Содержание к диссертации
Введение
1. Состояние вопроса 9
1.1. Свободные колебания осеоимметричных пластинок 9
1.2. Метод начальных параметров в строительной механике 15
2. Методика расчета пластинок на осесимметричные колебания 21
2.1. Основные положения 21
2.2. Дифференциальные уравнения 24
2.3. Методика расчета 32
2.4. Влияние числа участков на результаты расчетов . 37
2.5. Влияние коэффициента Пуассона на результаты расчетов 41
2.6. Влияние деформации сдвига и инерции вращения масс на результаты расчетов 46
2.7. Погрешности расчета круглых пластинок 53
3. Расчеты пластинок на осесимметричные колебания 56
3.1. Программа определения на ЭВМ частот свободных колебаний 56
3.2. Пластинки постоянной толщины 63
3.3. Методика определения форм свободных колебаний пластинок 78
3.4. Формы собственных колебаний пластинок 83
3.5. Пластинки переменной толщины 90
4. Неосесимметричные колебания пластинок 95
4.1. Дифференциальные уравнения 95
4.2. Пластинки постоянной толщины 104
4.3. Пластинки переменной толщины 119
5. Разные задачи расчета свободных колебаний пластинок .125
5.1. Пластинки, расположенные на упругом основании 125
5.2. Свободные пластинки 133
5.3. Пластинки на упругих опорах 135
5.4. Пластинки под действием растягивающих и сжимающих сил 142
5.5. Сопоставление результатов расчета пластинок различными методами 147
Выводы 156
Литература 158
Приложение I 173
- Метод начальных параметров в строительной механике
- Влияние деформации сдвига и инерции вращения масс на результаты расчетов
- Методика определения форм свободных колебаний пластинок
- Сопоставление результатов расчета пластинок различными методами
Введение к работе
Круглые и кольцевые осесимметричные пластинки, рассматриваемые в настоящей работе, широко используются в машиностроении, приборостроении, строительстве и других отраслях техники, а потому исследование характера их работы имеет серьезное практическое значение. Естественно поэтому, что изучению этих конструкций и, в частности, вопросов их динамики посвящено большое число работ.
"Одна из важнейших задач динамики состоит в определении собственных частот" ( [86] , с.480). "Спектры собственных частот и собственных форм характеризуют "динамическую индивидуальность" любой линейной колебательной системы" ( [7б] , с.282). Эти спектры нужны для изучения процесса свободных колебаний и для исключения возможности появления резонанса. Они представляют интерес также потому, что многие способы исследования вынужденных колебаний, вызываемых самыми разнообразными нагрузками (периодическими, импульсивными и случайными) основаны на предварительном изучении свободных колебаний.
От соотношений между толщинами пластинок и размерами их в других направлениях, от величин прогибов пластинок, характера и величины действующих на них нагрузок зависит подход к их расчету. Различают пластинки толстые, тонкие, гибкие небольшого прогиба, гибкие большого прогиба и мембраны. В настоящей работе рассматриваются свободные колебания пластинок . наиболее широко распространенного вида, а именно тонких пластинок и гибких пластинок небольшого прогиба. Поперечные коле-
бания таких пластинок являются линейными. Методы расчета их (так называемая техническая или классическая теория изгиба и колебаний пластинок) разработаны более широко и глубоко, чем пластинок других видов. Несмотря на это, многие задачи определения частот и форм свободных колебаний таких пластинок еще не решены. Так, например, из большого числа возможных схем закрепления круглых пластинок имеются решения лишь для нескольких схем, причем в значительной части случаев найдены частоты лишь осесимметричных колебаний, а частоты неосесимметричных колебаний не получены; очень мало решений для пластинок переменной толщины, для упруго закрепленных пластинок, вовсе не рассмотрены пластинки с опорами, расположенными не у краев и др. Объясняется это в основном тем, что даже в простейших случаях решения таких задач связаны с необходимостью получения и решения (путем подбора) сложных трансцендентных уравнений.
Отсутствует методика расчета осесимметричных пластинок на собственные колебания (осесимметричные и неосесимметричные), которая позволяла бы рассчитывать пластинки постоянной и переменной толщины (т.е. с толщиной, изменяющейся вдоль радиуса по любому закону), расположенные на упругом основании, закрепленные любым способом у краев и по промежуточным окружностям, при действии любых осесимметрично приложенных продольных сил, при наличии любого числа жестких или упругих (симметрично расположенных) опор (связей) и которая позволяла бы учитывать при расчете деформацию сдвига и инерцию вращения масс. Разработка такой методики является целью настоящей работы.
