Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Постановка задачи. Метод возмущений. Аналитичность решения плоской упругопластической задачи 22
1. Определяющие соотношения, граничные условия, условия сопряжения теории EVP тела 22
2. Линеаризация соотношений теории течения, граничных условий и условий сопряжения 27
3. Плоское деформированное состояние. Линеаризированные соотношения 31
4. Напряженно-деформированное состояние кольцевой пластины, нагруженной в своей плоскости 37
5.Упругопластическое состояние толстой плиты с круговым отверстием, заполненным с натягом круглым включением -цилиндром 40
6. Существование, единственность и сходимость решения упругопластической задачи 46
7. Обсуждение результатов 53
Глава II. Метод возмущений в классе задач Галина-Ивлева для EVP сред 56
1. Двухосное растяжение толстой пластины, ослабленной круговым отверстием 57
2. Двухосное растяжение толстой пластины с эллиптическим отверстием 67
3. Двухосное растяжение толстой пластины с отверстием близким по форме к правильному многоугольнику 78
4. Эксцентрическая труба под действием внутреннего давления 93
5. Обсуждение результатов 99
Глава III. Метод возмущений в двумерных упругопластических задачах с включениями 102
1. Двухосное растяжение толстой плиты, ослабленной отверстием близким по форме к правильному многоугольнику, заполненным с натягом упругим включением - цилиндром, по форме соответствующим отверстию в плите 103
2. Двухосное растяжение толстой плиты с отверстием близким по форме к правильному многоугольнику, заполненному стержнем - включением 118
3. Двухосное растяжение толстой плиты с эллиптическим отверстием, заполненным с натягом эллиптическим цилиндром - включением 122
4. Двухосное растяжение толстой плиты с отверстием близким по форме к правильному многоугольнику, заполненным упругопластическим включением в виде цилиндра, внутренний и внешний контуры которого близки по форме к правильному многоугольнику 137
5. Обсуждение результатов 165
Глава IV. Метод возмущений в задачах устойчивости упругопластических тел 168
1. Локальная неустойчивость пластин с запрессованными кольцевыми включениями при упругопластическом поведении материалов 169
2. Исследование устойчивости состояния равновесия горного массива возле многослойной сферической крепи при упругопластическом поведении материалов 178
3. Исследование устойчивости состояния равновесия многослойной крепи вертикальной горной выработки при упругопластическом поведении материалов 186
4. Обсуждение результатов 195
Глава V. Применение решения задачи типа Ламе к упруго- пластическим задачам статики и динамики сплошной среды 196
1. Приближенное решение задачи Галина-Ивлева для упрочняющейся упруговязкопластической среды 196
2. Обобщение решения Галина для упрочняющейся упруговязкопластической среды 200
3. Критическое состояние трубопровода при гидроударе 203
4. Обсуждение результатов 209
Заключение 210
Литература
- Линеаризация соотношений теории течения, граничных условий и условий сопряжения
- Двухосное растяжение толстой пластины с отверстием близким по форме к правильному многоугольнику
- Двухосное растяжение толстой плиты с отверстием близким по форме к правильному многоугольнику, заполненному стержнем - включением
- Исследование устойчивости состояния равновесия горного массива возле многослойной сферической крепи при упругопластическом поведении материалов
Введение к работе
Неодномерная упругопластическая задача является одной из наиболее сложных в математической теории пластичности. Сложность задачи состоит в том, что граница между областью, перешедшей в пластическое состояние, и областью, деформирующейся упруго, заранее неизвестна и ее нужно определить в процессе решения задачи.
Основные методы решения упругопластических задач условно можно разделить на аналитические и вариационно-разностные.
Аналитические методы решения упругопластических задач связаны с применением методов теории комплексного переменного и асимптотических методов, включающих методы разложения по большим или малым значениям некоторого параметра. Из вариационно-разностных методов наибольшее применение к решению упругопластических задач в последнее время находит метод конечных элементов.
Многие задачи, с которыми сегодня сталкиваются математики, физики, инженеры не поддаются точному решению. Среди причин, затрудняющих поиск точного решения, можно указать, например, нелинейные уравнения движения, переменные коэффициенты и нелинейные граничные условия на известной или неизвестной границах сложной формы. В этой ситуации исследователь вынужден пользоваться различного рода приближениями и здесь наиболее целесообразно пользоваться приближенными аналитическими подходами. Одним из таких подходов является метод малого параметра или метод возмущений, позволяющий находить решение близкое к уже известному точному. При этом возмущению можно подвергать как форму тела, так и граничные условия.
В современной инженерии нередко используются предварительно -напряженные технологии, в частности, постановка крепежных деталей с натягом в корпуса летательных аппаратов, холодная обработка пластинчатых конструкций, предварительный натяг в резервуарах высокого давления и
многие другие. В связи с этим большое значение представляет расчет напряженного и деформированного состояний в пластинах с запрессованными элементами различной конфигурации. Этот вопрос в научном плане также тесно связан с наиболее сложным и недостаточно изученным разделом математической теории пластичности - неодномерной упругопластической задачей.
