Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Упругопластическое состояние эксцентричной трубы под действием внутреннего давления и сдвигающих усилий
1.1. Основные уравнения и соотношения в пластической области 11
1.2. Основные уравнения и соотношения в упругой области 14
1.3. Эксцентричная труба под действием внутреннего давления и касательного усилия 20
1.4. Эксцентричная труба под действием внутреннего давления и к« сательного усилия 31
1.5. Эксцентричная сжимаемая труба под действием внутреннего давления и касательного усилия 37
Глава 2. Двуосное растяжение пластины с эллиптическим отверстием с учетом продольных сдвигов
2.1. Линеаризация. Общие соотношения, граничные условия 43
2.2. О двуосном растяжении пластины с эллиптическим отверстием с учетом продольных сдвигов 47
Глава 3. Коническая труба под действием касательных усилий
3.1. Коническая труба в пластической области под действием КЕсательных усилий 56
3.2. Коническая труба под действием касательных усилий в пластической области 61
Заключение 66
Литература 67
- Основные уравнения и соотношения в упругой области
- Эксцентричная труба под действием внутреннего давления и к« сательного усилия
- О двуосном растяжении пластины с эллиптическим отверстием с учетом продольных сдвигов
- Коническая труба под действием касательных усилий в пластической области
Введение к работе
Теория идеальной пластичности является одним из фундаментальных разделов теории пластичности. Результаты теории идеальной пластичности используются в практических приложениях, таких как расчеты элементов конструкций, работающих в условиях предельных нагрузок, технологических процессов обработки металлов давлением и т.д.
Решение упругопластических задач теории идеальной пластичности связано с решениями уравнений эллиптического типа в упругой зоне, гиперболического или параболического - в пластической и сопряжением решений на подлежащей определению границе, разделяющей упругое и пластическое состояние материала.
Одним из приближенных аналитических методов решения нелинейных задач является метод возмущений или метод линеаризации нелинейных соотношений по некоторому безразмерному малому параметру. Метод возмущений, я» ляющийся методом приближенного решения, впервые был использован при рошений практических задач механики в работах Пуанкаре [123]. Метод основан на введении величин малых по сравнению с некоторыми данными, так или иначе "возмущающих" те или иные исходные решения. В связи с тем, что в качестве "возмущающих" используются малые величины некоторых параметров, то во многих работах метод возмущений называют методом малого параметра.
Метод малого параметра нашел широкое применение в исследовательской и инженерной практике самых различных областей науки и техники. Применение метода возмущений для решения задач гидродинамики отражено в работе В\н-Дейка [17].
К числу первых работ, связанных с использованием метода малого параметра при решении упругопластической задачи, отнесем работу А.П. Соколова [133], который в первом приближении получил решение задачи о двуосном растяжении тонкой пластины с круговым отверстием при условии пластичности Треска-Сен-Венана.
Развитие метода малого параметра применительно к решению упругопла-стических задач изложено в монографии Д.Д. Ивлева и Л.В. Ершова [58].
Малый параметр, характеризующий геометрию тела, был использован при образовании шейки в образцах [110,131], правки листов [33], кручении конических валов и валов с некруговым сечением [84, 111], при определении распределения напряжений и деформаций в пластинах с некруговым отверстием [68, 81, 83, 91, 92,155,177].
Примеры решения задач пластически неоднородных анизотропных тел со-д-ржатся в работах [3,10, 35-37,59, 93,156-158,172,173-176].
Линеаризация уравнений жесткопластического тела проведена А.Ю. Иш-лкнским [66], Е.Онатом и В.Прагером [110], Д.Д. Ивлевым [54].
Для метода малого параметра встает вопрос о сходимости приближений. При применении метода малого параметра ко многим задачам математики, механики, физики А.Найфе [105] отметил, что: «В соответствии с методом возмущений решение задачи представляется несколькими (обычно двумя) первыми членами возмущенного разложения ».
Л.А. Галин [25] для случая плоской деформации в 1946 году, Г.П. Черепа-н..«в [163] для случая плоского напряженного состояния в 1963 году дали точные решения задачи о двухосном растяжении плоскости с круговым отверстием. Взяв в качестве малого параметра полуразность растягивающих напряжений, отнесенных к пределу пластичности, Д.Д. Ивлев [58] показал, что найденные четыре приближения методом малого параметра для задач Л.А. Галина и Г.П. Черепанова в точности совпадают с соответствующими разложениями точных решений по тому же малому параметру. Схема Д.Д. Ивлева позволяет определить и последующие приближения.
