Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Упругопластическое состояние эллиптической трубы с круговым отверстием, находящейся под действием давления, крутящих и продольных усилий 13
1.1. Эллиптическая труба с круговым отверстием под действием касательного усилия тpQ ФІЇ 17
1.2. Эллиптическая труба с круговым отверстием под действием касательного усилия тр Ф О 25
1.3. Эллиптическая труба с круговым отверстием под действием крутящих и продольных касательных усилий трв Ф О, т Ф О 32
1.4. Эллиптическая труба с круговым отверстием из сжимаемого материала в пластической области .40
Глава II. Упругопластическое состояние пространства, ослабленного цилиндрической полостью, находящегося под действием давления, крутящих и продольных усилий 46
2.1. Двуосное растяжение толстой упругопластической пластины с круговым отверстием при наличии крутящих и продольных касательных усилий 46
Заключение 54
Литература 55
- Эллиптическая труба с круговым отверстием под действием касательного усилия тр Ф О
- Эллиптическая труба с круговым отверстием под действием крутящих и продольных касательных усилий трв Ф О, т Ф О
- Эллиптическая труба с круговым отверстием из сжимаемого материала в пластической области
- Двуосное растяжение толстой упругопластической пластины с круговым отверстием при наличии крутящих и продольных касательных усилий
Введение к работе
Теория пластичности принадлежит к числу фундаментальных дисциплин механики деформируемого твердого тела. Одним из наиболее развитых разделов теории пластичности является теория идеальной пластичности. Решение упругопластических задач теории идеальной пластичности связано с решениями уравнений эллиптического типа в упругой зоне, гиперболического или параболического - в пластической и сопряжением решений на подлежащей определению границе, разделяющей упругое и пластическое состояние материала.
Одним из методов решения упругопластических задач является метод малого параметра, который берет свое начало от работ Пуанкаре. А.П. Соколов [140] одним из первых применил малый параметр к решению упругопластических задач. Им решена в первом приближении задача о распределении напряжений при двуосном растяжении тонкой пластины из упругопластического материала с круговым отверстием при условии пластичности Треска.
Метод возмущений для решения задач жесткопластического анализа применили Онат Е. и Прагер В. [117], АЛО. Ишлинский [69].
Д.Д. Ивлев и Л.В. Ершов развили метод малого параметра к решению упругопластических задач [62].
Обзоры работ, исследующих метод малого параметра в задачах теории идеальной пластичности, содержаться в [62], [155,156], [157-161] и др.
Ниже коснемся, в основном работ, не вошедших в упомянутые обзоры.
В работе A.M. Васильевой [19-22] обобщены результаты задачи о растяжении плоского образца, ослабленного пологими выточками, на случай анизотропного материала. Развита теория предельного состояния растягиваемого круглого стержня с возмущенной границей. Получены выражения, определяющие кинематику течения; исследовано предельное состояние полого цилиндра, близкого к круговому, находящегося под действием внутреннего давления и растягивающего усилия. Исследовано предельное состояние призматических
4 тел на примерах растягиваемого изотропного бруса и растягиваемой анизотропной плиты.
В работе В.Г. Ефремова [45-49] определено напряженное состояние упру-гоидеальнопластического пространства с эллипсоидальной полостью. Для пространства с эллипсоидальной полостью определена в первом приближении граница упругопластической зоны. Определены компоненты деформированного состояния вблизи осесимметричного состояния полой сферы из идеальнопластического материала.
В работе Т.Л. Захаровой [50-52] получены и исследованы линеаризированные соотношения теории идеальнопластического изотропного тела в случае плоской деформации. Приведены линеаризированные соотношения теории идеальной пластичности для анизотропных и неоднородных сред в случае плоской деформации. Развита методика решения плоских задач для идеальных уп-ругопластических анизотропных и неоднородных тел методом малого параметра. Определено влияние анизотропии и неоднородности на напряженное состояние и радиус пластической зоны.
В работе М.В.Михайловой [103-109] получены статически определимые системы соотношений пространственной задачи теории идеальной пластичности для несжимаемых и сжимаемых анизотропных материалов, отличные от условия полной пластичности. Предложен метод построения статически определимых систем, отличных от условий полной пластичности, с помощью выбора диссипативной функции для несжимаемых и сжимаемых анизотропных материалов. Получены и исследованы статически определимые соотношения идеальнопластического анизотропного тела в случае осесимметричной задачи. Определено уравнение характеристической поверхности для статически определимых соотношений теории идеальнопластического анизотропного тела в общем и частных случаях. Исследован тип статически определимых систем соотношений теории идеальнопластического анизотропного тела. Показано, что в предельных случаях система уравнений принадлежит к гиперболическому ти-
5 пу. Рассмотрено влияние анизотропии на идеальнопластическое поведение материала для статически определимых предельных соотношений. Установлена независимость линейного характера сдавливающих усилий от выбора условия пластичности, зависящего от компонент девиатора тензора напряжений, при сдавливании пластического слоя параллельными жесткими шероховатыми плитами. Предложен алгоритм построения приближенных аналитических решений задачи о сдавливании пластического слоя искривленными и наклонными шероховатыми плитами при условии полной пластичности для несжимаемого и сжимаемого материалов. Исследовано влияние сдвигающих и крутящих усилий на упругопластическое напряженное состояние пространства, ослабленного цилиндрической полостью, при наличии внутреннего давления и растягивающих на бесконечности взаимно перпендикулярных усилиях. Предложен алгоритм построения полиномиальных решений линеаризированных соотношений теории малых упругопластических деформаций для плоской и осесимметричной задач.
В работе Т.Н. Рыбаковой [133,134] дано решение в полиномах для двух приближений задачи о растяжении плоского вязкопластического образца, ослабленного пологими выточками. Рассмотрено решение задачи об устойчивости вязкопластического течения анизотропной полосы, обобщающее решение, данное АЛО. Ишлинским. Исследована задача об устойчивости вязкопластического течения толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления.
В работе Л.И.Афанасьевой [11,12,105-109] исследовано влияния сдвигающих и крутящих усилий на упругопластическое напряженное состояние пространства, ослабленного цилиндрической полостью, при наличии внутреннего давления и растягивающих на бесконечности взаимно перпендикулярных
усилий. Показано, что при наличии сдвигового усилия г^ или т^ форма упру-
гопластической границы приближается к окружности. Исследовано влияния пластической анизотропии на упругопластическое напряженное состояние про-
странства, ослабленного цилиндрической полостью, при наличии внутреннего давления и растягивающих на бесконечности взаимно перпендикулярных усилий. Исследовано влияния пластической сжимаемости на упругопластическое напряженное состояние бесконечной пластины с круговым отверстием при наличии внутреннего давления и растягивающих на бесконечности взаимно перпендикулярных усилий. Исследовано влияния пластической сжимаемости, сдвиговых и крутящих усилий на упругопластическое напряженное состояние пространства, ослабленного цилиндрической полостью, при наличии внутреннего давления и растягивающих на бесконечности взаимно перпендикулярных усилий.
В работе А.В. Горского [27-29] получены характеристические соотношения, определяющие напряженное состояние плоской и общей плоской, сферической и общей сферической задач теории идеальнопластического тела, учитывающие массовые силы и пластическую неоднородность материала с пределом текучести произвольного вида от трех координат точек пространства. Получены характеристические соотношения для скоростей перемещений общей сферической задачи теории идеальнопластического тела. Развиты и обобщены численные методы расчета поля напряжений для общей плоской задачи на сферическую систему координат рвср для общей сферической задачи, учет пластической неоднородности материала, а также действие переменного контактного касательного напряжения под штампом. Получено численное решение общей плоской задачи о вдавливании плоского штампа в однородное идеальное жест-копластическое полупространство при действии переменных контактных касательных напряжений.
