Содержание к диссертации
Введение
1. Флуктуации напряженного состояния случайно-неодно родной изотропной среды без полости (некраевые задачи) 14
1.1. Решение плоской задачи в напряжениях
1.2. Решение плоской задачи в перемещениях 18
1.3. Решение пространственной задачи в перемещениях 24
2. Напряженное состояние случайно-неоднородной изотропной срэды с цилиндрической и сферической полостями (краевые задачи) 31
2.1. Решение плоской задачи для цилиндрической полости в напряжениях 31
2.2. Решение плоской задачи для цилиндрической полости в перемещениях 36
2.3. Решение пространственной задачи для сферической полости в перемещениях 42
2.4. Об оценке прочности среды вблизи цилиндрической и сферической полостей 47
3. Напряженное состояние случайно-неоднородной трансверсально-изотропной среды с цилиндрической полостью (некраевые и краевые задачи) 52
3.1. Флуктуации напряженного состояния трансвер-сально-изотропной среды без полости 52
3.2. Репкение плоской задачи для трансверсально-изотропной среды, когда ось цилиндрической полости перпендикулярна плоскости изотропии 62
3.3. Решение плоской задачи для трансверсально-изо-тропной среды, когда ось цилиндрической полости параллельна плоскости изотропии 65
Заключение 75
- Решение плоской задачи в перемещениях
- Решение плоской задачи для цилиндрической полости в перемещениях
- Об оценке прочности среды вблизи цилиндрической и сферической полостей
- Решение плоской задачи для трансверсально-изо-тропной среды, когда ось цилиндрической полости параллельна плоскости изотропии
Введение к работе
Работа посвящена исследованию плоского и пространственного упругого состояния и разрушения случайно-неоднородных изотропной и анизотропной сред, содержащих концентраторов напряжений в виде цилиндрической и сферической полостей при статическом нагружении.
Актуальность темы. Структура и свойства реальных сред объективно имеют случайную (стохастическую) природу. Как естественные среды типа горных пород и грунтов в бытовом залегании, так и искусственные материалы типа композитов армированных стеклопластиков по характеру своего происхождения и особенности технологии изготовления являются анизотропными телами. В технике и строительстве такие тела зачастую ослабляются различного рода отверстиями, создающими большие концентрации напряжений. Это, в одних случаях подземные выработки и тоннели в толще горных пород и грунтов, в других случаях - перфорированные пластинки и оболочки в конструктивных элементах машин и сооружений. Поэтому возникает необходимость оценки напряженно-деформированного состояния случайно-неоднородных анизотропных сред вблизи полостей с учетом величин флуктуации упругих характеристик. Современное состояние изученности вопроса таково, что большинство работ посвящено к изотропной среде, случайно-неоднородные анизотропные среды вовсе не рассмотрены, а флуктуации упругих характеристик сред, как правило, принимаются малыми. Однако последнее предположение не всегда выполняется, что требует привлечения методов, учитывающих произвольность разброса стохастических характеристик. Наконец, любой прогресс в исследовании разрушения, в особенности такой сложной среды, как случайно-неоднородной анизотропной с полостью, является чрезвычайно важным и ценным.
Цель работы. Аналитическое исследование напряженно-деформированного состояния случайно-неоднородных изотропной и анизотропной сред с учетом пространственной изменчивости и существенного разброса их стохастических упругих характеристик, а также стохастическая оценка прочности среды вблизи ослабляющей ее полости.
Методика исследования. Упругая среда рассматривается как случайное однородное (стационарное) поле. Случайная неоднородность означает неоднородность флуктуации упругих характеристик среды при однородных средних значениях самих характеристик. Исходными выступают уравнения для неоднородных упругих сред. Для решения задач о распределении упругих напряжений и перемещений случайно-неоднородных изотропной и анизотропной сред вблизи полостей с учетом конечности флуктуации упругих характеристик систематически используется метод интегральных спектральных представлений, который имеет здесь очевидные преимущества по сравнению с другими методами теории случайных функций. Особенность задач с концентраторами напряжений требует рассмотрения последовательно напряженного состояния среды без полости (не краевая задача), а затем состояния среды, возмущенного полостью (краевая задача). В первом случае для случайных функций используется однородное спектральное представление, а во втором случае - неоднородное спектральное представление, продиктованное влиянием краевых условий.