Новые результаты, позволяющие расширить представление о характере поведения упругопластических тел, относятся к числу важных и актуальных в теории и практике технологических задач механики. Подтверждением этого может служить большое число научных работ отечественных и зарубежных авторов. Среди них можно выделить работы М.Т. Алимжанова [1], Б.Д. Аннина [9], Г.И. Быковцева [22, 64], Л.А. Галина [31], А.Н. Гузя [39,40], Л.В. Ершова [49, 65], В.Г. Зубчанинова [53 - 56], Д.Д. Ивлева [22, 61 - 65, 73], А.А. Ильюшина [69, 71], А.Ю. Ишлинского [72, 73], А.А. Маркина [114, 115], А.Ф. Ревуженко [140 - 142], В. Прагера [138], А.Н. Спорыхина [155, 166], Г.П.Черепанова [9, 182], А.И. Шашкина [166], Е.И. Шемякина [140 -142,178,179,185 - 192], С.А. Христиановича [178,179].
Метод возмущений, являющийся методом приближенного решения, впервые был использован при решении практических задач механики в работах Пуанкаре [139], Ван-Дейка [24] и Найфе [128, 129]. Метод основан на введении величин малых по сравнению с некоторыми данными, так или иначе "возмущающих" те или иные исходные решения. В связи с тем, что в качестве "возмущающих" используются малые величины, то во многих работах метод возмущений называют методом малого параметра. Это, как представляется, сужает более широкие возможности метода возмущений, что следует из работ, обзор которых дан ниже. Тем не менее, при изложении состояния вопроса будем придерживаться той терминологии, которая была принята в указанных работах.
За сравнительно короткий период рассматриваемый метод нашел широкое применение в исследовательской и инженерной практике самых различных областей науки и техники.
Существенное влияние на развитие и использование метода возмущений оказал неизбежно сопутствующий научно-техническому прогрессу процесс создания и применения новых материалов, особенно проявляющих сложные реологические свойства, поскольку последний сопровождается решением неоднородных задач механики деформируемого твердого тела.
Метод возмущений нашел также широкое применение и в теории упру-гопластического тела, что отражено в монографии Д.Д. Ивлева и Л.В. Ершова [65].
В обзорных статьях и монографиях М.Т. Алимжанова [1, 2], А.Н. Гузя [39, 40], А.Н. Спорыхина [151-154], [155], Шашкина А.И. [166] изложено состояние и дальнейшее развитие метода возмущений в теории устойчивости трехмерных деформируемых тел.
Применение метода возмущений для решения задач гидродинамики отражено в работе Ван-Дейка [24].
К числу первых работ, связанных с использованием метода малого параметра при решении упругопластическои задачи, можно отнести работу А.П. Соколова [148], который в первом приближении получил решение задачи о двуосном растяжении тонкой пластины с круговым отверстием при условии пластичности Треска-Сен-Венана.
В связи с тем, что в теории пластичности большая часть уравнений является нелинейной, то с помощью метода малого параметра проводится линеаризация этих уравнений, и возникает возможность получения решения, удовлетворяющего практику. При этом можно учитывать влияние неидеальности свойств материала, усложнения геометрии области течения и другие факторы.
Малый параметр, характеризующий геометрию тела, был использован при образовании шейки в образцах [67, 131, 146], правке листов [41], круче-
ний конических валов и валов с некруговым сечением [109,132], при определении распределения напряжений и деформаций в пластинах с некруговым отверстием [75,104,108,116,117,172,203].
Примеры решения задач пластически неоднородных анизотропных тел содержатся в работах [3,18,42-45, 66,118,174-176,197,198-201].
Линеаризация уравнений жесткопластического тела проведена Д.Д. Ив-левым [61], а связь - линеаризированные уравнения с характеристическими направлениями - дана Дж. М. Спенсером [202-204].
Для метода малого параметра встает вопрос о сходимости приближений. До сих пор этот вопрос остается в основном нерешенным. При применении метода малого параметра ко многим задачам математики, механики, физики А. Найфе [128] отметил, что: «Можно вычислить только несколько членов возмущенного разложения, обычно не больше, чем два или три, и почти никогда не больше, чем семь. Получающиеся ряды часто медленно сходятся или даже расходятся. Тем не менее, эти несколько членов содержат значительную информацию, из которой исследователь должен извлечь все, что возможно».
Л.А. Галин [31] для случая плоской деформации в 1946 году, а Г.П. Черепанов [182] для случая плоского напряжения в 1963 году дали точное решение задачи о двухосном растяжении плоскости с круговым отверстием. Взяв в качестве малого параметра полуразность растягивающих напряжений, отнесенных к пределу пластичности, Д. Д. Ивлев [65] показал, что найденные им четыре приближения методом малого параметра для задач Л.А. Галина и Г.П. Черепанова в точности совпадают с соответствующими разложениями точных решений по тому же малому параметру. Схема Д.Д. Ивлева позволяет определить и последующие приближения.