Было показано, что для задачи Л.А. Галина первые два приближения, а для зі дачи Г.П. Черепанова первые четыре приближения дают удовлетворительную картину сходимости к точному решению. Д.Д. Ивлев определил значения пе-
5 ремещений в задачах Л.А. Галина и Г.П. Черепанова. Определением перемещений в задачах Л.А. Галина и др. занимался Н.Н. Остросаблин [112].
Результаты Л.А. Галина нашли обобщение в исследованиях Г.Н. Савина [128] на случай нормальных и касательных усилий, приложенных к контуру кругового отверстия, на случай изгиба в плоскости. Развитие результатов Л.А. Галина дано Б.Д. Анниным в случае экспоненциального условия текучести. А.В.Ковалев и А.Н. Спорыхин [78] дали приближенное решение задачи Галина для упруговязкопластических тел.
Д.Д. Ивлев и Л.В.Ершов [58] рассмотрели случай, когда пластическая зона развивается от некоторой границы и целиком охватывает ее. В рамках такого подхода было получено решение ряда двухмерных и трехмерных задач [3, 4, 7, 2/, 23, 24, 83, 91,92,132,159].
Б.Д. Аннин и Г.П. Черепанов [9] дали решение задачи о всестороннем сжатии плоскости с отверстием. При этом, в отличие от схемы Ивлева-Ершова, решение в упругой области определялось методами функции комплексного переменного. Было показано, что для пластины с эллиптическим отверстием предложенная ими схема и схема Ивлева-Ершова приводит к одному и тому же результату.
Решение задачи о трехосном растяжении упругопластического пространстве', ослабленного сферическим отверстием, в первом приближении дано Т.Д. Сзмыкиной [132]. Изложение некоторых решений упругопластических задач можно найти в монографиях Г.Н. Савина [128] и В.М. Мирсалимова [95].
Малый параметр в теории пластичности вводился различным образом. В частности, А.А. Ильюшин [63] использовал в качестве малого параметра величину обратную модулю объемного сжатия и исследовал нормальные и касательные напряжения при чистом изгибе балки за пределом упругости. Метод возмущений был применен Л.М. Качановым для решения задачи пластического кручения круглых стержней переменного диаметра [70].
Метод малого параметра применительно к задачам теории пластичности развивался в работах А.Ю. Ишлинского [65, 66], В.В. Соколовского [134, 135], Е. Оната [110], В. Прагера [122], Н.М. Матченко [93].
В работе Д.Д. Ивлева и Л.В. Ершова [41] малый параметр характеризует различие между плоским и осесимметричным состоянием.
А.Н. Гузь и его сотрудники [31,32] использовали малый параметр для учета физической нелинейности упругого материала. У Л.А. Толоконникова и его сотрудников [158] малый параметр характеризовал свойства пластического материала, Б.А. Друянова [34-37] — неоднородность пластического материала.
В.Д. Клюшников в работе [72] предложил метод решения упругопластиче-ских задач основанный на разложении по малому параметру нагружения. Метод разложения по малому параметру нагружения рассматривался также в работах [50-53].
Используя схему Ивлева-Ершова, А.Н. Спорыхин и его сотрудники [74-80, 147] получили ряд приближенных решений для задач о растяжении плоскости из упрочняющегося упругопластического материала с круговым, эллиптическим и близким к правильному многоугольнику отверстием, находящимся под действием внутреннего давления.
Ю.М. Марушкей использовала метод возмущений в задаче о двухосном растяжении упругопластического пространства с эллиптическим включением [92] и при рассмотрении упругопластического состояния среды с включением в виде эллиптического цилиндра [91].
Оригинальное развитие метода малого параметра было дано в работах Г.И. Еыковцева и Ю.Д. Цветкова по определению локальной пластической зоны при концентрации напряжений. В работе [16] Г.И. Быковцев и Ю.Д. Цветков методом малого параметра решили задачу упругопластического кручения эллиптического стержня при неполном охвате пластической областью контура поперечного сечения. Ю.Д. Цветков рассмотрел общий подход к решению задачи кручения упругопластического стержня с околокруговым поперечным сечени-
7 ем в случае локального и полного охвата пластической областью контура поперечного сечения стержня [160]. А.А. Алимжанов и Н.С. Мукашев [5,6] применили метод малого параметра к решению задачи упругопластического кручения стержня с гипоциклоидным и овальным поперечным сечением и к решению задачи упругопластического кручения стержня переменного диаметра. В работе [6] было показано, что для стержня овального поперечного сечения три приближения, полученные методом малого параметра, в точности совпадают с тгемя членами разложения точного решения, полученного В.В. Соколовским 1134].
