Содержание к диссертации
Введение
Раздел I. Векторные и скалярные свойства анизотропных сред. 14
Глава 1. Классификация анизотропных сред по реакции на воздействие гидростатического давления . 14
1.1. Напряженное состояние сплошного тела. 15
1.2. Закон Гука. 17
1.2.1. Тензорная форма записи закона Гука (триклинная сингония). 17
1.2.2. Матричная форма записи обобщенного закона Гука (триклинная сингония) (шестимерное векторное пространство). 17
1.3. Воздействие гидростатического давления на упруго де формируемые среды. 22
1.3.1. Деформирование изотропного материала гидростати ческим давлением. 22
1.3.2. Деформирование гидростатическим давлением материала с триклинным типом сингонии. 23
1.4. Выводы по первой главе. 29
Глава 2. Аффинные объемно-изотропные пространства в теории упругости анизотропных сред 30
2.1. Трансверсально-изотропная среда. 3 0
2.1.1. Представление трансверсально-изотропного материала в аффинных пространствах. 31
2.1.2. Влияние действия среднего давления на деформирование трансверсально-изотропного материала в аффинных пространствах. 33
2.1.3. Гипотеза о квазинесжимаемости трансверсально-изотропного материала в объемно-изотропных аффинных пространствах. 37
2.2. Ортотропная среда. 38
2.2.1. Представление ортотропного материала в аффинных пространствах. 39
2.2.2. Энергия изменения объема и формы ортотропного материала в объемно-изотропном аффинном пространстве . 40
2.2.3. Ортотропный материал не чувствительный в аффинном пространстве к действию виртуального гидростатического давления. 45
2.3. Триклинная сингония. 47
2.3.1. Представление триклинного материала в аффинных пространствах. , 48
2.3.2. Энергия изменения объема и формы триклинного материала в объемно-изотропном аффинном пространстве. 50
2.3.3. Триклинный материал не чувствительный в аффинном пространстве к действию виртуального гидростатического давления. 55
2.4. Выводы по второй главе 57
Глава 3. Собственные состояния анизотропных сред в объемно- изотропных аффинных пространствах . 59
3.1. Матричная запись обобщенного закона Гука. 62
3.2. Шестимерное пространство собственных векторов (собственных упругих состояний). 63
3.2.1. Изотропия. 66
3.2.2. Гексагональная сингония (трансверсальная изотропия). 68
3.2.3. Ромбическая сингония (ортотропия). 69
3.2.4. Моноклинная сингония. 70
3.2.5. Триклинная сингония. 72
3.3. Пятимерные объемно-изотропные аффинные пространства собственных упругих состояний виртуальной энергии формоиз менения анизотропных материалов. 72
3.3.1. Изотропия. 73
3.3.2. Гексагональная сингония. 78
3.3.3. Ромбическая сингония (ортотропное тело). 80
3.3.4. Моноклинная сингония. 82
3.3.5. Триклинная сингония. 84
3.4. Выводы по третьей главе. 86
Глава 4. Генезис упругопластических свойств . 87
4.1. Изотропная среда. 87
4.1.1. Собственные упругие состояния изотропной среды в пространстве главных напряжений. 87
4.1.2. Собственные пластические состояния изотропного тела. 88
4.1.3. Неполная и полная пластичность. 91
4.1.3.1. Идеально связная среда. 91
4.1.3.2. Среда с трением и сцеплением. 94
4.2. Ребро пластичности. 94
4.3. Ассоциированный закон пластического течения. 96
4.4. Условия предельных состояний анизотропных сред в объемно-изотропных аффинных пространствах. 96
4.4.1. Трансверсально-изотропная среда. 99
4.4.2. Ортотропная среда. 101
4.4.3. Триклинная сингония. 103
4.5. К построению теории малых упругопластических деформаций. 105
4.5.1. Деформационная теория пластичности. 105
4.5.2. Теория пластического течения с упрочнением (разупрочнением). 111
4.6. О неоднозначности условия полной пластичности анизотропных сред. 112
4.7. О построении определяющих соотношений разносопротивляющихся сред. 113
4.7.1. Изотропная среда, 114
4.7.2. Анизотропная среда. 115
4.8. Выводы по четвертой главе. 116
Раздел II. Вариант построения теории идеальной пластичности анизотропных сред. 118
Глава 5. Идеально-пластичные анизотропные среды . 118
5.1. Состояние вопроса и задачи исследования. 118
5.1.1. Условия предельных состояний анизотропных сред. 118
5.2. Основные соотношения. 131
5.2.1. Квадратичное условие пластичности. 131
5.2.2. Теорема о множественности представлений анизотропного жесткопластического материала в аффинных пространствах. 132
5.2.3. Гипотеза о квазинесжимаемости пластического течения анизотропного материала. 134
5.3. Обобщенное пластическое кручение анизотропной среды. 136
5.4. Плоская деформация моноклинной среды. 13 7