Однако оказалось, что для описания точного решения Л.А. Галина достаточно двух, а для описания решения Г.П. Черепанова четырех приближений [65]. Н.Н. Остросаблин [133] получил точное решение для перемещений в задаче Л.А.Галина.
Используются различные схемы решения упругопластических задач методом малого параметра.
Д.Д. Ивлев и Л.В. Ершов [65] рассмотрели случай, когда пластическая зона развивается от некоторой границы и целиком охватывает ее. В рамках такого подхода было получено решение ряда двухмерных и трехмерных задач [3,4, 7,28,29,30,108,116,117,147,177].
Б.Д. Аннин и ГЛ. Черепанов [9] дали решение задачи о всестороннем сжатии плоскости с отверстием. При этом, в отличие от схемы Ивлева-Ершова, решение в упругой области определялось методами функции комплексного переменного. Было показано, что для пластины с эллиптическим отверстием предложенная ими схема и схема Ивлева-Ершова приводит к одному и тому же результату.
М.А. Артемов получил [10-15], основываясь на схеме Ивлева-Ершова, ряд приближенных решений для задач о растяжении плоскости из упрочняющегося упругопластического материала с круговым отверстием, а так же об эксцентричной трубе, подверженной действию внутреннего давления.
Решение задачи о трехосном растяжении упругопластического пространства, ослабленного сферическим отверстием, в первом приближении дано Т.Д. Семыкиной [147]. Изложение некоторых решений упругопластических задач можно найти в монографии Г.И. Савина [144] и В.М. Мирсалимо-ва [121].
Малый параметр в теории пластичности вводился различным образом. В частности, А.А. Ильюшин [70] использовал в качестве малого параметра величину обратную модулю объемного сжатия и исследовал нормальные и касательные напряжения при чистом изгибе балки за пределом упругости. В работе Д.Д. Ивлева и Л.В. Ершова [49] малый параметр характеризует различие между плоским и осесимметричным состоянием.
В.Д. Клюшников в работе [79] предложил метод решения упругопластических задач, основанный на разложении по малому параметру нагруже-
ния. Метод разложения по малому параметру нагружения рассматривался также в работах [57-60].
Применение метода малого параметра в теории малых упругопластиче-ских деформаций изложено в монографии Д.Д. Ивлева и Л.В. Ершова [65].
Метод возмущений эффективно использован учениками Д.Д. Ивлева при решении большого числа упругопластических (при условии полной пластичности, условии Мизеса), вязкопластических, жесткопластических задач [26, 50, 52, 67, 68, 112,120, 122, 123 - 125, 134, 137, 143, 145, 180], в том числе в постановке Ишлинского. В работах [25, 51, 110, 111] определено предельное состояние сыпучей среды ослабленной цилиндрической, эллипсоидальной, сферической плоскостями.
С использованием схемы Ивлева-Ершова в работах А.Н. Спорыхина и его учеников [16, 17, 81-93, 163, 156, 98-102] получен ряд приближённых решений для задач о растяжении плоскости из упрочняющегося упругопластического материала с круговым, эллиптическим и близким к правильному многоугольнику отверстием, подверженных действию внутреннего давления.
Ю.М. Марушкей использовала метод возмущений в задаче о двухосном растяжении упругопластического пространства с эллиптическим включением [117] и при рассмотрении упругопластического состояния среды с включением в виде эллиптического цилиндра [116].
Метод возмущений был применен Л.М. Качановым для решения задачи пластического кручения круглых стержней переменного диаметра [77].
В работе [23] Г.И. Быковцев и Ю.Д. Цветков методом малого параметра решили задачу упругопластического кручения эллиптического стержня при неполном охвате пластической областью контура поперечного сечения. Ю.Д. Цветков рассмотрел общий подход к решению задачи кручения упругопластического стержня с околокруговым поперечным сечением в случае локального и полного охвата пластической областью контура поперечного сечения стержня [181]. А.А. Алимжанов и Н.С. Мукашев применили метод малого параметра к решению задачи упругопластического кручения стержня
с гипоциклоидным и овальным поперечным сечением [6] и к решению задачи упругопластического кручения стержня переменного диаметра [5]. В работе [6] было показано, что для стержня овального поперечного сечения три приближения, полученные методом малого параметра, в точности совпадают с тремя членами разложения точного решения, полученного В.В. Соколовским [149].
Пластическому кручению анизотропных стержней посвящена работа Г.И. Быковцева [21]. В.В. Дудукаленко и Д.Д. Ивлев рассмотрели кручение анизотропно упрочняющихся жесткопластических призматических стержней. В работе [46] решение проведено при линеаризированном условии пластичности и законе пластического течения, а в работе [47] - в предположении, что линеаризированными являются лишь соотношения ассоциированного закона пластического течения, условие пластичности принималось нелинейным.
Широкое применение метод возмущений нашел в задачах устойчивости деформируемых упругопластических тел, в том числе, в задачах горной механики. Выполненные исследования в этом направлении достаточно полно освещены в монографиях [1,39,40, 80,155,166 и др.].
