Содержание к диссертации
Введение
1. Представление краевых задач для стареющих вязкоупругих композитов 9
1.1. Координатное представление в тензорных произведениях гильбертовых пространств краевой задачи вязкоупрутости 9
1.2. Временные интегральные преобразования краевых задач вязкоупрутости 12
1.3. Сведение интегральным преобразованием задачи кубически нелинрШой вязкоупрутости для стареющего материала -задаче фиктивной упругости 29
1.3.1. Случай однородного материала . 29
1.3.2. Неоднородно стареющий материал 33
1.4. Определение из опытов функций влияния для одно родных вязкоупругих материалов 40
2. Решение задач кубически нелинейной вязкоупругости с неоднородным старением 48
2.1. Задача о кручении бруса из кубически нелинейного стареющего материала 48
2.2. Задача о трубе из вязкоупругого стареющего материала с заданными внутри давлениями и на поверхности трубы перемещениями . 51
2.3. Задача о брусе, сжимаемом между двумя жесткими плитами 57
Заключение 67
Приложение I 69
1.1. Тензорные произведения гильбертовых пространств 69
1.2. Представление интегральных уравнений . 78
Приложение 2 81
2.1. Программа расчета напряжений 81
литература
- Временные интегральные преобразования краевых задач вязкоупрутости
- Неоднородно стареющий материал
- Задача о трубе из вязкоупругого стареющего материала с заданными внутри давлениями и на поверхности трубы перемещениями
- Задача о брусе, сжимаемом между двумя жесткими плитами
Введение к работе
Работа посвящена решению краевых задач вязкоупругости для стареющих и неоднородно стареющих материалов путем сведения исходной задачи вязкоупругости к задачам теории упругости при помощи линейных интегральных преобразований.
В работе [9] проведен подробный анализ приемов сведения задач линейной теории вязкоупругости к задачам линейной теории упругости. Поэтому остановимся только на методах, позволяющее сводить задачи нелинейной теории вязкоупругости к задачам нелинейной теории упругости.
Проблемой распространения принципа Вольтерра на нелинейные нестабшіьнне материалы занимались многие авторы. Приемы решения задач нелинейной вязкоупругости предлагались авторами в работах [67,?2 , 6Z , 54 \ . Нелинейные вязкоупругие задачи решались в [6& ,44] , а физически нелинейным упруго- пластическим и нелине йно- упругим задачам посвящены работы [80,74 ,5f] Наиболее распространенным методом решения"задач нелинейной вязкоупругости является метод упругих решений Б.Е. Победри , предложенный игл в работах [66 ,67]
Если связь между компонентами тензоров деформаций и напряжений задается в виде операторного ряда Фреше,то, аппроксимируя ядра интегральных операторов кусочно-вырожденными ядрами, можно свести задачу нелинейной вязкоупругости к задаче нелинейной упругости методом, предложенным В.В.Колокольчиковым в его работе 146] .
Трудность предложенного в [46] метода заключается в том, что М-преобразование заранее не известно, и для вычисления образов приходится формулировать метод последовательных приближений, сходимость которого доказывается в WI .В [50] методом М- преобразования решены задачи о коническом стержне, клине и трубе для случая, когда они изготовлены из нелинейного вязко-упругого материала.
В настоящей работе обосновывается принцип соответствия для одного класса вязкоупругих материалов. Вводится семейство интегральных преобразований и семейство соответствующих игл материалов, позволяющее сводить точно краевые задачи вязкоупругости к задачам нелинейной упругости. Тшшл образом, целью настоящей работы является формулировка принципа соответствия между краевыми задачами вязкоупругости и задачами упругости для нелинейных неоднородно стареющих материалов при помощи линейного интегрального преобразования с известным до преобразования базисом.
Работа состоит из двух глав и двух приложений.
Математический аппарат, необходимый для реализации принципа соответствия между задачами нелинейной теории вязкоупругости и задачами теории нелинейной упругости, развивается в п р и л о-ж е н и и I.