5.5. Основные уравнения теории идеальной пластичности орто-тропных материалов (квадратичное условие пластичности). 140
5.5.1. Модификация Мизеса-Хилла. 142
5.5.2. Модификация Толоконникова - Матченко. 144
5.6. Теорема о множественности представлений ортотропного жесткопластического материала в аффинных пространствах. 147
5.7. Гипотеза о квазинесжимаемости пластического течения ортотропного материала. 150
5.8. Обобщение закона пластического течения А.Ю. Ишлинского на ортотропные среды. 153
5.9. Плоская деформация. 156
5.9.1. Основные соотношения теории плоской деформации ортотропного материала. 157
5.9.2. Вариант соотношений плоской задачи. 160
5.9.3. Задача Прандтля. 164
5.9.4. Сжатие полосы слабошероховатыми плитами. 166
5.9.5. Сжатие полосы вполне шероховатыми плитами. 171
5.9.6. Сжатие короткой полосы и сжатие полосы штампом. 176
5.10. Предельные задачи несущей способности оснований 180
5.10.1. Минимальное давление. 180
5.10.2. Максимальное давление 182
5.10.3. Устойчивость анизотропных откосов. 183
5.11. Выводы по пятой главе. , 184
Глава 6. Основные уравнения осесимметричной задачи теории идеальной пластичности трансверсально-изотропной среды. 185
6.1. Общие соотношения. 185
6.2. Моделирующая среда. Обобщенные напряжения и скорости пластических деформаций. Изотропное изображающее пространство. 191
6.3. Формулировка условия полной пластичности в изотропном изображающем пространстве. 192
6.4. Уравнения характеристик и соотношений вдоль них. 199
6.5. Решение частных задач осесимметричного пластического течения. 201
6.5.1. Истечение ортотропного материала из цилиндрической втулки. 202
6.5.2. Задача Р. Хилла. 203
6.5.3. Вдавливание круглого штампа с плоским основание в трансверсально-изотропное полупространство. 205
6.6. Выводы по шестой главе. 208
Глава 7. Экспериментальная проверка закона пластического те
чения. 209
7.1. Анизотропия механических характеристик прокатных материалов (общее состояние проблемы). 209
7.2. Экспериментальное определение характеристик пластической анизотропии листового материала. 216 7.2.1. Методика экспериментального определение характеристик пластической анизотропии в листовых прокатных металлах. 216
7.3. Вычисление характеристик пластичности. 220
7.4. Экспериментальная проверка гипотезы о несжимаемости пластического течения. 226
7.5. Определение компонент преобразующего тензора. 227
7.6. Выводы по седьмой главе. 228
8. Выводы по диссертации. 229
9. Список литературы.
- Матричная форма записи обобщенного закона Гука (триклинная сингония) (шестимерное векторное пространство).
- Энергия изменения объема и формы ортотропного материала в объемно-изотропном аффинном пространстве
- Гексагональная сингония (трансверсальная изотропия).
- Условия предельных состояний анизотропных сред в объемно-изотропных аффинных пространствах.
Введение к работе
Рассматривая многообразие конструкционных материалов, можно заметить, что подавляющее большинство из них проявляют анизотропию механических характеристик.
Разработка формализованных подходов к построению определяющих соотношений для таких материалов является актуальной задачей.
Таким образом, далее будем рассматривать материалы, которые в не-деформированном состоянии обладают некоторой симметрией структуры. Изотропные материалы являются частным случаем анизотропных материалов, проявляющих полную симметрию свойств.
Свойства симметрии играют фундаментальную роль в описании механических свойств анизотропных материалов. Сводку основных данных можно найти в книге Дж. Ная [228]. В этой книге даны подробные ссылки на работы, посвященные описанию симметрии свойств.
При описании симметрии сплошной среды будем основываться на классических работах А.В. Шубникова [311, 312], Ю.И. Сиротина [264, 265], А. Грина и Дж. Адкинса [60], Э. Спенсера [267, 343-346], В.В. Лохина [168-170] и других.
Построению общей теории описания полиномиальных свойств компонент тензоров и векторов скалярных инвариантов относительно конечных групп преобразований, характеризующих симметрию анизотропного материала, посвящено значительное количество публикаций. Например, построение целого рационального базиса для текстур и кристаллических классов приводится в работах В. Деринга [323], Г. Смита, Р. Ривлина и А. Пипкина [361-364], Ю. Сиротина [268-271].
Построению скаляров и тензоров с заданной симметрией можно найти в работах Г. Смита, Р. Ривлина и А. Пипкина [339-341], А. Шубникова [311, 312], Ю.Сиротина [262, 264], в книге С. Ёагавантама и Т. Венкатурайуду [14].