Настоящая диссертационная работа посвящена разработке метода приближенного решения упрочняющихся упруговязкопластических (EVP) задач теории течения, исследованию упругого и пластического состояний в пластинах, содержащих включение различных очертаний, исследованию явления локальной неустойчивости в одном классе задач о горных массивах, обладающих упругопластическими свойствами, применению решения задачи Ламе для сложной (EVP) и упругопластической (ЕР) сред.
Помимо отмеченных выше, автор в ходе написания диссертации обращался к работам различных авторов, в том числе и названных выше [8, 48, 74,76,106,113,119,135, 136,137,157,158,161,164-167,168-171,184, 193, 195,196].
Актуальность темы. Необходимость предсказания поведения различных конструкций из металлов, грунтов и т.п. требует разработки более сложных математических моделей, описывающих с достаточной степенью точности процессы и явления. Естественно, возникает необходимость разработки методов, позволяющих производить расчеты по моделям. Так, например, ряд материалов в процессе упругопластического деформирования проявляет упрочнение и вязкость, с учетом которых, существенно усложняются расчеты.
В настоящее время нет универсальных методов решения задач упрочняющегося упруговязкопластического тела. Если в теории идеальной пластичности разработан ряд эффективных методов решения задач, то в теории упрочняющегося упруговязкопластического тела эти методы развиты в значительно меньшей мере. Несмотря на то, что разработан ряд численных методов, для решения неодномерных задач теории течения важное значение имеет разработка методов, дающих приближенное решение в виде сравнительно простых аналитических выражений.
Использование запрессовки в конструкциях и технических сооружениях позволяет существенно упростить процесс производства, снизить экономические затраты и, в конечном итоге, получить более надежный узел детали, поэтому в современном производстве и инженерии этот вид сборки получил широкое распространение. Необходимость предсказания поведения таких конструкций, а также конструкций, содержащих различные выемки, выточки, подкрепления, требует разработки сложных математических моделей, позволяющих с высокой точностью оценить такие явления и процессы. В этой связи использование решения, полученного хотя и приближенно, но аналитическим методом, более выгодно, чем решение, полученное исключительно численно.
На средних и больших глубинах горные породы приобретают явно выраженные неупругие свойства, поэтому необходимость предсказания отказов разных конструкций из бетона, металла, разрушения горных выработок и целиков требует разработки и применения более сложных математических мо-
делей сред, оценивающих с большей степенью точности процессы деформирования. С этой точки зрения использование моделей сложных сред, в которых учитываются такие свойства, как пластичность, вязкость, упрочнение, обнаруживаемые у реальных физических тел, не могут не представлять существенный научный и практический интерес.
Однако использование уточненных постановок задач и усложненных моделей сред влечет за собой значительные математические трудности, а это приводит к необходимости разработки эффективных методов решения, что и определило актуальность темы исследования.
В связи с этим целями настоящей работы являются:
Разработка приближенного аналитического метода решения плоских упруговязкопластических и упругопластических задач, представляющего решение в виде аналитических выражений.
Определение в рамках модели Ивлева-Спорыхина (EVP) поля напряжений и перемещений в задачах Галина-Ивлева.
Определение в рамках модели упругопластического тела распределение поля напряжений и перемещений в задачах о двухосном растяжении пластин, ослабленных отверстиями различных типовых форм (в том числе эллиптическим и близким по форме к правильному многоугольнику), содержащих включение соответствующих очертаний.
Исследование аналитичности полученных решений.
Развитие метода возмущений в одном классе задач горной механики.
Применение решения задачи типа Ламе (EVP среда) для определения комплексных потенциалов в задаче Л.А. Галина.
Исследование состояния трубопровода при гидроударе.
Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что для анизотропного упрочняющегося упруговязкопластического тела в рамках модели Ивлева-Спорыхина с произвольным коэффициентом упрочнения:
разработан метод решения плоских задач;
получены линеаризованные уравнения;
выработан подход, сводящий решение сложных задач теории течения к решению менее сложных задач этой теории;
построен алгоритм решения этих задач;
решены задачи Галина-Ивлева о двухосном растяжении пластин, ослабленных круговым, эллиптическим или близким к правильному многоугольнику отверстием, а так же задача об эксцентричной трубе под действием внутреннего давления.
Для упругопластического тела на основе линеаризованных уравнений:
сформулирована и доказана теорема о существовании, единственности и разложимости в сходящийся ряд решения плоской упругопластической задачи;
дано обобщение схемы Ивлева-Ершова на решение некоторых плоских упругопластических задач с включениями;
решена в первом приближении задача о двухосном растяжении толстой плиты с отверстием близким по форме к правильному многоугольнику, заполненным упругим включением в виде цилиндра или стержня соответствующей формы;
решены в первом приближении задачи о двухосном растяжении толстой плиты, ослабленной эллиптическим или близким по форме к правильному многоугольнику отверстием, содержащим упруго-пластическое включение в виде цилиндра соответствующей формы;
в рамках метода возмущений разработан метод решения и решен класс задач устойчивости при неоднородных докритических состояниях в том числе: о локальной неустойчивости пластин с запрессованными кольцевыми включениями при упругопластическом поведении материалов; об устойчивости состояния равновесия горного массива возле многослойной сферической крепи при упругопластическом поведении материалов; об устойчивости состояния равновесия многослойной крепи вертикальной горной выработки при упругопластическом поведении материалов;
предложен способ использования решения А.Н. Спорыхина задачи Ламе для определения комплексных потенциалов и упругопластиче-ской границы в задаче Л.А. Галина;
решение упругопластической задачи Ламе применено для исследования критического состояния трубопровода при гидроударе.