Пластическому кручению анизотропных стержней посвящена работа Г.И. Быковцева [14]. В.В. Дудукаленко и Д.Д. Ивлев рассмотрели кручение анизотропно упрочняющихся жесткопластических призматических стержней. В работе [38] решение проведено при линеаризированном условии пластичности и законе пластического течения, а в работе [39] - в предположении, что линеаризированными являются лишь соотношения ассоциированного закона пластического течения, условие пластичности принималось нелинейным.
Широкое применение метод возмущений нашел в задачах устойчивости деформируемых упругопластических тел, в том числе в задачах горной механика. Выполненные исследования в этом направлении достаточно полно освещены в монографиях [1, 31, 32, 73,140 и др.].
Исследованию ряда задач по упругопластическому деформированию тел посвящены работы С.А. Вульман [22-24], Н.Б. Горбачевой [74], Г.С. Тарасьева [156, 157], А.П. Харченко [159], А.И. Шашкина [148, 149, 164, 165], Ю.Д. Щегловой [167] и ряда других отечественных и зарубежных ученых. Также реше-нгю задач теории пластичности с использованием метода малого параметра посвящены работы: Л.И. Афанасьевой [11, 98-102], A.M. Васильевой [18-21], В.Г. Ефремова [42-46], Т.Л. Захаровой [47-49], Д.В. Ильина [60, 61], А.В. Ковалева [74-80], А.Н. Максимова [85, 86], Л.А. Максимовой [87-89], М.В. Михайловой [96-102], Э.В. Павловой [113, 114], Г.В. Петрова [115], Н.И. Петрова [116], Т.Т.
8 Пономаревой [119-121], Т.И. Рыбаковой [126, 127], Т.А. Санаевой [129,130], А.И. Сумина [141,142], Е.А. Целистовой [161,162] и др.
В настоящей работе рассматривается упругопластическое состояние толстостенных тел, ослабленных отверстием, с учетом давления и сдвигающих усилий.
Целью работы является нахождение решений некоторых новых упруго-пластических задач теории идеальной пластичности связанных с наложением сдвиговых усилий на состояние плоской деформации, определение в этих задачах напряженного и деформированного состояния, границы упругопластиче-сь ой зоны.
Представленные в работе исследования проводились в соответствии с планом научно-исследовательских работ физико-математического факультета Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: семинарах по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Д.Д. Ивлева — г.Чебоксары, ГОУ ВПО ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, 2003 - 2006 гг. итоговых научных конференциях преподавателей ГОУ ВПО ЧГПУ им. И .Я. Яковлева. - г.Чебоксары, 2003 - 2006 гг. - итоговых научных сессиях докторантов, научных сотрудников, аспирантов и соискателей ГОУ ВПО ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. - г.Чебоксары, 2003 - 2006 гг.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [180-187].
Практическая ценность. Полученные в работе результаты позволяют определить и исследовать новый класс задач теории идеальной пластичности важных для практических приложений.
Актуальность темы. Теория пластичности принадлежит к числу фундаментальных дисциплин механики деформируемого твердого тела. Определение
9 напряженного состояния упругопластических тел вблизи полостей принадлежит к числу актуальных в машиностроении, строительной механике, горном деле, расчете элементов конструкций, работающих в условиях предельных нагрузок, механике грунтов и т. д.
Содержание работы
Работа состоит из трех глав.
Первая глава посвящена изучению упругопластического состояния эксцентричной трубы, находящейся под действием внутреннего давления и касательных усилий : т^р0 * О,т^ * 0. Определены компоненты напряжения методом малого параметра в упругой и пластической зонах до второго приближения включительно, а также определена граница упругопластической зоны при со-в (естном действии внутреннего давления, растягивающих на бесконечности в поперечном сечении взаимно перпендикулярных усилий, при наличии касательных, сдвигающих усилий для несжимаемого и сжимаемого материала.
Во второй главе диссертации рассматривается двухосное растяжение пластины с эллиптическим отверстием с учетом продольных сдвигов г(0) _, 0 г(0) = (0) = 0
Получены компоненты напряжения методом малого параметра в упругой и пластической областях в первом приближении, а также определена граница упругопластической зоны. Найдены линеаризованные граничные условия.
