Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Состояние и нерешенные проблемы динамики круговых цилиндрических оболочек, несущих присоединенную массу 19
ГЛАВА 2. Математическая модель исследования динамики тонких оболочек 27
2.1. Уравнения теории пологих оболочек. 27
2.1.1. Гипотеза Кирхгофа – Лява 28
2.1.2. Перемещения и деформации . 29
2.1.3. Напряженное состояние. Связь между усилиями и деформациями. 31
2.1.4. Уравнения движения оболочек. 32
2.2. Граничные и начальные условия. 33
2.3. Динамическая конечномерная модель решения 34
ГЛАВА 3. Влияние динамической асимметрии на колебания бесконечно длинной круговой цилиндрической оболочки (кольца при плоской деформации) 37
3.1. Колебания изолированного кольца, несущего малую присоединенную массу 37
3.1.1. Математическая модель исследования 37
3.1.2. Традиционное решение. 39
3.1.3. Новое решение. Колебания без растяжения . 40
3.1.4. Новое решение. Колебания с растяжением. 41
3.1.5. Численное исследование методом конечных элементов.. 44
3.1.6. Выводы.
3.2. Влияние малой присоединенной массы и начальных отклонений от идеальной круговой формы на колебания изолированного кольца 47
3.2.1. Математическая модель исследования 48
3.2.2 Традиционное решение. 49
3.2.3. Новое решение. Собственные частоты и формы. 50
3.2.4. Численное исследование методом конечных элементов.. 54
3.2.5. Выводы. 60
ГЛАВА 4. Свободные изгибные колебания оболочки, несущей малую сосредоточенную массу 62
4.1. Аналитическое решение 63
4.1.1. Математическая модель исследования 63
4.1.2. Традиционное решение. 63
4.1.3. Новое решение. Собственные частоты и формы . 64
4.2. Численное исследование влияния малой сосредоточенной массы на динамические характеристики оболочки 69
4.2.1. Моделирование оболочки конечными элементами. 69
4.2.2. Колебания оболочки без присоединенной массы. Оценка
погрешности теории пологих оболочек. 69
4.2.3. Колебания оболочки, несущей сосредоточенную массу. 71
4.3. Численное исследование влияния площади контакта присоединенной массы на динамические характеристики оболочки. 73
4.3.1. Собственные частоты. 73
4.3.2. Формы колебаний. 75
4.4. Выводы по главе
ГЛАВА 5. Экспериментальное исследование эффекта влияния присоединенной массы на собственные частоты колебаний оболочки 78
5.1. Описание образцов. Методика проведения эксперимента.
Полученные результаты. 78
5.2. Анализ известных опытных данных. 84
5.3. Выводы 87
ГЛАВА 6. Свободные изгибные колебания оболочки, несущей равномерно распределенную вдоль образующей малую присоединенную массу 88
6.1. Аналитическое решение 88
6.1.1. Математическая модель исследования 88
6.1.2. Традиционное решение 88
6.1.3. Новое решение. Собственные частоты и формы. 89
6.2. Численное решение методом конечных элементов 93
6.2.1. Собственные частоты и формы колебаний . 93
6.3 Численное исследование влияния площади контакта присоединенной массы на собственные частоты колебаний тонкой оболочки 95
6.4. Выводы по главе 96
ГЛАВА 7. Свободные изгибные колебания оболочки, несущей распределенную по окружности малую присоединенную массу 99
7.1. Аналитическое решение 99
7.1.1 Математическая модель исследования 99
7.1.2. Традиционное решение. 99
7.1.3. Новое решение.
7.2. Численное решение методом конечных элементов 102
7.2.1. Собственные частоты. 102
7.3. Численное исследование влияния площади контакта присоединенной массы на собственные частоты колебаний тонкой оболочки 103
7.3.1. Собственные частоты. 103
7.3 Выводы по главе 104
Заключение 105
Список литературы 109
- Перемещения и деформации
- Новое решение. Колебания без растяжения
- Новое решение. Собственные частоты и формы
- Собственные частоты и формы колебаний
Перемещения и деформации
Интенсивное развитие техники повлекло за собой широкое использование асимметричных в инерционном плане систем, какими являются тонкостенные оболочки, несущие присоединенную массу в различных областях и потребовало не только уточнения традиционных методов расчета, но и поставило ряд новых задач, выявило необходимость учета многих факторов, влияющих на динамическое поведение оболочек.