На защиту выносятся следующие основные положения:
- эффективным аппаратом для решения не краевых задач теории случайных полей в деформируемых твердых телах является метод спектральных представлений, позволяющий определить стохастические характеристики напряженно-деформированного состояния изотропной и анизотропной сред с произвольными величинами флуктуации упругих характеристик
- этот же метод может применяться достаточно эффективно и для решения плоских и пространственных краевых задач для случайно-неоднородных сред с цилиндрической и сферической полостями;
- разработанная методика позволяет провести аналитические исследования в полном объеме вплоть до получения расчетных соотношений для компонентов напряжений и перемещений для случайно-неоднородной анизотропной среды, ослабленной полостями, и дать стохастическую оценку прочности среды вокруг полости.
Научная новизна. На основе метода спектральных представлений теории случайных полей для деформируемых твердых сред рассмотрен ряд малоизученных вопросов. А именно, во-первых, решены не краевая и краевая задачи для случайно-неоднородной изотропной среды с полостями сферической и цилиндрической форм; во-вторых, впервые решены не краевая и краевая задачи для случайно-неоднородной анизотропной среды с цилиндрической полостью; в-третьих, проведена вероятностная оценка прочности случайно-неоднородной среды вокруг ослабляющих их полостей. Отличительная особенность полученных результатов заключается в том, что решения всех задач выполнены без привлечения гипотезы о малости флуктуации упругих характеристик среды.
Достоверность результатов работы основывается на применении обоснованных положений механики деформируемых твердых тел и строгих математических методов, подтверждается дублированием решений в потенциалах перемещений решениями непосредственно в перемещениях и напряжениях и, наконец, сравнением предельных переходов в решениях для случайно-неоднородных анизотропных сред с известными частными решениями для детерминированной однофазной и случайно-неоднородной и детерминированной изотропной сред.
Практическая ценность. Диссертация является органической частью плановых научно-исследовательских работ Института сейсмологии АН
Казахской ССР по теме "Разработать методы расчета сейсмического воздействия на протяженные подземные сооружения в анизотропном породном массиве" (I98I-I985, гос.регистрация № 81085560), выполняемой в рамках комплексной программы 0.74.03 ГКГТТ СССР. Полученые в ней результаты используются и могут быть использованы другими организациями при расчете напряженного состояния и оценке вероятности разрушения подземных горных выработок и емкостей с учетом реальных стохастических упругих характеристик мелко слоистостью породного массива.
Апробация работы. Результаты работы по мере их получения регулярно обсуждались на заседаниях лаборатории теории сейсмостойкости подземных сооружений Института сейсмологии АН Казахской ССР, где автор проходил аспирантуру и в настоящее время работает (1981--1984). Основные положения диссертации докладывались на УШ Казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике и У научной конференции молодых ученых Института сейсмологии АН Казахской ССР (Алма-Ата, 1984). Полное содержание диссертации обсуждено и одобрено на научном семинаре кафедры строительной механики Московского инженерно-строительного института (Москва, 1984) и научном семинаре по механике деформируемого твердого тела Института сейсмологии АН Казахской ССР (Алма-Ата, 1984).
Публикации. По теме диссертации опубликованы 5 научных статей и сообщений.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения и напечатана на 82 страницах машинописного текста, включая список литературы из 62 названия и 2 рисунка.
Решение плоской задачи в перемещениях
Ламе неоднородной изотропной среды в случае плоской деформации запишутся следующим образом Как и прежде, допустим всестороннее сжатие среды обусловленное равномерным нагревом. Полная деформация представляет суперпозицию деформации от теплового расширения ( -UT ) и упругой деформации id/ І т.е. Полные деформации выразим через перемещения, а затем деформации (2.2) подставим в уравнения Ламе (2.1): Для поля перемещений вводим скалярный и векторный потенциалы В итоге получим уравнения относительно этих потенциалов и модуля упругости Для решения этой системы уравнений применяем спектральный метод теории случайных полей. Поведем для случайных полей спектральные представления где X2&&J# "tjJC/j/bj _ координатный и волновой векторы; 2- tj - среднее значение(математическое ожидание $М; Vfa/ слУчайные спектры, стохастически ортогональные в пространстве волновых чисел Л . Продифференцируем первое уравнение система (I.I7) по Я , второе - по - и суммируем, затем подставим разложения (і.18) в полученное уравнение. После этого умножаем левую и правую части по-очередно на комплексно-сопряженные спектры fa J и $ (& J и выполняя операцию осреднения, получим: где #-/ /-/1 - спектральные и вза- имная спектральная плотности функций fej , ffl&J . Чтобы полу чить уравнение относительно спектральных плотностей функций &J и (х/ , продифференцируем первое уравнение (I.I7) по . , второе - по и отнимем второе уравнение из первого, затем применяем процедуру метода спектральных представлений. В результа те получим, что & . Равенства нулю спектраль ных плотностей для потенциала обусловлены тем, что мы рассмат риваем гидростатическое напряженное состояние. Выражения средних значений напряжений в случайно-неоднородной среде можно вывести, используя закон Гука Подставив выражения (I.I4) и разложения (I.I8) в (1.20) и осреднив результаты по множеству реализаций, получим Предположим, что статистические характеристики флуктуации (&J являются функцией модуля ft , Следовательно, потенциалы перемещений также будут обладать свойством стохастической изотропии. В этом случае удобно перейти к полярным координатам относительно Уравнения (і.19) и (l.2l) образуют замкнутую систему относи тельно неизвестных T/ff , f/Jt , SffcJ Stftej азРепіая ее и затем переходя к полярной системе координат, получим Принимая во внимание, что дисперсия модуля упругости выражения для средних напряжений запишем в виде: Зная спектральные плотности потенциалов tffxj и (xl ,можно вычислить дисперсии перемещений.