В п.1 приложения I рассматриваются тензорные произведения гильбертовых пространств, вводятся понятие тензоров- элементов ЭТИХ тензорных произведений и преобразование тензоров при сменах базисов в сомножителях- гильбертовых пространствах. В п.2 рассматриваются интеграяьные операторы и их представления в различных базисах тензорных пространств.
В главе I, на основе разработанного в пп. 1-2 приложения I математического аппарата, производится конкретная реализация принципа соответствия между задачами нелинейной теории вязкоупругости и нелинейной теории упругости. В п.1 гл.1 приводится координатное / тензорное / представление краевой задачи вязкоупругости для нелинейного стареющего материала.
В п.2 , на основе приведенного в приложении I аппарата,преобразований координат в тензорных пространствах,рассматриваются линейные интегральные преобразования по времени исходной задачи вязкоупругости. Формулируется понятие оптимального представления и находится класс вязкоупругих материалов, для которых краевая задача сводится интегральными преобразованиями к задаче нелиней - 7 ной теории упругости.
В п.З формулируются условия, при которых краевая задача вяз-коупругости для кубически нелинейного стареющего материала с линейными объемными свойствами сводится интегральными преобразованиями либо к задаче об определении упругих несовместных деформаций с неоднородными для них уравнениями, либо к задаче кубически нелинейной теории упругости с дополнительными массовыми силами.
Здесь рассматриваются два материала: однородно стареющий и неоднородно стареющий. Неоднородно стареющий материала в области линейного поведения описывается ядрами Н.Х.Арутюняна [2,4,9].
В п.4 предлагается методика определения из эксперимента параметров ядер, введенных в рассмотрение в п.2. В качестве примера рассматриваются опыты на ползучесть металлов в широком диапазоне температур.
Во второй главе решаются конкретные нелинейные и линейные задачи вязкоупрутости, для которых в п.З гл.1 сформулирован принцип соответствия.
В п.1 решается о кручении неоднородного по оси бруса из кубически нелинейного стареющего материала.
В п.2 решается задача о кручении неоднородного стареющего линейного вязкоупрутого бруса.
В п.З решена задача о трубе из кубически нелинейного стареющего материала в смешанной постановке.
В п.4 исследуется задача о брусе, сжимаемом между двумя жесткими плитами. Задача решается методом Ритца на основе теоремы Кастильяно и принципа соответствия, сформулированного в п.З гл.1. Результаты расчетов приведены в приложении П.
Основное содержание диссертации отражено в работах [31], 133], [34].
Автор благодарит своего научного руководителя профессора Колокольчикова В.В. за постановку задачи и постоянное внимание к работе.
Временные интегральные преобразования краевых задач вязкоупрутости
Рассмотрим нелинейную краевую задачу неоднородной вязюупругости со старением : 6j,j +Xi - 0 ; йч -JKi + U j, о о n \f-iMrr, r m ; bijNi =Pitxe V, ut-Ot ,x 5„ Здесь 6:- , bf _ компоненты тензоров деформаций и напря J п J жений; 6:- . (X 71 f -cf 7 ... -cn ) - ядра релаксации, 4-J"s4f ...i .,i„j„ J "і -перемещения; - ІЗ Р і -компоненты вектора напряжений на части поверхности тела 6 , с единичной внешней нормалью Л/j ; U - заданные перемещения на части поверхности 5U .
Краевая задача (2.1) , как было отмечено выше, представляет собой координатную форму записи краевой задачи (1.2") . Произведем смену базисов исходных систем гильбертовых пространств. Тогда выражения тензора в новом базисе А ив старом - А будут связаны соотношением #?... rv,tf...tp п ... % ..ЛрІі; tp (2.2)
Здесь матрицы jb - матрицы перехода к новым координатам в опррных гильбертовых пространствах Lt либо UJ , и ба зисы выбираются ортогональными. для исключения наследственности из соотношений (2.1) достаточно, поскольку время - индекс суммирования, перейти к новому базису в пространствах / у и G . Действительно, для тензоров - элементов тензорных пространств, используя (2.2) , будем иметь: 6ijf p = р CLjrt т 6ijrp = р 6ijrc і (2.3) ± І Ьдесь Г , $ -матрицы перехода к новым базисам в пространствах Lip и- G соответственно. Учитывая (2.3) , вместо - 14 (2.1) будем иметь, что: 4i + i - ; &ц - jl"i,j Wj,il-, (2.4) ьч= Е І-Ї! 16 m pwwpm л л t/ y = Р , S г Ve "і F X 6 6 .
