Введение к работе
з
Актуальность темы
В настоящее время дислокационные модели используются для теоретического описания многих явлений, происходящих в твердых телах на макро- и микро-уровне. К их числу относятся неупругость, внутреннее трение, пластическое течение, хрупкость, усталость, разрушение, рост кристаллов и др. Активно развивающаяся в последние годы теория дискли-наций используется при анализе свойств аморфных твердых тел, жидких кристаллов, а также таких биологических структур, как, например, древесина, белковые полимеры, конденсационные пленки белка, нематоидные структуры кожи человека.
Важную роль в создании и развитии дислокационных и дисклинацион-ных моделей сыграла теория дислокаций Вольтерра или теория упругих дислокаций, основывавшаяся изначально на линейной теории упругости. Вместе с тем в этой теории существует целый ряд проблем, требующих учета нелинейных эффектов.
Прежде всего, следует упомянуть тот факт, что вблизи оси дефекта деформации и напряжения, вычисляемые в линейной теории упругости, неограниченно возрастают, так что гипотезы линейной теории в этой области перестают быть применимыми. Кроме того, бесконечной является и энергия ядра дислокации, вычисляемая на основе линейной теории упругости. Возможность устранения сингулярности полей напряжений и энергии на оси дефекта в рамках нелинейной теории была впервые доказана Л.М.Зубовым (1986).
Другие причины, обуславливающие актуальность привлечения методов нелинейной теории упругости к теории дислокаций связаны, во-первых, с
необходимость решать задачи о равновесии и устойчивости тел, содержащих дефекты и испытывающих конечные деформации, а во-вторых, с моделированием ситуаций, когда величины характеристик дефектов (векторов Бюргерса, Франка) не являются малыми. Последний случай, например, связан с нано-механикой дисклинационных структур.
Одной из важных задач физики дислокаций является моделирование процессов, протекающих в ядре дефекта - области, близкой к его оси, - а также выяснение структуры этой области. Использованные для такого моделирования методы молекулярной динамики показали, в частности, что одним из вариантов этой структуры может быть полость. Возможность описания порообразования на оси дислокации в рамках континуального подхода на основе нелинейной теории упругости была впервые продемонстрирована М.И.Карякиным (1988).
С точки зрения теории упругости ядро дефекта представляет собой область высокой концентрации напряжений. Это означает, что при ее анализе важен учет микроструктуры материала. Другим фактором, свидетельствующим об актуальности учета микроструктуры в теории упругих дислокаций, является использование этой теории при описании нано-объектов. Одним из распространенных способов учета структуры материала в рамках континуальной механики является использование модели сплошной среды с моментыми напряжениями, или среды Коссера.
Из приведенного краткого обзора следует, что анализ решений задач нелинейной теории упругости, описывающих образование полости вокруг оси изолированного дефекта, в том числе на основе использования модели среды Коссера, является важной актуальной задачей современной механики сплошной среды.
Цель работы состоит в изучении возможности порообразования на оси нелинейно-упругого цилиндра, содержащего изолированный дефект (типа клиновой дисклинации или винтовой дислокации), определении ограничений на функцию удельной потенциальной энергии материала, допускающей образование полости, определение зависимости радиуса образующейся полости от параметров дефекта, исследование влияния учета моментных напряжений на возможность образования полостей. Методика исследования. В работе использовались тензорный аппарат механики сплошной среды, полуобратный метод теории упругости, вариационные принципы нелинейной механики, теория материальной симметрии, теория определяющих соотношений материалов со связями, методы компьютерной алгебры, численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и нелинейных алгебраических уравнений и их систем.
Достоверность результатов, полученных в работе, основана на строгом аппарате нелинейной теории упругости. Основное уравнение для определения радиуса полости выведено двумя способами. Первый основан на непосредственном анализе краевой задачи о равновесии нелинейно-упругого цилиндра с изолированным дефектом и замене полого цилиндра сплошным с помощью предельного перехода в граничном условии, когда радиус полости в отсчетной конфигурации стремится к нулю. Второй способ связан с использованием вариационного принципа и основывается на анализе стационарных точек полной потенциальной энергии деформации, рассматриваемой как функция радиуса образующейся полости. Решения для среды Коссера сравнивались с аналогичными решениями для классической нелинейной теории упругости. В ряде частных случаев
проводилось сравнение найденных решений с результатами других авторов.
Научная новизна результатов работы Для произвольной модели материала получено общее уравнение для определения радиуса полости, образующейся вокруг оси цилиндра, содержащего изолированный дефект. Это уравнение позволяет, в частности, ответить на вопрос о возможности или невозможности порообразования для конкретной модели нелинейно-упругого материала. Получены необходимые условия возникновения полости в виде предельных соотношений для функции удельной потенциальной энергии. Исследовано влияние, оказываемое учетом моментных напряжений на возможность образования полости.
Практическая ценность. Разработанная схема определения возможности порообразования может быть использована при классификации нелинейно-упругих потенциалов, уточнения степени их пригодности для описания физически наблюдаемых явлений в твердых телах. Полученные результаты по моделированию дефектов в континууме Коссера могут быть использованы в работах по определению материальных параметров в определяющих соотношениях сред Коссера.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции «Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания» (Ростов-на-Дону, 2004 г.), на IX, X международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» ( Ростов-на-Дону, 2005 г., 2006 г.), на IV международной научной конференции «Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела» (г. Донецк, 2006), на международных конференциях Advanced Problems in Mechanics (Санкт-Петербург, 2006 г., 2007 г.), на конферен-
циях «Математическое моделирование, биомеханика и информационные технологии в современном университете» (2006 г. Ростов-на-Дону, 2007 п. Дивноморское), на семинарах кафедры теории упругости ЮФУ (РГУ). Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ, в том числе две статьи [2] и [13] в журналах «Прикладная механика и техническая физика», 1995, «Вестник Южного Научного Центра РАН», 2008, которые входят в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК РФ.
Структура, содержание и объем работы. Диссертационная работа состоит из ведения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы, включающего 128 наименований работ отечественных и зарубежных авторов, 13 рисунков, общим объемом 106 страниц машинописного текста.
