндрической оболочки от величины внутреннего давления приведена на рис. 4.3.8.
Решение задачи накачивания неоднородной по материалу цилиндрической пневмооболочки
Ниже приведено решение задач накачивания и контакта безмоментной торовой оболочки с жесткой плоскостью. Данные задачи служат иллюстрацией возможностей развитой в диссертационной работе методики по определению НДС устройств для крепления грузов при квазистатическом деформировании.
На рис. 4.7.1 показаны условия закрепления и схема контакта тора с жестким штампом. Состоянию Q соответствует равновесное состояние после накачивания, Q - актуальное контактное состояние. Параметры задачи в отсчетном состоянии выбирались следующие: меридиональное сечение тора о круглое, с малым и большим радиусами R = 0.2M, RC-Q.7M\ начальные меридиональное и окружное усилия распределены равномерно по толщине и равны 0.01 Н/м2 ; толщина постоянна и равна к = 1мм; материал Муни с упругими постоянными С, = 9,5 105Па, С2= 1,75 105Па. С учетом симметрии задача решалась на половине меридионального сечения. Условия закрепления тора показаны на рис. 4.7.1. Срединная поверхность оболочки разбивалась на 149 конечных элементов.
Как уже было сказано во введении, в устройствах для крепления грузов оболочка испытывает два этапа нагружения - накачивание и контакт. Решение задачи накачивания торовой оболочки осуществлялось до конечного давления р = %КПа. На рис. 4.7.4 и 4.7.5 показана геометрия оболочки в процессе решения задачи. Здесь кривая 1 соответствует отсчетному О я состоянию Q, кривая 2 - состоянию в начале контакта Q, 3 - состоянию в N конце процесса контакта Q. После процесса накачивания максимальная меридиональная деформация появляется в последнем элементе (нумерация элементов по часовой стрелке) ef" = 62,3%, максимальная окружная деформация в первом элементе еж =12,2%, объем занимаемый газом был равен Vі =0,53 5 ж3. Относительная отклонение в уравнениях равновесия и законе сохранения энергии при накачивании торовой оболочки не превышало 1%.
При малых деформациях решение задачи накачивания можно сравнить с известным решением [15], [81], получаемым из уравнений равновесия для точки у = я-/2 или 5 = 0. Здесь показана зависимость относительного отклонения радиальных перемещений от величины окружной деформации. Из графика видно, что при увеличении величины окружной деформации относительное отклонение двух решений растет и к деформации 12% достигает 10%.
Решение задачи накачивания было произведено с использованием двух методик: известной [19] и разработанной в диссертационной работе. Их -сравнение приведено на рис. 4.7.3, на котором показаны графики зависимости числа итераций на шаге от величины максимальной окружной деформации. Решение строилось на 70 шагах нагружения, на каждом шаге производился итерационный процесс, критерием остановки которого было условие достижения мерой вектора приращения перемещения на шаге итерации величины меньшей 10 6 м . Кривая 1 соответствует методике разработанной в диссертационной работе, кривая 2 - известной методике. Увеличивающаяся разница в числе итераций на шаге показывает эффективность разработанной методики.
После решения задачи накачивания рассматривался контакт оболочки со штампом в виде абсолютно-жесткой плоскости. Контактная задача решалась на 400 шагах. Для уравнения состояния газа (3.5.1) значение коэффициента политропии выбиралось равным у = 1.4. Решение задачи контакта строилось для двух случаев: отсутствия сил трения между штампом и оболочкой и наличием сил сцепления. В последнем случае ограничение на виличину силы сцепления не ставилось, вследствие чего на шагах контакта осуществлялось "прилипание" узлов к поверхности штампа.
Для задачи, где трение не учитывается, решение показано на рис. 4.7.4, 4.7.6, 4.7.7, 4.7.9, 4.7.11. На рис. 4.7.5, 4.7.8, 4.7.10, 4.7.12 приведено решение с учетом прилипания контактных точек к штампу. Рис. 4.7.4 и 4.7.5 показывают изменение геометрии тора при контакте. На рис. 4.7.6 и 4.7.7 приведено изменение распределения по меридиональной кривой отсчетного состояния меридиональных и окружных усилий при контакте без трения. Для случая наличия сил сцепления распределение меридиональных и окружных усилий показано на рис. 4.7.8. На рис. 4.7.9 и 4.7.10 показано изменения толщины меридиана в процессе движения контактной плоскости. На рис. 4.7.11 и рис. 4.7.12 приведено распределение по меридиональной кривой удельной л энергии деформации оболочки. Кривая 1 здесь соответствует состоянию Q, кривая 2 конечному состоянию Q. Относительное отклонение в выполнении закона сохранения энергии в конечном состоянии составляла менее 4,2%. В -122-табл. 4.7.2 показано, что с увеличением числа шагов контакта наблюдалось уменьшение величины отклонения от закона сохранения энергии. На рис. 4.7.13 изображены зависимости контактной силы F от ир при отсутствии трения (кривая 2) и при условии прилипания (кривая 1). Из графиков можно сделать вывод о том, что трение существенно увеличивает жесткость конструкции. Об этом свидетельствуют также параметры, полученные после решения контактных задач, которые приведены в табл. 4.7.1.