Например, если тензоры, являющиеся функциями тензорных аргументов, относятся к тензорам второго ранга, то функциональные связи между
ними приводят к функциональным соотношениям между квадратичными матрицами и поэтому основные результаты сводятся к формуле Гамильтона -Кэли и к ее обобщению на случай нескольких матричных аргументов [288,373-376].
Вопросам построения нелинейных тензорных функций от нескольких тензорных аргументов посвящена статья Л. Седова и В. Лохина [170].
Наиболее важным физическим принципом, положенным в основу изучения симметрии свойств, является принцип Неймана [228]. В соответствии с этим принципом, «элементы симметрии любого физического свойства кристалла включают в себя все элементы симметрии точечной группы (кристаллографического класса) этого кристалла, или точечная группа симметрии кристалла есть подгруппа симметрии любого его физического свойства».
Проблемам симметрии упругих свойств анизотропных материалов и структуры закона Гука посвящены труды П. Бехтерева [20], Н.Г. Ченцова [299], С.Г. Лехницкого [162], Е.К. Ашкенази [13] и других авторов.
Общая теория определяющих соотношений механики сплошных сред предложена в работах А.А. Ильюшина [105, 108], Л.И. Седова [261], В.В. Новожилова [230], К. Трусдела [293],А. Грина и Дж. Адкинса [64], В.Н. Кукуд-жанова, К. Сантойя [159], И.Г. Терегулова [281], В.А. Пальмова [242], А.С. Кравчука [148], А.А. Маркина [183], В.И. Левитаса [166], Н.Г. Бураго [28], Е.З. Короля [143] и других авторов.
Имеются многочисленные работы, в которых рассматриваются определяющие соотношения и постановки краевых задач в нелинейно-упругих и упругопластических анизотропных средах: П.П. Петрищев [244], И.И. Голь-денблат [52], В.А. Ломакин [171, 172], P.M. Мансуров [182], Б.И. Ковальчук [136-137], Н.Б. Алфутова [6, 7], А.А. Ильюшин [113, 117], А.С.Кравчук [147], Б.Е. Победря [246-249], А.А. Маркин и МЛО. Соколова [184] и другие.
Основной проблемой при построении определяющих соотношений является выбор базиса, инвариантного по отношению к точечной группе
симметрии, характеризующей анизотропный материал. Фундаментальных идей в этом направлении не так уж много.
Изучение групп ортогональных преобразований ведется с целью построения целых рациональных базисов полиномиальных инвариантов, образованных компонентами тензоров и векторов. Для текстур и различных классов кристаллов построение таких базисов приведено в работах Э. Спенсера [361-364], Ю.И. Сиротина [273-276], А. Грина и Дж. Адкинса [64], В.В. Лохина и Л.И. Седова [178] и др.
Группы симметрии свойств анизотропного материала могут быть заданы перечислением образующих их ортогональных преобразований [64, 312, 361, 362], или заданием тензорного базиса, инвариантного относительно преобразований групп [38, 176, 247, 272].
В работах [176, 279. 293] для различных кристаллографических систем указаны порождающие элементы групп ортогональных преобразований, характеризующих симметрию свойств среды.
В монографии А. Грина и Дж. Адкинса [64], исходя из предположения, что функция энергии деформации является инвариантной по отношению к точечной группе характеризующей симметрию, для различных кристаллических классов построены полиномиальные тензорные базисы.
Известны базисы, предложенные В.В. Новожиловым [288], К. Ф. Черных [300-307], А.А. Маркиным и М.Ю. Соколовой [178].
В работах Б.Е. Победри [239-243] в качестве инвариантных разложений тензора деформации используются спектральные разложения. Следует заметить, что полученное Б.Е. Победрей спектральное разложение не формализовано и является в некотором роде искусством. Спектральное разложение реализовано им для трансверсально-изотропного материала.
В работах Я. Рыхлевского [256-258] тензоры упругости четвертого ранга представляются разложениями по .«собственным упругим состояниям». В качестве примеров рассмотрены изотропные и трансверсально-
изотропные упругие тела. Показано, что чисто объемное деформирование не является собственным упругим состоянием анизотропной среды.
Разложение тензора четвертого ранга по собственным состояниям, предложенное Я. Рыхлевским [256-258], содержит наименьшее число констант упругости (истинных модулей упругости). Отыскание собственных упругих состояний и истинных модулей упругости для анизотропных материалов различных типов сводится к решению задачи об определении главных векторов и главных значений тензора упругости. Эта задача достаточно формализована и легко реализуется на персональных компьютерах.