В работе П.В. Горского [27-29] получены характеристические соотношения для напряжений в цилиндрической системе координат, развиты численные методы расчета поля напряжений, позволяющие решать класс осесимметрич-ных задач теории идеальной пластичности, учитывая свойства неоднородности пластического материала с пределом текучести произвольного вида, воздейст-
7 виє массовых сил, а также задач с учетом действия сдвигающих усилий при трв, т& Ф О, описываемые системами уравнений и соотношениями. Получено
численное решение задачи о вдавливании кругового штампа с плоским основанием в неоднородное жесткопластическое полупространство с учетом сдвигающих усилий т^^^фО для случая экспоненциальной зависимости предела
текучести.
В работе Д.В. Ильина [64,65] рассмотрена плоская задача определения предельного состояния полосы из сжимаемого идеальнопластического материала сжатого шероховатыми плитами в форме круговых цилиндрических поверхностей. Рассмотрена плоская задача определения предельного состояния полосы из сжимаемого идеальнопластического материала сжатого шероховатыми плитами в форме наклонных плоскостей. Рассмотрена пространственная задача определения предельного состояния идеальнопластического слоя, сжатого жесткими сферическими поверхностями. Рассмотрена пространственная задача определения предельного состояния слоя, сжатого жесткими сферическими поверхностями при неколлинеарном распределении контактных усилий. Рассмотрен общий случай задачи о сжатии идеальнопластического слоя жесткими сферическими поверхностями (при произвольном угле в).
В работе А.Н. Максимова [93,94] рассмотрены вопросы напряженного состояния идеальнопластического пространства из сжимаемого материала, ослабленного сферической и эллипсоидальной полостями. Решена задача о напряженном состоянии сжимаемого массива, ослабленного эллипсоидальной полостью в упругой области.
В работе Л.А. Максимовой [95-97] исследованы соотношения теории идеальной пластичности в обобщенных переменных, содержащие обобщение соотношений изотропии А.Ю. Ишлинского на случай анизотропных сред. Исследованы соотношения теории идеальной пластичности в обобщенных переменных С.А. Христиановича и Е.И. Шемякина. Определено предельное напряженное состояние пространственного изотропного и анизотропного идеальнопла-
8 стического слоя, сжатого шероховатыми плитами при коллинеарном и некол-линеарном положении результирующих касательных усилий на контактируе-мых поверхностях в случае определимых состояний. Определено предельное напряженное состояние пространственного изотропного и анизотропного иде-альнопластического слоя, сжатого шероховатыми плитами при статически неопределимых состояниях идеальнопластической среды. Выведены и исследованы уравнения общей плоской задачи для напряжений и скоростей перемещений в случае общей плоской задачи при условии полной пластичности. Приведен алгоритм численного решения уравнений общей плоской задачи, решение задач о вдавливании жестких штампов в Идеальнопластическое полупространство при действии продольных сдвигающих усилий. Исследованы стационарные и нестационарные задачи идеальнопластических течений в задачах внедрения жестких тел, растяжений и изгиба. Определены и исследованы линеаризированные уравнения теории идеальной пластичности в случае статически определимых и неопределимых состояниях. Определены и исследованы предельные уравнения теории идеальной пластичности при стремлении сил сцепления к нулю.
В работе Г.В. Петрова [122,123] рассмотрена плоская задача пластического деформирования полосы, ослабленной пологими выточками, из упрочняющегося материала. Методом малого параметра для симметричных выточек синусоидальной формы получено решение в первом приближении. Для случая параболической формы выточки, получено полиномиальное решение плоской задачи пластического деформирования полосы из упрочняющегося материала. Рассмотрены основные соотношения предельного состояния осесимметричной задачи деформирования тел из упрочняющегося материала. Для задачи о пластическом деформировании прута, ослабленного пологой выточкой, изложен алгоритм построения решения методом малого параметра. Методом малого параметра решена задача о вязкопластическом течении бруса переменного прямоугольного сечения при одноосном растяжении.
В работе Т.Т. Пономаревой [126-128] получены и решены линеаризированные статически определимые соотношения теории идеальной пластичности в случае плоской, общей плоской, осесимметричной и цилиндрической задач. Определено напряженное состояние цилиндрического стержня из анизотропного сжимаемого идеальнопластического материала при наличии сдавливающих усилий на торцах стержня. Определено напряженно-деформированное состояние вязкопластического цилиндрического стержня при условии пластичности Мизеса. Исследована устойчивость вязкопластического течения толстостенной трубы ослабленной выточками, находящейся под действием внутреннего давления.
В работе СЮ. Радаева [131,132] исследовано предельное состояние анизотропного идеальнопластического полупространства при вдавливании жестких штампов и пирамид. Методом малого параметра получены расчетные формулы, позволяющие определить предельную нагрузку до второго приближения включительно. Определено предельное усилие в задачах рассечения и пробоя анизотропной идеальнопластическои полосы. Решена задача о вдавливании жесткого прямоугольного в плане штампа в идеальное анизотропное пластическое полупространство. Определено предельное давление в зависимости от ориентации штампа относительно осей анизотропии. Решена задача о вдавливании четырехугольной пирамиды в идеальное анизотропное пластическое полупространство. Определено предельное давление в зависимости от ориентации пирамиды относительно осей анизотропии.
В работе Е.А. Целистовой [168,169] исследовано предельное состояние плоского слоя из неоднородного идеального жесткопластического материала, сжатого шероховатыми плитами. Методом малого параметра получены расчетные формулы для определения компонент тензора напряжений в первом и втором приближениях. Решена пространственная задача о сжатии неоднородного идеальнопластического слоя шероховатыми плитами. Определено поле напряжений в первом приближении.
Задачи определения напряженного состояния упругопластических тел вблизи различных полостей принадлежат к числу актуальных в горном деле, машиностроении, строительной механике и других областях.
Настоящая работа посвящена исследованию напряженного состояния упругопластических пространств, ослабленных цилиндрической полостью, с учетом сдвиговых усилий на поверхности полости и растягивающих на бесконечности взаимно перпендикулярных усилий; исследованию упругопластического состояния эллиптической трубы с круговым отверстием из изотропного, сжимаемого материалов с учетом давления и сдвигающих усилий.
Целью работы является приближенное аналитическое исследование:
упругопластического состояния эллиптической трубы с круговым отверстием при наличии внутреннего давления, крутящих и продольных усилий, для несжимаемого и сжимаемого материала;
упругопластического состояния пространства, ослабленного цилиндрической полостью, при крутящих и продольных усилиях.
Научная новизна. В цилиндрической системе координат определено пространственное состояние упругопластического тела, ослабленного полостью, при действии системы касательных и сдавливающих усилий.
Практическая ценность. Полученные результаты позволяют определить и исследовать новый класс задач теории идеальной пластичности, важных для практических приложений.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:
на семинарах по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Д.Д. Ивлева — г.Чебоксары, ГОУ ВПО ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, 2003-2006 г.г.;
на итоговых научных конференциях сотрудников и преподавателей ГОУ ВПО ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. - г.Чебоксары, 2003-2006 г.г.;
- на итоговых научных конференциях докторантов и аспирантов ГОУ ВПО ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. - г.Чебоксары, 2003-2006 г.г.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [184-190].