В предлагаемой методике расчета пластинок используется метод начальных параметров, матричная форма которого особенно удобна для расчетов, выполняемых на ЭВМ. Разработанный в последние годы способ вычисления матриц влияния метода начальных параметров, не требующий представления выражений элементов этих матриц в явной форме, открывает возможности использования метода начальных параметров для решения широкого круга разнообразных задач расчета пластинок с любыми переменными (вдоль радиуса) параметрами (толщиной, плотностью, коэффициентом постели упругого основания и др.).
При выполнении настоящей работы было определено более тысячи частот свободных колебаний осесимметричных пластинок различным образом закрепленных, имеющих различные размеры, с толщинами, изменяющимися вдоль радиусов по различным законам. Для каждой рассчитанной пластинки было определено по несколько частот осесимметричных и неосесимметричных колебаний - с разным числом узловых окружностей и узловых диаметров. В процессе выполнения работы был составлен и отлажен пакет программ для ЭВМ, с помощью которых можно легко выполнить во много раз большее число расчетов самых разнообразных пластинок, чем было сделано. Это, однако, не входило в задачу настоящей работы, целью которой являлась разработка новой методики, обладающей высокой точностью, имеющей широкую область возможного применения, и исследование этой методики.
Работа состоит из пяти глав. В первой главе рассматривается состояние вопросов, затрагиваемых в диссертации. Во второй главе получена матрица дифференциального уравнения задачи расчета свободных осесимметричных колебаний пластинок,
разработана методика расчета пластинок на такие колебания, исследованы некоторые особенности этой методики и рассмотрено влияние некоторых параметров пластинок на свободные колебания их. В третьей главе рассмотрены программы для определения на ЭВМ частот и форм свободных осесимметричных колебаний пластинок, приведены результаты определения по этим программам частот и форм свободных осесимметричных колебаний большого числа пластинок постоянной и переменной толщины, различающихся способами их закрепления, а также проведен анализ полученных результатов. В четвертой главе получена матрица дифференциального уравнения задачи расчета свободных неосесимметричных колебаний пластинок и приведены результаты определения частот свободных неосесимметричных колебаний большого числа пластинок постоянной и переменной толщины, закрепленных различным образом. В пятой, последней, главе определены частоты свободных колебаний пластинок, расположенных на упругом основании, свободных пластинок, пластинок на упругих опорах, расположенных у краев и по промежуточным окружностям, а также пластинок, сжатых и растянутых силами, параллельными их срединным поверхностям. Кроме того в пятой главе результаты расчетов пластинок, полученных по предлагаемой методике, сопоставлены с результатами их расчетов, приведенными в научной и технической литературе. В приложениях к работе дан перечень выполненных расчетов и приведены две характерные программы для ЭВМ.
В работе формулы, рисунки и таблицы нумеруются следующим образом: сначала указывается номер главы, затем (после
точки) номер пункта и затем (после точки) номер формулы, рисунка или таблицы. При ссылках на формулу, рисунок или таблицу в пределах пункта номера главы и пункта не указываются.
На защиту выносятся:
Разработанная методика расчета свободных осесймметричных и неосесимметричных колебаний осесймметричных круглых и кольцевых пластинок постоянной и переменной толщины.
Использование для расчета свободных колебаний пластинок матричной формы метода начальных параметров с представлением матриц влияния как матрицантов.
Пакет программ для определения на ЭВМ частот и форм свободных колебаний осесймметричных пластинок.
Результаты выполненных расчетов свободных осесймметричных и неосесимметричных колебаний пластинок постоянной и переменной толщины, закрепленных различным образом.
Результаты исследования разработанной методики расчета свободных колебаний пластинок.
Результаты проведенного анализа свободных колебаний пластинок и влияния на них различных факторов.