Существенный вклад в разработку теории тонких оболочек внесли: В. З. Власов, А. С. Вольмир, А. Л. Гольденвейзер, Э. И. Григолюк, П. С. Ковальчук, В. Д. Кубенко, Х. М. Муштари, В. В. Новожилов, С. П. Тимошенко, а также зарубежные ученные: M. Amabili, L. H. Donnell, D. A. Evensen, K. Marguerre и многие другие.
По-видимому, первыми в цикле исследований по динамике оболочек с включениями типа присоединенных масс были работы Ю. Б Борисова [7], В. М. Даревского и И. Л. Шаринова [13]. Они рассмотрели задачу колебаний круговой цилиндрической оболочки, несущей сосредоточенную массу при шарнирном закреплении торцов, используя уравнения технической теории оболочек, в которых учтены радиальные силы инерции. Авторами выбрана одночленная аппроксимирующая функция прогиба. Компоненты напряженно – деформированного состояния (НДС) представлены в виде двойных тригонометрических рядов. Частотное уравнение решено графически. В случае присоединения относительно малой массы получена формула для оценки основной частоты системы «оболочка–масса». Определена зона концентрации напряжений в зоне присоединения массы.
Спустя некоторое время, авторам [12, 32 – 35, 37 – 38 и др.] удалось исследовать динамические характеристики оболочек с различной инерционной неоднородностью. Используемый в работах А. А. Малинина и А. И. Лиходеда принцип Гамильтона – Остроградского позволил учесть влияние различных типов закреплений на низшие частоты, влияние внешних статических нагрузок, начальных несовершенств в виде наличия отверстий и переменной толщины с различными законами задания образующих, а используемая в работах функция Лагранжа позволила учесть сосредоточенные и распределенные включения типа присоединенных масс, упругих связей, осцилляторов и ребер подкрепления в оболочечных системах. Линейная система однородных алгебраических уравнений содержит радиальные и тангенциальные инерционные силы, при этом учтено значительное число членов ряда. Собственные значения и векторы полученной матрицы определены обобщенным методом вращения. Данный алгоритм позволяет учесть и ортотропию оболочек.
Параллельно, производились попытки решения этих же задач энергетическим методом, однако, реализация такого подхода при решении некоторых задач приводила к ряду неразрешимых проблем. Пределы применимости энергетического подхода для решения подобных задач изучены в работах [61, 63].
Интересна работа [42] в которой изучен спектр частот и форм колебаний цилиндрической оболочки, подкрепленной системой стрингеров и несущей сосредоточенно присоединенную массу с учетом внутреннего статического давления. Частоты и формы колебаний шарнирно опертой ортотропной оболочки найдены методом Ритца. Сначала, изучалось влияние стрингеров, затем, присоединенной массы на собственные частоты и формы колебаний. Теоретические результаты были сопоставлены с опытными данными в результате которых определено, что рассогласование расчетных и экспериментальных данных увеличивается с ростом величины присоединенной массы. Для форм колебаний требуется большее число аппроксимирующих функций. Также авторы работы [42] подчеркивают, что наблюдается существенное расхождение значений основной частоты, найденной теоретическим и экспериментальным путем, в случае присоединения дополнительной сосредоточенной массы к оболочке, подкрепленной шпангоутами. В случае колебаний оболочек, подкрепленных стрингерами и несущих сосредоточенную массу согласование теоретических и экспериментальных данных выше. Широкий спектр задач о колебаниях изотропных и ортотропных оболочек, несущих сосредоточенные массы при различных вариантах закрепления торцов рассмотрен в работах [57 – 61 и др.]. В работе [60] учтена инерция вращения присоединенной массы.
В работах В. О. Кононенко, И. Я. Амиро, В. Г. Паламарчука, А. М. Носаченко [1, 24, 42 – 44] предложен метод для определения собственных динамических характеристик подкрепленных оболочек, несущих сосредоточенные массы. Выражения кинетической и потенциальной энергии учитывают дискретность стрингеров. Нормальный прогиб оболочки представлен в виде двойного тригонометрического ряда. Сделано предположение, что гармоники не влияют друг на друга и, следовательно, инерционные и жесткостные характеристики ребер необходимо учитывать только в рамках теории ортотропных оболочек, а величины радиального прогиба совпадают в случаях крепления массы на обшивке и на подкрепляющих ребрах.