Работа состоит из двух глав.
Первая глава посвящена изучению упругопластического состояния эллиптической трубы с круговым отверстием, находящейся под действием внутреннего давления, крутящих и продольных усилий, для несжимаемого и сжимаемого материала.
Методом малого параметра определены компоненты напряжения и упру-гопластический радиус эллиптической трубы с круговым отверстием, находящейся под действием внутреннего давления, крутящих и продольных усилий, для несжимаемого и сжимаемого материала.
Вторая глава посвящена упругопластическим задачам для пространства, ослабленного цилиндрической полостью, с учетом действия сдвиговых усилий
Методом малого параметра определены компоненты напряжения и упру-гопластический радиус упругопластического пространства, ослабленного цилиндрической полостью, при совместном действии внутреннего давления, растягивающих на бесконечности в поперечном сечении взаимно перпендикулярных усилий, при наличии крутящих и продольных усилий для изотропного материала.
На защиту выносятся следующие результаты:
- Решение задачи об упругопластическом состоянии эллиптической
трубы с круговым отверстием под действием касательного усилия
— Решение задачи об упругопластическом состоянии эллиптической
трубы с круговым отверстием под действием касательного усилия
Решение задачи об упругопластическом состоянии эллиптической трубы с круговым отверстием под действием крутящих и продольных усилий трв * О, гр Ф О.
Решение задачи об упругопластическом состоянии эллиптической трубы с круговым отверстием из сжимаемого материала в пластической области.
Решение задачи о двуосном растяжении упругопластической пластины с круговым отверстием при наличии крутящих и продольных касательных усилий трв = 0, т Ф О.
Определение радиусов упругопластической зоны в вышеперечисленных задачах.
Эллиптическая труба с круговым отверстием под действием касательного усилия тр Ф О
Предположим, что на внутренней поверхности трубы действует касательное усилие г О (рис. 4). В нулевом приближении будем иметь V =4=0, (1-2.1) все остальные компоненты тензора напряжений зависят только от р, а на внутренней поверхности трубы к граничному условию (1.11) добавляется условие Тpz = Г2 ПРИ Р - а Т2 const (1.2.2) $( А/ А/ А/ + рис. 4 Согласно (1.2.1) соотношения (1.4), (1.5) примут вид: doр (7р—(те ат „ т (Я pZ = 0, = 0, + (1.2.3) dp р dp р ( - +4 =4, r=cr»+2/3. (1.2.4) Решение второго уравнения системы (1.2.3) удовлетворим граничному условию (1.2.2) и получим ТР = атл (1.2.5) Решение первого уравнения системы (1.2.3) согласно условию полной пластичности (1.2.4) и граничному условию (1.2.2) в пластической зоне имеет вид: -(0)p V 2 2 2 / 2 2 2 a(l + Vl-r22) /3 -Г2 -/7, (0)P -1 ln + ln or J p + yjp2 -СС2ТІ + + л/ї" т\ - p, (1.2.6) В упругой зоне решение второго уравнения системы (1.2.3) определяется из условия несжимаемости, закона Гука, граничного условия (1.1.7) и имеет вид (1.1.8), где постоянную С, определим, удовлетворив (1.2.6) и (1.1.8) условиям сопряжения (1.12).
Тогда выражения (1.1.8) принимают вид: t2 +1 to +1 Л0)е = q + af=9 + , t2 = \-а2т1 ,(1.2.7) W P .fi1 рг) а радиус упругопластическои зоны rs определяется из трансцендентного уравнения t, +i -2hm + ln \ + и І + Л/Ь7 . + 1+ \-p = h і г fi л + + q (1.2.8) В рассматриваемой задаче внутренний контур и внешние нагрузки на нем фиксированы, поэтому соотношения (1.1.11) сохраняются. Определим компоненты напряженного состояния в упругой области. В первом приближении согласно (1.12), (1.2.5), (1.2.6), (1.2.7), (1.1.11) получим а р - т Рв О при р = 1, (1.2.9) а также Гв {t2+l): Ри при р=\ (1.2.10) В первом приближении граничные условия на внешней поверхности трубы согласно (1.3), (1.13), (1.1.7), (1.2.7) примут вид a(ne=J-l±±cos2e, Р г(Пе _ Рв Р2 sin26» при р = р. (1.2.11) Граничные условия (1.2.9), (1.2.11) позволяют определить согласно [62] напряжения в упругой области: + 4 .(I)e _ t2+l р 2MJ32 2 1 3-2J3 Р1 [_7 + А + /?4]+6 Р: Р cos 26, Р2) 1-Л+1 Р2 Р Р + (У (1)е /2+1 2MJ3 -4-- 1+6 Р -1 + РА Р2 РА\Р + (1.2.12) + 4[з-б/?2-/?4] Р cos 2#, r = (/)e__A±lJ2[3-A- 4]+6 Р 2MF 4+б[і-2/?2+/?4] + /?2 /?4_р + 3-2J32 РА Р: sin 20, где Г \ ( \ + + Ґ Р РА Р ґ 4tn 1-Р2- + cos 20. (1.2.13) М = 6-4 Из (1.2.10) и (1.2.12) найдем Ри = (t2 + \)М Р2 Р4) Во втором приближении из условий сопряжения (1.12) согласно (1.2.5), (1.2.6), (1.2.7), (1.1.11), (1.2.12), (1.2.13) получим: при /7 = 1: Л")е _ 8t М ( 1-Р2-Х+1 Р1 F) (1 +cos 46»), (1.2.14) 9-4Р2 +Р ЛЮе _ рв - ш 2 Ґ М 2 , о4 _\Л_ \Ъ_ 6_ J_ р2+р4 P6+P J (1 + cos Ав), а также t\ Г /Г Pis 2U0 2 cj e + fe+1) (t2+\)2M2 _ f V із + іо/?2-з/?4+ 4 + Л 3/, +/2 -/,+1 /2+l + + Pb P ) 1 (l + cos46 ). f 1-2J32+PA 11 /?2 /?4 /Г + (1.2.15) Граничные условия на внешней поверхности трубы во втором приближении согласно (1.3), (1.13), (1.2.12) примут вид при р = /?: ЛП)е _ + 5-/3 4( 2+1) М ( 4(/2+1) м -3 + /?2 + Р2 PL t2 +1 2р7Г 2(t2 +1)" 2 9+-7 Р2 Р4 Р6) Р + cos 40, ґ /, +1 \ .