Рассмотренные выше подходы не позволяют в общем случае разложить энергию деформирования линейно упругого анизотропног тела на шаровую часть и девиаторную.
Ниже показана возможность получения такого разложения путем введения аффинных преобразований координат, компонент вектора перемещения (вектора скорости перемещения), компонент тензора напряжения и тензора деформации (тензора скорости деформации) и, как следствие, показан вариант построения теории малых упругопластических деформаций, теории идеальной пластичности начально-анизотропных сред.
В первой главе исследуется воздействие гидростатического давления на линейно-упругую анизотропную среду. Отмечается, что в анизотропной среде под воздействием гидростатического давления возникает деформация изменения объема и деформация изменения формы. Еще Я. Рыхлевский в статье [256, 257] указал на возможность существования таких анизотропных материалов, у которых при деформировании их гидростатическим давлением, может отсутствовать формоизменение. Он назвал такие материалы объемно изотропными. Нами показано, что свойство объемной изотропии приводит энергию деформирования анизотропной среды, так же как и в изотропных материалах, к разделению на шаровую часть и девиаторную. Выписаны условия совместности механических характеристик для анизотропного материала, обладающего свойством объемной изотропии.
Во второй главе, используя идею Лоджа [330], вводятся аффинные преобразования координат, компонент вектора перемещения, компонент тензора напряжения и деформации. Аффинные преобразования вводятся посредством симметричного тензора второго ранга а,,. Поскольку компоненты
преобразующего тензора произвольны, то анизотропному материалу в физическом пространстве с тензором анизотропии Aimn, в аффинных пространствах соответствует бесчисленное множество анизотропных материалов с тензорами анизотропии Cijmn.
Все эти материала аффинно подобны. Энергия деформации анизотропной среды во всех пространствах одинакова. Мы предлагаем, аффинные преобразования вводить таким образом, что бы класс симметрии материала при преобразованиях не изменялся. Последнее требование приводит к тому, что для трансверсально-изотропного материала преобразующий тензор содержит только две компоненты, а для ортотропного материала - три. Для материала с триклинной сингонией преобразующий тензор содержит шесть компонент.
По существу посредством аффинных преобразований анизотропному материалу придаются дополнительные внутренние степени свободы.
Этими степенями свободы предлагается распорядится таким образом, чтобы выделить среди бесконечного множества аффинных пространств объемно-изотропные пространства.
Показана возможность вычисления компонент преобразующего тензора для различных типов сингонии. Приведены соотношения закона Гука для квазинесжимаемых материалов. Перевод анизотропного материала из физического пространства в аффинное пространство с объемно-изотропными свойствами не накладывает никаких ограничений на механические характеристики материала.
В третьей главе рассмотрена проблема определения собственных упругих состояний и собственных значений анизотропных сред в шестимерном
объемно-изотропном векторном пространстве. Поскольку в объемно-изотропном аффинном пространстве энергия формоизменения анизотропной среды выражается через девиаторные компоненты тензора обобщенных напряжений, то осуществлен переход к пятимерному девиаторному пространству.
Получены базисы пятимерного векторного пространства для изотропной среды и основных типов кристаллографической симметрии, исходя из представления энергии формоизменения в объемно-изотропном аффинном пространстве как энергии суммы собственных упругих состояний.
В четвертой главе рассмотрена возможность использования параметров собственных упругих и пластических состояний для исследования перехода упругого материала в пластическое состояние. Показано, что в пространстве главных напряжений собственные упругие состояния изотропной среды с точностью до числовых множителей совпадают с инвариантами Ше-мякина-Христиановича [295, 296, 308-310].
Упругопластические свойства анизотропных материалов предлагается описывать через параметры собственных состояний, принимая их в качестве базисов векторного пространства.
Предложена формализация понятий полной и неполной пластичности.
Исследуется генезис упругопластических свойств изотропных материалов. Показано, что гладкие поверхности предельных состояний представляют собой проявление бесконечного множества ребер пластичности А.Ю. Ишлинского [114, 120]. Затронута проблема статической определимости.
Рассмотрены примеры формулирования предельных состояний анизотропных сред.
Намечены подходы к построению малых упругопластических деформаций анизотропных сред.
Указано на проблему неоднозначности условия полной пластичности для анизотропных сред.
Рассмотрен вариант построения определяющих соотношений разно-модульных сред, основанный на выборе в качестве векторного базиса собственные упругие состояния анизотропной среды в объемно-изотропном аффинном пространстве.
Во втором разделе диссертации в качестве примера использования разработок, выполненных в первом разделе, изложен вариант построения теории идеальной пластичности жесткопластических анизотропных сред.
В пятой главе обсуждаются возможности построения теории идеальной пластичности анизотропных сред при квадратичном условии пластичности.
При этом существенным является использование объемно-изотропных аффинных пространств.
