Содержание к диссертации
Введение
1. Задачи о полостях в пространстве и методы их решения 8
1.1. Задачи о полостях и включениях в неограниченном пространстве 8
1.2. Обзор задач, решённых методом граничных состояний 13
2. Метод граничных состояний в задачах о неограниченных телах с полостями 15
2.1. Основные положения метода граничных состояний 15
2.2. Организация базиса пространства состояний во внешних задачах ...21
2.3. Процедуры решения внешних задач 25
2.4. Тестовые задачи 27
2.5. Выводы по разделу 37
3. Основные задачи о двух сферических концентраторах в неограниченном пространстве 38
3.1. Взаимовлияние сферических полостей 38
3.2. Взаимовлияние сферических включений 40
3.3. Взаимовлияние сферических полости и включения 44
3.4. Выводы по разделу 47
Заключение 48
Библиографический список
- Обзор задач, решённых методом граничных состояний
- Организация базиса пространства состояний во внешних задачах
- Тестовые задачи
- Взаимовлияние сферических полости и включения
Обзор задач, решённых методом граничных состояний
Напряжённое состояние вблизи сжатой сферической полости было рассмотрено в [35]. С помощью решения внешних граничных задач в данной работе были получены решения для случаев кручения, одноосного растяжения, чистого изгиба и чистого сдвига на бесконечности. Задача осесимметричного растяжения на бесконечности пространства с вытянутой эллипсоидальной полостью рассмотрена в [113]. Исследование осесимметричного напряжённого состояния эллипсоида вращения и тела, содержащего замкнутую сфероидальную полость были проведены в [91]. В работах [56, 57] были получены решения основных граничных задач для сплошного сфероида и пространства со сфероидальной полостью.
Решение осесимметричной задачи для полого эллипсоида вращения было получено в [27, 28] с помощью построения явного вида векторных гармоник на поверхности эллипсоида. Задача о равновесии сфероида под воздействием сосредоточенных сил была рассмотрена в [26].
Решение граничных задач для сфероида и сфероидальной полости в трансверсально-изотропной среде было получено в [3] при помощи теории обобщённых аналитических функций.
Задача о напряжённом состоянии в окрестности трёхосной эллипсоидальной полости для случая, когда главные оси напряжений на бесконечности совпадают с главными осями полости была рассмотрена в [29]. При решении использовалась декартова система координат, а само решение выражалось через неполные интегралы первого и второго рода.
Задача о распределении напряжений в окрестности эллипсоидальной полости при произвольном однородном поле напряжений на бесконечности решена в [124] методом эквивалентного включения.
Задача о напряжённом состоянии упругой среды, содержащей эллипсоидальную полость, в случае, когда компоненты тензора напряжений на достаточном удалении от полости являются произвольными линейными функциями координат была рассмотрена в [58]. Метод собственных вектор функций, который, по сути, является аналогом метода Фурье, был предложен в [106]. Его суть заключается в построении на граничной поверхности тел собственных функций векторной структуры. Этим методом были получены решения некоторых трёхмерных задач теории упругости [26, 27, 107].
Задача о подкреплении пластины с вырезом при помощи двумерной накладки была рассмотрена в [88]. На основе специальных интегральных представлений комплексных потенциалов, описывающих напряжённое состояние в пластине и накладке, задача сводится к системе трёх сингулярных интегральных уравнений.
Растяжение пластины с эллиптическим вырезом, усиленной софокусной эллиптической накладкой, рассматривается в [90]. В данной работе аналитическими методами находятся комплексные потенциалы Мусхелишвили, исследуется концентрация напряжений на линии соединения накладки с пластиной и на границе выреза.
Краевые задачи теории упругости для плоскости со счётным множеством разрезов рассмотрены в [89]. Первая основная и вторая основная задачи теории упругости изучены методом краевой задачи Римана для счётного множества контуров.
Напряжённое состояние упругопластического сжимаемого пространства, ослабленного эллипсоидальной полостью, было исследовано в [32]. Задача была решена методом малого параметра.