(П)е __ 2 р0 (1.2.16) sin 40, -U-2AP1 -РА + -л 2MJ3 Р2 Р4) Граничные условия (1.2.14), (1.2.16) позволяют определить согласно [62] напряжения в упругой области: V 1 МПе _ + Р1 Р1-\ р2 Рл Ґ V + + 4 I Р2 Р« ( 2К сър2-сх-(съ-сх)Р р :+%.4f-f)+{3-4f+j + Л Р4 + I р2 р« Г А лб /? + + + 2 ( -9 + 8,02 ч Х + с Р2 + V _2_ /?2 /? \ cos4#, Р Л +с, Р 3-4/?2+- р2+4(5-4/?2- 8)4 + 2 и ) ( 4 Ґ \ + 6 3 -9 + + С, + Р +?\1 /?2 J Р + 2(-5 + 6 - + 6 3-2/?2-1Р Л / \ 1 ( р4+6 I PZ Р + 2(5 + 3 -8 )- - + 2 -5 (1.2.17) МПе _ J32-1 с3р2-с,+(с3-с р 2К сл ( Р J -р% \ „2 Р + Р6 К VI PS)P4 -Ъ + Ар2 р2 +л{-5 + 4/32 + р )— + 6 + р 9-Л-/?8]4 + 2 + Pz + cos 46і, V4 + 4(-5 + 4/?2+ 8) - + 4 3-4 2+Л р2 +4(5-4 2 -j3s)\ + 4 Р 2 ( р4 + 9-Л-/?8І г + 2 ( 4 1 V6 + 4 -5 + l Р Р" + с, Р1 4 L V +с. + 2-3 + Г- 4 Р Р V Р + 6(5-6j32+j38)- + 2\-3 + 2j32+ /? Л + 2(-5-3 +8 )- - + 6 І Р2 PS) \ „2 + / /? і t--/i рв 2К -12 + /? , Ч А 1 + 4 f ч Р ) ( 1 л + С 3 + 4Р 2 і J ( 4 .8 И 2 г \ Л + 4 3 + Р + С, Р1 /? ч Р ( Л -5 + —г + —; 8 З V6 Р4 І 5 р1 р ) Л + С, 9-Sfi Р1 г р4+2 -3 + - + /Г Р1 Л о4 ( Р -5 + —г + ч р2 р ) 8 6 V6 Р1 ч Г /?г + 4(5-6 2+/?8)4r + 4 3-2 2--LE /?J / J + С / 9SP: Р2 + + 2(5 + 3 8 -8 2) - + 2 10 І Р1 Рь) Л р4+4 ґ р -Р1 Л / і р м sin 40, где = 30-16 ( .Р + Р \ ( + ./» +/? \ г - &2 Х-Р2 3 ! /?2 Р4) зо ( 9-А/З2 + /З с2 = ш М 2 , 04_}± _13_ 6_ J_ /32 + /З4 /з6+/з ) л t2+\ -3 + /?24 3 5-/32-9 7 2 съ = СА 4{t2 +1) М 4(t2+l) м V 1 /З2 /З4 J36) 2/3: Л 2( +1) Р F fi ) fi \ ,2 м 40 6 /з2 /з4) ( \ ( + /3: + /Ґ Ж fi с- 2+1 -11-24/?2-/?4+- - + Ґ 2М/32 М = 6-4 Из (1.2.15) и (1.2.17) найдем -(,+0 -і)[С 2-Сі+(СЗ-Сі) ]+ 2 X \ 12 3 1 3tl+t22+\ + —- - - х t2 +1 х ( ItX -13 + 10/?2-3/?4 + 2 .,,,4 _18_ _5 + fi2 + /З4 /З6 /З + jgz jg jgb p 7-2/?2+/?4-Л + —-Л + 2K(t2+\f Сл \6/34 -Ufi6 +-4-- - ) + (-68 + 32 2 + fi fi \ ( + C ,4 . + C2 + 2/3 +11 + fi fi9) + \6/34-Sj36 24 8_32 /?2 32-4,08 - + 3ti +t; - л +1 fi + + Г 2/n -13 + 10,02 -3 4 + 18 2 ,/2 (f2+l)2M J з . л . . лґ 8 11 /32 /34 /3b fi J + cos 49. 1-2/32 +/3L ґ2 +1 4 6 8 j Согласно (1.2.13), (1.2.18) запишем + (1.2.18) f? p ) Ps=P S Au (t2 + \)М x-f 3 cos2 ? + 5 ( 1+l)V-l)X »т2 X Сз 2-С,+(Сз -Сх)р2\+д (t2+\)2M x 5 12 З /Г /Г yjo 5 J X 2t\ f -13 + 10/? -3/Г+ —4 + 23/2+/22-/2+l /2+l X X + + + p2 p4 p6 pSj V +s2 7-2/?2+/?4 8 И 6 1 \ Сл 2K{t2+\f_ 16/?4 -ІЗ/?6 +І5--- + (-68 + 32 + /?z /?4J +2 8+4+4 /?2 /? j + C /?8JJ fe+l)2M2L 3t\ + /2 - t2 + 1 + ґ2+1 Л ( 32-4yflB - + + Ci \604-Sj36- - + /?2 /?4j 18 5 12 З + ( 2t; 13 + 10/Г -ЪРЩ +—г4 pz p« рь p j (12.19) 7-2/?2+/?4-Л+П 6 cos 40. /?« F /3 ) рис. 5 На рис. 5 показана граница пластической зоны, построенная по формуле (1.2.19) в двух приближениях (кривые 1 и 2) при = 0,17.Предположим, что на внутренней поверхности трубы действует касательное усилие г О (рис. 4).
В нулевом приближении будем иметь все остальные компоненты тензора напряжений зависят только от р, а на внутренней поверхности трубы к граничному условию (1.11) добавляется условие Решение второго уравнения системы (1.2.3) удовлетворим граничному условию (1.2.2) и получим ТР = атл (1.2.5) Решение первого уравнения системы (1.2.3) согласно условию полной пластичности (1.2.4) и граничному условию (1.2.2) в пластической зоне имеет вид: (1.2.6) В упругой зоне решение второго уравнения системы (1.2.3) определяется из условия несжимаемости, закона Гука, граничного условия (1.1.7) и имеет вид (1.1.8), где постоянную С, определим, удовлетворив (1.2.6) и (1.1.8) условиям сопряжения (1.12). Тогда выражения (1.1.8) принимают вид: а радиус упругопластическои зоны rs определяется из трансцендентного уравнения + q (1.2.8) В рассматриваемой задаче внутренний контур и внешние нагрузки на нем фиксированы, поэтому соотношения (1.1.11) сохраняются. Определим компоненты напряженного состояния в упругой области. В первом приближении согласно (1.12), (1.2.5), (1.2.6), (1.2.7), (1.1.11) получим В первом приближении граничные условия на внешней поверхности трубы согласно (1.3), (1.13), (1.1.7), (1.2.7) примут вид Граничные условия (1.2.9), (1.2.11) позволяют определить согласно [62] напряжения в упругой области: Во втором приближении из условий сопряжения (1.12) согласно (1.2.5), (1.2.6), (1.2.7), (1.1.11), (1.2.12), (1.2.13) получим: при /7 = 1: t\ Г /Г + (1.2.17) рис. 5 На рис. 5 показана граница пластической зоны, построенная по формуле (1.2.19) в двух приближениях (кривые 1 и 2) при = 0,17.