В статье [24] авторы, аппроксимировав прогиб функцией по окружной координате, получили характеристическое уравнение частоты которого зависят от места крепления массы. В случае присоединения к несущей поверхности только одной сосредоточенной массы точность определения основной частоты не превышает 10 %, по сравнению с экспериментальными данными, где сосредоточенная малая масса (1 – 20 % от массы ребристого кольца) крепится на стрингере в среднем сечении оболочки. Расхождения растут с увеличением присоединенной массы. Учету особенностей присоединенного тела к оболочке и инерции его угловых движений посвящена работа [1]. Изучено влияние момента инерции присоединенного тела и площади его контакта с оболочечной поверхностью на основную частоту. Определены диапазоны размеров площади, при которой контакт можно считать сосредоточенным. Данный подход получил свое развитие в [34], где рассмотрено влияние расстояния между точками крепления масс одного твердого тела на основную частоту. Автор сделал вывод, что с увеличением расстояния между точками крепления тела к оболочке влияние массы на низшую частоту колебания оболочки уменьшается.
Новое решение. Колебания без растяжения
Анализ рис. 3.5 и 3.6 показывает, что форма колебаний, отвечающая большей из расщепленных собственных частот Лп2, практически, такая же, синусоидальная, как и у кольца без массы и масса при этом неподвижна (находится на узловых линиях). Форма, соответствующая меньшей из расщепленных частот Лп1 похожа на косинусоидальную, и масса при этом, подвижна. Наблюдается также незначительное смещение узлов к центру кривизны, что свидетельствует о взаимодействии изгибных колебаний с радиальными, которое должно быть учтено в математической модели теоретических исследований.
Выводы. Уточненная математическая модель исследования, в частности, новое аппроксимирующее выражение для динамического прогиба, учитывающее взаимодействие изгибных колебаний с радиальными, на примере более простой (предельной) задачи колебаний бесконечно длинной оболочки (кольца при плоской деформации), позволила получить количественно, а главное качественно лучшие результаты, чем традиционное теоретическое решение.
На основе уточненной динамической конечномерной модели получены новые модальные уравнения, анализ которых подтверждает предположение о том, что динамическая асимметрия оболочки, вызванная наличием присоединенной массы, приводит к взаимодействию сопряженных изгибных форм и является механизмом, который «запускает» инерционное взаимодействие изгибных колебаний с радиальными.
Уточненная математическая модель позволила установить, что присоединенная масса приводит к расщеплению изгибного частотного спектра, при этом, в отличии от традиционного решения, меньшая из расщепленных собственных частот зависит не только от величины присоединенной массы М /М0, но и от параметра волнообразования є, зависящего от относительной толщины кольца. С ростом величины присоединенной массы расстройка частотного спектра усиливается. При фиксированном значении М/М0 увеличение є для кольца ведет к уменьшению расстройки изгибного частотного спектра.
При некоторых параметрах волнообразования є частоты радиальных колебаний могут быть соизмеримы с частотами изгибных колебаний.
Теоретические выводы качественно согласуется с результатами численного анализа, выполненного МКЭ в MS С «Nastran».
Известно, что начальные неправильности приводят к нежелательному расщеплению изгибного частотного спектра. Удвоение частотного спектра наблюдается и у оболочек, несущих сосредоточенную массу. Согласно [26] считается, что соответствующим подбором величины и места крепления присоединенной массы к несовершенной оболочке, эффект расщепления изгибного частотного спектра может быть полностью устранен. В настоящем разделе, на примере бесконечно длинной оболочки, этот вывод поставлен под сомнение.
Уравнения движения. Уравнения, описывающие свободные колебания несовершенного изолированного кольца, несущего малую присоединенную массу получим из известных уравнений теории пологих оболочек [26] при устремлении длины оболочки к бесконечности:
Начальные неправильности. Считается, что кольцо имеет начальные отклонения от идеальной круговой формы, изменяющиеся по закону: w0(y) = ha0sm(j30y + p0), (3.2.4) где а0- безразмерная амплитуда; р0- начальный угол; j30=n0/R, где п0 -число волн несовершенств в окружном направлении. Выражение (3.2.4) можно представить и в ином виде: w0(y) = h(al0 sin/?0j + a20 cos/?0j), (3.2.5) где a10 = a0 cos 0; a20 = a0 sin 0.
Известно, что расщепление изгибного частотного спектра имеется только в случае, когда начальные неправильности, находятся, как бы в «резонансе» с волнообразованием кольца. Далее, как и в теоретических исследованиях [26], рассматривается случай, когда п = п0.