Устойчивость несжимаемого полупространства вокруг сферической полости рассмотрено в [115], устойчивость сферической полости в упруго-пластическом массиве при больших пластических деформациях была рассмотрена в [116], устойчивость равновесия сферической полости была рассмотрена в [114]. В указанных работах задачи решались в рамках трёхмерной линеаризированной теории устойчивости методами возмущений, конечных разностей и малого параметра. Напряжённое состояние случайно-неоднородной среды с полостью было исследовано в [105]. Для решения задач о распределении упругих напряжений и перемещений случайно-неоднородных изотропной и анизотропной сред вблизи полостей с учётом конечности флуктуации упругих характеристик используется метод интегральных спектральных представлений. Особенность задач с концентраторами напряжений требует рассмотрения последовательного напряжения состояния среды без полости (некраевая задача), а затем состояния среды, возмущённого полостью (краевая задача). В первом случае для случайных функций используется однородное спектральное представление, а во втором случае - неоднородное спектральное представление, продиктованное влиянием краевых условий.
Упругопластическое состояние пространства, ослабленного цилиндрической полостью, находящегося под действием давления, крутящих и продольных сдвигающих усилий, исследовано в [125]. Были решены упругопластические задачи для пространства, ослабленного цилиндрической полостью, с учётом действия сдвиговых усилий. Методом малого параметра определены компоненты напряжения и упругопластическии радиус упругопластического пространства, ослабленного цилиндрической полостью, при совместном действии внутреннего давления, растягивающих на бесконечности в поперечном сечении взаимно перпендикулярных усилий, при наличии крутящих и продольных усилий для изотропного материала.
Идентификация полости в ортотропной упругой полосе исследована в [2]. В данной работе была решена обратная задача идентификации цилиндрической полости в ортотропной упругой полосе по полям смещений, измеренных на части его верхней границы. Задача решалась методом граничных интегральных уравнений и методом граничных элементов.
Организация базиса пространства состояний во внешних задачах
Алгоритмический подход [36] позволяет генерировать отрезок базиса гармонических функций из L (V) до порядка N включительно (независимость обусловлена фактом построения независимых решений систем линейных алгебраических уравнений (1.9); полнота обеспечивается теоремой Вейерштрасса).
Каждый элемент ф базиса пространства гармонических функций порождает три состояния упругой среды в соответствии с равенством (1.7): В = {{р,0,0}, {0, ,0}, {0,0, р}} Совокупность построенных таким образом элементов пространства внутренних состояний может не отвечать свойству линейной независимости по причине участия в равенстве (1.7) операций дифференцирования; поэтому они должны быть подвергнуты проверке. Не останавливаясь на методе проверки, приведем результат: три элемента из начального отрезка девяти испытуемых элементов оказываются линейно зависимыми и не могут быть включены в базис 5. После отбрасывания линейно зависимых элементов начальный отрезок базиса внутренних состояний из 6 элементов при безразмерных X где и- вектор перемещений, и У - тензоры деформаций и напряжений, фигурные скобки означают транспонирование, diag - диагональная матрица из элементов списка, sym( а . . ) - симметричная разреженная матрица с отличным от нуля
Если при этом u(x,y,z) - однородный гармонический многочлен степени п, то при т = 2 п +1 выражение в квадратных скобках в правой части равенства (1.10) в соответствии с теоремой Эйлера об однородных функциях [33] -2и-1 тождественно равно нулю. Следовательно, функция V = и г гармоническая везде за пределами окрестности г є точки (0,0,0) [123]. Замечание. Теорема Кельвина [101] утверждает: пусть области V и V симметричны относительно сферы радиуса а, т.е. для каждой точки с согласование полученных выше результатов с выводами теоремы Кельвина, если а = 1 а и - однородный гармонический многочлен.
Покажем, что базис гармонических многочленов порождает базис в неограниченной области для неограниченных функций, непрерывных вплоть до границы и исключающих Є-окрестность начала координат.
Действительно, по построению набор функций, приведенный ниже формулы (1.9), дополненный константой 1, изоморфен набору х у z yz xz ху Линейная независимость набора (1.8) следует из теоремы Вейерштрасса [1], согласно которой любая непрерывная в замкнутой области V функция (в том числе и гармоническая) может быть с любой степенью точности представлена отрезком ряда по многочленам от x,y,z (1.8). Многочлены Q (г), Q (г), / Ф к линейно зависимыми быть не могут вследствие своей фундаментальности. Зависимость может наблюдаться только внутри членов Q (г).
Применение оператора Лапласа к гармонической функции f: ДДг) щ aAQt (г) 4- abQt (г) +... + я Д (г) = О приводит к линейной комбинации многочленов порядка к - 2 (к є {2,.., п}), что возможно только, тогда когда все AQ (г) = 0. Таким образом, каждый из многочленов Q (г) является однородным гармоническим, и следовательно, представляет собой линейную комбинацию независимых однородных гармонических многочленов одинакового порядка из списка (1.8).
