Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Пластическое состояние материала с продольной анизотропией вблизи отверстия 5
1 Напряженное состояние анизотропного пластического материала вблизи кругового отверстия. Первое приближение. 5
2. Напряженное состояние анизотропного пластического материала вблизи эллиптического отверстия . 10
3. Напряженное состояние анизотропного пластического материала вблизи кругового отверстия. Второе приближение. 12
4. Определение частного решения уравнения для функции напряжений в общем случае. 14
5 Компоненты напряжения, обусловленные анизотропией пластического материала. 17
6. Общее выражение напряжений в пластической зоне во втором приближении . 18
7. Взаимодействие напряженных состояний обусловленных анизотропией и возмущением контура отверстия. 20
ГЛАВА 2. Упругопластическое состояние тел с продольной анизотропией ослабленных отверстием . 22
1. Упругопластическое состояние толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления 22
2. Упругопластическая граница в круговой толстостенной трубе из анизотропного пластического материала, находящегося под действием внутреннего давления . 26
3. Упругопластическое состояние толстостенной эллиптической трубы, находящейся под действием внутреннего давления. 29
4. Упругопластическое состояние массива, ослабленного круговым отверстием, находящимся под действием сжимающих усилий . 31
Заключение. 35
Основные результаты и выводы диссертационной работы. 35
- Напряженное состояние анизотропного пластического материала вблизи эллиптического отверстия
- Общее выражение напряжений в пластической зоне во втором приближении
- Упругопластическая граница в круговой толстостенной трубе из анизотропного пластического материала, находящегося под действием внутреннего давления
- Упругопластическое состояние массива, ослабленного круговым отверстием, находящимся под действием сжимающих усилий
Введение к работе
Настоящая работа посвящена учету влияния продольной анизотропии материала на начальное упругопластическое осесимметричное состояние тел. Рассматриваются толстостенные трубы находящиеся под действием внутреннего давления и пространство (случай плоской деформации) ослабленное отверстием и находящееся под действием двуосного сжатия.
Расчет толстостенных труб на прочность представляет большой научный и практический интерес в связи с использованием толстостенных труб в различных областях машиностроения, оборонной промышленности и т.д.
В качестве примера укажем на цилиндры гидравлического пресса, стволов артиллерийских орудий и т.п.
Изучение упругопластического состояния толстостенных труб посвящены многочисленные работы, обзор исследований содержится в монографии А.А. Ильюшина и П.М. Огибалова [5].
Отметим основополагающие исследования Н.М. Беляева и А.К. Синицкого [1], П. Бриджмена [2], М.А. Задояна [5], П.М. Огибалова [7], В.В. Соколовского [8] и др.
Из зарубежных исследователей отметим работы Надай [6], Хилла [10]. Бленда [16], Деффе и Гельбграса [17], Мак-Грегора [18], Моуфанга [19].
В силу различных причин материал трубы может иметь или приобрести анизотропию механических свойств, влияние которой следует учесть. Впервые условие пластичности для идеальнопластического материала было дано Мизесом. Хилл [10] на основе условия пластичности
Мизеса, сформировал условие пластичности анизотропного тела, получившее практическое применение.
Анизотропия может оказать существенное влияние на механическое поведение материала. Известно, что для сильно прокатанных в холодном состоянии латуни предел текучести при растяжении в направлении прокатке может быть на 10% выше, чем для направления, параллельного прокатке [10].
Обширные экспериментальные и теоретические исследования поведения металлов при сложных путях нагружения с учетом влияния анизотропии принадлежат В.Г. Зубчанинову.
Большой вклад в изучение анизотропных свойств пластически деформируемых металлов принадлежит Тульской школе механиков, среди представителей которой отметим Д. Кухаря, А.А. Маркина, И.Н. Матченко, Н.М. Матченко, Л.А. Толоконникова, А.А. Трещева, Н.Д. Тутышкина, В.В. Шевелева, С.А. Яковлева, С.С. Яковлева и др.
Отметим большой вклад в развитие теории пластичности анизотропных сред С.А. Христиановича и Е.И. Шемякина [11,12],[13,14].
В настоящей работе используется метод возмущений или метод малого параметра.
Метод малого параметра ведет свое начало от работ Пуанкаре и нашел приложения в самих разнообразных разделах механики и математики.
Применительно к упругопластическим задачам метод малого параметра получил развитие в работах Д.Д. Ивлева и Л.Л. Ершова [4]. Обзор исследований, выполненных с использованием метода малого параметра содержится в монографии А.Н. Спорыхина и А.И. Шашкина [9].
Отметим, что метод малого параметра широко использовался в работах Г.И. Быковцева, Б.А. Друянова, А.А. Ильюшина, А.Ю. Ишлинского, В.В. Соколовского, Л.А. Толоконникова и мн. др.