Практическое значение. Развитый алгоритм решения позволяет определять поле напряжений и перемещений в упругой и пластической зонах, положение упругопластической границы при решении задачи теории течения в рамках модели Ивлева-Спорыхина с произвольным коэффициентом упрочнения и вязкости; оценить различие в решениях задач в рамках теории течения и деформационной теории.
Полученные результаты позволяют определять поле напряжений и перемещений, а также вид и положение границ упругой и пластических зон в задачах о пластинах, содержащих включения различных форм, и могут быть использованы при выборе расчетных схем необходимых в задачах, решаемых при строительстве выработок, при выборе толщины крепей на основе данных о физико-механических свойствах массива, для исследования напряженно-деформированного состояния горного массива около выработок.
Достоверность. Проведенные в данной диссертационной работе исследования базируются на методе возмущений, использовании которого в решении многих задач механики сплошных сред, включая задачи теории пластичности, показало его высокую эффективность.
Достоверность сделанных в работе выводов обеспечивается корректной постановкой задачи и дальнейшими строгими выкладками, апробированно-стью используемых моделей механики сплошных сред, согласованием полученных результатов исследования с физическими представлениями и сопоставлением полученных результатов с уже известными.
Апробация. Основные результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета 1992 -
2005 гг.; на научных сессиях Воронежского государственного университета 1993 - 2005 гг.; на школах, проводимых Воронежским государственным университетом совместно с Московским государственным университетом, Саратовским государственным техническим университетом, математическим институтом им. В.А. Стеклова 1992 - 1995 гг., посвященных современным проблемам механики и математической физики; на Белорусском учредительном конгрессе по теоретической и прикладной механике «Механика-95» 1995 г.; на I международной конференции «Экологическое моделирование и оптимизация в условиях техногенеза» Солигорск, Беларусь, 1996; на 2 Белорусском конгрессе по теоретической и прикладной механике «Механика 99», Минск, 1999; на 5 международной конференции «Нелинейные колебания механических систем», Нижний Новгород, 1999; на 3 Международной научно-технической конференции «Авиакосмические технологии», Воронеж, 2002; на школах-семинарах, посвященных 70- и 75-летию профессора Д.Д. Ивлева «Современные проблемы механики и прикладной математики» (г. Воронеж, 2000-2005 гг.); на «Понтрягинских чтениях X», проводимых ВГУ в 1999 г.
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в монографии [156] и следующих печатных работах [16,17, 32-38, 81-102,163,183].
Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, включающего 204 наименования. Работа содержит 234 страницы печатного текста, включая 43 рисунка и 1 таблицу.
Кратко остановимся на структуре диссертации.
Линеаризация соотношений теории течения, граничных условий и условий сопряжения
Процедуру разложения функции по малому параметру будем так же называть линеаризацией функции. Это объясняется тем, что при п О F будут линейными функциями величин п-го порядка (при п = О функция F(0) в общем случае нелинейна, так как в нее (1.2.1) входят смешанные инварианты тензоров напряжений и пластических деформаций (скоростей деформаций)).
Учитывая линейный характер этой зависимости, уравнения (1.2.6) и (1.2.7) можно представить в виде:
Исходя из линеаризованных соотношений (1.2.8) и (1.2.9), можно построить алгоритм нахождения приближенного решения упруговязко-пластической задачи, конкретизируя вид функции нагружения. В общем случае этот алгоритм позволит получить лишь численное решение, так как функции i7(n) зависят от компонент пластической деформации n-го порядка е(и) и, соответственно, скорости пластических деформаций ё(и). Следовательно, для каждого приближения имеет место статически неопределимая задача. Задача усложняется еще и тем, что выполнить интегрирование линеаризованных соотношений ассоциированного закона пластического течения невозможно, ввиду того, что они содержат неизвестные функции сг1и).
Введение дополнительных предположений позволяет, при конкретизации вида функции нагружения, получить приближенное аналитическое решение упруговязкопластической задачи методом малого параметра.
При постановке граничных условий может оказаться, что малый параметр будет входить в уравнения, описывающее границу области, где ищется решение задачи. Такую границу будем называть возмущенной. При этом, если в выражениях определяющих границу положить 8=0, то уравнения будут описывать невозмущенную границу области.
Разложение по малому параметру приводит к тому, что граничные условия, определенные на возмущенной границе, заменяются для каждого приближения новыми граничными условиями на невозмущенной границе. При этом решение для каждого приближения находится в области, определяемой невозмущенной границей.