Следствие теоремы Вейерштрасса. Любая гармоническая в замкнутой ограниченной области функция может быть представлена с любой степенью точности отрезком ряда однородных гармонических многочленов.
Система функций (1.11) линейно независима. Применение теоремы Кельвина и установление изоморфизма сепарабельных гильбертовых пространств гармонических функций гарантирует полноту системы (1.12) для класса гармонических функций, ведущих себя на бесконечности как 1/г .
Каждый элемент из списка (1.11) порождает три варианта гармонического вектора В. Каждый гармонический вектор определяет единственное упругое состояние во внешности ограниченной области в соответствии с представлением решения Папковича - Нейбера в форме [31]
Проверка показала, что нет линейно зависимых состояний, построенных таким способом, поэтому их совокупность образует базис. Структура базиса для произвольного многополостного тела. Рассмотрим многополостное тело, образованное системой ограниченных липшицевых границ где J - количество полостей, S - внешняя граница тела. В случае S =0 область V тела простирается в бесконечность по всем направлениям. Геометрия области V предписывает два шаблона, служащих для эффективного набора базисов пространств внутренних состояний тел означенного класса.
Внутренний шаблон порождает множество состояний для внутренности границы S и исходит из базиса однородных гармонических многочленов, приведенных после формулы (1.9). Операции дифференцирования в формуле (1.7) обнаружили три линейно-зависимых элемента среди первых девяти, которые исключены из списка, составляющего шаблон.
Внешний шаблон порожден списком (1.11) и после выполнения всех процедур построения элементов пространства внутренних состояний линейно зависимых не выявил. Применить внешний шаблон в отношении любой полости просто: достаточно выделить центр г полости с границей S и далее понимать под г в наборе (1.11) вектор г — г . Отметим очевидные факты: состояние, порожденное внешним шаблоном для внешности полости с выделенным центром г , не может быть линейно зависимым от состояний, назначенных для иных полостей (включая также внешнюю границу тела S ), поскольку вблизи центра полости полевые характеристики допускают неограниченный рост только для номера к и конечным набором иных состояний неограниченность обеспечить невозможно. Линейная же зависимость элементов внутри шаблона исключена. Последние замечания обеспечивают сравнительно простой алгоритм набора базиса пространства S: в него входят все элементы внутреннего шаблона, если тело ограниченное, и все элементы внешнего шаблона, примененные J раз в соответствии с замечанием о выборе центров полостей.
Замечание. Использование обоих шаблонов обеспечивает построение базиса состояний для уравновешенных полостей. Главные векторы и главные моменты сил, приложенных к полостям, можно учесть дополнительными слагаемыми, отвечающими за сосредоточенные силы и пары, приложенные к центрам Г , внося компенсирующие поправки в граничные условия.
Тестовые задачи
Сжатие неограниченной среды с гладким шаровым включением в условиях контакта. Неограниченная упругая среда содержит жесткое шаровое включение радиуса R и подвержено осесимметричному сжатию усилием р вдоль оси z и усилиями р/2 вдоль осей х и у на бесконечности. Последнее требование обусловлено необходимостью обеспечения физического контакта поверхности полости с включением. Взаимодействие среды с включением подчинено условиям гладкого контакта касательных), привязанная к границе тела. Требуется определить НДС вне включения.
Результаты решения задач всех трех типов представлены в графической форме на рис. 1, где тон фона (внутренность полости) соответствует нулевому уровню напряжений. поведении поверхностных усилий вблизи границ можно судить по соответствующим эпюрам, приведенным на рис. 2 для второй основной задачи (сплошные кривые) и основной контактной задачи (штриховые кривые).
Эпюры для второй основной и основной контактной задач Для удобства интерпретации результатов счета в сечении у = О (ф = 0) будем говорить о величинах напряжений, отнесенных к цилиндрической системе координат: а ,СТЛ,СТ и G - радиальные, окружные, осевые и
В задаче Саутвелла радиальные напряжения - растягивающие в окрестности экватора и сжимающие в окрестности полюсов. Окружные напряжения охватывают сферическую полость сжимающим поясом. Осевые напряжения, вообще говоря, — растягивающие, но вблизи полюсов есть зоны сжатия. Сдвиговые напряжения концентрируются у поверхности сферы в области средних широт. Плотность энергии упругого деформирования повышается по мере приближения к экватору.