Из исследований, непосредственно примыкающих к настоящей работе, отметим исследования Л.А. Шитовой [15], посвященное двуосному растяжению толстостенной плиты из анизотропного упругопластического материала, ослабленного круговым отверстием. Решение получено методом малого параметра, определено первое приближение.
Актуальность темы. Новые результаты, позволяющие расширить представление о характере упругопластического поведения тел и конструкций, с учетом влияния таких факторов, как анизотропия, являются важными и актуальными.
Научная новизна состоит в исследовании наложения влияния поперечной анизотропии на осесимметричное и близкое к нему напряженно-деформированное состояние. Получены результаты по определению изменений напряженно-деформированного состояния, поведения упругопластической границы, вызванное влиянием поперечной анизотропии.
Достоверность. Достоверность обеспечивается использованием апробированных моделей механического поведения тел и математических методов исследования.
Апробация работы. Результаты диссертации и работа в целом докладывались: на семинаре по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Ивлева Д.Д. - г. Чебоксары, ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, 2005-2006 г.г.; на семинаре по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Кулиева В.Д. - г. Москва, МГОУ, 2004-2006 г.г.
Публикации. Основные результаты работы изложены в трех печатных работах.
Структура и объем работы. Работа состоит из введения, двух глав, включающих в себя одиннадцать параграфов, заключения и списка используемой литературы.
Напряженное состояние анизотропного пластического материала вблизи эллиптического отверстия
Рассмотрим анизотропное идеальнопластическое тело, ослабленное круговым отверстием (случай плоской деформации). Условие пластичности примем в виде: А(ах-ау)2 +4Вт2ху+2С(ах-о-у)тху=4к2; A,B,C,k-const (1.1.1) где а а т у компоненты напряжения в декартовой системе координат. Условие пластичности (1.1.1) определяет свойства анизотропного идеальнопластического материала. Коэффициенты А, В, С характеризуют анизотропию материала. Отметим, что величины А,В,С —безразмерные. При А = В = \,С = Осогласно (1.1.1) имеет место изотропный материал. Согласно (1.1.1), анизотропия материала ориентирована в декартовой системе координат х,у. В дальнейшем перейдем к полярной системе координат р, в: x = pcos0, y = psin0, p = jx2+y2, tg0 = — (1.1.2) Связь между напряжениями в декартовой систем координат х,у и напряжениями в полярной системе координат р, в имеет вид a =- -+- -cos20 + r „.sin 20 + 2(ap-o-e)Tpe[(A-B)sin40+Ccos40] = 4 В дальнейшем все величины, имеющие размерность напряжения будем считать безразмерными, отнесенными к величине предела текучести к Положим А = 1 + ад, В = 1 + bS, С = с8\ a,b,c- const (1.1.5) где д - малый параметр. Решение будем искать в виде: o of+8 +52al +д о» + .... (1.1.6) В дальнейшем положим: г$=0 (1.1.7) Припишем компонентам напряжений в пластической зоне индекс «р» наверху, компонентам в упругой зоне - индекс «е» наверху. Из (1.1.4-1.1.7) найдем в исходном нулевом приближении: тр0)р-а =±2 (1.1.8) В первом приближении имеет место 2«)р - о-Г)« - v) + «)Р - )Р)2 L = 0 (1.1.9) где Z = f -ACos40--sin40j Уравнение равновесия в полярной системе координат имеет вид: дап і дт Ре Ор-а =0 Решение неоднородного уравнения (1.1.16) представимо в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.
Частным решением неоднородного уравнения является: Согласно (1.1.17), (1.1.18), (1.1.20), (1.1.21) компоненты пластического анизотропного напряженного состояния вблизи кругового отверстия в первом приближении имеют вид: сг р = — — [7 COS(N/15 In /?)