Дисперсии вычисляются по формулам: В нашем случае имеем: Задаваясь конкретным видом спектральной плотности, можно вычислить статистические характеристики напряженного состояния среды. Теперь покажем решение задачи непосредственно в перемещениях. Для этого спектральные представления перемещений - подставим "в уравнения Ламе. Тогда относительно спектральных плот ностей Sf&tff г &, № получаем уравнения, соответствую- щие (I.I9) : Отсюда получим Для того, чтобы выразить средние значения напряжений через статистические характеристики среды, воспользуемся законом Гука (l.20), записанным через перемещения. Затем подставив представление модуля упругости (I.18) и компонент перемещения (і.2б) в закон Гука, а затем осредняя по множеству реализаций, находим Сравнения (1.29) с (1.22) показывают, что они полностью ссгвпа- дают. Другими словами, в данном случае решения в перемещениях и потенциалах перемещений дают идентичные результаты. Учитывая же выражения для напряжений f"-- t формулы (1.29) можно записать в виде гт"/( у 1.3. Решение пространственной задачи в перемещениях Уравнения Ламе трехмерной неоднородной изотропной среды при отсутствии массовых сил имеют вид /23 / Полные деформации is, представшл как сумму теплового расширения с / упругой деформации ; . Определяя полные деформации при помощи перемещений ґ/ , упругие деформации записываем в виде Для поля перемещений вводим скалярный и векторный потенциалы Подставив (1.32) и (і.ЗЗ) в уравнения равновесия Ламе, полу- чим: В соответствии со спектральным методом случайные функции модуля упругости {ж/ и потенциалов перемещений ff- и ) ( / = 1,2,3) в уравнениях (1.34) представим подобно где ж{2,,2л, Зз]х №} #s, KL, X3J - координатный и волновой векторы; =& /и ; {KJ9 $/q/t WfaJ - случайные спектры, стохастически ортогональные в пространстве волновых чисел Ж, Продифференцируем первое уравнение системы (1.34) по второе - хх , третье - по #3 , суммируем, а затем подставим разложения (1.25) в полученное уравнение. После этого умножаем левую и правую части поочередно на комплексно-сопряженные спектры {#{ J и Ф ftf J и выполним операцию осреднения по множеству реализаций. При отсутствии стохастической связи между случайными функциями tfxj и fyf-%/ получим (1.36) спектральные и взаимная спектральная плотности функций {xj и t/jfe/ . Для того чтобы получить уравнения относительно спектральных плотностей функций {xj и tyxj , проведем операцию 40Ї в системе уравнений (1.34), а затем применяем процедуру метода спектрального представлений. В результате получим, что л»О%/=0, ф%{#(/—О . Равен-ства нулю спектральных плотностей векторного потенциала обусловлены тем, что мы рассматриваем гидростатическое напряженное состояние. Средние значения напряжений в случайно-неоднородной среде можно вывести, используя закон Гука: Приводятся решения плоских и пространственных задач для случайно-неоднородной изотропной среды.