В задаче с жестким включением наибольшие радиальные растягивающие напряжения примыкают к полюсам, а сжимающие, наоборот, сосредоточены вблизи экватора. Окружные напряжения - растягивающие у границы со спаянным включением. На удалении R от полюса по оси z локализована зона окружного сжатия. Осевые напряжения всюду растягивающие, их уровень увеличивается по мере приближения к полюсам. Судя по напряжениям сдвига, наибольшее формоизменение происходит вблизи малых и средних широт.
В контактной задаче радиальные напряжения - сжимающие благодаря специфике условий на бесконечности, обеспечивающих полный контакт по всей границе. Наибольший уровень сжатия - в средних широтах. Окружные напряжения - также сжимающие; наблюдается достаточно быстрое их изменение по мере приближения к границе. Осевые напряжения — растягивающие в экваториальном поясе и сжимающие у полюсов. Наибольшие сдвиговые деформации - в средних и высоких широтах. Плотность энергии в задаче с жестким включением и в контактной задаче упругого деформирования увеличивается по мере приближения к полюсам.
Решение основных смешанных задач для сферической полости в упругом пространстве [122]. Ниже выполнено решение двух смешанных задач (рис. 3, 4), сформулированных для сферической полости радиуса R, параметризованной сферическими координатами: долготой (р и широтой 0, отсчитываемой от экваториальной плоскости z = О. Решение выполнено в безразмерной постановке; в качестве масштабного множителя по напряжениям выбран модуль сдвига р., масштаб линейного размера соответствует радиусу сферы, так что А, = р. = 1, R = 1. Базисы пространств состояний в обеих задачах одинаковы, процедура их наполнения описана в предыдущем параграфе, ортонормированные базисы также идентичны. Различие обусловлено изменением граничных условий как в структурном плане (локализация зон сцепления), так и количественно: коэффициенты и правые части БСУ вычисляются индивидуально для каждой задачи в соответствии с (1.6). А. Осесимметричная задача. Граница полости разбита на два класса (рис. 1): на S] (ф є [- 71, п\ 9 є [О, ти/2]) распределены поверхностные усилия р = {О, 0, - PQ sinG}. Граница 5 2 (Ф є [- п, п\ 6 є [- п/2,0] ) защемлена: и = {0,0,0}. Выражения (1.6) получают конкретное наполнение:
При решении удерживался отрезок базиса в 243 элемента. Решение, построенное при PQ=1, дало значения коэффициентов Фурье, отображенных графически на рис. 5а. На рис. 56 представлена зависимость суммы Бесселя внутреннего состояния тела. Характер насыщения суммы Бесселя свидетельствует в пользу сходимости решения. Среднеквадратическая интегральная невязка решения в сопоставлении с граничными условиями оказалась равной Защемленная полусфера является экраном, защищающим прилежащие к ней слои материала от деформирования. Радиальные напряжения а в сечении являются сжимающими в области, примыкающей к средним широтам полусферы S\ и растягивающими непосредственно вблизи полюса 0 = я/2, а на некотором удалении вдоль полярной оси опять сжимающими. Окружные напряжения Gyy - слабо сжимающие в экваториальном поясе, растягивающие на «полярной шапке», а на удалении вдоль полярной оси - опять сжимающие. Осевые напряжения GZZ - растягивающие в верхней части полусферы S\, сжимающие в близи экватора. Напряжения сдвига GXZ ярко выражены вблизи средних широт верхней полусферы.
Взаимовлияние сферических полости и включения
Решение основных смешанных задач для сферической полости в упругом пространстве [122]. Ниже выполнено решение двух смешанных задач (рис. 3, 4), сформулированных для сферической полости радиуса R, параметризованной сферическими координатами: долготой (р и широтой 0, отсчитываемой от экваториальной плоскости z = О. Решение выполнено в безразмерной постановке; в качестве масштабного множителя по напряжениям выбран модуль сдвига р., масштаб линейного размера соответствует радиусу сферы, так что А, = р. = 1, R = 1. Базисы пространств состояний в обеих задачах одинаковы, процедура их наполнения описана в предыдущем параграфе, ортонормированные базисы также идентичны. Различие обусловлено изменением граничных условий как в структурном плане (локализация зон сцепления), так и количественно: коэффициенты и правые части БСУ вычисляются индивидуально для каждой задачи в соответствии с (1.6).