Метод начальных параметров в строительной механике
Метод начальных параметров впервые был предложен Н.П. Пузыревским [84, 85] в 1923 г. для решения задач расчета балок, расположенных на упругом винклеровском основании (на основании Фусса-Винклера). Его работа позволила весьма существенно упростить расчеты таких балок (в основном фундаментных балок) по сравнению с ранее использовавшейся методикой [бЗ, 118] . В 1929 г. появилась работа Г.Д.Дутова [ 47 ] , а в 1930 г. - работа А.Н.Крылова [ 65 ] , в сущности повторявшие идеи Н.П.Пузыревского, с первой работой которого, изданной небольшим тиражом, они не смогли своевременно познакомиться. В последовавшие затем годы метод начальных параметров был распространен на решения многих других задач, описываемых обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями. Для расчета свободной балки его применил П.Г.Куликовский [66] , для расчета арок на упругом основании - Д.В.Вайнберг [ 19, 20 ] и Т.Т.Хачатрян .П7] » для расчета рам на упругом основании, - В.А.Киселев [51] ; для расчета на кручение стержней, расположенных на упругом основании, - В.Э.Герстенбергер [32, 33] , для расчета балок, расположенных на сложном упругом основании винклеровского типа, - П.Л.Пастернак [77] и Г.С.Шпиро [122] , для расчета стержней на устойчивость, колебания и продольно-поперечный изгиб - А.Р.Ржаницын [88] , И.В.Урбан [ПО] , Н.И.Безухов [ 5, 6, 7, 8 ] , Н.К.Снитко [95, 97] и В.ГЛудновский [l20] , для расчета пластинок- Б.Г.Коренев [58, 60] , В.А.Киселев [50] , С.Н.Соколов [98, 99] , Р.Д.Степанов [ 103] , А.П.Филиппов [ 116 ] , К.А.Китовер [53] , В.Л.Бидерман [ 12] , П.А.Гутьерес [40], Г.М.Рубинштейн [90] , Е.И.Черниговская [119] , Р.Р.Батрет-динов [4] , Н.К.Лебедева [68] и др. В сороковых годах нашего столетия все большее применение в строительной механике стали получать матричные методы расчета [ 44, 89, 93, 94] . Появилась и матричная форма метода начальных параметров, разработанная в трудах А.Р.Ржашн цына [88] , А.П.Филина [ПЗ] , С.Н.Беркиной [її] , Б.З.Амусина [2] , К.К.Пономарева [79] , П.Н.Сильченко [92] , Г.В.Воронцова и А.Ф.Моисеенко [28] , И.Г.Шпиро [124] , Г.Фурке [131] и др. Достоинством метода начальных параметров является то обстоятельство, что он легко позволяет учитывать действие на конструкцию любого числа силовых, моментных и деформативных нагрузок. Независимо от числа нагрузок число неизвестных при расчете стержней методом начальных параметров обычно не превышает трех в случае плоской и шести в случае пространственной задачи. При расчете методом начальных параметров факторы (внутренние усилия и перемещения) в произвольном сечении h конструкции выражаются через факторы в сечении а (где а Ь ) с помощью формулы F - матрица влияния метода начальных параметров ( а -го порядка); Наь - матрица-столбец влияния нагрузок; Na и Nx, - матрицы-столбцы факторов в сечениях а и А соответственно. Недостатком метода начальных параметров являлось то обстоятельство, что для его использования необходимо было иметь выражения в явной форме функций влияния (элементов матрицы Fab ) каждого начального фактора (каждого элемента матрицы fja ) на каждый фактор в сечении h (на каждый элемент матрицы NA. ). Это обстоятельство ограничивало область применения метода начальных параметров лишь теми, сравнительно несложными, задачами, для которых были получены выражения в явной форме функций влияния. Это обстоятельство также затрудняло использование метода начальных параметров в случаях, когда параметры системы (жесткости поперечных сечений стержня, коэффициенты постели упругого основания, кривизны оси стержня и др.) были переменными.
Выход из такого положения дали работы И.Г.Шпиро [ 123, 125 ] , в которых было использовано представление матрицы влияния Ftb как матрицанта. При расчете системы методом начальных параметров по методике И.Г.Шпиро, выполняемом на ЭВМ, матрица Fab определяется по формуле:
Влияние деформации сдвига и инерции вращения масс на результаты расчетов
С увеличением числа участков , к возрастает точность вычисления матриц влияния Foe по формулам (1.2.2 и 1.2.5) (см. [Зі] , с.433-434). Увеличение числа участков приводит к прямо-пропорциональному увеличению времени работы ЭВМ, а потому целесообразно принимать число участков по возможности небольшим, но обеспечивающим необходимую точность получаемых результатов.
В целях выявления влияния числа участков к на результаты определения собственных частот колебаний пластинок были выполнены расчеты разных пластинок при разных значениях К .Во всех случаях был установлен одинаковый характер влияния числа участков на точность результатов расчета, а потому здесь рассматриваем лишь одну группу расчетов, - относящуюся к одному виду пластинок.