- VT5 sin(Vl5 In o)]cos 4 — - -[7 cos(Vl5 In p)+ 6л/Ї5 sin(Vi5 In/?)] sin 40 +—(a -b)+—sin 40, 8 16 a-b L6p 4= /cos (7Ї5 In p)- VTs sin(Vi5 In pjcos 40 -—[7 cos(Vl5 In p)+ 6л/І5 sin{jlE In /?)]sin 40 - - - cos 40 - - sin 40, (1.1.22) r p = a-b Sp cos(yT5 In pj- sin(yT5 In /?)] sin 40 — cos(yr5 In pj- sin(Vr5 In pjjcos 40 sin 40+—cos 40; 2. Напряженное состояние анизотропного пластического материала вблизи эллиптического отверстия. Рассмотрим анизотропное идеальнопластическое тело, ослабленное отверстием эллиптической формы. Уравнение контура эллиптического отверстия запишем в виде х2 у2 -17Г7 Г+727Г- = 1 (1-2.1) а\1 + еу аг(\-є) Положим = Ц, 0 /, 1 (1.2.2) При є = О согласно (1.2.1) имеет место круговое отверстие радиуса а. В дальнейшем отнесем все величины, имеющие размерность длины к некоторой величине р, под которой впоследствии будем понимать радиус упругопластической зоны в исходном нулевом приближении. Переходя к полярной системе координат, запишем уравнение (1.2.1) в виде В силу линейности уравнений (1.1.14) выражения для напряжений (1.1.22), (1.2.7) суммируются. В первом приближении влияние анизотропии материала и возмущения контура отверстия являются независимыми. Согласно (1.1.22), (1.2.7) пластическое напряженное состояние анизотропного материала вблизи эллиптического отверстия в первом приближении имеет вид Для определения напряжений следует определить частное решение неоднородного уравнения (1.3.9). _J_ 1 "j 3 Ґ21пр + 1 21np + 3 I, p2+p4J 641, p + p2 - f- [cos(2 Vl5 In p) - sin(2 VF5 In p)]+ Щ- [(1 - 2-ЛЇ) cos(2VT5 In p) - (1 + 2-УЇ5) sin(2Vl5 In p)]-—[(1 + л/Ї5) cos(Vl5 In p) + (1 - -Л?) sin(Vl5 In p)] - -[(l-A/l5)cos(Vl51np)-(l + Vl5)sin(-N/l51np)] — 11 + -І- cos80 -±[(1+Vl5)c„s(7rj.„,) + 0-Vi5,sin( .„,)]cos8, - - [(1 - л/Ї5) cos(Vl5 In p) -(1 + Vl5) sin(Vf5 In p)lcos W 3p [- cos(2Vl5 In p) +15 sin(2Vl5 In p)lcos W 32(4 + 15-16)p2L H V J ЪШ L[(i + 3oVl5)cos(2Vl51np)-(15 + 2Vr5)sm(2Vl51np)lcos80 ] 32(4 + 15-16) p4L и J J 1 -i-(2lnp + 3)+ [(l-2Vr5)cos(2Vl51np) 64p 64 15p l a%=(a-b)2 - (1 + 2л/І5) cos(2 VTJ In p)l- 11 [(1 - «Л?) cos(Vl5 In p) - (1 + Vf?) sin(Vf51np)l 8p - 6cos8 -—[(1 - л/Ї5) cos( Vl5 In p) - (1 + л/Ї5) sin(Vl5 In p)]cos W 24/15 [(i + 3Vi5)cos(2Vl5Inp)-(15 + 2Vr5)sin(2Vi51np)lcos80 32(4 + 15-16)p2L И J (1.5.2) (1.5.3) 4-64 4-64 (cos(Vl5 In p) + sin(Vl5 In p) ) 1 „-»p „2 4(4 + 15-16) [cos(2Vl5 In p) +15 sin(2 Vl5 In p)] 4(4 + 15-16)p2 p2+-p(cos(Vf51np) + sin(VT51np))+— Р+— 3 3p\, pj lb cos (2л/Ї5 In p) - sin(2Vl5 In p)]+ sin 86» (1.5.4)
Общее выражение напряжений в пластической зоне во втором приближении
Выражение компонент напряжений во втором приближении, согласно [4], имеет вид "P = CQO + - [(c81 (-63) + 63C82 )cos(V63 In p)+ (- V63C8i + C82 (-63))sin(763 In /?)] cos80 + r" Pi о =С00 + -[(с81(-63) + л/бЗС88 (1.6.1) cos8/9 + cr / = і [8л/бЗ {c82 cos(V63 In /?)- C81 sin(V63 In / )}sin 86 ]+ r P3 H Согласно (1.6.1), (1.5.2), компоненты сг ,тпр1 принимает значения на КОНТуре КруГОВОГО ОТВерСТИЯ ПрИ /7 = 1 (1.6.2) ,p= +icos80 т"Х =Q2smW где W-bf [ —-№) 61-64 Qx={a-bJ З 2л/Ї5 45 З 16-32 (1.6.3) Q2=c 11 v4-32 61J Из граничных условий на контуре кругового отверстия ? =0, г = 0 при/ = 1 Из (1.6.1), (1.6.2) получим С00 + Рх + [с81 (-63) + л/бЗС82 Jcos 86» + й sin W = 0 8 7бЗС82 sin 80 + 02 sin 80 = 0 Из (1.6.5) следует (1.6.4) (1.6.5) с =-р с =Цо+Щ с =-9 -00 -Ч» 81 ,- «1 т п 82 (1.6.6) 631, 8 / " 8-63 Согласно (1.6.1), (1.6.2), (1.6.3), (1.6.6) компоненты напряжения в пластической области во втором приближении полностью определены. 7. Взаимодействие напряженных состояний обусловленных анизотропией и возмущением контура отверстия. Линеаризированное условие пластичности во втором приближении имеет вид r;- 7=\w- i? -Кр -о?)1+ъ2 - %м (1.3.1) где т а Ь лп С лп L = cos 40—sin 40 2 2 (1.3.2) М = (а - b) sin 40 + cos 40 В выражении (1.3.1) в качестве слагаемых входят квадратичные члены (а р -а )2, т ;д2 (1.7.1) Согласно (1.2.8) имеет место 2 а-Ь о- - т 0р = -(a-b)cos40+csin40 г р = cos(Vl5 In р) - sin(7l5 In p) Jsin 40 8/7 1 (L7-2) —— cos(Vf5 Inp)-sin(Vl5 Inp) cos40-4p a-b . .n с лп 4d. . _л sin 40+—cos 40 L sin 20 8 4/7 Из (1.7.2) следует, что величину а -сг вр не содержит параметра /,, характеризующего возмущение контура отверстия. Величина dl входит в выражение х %е : т%2 = [ —- [cos(Vl5 In р) - sin(Vf5 In р) - /?]sin 40 + 4с/ V (L7 3) н cos (л/Ї5 In p) - sin(Vi5 In /7) - /71 cos 40 L sin 20 4/7 L /3 J При возведении в квадрат выражения (1.7.3) появляются смешанные множители, содержащие коэффициенты d/a-b), dxc, (1.7.4) обуславливающие взаимовлияние возмущений напряжений за счет анизотропии и отклонения контура отверстия от кругового.