Решения плоских задач в поперечном сечении цилиндрической полости выполняются также двумя путями -в напряжениях и перемещениях, а пространственных задач - в потенциалах перемещений. Искомые случайные функции представляются в виде неоднородных случайных полей, позволяющих отразить влияние краевых условий на внутренних границах на стохастические характеристики напряженно-деформированного состояния случайно-неоднородной среды. Возмущенные напряжения находятся из краевых условий для полных напряжений. Обсуждаются вопросы вероятностной оценки прочности такой среды вблизи полостей. Результаты этой главы опубликованы в статьях /52,53,54/. Рассмотрим влияние краевых условий на внутренних круговых границах в случаях плоской задачи на напряженное состояние случайно неоднородной среды. Будем исходить из уравнения неразрывности при отсутствии массовых сил, записанного в напряжениях /30/: где №-/%, ZiJ - координатный вектор; J%/ - функция напряжений Эри ; j) - коэффициент Пуассона; (&J ?//&) » -модуль упругости; /\ - двумерный оператор Лапласа. Кроме того, функция напряжений X (зс} должна удовлетворить краевым условиям на границе среды, а также условиям ограниченности решений на бесконечности. Примем, что функция #(&J , характеризующая неоднородность среды, образует однородное случайное поле /-ЗЇ / , а, следователь-но, допускает спектральное представление в виде (1.3), т.е. Здесь =0/и - среднее значение (математическое онидание); ufaj - случайный спектр поля, удовлетворяющий соотношениям стохастической ортогональности. Решение уравнения (2.1) ищем в виде спектрального представления типа / -29 / которая учитывает отличия поля у от однородного. Здесь У(х) - математическое ожидание; Х(к) - случайный спектр Фурье; 1( зс) - неизвестная детерминированная функция. Подставим разложения (2.2) и (2.3) в исходное уравнение (2.1). Б результате получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно среднего значения У(ж) и неизвестной детерминированной функции і[і }Ж) Предположим, что поле flfet/ является стохастически изотропным, т.е. статистические характеристики являются только функцией модулей координатного и волнового векторов, и что внешние детерминированные действия на границе среды обладают свойством центральной симметрии. Б этом случае удобно перейти к полярной системе координат. После перехода к полярным координатам в уравнениях (2.4) неизвестные функции lltj& J и // 7&У раскладываются в ряд Фурье по угловой координате Az -# : Коэффициенты io, Xі, X являются функциями радиуса 2, f# f. /. зависят от 2 и модуля волнового вектора tf . Подставим ряды (2.5) в уравнения (2.0 и приравняем к нулю коэффициенты при 6&JJ6 i&f/S ( / =0,1,2,...). Тогда получим бесконечную связанную систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов рядов (2.5).
Решение плоской задачи для цилиндрической полости в перемещениях
Рассмотрим уравнения Ламе для неоднородной изотропной среды при плоской деформации с правой частью, равной нулю, т.е. в случае отсутствия объемных сил Задача сводится к определению статистических характеристик функций Ц(&) и %(&) j удовлетворяющих системе уравнений С2.16), некоторым краевым условиям и условиям ограниченности решений на бесконечности. Как известно, составляющие перемещения МОЕНО выразить через скалярный потенциал $Xj и векторный потенциал {&J : в плоском случае эти выражения имеют вид (і.Іб). Подставим (і.Іб) в уравнения (2.1б): где A - двумерный оператор Лапласа. В соответствии со спектральным методом представим однородную случайную функцию в виде интеграла Фурье-Стильтьеса: а решение задачи, т.е. случайные потенциалы перемещений запишем в форме которые учитывают отличия полей W&/ и fife/ от однородного. Здесь cfc/, Ф&%/ Р М - случайные спектры, стохастичес- ки ортогональные в пространстве волновых чисел /%, PfaJ, № ма тематические ожидания; /7« У, / {№,&/ - неизвестные детерминированные функции. Продифференцируем первое уравнение (2.17) по 5у , второе - по « , суммируем, затем подставим разложения (2.18) и (2.19) в полученное уравнение. Проведя операцию осреднения по множеству реализаций, получаем два дифференциальных уравнения относительно четырех неизвестных Для того чтобы получить остальные два уравнения продифференцируем первое уравнение (2.17) по . , второе - по # и отнимем второе уравнение из первого, затем применяем процедуру спектрального метода. В результате получаем систему из четырех дифференциальных уравнений для определения неизвестных средних значений (математических ожиданий) и модулирующих функций. Предположим, что поле і(х/ является стохастически изотропным, краевые условия детерминированы и обладают центральной симметрией.
