Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Двумерное пластическое течение в цилиндрических координатах
1. Соотношения задачи о вдавливании осесимметричных штампов с учетом сдвигающих усилий для неоднородного материала 10
2. Характеристические соотношения задачи о вдавливании осесимметричных штампов с учетом сдвигающих усилий для однородного материала 19
3. Соотношения осесимметричной задачи теории идеальной пластичности для неоднородного материала 22
4. Численные методы расчета поля напряжений задачи о вдавливании осесимметричных штампов с учетом сдвигающих усилий 25
5. Характеристические соотношения для скоростей перемещений задачи о вдавливании осесимметричных штампов с учетом сдвигающих усилий 33
Глава II. Задача о вдаливании осесимметричных штампов
1. Задача о вдавливании круговых штампов в однородное идеальное жесткопластическое полупространство с учетом сдвигающих усилий 38
2. Осесимметричная задача о вдавливании круговых штампов в неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство 48
3. Осесимметричная задача о вдавливании кольцевых штампов в неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство 55
4. Задача о вдавливании круговых штампов в неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство при действии сдвигающих усилий 64
Глава III. Автомодельная задача о внедрении жестких пирамид в идельнопластическое полупространство
1. Геометрическое описание построения решения задачи о наклонном внедрении жесткой пирамиды в идеальнопластическое полупространство 70
2. Построение решения относительно реализуемых случаев пластического течения материала 76
3. Построение итогового решения задачи о наклонном внедрении жесткой пирамиды 83
Основные результаты и выводы 86
Литература 88
- Характеристические соотношения задачи о вдавливании осесимметричных штампов с учетом сдвигающих усилий для однородного материала
- Численные методы расчета поля напряжений задачи о вдавливании осесимметричных штампов с учетом сдвигающих усилий
- Осесимметричная задача о вдавливании круговых штампов в неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство
- Построение решения относительно реализуемых случаев пластического течения материала
Введение к работе
Решение осесимметричной задачи теории идеальной пластичности имеет большое значение для построения теории испытания материалов на твердость. Весьма часто о твердости материала судят по размерам отпечатка от давления какого-либо штампа, например стального шарика (метод Бринелля) или конического острия (метод Роквелла) на плоскую границу материала. Экспериментальные данные показали, что так называемые числа твердости по Бринеллю и по Роквеллу связаны определенным образом с временным сопротивлением материала и его пределом текучести,
Осесимметричные задачи вдавливания штампов в жестко пластическое полупространство впервые были рассмотрены Генки, который использовал условие полной пластичности Хаара, Кармана и сетку характеристик Прандтля для вдавливания плоских, штампов. Впоследствии АЛО. Ишлинский развил прямые численные методы определения предельных осесимметричных состояний при условии полной пластичности и нашел предельную нагрузку при вдавливании плоских и сферических штампов (проба Бринелля).
Осесимметричные задачи теории идеальной пластичности рассматривали С.А. Александров, М.Я. Бровман, Б.А. Друянов, М.А. Задоян, В.А. Жалнин, Д.Д. Ивлев, B.C. Мищенко, Л.М. Качанов, В.Л. Колмогоров, В.Д. Коробкин, Л.А. Максимова, А.А. Маркин, КМ. Матченко, М.В. Михайлова, Надай, Р.И. Непершин, В.М. Пучков, Ю.Н. Радаев, А.Д. Томленов, Е.И. Шемякин, Шилд, СП. Яковлева и др.
Задачи статически определимого общего плоского состояния при совместном действии напряжений плоской и антиплоской задачи рассмотрены в работах Д.Д. Ивлева, Л.А. Максимовой, Р.И. Непершина. В
реферируемой работе в аналогичной постановке рассматриваются двумерные осесимметричные задачи.
Развитие современной техники предъявляет повышенные требования к прочностным свойствам машин и их составляющих элементов, а также различных сооружений и конструкций, уменьшению их веса, габаритов, что ведет к необходимости применения неоднородных композитных материалов в производстве.
В работе рассмотрено влияние свойств неоднородности пластического материала, когда предел текучести является функцией произвольного вида координат точек пространства. Проблемой учета свойств неоднородности материала в теории идеальной пластичности занимались А.А. Ильюшин, М.Т. Алимжанов, A.M. Алимжанов, Р.Ю. Амензаде, О.Д. Григорьев, Б.А. Друянов, М.А. Задоян, Т.Л. Захарова, Д.Д. Ивлев, А.И. Кузнецов, В.А. Ломакин, В. Ольшак, Я. Рыхлевский, А. Я. М. М.С. Спенсер, В Урбановский, Е.А. Целистова, и др.
В реферируемой работе также рассмотрена автомодельная задача о вдавливании жестких пирамид в идеальнопластическое полупространство. Автомодельные задачи рассматривали Хилл, Ли и Тапер. Автомодельными задачами являются задачи о внедрении клина в пластическое полупространство, вдавливание жесткого сферического штампа, внедрение жесткой и раздавливание пластической пирамид и ряд других задач. Исследованию автомодельных задач теории идеальной пластичности посвящены работы Хилла, Ли, Тапера, А.Ю. Ишлинского, Д.Д. Ивлева, Р.И. Непершина, Шилда и других авторов.
Целью настоящей работы является: исследование двумерных статически определимых соотношений в цилиндрических координатах задачи о вдавливании осесимметрич-
ных штампов с учетом сдвигающих усилий в однородное и неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство,
развитие численных методов решения,
построение автомодельного решения для задач о вдавливании жестких пирамид в идсальнопластическое полупространство.
Работа состоит из трех глав.