В третьей главе рассматривается коническая труба в сферической системе координат, находящаяся под действием касательных усилий.
На защиту выносятся следующие результаты:
Решение упругопластической задачи об эксцентричной трубе, находящейся под действием внутреннего давления и касательного усилия t^J * 0.
Решение упругопластической задачи об эксцентричной трубе, находящейся под действием внутреннего давления и касательного усилия т^ * 0.
10 Решение упругопластическои задачи об эксцентричной трубе из сжимаемого материала, находящейся под действием внутреннего давления и касательного усилия т$ * 0.
Решение задачи о двуосном растяжении пластины с эллиптическим отверстием с учетом продольных сдвигов т^ * 0, т^ = т^ = 0 в пластической области.
Решение задачи о двуосном растяжении пластины с эллиптическим отверстием с учетом продольных сдвигов г^Р * 0, r^ff = Tfo^ = 0 в упругой области.
Определение границы упругопластическои зоны в вышеперечисленных задачах.
Решение задачи о конической трубе, находящейся под действием касательных усилий т^ * 0; T^J * 0 в пластической области. Решение задачи о конической трубе, находящейся под действием каса: тельных усилий т$ * 0 и Тд^} 5й 0 в пластической области.
Основные уравнения и соотношения в упругой области
В работе для определения компонент напряжения в упругой области в нулевом приближении используем: уравнения равновесия (1.1.1) и (1.1.2) соответственно в цилиндрической и сферической системах координат); уравнение несжимаемости индекс «е» показывает, что величина определяется в упругой области; физические уравнения (закон Гука) в любой ортогональной системе координат {а/Зу) имеет вид Формулы Коши, устанавливающие связь между компонентами скорости деформации и составляющими вектора скорости перемещения u, v, w, будут [58] соответственно в цилиндрической и сферической системах координатДля решения задач в упругой зоне в работе используются известные случаи для нахождения напряжений в упругой области [12], предложенные Бицено К Б. и Граммелем Р. Если обозначить напряжения на внешнем контуре упругой зэны через сг?, а на внутреннем контуре через у , то использованы следующие шесть случаев.Приведем решение задачи об упругопластическом состоянии эксцентричной трубы под действием внутреннего давления /?[58]. Пусть радиусы стенок трубы а и b (a b), эксцентриситет- с{ рис.1.1). Уравнение внешнего контура трубы имеет вид где Решение ищется вблизи известного осесимметричного напряженного состояния ] где компоненты напряжения отнесены к величине предела текучести к, компоненты, имеющие размерность длины, отнесены к длине rs, psi = rsi/r . Линеаризованные граничные условия на внутренней поверхности трубы имеют вид Так как внутренний контур и внешние нагрузки на внутренней поверхности трубы фиксированы, то всюду в пластической зоне В первом приближении из условий сопряжения (1.1.9) согласно (1.3.5), (1.3.6) получим а также Так как внешняя поверхность свободна от напряжений, то в граничных условиях (1.1.10) Pv =РТ=0. В первом приближении граничные условия на внешней поверхности трубы согласно (1.3.4), (1.3.6), (1.1.10) примут вид Условия (1.3.9), (1.3.11) позволяют определить согласно (1.2.7) напряжения в /пругой области: Во втором приближении из условий сопряжения (1.1.9) согласно (1.3.5), (1.3.6), (1.3.8), (1.3.12), (1.3.13) получим (/?4-l) приближении согласно (1.1.11), (1.3.6), (1.3.4), (1.3.12), (1.3.13) примут вид Условия (1.3.14), (1.3.16) позволяют определить согласно (1.2.6), (1.2.8), (І.2.9), (1.2.10), (1.2.11) напряжения в упругой области +У Предположим, что на внутренней поверхности трубы действует касатель ное усилие т О (рис. 1.2).