Эллиптическая труба с круговым отверстием под действием крутящих и продольных касательных усилий трв Ф О, т Ф О
Предположим, что на контуре отверстия действуют касательные усилия тр0 0, Т ФО (рис. 6). В нулевом приближении будем иметь т% 0, т%Ф0, Т&=0, (1.3.1) все остальные компоненты тензора напряжений зависят только от р, а на контуре отверстия к соотношению (1.11) добавятся условия (1.3.2) т% - т\ ПРИ Р = а т\ const -. .о Т pz = Т2 ПРИ Р = а Т2 COnst. (1.3.3) " j $ PZ %_р рис. 6 Согласно (1.10), (1.1.1) соотношения (1.4), (1.5) примут вид - рв dp р dp р др да сг - а, = 0, рв дЛ 2тЧ = 0. дт\ = 0, (1.3.4) (1.3.5) Решение второго уравнения системы (1.3.4) удовлетворим граничному условию (1.3.2) и получим о а г, трв (1.3.6) а решение третьего уравнения - граничному условию (1.3.3) и получим = атп (1.3.7) Решение первого уравнения системы (1.3.4), согласно условию пластичности (1.3.5) и граничным условиям (1.3.2), (1.3.3), в пластической зоне имеет вид »2 2 2 "? 2С "l " Т-, О Г 2 2 л/ + 2/Г - err, + - -arcsin . 2И + л/1 - г, - г, -arcsin -In 2 г2 - г2 + 2а2 - ог2Г2 2г, . 2т2 + ті лі +т2 Р \ р р 2 2 4 2, а т2р -а тх + 9 9 9 9 _ 2 2 2 2"? . 20Г Г, +Г7/7 Г. л 2 2г V + 2/7 - а Г2 + - -arcsin 2 + -у/1 - г, - Г2 2+г24 (1.3.8) д/ + Г -In 2а2 т1 + 2а - а тХ 2т -arcsin 2т2 + ті 2 , _2 В упругой зоне решение первого уравнения системы (1.3.4) определяется из условия несжимаемости, закона Гука, граничного условия (1.1.7) и имеет вид (1.1.8), где постоянную С, определим, удовлетворив (1.3.8) и (1.1.8) условиям сопряжения (1.12). Тогда выражения (1.1.8) принимают вид yT=q + t 1 I Р2 Р J ,af)e=q + t f \ Р у \Р2 VІ , t = - 1-а тх2 -а2т22, (1.3.9) о а радиус упругопластическои зоны rs определяется из трансцендентного уравнения А .2_2 , _2 / = 1п 2ґ + 2-ог2Г2 arcsin Р 2г, 2+т4 2а г, +т2 г 2 2 . 2+л/1-г2-г2 (1.3.10) 2а2 \-т2 -ті +2а2 -а2т 2_2 2 1п arcsin 2г, 2г2 + т2 В рассматриваемой задаче внутренний контур и внешние нагрузки на нем фиксированы, поэтому соотношения (1.1.11) сохраняются. Определим компоненты напряженного состояния в упругой области. В первом приближении согласно (1.12), (1.3.6), (1.3.7), (1.3.8), (1.3.9), (1.1.11) имеем при р = \ ЛПе _ (I)e _0 (1.3.11) v =4 + a T?+t2)ph (1.3.12) В первом приближении граничные условия на внешней поверхности трубы согласно (1.3), (1.13), (1.1.7), (1.3.9) примут вид At . 2/ /)e=- i-cos20, r$e=--4rsin20 при p = p. (1.3.13) pi і pi Граничные условия (1.3.11), (1.3.13) определяют согласно [62] решение в упругой зоне (1)е _ а Мр1 2 1 р2 РА 3-2/? + 4 РА Р [-7 + + И+6 »cos 20, 1-Л+1 РА Р + ст. (/) L_ мр Ф- - 4]+6 Р -1 + Р2 РА РА + (1.3.14) + 4[з-б/?2-/?4] Р cos 20, -у-0 ]+б рв мр: 3-2Р: і1 14- 1 " ґ L рг ґі Р4 і"A4 J fi2) Р2\ sin 20, + где М = 6-4 Ґ V Р: + Р: + ( Ж р 35 Из (1.3.12), (1.3.14) имеем \ 2ґ ( (1.3.15) cos 20. Pls = )м \ б-Ъ]32-р4-—; 4 2 2 + а т{ +г PL
Во втором приближении из условий сопряжения (1.12) согласно (1.3.6), (1.3.7), (1.3.8), (1.3.9), (1.1.11), (1.3.14), (1.3.15) определим напряжения в упругой зоне при р = \ -126 + 12/Г + 32уГ + 12/Г + /?М {[ + а4т2 +t2)M: 2V г 16Г 4\-27 J32 + 5р4+р ЛЩе _ Р0 - 2 п4 л пб Л8 120 24 12 ! 1 4- 7 Я4 4- 1 7 ЯЬ -+- /?5 -1 н 2 4 6 jgSj }2 , с/?4 , Д6 26 З 3 у#2 /?4 J36 sin 40, (\ + а4т2+і2)м2 (і + cos 40), (1.3.16) а также ст ")е= Ї 8Г + а4г,2+ 2 + 129/?2 -57/?4 -17/?6 -/? 27 /? + —г + 3.УМ-1-3 ,Д 22)(з8_96/?2 + (1 ЗЛ7) (і + «4г2+ґ2) 4-і): + 52 +16 + 4 4 .,,.6 , 8_,І _І1 1 2 /?4 P\ [(l + cos4 9) + -(l + «4r2+/2)/72j. Во втором приближении граничные условия на внешней поверхности трубы согласно (1.3), (1.13), (1.3.14) примут вид при р = Р + 0 + cos 40, St ( ЛЮе _ м St ( 5-р: м -з+р2 + р2 р4) At р2 Р4 Р6) Р (1.3.18) 2/(/?-3)L 4/ t ґ л о2 11 40 18Ч sin 40. рв -24-/?2 =" + —г 7 ръ мр2 М Р2 Р4 Р6 Граничные условия (1.3.16), (1.3.18) определяют согласно [62] решение в упругой зоне ЛЩе _ р2-\ сър2-сх-{съ-сх) Р 2К Г і— Сл ( Р + f 2 Р + 4 Р2 Р«) + 2{5-4р2-р ) + б\3-4р: Р" V + Л /эб + С, + 6 3-4/52+- р2 +4(5-4 2 -Ръ)\ + 2 Р ) Р f Л „2 -9 + + /? + С WW Р / Р2 р4+ I Р2 /г . 8 р V A2 A8 J Р2 + F W /?8 л4 Р )Р v /? + 2(-5 + 6p2-p ) + 6\3-2p2- f \ ( -5 + р4+6 Р2 Р ) + 2(5 + 3 8 -8/?2)- + 2 f 1 л V 2 -9 + 8/32 У л -р cos 40, р (1.3.19) Р -3 + —Г-Р . р2 /? У /Г + У л Р4 + РА ръ) Р" I /?2 / У1 Л /? СА + P2-1 2К С3/?2- С, + {СЪ-С, ) Р + 4 -5 El + 6L5 + 4j32+ \P + 2f_3 + 4 2_J_ /?2 J И / \ 1 Г + с, Рг Р2 РІ7 .4 -3 + 4/?2 р2 +4(-5 + 4/52 + /J8)-у + 6 V р +с + 2-3 + — -р 9_Л-/?8]4 + 2 F V V4 F 9-8/? + С, V + б(5-6/52+/?8) + 2 -3 + 2/?2+-1 + f I /?2 + 2(-5-Зу 8+8 2) - + с 6 ! 