Краевая задача (2.4) в отличие от (2.1) не обладает временным параметром, то есть за счет перехода к новой системе координат удалось исключить время из рассмотрения.
Рассмотрим в качестве примера конкретный вид матриц преобразования и соответствующий им класс вязкоупругих материалов,для которых возможно сведение к задаче фиктивной нелинейной упругости.
Введем линейные интегральные преобразования / преобразова ния координат тензоров /, обозначаемые верхнім индексом ь у преобразуемой величины и преобразования, обозначаемые верхншл ин дексом б . Матрицы обратных преобразований для преобразо ваний первой группы / с индексом і / обозначим через
C/ (p7t) , где р - параметр преобразования, матрицы обратных преобразований для преобразований другой группы / с индексом Г4" /обозначаются через Ц (р ,1) Для дальне й-шего, матрицы (р7і) определяются через Ч\.(р;) как левые обратные в следующем смысле: - 15 ]; P/,«Vpe,Wt -Mpf-рЛ. (2.5) Здесь u(pi P$) - дельта- функция Дирака, а базисы, по которым разложены тензоры, предполагаются непрерывными в опорных пространствах L и GIJ
На (2.5) можно смотреть, как на уравнение относительно функции бХр (р,Dy tPi г Уг Рг Л) , преобразование Лапласа с параметром р которой равно &(р1 Рз) Тогда эту функцию можно найти с помощью обратного преобразования Лапласа от іїірі-рг). То есть: exp(Plt) (pl7t)%(p37t)= (2.6) a+i,o 2$ a- too — J »(p,-pa)exp(ptt)dp = e p(pst),p3eSa ьдесь DL _ абсциссы абсолютной сходимости преобразо вания Лапласа, а через Sa обозначено замыкание правой внутрен ности контура fie р1 в О. = COnit . Из (2.6) полу чаем, что: Ч Г(Р3,Ї) - Cir(i)exp(p2t) , р 6 Sa ; - 16 Аііалогично получению (2.7) наїдем другое решение (2.5) ,ес ли на последнее смотреть как на преобразование Лапласа с парамет ром Р5 функции exp(pzt)4 r(plJt)4 r(p&7 t ) равное #(Р1-Р3Ї (2.Ь) Уг (P fV = (VzxptpiV РІЄ $а V «здесь C ii) f вообще говоря, отличная от Cir(t) функция времени t . Решения (2.7) и (2.8) уравнения (2.5) найдены в предположении, что подинтегральное выражение в (2.5) терпит скачок при переходе через контур Ре р1 - d , или Се р2 = CL , а также обладает особенностью на бесконечности. Так как в правой части (2.5) находится о -сїункция, то подинтегральное выражение может иметь особенность вида произведения двух (Г -функций . Поэтому уравнению (2.5) удовлетворя - 17 ет еще одно решение: г(р,,і) - сп(іШрл-±), (2_9) .здесь r u) - функция времени t .
Заметим, что в (2.7) Cir(t) -функция только времени І . При Cir(t) = fytfi . получаем, что 1/ (pf,t) = ехр (-p,fc) является ядром преобразования Лапласа, а fp2Tt)= r- ЄУр(р21) ядром обратного преобразования Лапласа. Соотношения (2.7) и (2.8) не единственное решение (2.5) в классе функций, терпящих скачок при переходе через какой-либо контур Г на комплексной плоскости. Например, (2.5) удовлетворяют ядра прямого и обратного преобразований Меллина, Гильберта. Ниже на ряду с любыми базисными функциями, удовлетворяющими (2.5) , ограничимся функциями (2.7) и (2.8) .