Подробно рассмотрены уравнения пластического течения ортотроп-ной среды.
Сформулирована гипотеза о квазинесжимаемости идеально-пластического течения ортотропного материала.
Дано обобщение закона пластического течения А.Ю. Ишлинского на ортотропные материалы.
Получены дифференциальные уравнения поля напряжений и поля скоростей в случае плоской деформации. Показано, что эти уравнения принадлежат к гиперболическому типу, а характеристики поля напряжений и поля скоростей совпадают.
На примере решения частных задач показана возможность использования полученных уравнений.
В шестой главе рассмотрена осесимметричная задача теории идеальной пластичности трансверсально изотропного тела. Задача сформулирована в объемно-изотропном аффинном пространстве. Используя метод аффинного подобия, постулируется условие полной пластичности. В качестве примера использования предложенных соотношений, решена задача Р. Хилла о выдавливании трансверсально-изотропного материала из жесткой втулки. Дано
численное решение задачи о вдавливании круглого штампа с плоским основанием в полубесконечное трансверсально-изотропное жесткопластическое пространство.
В седьмой главе приведены результаты экспериментальных данных автора по изучению пластического течения листовых прокатных материалов. Обработка экспериментальных результатов показала, что предложенные в диссертации соотношения позволяют удовлетворительно описывать данные экспериментов.
Вывод: изложенный в диссертации материал показывает, что использование для исследования процессов деформирования и формулировки определяющих соотношений собственных упругих и пластических состояний анизотропных сред в аффинных объемно-изотропных пространствах является рациональным.
^ РАЗДЕЛ I.
СОБСТВЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
Матричная форма записи обобщенного закона Гука (триклинная сингония) (шестимерное векторное пространство).
В этой главе выписаны основные соотношения теории упругости ш анизотропных сред. Для триклинной сингонии закон Гука представлен в тензорной и матричной форме.
В связи с тем, что в изотропных материалах энергию деформирования можно представить, как сумму энергии изменения объема и энергию изменения формы, исследовано влияние воздействия гидростатического давления на упругие анизотропные материалы.
Отмечается, что при воздействии гидростатического давления на анизотропный материал в нем возникают деформации изменения объема и формы, в отличие от изотропного материала в котором возникает лишь деформация изменения объема, ж В соответствии с реакцией упругого анизотропного материала на действие гидростатического давления предложена новая классификация анизотропных сред.
Выделяется три частных класса анизотропных материалов:
1. Несжимаемые анизотропные материалы - материалы, воздействие на которые гидростатического давления приводит только к деформациям изменения формы, а деформации изменения объема равны нулю;
2. Объемно-изотропные материалы. Воздействие гидростатическо-го давления на этот класс анизотропных материалов приводит только к изменению объема, а изменение формы отсутствует; 3. Анизотропные материалы нечувствительные к воздействию гидростатического давления. Воздействие гидростатического давления на этот класс анизотропных материалов не вызывает в них ни деформации изменения объема, ни деформации изменения формы.
Термин объмно-изотропного материала нами заимствован у Я. Рых-левского [258]. Анализ выделенных классов анизотропных материалов показал: 1. Свойство несжимаемости анизотропного материала не приводит к разделению удельной энергии деформации на шаровую и девиаторную часть; 2. Только в анизотропных материалах, обладающих свойством объемной изотропии, энергия упругого деформирования разделяется на энергию изменения объема (шаровая часть) и энергию изменения формы (де-виаторная часть).
Показано, что в физическом пространстве требование объемной изотропии накладывает ограничения на характеристики упругости анизотропного материала.
Напряженное состояние сплошного тела. Рассматривая анизотропную среду, отнесем ее к прямоугольной декартовой системе координат JC,- (і = 1,2,3). Наряду с обозначениями координату далее будут использоваться обозначения xj = х, JC? = у, xj - z.
В соответствии с классической механикой сплошных сред [261, 263], напряжения на всевозможных площадках, проведенных через выбранную точку, определяются симметричным тензором напряжения, который можно задать в виде тензора напряжения или матрицы компонент тензора напряжения
В общем случае линейную связь между напряжениями и деформациями в произвольно анизотропном материале (триклинный тип симметрии) можно представить в виде eV = ijmrPmn (1«И) где Аутп = Ajimn = Ajjnm = Amnij - симметричные тензоры четвертого ранга - коэффициенты упругой податливости. Тензор четвертого ранга содержит 36 компонент, но в силу симметрии в общем случае анизотропии (триклинная сингония) в формуле (1.11) содержится только 21 коэффициент податливости и эти коэффициенты можно записать в виде матрицы здесь выписана только верхняя часть матрицы, нижняя часть симметрична верхней относительно главной диагонали. Решая уравнения (1.11) относительно компонент тензора напряжения, запишем Gy ijmnemn (1.12) 1 при і = j причем АирдВрдтп=ёуЯтп, где Sij= и Далее будем предполагать, что деформации в упругом теле происходят изотермически. В этом случае существует упругий потенциал, равный потенциальной энергии деформации, отнесенной к единице объема. Упругий потенциал W связан с компонентами напряжения и деформации зависимостями: можно рассматривать как компоненты тензора объемных модулей. В силу симметричности тензора Bijmn симметричным будет и тензор Ку. Главные оси тензора объемных модулей называют главными осями анизотропии.