5 - + У ( р4+2 -3 + - + р V /? р COs4#, » 2К СА ( . v -12 + Р: Р \ „2 0 + Р4 + + Р2 + sin46 , ( + + 4(-5 + 4р2 +р ) - + 4(з-4р2+Х)К { РА р ) ( р6 у V 1 Р8)Р4 + с -3 + 4р2- \р2+4(5-4р2-Р )\ + 4\ - 4 І Pz F Р V J Р де /?с с 8 6 5 - + — + 413 - + Рг Р2 )Р + С, 29-Л-/?81 - + І /?z Ръ) ( J V р + С 9-8/7 Р Р Р Y 10 /У+4 Р1 + Р і Р Р) + 4(5-6 + ) - + 4 3-2/?: + 2(5 + 3 8 -&fi2)-L + 2 где = 30-16 ( Р + /3 + f + Р -126 + 12 2 +32/?4 +12 6 + 8 + С, 2Ґ 2 , „0А . поб . 8 + 120_ 24._H + J_ 4 6 8 (і + а4г2+ 2)м 4\-27р2+5р4 +р С, = 16г 26 З З ;г + г + г /г /и (і + ог4г2+/2)м 4t с, =- 4 м 3 + ,02 4 3 + /?2 /?4J /?2J 5- r /?4 /r; р Л с5 = 2t(p-3) 4t t P: Mpl M ( + +p \ ( M = 6-4 p: V V p4 ( -24-P V +PA + 2 11 40 18 pl F PJ Из (1.3.17) и (1.3.19) найдем ЛфСз/ -С-С,/?2) 4ґ2/ 2 4 -А8 9 3 {-3t2 +3t2a2TJ -\-За4т2 + а6т2т2) J32 р4 p6 {\ + a4r2+t2\p4-l)2 x 12 1 P2 p4 J38 -34+16 + + C, х(з8-96 2 +52,04 +16/?6 + ps 4 x 2CA-5+4J34+J3U 4 r+i-r I 11 -і +«V+/2) \ + 2 „8 16 1 /?2 f x + 4G f 4 -/?6 P2 P 8-2)08 + 2C, Л ( . 8 , P v /?2 /?8J 4Ґ M (-31+129/?2 5754 1756 /?8 27 9 I 3] (-3/2+3/Уг22-1-ЗД2+Д24 (і+а4т2+ф4-\)2 P2 p4 P6 16 12 1 + cos4 9. х(з8-9бу?2 +52/?4 + 16/?6 +/?8 P2 P4 Ръ Согласно (1.3.15), (1.3.20) запишем (1.3.20) і 4_2 , „2 1 2Ґ (і+аГгГ+f м- - -7 л cos2 9+ +s2i HX ;C\ff\- (-31+129? -57/ -17/ 2(i+aV2+(2J(/?2-i) M2K -If-— — -1-1 (-3f2 +3?Vr2 -l-3«"zf + Д6г2г22) X M х(з8-9б/ +52/ +16/ +/ + 16 12 1 / / / +2 2(l+a4zf+ 2)/C x -34+16/+/+- - + 2C ( -5+4/ +/ 4 4 4 / / ( + C ,2 ,,8 16 1 / /J + 8/-/ + 4C -57/-17/-/ _8_ J_ /V 8-2/ +2C, / / - (-31+129/ (1+ + -1)2 (L3-21 _9_ J_ (-3/2 +3fVr22-І-ЗогУ +0:2) /+/V " x(38-96/ +52/ +16/ +/ + / / V cos4#. I
Эллиптическая труба с круговым отверстием из сжимаемого материала в пластической области
Рассмотрим эллиптическую трубу с круговым отверстием из сжимаемого материала в пластической области. Предполагается, что на внутренней поверхности трубы не действуют касательные усилия. В нулевом приближении будем иметь Ъ о.. 0, & = 0, (1.4.1) все остальные компоненты тензора напряжений зависят только от р. Согласно (1.4.1) соотношения (1.4), (1.6) примут вид Эо = 0, Тр-Яв dp р т -ав= -2(1 + асу), ств = crz =а + 2(1 + аст)/3 (1.4.2) (1.4.3) Решение уравнения (1.4.2), согласно условию пластичности (1.4.3) и граничному условию (1.11), в пластической зоне имеет вид а \а) а 3-4а а \а) а 3-4а В упругой зоне решение уравнения (1.4.2) определяется из условия несжимаемости, закона Гука, граничного условия (1.1.7) и имеет вид (1.1.8), где постоянную Сх определим, удовлетворив (1.4.4) и (1.1.8) условиям сопряжения (1.12). Тогда выражения (1.1.8) принимают вид аЮе= M{\-pa)aMa 2 P J Pz P aMe=g_M(l-pa)aMa ( P2 (1.4.5) а радиус упругопластическои зоны rs определяется из трансцендентного уравнения \-ра 3-а Ма С а 3 — 4а а М(\-ра)аМа 1-раЗ-а и, 1 (1.4.6) f го В рассматриваемой задаче внутренний контур и внешние нагрузки на нем фиксированы, поэтому соотношения (1.1.11) сохраняются. Определим компоненты напряженного состояния в упругой области. -ІПе _ (І)е _ Q а р — Т рв - U : В первом приближении согласно (1.12), (1.4.1), (1.4.4), (1.4.5), (1.1.11) имеем при р = 1 -Ма (1.4.8) а (1.4.7) (3-4af где m = m 3{\-рар-а) Граничные условия на внешней поверхности трубы в первом приближении согласно (1.3), (1.1.7), (1.4.4), (1.4.5) примут вид при р = J5 a(J)e= Arcos20, TW = -smie, где п = М(\-ра)аш. (1.4.9) Р Р Условия (1.4.7), (1.4.9) позволяют определить согласно [62] напряжения в упругой области р1 (/) = _Л_ Ъ-2Р + 4 F [_7 + А + /?4]+6 2КР р: 2 1 cos 2#, РА 1-Л,1 Р2 ҐІР п гв Р Ф-4- 4]+6 2КР + 4[3-6 2- 4] rlcos2 , -1 + Р2 РА РА (1.4.10) т рв — п 2КР Ф- - 4]+6 Р Р2 Р РА + б[\-2р2+р4]- + 3-2р: Р: ҐІР2} sin 20, где K = 6-4 Из (1.4.8) и (1.4.10) найдем f + Р: \ + Ж + \ cos 20. (1.4.11) Р2 Ґ) Во втором приближении из условий сопряжения (1.12) согласно (1.4.1), (1.4.4), (1.4.5), (1.4.8), (1.4.10), (1.4.11) получим при р = \ Л -и + вр1 -р + .(//) _ тп К 2( 20 15 р2 Р4 Р6 Р8) (l + cos4 9), (1.4.12) ЛЮе _ Рв Атп К 9-4р2+Р 14 13 Р2 р4 Р6 Р ) (l + COs46 ), а также т (//)е т2п2 18 Pis= e + 2 Р2 Р рь Р 2К (3 + 2а\Ма +1) 3-4Й ( тп 8 11 -13 + 10 #2-3/Ґ х (1.4.13) 7-2р2+р4 Р2 р4 р6 ръ) x(l + cos4#).