В нулевом приближении будем иметь г(0) 0 (0) _ (0) _ все остальные компоненты тензора напряжении зависят только от р, а на внутренней (1.3.20) добавляется условие Условия (1.3.31), (1.3.33) позволяют определить согласно (1.2.7) напряжения в упругой области: Во втором приближении из условий сопряжения (1.1.9) согласно (1.3.25), (1.3.28), (1.3.30), (1.3.34) получим (/?4-l) ЛЮе _ 2 (1 + cos 2(9), гУ - - 8 2 sin 26 при р-1, (1.3.36) -1)2 а также A s = Граничные условия на внешней поверхности трубы во втором приближении согласно (1.1.11), (1.3.28), (1.3.4), (1.3.34) примут вид гр Условия (1.3.36), (1.3.38) позволяют определить согласно (1.2.6), (1.2.8), Рассмотрим упругопластическое состояние эксцентричной трубы под действием внутреннего давления р и при действии на внутренней поверхности трубы касательного усилия т$ О. Пусть радиусы стенок трубы а и Ъ{а b), эксцентриситет - с (рис. 1.1). Уравнение внешнего контура трубы имеет вид (1.3.1). Справедливы соотношения (1.3.2), (1.3.3), (1.3.4). В нулевом приближении (рис. 1.4) будем иметь ве остальные компоненты тензора напряжений зависят только от р, а на внутренней поверхности трубы к граничному условию добавляется условие (1.4.4) (1.4.5) Согласно (1.4.1) уравнения равновесия в цилиндрической системе координат (1.1.1) и условие полной пластичности (1.1.6) примут вид Решение первого уравнения системы (1.4.4) согласно условию полной пластичности (1.4.5) и граничному условию (1.4.2) в пластической зоне имеет вид [98] В упругой зоне решение второго уравнения системы (1.4.4) определяется из условия несжимаемости (1.2.1), закона Гука (1.2.2) и граничного условия cr =q при р-р (1.4.8) и имеет вид Постоянную Cj определим, удовлетворив (1.4.7) и (1.4.9) условиям сопряжения (1.1.9). Тогда выражения (1.4.9) принимают вид
Эксцентричная труба под действием внутреннего давления и к« сательного усилия
Рассмотрим упругопластическое состояние эксцентричной трубы под действием внутреннего давления р и при действии на внутренней поверхности трубы касательного усилия т$ О. Пусть радиусы стенок трубы а и Ъ{а b), эксцентриситет - с (рис. 1.1). Уравнение внешнего контура трубы имеет вид (1.3.1). Справедливы соотношения (1.3.2), (1.3.3), (1.3.4). В нулевом приближении (рис. 1.4) будем иметь ве остальные компоненты тензора напряжений зависят только от р, а на внутренней поверхности трубы к граничному условию добавляется условие (1.4.4) (1.4.5) Согласно (1.4.1) уравнения равновесия в цилиндрической системе координат (1.1.1) и условие полной пластичности (1.1.6) примут вид Решение первого уравнения системы (1.4.4) согласно условию полной пластичности (1.4.5) и граничному условию (1.4.2) в пластической зоне имеет вид [98] В упругой зоне решение второго уравнения системы (1.4.4) определяется из условия несжимаемости (1.2.1), закона Гука (1.2.2) и граничного условия cr =q при р-р (1.4.8) и имеет вид Постоянную Cj определим, удовлетворив (1.4.7) и (1.4.9) условиям сопряжения (1.1.9). Тогда выражения (1.4.9) принимают вид а величина rsu определяется из трансцендентного уравнения
В рассматриваемой задаче внутренний контур и внешние нагрузки на нем фиксированы, поэтому Определим компоненты напряженного состояния в упругой области. В первом приближении из условий сопряжения решения (1.1.9) согласно (1.4.6), (1.4.7), (1.4.10), (1.4.12) получим а также Во втором приближении из условий сопряжения (1.1.9) согласно (1.4.7), (1.4.10), (1.4.12), (1.4.16) получим Граничные условия на внешней поверхности трубы во втором приближении согласно (1.1 Рассмотрим упругопластическое состояние эксцентричной трубы из сжимаемого материала под действием внутреннего давления р и при действии на внутренней поверхности трубы касательного усилия т$ О. Пусть радиусы стенок трубы а и b(a b), эксцентриситет - с (рис. 1.1). Уравнение внешнего контура трубы имеет вид (1.3.1). Справедливы соотношения (1.3.2), (1.3.3), (1.3.4). В нулевом приближении будем иметь все остальные компоненты тензора напряжений зависят только от р (рис. 1.3). Согласно (1.5.1) уравнения равновесия в цилиндрической системе координат (1.1.1) и условия пластичности (1.1.6) примут вид t Решение второго уравнения системы (1.5.2) удовлетворим граничному ус Щ ловию (1.1.10) и получим Решение первого уравнения системы (1.5.2), согласно условию пластичности (1.5.3) и граничному условию в "шастической зоне имеет вид [98] В рассматриваемой задаче внутренний контур и внешние нагрузки на нем фиксированы, поэтому Определим компоненты напряженного состояния в упругой области. Из условий сопряжения решения (1.1.9) в первом приближении согласно (1.5.5), (1.5.8) получим Граничные условия на внешней поверхности трубы в первом приближении согласно (1.5.5), (1.5.8) и линеаризованным граничным условиям на внешнем контуре трубы в первом приближении (1.1.10) примут вид Условия (1.5.11), (1.5.13) позволяют определить напряжения в упругой области: Определим второе приближение. Из условий сопряжения решения для вто-р -го приближения (1.1.9) согласно (1.5.5), (1.5.7), (1.5.10), (1.5.14) получим Граничные условия на внешней поверхности трубы во втором приближении согласно (1.5.7), (1.5.11),(1.1.11), (1.3.4) примут вид