Традиционное решение. Подстановка (3.1.5) и (3.2.5) в (3.2.1) позволяет найти функцию a(t), а затем и усилие Ny (О. Ортогонализация второго уравнения (3.2.1) к форме прогиба (3.1.5) приводит к системе связанных динамических уравнений: aw + a2a20 a2 +a2 + — [а тРу0 +a2 cos#/0]cos#/0 +3co2 na20(2a2 a20 +alaw )=0,
Частотному уравнению, соответствующему системе (3.2.6) отвечают две безразмерные собственные частоты Cini = coni I соп (і = 1,2) колебаний несовершенного кольца, несущего присоединенную массу. Рассмотрим влияние каждого из факторов динамической асимметрии в отдельности. Пусть кольцо имеет только начальные отклонения от идеальной круговой формы (м = о), тогда Ои1/ =1, Пи2/ = 1 + 6a2Q . Видно, что меньшая из расщепленных частот равна частоте колебаний идеального кольца, а большая - увеличивается с ростом амплитуды начальных неправильностей [26]. Расстройка собственных частот A = Qw2f-Qwlf может быть довольно существенной. Последнее обстоятельство противоречит известным экспериментальным данным, которые свидетельствуют о незначительной расстройке изгибного частотного спектра.
Изучим теперь совместное влияние wQ(y) и малой присоединенной массы на расщепление изгибного частотного спектра. Расчеты показывают, что в этом случае частоты начинают зависеть и от места крепления массы, к несовершенному кольцу. Рассмотрев частный случай, как и в [26], когда ц/ = /Зу0=0, собственные частоты равны 0.n2t =1, Clnlt = (\ + 6а1)/(\ + 2М/М0), приходим к выводу, что нежелательный эффект расщепления частотного спектра, можно полностью устранить путем прикрепления к несовершенному кольцу массы М = За0 М0.
Новое решение. Собственные частоты и формы. Подстановка (3.1.6) и (3.2.5) в (3.2.1) позволяет найти сначала функцию a(t), а затем и окружное усилие Ny(t). Ортогонализация второго уравнения (3.2.1) к форме прогиба (3.1.6) приводит к системе связанных модальных уравнений: Из (3.2.7) видно, что начальные неправильности и присоединенная масса приводят не только к связанности сопряженных изгибных форм, но и к взаимодействию низкочастотных изгибных колебаний с высокочастотными радиальными.
Новое решение. Собственные частоты и формы
В (4.1.3) ft?2 = g(1 + 6 2)2 /+ - квадрат безразмерной частоты " 12(1-//2 ) (l + 6 2 ) 2 изгибных колебаний оболочки без присоединенной массы; точками обозначено дифференцирование по безразмерному времени т = Лпі, где Л2п = Есо2п IPR2 квадрат собственной частоты.
Из системы модальных уравнений (4.1.3) видно, что присоединенная масса приводит к связанности сопряженных изгибных форм.
Частоты колебаний. Характеристическое уравнение, соответствующее (4.1.3) определяет две безразмерные частоты изгибных колебаний оболочки, несущей малую присоединенную массу Clnit =conit /cont, не зависящие от круговой координаты места крепления массы.
Большая из расщепленных собственных частот не изменяет своего значения и равна частоте колебаний оболочки без массы Пп2( = 1. Меньшая Qwl снижается с ростом величины присоединенной массы,
Новое решение. Собственные частоты и формы. Подстановка (2.13) в уравнение совместности (4.1.1) позволяет найти функцию напряжений, удовлетворяющую условиям периодичности решения (2.11), а также граничным условиям (2.10) «в среднем»: 0(x,yj) = [01(t)siaJ3fy + 02(t)cosJ3fy + 03(t)]smcxx, (4.1.4) где Ф.(0= / Еаv/(0 2(0= / Еаv/2(0 ФЗ(0 = ГЛ(0 R(a2+p2)2 R(a2+p2)2 Ra2j3VJ Подстановка (2.13) и (4.1.4) в уравнение движения (4.1.1) и выполнение процедуры метода Бубного – Галёркина приводит к системе связанных динамических уравнений, описывающих связанные изгибно-радиальные колебания: колебаний оболочки без присоединенной массы; s = n2(h/R)2 и в = 7гЯ/(пЬ) -параметры волнообразования, зависящие от относительной толщины и длины оболочки соответственно.