Так, если уравнение невозмущенной границы имеет вид где , - параметр, г - радиус-вектор, а А =го{%) уравнение невозмущен ной границы, то граничные условия на возмущенной границе для некоторой функции / можно записать в виде f(r(4,S)5)=f0. Раскладывая / по параметру 8, имеем f =2 7("\ /(я) =- 4 7 Я n\dSH r=r0,S=0
Очевидно, для определения функций / (и) можно воспользоваться треугольником Ли [148,196]. Для каждого приближения граничные условия на невозмущенной границе будут иметь вид / (" = f $ .
При решении упруговязкопластической задачи необходимо учитывать условия сопряжения решений в упругой и пластической зонах. Условия сопряжения, записанные на упругопластическои границе, заменяются новыми условиями для каждого приближения, записанными на невозмущенной упругопластическои границе, согласно [65].
Далее при решении задач будет приводиться конкретный вид условий сопряжения на упругопластическои границе.
Очевидно, что уравнения равновесия (1.1.11), (1.1.12) линейны относительно компонент тензора напряжений, поэтому они имеют место для любого приближения. Соотношения Коши (1.1.13), (1.1.14) также линейны относительно компонент тензора деформаций и вектора перемещений, и они сохраняют свой вид для любого приближения. Наконец, ввиду линейности закона Гука (1.1.3), условия несжимаемости (1.1.10) и соотношений (1.1.2) для полных деформаций их линеаризация по малому параметру также приводит к линейным соотношениям.
Двухосное растяжение толстой пластины с отверстием близким по форме к правильному многоугольнику
Однако, в силу громоздкости подинтегрального выражения при учёте (2.2.12) решить аналитически это интегродифференциальное уравнение в этом случая не удается. Поэтому здесь в качестве перемещений в пластической зоне ограничимся первым приближением, которое, согласно алгоритму, изложенному в 3 главы I, имеет вид (2.2.10). Вторая итерация может быть получена только численно.
Полагая, как и в 1 данной главы, в приведенных выше соотношениях с=0 и t - оо, приходим к результатам работы Ивлева-Ершова [65], при t - оо к результатам работы [93], а при с « 1 и rj = 0 к результатам работы [15].
Результаты численного анализа представлены на рис.2.5 и рис.2.6. Здесь показана зависимость радиуса упругопластической границы ps от угла в. При этом значения величин в безразмерном виде принимались следующими: внутреннее давление на контуре Р0==1,7; малый параметр =0,06; ко 77 эффициент упрочнения с=0,2 и г\ =0,001; модуль сдвига G=1; радиус отверстия а -0,7.
Замкнутая кривая 1 соответствует контуру отверстия. Замкнутые кривые 2 - 4 характеризуют положение упругопластическои границы ps в моменты времени /=4-10-4 - кривая 2; /=5-10-4 - кривая 3; /=6-10"4 - кривая 4, соответственно. При дальнейшем росте времени, как показал численный анализ, кривая 4 практически совпадает с кривой 5, которая соответствует упрочняющейся упругопластическои задаче. Следовательно, как и в предыдущем случае, имеет место ограниченная ползучесть. Приведенные на рис. 2.5 кривые 2-5 соответствуют первой итерации. Из результатов численного анализа следует, что учет второй итерации приводит к тому, что кривые практически совпадают (рис. 2.6). Двухосное растяжение толстой пластины с отверстием близким по форме к правильному многоугольнику
Рассмотрим задачу о двухосном растяжении толстой пластины с отверстием близким по форме к правильному многоугольнику. Как в 1 и 2, на бесконечности действуют взаимно ортогональные растягивающие напряжения интенсивностями / и Р2. На контуре отверстия действует нормальное давление Р0 (рис. 2.7). Pi
Отметим, что в случае Рх = Р2 для идеально пластического материала аналогичная задача рассматривалась в [126]. Контур многоугольника опишем уравнением гипоциклоиды, параметрическое уравнение, которой имеет вид [20]
Таким образом, определены в первом приближении (две итерации) поля напряжений в упругой и пластической зонах, а также уравнение для границы раздела зон упругого и пластического состояний в пластине с многоугольным отверстием. При этом свойства материала в зоне пластичности описываются моделью упрочняющегося упруговязкопластического тела. Определение поля перемещений во второй итерации в зоне пластичности связано (как и в предыдущем случае 2) с разрешимостью уравнения (1.3.12).
Однако в силу громоздкости подинтегрального выражения аналитически решить интегродифференциальное уравнение вида (1.3.12) при упруго-вязкопластическом поведении в зоне пластичности не удается, поэтому в качестве перемещений в пластической зоне в первом приближении здесь ограничимся результатом первой итерации, которая определена в виде (2.3.13).