Линейное независимое наложение возмущений, обусловленных анизотропией и отклонением контура отверстия от кругового во втором и последующих приближениях места не имеетТекущий радиус обозначим г, границу упругопластической зоны в исходном напряженном состоянии обозначим г/. В дальнейшем все величины имеющие размерность длины отнесем к величине Г. г а _ Ъ 3 S S Пластическая зона находится в пределах а р \, (2.1.2) Упругая зона - в пределах \ Р Р, (2.1.2) Компоненты напряжения в первом приближении, согласно (1.1.18) имеют вид = С00 +-[(с41(-15) + -ч/Г5С42)со8(л/Ї51П/?)-н (- Vl5C41 + С42 (-15))sin(Vi5 In р)] cos 40 + -[(с41(-15) + Vl5C42 )cos(Vi5 In р)+ (- Vf5C4I + C42(-15))sin(Vi5 lnp)]-P .._ a-bl .. 1c . лп sin46 + cos46 + —sin 40 2 8 8 о? =Соо +-[(c41(-15) + Vl5C42)cos(Vl51np)+ + (-л/Ї5С41 + C42(-15))sin(Vl5 lnp)]cos4 9+ + -[fe,(-15) + Vl5C42)cos(Vl51np)+ p + (- C4l+C42(-l5))s myi5lnp)]sm40 _ Icos40_ sin40 (1-1.18) 2 8 8 + T% = -[4лЛ1{с42 cos(Vl5 lnp)- C41 sin(VT5 lnp)}sin4 9] + -[4л/Ї5 JC42 cos(Vl5 In/?)- C41 sin(Vl5 \np)}cos46 ] a-b 1 . .л с ЛҐЛ - sin 4в +—cos 40 2 4 4 Из условия p = 0, г; = 0прир = а, (2.1.3) Получим C00 = 0, (2.1.4) C4I [(-15) cos(Vl5 In a) - л/Ї5 sin(Vl5 In «) J+ + C4,k/l5cos(Vl51na)-15sin(Vl51n«) = a, L J 16 (2.1.5) С,, sin(V15 In a) - C4, cos(Vl5 In a) = a 41 42 16-445 C41 [(-15) cos(Vl5 In a) - Vl5 sin(Vl5 In a) J+ + C4, к/Ї5 cos(Vl5 In a) -15 sin(Vl5 In a) = —- a, L J 8 (2.1.6) С,, sm(J\5 In a) - C47 cos(J\5 In or) = a 8-4-15 Из (2.1.4), (2.1.5) найдем 41 c«= (a - b)a 16A лД5со5(л/Ї51па)-158Іп(л/Г51па) -cos (л/Ї51па) 4-15 (2.1.7) W2 (a-b)a 16A H5)cos(Vl51na)-Vl5sin(-v/l51na) 1 sin (л/Ї51па) 4-15 (2.1.8) r ca 41 8Д л/Г5со8(-Л51па)-15зіп(л/Г51па) -cos (Vl51na) 4-15 (2.1.9) g« 42" 8A (-15)cos(VT51na)-VT5sin(Vl51na) 7 sin (VUlnor) V 4-15 (2.1.10) A = (-15)cos(Vnnna)-Vf5sin(Vl5lna:) -s 5cos(-s 51na)-15sin(7l51na) sin(VT51na) -cos(Vl51na) (2.1.11) Согласно (1.1.18), (2.1.7 - 2.1.11) напряженное состояние трубы в пластической зоне в первом приближении полностью определено. На границе пластической зоны при р = 1, из (1.1.18), (2.1.4) имеет место а-Ь cos 40 + г Р 16 C41(-15) + Vl5C42+ + С41(-15) + л/Ї5С42+у sin 40, p = \ (2.1.12) 4л/Ї5С42 a-b sin 40 + 4л/Ї5С42 + cos 40, p = \ В дальнейшем запишем соотношения (2.1.12) в виде а рр=а"4 cos 40 + Ц sin 40 т ,=а" cos40 + &4m sin 40, р = \ где (2.1.13) a\ =C41(-15) + Vl5C42+ Ъ\ =C41(-15) + Vf5C42+ о (2.1.14) al =4Vl5C42+ b ; =4Vl5C42 а-Ь Внешняя часть трубы свободна от усилий т ;=т ;=0 при P = J3 (2.1.15) На границе пластической зоны компоненты напряжения ср, т р равны между собой о-;р= , г;р=г;епри/7=і (2.1.16) Из условий (2.1.14), (2.1.15), согласно (2.1.12) определяются компоненты напряжения в упругой области. В рассматриваемом случае имеют место формулы раздела (VI) и (VIII) приведенных в монографии [4]. Получим = {ф-4/?2 + р- ]р2 +4[з-4/?2 - р ]р-6 + + 2[з-4/Г2 -/Г8] 4 +б[з-4/Г2 -Р ]р-4} «cos40 + 6;sin40)+-L{(-18+16/?2 + 2/Г8)/?2 + (2.1.17) 2N -6-2/Г8 + 12/Г2]/ + 6 +6 J3S-16 J32]p-6 + 18 -12/3-2 - 6/3 ]p 4 }(- sin AG + 64mcos 40) 2N = (4 3 + 4 - +4(-5 + 4 + + + б[- 5 + Afi-1 + /Г8 ]p4 +2[-3 + 4/Г2 - p% ]p-4 } « cos 46» + 6; sin 46»)+—{(18 -16p2 - 2/Г8 )p2 + + [-12 + 16/?2 -брг]р-6 + [30-36/Г2 +бр ]р4 + + [- 6 + 4/Г2 + 2p8 ]p-4 J(- sin 40 + 64wcos 40) (2.1.18) + 4- 5 + А/З 1 + J3 s]p4 + ф - 2J3 2 + р%]р- } (а4" sin 40 - Ъ; cos 46») + — {(18 -1 б/?2 - 2/Г8 )рг + (2.1.19) 10-16у?2 +6у?8 Jo 6 + [20 - 24 /Г2 + 4/Г8 Jo4 + 12 - 8/Г2 - 4/?8 ]р 4 j«cos 46» + 6;sin 49) где JV = 30-160r2+/?z) + (y2 +/П (2.1.20
Упругопластическая граница в круговой толстостенной трубе из анизотропного пластического материала, находящегося под действием внутреннего давления
Граница упругопластической зоны ps представляется в виде ряда А =1 + ф; + S2P: +...+Snpf (2.2.1) Условия сопряжения компонентов напряжения ав в первом приближении имеют вид [4] ? + P s = е + P s ПРИ р = 1 (2.2.2) dp dp Соотношения (2.2.2) запишем в виде Pl dof , dof» Р dp dp (2.2.3) Компоненты напряжения в пластической области в нулевом исходном состоянии имеют вид а("№=-р+2\п(р/а) (2.2.4) erf =-р + 2(1+1п(р/а)) Компоненты напряжения в упругой области в нулевом исходном состоянии имеют вид U2 cr(0)e = J_ _2_ p2+p\ (2.2.5) Из условий сопряжения of = of, a« = тГ при p = 1 (2.2.6) Следует трансцендентное уравнение для определения радиуса пластической зоны (/? + 21па-1)/?2+1 = (2.2.7) где а Ь Из (2.2.4), (2.2.5) следует ЛТ 0)Р Jcr(Oe —— = 2, —в— = -2 при /7 = 1 (2.2.8) dp dp Из (2.2.3), (2.2.8) следует (2.2.9) ,. / - е „ Р\ Из (1.1.18), (2.1.14) следует о-;р = (с41 (-15) + л/Ї5С42 )cos 40 + (с41 (-15) + л/Ї5С42 )sin 46» (2.2.10) а Ь лп C лп cos40—sin40, /7 = 1 16 8 где C41,C42,C41,C42 определены согласно (2.1.7-2.1.11). Согласно (2.1.17), (2.2.9), (2.2.10), получим р г = — {б8 + 32 2 + 32/Г2 + 2/?8 - 2/Г8 ](л4" cos 46» + Ъ\ sin 46»)+ (2.2.11) 30 - 32у?-2 - 4/?8 - 4/Г8 \- a4"sin 40 + 64"cos 40) С41 (-15) + Vl5C42 ]cos 40 - [с4, (-15) + л/І5С42 ]sin 40 + -cos 40+—sin 40 a-b COS40 + 8 где al,bl,a",b определены согласно (2.1.14), величина TV определена согласно (2.1.20). Выражение (2.2.11) перепишем в виде р[ = Г cos 40+ S sin 40 (2.2.12) где Тх = — 68 + 32/?2 + 32/Г2 + 2/?8 - 2/Г8 ] + + [ЗО - 32/Г2 - 4J38 - 4 -8]&;--[c41(-15) + VT5C42]+ 5, = — 68 + 32,02 + 32/Г2 + 2/Г - 2/Г8]&; -- [ЗО - 32,02 - 4ytf8 - 4уГ8] --[с4І(-15) + л/Ї5С4 +ї (2.2.13) Обозначим #41/ = -, А =л/гі2+5і2 (2.2.14) Уравнение границы пластической зоны (2.2.11), (2.2.12) согласно (2.2.14) можно записать в виде /?;=Л cos 4(0-v) (2.2.15) рис. 1 На рис.1 показан вид границы упругопластической зоны в толстостенной трубе, находящейся под действием внутреннего давления Согласно (2.2.15), выход пластической зоны на внешнюю поверхность трубы достигается в четырех равноудаленных точках, соответствующих максимуму функции (2.2.15). 3.