Граничные условия на внешней поверхности трубы во втором приближении согласно (1.3), (1.13), (1.4.5) примут вид при р = Р ґ 2п К -S + 2P: V 12 -2р ЛЮе 2п К Л р2 р4 р( 2п 21 14 Р2 Р4 Рь) Р2\ In 2Р2_ cos 40, рв п\ 2КР \\-24p2 -р Л sin 40. (1.4.14) Условия (1.4.12), (1.4.14) позволяют определить согласно [62] напряжения в упругой области ЛЩе _ P2-l сър2-сх-{съ-сх) р 2N г — ( + Р F Р4 + "\ /?б /?с -9 + 8,02 4 1 р2+ У? cos 4в, ( + 4 . 4 + 2(5-4/?2-/?8)4 + бґз-4/?2 +ЛК I Р2 Р8) ( + С, I Р2 Р8) 3"4 2+ Г +4(5-4/?2-/?8) г +2 Р ) Р ( 8 W / +с. -9 + 6 /? 81 1 2" 14 Р / Г I /?2 Р8) 2 1 V4 + 2(-5 + 6 - ) + 6 3-2/? Р 1 + Со L v /J ( Р +6 -5 + -Р% I f а1 Р \ р + 2(5 + 3 8-8 2) - + (1.4.15) Р2-1 сър2-сх+{съ-сх) р 2N ґ -3 + Р Р V F + I /?2 ? + с 4 1 -5 + —г4 + 6(-5 + 4/?2+/?8 4 + 2f-3 + 4/?2- р6 V VI V Р + "5+ — +,8 I Р1 Р«) Р( + р + С 4 L I + 2- Р1 1 -3 + 4р2—\\р2 +4(-5 + 4 2 + 8) - + 6 - 4 ; р \ / -г + 2 8 ( + с -5 -Р1 -Р1 Р"\ Р Р К Рг Рг PL + С2 ч р4+2 + б(5-6/?2+/?8) + 2Ґ-3 + 2/?2+-і + 2(-5-3 8+8 2) - + Г 9-8у?: V _2 -3 + + /? 1 /? Р2 + cos 40, V ЛЩе _ і V--/I ре -2jyiw С + 4 { Р2 fil Р1 Р Р -12 + . v "\ об Р _ + 4(-5 + 4 + ) + 4 3-4 2+-І V Л Ґ 2 1 // + I /?2 Р1 8 6 V6 4 / + 4(5-6 2+ 8) - + 4 3-2 2- Р2 + + С L V + 4 -3 + 4/? Р1 + J 1 Р J Р2 " I р2+4{5-4р2-р )\ + 4 ) \ „2 ( 8 + 2 / /? + с. V У I /?2 /Н /? + С 2 1 9-8/? Р /? + 2(5 + 3 8 -8/?2)-i-+-2 Р 10 I /?z Рг ( р4+4 Р "? Р 8т4#, где iV = 30-16 С Р +р: \ ( + fi F Л -ll+epz-p с,= тп К 2 Ґ о4 20 15 6 Р2 /?4 /?6 Р ) с2 = 4тп К 2 ( 9-4Р2 +р 4 14 13 Р2 /?4 р6 рь Л к ( -8 + 2/?2 + In Р2 /?4 Р6) 2Р К г ч П-2Р: 14 р2 р4 р( Л 2п С5 = п 2КР -\1-24р2-р4 Р2 Ґ) К = 6-4 .Р Р: + Ж + Р1 М = -6 3-4д т _ (3-4.)2 3(1 - ра\3 - а) а Ма, п = М(\-ра)а Ма Из (1.4.13) и (1.4.15) найдем ,2 o 4+ii Р1 -\з+\ор2-зр4 + -Ц- + р4 р6 р8] 8 L 3-4д А 1-2Р л-р" 11 /?2 /? ( ( + С -13 + 10 -3/Г+ —+ cos 40. Г m + [SN \ У Р )\ + 2PU 32 р2 Р ) 2 2 т п Р 2К2 тп {3 + 2а\Ма + \) 3-4я 16/?4 -ІЗ/?6 +ІІ-ІІ 1 + (7,(-68 + 32/72 + ( Pl F) 8 32 +с 16/Г-8/Г 32-4/? ,4 о об 24 , 16 F Р2 Р4) 18 Л\ Р2 Р4 Р6 Р8 7-2р2+р4 8 11 JV Р2 Р4 Р6 Р1 (1.4 Согласно (1.4.11), (1.4.16) запишем .тп К Р1 ps=P+8— 1-F-—+— Y w -h.p2 -q +(Q -сх)р2\+ (3+2дХМг+1) +s 2 2 2 W П 2K тп -13+10/-3/ +4+441+4 Р2 рС /f 0 \ 8 L 3-4а f3 х + m xf7-2 2+ -4+ -4+4 \+ Ш . p2 p. 24 \6\ У р2 р pf /?)j 16/ -8 -=5+- H И P2 p4 +q(-68+32/?2+2/ + +4l+G v P2 /f 2 2 32 4 у v. +Q32-4/?8 -13+10 -3 +4+4- +4 2/:2 p2 p4 p6 pp "(3+2дХМд+і) 3-4я mn cos4#. 4-3 7-2/ +/74-A." 6 1 /74 / . (1.4.17)
Двуосное растяжение толстой упругопластической пластины с круговым отверстием при наличии крутящих и продольных касательных усилий
Рассмотрим упругопластическую задачу для пространства с цилиндрической полостью радиуса а. Случай плоской деформации пластины с круговым отверстием при двухосном растяжении рассматривалась Л.А. Галиным, им определено напряженное состояние в упругой и пластической зонах в форме эллипса. Позднее Д.Д. Ивлев [57] занимался определением перемещений в задаче Галина. Л.А. Галиным [26] было показано, что границей пластической области является эллипс, уравнение которого в обозначениях, принятых в [62], можно записать в виде где рх, р2 - усилия на бесконечности, направленные вдоль осей х, у. Здесь и в дальнейшем все величины, имеющие размерность напряжений, отнесены к величине к (пределу текучести на сдвиг), величины, имеющие размерность длины, - к величине г,0 (радиусу пластической зоны при равномерном растяжении: = 0). Ниже методом малого параметра решается задача Л.А. Галина в цилиндрических координатах в безразмерных величинах при наличии сдвиговых усилий. Для безразмерных величин сохраним обозначения ау=сту/к Р = Р/к 1 = ЯІк Ti=Tilk G = G/k, sij=ijlrs u = u/r , v = v/r,, w = w/rs, a = a/rs, где а у — компоненты тензора напряжений, stj - компоненты скоростей деформации, w, v, w - компоненты скоростей перемещений вдоль осей р, в, z соответственно. Ось z направлена вдоль образующих цилиндрической полости пространства. В плоскости рв пластина растягивается на бесконечности взаимно перпендикулярными усилиями р{ и р2 {рх р2), причем на контуре отверстия действует нормальное давление р. Материал пластины предполагается несжимаемым. Переходя к полярным координатам рв по формулам х = р cos в, y = ps\n0, рассматривая величину 8 в качестве малого параметра, из (2.1) можно получить ps =\ + Scos2e--S2(l-cos40) + ..., (2.2) где ps = rs /Гу0 , rs - радиус пластической зоны. Разложение (2.2) вплоть до четвертого приближения было получено непосредственно методом малого параметра в [62]. Результаты Л.А.