Энергия изменения объема и формы ортотропного материала в объемно-изотропном аффинном пространстве
Учитывая, что для компоненты преобразующего тензора для транс версально-изотропного материала обладают свойством bna11=b33a33=l, (2.35) запишем окончательное выражение девиаторнои части потенциальной энергии в форме
Из (2.33) и (2.36) следует, что выражения для шаровой и девиаторнои частей потенциальной энергии деформации линейно-упругого транс-версально-изотропного тела не зависят от выбора преобразующего параметра Ъц (или аЦ). Физическое и объемно-изотропное пространство необходимо привязать друг к другу. Можно, например, положить: при аффинных преобразованиях масштаб по направлению осей хи не изменяется. Для этого в преобразованиях (2.4), (2.5) нужно положить ajj=l. Это означает, что коэффициент податливости в плоскости изотропии при преобразованиях не изменяется.
Гипотеза о квазинесжимаемости трансверсально-изотропного материала в объемно-изотропных аффинных пространствах.
Пусть трансверсально-изотропный материал в объемно-изотропном аффинном пространстве не чувствителен к виртуальному гидростатическому давлению (гипотеза квазинесжимаемости), тогда ЗРа = 2(Сп + С}2 + 2С13) + С33=0. Отсюда условие совместности механических характеристик Энергия деформации квазинесжимаемого материала в объемно-изотропном аффинном пространстве является функцией компонент тензо-ра-девиатора обобщенного напряжения
Следовательно, гипотеза о квазинесжимаемости трансверсалъно изотропного тела в объемно-изотроопном аффинном пространстве приводит только к одному условию совместности механических характеристик (2.37), в то время как гипотеза о нечувствительности трансвер-сально изотропного материала к гидростатическоиу давлению в физическом пространстве накладывает два ограничения.
Ортотропная среда. Рассмотрим ортотропную среду, оси анизотропии которой, совпадают с прямоугольной декартовой системой координат xyz.
Связь между компонентами напряжения и деформации устанавливается законом Гука Ортотропное тело обладает упругим потенциалом, записанным в билинейной (2.2) и квадратичной форме Представление ортотропного материала в аффинных пространствах.
Тогда компонент напряжения, а компоненты вектора перемещения и компоненты деформации по формулам Аффинные преобразования вводятся таким образом, чтобы не изменялся класс симметрии материала, т. е. координатная система оставалась прямоугольной, а изменялся только масштаб вдоль осей х, у, z.
В этом случае компоненты преобразующего тензора задаются диагональной матрицей аи О О О а22 0 . О 0 а33 В случае если лц = а22 = &зз = 1 аффинное пространство совпадает с физическим пространством, т.е. изменение масштаба не происходит.
При выполнении аффинных преобразований (2.4 - 2.6) уравнения равновесия и соотношения Коши принимают вид (2.8), (2.9) и по форме написания эти уравнения имеют такой же вид, как и в физическом пространстве.
Упругий потенциал принимает вид коэффициенты податливости ортотропного материала в аффинных пространствах, причем Обратим внимание на то, что энергии упругого деформирования в физическом пространстве и аффинных пространствах тождественны
Поскольку значения преобразующих компонент ац , а22, а 33 ПР" извольны, то ортотропному материалу с упругими константами в физическом пространстве AJJ,...,A$(; могут быть сопоставлено в аффинных пространствах бесчисленное множество ортотропных материалов с упругими константами
Гексагональная сингония (трансверсальная изотропия).
В зависимости от числа различных истинных модулей жесткости Ак и их кратностей анизотропные материалы разбиваются на 32 класса качественно различных материалов [312]. Набор всех истинных модулей ЖеСТКОСТИ А% И СООТВеТСТВуЮЩИХ ИМ СОбсТВеННЫХ ВеКТОрОВ t]{ полностью определяет упругие свойства материала.
Рассмотрим анизотропные материалы, обладающие свойствами симметрии относительно ортогональных преобразований системы координат. Эти материалы по свойствам симметрии разделяются на 7 сингонии и изотропную среду [60, 305].