Віла рассчитана стальная пластинка с г0 = 10 см, R = 50 см, 8=1 см, при J1 =0,3 (расчеты 3-6). Расчеты выполнены при К = 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, 2560 и 5120, при [е] = 0,0001. Результаты определения первой собственной частоты (О приведены в табл.1. В этой же таблице приведены значения kto - приращений частот, полученные при увеличении вдвое числа участков. Значения AU5 каждый раз при увеличении вдвое числа участков (при К 20) примерно вдвое уменьшаются. Это позволяет рассматривать окончательный результат расчета Ю , , соответствующий значению к- » , как сумму членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем прогрессии ц = 0,5.
Тогда или при =0,5 wM--WK + UwKiU . (2.4.1) Здесь через Ш0к,2 ; обозначено значение ью при увеличении вдвое числа участков (от к до 2 К ). Учитывая, что 00« + ыо й - to, , получаем (О (08К+ ЫО»,ш . (2.4.2) В последней строке табл. I приведены значения С0те , подсчитанные по формуле (2) при разных числах участков к Из этой строки видно, что значения 00«, могут быть определены с весьма высокой точностью по результатам двух расчетов - с числом участков к и 2 К ; при этом значение к может быть принято небольшим. По данным табл. I на рис. I построены две кривые. Кривая I показывает погрешности результатов определения частоты свободных колебаний пластинки в зависимости от числа к , на которое при расчете пластинки был разбит отрезок R- г0 . Из нее видно, что для получения погрешности менее одной четверти процента необходимо принимать К У/ 320. Кривая 2 показывает погрешности результатов, полученных при выполнении вместо одного расчета двух расчетов (при числе участков к w I к ) и уточнении затем частоты по формуле (2). Из кривой 2 видно, что выполняя по два расчета при К = 40 и К = 80 можно получать погрешность меньшую 0,1$.
В соответствии со сделанными здесь выводами, в дальнейшем при выполнении настоящей работы определения частот свободных колебаний производились или при двух значениях к (например, при к = 40 и К = 80), после чего в качестве окончательного принимался результат, подсчитанный по формуле (2), или при К = 100, либо к = 200. Во всех случаях погрешность, как это видно из рис.1, не превышает одного процента. В ряде случаев по одной программе сразу производилось вычисление большого числа (например, 30 штук) различных частот, а потому длительность расчета на ЕС ЭВМ могла оказаться большой, что было связано с организационными трудностями. В связи с этим приходилось упрощать расчеты, несколько уменьшая число к участков или повышая значение требуемой точности [б] - с тем, чтобы продолжительность одного расчета не превышала 10-15 минут. Однако в таких случаях погрешность получаемых значений частот не превышала 1-2$. Если же, по каким-либо причинам такая погрешность недопустима, то по предлагаемой методике всегда могут быть получены более точные значения частот колебаний, например, с точностью до сотых долей процента. на результаты расчетов
Опубликованные результаты расчетов осесимметричных пластинок на свободные колебания относятся в основном к круглым пластинкам [3, 21, 22, 80, 83, 100, 101, 102, 115] . Лишь в небольшом числе работ приводятся сведения о частотах колебаний кольцевых пластинок [38, 100, 115] .
Для круглых пластинок частоты свободных колебаний предлагается определять по формуле: - безразмерный коэффициент, зависящий от способа закрепления пластинки и номера частоты. Формула (I) удобна тем, что позволяет, выполнив расчеты пластинки на собственные колебания при $ - R =1 см; получить значения й , с помощью которых определять частоты оо при любых значениях S , R , Е. , р и w . При этом влияние коэффициента Пуассона \к характеризуется коэффициентом
Доказательство правильности зависимости (І) в литературе отсутствует. Более того, наряду со значениями коэффициентов rt в ряде работ (например, [100, 107] ) указывается при каких значениях коэффициента Пуассона они получены. Это свидетельствует о том, что формула (I) не является универсальной. Можно однако ожидать, что для пластинок постоянной толщины, жестко заделанных по наружному контуру, эта формула верна, т.к. ни в одной работе не указывается при каких значениях коэффициента Пуассона подсчитаны величины коэффициента с . В настоящем пункте проведено исследование применимости формулы (I) для таких пластинок.