Из системы модальных уравнений (4.1.5) видно, что присоединенная масса приводит не только к связанности сопряженных изгибных форм, но и к взаимодействию изгибных колебаний оболочки с радиальными. При этом радиальные колебания выступают в качестве дополнительной инерционной связи между сопряженными изгибными формами.
Частоты колебаний. Из частотного уравнения, соответствующего (4.1.5) найдены три безразмерные собственные частоты оболочки, несущей малую присоединенную массу Clni = coni I соп . Первым двум Clnl, Qn2 соответствуют, как показывают расчеты, преимущественно изгибные, а третьей С1п3 преимущественно радиальные колебания. Все частоты не зависят от круговой координаты у0 места крепления массы к оболочке.
Меньшая из расщепленных собственных частот Qwl в новом решении зависит не только от величины присоединенной массы, как это следует из традиционного решения, но и от параметров є и в (рис. 4.1). Сплошные линии отвечают традиционному решению [26], а штриховые и пунктирные линии -новому. При этом линиям без кружков соответствует М/М0 = 0,05, а линиям с кружками - М/М0 =0,1. Расчеты выполнены для случая крепления массы при
Влияние параметров волнообразования є, в на меньшую из расщепленных частот преимущественно изгибных колебаний QM1 Видно, что традиционное решение совпадает с новым только для относительно длинных (в 0,5) и толстых оболочек. Для относительно коротких и тонких оболочек (например, при є = 0,75, в = 2 и М/М0 =0,1) рассогласование нового решения с традиционным составляет более 7%.
Большая из расщепленных собственных частот Qn2 и в новом, и в традиционном решениях равна единице. Зависимость частоты преимущественно радиальных колебаний С1п3 от параметров волнообразования и присоединенной массы представлена на рис. 4.2. Линиям без кружков соответствует М /М0 =0,05, а линиям с кружками М/М0 =0,1. Видно, что С1п3 зависит от є и в и, практически, не зависит от
Влияние параметров волнообразования є, в и присоединенной массы M на частоту преимущественно радиальных колебаний Q.n3 Частота радиальных колебаний зависит от є, 9 и не зависит от величины присоединенной массы. Рис. 4.3 демонстрирует зависимость отношения безразмерной частоты преимущественно радиальных колебаний соn3 к частоте радиальных колебаний оболочки без присоединенной массы p.
Видим, что присоединенная масса может, как уменьшить, так и увеличить частоту соn3 по сравнению с частотой p . Необходимо отметить, что при определенных значениях параметров є и 9 основная частота преимущественно радиальных колебаний может быть соизмерима с низшими частотами преимущественно изгибных колебаний Q.n2 (см. рис. 4.2 - 4.3). Это значит, что в следствии вынуждающей нагрузки могут возникнуть резонансные режимы работы оболочки не только при частотах Qwl и Ой2, но и при близкой им частоте Q„3 .
Формы колебаний. Колебания оболочки с частотой Пп2 = 1 происходят только по форме sin Ру sin ах, и в этом случае масса неподвижна (находится на узловых линиях). При колебаниях с частотой Пп1 и Пп3 наблюдается взаимодействие изгибной косинусоидальной cos j3y sin ах и радиальной sinm; форм и масса подвижна. Таким образом, присоединенная масса приводит к фиксации узлов в окружном направлении.
Моделирование оболочки конечными элементами. При моделировании оболочечных конструкций используются двумерные оболочечные конечные элементы (КЭ) прямоугольной формы - Plate, учитывающие все внутренние силовые факторы, возникающие в оболочке и ее геометрию [62]. Число КЭ при каждом значении длины оболочки подбиралось таким образом, чтобы с последующим уменьшением шага сетки уточнение собственной частоты системы «оболочка-масса», по отношению к предыдущему значению, не превышало 0,5 %.
Данная процедура моделирования и расчета оболочек используется во всех последующих главах диссертации.
Колебания оболочки без присоединенной массы. Оценка погрешности теории пологих оболочек. В среде пакета MSC «NASTRAN» смоделированы конечно - элементные модели свободно закрепленных по торцам круговых цилиндрических оболочек со следующими физическими характеристиками: Е = 2х1011Н/м2; р = 7800кг/м3; // = 0,3. Рассматривались оболочки со следующими геометрическими характеристиками: R = 1м; l/R = 0,2; l/R = 0,5; I/R = 1; l/R = 3; l/R = 6 при R/h = 70 и R/h = 500.