В этом случае случайные поля f(&/ и / (я/ также будут обладать свойством стохастической изотропности, т.е. статистические характеристики являются только функциями модулей волнового и координатного векторов t и й? . После перехода к полярным координатам полученная система четырех дифференциальных уравнений будут иметь вид: где Sj: M - спектральная плотность стохастически изотропного од- нородного поля Jrf&J ; ir/ ; Хл /v - взаимные спектральные плотности; A = %L + J. Я Коль скоро в первые два уравнения системы (2.20) входят только лишь неизвестные функции {z/ и /{#,%/ І во вторые - следующие две функции yY%/ и /%%%/ І то они образуют две автономные подсистемы. Общее решение первой подсистемы имеет вид Общее решение второй подсистемы - Здесь Xofa) произвольная функция Бесселя нулевого порядка; Ґ $; sfiftj Jt (j - постоянные интегрирования, определяемые из краевых условий и условий ограниченности решений на бесконечности; //у -, у - - корни характеристических уравнений Для узкополосного изотропного ПОЛЯ характеристические уравнения принимают форму бигармонических уравнений Вычисляя корни полученных уравнений, находим Эти корни определяют общие решения Рассмотрим уравнения Ламе неоднородной изотропной среды в случае отсутствия массовых сил Выразим "вектор перемещения при помощи скалярного потенциала и векторного потенциала ) формулой (1.33). Подставляя эти соотношения в уравнения (2.34), получим Задача сводится к определению статистических характеристик функций и (-Z/ , удовлетворяющих системе уравнений (2.35), некоторым краевым условиям и условиям ограниченности решения на бесконечности, вытекающим из механического смысла задачи. По прежнему будем предполагать, что модуль упругости представляет собой однородную случайную функцию и выражается в виде суммы математического ожидания (среднего значения) и флуктуации, записанного в виде стохастического интеграла Фурье (2.18). Решение задачи, т.е. случайные потенциалы перемещений будем искать в виде неоднородных случайных функций Продифференцируем первое уравнение системы (2.35) по , второе - по , третье - по , , суммируем, представим в спектральной форме, затем проведем операцию осреднения по множеству реализаций. Получаем систему дифференциальных уравнений относительно неизвестных математического ожидания ?(3tf и детерминированной функции f(ft,jtf . Чтобы получить остальные уравнения относи- тельно неизвестных функций "A-(2tJ и Aft&J проведем операцию в системе уравнений (2.35), затем применяем ход метода спектральных представлений. Предположим, что случайное поле флуктуации модуля упругости среды является стохастически изотропным. В этом случае случайные поля ffl&J и Ж{л/ такзхе будут стохастически изотропными, т.е. искомые математические ожидания ?(&/, )b№J и детерминированные функции ffa,Xj и A-ftxJ не будут зависеть от угловых координат. Кроме того, будем считать, что краевые условия обладают свойством центральной симметрии. Тогда системы разрешающих уравнений в сферической системе координат выглядят следующим образом Вместе с краевыми условиями на контуре тела и условиями ограниченности решения на бесконечности полученные системы уравнений дают краевую задачу для определения средних значений потенциалов перемещения в случайно неоднородной изотропной среде.
Будем искать решение ?ftj в сферических функциях где . - константы интегрирования j J- - характеристические показатели, подлежащие определению. Для функции /faz/ получаем выражение Подстановка выражений (2.39) и (2.40) в первое уравнение системы (2.32) приводит к характеристическому уравнению с интегральным членом Пусть, как и в предыдущих примерах, флуктуации модуля упругости представляют собой узкополосное изотропное случайное поле. Б этом случае в уравнениях (2.41) и (2.44) можно осуществить интегрирование. В результате получим Решая эти бигармонические уравнения, получим характеристические показатели Подставляя найденные характеристические показатели в полученные решения (2.39) и (2.40), (2.42) и (2.43) с учетом краевых условий и условий ограниченности решения на бесконечности получим решение данной краевой задачи. Средние значения напряжений выводятся путем использования закона Гука (1.37): Выше в главах I и 2 определены средние значения напряжений и их дисперсии в случайно-неоднородной среде соответственно в сплош ной и ослабленной полостью. Полные напряжения f y , представляют собой сумму основных ? (без полости) и возмущенных полостью .. напряжений, т.е. В выражениях возмущенных напряжений б;; ; постоянные интегрирования в (2.7), (2.8), (2.13), (2.14), (2.21), (2.22), (2.30), (2.33), (2.39), (2.40) остались не определенными. Они находятся исходя из краевых условий и условий на бесконечности, накладываемых на полные напряжения. і) Краевые условия для неподкрепленной полости таковы: 2) Условие ограниченности решения на бесконечности: 3) Краевые условия на поверхности (контуре) полости задаются детерминированные, т.е. через средние значения напряжений. Следова тельно, для функций 2fe tj (2.8), / zj (2.21) и /){/tt z/ (2.22) в плоских задачах и (2.40) и (2.43) в пространственных за дачах, характеризующих флуктуации, должны выполняться нулевые условия: і Так, в частности, для плоской задачи в напряжениях средние значения возмущенных напряжений окончательно получим в виде: (2.53) Следуя А.Р.Ржаницыну /43/, под "вероятностью разрушения" среды вблизи полости можно понимать вероятность достижения им предельного состояния. Предельное состояние характеризуется появлением в среде значений напряжений соответствующих пределу прочности. Аналитическое условие неразрушимости записывается в виде функции где ./7,- прочность материала; j - действующее напряжение в массиве.