Упругопластическое состояние толстостенной эллиптической трубы, находящейся под действием внутреннего давления. Уравнения внешней и внутренней границ эллипса представим в виде (2.3.1) p = l + Sd2cos20 р = a(l + Sdl cos 26) Из общего решения [4] и граничных условий ex, +adl -cos20 = 0, т рв + -(af)p -ofp)sin20 = О dp Р (2.3.2) следует ,Р 2dxa л/3 sin л/3 ln -cos 73 ln \ а) \ а) cos 26» Гв- J SL VJsinfVsin l-cosfVsin cos (2.3.3) ,р 4 « Р cos л/3 In— sin20 В упругой области, исходя из общего решения [4] и граничных условий, найдем da10 +d2 — cos20 = 0, т% + 2 /2(ег 0)е o )sm20 = О dp (2.3.4) получим т;=——- rid2j3 (І-/?2)2 -Jbdxa 1-/П 2/7 (1 + 2/?2) + 3/?4- _2/?2(2 + /?2)- (2 + /?2+/Ґ) + /?2(1 + 3/?2) 2(1 + /?2+2/?4)Д, sinV31n ] + cos л/3 In— or + dxa (2 + / )+3/ -2(1-2/72).1 P J V cos 20, 2/3 (I-/?2)2 (l + 2/?2) + 3/?4- -6p + dxa \-f (2 + p2 + p ) + /32(l + 3{32)-L-2Q + /32)р2Щ ЪЫ л/31п— cos 20, a (2 + )+3 - -6/7 P {\ + 2p2)-3p \-2p2+J32V. + p2)±j P P + (2.3.5) yf3dxa i-A2L (2 + /?2+/?4)-/?2(l + 3/?2)-L j2\ „2 , n . o2 , о «4N 1 -(3 + /7 +(1 + /?2+2/Г) sin V31n— + dxa ?2 1 о _2 P4 (2 + 2/?2)-3/?2-V-3/?2+(l + 2/?2)-V /3 J cos v3 In— 4 or У sin 26». Из (2.2.4), (2.3.5) получим d7 . 24bdxa_J i tJ\ V3In -sin 33+- „2 P -1 (/?2+l) a p =2 + d,a cos 26». cos v31n (2.3.6) Выражения компонент напряжения для эллиптической трубы из анизотропного пластического материала получается суммированием компонент напряжений (1.1.18) С учетом (2.1.7-2.1.11) и (2.3.3), а также компонент напряжений (2.1.17-2.1.19) и (2.3.5). Для границы упругопластической зоны согласно (2.2.11), (2.3.6) будем иметь p s = — б8 + 32 2 + 32/Г2 +2/3 -2/3-8\a;cos40 + blsm40)+ 30-32/Г2 -4p% -4p- X-a"s\vi49 + bm4Cos49) C41 (-15) + Vl5C42 ]cos 46» - [c41 (-15) + Vi5C42 ]sin 40 + cos 20. а-Ъ лп с . ._ 2 2 + cos 40+-sin 40+ - -— 16 8 p2-\ л/31п a . (/?2+i) ( + dla 2—cos d2 2 bdxa . ( rr P —T+—., sin V31n— Ръ p2-\ I a (2.3.7) где a\,b\,a",b" определенны согласно (2.1.14), величина N согласно (2.1.20), величины С41, С42, С41, С42, согласно (2.1.7-2.1.11).