Собственные частоты и формы колебаний
Присоединенная масса, рис. 6.5 б), приводит к удвоению изгибного частотного спектра, причем, в отличии от известных теоретических решений, снижаются две частоты - меньшая Лп1 и большая Лп2, по сравнению со случаем колебаний оболочки без массы. Формы колебаний локализуются в местах крепления массы (наблюдается преобладание перемещений в местах крепления массы над перемещениями в других точках). Меньшая из расщепленных собственных частот с увеличением М/М0 и уменьшением 1/R значительно снижается, большая - также зависит от М/М0 и I/R, однако снижение частоты не существенно. Частоты высших тонов меняются незначительно. Рис. 6.6. демонстрирует зависимость частоты Qn1 от I/R. Сплошная линия демонстрирует традиционное решение, не зависящее от геометрических и волновых параметров оболочки. Штриховая - численное решение МКЭ. Расчеты выполнены при М = 0,1М0, R/ h = 100. Рис. 6.6. Зависимость меньшей из расщепленных собственных частот Пп1 от относительной длины оболочки I/R. Наблюдается существенная зависимость геометрических параметров оболочки, несущей равномерно распределенную вдоль образующей присоединенную массу на меньшую из расщепленных собственных частот.
Рассматривается оболочка со следующими физическими и геометрическими характеристиками: Е = 2 1011 мПа ; р = 7800 кг /м3; // = 0,3; R/h = 100; l/R = 1; R = 1 к которой вдоль всей длины присоединена дополнительная масса М = 0,1М0. На рис. 6.7 представлено влияние площади контакта Спр присоединенной массы на меньшую и большую из расщепленных собственных частот низшего тона. Рис. 6.7. Влияние площади контакта присоединенной массы пр на частоту Ои1 В отличии от частот колебаний оболочки, несущей сосредоточенную массу, частоты оболочки с линейно распределенной присоединенной массой, в рассмотренном диапазоне, мало зависят от площади ее распределения по поверхности оболочки.
На основании нового подхода, учитывающего взаимодействие изгибных колебаний с радиальными, предложено новое аппроксимирующее выражение для динамического прогиба (конечномерная модель оболочки, несущей равномерно распределенную массу вдоль образующей) получены новые динамические (модальные) уравнения. Анализ новых динамических уравнений подтверждает предположение о том, что динамическая асимметрия оболочки, вызванная наличием малой присоединенной массы уже в линейной постановке приводит к взаимодействию сопряженных изгибных форм и является механизмом, который «запускает» инерционное взаимодействие низкочастотных изгибных колебаний с высокочастотными радиальными. Согласно новому решению, равномерно распределенная вдоль образующей присоединенная масса приводит к расщеплению изгибного частотного спектра, при этом меньшая из расщепленных собственных частот зависит не только от величины присоединенной массы МIМ0, как это принято считать в настоящее время, но и от параметров волнообразования є и 9, зависящих от геометрических размеров оболочки. Большая частота и в новом, и в традиционном решениях - не изменяет своего значения и равна частоте колебаний оболочки без присоединенной массы. Частоты не зависит от окружной координаты места крепления присоединенной массы. Собственные частоты колебаний оболочки, несущей равномерно распределённую присоединенную массу вдоль образующей снижаются меньше, по сравнению со случаем колебаний оболочки, несущей сосредоточенную массу.
При некоторых значениях параметров волнообразования є и в основная частота и амплитуда преимущественно радиальных колебаний может быть соизмерима с низшими частотами и амплитудами преимущественно изгибных колебаний. Результаты численного анализа, как и нового теоретического решения, свидетельствуют о зависимости как величины присоединенной массы, так и геометрических параметров оболочки на основную частоту системы «оболочка-масса» (частота снижается при уменьшении IIR и hIR). Высшие частоты спектра также снижаются, однако снижение незначительно. Частоты колебаний не зависят от окружной координаты места крепления массы к оболочке. Площадь контакта присоединенной массы в рассматриваемом диапазоне мало влияет на частоту основного тона системы «оболочка-масса». Анализ форм показывает смещение узлов к центру кривизны, что свидетельствует о взаимодействии изгибных колебаний с радиальными, которое учтено в новой математической модели исследования. Выявлено, что радиальные колебания малозаметны, однако именно их учет позволяет выявить качественную зависимость между частотой колебаний оболочки с присоединенной массы и геометрических характеристик оболочек. Выявленные особенности при колебаниях оболочки с равномерно присоединенной массой вдоль образующей аналогичны случаю колебаний оболочки, несущей сосредоточенную массу, однако все эффекты менее выражены.