При решении удерживался отрезок базиса в 243 элемента. Решение, построенное при PQ=1, дало значения коэффициентов Фурье, отображенных графически на рис. 5а. На рис. 56 представлена зависимость суммы Бесселя внутреннего состояния тела. Характер насыщения суммы Бесселя свидетельствует в пользу сходимости решения. Среднеквадратическая интегральная невязка решения в сопоставлении с граничными условиями оказалась равной Защемленная полусфера является экраном, защищающим прилежащие к ней слои материала от деформирования. Радиальные напряжения а в сечении являются сжимающими в области, примыкающей к средним широтам полусферы S\ и растягивающими непосредственно вблизи полюса 0 = я/2, а на некотором удалении вдоль полярной оси опять сжимающими. Окружные напряжения Gyy - слабо сжимающие в экваториальном поясе, растягивающие на «полярной шапке», а на удалении вдоль полярной оси - опять сжимающие. Осевые напряжения GZZ - растягивающие в верхней части полусферы S\, сжимающие в близи экватора. Напряжения сдвига GXZ ярко выражены вблизи средних широт верхней полусферы.
Из рисунков видно, что радиальные напряжения оказывают влияние на волокна, примыкающие к экватору и выше экватора. Основной массив упругой среды почти не деформируются за счет того, что защемленная «полярная шапка» берет нагрузку на себя. Окружные (растягивающие) напряжения охватывают полость почти равномерно, достигая наибольших значений в средних широтах. Осевые напряжения - сжимающие вблизи экваториального пояса и растягивающие в средних широтах. Напряжения сдвига локализуются вблизи линий раздела граничных условий с тенденцией нарастания в сторону средних широт.
Достоверность решений подтверждена не только фактами насыщения суммы Бесселя, но и непосредственно оценкой невязки решения с сопоставленными граничными условиями. Для основных смешанных задач некоторое повышение значений невязки обусловлено поведением приближенного решения вблизи линии раздела граничных условий.
Неограниченная изотропная упругая среда содержит две сферические полости одинакового радиуса R (межполостный слой имеет толщину И) растягивается усилиями интенсивности Р0 на бесконечности в направлении нормали к общей экваториальной плоскости (ось z). Межполостный слой имеет толщину h. Необходимо определить напряжённо-деформируемое состояние (НДС) [121]. Схема взаимодействия полостей представлена нарис. 7.
Граничные условия принимают вид: f{P0,0,0}, (x,y,z)edV+, Ниже расчеты выполнены при безразмерных значениях геометрических и физических параметров задачи: /л = \, v = l/4, і? = 0.7, Р0 =1, h = var. Базисы внутренних и граничных состояний были представлены отрезками в 150 элементов. Коэффициенты Фурье, рассчитанные при значении h = 0.4, графически представлены на рис. 8.
Среднеквадратическая невязка ГУ с соответствующими им атрибутами восстановленного граничного состояния составила малую безразмерную величину 10"\ На рис. 10 приведены графики, отображающие линии уровня физических величин в наиболее информативном сечении = 0, являющемся плоскостью симметрии, проходящей через ось 2. Варианты графиков соотнесены со значением безразмерного параметра h = 0.4 и первым квадрантом секущей плоскости.
Перемещения: а-радиальные в плоскости сечения; б - осевые Реализация всего спектра задач и обработка данных относительно зависимости коэффициента концентрации напряжений К = crzz = к/2ооі дали зависимость K(h) = 4.34 -16.48 h + 54.03 h2 -78.29 А3 + 39.86 h\ свидетельствующую о его значительном возрастании при сближении полостей. Можно заключить, что разрушение межполостного слоя непременно наступит, если его толщина окажется достаточно малой [121].
Поставлена задача об упругом пространстве с двумя взаимодействующими жёсткими включениями, спаянными с окружающей средой. Неограниченная изотропная упругая среда, содержащая два сферических включения одинакового радиуса, растягивается усилиями интенсивности Р0 на бесконечности в направлении нормали к общей экваториальной плоскости (ось z). Межполостный слой имеет толщину h. Необходимо определить напряжённо-деформируемое состояние (НДС) и исследовать зависимость концентрации напряжений от h [118].
![Симультанные лапароскопические операции при сочетанных заболеваниях органов брюшной полости, забрюшинного пространства и малого таза у женщин [Электронный ресурс]](/i/i/4387/195545.png "Симультанные лапароскопические операции при сочетанных заболеваниях органов брюшной полости, забрюшинного пространства и малого таза у женщин [Электронный ресурс] Гордеева Татьяна Владимировна")