Для материалов кристаллографических сингонии можно найти истинные модули жесткости и компоненты векторов собственных упругих состояний, используя запись закона Гука в виде (ЗЛО) или (3.11), где слева и справа стоят одинаковые свертки тензоров напряжений и деформаций с тензорами собственных состояний. Таким образом, если имеется запись закона Гука, в которой слева и справа стоят одинаковые выражения, отличающиеся на постоянный множитель, то сразу видно какой тензор является собственным и каковы истинные модули жесткости (или истинные коэффициенты податливости). Используя эту закономерность, можно найти истинные модули жесткости (или истинные коэффициенты податливости) и соответствующие упругие состояния для кристаллографических сингоний в объемно-изотропном аффинном пространстве.
При всей внешней схожести приведенных выше построений с аналогичными построениями Я. Рыхлевского и других авторов, укажем на принципиальное различие: наши построения проведены в объемно-изотропном аффинном пространстве, в котором энергия формоизменения зависит только от девиаторных компонент обобщенного тензора, в то время как другие исследователи работают в физическом пространстве.
Поскольку физическое и объемно-изотропное аффинное пространства для различных классов сингоний одинаковы только для изотропных сред, то вначале выпишем собственные упругие состояния и собственные значения для изотропной среды.
Здесь (и далее для других сингоний) будем предполагать, что истинные коэффициенты податливости /// и ju/j не совпадают между собой. Из (3.21) видно, разделение собственных упругих состояний на шаровую часть и девиаторную часть, причем 1ц - t2j = t3j, т.е. автоматически выделяется шаровая часть. В объемно-изотропном пространстве такое же выделение происходит и с анизотропными материалами.
He выписанные истинные коэффициенты податливости для материалов с ромбической и моноклинной сингоний в случае необходимости, можно выразить через коэффициенты податливости сап по формулам для корней многочленов третьей и четвертой степени. Заметим, поскольку моноклинный материал отнесен к объемно-изотропному аффинному пространству, то одно из собственных состояний будет шаровым В случае триклинной сингоний матрица коэффициентов податливости сап имеет общий вид.
По свойствам симметрии материалы триклинной сингоний не отличаются друг от друга, хотя в зависимости от истинных коэффициентов податливости и собственных состояний могут быть качественно различными.
В работе К.Ф.Черных [300-305] при исследовании коэффициентов упругой податливости базис (3.21) предлагается использовать для материалов всех сингоний. Но базис (3.21) является собственным только для изотропных материалов и материалов кубической сингоний и не является собственным базисом в общем случае для других сингоний. Поэтому в базисе (3.19) коэффициенты податливости для материалов других сингоний получаются не диагональными [232].
В связи с тем, что для изотропных и анизотропных материалов в аффинном объемно-изотропном пространстве удельную энергию деформирования можно представить в виде дух частей: шаровая - удельная энергия изменения объема и девиаторная - удельная энергия изменения формы, процесс деформирования материала можно представить в двух пространствах - одномерном - скалярном и пятимерном - векторном.
При построении общей теории пластичности (теории процессов), А.А.Ильюшин [107, 108] ввел пятимерный базис девиаторного векторного пространства, который нашел широкое применение при исследовании процессов пластического деформирования изотропных сред [28, 29, 32, 33, 92, 93, 107, 108, 160, 161]. Использование этого базиса для анизотропных сред, как это было предложено при исследовании пластического деформирования ортотропных металлов в работах [153, 154], приводит, как и в теории упругости, к недиагональности матриц податливости.
В качестве базиса пятимерного векторного пространства для анизотропных материалов предлагается выбирать собственные функции (собственные упругие состояния) удельной энергии формоизменения в объемно-изотропных аффинных пространствах.
Естественно, что при таком подходе базис пятимерного векторного пространства будет зависеть от типа сингонии материала и характеристик его упругих свойств.
Получим базисы пятимерного векторного пространства для изотропной среды и основных типов кристаллографической симметрии, исходя из представления энергии формоизменения в объемно-изотропном аффинном пространстве, как энергии суммы собственных упругих состояний.
Условия предельных состояний анизотропных сред в объемно-изотропных аффинных пространствах.
Если в процессе нагружения соблюдается условие со = const, то процесс нагружения называется простым. Предположим, что в процессе простого нагружения удается построить предельную поверхность второго порядка aZJ + hZiZ2 + d2=L (4.14) Условие (4.14) предполагает, что собственные пластические значения и состояния не совпадают с упругими значениями и состояниями. Иными словами, упругий материал и этот же материал, перешедший в пластическое состояние - два разных материала по своим механическим свойствам (гипотеза Е.И. Шемякина [310]).