Предположим, что искомое решение зависит от некоторого параметра 8. Будем искать решение в виде рядов по степеням этого параметра Линеаризация по параметру 8 заключается в разложении всех исходных ссотношении: уравнений равновесия, граничных условий и т.п. в ряды по этому параметру. Далее выделяются члены разложения при одинаковых степенях этого параметра, которые определяют систему уравнений, позволяющую развить метод последовательных приближений, если решения при 8 = 0 являются известными. Уравнения равновесия (1.1.1), (1.1.2) линейны относительно компонент напряжения, поэтому они имеют место для любого приближения. Соотношения связи между компонентами перемещений и деформаций также линейны относительно компонент деформаций и перемещений, поэтому оги сохраняют свой вид для любого приближения. Пусть на границе L заданы нормальные и касательные усилия Запишем граничные условия (2.1.2) через компоненты основной системы координат. Для этого учтем угол поворота напряжений при переносе их на исходную окружность (г = г0). Рассмотрим рис. 2.1. Угол 9Х образован нормалью к контуру L ., в =0,-0 - угол поворота напряжений при переносе их на исходный контур.
О двуосном растяжении пластины с эллиптическим отверстием с учетом продольных сдвигов
Упруго-идеальнопластическое состояние пластины с круговым отверстием при двуосном растяжении в случае плоской деформации рассмотрено Л.А. Галі ;ным [25]. Было показано, что границей пластической области является эллипс, уравнение которого в обозначениях, принятых в [58], можно записать в виде где рх, р2 - усилия на бесконечности, направленные вдоль осей х, у . Здесь и в дальнейшем все величины, имеющие размерность напряжений, отнесем к величине к (пределу текучести на сдвиг), величины, имеющие размерность длины - к величине г5 (радиусу пластической зоны при равномерном р стяжении: 8 = 0). Переходя к полярным координатам р9 по формулам x = pcos0, y = psind, рассматривая величину 8 в качестве малого параметра, из (2.2.1) можно получить где ps = rs /rs , rs - радиус пластической зоны. Разложение (2.2.2) вплоть до четвертого приближения было получено непосредственно методом малого параметра в [58]. Рассмотрим в цилиндрической системе координат рві упругопластическое состояние бесконечной пластины с эллиптическим отверстием. Ось Z направлена перпендикулярно плоскости пластины. В плоскости рв пластина растягивается на бесконечности взаимно перпендикулярными усилиями рх и р2 компоненты тензора напряжений, є у - компоненты скоростей деформации, u,v,w - компоненты скоростей перемещения вдоль осей р,в,г соответ-сгвенно. Решение задачи в упругой и пластической зонах определяется в виде разложения
На контуре отверстия имеет место условие (2.2.4) Пусть на контуре отверстия действует касательное усилие т О, Рассмотрим коническую трубу в пластической области в сферической системе координат (р,6,(р). Вычислим нормальные и касательные усилия, предполагая, что они не зависят от координаты ср. 1. Предполагается, что на внутренней поверхности трубы действует касательное усилие х р] О .Тогда в нулевом приближении будем иметь -0, г = =0. (3.1.1) редположим, что все остальные компоненты тензора напряжений зависят только от в (рис.3.1). Тогда уравнения равновесия (1.1.2) в сферической системе координат с у«іетом условий (3.1.1) примут вид (3.1.6) Подставим последнее выражение во второе уравнение системы (3.1.4). Имеем ) получим значения напряжений в пластической зоне в нулевом приближении (3.1.8) гье C = r0sin#0, (7 =-p при 0 = 0O. 2. Предполагается, что на внутренней поверхности трубы действует усилие т$ 0, тогда в нулевом приближении будем иметь Предположим, что все остальные компоненты тензора напряжений зависят тслько от 0 (рис.3.2). Рассмотрим коническую трубу в пластической области в сферической системе координат (р,в,(р). Вычислим нормальные и касательные усилия, предполагая, что они не зависят от координаты (р. Предполагается, что на внутренней поверхности трубы действуют касательные усилия т д О, т О .Тогда в нулевом приближении будем иметь Предположим, что все остальные компоненты тензора напряжений зависят тслько от в (рис.3.3). Основные результаты, приведенные в диссертации: 1. Исследована упругопластическая задача об эксцентричной трубе, находящейся под действием внутреннего давления при действии касательного усилия т$