Оригиналы связываются с трансформантами при помощи обратных интегральных преобразований. К статическим величинам Ь\\ , л І , rL применим преобразование координат, отмечаемое индексом I , к геометрическим величинам бц , U. і , Ы; применим преобразование, отмечаемое индексом Т Ядра в определяющем соотношении (2.1) свяжем с его образом после преобразований, отмечаемых индексом с 7 Г+
Неоднородно стареющий материал
Выражение (4.3) определяет ядро влияния через матрицы преобразо ваний координат. Будем задавать матрицу t/ +(n ) произвольно,из соображений удобства поиска взаимной матрицы (Д. (р 7 b) , а мат рицу Pi(pji) определим из следующих опытов: поставим опыт на одноосное нагрудсение, когда хх 4 0 , а все остальные компоненты тензора деформаций равны нулю. В качестве 6Хх возьмем матрицу преобразования (p7t)
Не ограничивая общности Cxxxx(f;p ) в (4.5) можно положить равным единице, тогда, поскольку 6ХК( Т) -измерено в эксперименте, матрица преобразования Ч((р ) найдена.Зная матрицы преобразований // ж Ч г мы всегда можем свести определение опытные путем ядер вязкоупругости к определению / в.образах / матриц упругих постоянных. Рассмотрим в качестве примера определение из опыта ядра RxuKg(tTc) . Для этого, пользуясь вышеизложенной методикой, определяем матрицы if и Lfr .Затем ставим опыт на чистый сдвиг. Пусть в этом опыте отлична от нуля только компонента 6ХХ тензора деформаций. Тогда в образах преобразований игле ем: i tr (4.6) «о - Bx fpicwp) В уравнении (4.6) 6„(р) - 6щ(Щ(р,і), x;s(p) = 6„(с) 4 г(р,і) известны, поэтому хукх (р) -6ку(р)/ лх(р)
Аналогично, пользуясь опытами на одноосное нагружение и опытами на чистый сдвиг, строятся другие компоненты тензора функций влияния ijdL/ъ (р) зная которые по (4.1) определяют ядра интегральных операторов определяющих соотношений..
Можно предложить методику.определения ядер нелинейных интегральных операторов. Рассмотрим их поиск на примере кубически нелинейных определяющих соотношений. для этого в области линейного поведения материала опреде - 43 ляем сначала ядра линейных интегральных операторов по приведенной выше методике, а затем, увеличивая нагрузки, переходим в область кубически нелинейного поведения. В образах определяющее соотношение принимает вид:
Задавая в эксперименте конкретные лМ, то есть с ф) будет иметь, что (4.7) -линейное уравнение на І/...A (р) » откуда, решая его, находим неизвестный коэффициент . Например, пусть в опыте на сдвиг мы задали деформации Xi, ,а остальные компоненты тензора деформации равны нулю, тогда измеряя &ц(р) , будем иметь : е?ітФ) - feyty) - W VPHa- й.8)
2. Металлы наиболее часто употребляются в качестве материала для создания машин и механизмов, рассчитанных на длитель-нуюработу в условиях больших диапазонов температур и нагрузок. Именно поэтому они являются материалами с наиболее изученными свойствами, которые определяются поведением их микроструктуры. Рассмотрим вопрос определения функций влияния для металлов, исходя из известных свойств микроструктуры. Ограничимся случаем одноосного натрушення и будем считать металл стабильным материалом. Как известно [46] , в этом случае связь деформаций с напряжениями имеет вид: ет= ±Ші- ) ь( ш. (4-9) ,-44 Здесь (bit) и &(t) -напряжение и деформации в момент наблюдения, Е -модуль упругости. При о (t) 6Й H(t-c) из (4.9) дифференцированием получаем: U/J-\ Є А Ё) і А ТГЛ Соотношение (4.10) определяет ядро интегрального оператора через скорость деформации, померенной в опыте на ползучесть.