Перейдем в (4.14) к девиаторным компонентам главных напряжений a(sj -s3)2 + bj3(sj -s3)s2 + 3cs2 =2. (4.15) Рассмотрим возможность экспериментального нахождения констант а, Ъ и с. Из эксперимента на чистый сдвиг l=-3 = Ts а2=0 -+ оср=0 -» SJ=-S3 = TS, s2=0 (4.16) имеем 4ат2=2 - а = 1/2т2, (4.17) где Гу - предел упругого сопротивления при чистом сдвиге. Аналогично из эксперимента на одноосное растяжение oj = os, о2 = о3=0 -» ocp=os/3 -+ s1 = 2os/3, s2 = s3=-os/3 (4.18) имеем a-b/-j3+c/3 = 2oJ2, (4.19) где os - предел упругого сопротивления при одноосном растяжении. Из эксперимента на двухосное растяжение имеем где T25 - предел упругого сопротивления при двухосном растяжении. Разрешая (4.19) и (4.21) относительно b и с, найдем
В зависимости от соотношений характеристик пластических свойств материала в рамках квадратичной формы (4.14) могут быть реализованы различные частные случаи предельных критериев. Рассмотрим генезис квадратичной формы (4.14) в зависимости от соотношений между характеристиками пластичности. Например, если между характеристиками пластических свойств существует зависимость b = 24ас, то имеем критерий предельного состояния
Если собственные упругие и пластические состояния совпадают, то Ъ = 0 - or2s = as - с = 3( 2аJ2 - 0,5r 2 ). (4.24) Уравнение предельной поверхности принимает вид aEJ + cE l. (4.25) или a(si -s3)2 + 3cs22 =2, (4.26) т.е. упругое и пластическое состояния отличаются только собственными значениями. Следовательно, собственные упругие и пластические состояния для изотропного тела в рамках закона Гука и квадратичной формы (4.14) совпадают в том случае если пределы текучести при одноосном растяжении и сжатии одинаковы.
Если же собственные состояния и собственные значения девиатор-ных компонент совпадают, т.е. Ь = 0, а = с, то уравнение предельной поверхности переходит в условие пластичности Мизеса [217] Е21+Е22=4х2 (4.27) или (Sl-s3)2 + 3s22=4zl (4.28) а пределы упругого сопротивления при одноосном растяжении и чистом сдвиге связаны соотношением
Из сравнения энергии формоизменения в(4.3) и критерия (4.27) вытекает гипотеза Мизеса [217], что пластическое состояние изотропного материала наступает при достижении энергией формоизменения некоторого критического значения. Если же свойства материала таковы, что Ь = с = 0, получим условие пластичности Треска [347] \S]-s3\ = 2rs. (4.30) В этом случае пределы упругого сопротивления при одноосном растяжении и чистом сдвиге связаны соотношением
Из (4.30) следует, что пластическое состояние наступает при достижении максимальным касательным напряжением некоторого предельного значения, постоянного для данного материала. Таким образом, фиксируется площадка максимального касательного напряжения.
В многочисленных исследованиях по теории пластичности критерии Мизеса и Треска обычно противопоставляются.
Основываясь на приведенном здесь исследовании можно утверждать, что критерии Мизеса и Треска являются проявлением различия предела текучести изотропного материала, полученного в экспериментах при растяжении и кручении. Неполная и полная пластичность. 4.1.3.1. Идеально связная среда. В соответствии с предельным условием (4.14) обобщенное предельное сопротивление сдвига зависит от угла вида напряженного состояния I = ±(а + Ьта + ст2а ) 1/2. (4.32)
Это состояние по Карману называется неполной пластичностью. Физически это означает, что в изотропном материале при выполнении соотношения (4.32) на площадке максимального касательного напряжения происходит пластическая сдвиговая деформация.
Форма записи предельного состояния в виде (4.32) постулирует, что природа пластического деформирования имеет сдвиговый характер. Таким образом, состояние неполной пластичности характеризуется тем, что на одной из главных площадок касательных напряжений наступает предельное состояние.
Заметим, что в отличие от постановки Кармана здесь предельный сдвиг изотропной среды зависит от параметра вида напряженного состояния та. Соответствующее значение 22 вычисляется по формуле
Это соотношение носит фундаментальный характер, поскольку, при ис пользовании гипотезы о неизменности предельного сопротивления сдвигу 2у дальнейшее нагружение материала может происходить только за счет измене ния параметра та до предельного значения - или 1/ 4S. Следовательно, в предельном состоянии инвариант 22 может принимать значения Соотношение (4.33) является фундаментальным и не зависит от свойств материала. Таким образом, девиаторное среднее главное напряжение достигает значения S2 = S] или S2 = sj. Физически это означает, что на одной из остальных двух главных площадок касательных напряжений достигается предельное состояние сопро тивлению сдвигу 2;.
Похожие диссертации на Собственные упругие и пластические состояния анизотропных сред