О, получены решения до второго приближения. 2. Исследована упругопластическая задача об эксцентричной трубе, находящейся под действием внутреннего давления при действии касательного усилия т О, получены решения до второго приближения. 3. Исследована упругопластическая задача об эксцентричной трубе из сжимаемого материала, находящейся под действием внутреннего давления и касательного усилия т$ О, получены решения до второго приближения. 4. Решена задача о двуосном растяжении пластины с эллиптическим отверстием с учетом продольных сдвигов т 0, т } = т = О в пластической и упругой области. 5. Определены фаницы упругопластических зон в вышеперечисленных задачах. 6. Исследована задача о конической трубе, находящейся под действием касательных усилий т 0; т$ 0 в пластической области. 7. Исследована задача о конической трубе, находящейся под действием касательных усилий т 0 и т } 0 в пластической области.
Коническая труба под действием касательных усилий в пластической области
Основные результаты, приведенные в диссертации: 1. Исследована упругопластическая задача об эксцентричной трубе, находящейся под действием внутреннего давления при действии касательного усилия т$ О, получены решения до второго приближения. 2. Исследована упругопластическая задача об эксцентричной трубе, находящейся под действием внутреннего давления при действии касательного усилия т О, получены решения до второго приближения. 3. Исследована упругопластическая задача об эксцентричной трубе из сжимаемого материала, находящейся под действием внутреннего давления и касательного усилия т$ О, получены решения до второго приближения. 4. Решена задача о двуосном растяжении пластины с эллиптическим отверстием с учетом продольных сдвигов т 0, т } = т = О в пластической и упругой области. 5.
Определены фаницы упругопластических зон в вышеперечисленных задачах. 6. Исследована задача о конической трубе, находящейся под действием касательных усилий т 0; т$ 0 в пластической области. 7. Исследована задача о конической трубе, находящейся под действием касательных усилий т 0 и т } 0 в пластической области. ІЛлимжанов М.Т. Устойчивость равновесия тел и задачи механики горных пород. - Алма-Ата: Наука, 1982. - 269 с. 2.Алимжанов М.Т. Проблемы устойчивости равновесия в задачах геомеханики // Успехи механики. - 1990. - Т. 13, № 3. - С. 21-57. 3Ллимжанов М.Т., Габдулин Б.Ж. Об упругопластическом состоянии неоднородных толстостенных цилиндрических и сферических оболочек // Вести. АН КазССР. - 1987. - № 10. - С. 52-67. 4Ллимжанов М.Т., Естаев Е.К. Упругопластическое состояние плоскости, ослабленной круговым отверстием // Механика деформ. тверд, тела. - 1982.-С. 105-115. 5.Алимжанов М.Т., Мукашев Н.С. Об упругопластическом кручении круглого стержня переменного диаметра // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. - 1990. №3.-С. 72-75. б.Алимжанов М.Т, Мукашев Н.С. К решению задач упругопластического кручения методом малого параметра / Алма-Ата, 1990. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 19.10.90, № 5411-В90. 7.Алимжанов М.Т., Саньков В.К. Упругопластическое состояние эллиптической трубы, находящейся под действием внешнего давления // Дифференциальные уравнения и их приложения - 1981. -С. 16-26. 8.Андреева И.Ю., Медведь Н.А., Спорыхин А.Н. Моделирование отказов цилиндрической оболочки с упруго-вязкопластическим заполнителем при псевом сжатии // Прикладные задачи механики и тепломассообмена в авиастроении: Труды II Всерос. науч.-техн. конф. - Воронеж, 2001. - 4.1 - С.12-18. 9.Аннин Б.Д., Черепанов Г.П. Упруго-пластическая задача. - Новосибирск: Наука, 1983. -238 с. Ю.Арышенский Ю.М. Метод возмущений в контактной задаче плоского пластического деформирования цилиндрической оболочки переменной тол щины из анизотропного металла / Куйбышев, авиац. ин-т. - Куйбышев, 1980. - 7 с. - Деп. в ВИНИТИ 24.12.80, № 5455-80. Н.Афанасьева Л.И. О двуосном растяжении упруго-пластической пластины с круговым отверстием из сжимаемого материала // Известия Инженерно-технологической академии ЧР. Свободный том. - Чебоксары, 1999.-№ 3-4; 2000.- № 1-4; 2001.- № 1-4. - С.121-127. 12.Бицено К.Б., Граммель Р. Техническая динамика. - М.: Гостеоретиздат, 1950.-Т.1. ІЗ.Бронштейн И.Н., Семендяев К.А.