Об оценке прочности среды вблизи цилиндрической и сферической полостей
Выше в главах I и 2 определены средние значения напряжений и их дисперсии в случайно-неоднородной среде соответственно в сплош ной и ослабленной полостью. Полные напряжения f y , представляют собой сумму основных ? (без полости) и возмущенных полостью .. напряжений, т.е. В выражениях возмущенных напряжений б;; ; постоянные интегрирования в (2.7), (2.8), (2.13), (2.14), (2.21), (2.22), (2.30), (2.33), (2.39), (2.40) остались не определенными. Они находятся исходя из краевых условий и условий на бесконечности, накладываемых на полные напряжения. і) Краевые условия для неподкрепленной полости таковы: 2) Условие ограниченности решения на бесконечности: 3) Краевые условия на поверхности (контуре) полости задаются детерминированные, т.е. через средние значения напряжений. Следова тельно, для функций 2fe tj (2.8), / zj (2.21) и /){/tt z/ (2.22) в плоских задачах и (2.40) и (2.43) в пространственных за дачах, характеризующих флуктуации, должны выполняться нулевые условия: і Так, в частности, для плоской задачи в напряжениях средние значения возмущенных напряжений окончательно получим в виде: Следуя А.Р.Ржаницыну /43/, под "вероятностью разрушения" среды вблизи полости можно понимать вероятность достижения им предельного состояния. Предельное состояние характеризуется появлением в среде значений напряжений соответствующих пределу прочности. Аналитическое условие неразрушимости записывается в виде функции где ./7,- прочность материала; j - действующее напряжение в массиве. Будем предполагать, что величины f /7 и fa линейно независимы. Тогда среднее значение функции неразрушимости Л? определится по формуле где f/f а а - средние значения(математические ожидания) предела прочности и расчетного напряжения. Дисперсия функции неразрушимости равна сумме дисперсий предела прочности и действующего напряжения а характеристика безопасности Вероятность разрушения вычисляется по формуле Если с/?./f і/ fa имеют нормальный закон распределения, то функция тоже распределяется нормально и /УЧ/ соответствует закону Гаусса где S - стандарт. Формула для определения вероятности разрушения V при нормальном законе распределения S, и ? , впервые предложенная Ржаницыным / 43 / будет иметь вид где Ф(А)- - g /g - Функция Лапласа. Рассмотрим методический пример расчета напряжения состояния и оценки прочности горизонтальной горной выработки.
Обратимся к исходным данным об упругих характеристиках горных пород Донбасса /16/. Так, для алевролита среднее значение модуля упругости =444.10 н/м2, его стандарт SS"V =43.10 н/м2, коэффициент Пуассона У = 0,306. Устанавливая по ходу вычислений равенства коэффициентов вариа ции для модуля упругости и обратной к нему величины, т.е. б / -O /f где = г , для исходных данных находим (?$/ = 0,9409. Определив из (2.1l) = 1,94 и «/=0,52 и подставив их в (2.53), с учетом (2.50) и (2.52) находим произвольные постоянные интегрирования По формулам (2.49) с учетом (1.8) и (2.53) определяем на контуре незакрепленной выработки значение окружного напряжения ? =-2,04 Г . Дйя найденного напряженного состояния выполним вероятностную оценку прочности породного массива на контуре выработки. Возьмем среднее значение предела прочности на сжатие =7,27 10 я/иГ= =7,27Л06кг/м2, стандарт &. =2,39.105н/м2 = 2,39.106кг/м2 /16/. Объемный вес примем равншл У =2500 кг/м: Рассмотрим различные глубины заложения выработки, равным Н{ =800 м и / =1600 м. Определяем вначале по соотношениям (2.54) - (2.57) характеристики безопасности соответственно для этих глубин /S, =2,26 и А =1,35. Затем по формуле (2.60) и используя справочник /62/, находим вероятности разрушения ]/"" =0,0119 Решаются последовательно случайно-неоднородные анизотропные среды без полости и с полостью. Конкретно рассматривается трансвер-сально-изотропная среда. Решения строятся для двух случаев, когда цилиндрическая полость проходит-перпендикулярно и параллельно плоскости изотропии среды. В обоих случаях в поперечном сечении цилиндра выполняются условия плоской деформации. Исходят из уравнений Ламе для неоднородной трансверсально-изотропной среды, записанных как через коэффициенты Ламе, так и технические упругие характеристики. Вносятся предположения о стохастической природе лишь размерных характеристик и пространственной неоднородности флуктуации, задаваемой одной флуктуацией. Определяются вначале флуктуации напряженного состояния сплошной среды, затем напряжения возмущенные полостью, в случайно-неоднородной среде. Указываются возможности различных предельных переходов. Результаты данной главы опубликованы в статьях /1,2/. А. Рассмотрим бесконечную трансверсально-изотропную среду. Пуски в декартовой системе координат УЯ,Э Я$ ОСЬ flsfj является осью упругой симметрии, т.е. плоскость является плоскостью изотропии. Рассмотрим сечение среды в плоскости изотропии 935, в которой выполняются условия плоской деформации.