Микроскопическая модель рассматриваемого процесса состоит в следующем. Металл представляет собой совокупность потенциальных ягл, в которых находятся частицы -дислокации. Если воздействие на металл отсутствует, то каждая дислокация движется в условиях рельефа потенщіальнои энергии, характеризуемого везде одинаковой высотой потенциальных барьеров. Воздействие на металл приводит к тому, что потенциальные барьеры перестают обладать одинаковой высотой для дислокаций, находящихся по разные стороны от него. Это приводит к появлению потока дислокаций, который определяет скорость деформации [27] , то есть скорость деформации определяется термическим преодолением дислокацией потенциального барьера. В этом случае поток дислокаций j и их функция распределеніш р связаны уравнением Фоккера- Планка: 4. II дР = _ Z ді дх Отсюда следует, что j = -jrr dx . Пусть - гамильтониан системы дислокаций, тогда р = (4.12) = Y ехрГ-/5Н0) , и для потока получаем, что [27] : -45 Здесь fe! —постоянная Больцмана, т — температура, W-2 — k f — градиент потенциального рельефа, Б - коэффициент диффузии дислокации- постоянная металла. Поток дислокаций связан со скоростью деформации соотношением: = L (4.13) at здесь h - вектор Еюргерса, постоянная металла. Сила внешнего воздействия на систему в случае ползучести определяет градиент рельефа потенциальной энергии, в котором движется дислокация. Однако, в случае ползучести необходимо учитывать эффекты, связанные с упрочнением материала в процессе пластической деформации. Будегл характеризовать упрочнение увеличением обратного напряжения, действующего на металл, то есть как бы уменьшением приложенного напряжения
Задача о трубе из вязкоупругого стареющего материала с заданными внутри давлениями и на поверхности трубы перемещениями
Бесконечный брус прямоугольного сечения сжимается между двумя жесткими плитами. Брус выполнен из нелинейного вязкоупругого стареющего материала. Среднее давление Р , действующее на грань контакта с плитой меняется во времени по известному закону Р=Р(0 , Боковые поверхности бруса свободны. Краевая задача для рассматриваемого случая имеет вид: %і " & / = І (иЧ f иіл ) t 6.. = J (j\z(t7 C)64(c)d C + (2.3.1) О О \ oxx(x -а,ц)сІц -Pit); -/Vj =0 , хє S5ou . о 4
Здесь Q (t j C) - ядро Н.Х.Арутюняна для стареющего материала [9І. Оно обладает резольвентой es (t гьі , позволяющей обращать линейную часть определяющих соотношений (2.3.1) [2]. Выберем в качестве (t т"СІт 2) такое ядро, чтіябн краевая задача (2.3.1) сводилась к упругой. Тогда, согласно теореме 2.3, должны выполняться соотношения: mr c)-\h (t,P)V(P, )dp , (2 2) (t7tlTt2) I B9(ttp)W(Prv4)W(p,rsl)dp. si -58 Здесь Q (t,p),4r(p,t:)76 (iTp) произвольны. Конкретизируем их, В качестве V(ptt) выберем какркиибо функцию, для которой известна взаимная Чґ+(р ,Ь) , то есть такая, что: YiF(p7v)V4p ,c) -$ Р-Р ). (2,3 3) Тогда для напряжений и поверхностных сил имеем «)- V V« (2.зл) Pi ft) - \ (p)W+(pTt)dp. Пусть Р (р) = / То есть переномируем выбранные V+(prt) Новые У (рЛ) связаны со старыми соотношениями: УЧрД) = P (p)W+(p7t) . (2-3 5) Тогда для V(pri) имеем ,t) = V(p,b)/P (p). (2.3,6) Условие взаимности для V(p,t) и +(р,) сохранено: J V(p7tW4p Tt)dt = dYp-p ). (2,3#7) Для ядер 8 (tTc) ж RdrTftz ) имеем: P«rc)- «rpjwiB, r)dp htTrut2) = \R (t,p)V(p, Cf)Wp,r2)clp. Здесь уже VYprr) - конкретная, выбранная с тем условием, что напряжения преобразуются следующим образом: bq (і) = б Гр) Y4p7t)dp. (2.3.10) - 59 Найдем Q (t,p) « Для этого умножим первое уравнение равенств (2.3.8) на УЧр ,-?) и проинтегрируем от 0 до = : Q (t,p) -\klt WUpft)d . (2.3.II) Определим ядро Q+(t7f) , взаимное для Q р) : О-о \ht,p)u4t,p )dt =д(р-р ). (2-ЗЛ2) В качестве ядра Чр) выберем такое, что (t,p) = В и,р) - (2.3.13) Здесь -25 - постоянная, характеристика материала. Условия теоремы 2.3 удовлетворены. Поэтому краевая задача (2.3.1) сводится интегральными преобразованиями с ядрами W ipjt) І Q + (tTp) к задаче фиктивной упругости: ЛЛ4 бЛ -ч +i6l Z]; 2-ЗЛ4) -і Используя теорему Кастильяно о минимуме дополнительной энергии, переформулируем краевую задачу (2.3.14) следующим образом: -Ь (2.3.15) дх дц дх Ъц - 60 Здесь Ф - дополнительная энергия деформирования. (2.3.15) представляет собой изопериметрическую вариационную задачу с него-лономными связями. Роль связей здесь играют уравнения равновесия, а изопериметрические условия - краевые условия на поверхностях бруса.