Справочник по математике. - М.: Наука, 1986. - 544 с. 14.Быковцев Г.И. О кручении призматических стержней из анизотропного идеально-пластического материала // Изв. АН СССР, ОТН. Механика и машиностроение. - 1961.-№3.-С. 151-157. 15.Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. - Владивосток: Дальнаука, 1998.-527 с. Іб.Бьїковцев Г.И., Цветков Ю.Д. Применение метода возмущений к теории кручения упругопластических стержней // Прикл. матем. и механика. - 1961. -Т. 45, № 5. - С. 932-939. 17.Ван-Дейк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. -310 с. 18.Васильева A.M., Ивлев Д.Д., Михайлова М.В. О растяжении полосы и бруса переменного прямоугольного поперечного сечения из идеальнопластическо-го материала.- Депонир. В ВИНИТИ 30.11.95 № 3174 - В95. Чувашгоспедин-ститут, Чебоксары. 19.Васильева A.M., Ивлев Д.Д., Михайлова М.В. Проблема теории пластичности: о растяжении прямоугольного идеальнопластического бруса переменного сечения // Тез. Докл. Междун. Научно-технической конференции «Проблемы пластичности в технологии» / Орловский ГТУ, Орел, 1995. 20.Васильева A.M., Ивлев Д.Д. Об идеальнопластическом состоянии полого кругового цилиндра при произвольном возмущении боковой поверхности // Известия ИТА ЧР, № 1(2), 1996, с.29-36 / Чебоксары. 11.Васильева A.M. О растяжении круглого стержня переменного сечения из идеальнопластического материала// Известия ИТА ЧР, № 1(2), 1996, с. 37-40 / Чебоксары. 22.Вульман С.А. О решении осесимметричных упругопластических задач методом малого параметра // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1969. -№3.-С. 164-169. 23.Вульман С.А., Ивлев Д.Д., Семыкина Т.Д. Коническая труба под действием равномерного давления / Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж, 1980. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ 17.12.80, № 5337-80. 24.Вульман С.А., Семыкина Т.Д. Напряженно-деформированное состояние пластины с включением // Прикладные задачи механики сплошных сред. -Воронеж, 1988.-С. 48-51. 25.Галин Л.А. Плоская упругопластическая задача // Прикл. матем. и механика. -1946. - Т. 10, Вып. 3. - С. 367-386. 26.Горский А.В., Горский П.В., Ивлев Д.Д. О соотношениях плоской задачи теории упругопластического тела для неоднородного материала. // Известия ИТА ЧР. - Чебоксары. - 1999. - №№ 3(16), 4(17). - 2000. - №№ 1(18), 2(19), 3(20), 4(21). - 2001. - №№ 1(22), 2(23), 3(24), 4(25). - С. 52-59. 27.Горский А.В., Горский П.В. О соотношениях общей плоской, осесиммет-ричной и сферической задач теории идеальнопластического тела для неоднородного материала // Науч.-информ. вестник докторантов, аспирантов, студентов. - 2003.- №1. - Т.2. - С. 7-15. 28.Горский А.В., Горский П.В. О характеристических соотношениях для напряжений и скоростей перемещений общей плоской, осесимметрической и сферической задач теории идеальной пластичности // Науч.-информ. вестник докторантов, аспирантов, студентов. - 2003.- №1. - Т. 1. — С. 10-20. 9.Гоцев Д.В., Ковалев А.В., Спорыхин А.Н. Локальная неустойчивость пла