Допустит/:, что сплошная среда подвергается всестороннему растяжению (сжатию), обусловленному, например, равномерным нагревом. Соответствующие деформации можно представить в виде суммы слагаемых, постоянного -аСГ и переменного, обусловленного неоднородностью среды. Последние деформации выражаем через потенциалы поля перемещений, т.е. Уравнения Ламе при отсутствии массовых сил для этого случая имеют вид Подставим деформации (з.і) в уравнения Ламе (3.2) В соответствии со спектральным методом, введем для случайных полей спектральные представления в виде (I.I8). Проведя процедуру спектрального метода получим уравнения, связывающие спектральные плотности функций faj, W&J & VfaJ Средние значения напряжений в случайно-неоднородной среде выводим, используя закон Гука для трансверсально-изотропнои среды Подставим деформации (з.і) в закон Гука (3.5) и представил в спектральной форме," а затем осредняя по множеству реализаций, получим Зная спектральные плотности потенциалов (ж/ и уУ 2 можно вычислить дисперсии перемещений Б. Теперь рассмотрим сечение трансверсально-изотропной среды в плоскости . й в этой плоскости выполняются условия плоской деформации. Уравнения Ламе через непосредственно коэффициенты Ламе для неоднородной среды в этом случае имеют вид где \-=?JYxJ (j =1,5) - упругие характеристики среды, имеющие неоднородность стохастической природы. Для простоты записи в осях и , в дальнейшем поменяем местами обозначения осей vZs и . Везде вместо индекса " 3 " будем писать " ". Тогда деформации йудут выражаться через потенциалы поля перемещений по тем же формулам (3.1). Подставляя их в уравнения Ламе (3.8), получим Представил упругие характеристики среды и потенциалы поля перемещений в виде однородных случайных функций координат зс допуская, что \;М можно выразить через одну случайную функцию где - постоянные." Подставив разложения (З.Ю) и (З.Іі) в уравнения (3.9), для стохастически изотропных полей получим уравнения относительно спектральных плотностей функций X(зс), (/ (SC.J, Щзс/ : Для определения средних значений напряжений воспользуемся законом Гука для трансверсально-изотропной среды в виде Записывая (З.ІЗ) в спектральном виде, а затем осредняя по множеству реализаций, получим В." Рассмотрим случай "Б" в технических упругих характеристи- ках. Как и там ось %, является осью упругой симметрии, т.е. плоскость Лг; #. является плоскостью изотропии. В плоскости .%. выполняются условия плоской деформации. Отличие заключается в том, что в плоскости %, деформации от нагрева характеризуются различными коэффициентами линейного температурного расширения a/j а по осям 0 /,.
Решение плоской задачи для трансверсально-изо-тропной среды, когда ось цилиндрической полости параллельна плоскости изотропии
Рассмотрим трансверсально-изотропную, бесконечную среду, ос- . лабленную бесконечной цилиндрической полостью. Пусть в декартовой системе координат ось ft#± является осью упругой симметрии (т.е. плоскость $Х,23 является плоскостью изотропии), а ось 0Х3 направлена по продольной оси цилиндра. Предположим, что внешние силы не меняются вдоль образующей цилиндры. Тогда в плоскости . выполняется условие плоской деформации. Определим возмущенные наличием полостью напряжения в случайно-неоднородной трансверсально-изотропной среде. Б. Построим решение в коэффициентах Ламе. Решение уравнений Ламе (3.8), выраженные через потенциалы полей перемещений ищем в виде спектральных представлений неоднородных случайных полей. При этом средние значения потенциалов становятся функциями координат, а флуктуации соответствующих полей представляются в виде стохастических интегралов Фурье, спектры которых также зависят от координатного вектора Здесьf-frjtf- неизвестные детерминированные функции, характеризующие влияние краевых условий на случайные поля % №J . Если краевые условия детерминированные, то их можно записать через мате- матические ожидания TJO J . Для функций /, (//,&/ , характеризующих флуктуации, должны выполняться нулевые краевые условия. ПредполОКРІМ, что цилиндрическая полость имеет круговое поперечное сечение, краевые условия детерминированные и обладают центральной симметрией, а флуктуации упругих характеристик среды являются стохастически изотропными /2/. В этом случае удобно перейти к полярной системе координат %=Z/W&]%= J&# /=АГг%у#1 /& = Я & ?& . Неизвестные функции &(?,&У, , {/&, %#У раскладываются в ряд Фурье по угловой координате & & г-ег После применения метода спектральных представлений к уравнениям Ламе (3.8) с учетом (З.ЗО) - (3.32) получим бесконечную связанную систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов (fe, $,е рядов (3.32): Здесь обозначено 2j = J, +А±-4 /І3 }9 3 J / ,45- = - Решение ищется в классе цилиндрических функций. Общее решение этих систем имеет вид (3.35) уравнений систем (3.33) и (З,з0; е - J7«$ №J % (fa ZJ " общее решение этих уравнений при fye{z/26? \ , а ,„, ф»} -постоянные интегрирования.