Решать задачу (2.3.15) будем методом Ритца. Введем функцию п напряжений У = ZZtfi ifXjU) , тогда уравнения равновесия (не-голономные связи) будут удовлетворяться автоматически. Вид функций ср выберем так, чтобы краевое условие на свободных торцах бруса также удовлетворялось. Второе краевое условие дает нам:
Из (2.3.15) и (2.3.16) получаем следующую вариационную задачу. Определить минимум функции: [ P(dl7... , cyJc/V. (2.3.17) V Здесь Ф Со//,.. .7 (Хп) - дополнительная работа. В нашем случае она имеет вид: р(о/,,. ..,«„) -4б( ,г...,«„) + + (4 &ц ftf,, .. . foL„) , (2.3.18) Выберем функции Ц і(Хги) в следующем виде [76] : - 61 ц=-.Е\(у -Ь2)й( f«,X %X f xY). (2,3.19) Тогда для напряжений получаем: (2 з 20) Соотношения (2,3.17) и (2.3.18) приводят к системе уравнений: . \\i Jdy-a (2.3.21)
Система уравнений (2.3.21) решалась на ЭВМ "Наири 3-І". Имела в себе две основные процедуры: решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и решение системы алгебраических уравнений методом упругих решений. Программа составлена так, что решаются две упругие задачи: линейная и нелинейная, которые соответствуют линейной и нелинейной вязкоупругим задачам. Результаты решения задач - коэффициенты Х .подставлялись в соотношения (2.3,20), откуда находились значения компонентов тензора напряжений, как функции координат X и у для задач теории упругости. Графики напряжений приведены на рисунках. На рис,4 приведены напряжения для задач линейной теории упругости. Видно, что напряжения 6ЛХ имеют максимум на верхней грани бруса, обусловленный наличием свободной грани, которая играет роль кон-центратора напряжений. Сдвиговые напряжений ох„ также имеют максимум на верхней грани недалеко от свободной грани.
На рис ,5 приведены графики напряжений для случая нелинейной упругости, В этом случае нелинейность приводит к более равномерному распределению напряжений. Напряжение &Хх приблизительно равно среднему давлению, а сдвиговые напряжения малы.
Зная напряжения - решения задач теории упругости, пользуясь соотношением (2.3.10), можно установить и напряжения решения задач теории вязкоупругости. Они будут в нашем случае выражаться соотношением:
Таким образом, задача о брусе решена. В заключении отметим следующее. Необходимые интегральные преобразования выбирались так, чтобы краевые условия в соответствующей задаче теории упругости бнлі бы постоянны. Это требование и требование сводимости исходной задачи теории вязкоупругости интегральными преобразованиями к задаче теории упругости наложили ограничения на возможный вид нелинейности в определяющих соотношениях краевой задачи (2.3.1). В данном подходе за исключением коэффициента пропорциональности -Л 2 он определяется внешним воздействием P(t) и линейным ядром Qltj C) . Коэффициент Яд выбирался равным -=10 поданным С.В.Александровского [I] .