Упругопластическое состояние массива, ослабленного круговым отверстием, находящимся под действием сжимающих усилий
Рассмотрим плоскость, ослабленную отверстием радиуса а, свободную от напряжений, сжатую на бесконечности усилиями рх и р2 вдоль осей х,у. Граничные условия имеют вид СТ(0)Р =Г(0)Р =0? =Т,Р =0 при р = 1 (2.4.1) a"e=q-Scos20 cr;e=q + Scos20 (2.4.2) Исходное нулевое приближение будет иметь вид На контуре отверстия /? = 1 напряжения сг 0)р = 0, сг 0)р = -2, откуда 7(0)Р_О.(0)Р=:2 (2.4.3) В упругой зоне У 2 0 " 2 Трв " Р Р (2.4.4) Согласно (2.4.3), (1.1.9) уравнение для определения компонент напряжения в первом приближении примут вид dp р 80 р дт ;% 1да \2т ;в_о (2.4.5) др р дв р ( -& ) +L = 0 откуда о-"5 =- - -cos4 9--csin40 А 2 8 8 ст? =+ --cos4O + -sm40 (2.4.6) ві 2 8 8 r p =+Z isin4 - cos4 м 2 4 4 Общее решение в пластической области первом приближении, согласно [4] и (2.4.6), запишется в виде О"Р = соо +-[(c41(-15) + Vl5C42)cos(Vl51np)+(-Vl5C41 +C42(-15))sin(Vi51np)] cos 40 + - f(C41 (-15) + л/Ї5С42 )COS(A/15 In /?)+ (- л/Ї5С41 + C42 (-15))зіп(л/Ї5 In /?)] / sin 40 cos 40 sin 40 2 8 8 0 P =Coo +- [(QI("1 5) + 15C42)cos(Vl5 In /?)+(- л/Ї5С41 +C42(-15))sin( /l5 lnp)] P (2.4.7) cos 40 + - [(c41 (-15) + VT5C42 )cos(-7l5 In p)+ (- J\54l + C42 (-15))зіп(л/Ї5 In p)\ sin 40 + cos 40 + -sin 40 2 8 8 х рв = - [4-Я5 {c42 cos( /i5 In /?)- C41 sin(Vl5 In /?)}sin 40] + -[4 /15( 42 cos(Vl51n/?)-C4I ( /7) 034 + - -sin40--cos40 где C41,C42,C4,,C42 определяются согласно (2.1.7-2.1.11). В упругой зоне выражение для напряжений (VI) имеют вид л»-\ 2 + К cos 40 + bl sin 40), e = f 6 _4 2 П V/7 P « cos40 + Z 4" sin 46»), (2.4.8) т =[-у+у\а: М-Ь; cos40), В упругой зоне выражение для напряжений (VIII) имеют вид СГР=\ 6 4 \Р Р Оа = 3 3 л ( а" cos 40 + 6; sin 46»), 3 1\ 6+-4 К P P (- cos 40+ 6; sin 40), / (2.4.9) Г = ҐЗ 2 1 - --5-« cos40 + 64m sin40), ,P P где a",bl,a" ,b" имеют вид вполне аналогичный (2.1.14), с переменой знака у величин а,Ь,с. Уравнение границы упругопластической зоны будет иметь вид а\ +2 +15С41 -7Г5С42 -Р 16 cos 40 + Ps = (2.4.10) sin 40 б;+2&;+15с41-лЯ5с42 где а\,Ъ\,а1 ,b" ,С41,СА2,С41,СА2 определяются согласно (2.1.14), (2.1.7-2.1.10) с переменой знака у величин а,Ъ,с. Обозначим #4// = -, p2=jT22+S: (2.4.11) где Т2 = а"4 + 2а:+15С41 - Vl5C42 -- 16 s,2 = 6;+2 ;+i5c41-Vi5c, (2.4.11) Согласно (4.2.11) выражение границы пластической зоны (2.4.10) принимает вид P:=p2cos(4(e-v)) (2.4.12) На рис.2 показан вид границы упругопластической зоны анизотропного массива, ослабленном круговой полостью, находящимся под действием сжимающих усилий. У Р2 рис.2 Заключение. Основные результаты и выводы диссертационной работы. В двух приближениях определено и исследовано пластическое напряженное состояние вблизи кругового и возмущенного (эллиптического) контура отверстия. Определены изменения напряженного состояния, вызванные свойствами анизотропии материала. Установлено, что во втором и последующих приближениях не происходит суперпозиции возмущений, вызванных анизотропией материала и возмущением контура отверстия. Линейное независимое наложение возмущений, обусловленных анизотропией и отклонением контура отверстия от кругового во втором и последующих приближениях места не имеет. Определено упругопластическое напряженное состояние толстостенной трубы из анизотропного материала. Определена граница разделяющая пластическую и упругую зоны материала.