Методика определения форм свободных колебаний пластинок
Находится значение следующей проверяемой частоты u),-oo0+kto (в блоке 19) и расчет передается в блок 7. Если была уже проверена не одна частота, то после блока 17 расчет передается в блок 20, в котором находится отношение АЦ найденного определителя матрицы А к значению 0PIU . Если значение Ач отрицательное (что проверяется в блоке 21), то переменной К"5 присваивается значение I (в блоке 22), что свидетельствует о том, что наибольшая проверяемая частота превышает значение собственной частоты. Если же А 4 положительное, то расчет из блока 21 передается в 23, в котором проверяется равно значение кз нулю или единице. Если кг =0, т.е. знак А еще ни разу не менялся, то значение проверяемой частоты увеличивается на А(0 (в блоке 24), где &оо имеет заданную в матрице С 3) величину. Если же К"3 =1, т.е. знак А уже менялся, то в блоке 25 производится уменьшение вдвое значения Ь, (О . Это значение МО для определения новой проверяемой частоты со должно быть или добавлено к последней проверенной частоте (если АН70), или вычтено из нее-(если IWQ ) - это выполняется в блоках 26-28.
После определения указанным путем новой проверяемой частоты, прежде чем приступить к расчету при этой частоте, следует убедиться в том, что достигнутая точность расчета еще недостаточна; это выполняется в блоке 29. Если оказывается, что достигнутая точность достаточна, т.е. то расчет на найденное значение новой проверяемой частоты уже не производится, а эта частота принимается равной собственной частоте свободных колебаний пластинки и выдается на печать блоком 30. Затем проверяется (в блоке 31) найдено ли уже заданное число т. собственных частот. Если да, то расчет заканчивается (блок 35), а если нет, то значение счетчика 3 собственных частот увеличивается на единицу (блок 32), восстанавливается первоначальное значение & о (блок 33), определяется значение проверяемой частоты - путем увеличения найденной собственной частоты на ьоэ (в блоке 34) и управление передается в блок 6 для определения следующей собственной частоты.
В первоначальных расчетах операция, предусмотренная в блоке 34 не выполнялась, а в качестве первой проверяемой частоты (при определении очередной собственной частоты) принималась последняя найденная собственная частота. Однако при таком подходе в некоторых случаях (когда полученное значение предыдущей собственной частоты было меньше ее действительного значения - в пределах заданной точности) машина вторично выдавала значение уже найденной частоты, но слегка превышающей ее действительное значение, а потому от такого подхода пришлось отказаться.
Рассмотренная блок-схема программы предусматривает определение ffi частот одной пластинки. Если требуется по одной программе выполнить подсчет частот для разных пластинок (например, с несколькими значениями г0 , R , U. и т.д.), или при различном числе участков, или при различном характере закрепления и т.д., то должны быть организованы дополнительные внешние циклы. Рассмотренная программа будет представлять собой внутренний цикл. В такого рода программах первоначально (до 28 расчета включительно) все найденные частоты заносились в одну прямоугольную матрицу, которая на заключительном этапе расчета выдавалась на печать. Такой способ выдачи результатов оказался однако неудобным, т.к. по ряду технических причин (например, чрезмерной продолжительности выполнения одного расчета на ЭВМ) довести расчет по программе до конца иногда не удавалось, а потому приходилось весь расчет повторять заново. Поэтому в дальнейшем (начиная с 29 расчета) после окончания внешнего цикла полученные в этом цикле частоты выдавались на печать. Это позволяло, в случае прекращения расчета до полного его окончания, выдавать на печать частоты, найденные для законченных внешних циклов, а в последующем производить расчет лишь для остальных внешних циклов.
Изменение характера закрепления пластинки, как правило, требует изменения содержания лишь блока 14 - в котором используется другое выражение А ; если принимается новый закон изменения толщины пластинки вдоль радиуса, то требуется внести поправки лишь в блок 9 программы и т.д.
Операции, предусмотренные в блоке 9, выполняются при определении каждой частоты свободных колебаний тысячи раз или, точнее, Kxfi раз, где к - число участков, принимавшееся примерно равным ста, а п, - число частот, которое приходится проверять при определении одной собственной частоты, составляющее обычно от 20 до 30. В связи с эти целесообразно определение элементов матрицы г (в блоке 9), независящих от номера рассматриваемого участка и от проверяемой частоты (например, элементов, равных 0,-1, +1) производить перед блоком 5, а элементов, независящих только от проверяемой частоты - перед блоком 7.