Задача о брусе, сжимаемом между двумя жесткими плитами
Метрический тензор тензорного пространства Т есть тензорное произведение метрических тензоров исходных гильбертовых пространств. доказательство . Из определения 1.7. и свойства базисных векторов тензорного пространства Ти будем иметь: G- = Z2 О: Є/ ,) НІ Ни Рассмотрим преобразование координат исходного гильбертова про странства И . Пусть Н Н тензорное произведение гиль бертова пространства самого на себя и пусть задан тензор Л (Ufl Нр-Т2), а вектор а в И . Базисом М явля ется fe/ j , a U2 - Єу . Тогда свернутое по М1 произведение тензора А на вектор # есть С = А-а = ZZ А е е/22 аее[ = а.и) В последней формуле f j 7 / ) -компоненты метрического тензора гильбертова пространства W , поэтому вектор есть.: ра -р с = г: л:, я д.е = т: /?; е.г. І.І5 - 77 їздесь Z2 AL- lj GLt - С і - компоненты вектора С є Ц8
Пусть вектора OL и С -один и тот де вектор в одном и том же гильбертовом пространстве. Н , но разложенный по различным базисам. Тогда оператор А -есть оператор преобразования координатной системы а соотношения (І.І5) задают преобразования координат вектора при переходе к новой координатной системе.Если исходный базис ортонормирован, то (І.І4) приобретает вид: Перейдем к преобразованишл координат тензорных пространств. Пусть Введем Т=Т Т" . Рассмотрим тензоры А б Т , С=ТК и вТ Тп . Свернутое по Т 7 произведение тензора А на тензор В будет равно: С - Ь-А- 5/,... .. ...і/еі,-і, г (1.37) г Либо в компонентах: = А G Л (І.І8) Здесь G- e - компоненты метрического тензора тензор Jt —JYI U... Сп 1 ного пространства Тм . Соотношение (І.І8) выражает преобразование компонент тензора при смене базиса. Тензор 6 в Тп ТЛ играет в (І.І8) роль оператора, преобразующего координатную систему. имеет место соотношение:
Если метрический тензор в (I.I8) равен произведению единиц (символов Кронеккера,либо дельта-функции Дирака ) ,а тензор S ные пространства Hj- имеют одинаковые базисы, и Hj -одинаковые базисы,то, пользуясь результатами последней теоремы, будем иметь известный закон преобразования координат тензора при смене базисной системы: А (1.20)
Рассмотренный случай преобразования координат тензорного пространства Т подразумевает, что координаты преобразуются во всех тензорных сомножителях - гильбертовых пространствах Hj , однако могут существовать случаи, когда базисы меняются только у части тензорных сомножителей W ... Н р . В этом случае будем иметь Здесь санкции (К4) и F(xT...x") удовлетворяют условию существования интегралов, область 2 ограничена кусочно-гладкой поверхностью. Отождествим функцию Ц (х) с компонентой тензо ра у ранга I , то есть введем в рассмотрение тензор ір = І ір(х)Єх()сІх / Базис в данном случае необходимо считать непрерывным. 6х($) - базисный вектор, х -его индекс. Аналогично отождествим функцию F (x7...г Хп) с компонентами тензоров Гм ,равных: (2.2) р» - ln\Fn(x,x ,...7x»)ex(t) еХ1(Ъ) ... 6Хи dx-cfxtdx5... dx„ т а функцию /U (Ху) с компонентой тензора (J И -f/f« )«x,«f)rfx,. (г-3) Составим равенство: у = ZZ Fh (( .П./С/) . (2.4)
Здесь (О обозначает свернутое произведение. (2.4) в компонентах дает (2.1) . Такім образом, (2.1) есть запись в компонентах тензорного уравнения (2.4 Перейдем в равенстве (2.1) к новой координатной системе, при этом координатные системы в равенстве (2.2) будем считать ортонормированными. Запишем связь между компонентами тензоров в новой и в старой координатной системах:
