Введение к работе
Актуальность темы. Механика контактного взаимодействия является одним из ведущих направлений в механике деформируемого твердого тела. Несмотря на то, что получены решения большого количества контактных задач, как аналитическими методами, так и численными, построение и исследование моделей контактного взаимодействия остается актуальным и сегодня в связи с разработкой новых материалов и технологий, предъявлением новых требований к условиям и срокам эксплуатации узлов трения. Научный интерес к этой проблеме обусловлен многообразием процессов и явлений, протекающих при контактном взаимодействии и трении поверхностей.
Изучение смешанных плоских задач для упругого клина началось в конце 60-х годов — это работы B.C. Тонояна, С.А. Лутченко, Т.Я. Попова, М.И. Бронштейна, В.М. Александрова, И.И. Воровича, В.В. Копасенко, Б.И. Сме-танина, В.Т. Койтера.
Для составного клина основные граничные задачи теории упругости рассматривались в работах А.Г. Акопяна, В.Г. Блиновой, A.M. Линькова, М.С. Быркэ, В. Д. Ламзюка, А. И. Феденко, Б.М. Прокофьева (метод функций податливости), Н.Б. Сафаряна, Чен Дай-Хенга (метод разделения переменных), Ж. С. Мишуриса. Упругий клин, модуль Юнга которого является степенной функцией радиуса, исследовался в работах А.Г. Акопяна. О.Н. Шинджикашвили; В.В. Лапенко решал задачи для материала, коэффициенты упругости которого являются степенными функциями радиуса и экспоненциальными по угловой координате методом разделения переменных и методом ортогонализации. В работах В.Г. Блиновой, A.M. Линькова предлагался эффективный метод нахождения асимптотик напряжений и смещений в окрестности общей вершины упругих клиньев. Преимущество метода состоит в том, что независимо от числа клиньев используются матрицы не выше второго порядка. Это обеспечивается учетом геометрической особенности проблемы - клинья образуют систему типа цепочки. Применение преобразования Меллина и использование этой особенности приводит задачу к системе трехточечных разностных уравнений с матрицами не выше второго порядка, определитель которой вычисляется методом прогонки. Приводятся соответствующие формулы для открытых и замкнутых систем упругих клиньев, при полном сцеплении и прскальзывании на контактах, для плоской и антиплоской деформации. М.С. Быркэ приводит решение плоской задачи теории упругости для клина с модулем, зависящим непрерывно от полярного угла, под действием сосредоточенной в его вершине силы. С помощью функции Хеви-сайда осуществляется переход к дискретному случаю. В работах В.Д. Ламзюка, А.И. Феденко предлагался способ решения основных граничных задач плоской теории упругости для неоднородной среды, составленной из произвольного числа скрепленных клиньев. Способ основан на использовании введенных в статье функций податливости составного клина. Н.Б. Сафаря-ном рассматривалось напряженное состояние на крае контактной линии составного клиновидного тела со степенным законом упрочнения материалов в условиях плоско - напряженного состояния. Методом разделения переменных плоская задача теории упругости для неоднородного клина, закон неод-
нородности которого является функцией угловой координаты, решалась в работе Г. Б. Колчина.
Следует отметить, что контактные задачи для неоднородных сред имеют ряд особенностей по сравнению с задачами для однородных сред и в связи с этим представляет научный интерес и является актуальной разработка методов решения задач теории упругости для неоднородных клиновидных областей.
Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы является разработка аналитических методом решения основных задач плоской теории упругости для плоско - напряженного однородно - изотропного бесконечного клина, а так же для клина:
составленного из двух однородно - изотропных клиновидных областей с различными упругими постоянными,
составленного из N однородно - изотропных клиновидных областей с различными упругими постоянными.
На стыке клиньев рассматриваются следующие контакты: жесткий, гладкий, контакт с трением.
Решение конкретных задач, построение графиков найденных напряжений и смещений.
Поставленная цель достигается решением следующих задач:
построение структуры искомых механических параметров в виде степенных рядов с неизвестными коэффициентами;
построение систем линейных алгебраических уравнений конечного порядка, из которых эти коэффициенты определяются;
исследование и решение полученных систем;
доказательство сходимости рядов, дающих искомое решение;
Методами исследования является классические подходы к построению математических моделей деформируемых сред, решение систем уравнений в частных производных при помощи степенных рядов с функциональными коэффициентами. Численные результаты получены с использованием вычислительных алгоритмов, реализованных на ПЭВМ в среде Maple 12.
На защиту выносятся следующие результаты:
постановка основных задач теории упругости для клина, состоящего из двух или нескольких клиновидных областей с различными упругими постоянными;
структура искомых механических параметров в виде степенных рядов с неизвестными функциональными коэффициентами;
метод нахождения этих коэффициентов;
доказательство сходимости рядов, дающих решение полученных задач;
решение конкретных задач, построение графиков.
Научная новизна результатов работы:
1) построена структура механических параметров в виде степенных ря
дов с неизвестными функциональными коэффициентами;
основные задачи теории упругости для плоско - напряженного однородно - изотропного бесконечного клина сведены к системам линейных алгебраических уравнений конечного порядка;
основные задачи теории упругости для плоско - напряженного бесконечного клина, составленного из двух (или N) однородно - изотропных клиновидных областей с различными упругими постоянными сведены к системам линейных алгебраических уравнений конечного порядка;
получены аналитические решения в виде степенных рядов, сходящихся абсолютно и равномерно внутри заданных клиновидных областей, и имеющих бесконечный радиус сходимости;
рассмотрены конкретные задач, построены приближения найденных механических параметров к граничным условиям.
Достоверность полученных результатов работы обеспечивается корректностью постановок краевых задач, использованием фундаментальных принципов механики и математической строгостью методов их решения, а также сравнением с известными из литературы результатами.
Теоретическая ценность работы состоит в обосновании применимости степенных рядов к решению основных задач плоской теории упругости для плоско - напряженного бесконечного клина, составленного из двух (или N) однородно - изотропных клиновидных областей с различными упругими постоянными, сведении подобных задач к решению систем линейных алгебраических уравнений.
Практическая значимость результатов. Полученные результаты могут быть использованы при расчете напряжений элементов клиновидных конструкций из различных материалов во многих областях техники, а так же позволяют построить графики искомых механических параметров.
Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывались на:
1) 41-ой студенческой (региональной) научной конференции по гуманитарным, естественным, техническим наукам (Чебоксары, 2007);
международной молодёжной научной конференции "XXXIV Гагарин-ские чтения" (Москва, 2008);
X международной научной школе "Гидродинамика больших скоростей" и международной научной конференции "Гидродинамика. Механика. Энергетические установки" (Чебоксары, 2008);
международной молодёжной научной конференции "XXXIV Гагарин-ские чтения" (Москва, 2009);
X всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Москва, 2009);
шестой всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и Краевые задачи» (Самара, 2009);
всероссийской конференции «СамДиф-2009» (Самара, 2009);
девятой Казанской летней школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2009);
5-ой международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений" (Белоруссия, 2009);
10) всероссийской научно - практической конференции "Механика: со
временное состояние, проблемы, перспективы" (Чебоксары, 2009).
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем работы - 189 страниц, включая список литературы из 146 наименований.