Сопоставление результатов расчета пластинок различными методами
Формы свободных колебаний пластинок имеют меньшее практическое значение, чем частоты этих колебаний, а потому в большинстве выполненных расчетов производилось определение лишь частот колебаний. Однако рассматриваемая в настоящей работе методика расчета осесимметричных пластинок может быть использована и для определения форм их свободных колебаний.
Определение форм свободных колебаний может быть предусмотрено в той же программе, по которой подсчитываются частоты этих колебаний, а может быть предусмотрено специальной программой, при использовании которой в качестве исходных данных в ЭВМ вносятся ранее найденные частоты свободных колебаний. Второй вариант был использован при выполнении настоящей работы.
На рис. I приведена блок-схема программы для ЭВМ, по которой производилось определение форм свободных колебаний пластинок. Исходные данные вводятся в ЭВМ в виде пяти матриц-столбцов: I) матрицы I Ъ , первый элемент которой представляет число к участков, на которое разбивается радиус срединной поверхности пластинки, а второй - число характерных сечений (кроме начального), для которых намечается выдавать на печать значения амплитуд перемещений; 2) матрицы CD , элементы которой дают последовательно значения Ч , R , Б , о , и и Е ; 3) матрицы V[\ , в которой для каждой схемы пластинки указываются номера двух элементов матрицы Qe (при ч-Ч0 ), отличных от нуля [см. (2.2.32)] ; 4) матрицы М2 , в которой указываются номера двух элементов матрицы Qi (при ч-И ), равных нулю; 5) матрицы CJ3 » в которой последовательно для каждой схемы пластинки указываются значения ранее райденных частот (было указано по пять частот для двенадцати схем пластинок).
После ввода исходных данных они выдаются на печать (блок 2 на рис. I). Затем определяется (блок 3) длина участка ьь=(К- го)/к. В блоке 4 счетчику 1о схем пластинок присваивается значение І. В блоке 5 из матриц М-І и М2 выбираются номера И и L2 элементов матрицы Q0 , отличных от нуля, и номера 13 и U\ элементов матрицы Qe , равных нулю. Например, при кольцевой пластинке, жестко заделанной по внутреннему и наружному краям (схема УШ), L\- \ L&-2 ; 13=. В блоке 6 счетчику lb собственных частот присваивается значение I. В блоке 7 присваивается значение 0 счетчикам К2 и W и значение I счетчику КЧ . Счетчик К 2. используется при подсчете матриц влияния метода начальных параметров Fot (в блоках 10-16); если к2 0 , то следовательно матрица Гог вычисляется для рассматриваемой схемы пластинки и номера частоты первый раз; если же к -4 - то второй раз. В последнем случае параллельно с вычислением матрицы Гог необходимо вычислять прогибы пластинки в характерных сечениях. Счетчик КЗ используется для отыскания характерных сечений; когда къ равен числу м участков между характерными сечениями вычисляется и заносится в матрицу-столбец Л прогиб пластинки, после чего к присваивается значение 0. Счетчик кч подсчитывает число пройденных характерных сечений (включая крайние сечения пластинки). В блоках 10-16 вычисляется матрица Гог П (E Pt A$i). При этом в блоке 10 по формуле (2.2.33) составляется матрица г , в блоке II - матрица , а в блоках 12 13 производится последовательное перемножение К раз матриц Р1 . После подсчета матрицы ГоЕ управление из блока 15 переходит в блок 19. Если при этом к&=0 , т.е. матрица гое подсчитана в первый раз, то в блоке 20 значение ка делается равным І; в блоке 21 составляется матрица начальных факторов Q0 и управление передается в блок 8 для вторичного подсчета матрицы Fot (с одновременным определением прогибов пластинки в характерных сечениях). Рассмотрим порядок получения матрицы Q0 . Обозначим 1.2 соответственно U и U элементы этой матрицы. Условие равенства нулю элемента 0 матрицы Qt имеет вид: откуда fwuM 5U - элементы матрицы Гое При составлении матрицы Q0 (блок 21) сначала все ее элементы делаются равными нулю, затем U-w элемент ее (т.е. Qu ) делается равным I, а элемент (ju - равным) [на основании формулы (I)] . После вычисления прогибов всех характерных сечений в блоке 25 производится упорядочение матрицы-столбца X (содержащей 21 элемент), Оно заключается в определении прогиба наибольшего по абсолютной величине и затем делении на него прогибов всех характерных сечений. После этого матрица X выдается на печать. В приложении 3 приведена программа расчета 31, по которой производилось определение форм собственных колебаний двенадцати схем пластинок - каждой при пяти первых частотах.