Очевидно, если положить коэффициент упрочнения равным нулю, а время t - да во всех приведенных соотношениях, то приходим к результатам работы [103]. Как видно из (2.3.11) и (2.3.18), в данной задаче форма упруго-пластической границы зависит от формы контура внутреннего отверстия. При этом если в (2.3.6) - (2.3.18) положить т=2, то мы приходим к задаче Д.Д. Ивлева о растяжении пластины с эллиптическим отверстием, рассмот 3 ренной в 2. Если положить — = 0, то соотношения (2.3.6)-(2.3.18) будут описывать напряженно-деформируемое состояние плоскости с круговым отверстием, то есть задачи Л.А. Галина, рассмотренной в 1 этой главы, для модели упрочняющегося упруговязкопластического тела.
Результаты численного анализа представлены на рис.2.8 - рис.2.10. Здесь показана зависимость радиуса упругопластической границы ps от угла в (первая итерация). Рис. 2.8
Значения безразмерных характеристик принимались следующими: внутреннее давление на контуре Р0=1,7; малый параметр (5=0,035; 0,005; коэффициент упрочнения с=0,2 и коэффициент вязкости 77=0,001; модуль сдвига G = 1; радиус отверстия а=0,8.
На рис. 2.8 показана зависимость радиуса упругопластической границы ps от угла в в случае, когда контур отверстия по форме близок к правильному четырехугольнику; на рис.2.9 показана зависимость рч от $ в случае, когда контур отверстия по форме близок к правильному шестиугольнику; на рис.2.10 - когда контур отверстия по форме близок к правильному двенадцатиугольнику. На рис.2.8 - рис.2.10 кривая 1 соответствует контуру отверстия, а кривые 2, 3, 4 показывают положение упругопластической границы для моментов времени /=4-10-4, /=5-10-4. /=6-10-4, соответственно.
Двухосное растяжение толстой плиты с отверстием близким по форме к правильному многоугольнику, заполненному стержнем - включением
Определим напряженное и деформированное состояние толстой плиты с отверстием близким по форме к правильному многоугольнику, в которое с натягом вложен или впаян несколько больший по размеру симметричный отверстию многоугольный стержень - включение. Плита на бесконечности растягивается взаимно перпендикулярными усилиями с интенсивно-стями Р\ и Р2 (рис. 3.6).
Имеем случай плоской деформации. Задачу решим в безразмерном виде в цилиндрической системе координат р,в,г. По-прежнему напряжения отнесем к пределу текучести на сдвиг материала плиты к , перемещения - к радиусу упругопластической границы rsn в плите при невозмущенном состоянии. Предположения по малому параметру, по поведению упругопластической границы в плите, свойствам материалов плиты и включения, вве 119 денные в 1, остаются справедливыми и в данном случае. За невозмущенное состояние выбираем решение третьего варианта задачи из 5 гл. I.
Уравнение контура, ограничивающего включение до деформации, имеет вид (3.1.1), а уравнение контура, ограничивающего отверстие в плите до деформации (3.1.2). Малость величины є = ах-а, как и ранее, позволяет считать, что линия контакта совпадает с границей включения, а следовательно, имеет вид (3.1.4). Граничные условия на бесконечности, как и прежде, представляются соотношениями (3.1.5). На границе пластической зоны плиты, согласно [65], имеем (3.1.10), (3.1.19).
Для определения a2l, а22, aml, ат2, кх, к2, кы, к2т в случае включения вложенного с натягом в отверстие необходимо (3.2.7), (3.2.8), (3.2.10) подставить в (3.2.1), (3.2.2); в случае включения, впаянного в отверстие, необходимо (3.2.7), (3.2.8), (3.2.10) подставить в (3.2.3), (3.2.4).
При р = 0 имеем случай равномерного растяжения конструкции на бесконечности; при dx = 0 - круговые отверстие и включение; при Gx = 00 -случай жесткого включения; п=2, dx = 1 - эллиптические отверстие и включение [117].
Рассмотрим бесконечную плиту, ослабленную эллиптическим отверстием, в которое с натягом вставлен эллиптический цилиндр-включение. Включение предполагается упругопластическим (рис. 3.7). На бесконечности на плиту действуют взаимно перпендикулярные усилия с интенсивно-стями Pi и Рг, внутренний контур включения нагружен нормальным давлением Р0 Задача решается в безразмерном виде. При этом напряжения отнесены к пределу текучести на сдвиг материала плиты к. Перемещения отнесены к радиусу упругопластической границы в невозмущешюм состоянии во включении rsB.
Имеем случай плоской деформации. Предположения, введенные в I относительно материала плиты и включения, о развитии пластической зоны в плите, а в данной задаче и во включении, остаются в силе. За невозмущенное состояние выбирается второй вариант постановки задачи из 5 гл. I. Аналогично предыдущим задачам, за малый параметр принимается величина [65] др, где р, - безразмерная постоянная.
Согласно [65], уравнение эллиптического контура представляется в виде (2.2.1). Используя это представление, для эллиптического отверстия в плите, полуоси которого в безразмерном виде равны a(\ + d\S) и ail-d ), имеем
Уравнение эллипса с полуосями ax{\ + dxd) и ax(l-dxS), ограничивающего внешний контур включения до деформации, имеет вид p = ax(l + Sdlcos20-...), ах а. (3.3.2) Уравнение эллипса, ограничивающего внутреннее отверстие во включении с полуосями Р (1 + d28) и /3 (1 - d2S), есть выражение р = /3(l + Sd2 cos 20 -...), (3.3.3) где а, ах, Р - радиусы, аналогичные принятым в предыдущей задаче, dx, d2 - безразмерные константы, 8 - малый по сравнению с единицей параметр.
Граничные условия на бесконечности имеют вид (3.1.5). На внутреннем контуре включения имеют место граничные условия, которые в линеаризированном виде представляются выражениями
Здесь индекс «В» подчеркивает принадлежность условий (3.3.4) внутреннему контуру включения. За границу контакта включение - плита, ввиду малости геометрической величины є = ах-а, принимаем внешний контур
Исследование устойчивости состояния равновесия горного массива возле многослойной сферической крепи при упругопластическом поведении материалов
В третьей главе представленной диссертации выполнено решение следующих задач:
а. Задача о растяжении толстой плиты с отверстием по форме близким к многоугольному, в которое с натягом вставлено упругое цилиндрическое включение, внешние и внутренние очертания которого близки по форме к правильному многоугольнику.
б. Задача о растяжении толстой плиты с отверстием близким по форме к правильному многоугольнику, в которое с натягом вставлен упругий приз матический стержень, внешний контур которого близок по форме к пра вильному многоугольнику.
в. Задача о растяжении толстой плиты с эллиптическим отверстием, содержащим с натягом эллиптическое упругопластическое включение - ци линдр.
г. Задача о растяжении толстой плиты с отверстием близким по форме к многоугольному, в которое с натягом вставлено упругопластическое включение в виде цилиндра, внешний и внутренний контура которого близ ки по форме к правильному многоугольнику.
Исследования проводились в рамках идеальной пластичности. В качестве функции нагружения выбиралась функция пластичности Мизеса. Рассматривался случай плоской деформации.
Задачи решались методом малого параметра, в качестве нулевого приближения при этом выбиралось осесимметричное состояние пластины с круговым отверстием, в которое запрессовано круговое цилиндрическое включение. Материал включения первой и второй задачи принимался упругим, для остальных задач - упругопластическим. Решение задач «а», «б» проводилось по схеме Ивлева-Ершова, а решение задач «в», «г» проводилось по алгоритму, предложенному в 3 первой главы.
В процессе решения задач предполагалось, что пластическая зона полностью охватывает контур отверстия в плите, а также во включении, если оно имеет пластическую зону (задачи «в» и «г»). Процесс нагружения считался активным.
Во всех четырех задачах определено два приближения: нулевое и первое. Найдены поля перемещений и напряжений, построены соответствующие графики. Определена зависимость радиуса упругопластической границы от угла в. Выявлено влияние на нее распределения внешних нагрузок, а также возмущения имеющихся контуров в плите и во включении.
Анализ полученных выражений для напряжений и перемещений, как и выражения для радиусов пластических границ для всех рассмотренных задач, показывает присутствие слагаемых, «отвечающих» за распределение внешних нагрузок, форму отверстия в плите и внешней границы включения, а также форму внутреннего отверстия во включении. Также в соотношениях для перемещений присутствуют члены, содержащие физические параметры среды. Сказанное выше говорит о взаимосвязанном влиянии плиты на включение и включения на плиту, т.е. условно данную ситуацию можно назвать влияние «все на все».
Численный анализ, проведенный согласно выведенным формулам для полей напряжений, перемещений и радиусов упругопластических границ для рассмотренного класса задач («а», «б», «в», «г») и представленный на рисунках (3.2-3.5), (3.8 - 3.11), (3.13 - 3.16), позволяет сделать следующие выводы.
Для задач «а» и «б».
Существенное влияние на форму упругопластической границы в плите оказывается при возмущении внешнего контура включения. Возмущение внутреннего контура оказывает несущественное влияние на упругопласти-ческую границу.
Для задач «в» и «г».
Возмущение внутреннего контура во включении оказывает влияние на форму упругопластических границ как в плите, так и во включении (разница отклонений от невозмущенных обеих границ порядка d28). Возмущение внешнего контура включения и собственно контура отверстия в плите оказывает существенно большее влияние на пластическую зону в плите, чем во включении (разница порядка более d{8 10).
Влияние на положение упругопластических границ в плите и во включении оказывает толщина стенок включения. Пластическая зона плиты сужается при этом к отверстию в плите, пластическая зона включения расширяется от внутреннего отверстия во включении (порядка /-10, где d- приращение толщины).
Распределение внешних нагрузок во всех четырех задачах существенно отражается на форме и положении пластических зон, как в плите, так и во включении (задачи «в» и «г»). При этом направление распространения пластической зоны в плите согласуется с направлением развития пластической зоны в известных исследованиях [65,87,93].
Похожие диссертации на Задачи определения упругопластического состояния сложных и упрочняющихся сред