Галина нашли обобщение в исследованиях [9,135]. Уравнения, определяющие течение упругоидеальнопластической среды: уравнения равновесия: дар і дтрд дТр [ гр- тв=0 др р дв . dz р V+l L + + = 0, (2.3) dp р дв dz р дті ( 1 дг daz ( = 0 др р дв dz р условия пластичности: ( тр-сг-2/зХ тв- т-2/3)=т рв 48 {стр-ст-2/зХ г-а-2/3) = т%, 2 2? ( -о--2/зХ -о-2/3) = г, условие несжимаемости: (2.4) „+ +,= ), (2.5) закон Гука: р- тв= 2{р ео) Трв= 20єРв» о-р - т2 = 2G(sp - z ), r = 2G , Je C7z= 2Gise - ez ) r& = 2(, (2.6) условия Коши: du ЄР = є0 = dp + 1 dv и рдр р dw Є Т 1 dw dv pd6 dz + — d dp (- 1 du pdd_ 1Є" 2 du— +_dz dwdp] (2.7) Решение задачи в упругой и пластической зонах ищется в виде разложения v=a+ScrW+S2(T+S3ayrn+..., s= -, Pl,р2-const. (2.S) Пространство с цилиндрической полостью радиуса а растягивается на бесконечности напряжениями jep=q-Scos20, 7ев = q + S cos.29, =351X126, q=— при р = оо, (2.9) Запишем линеаризированные условия сопряжения решений в упругой и пластической зонах при р = 1 в виде И ]=о, dp о?+!$- . = о. 4" + " dp P\s d aU Pis dp d p dp Pis = 0. (2.10) На бесконечности линеаризированные граничные условия (2.9) примут вид o-y)e=-cos2 9, r )e=sin2 9 при р = оо, (2.11) )е=0, т(»)е=0 при /, = 00. (2.12) Предположим, что к поверхности цилиндрической полости радиуса а пространства приложены внешние постоянные напряжения а =-р, т1е=тх, TY-const, (2.13) &р=-Р, г =г2, z2-const. (2.14) В качестве исходного рассмотрим напряженное состояние бесконечно длинной цилиндрической трубы радиусов а, /3 {а /?), находящейся под действием внутреннего давления р и осевой нагрузке q. В нулевом приближении будем иметь 0, т% 0, 4=0, (2.15) все остальные компоненты тензора напряжений зависят только от р. Согласно (2.8), (2.15) соотношения (2.3), (2.4) примут вид f- - = 0, — + - = 0, — + L = 0, (2.16) dp p dp p dp p ( - )44 + )=4, a,« =1( + ). (2.17) Решение второго уравнения системы (2.16) удовлетворим граничному условию (2.13) и получим Р а решение третьего уравнения - граничному условию (2.14) и получим = .. (2.19) Р Решение первого уравнения системы (2.16), согласно условию пластичности (2.17) и граничным условиям (2.13), (2.14), в пластической зоне имеет вид 4 2 2 2 ЛІ1 p4 p2 p4 - a2zip1 - а4т2 + 2_2 , _2 Jl -,2 2 2 T2 . 2a T, +Т ,р Г 2 2 + 2p - а ті + - -arcsin . 2A + л/1 - ті -ті л/4г? -In 2а2 д/l - г2 - ті + 2а2 - а2т 2г -arcsin + Гі -Р. .4_2 .2_2 г(0)р _ = 1 ОГ Tj (2 Г2 + ІП л / 4 2 2 2 4 2 , 2- //7 -ОТ Г2/7 -ОТ Г! + .2_2 , _2 _2 ті . + -arcsin 2ат +т2р + Г _ (2.20) 2г, + 2/?2 -0 2+r4 1 +Т2 2г,2 + ті -In -arcsin 2а2л]\-т2 -т\ + 2а2 - а2т2 2т, yj4T{ + т. 2 +т2 1 +г2 В упругой зоне решение первого уравнения системы (2.16) определяется из условия несжимаемости, закона Гука и граничного условия Jp=q при /7 = оо (2.21) и имеет вид 1 Л0)е _ .(0)е _ (2.22) GK;)e =q- 2GC, - -, сг =4 + ЖС\ -у, С, - со /1 Р Р Постоянную Cj определим, удовлетворив (2.20) и (2.22) условиям сопряжения (2.10). Тогда выражения (2.22) принимают вид "Г= " 2t, f)e=q Р Р о - -/, і = у]і-а4т? -а2т1, (2.23) а радиус упругопластическои зоны rs определяется из трансцендентного уравнения 2or2r2+r2 + 12I q = In arcsin д/ ї + Г1 2г2 + г2 2_2 -In -arcsin л/ F 2rj + Гі 2t + 2-a2Tl 2г, 2а2 \-т2 -т\ +2а2 -а (2.24) Перейдем к рассмотрению упругопластического состояния пространства с цилиндрической полостью, радиус которой равен а.
В рассматриваемой задаче внутренний контур и внешние нагрузки на нем фиксированы, поэтому ЛПР _ .Ш)Р т "}р = 0 = 0. -, у - (2.25) Определим компоненты напряженного состояния в упругой области. Согласно (2.10), (2.18), (2.19), (2.20), (2.23), (2.25) имеем при р = 1 „(Пе _-{I)e _Q р — т рв - v (2.26) =4 + a r}+t2)ph (2.27) Граничные условия (2.11), (2.26) определяют согласно [62] решение в упругой зоне tf = ( 1+ Р2 P J cos 29, ав \ ( \ Р ) cos 29, (2.28) 1рв \ ( ,1 + , { Р Р ) sin 20. Из (2.27), (2.28) имеем P\s = 2t 1 + аАт2 + t2 cos 29. (2.29) Во втором приближении из условий сопряжения (2.10) согласно (2.18), (2.19), (2.20), (2.23), (2.25), (2.28), (2.29) имеем при р = а (Юе _ 2t \ + аАт2 + t2 (1 + cos 49), т%)е = St 1 + а4т2 +t2 sin46 , (2.30) а также ЛП)е _ тв 6t і \ + a4r2+t2 l{bt2 -За4 г2 -\ + а6т2т2) t(l + a4r2+t2)2 (l + cos A9) + (2.31) + (l + a 2 . ,2\„ Г1 + )Pls Граничные условия (2.12), (2.30) определяют согласно [62] решение в упругой зоне Л ґ МПе _ ЛЮе It l + a4r2+t2 It \ + а4т} +t2 Р J_ Р2 + f VP P6J Л4 „6 cos 4 Л cos (2.32) 4/ рв л 4 2 2 1 + сГг, +/ VP4 Р6; sin 40. Из (2.31), (2.32) имеем / 25 = 2Ґ (l + a4T +t2) 3/2-За4г,2-1 + абг,2Г2 {l + a4T2+t2J (2.33) Аґ + 3t2-3a4r2 -\ + аьт2тІ _{l + a4r2+t2V + a4r2+t2j , -f (і Согласно (2.29), (2.33) запишем cos 40. ps=l + S It і l + a4r2+t2 cos20 + S ( 2ґ (\ + a4r2+t2) Зі2-За4т2-\ + а6т2т2Л (\ + a 4r2+t2)3 + ( At {l + a4T2+t2)2 (2.34) 3t2 -3a4z2-\ + a6r2rl (i + a4r2 +t2J \ J cos A6 + . рис. 7 На рис. 7 показана граница пластической зоны, построенная по формуле (2.34) при д = 0,17. Здесь же точками нанесена граница, полученная по точному решению. Уже первые два приближения (кривые 1 и 2) дают удовлетворительную картину сходимости к точному решению. При отсутствии сдвигов t = \ (тх =0,т2 =0) разложение (2.34) принимает вид (2.2). При сдвигах t = tx = 1-а4 т2 (тх Ф0,Т2 =0) разложение (2.34) принимает вид ps =\ + axcosie + Sd f2-5t2 tx2+2 лп - + - cos4 9 V J + ... (2.35) При сдвигах t = t2 = \-а2т2 (r, = 0, r2 0 ) разложение (2.34) принимает вид It ps =\ + S— cos26 + 2 1 + / r\-Stl-2ti l + t2+4t2 A/} f —TT -COS46 J V ЫУ {i+t2j + ...