Для характеристических показателей 3?. и 0- получаются соответственно уравнения: При расчетах вначале задаются конкретным видом спектральной плотности А Х (Ю у устанавливают тип корней характеристических уравнений и соответственно выписываются общие решения &г 9 ivg Например, для узкополосного стохастически изотропного поля неод-нородностей со спектральной плотностью в виде дельта-функции б /{0- несущее волновое число, (X -дисперсия, решения характеристических уравнений шлеют вид с г- л ±CBJ),р - і/с/і± з Эти корни определяют общие решения систем (3.33) и (3.34): Напряжения выражаются через них по обобщенному закону Гука для анизотропной среды с учетом (3.30)Ї Остается определить постоянные интегрирования & & г, т ля этого необходимо задавать краевые условия. Так, полагая полость незакрепленной, краевые условия на ее контуре (при 4- 0 ) в напряжениях представшл в виде: Из отсутствия флуктуации упругих характеристик среды на контуре полости вытекают условия: Дополняя краевые условия (3.39) и (3.40) условиями ограниченности решений на "бесконечности", получим замкнутую систему уравнений для определения постоянных интегрирования. Дисперсии напряжений определяются по известной формуле, например, для окружного нормального напряжения -9/ /- - . В заключение сделаем два замечания. Во-вторых, из рассмотренной модели случайно неоднородной анизотропной среды при предельном переходе вытекают результаты для изотропной среды /53/. Во-вторых, шлея ввиду приложения в механике горных пород, напряженное состояние среды без полости можно представить по гипотезе А.Н. Динника для нетронутого массива /17/. В. Построим решение задачи для случая "Б" в технических упругих характеристиках. Уравнения Ламе для этого случая будут иметь вид (3.17). Упругие характеристики среды зададим спектральными представлениями а решение уравнений Ламе ищем в виде спектральных представлений неоднородных случайных полей После преобразований, проведенных аналогично для изотропной среды, получаем систему разрешающих уравнений относительно матема- 1. На основе метода интегральных спектральных представлений теории однородных и неоднородных случайных полей систематически рассмотрены плоские и пространственные задачи для случайно-яеод-нвродных изотропной и анизотропной сред, ослабленных полостями цилиндрических и сферических форм.
Показана эффективность применения метода спектральных представлений для произвольной интенсивности флуктуации упругих характеристик среды и расширена область приложения метода. 2. Аналитически описаны впервые статистические характеристики случайно-неоднородной сплошной неограниченной изотропной и анизотропной сред при температурном расширении (обжатии). Выявлено, что средние значения напряжений зависят как от средних значений упругих характеристик среды, так и от их дисперсии, причем напряжения обжатия оказываются большими, нежели в однородной среде. 3. Решены краевые задачи для случайно-неоднородной изотропной среды: плоские для цилиндрической полости кругового поперечного сечения, пространственные - для сферической полости. Плоские задачи решены двумя путями: как в напряжениях, так и перемещениях. Установлено, что для полного учета пространственной неоднородности необходимо пользоваться постановкой задачи в перемещениях, лучше в потенциалах поля перемещений. Вероятностную оценку прочности проще дать подсчетом функции неразрушимости. 4. Решены впервые краевые задачи для случайно-неоднородной анизотропной (трансверсально-изотропной) среды, имеющей концентраторы напряжений в виде цилиндрических полостей кругового поперечного сечения. Решения выражены как непосредственно через коэффициенты Ламе, так и через технические упругие характеристики среды. Специально рассмотрены варианты, когда продольная ось цилиндрической полости проходит перпендикулярно плоскости изотропии и параллельно этой плоскости. Преодолены существенные трудности применения метода спектральных представлений к случайно-неоднородной анизотропной среде и показано отличие полученных результатов по сравнению со случаем изотропной среды в зависимости от ориентации оси цилиндрической полости по отношению к плоскости изотропии транс-версально-изотропной среды.
Похожие диссертации на Напряженное состояние случайно-неоднородной среды с полостью