Показано, что в толстостенной трубе из анизотропного материала выход пластической зоны на внешнюю сторону трубы происходит в четырех равноудаленных точках (ушкообразование). Определено упругопластическое состояние толстостенной эллиптической трубы из анизотропного пластического материала, находящегося под действием внутреннего давления. Определено упругопластическое состояние массива, ослабленного круговым отверстием из анизотропного пластического материала, находящегося под действием сжимающих усилий. Литература 1. Беляев Н.М., Синицкий А.К. Напряжения и деформации в толстостенных цилиндрах, Изв. АН СССР, ОТН, 2,4,6, 1938. 2. Бриджмен П. Исследование больших пластических деформаций и разрывов, ИЛ, М., 1955. 3. Задоян М.А. Пространственные задачи теории пластичности, М., Наука, 1992. 4. Ивлев Д.Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упругопластического тела, М., Наука, 1978. 5. РІльюшин А.А., Огибалов П.М. Упругопластические деформации полых цилиндров, Изд-во МГУ, 1960. 6. Надай. Пластичность и разрушение твердых тел, ИЛ, М., 1954. 7. Огибалов П.М. Задача об упругопластической деформации толстостенной трубы от внутреннего давления и осевой силы, с учетом сжимаемости материала, Изв. РАН, №23, 1952. 8. Соколовский В.В. Теория пластичности, М., Высш. Школа, 1969. 9. Спорыхин А.Н., Шашкин А.И. Устойчивость равновесие пространственных тел и задачи механики горных пород, М., Физматлит, 2004. 10. Хилл Р. Математическая теория пластичности, Гостехтеоретиздат, М., 1956. 11. Мизес Р. Механика твердых тел в пластически деформированном состоянии, Теория пластичности. Сб. пер. - М.: ИЛ, 1948. - С. 57- 69 12. Христианович С.А., Шемякин Е.И. К теории идеальной пластичности МТТ,№5, 1967. 13. Христианович С.А., Шемякин Е.И. О плоской деформации пластического материала при сложном нагружении, МТТ, №5, 1969. 14. Шемякин Е.И. Синтетическая теория прочности, ч.І, Физ. Мезомеханика, т.2, №6, 1999. 15. Шемякин Е.И. Анизотропия пластического состояния. Сб. Численные методы сплошной среды, Новосибирск, СО АН СССР, ВЦ, т.4, №4, 1973. 16. Шитова Л.А. О плоской задаче теории анизотропных упругопластических сред. ЧТУ, Чебоксары, Деп. в ВИНИТИ, №3749-В90 от 3.07.90. 17. Кулиев В.Д. Сингулярные краевые задачи, Москва, Физматлит, 2005 18. Ивлев Д.Д., Ишлинский АЛО. Математическая теория пластичности, Москва, Физматлит, 2001 19. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред, Москва, Физматлит ,2002 20. Бабешко М. Е., Шевченко Ю. Н. О неупругой несжимаемости анизотропного материала, Прикладная механика т. 41, 2005, №3. 21. Савешников А.Г. Лекции по математической физике, МГУ, 2004 22. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, МГУ, 2004 23. Горшков А.Г. Механика слоистых вязкоупругопластических элементов конструкций, Физматлит, 2005 24. Александров К.С. Анизотропия упругих свойств минералов и горных пород, РАН. Сибирское отделение, Новосибирск, 2000 25. Чумаченко Е.Н.,Смирнов О.М., Цепин М.А. СВЕРХПЛАСТИЧНОСТЬ: Материалы, Теория, Технологии, Едиториал УРСС, 2005 26. Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Тарлаковский Д.В. Теория упругости и пластичности, Москва, Физматлит, 2002 27. Саргсян А.Е. Сопротивление материалов: теории упругости и пластичности, Москва, Высшая школа, 2002 28. Геогджаев В. О. Сжатие и волочение пластической ортотропной полосы, Инженерный сборник. 1960. Т. XXIX с. 80-91. 29. Победря Б.Е. Деформационная теория пластичности анизотропных сред, Прикл. математика и механика. - 1984. - 48, - № 4. - С. 29 - 37. 30. Соколов А.П. Об упругопластическом состоянии пластинки, Докл. АН СССР, 1948, т. 10, №1 31. Онат Е., Прагер В. Образование шейки при пластическом течении ф растягиваемого плоского образца, В сборнике переводов «Механика», 1955, % №4 (32) 32. Галин Л.А. Плоская упругопластическая задача, Прикладная математика и механика, 1946, т. 10, вып. 7 33. Черепанов Г.П. Об одном методе решения упругопластической задачи, Прикладная математика и механика, 1963, т. 27, вып. 3. 34. Ильюшин А.А. Нормальные и касательные напряжения при чистом изгибе балки за пределом упругости и аналогия с задачей об изгибе плит, Инженерный сборник, 1954, т. 19. 35. Bland D.R. Elastoplastic thick-walled tubes of work-hardening material subject to internal and external pressures and to temperature gradients. I Mech. and phys solids, 1956,4, №4. 36. Deffet L., Gelbgras J. Le comportement des tubes a parois epaisses soumis a des pressions elevecs. Rev. univers menes, 1953, 9, №10. 37. Mac-Gregor The plastic Flow of thick-walled Tubes with large strains. Journ of Applied Physics, Vol, 19, March. No. 3, 1948. 38. Moufang R. Das plastische Verhalten von dunn wandigen Rohren unter statischen Innerdruck. ZAMM Bd.20,1940.