Первая глава посвящена выводу характеристических соотношений в цилиндрической системе координат, позволяющих определить напряженное состояние осесимметричной задачи о вдавливании штампов с учетом свойств неоднородности пластического материала, когда предел текучести является функцией произвольного вида координат точек пространства, а также задачи о вдавливании осесимметричных штампов с учетом сдвигающих усилий и воздействия массовых сил. Находятся характеристические соотношения для определения поля скоростей в случае однородного материала. Излагаются численные методы расчета поля напряжения, исходя из полученных характеристических соотношений.
Во второй главе приводятся численные решения осесимметричной задачи о вдавливании круговых и кольцевых штампов в однородное и неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство при действии различных видов контактных касательных напряжений под штампом в случае экспоненциальной зависимости предела текучести материала от координат точек полупространства. А также приводится численное решение задачи о вдавливании круговых штампов с учетом сдвигающих усилий в случае однородного материала и материала с пластической неоднородностью.
В третьей главе приводится автомодельное решение задачи о наклонном внедрении жестких правильных л-угольных пирамид в идеально пластическое полупространство при условии полной пластичности с
учетом контактного трения на гранях пирамиды. Приводятся графики зависимости общего вертикального давления от угла ^ наклона грани к оси пирамиды. Задача моделирует испытание материалов на твердость внедрением жесткой пирамиды.
На защиту выносятся следующие научные положения и результаты:
Численное решение осесимметричной задачи о вдавливании кругового и кольцевого штампов в неоднородное идеальное жесткопластиче-ское полупространство при действии различного вида контактных касательных напряжений для случая экспоненциальной зависимости предела текучести материала от координат точек полупространства;
Численное решение задачи о вдавливании кругового штампа с плоским основанием в однородное и неоднородное идеальное жестко-пластическое полупространство с учетом сдвигающих усилий для случая экспоненциальной зависимости предела текучести.
Решение автомодельной задачи о наклонном внедрении жесткой правильной пирамиды в идеально пластическое полупространство при условии полной пластичности с учетом контактного трения на гранях пирамиды.
Научная новизна. Получены характеристические соотношения для напряжений в цилиндрической системе координат, развиты численные методы расчета поля напряжений, позволяющие решать класс о се симметричных задач, учитывая свойства неоднородности пластического материала с пределом текучести произвольного вида, воздействие массовых сил, а также задач с учетом действия сдвиговых усилий, описываемых системами уравнений и соотношениями, приведенными в настоящей работе.
Построен метод решение автомодельной задачи о наклонном внедрении л-угольных жестких пирамид в идеальнопластическое полупространство с учетом контактного трения на гранях пирамиды.
Достоверность результатов обеспечивается использованием фундаментальных представлений теории идеальной пластичности, математических методов исследований и непротиворечивостью, а также сводимостью результатов данной работы к результатам других авторов.
Практическая ценность работы. Полученные результаты могут быть использованы при расчетах предельного состояния жесткопласти-ческих неоднородных сред. Учет свойств неоднородности материала позволяет более точно оценивать ресурсы прочности, что позволит рациональнее проектировать сооружения и машины. Численные методы могут быть использованы для решения подобных задач, описываемых аналогичными системами уравнений и соотношениями.
Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывались:
на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики и информатики» посвященной 80-летию со дня рождения профессора Л.А. Толоконникова (Тула, ноябрь 2003 г.);
на школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2002);
на семинарах по механике деформируемого твердого тела (Чебоксары, ЧГПУ, 2001-2004);
на ежегодных итоговых конференциях научных сотрудников, докторантов и аспирантов ЧГПУ им. И.Я. Яковлева (Чебоксары, ЧГПУ, 2002, 2003);
на ежегодных итоговых конференциях преподавателей ЧГПУ им. И.Я. Яковлева (Чебоксары, ЧГПУ, 2002, 2003). Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 7 работах.
Характеристические соотношения задачи о вдавливании осесимметричных штампов с учетом сдвигающих усилий для однородного материала
Решение осесимметричной задачи теории идеальной пластичности имеет большое значение для построения теории испытания материалов на твердость. Весьма часто о твердости материала судят по размерам отпечатка от давления какого-либо штампа, например стального шарика (метод Бринелля) или конического острия (метод Роквелла) на плоскую границу материала. Экспериментальные данные показали, что так называемые числа твердости по Бринеллю и по Роквеллу связаны определенным образом с временным сопротивлением материала и его пределом текучести,
Осесимметричные задачи вдавливания штампов в жестко пластическое полупространство впервые были рассмотрены Генки, который использовал условие полной пластичности Хаара, Кармана и сетку характеристик Прандтля для вдавливания плоских, штампов. Впоследствии АЛО. Ишлинский развил прямые численные методы определения предельных осесимметричных состояний при условии полной пластичности и нашел предельную нагрузку при вдавливании плоских и сферических штампов (проба Бринелля).
Осесимметричные задачи теории идеальной пластичности рассматривали С.А. Александров, М.Я. Бровман, Б.А. Друянов, М.А. Задоян, В.А. Жалнин, Д.Д. Ивлев, B.C. Мищенко, Л.М. Качанов, В.Л. Колмогоров, В.Д. Коробкин, Л.А. Максимова, А.А. Маркин, КМ. Матченко, М.В. Михайлова, Надай, Р.И. Непершин, В.М. Пучков, Ю.Н. Радаев, А.Д. Томленов, Е.И. Шемякин, Шилд, СП. Яковлева и др.
Задачи статически определимого общего плоского состояния при совместном действии напряжений плоской и антиплоской задачи рассмотрены в работах Д.Д. Ивлева, Л.А. Максимовой, Р.И. Непершина. В реферируемой работе в аналогичной постановке рассматриваются двумерные осесимметричные задачи.
Развитие современной техники предъявляет повышенные требования к прочностным свойствам машин и их составляющих элементов, а также различных сооружений и конструкций, уменьшению их веса, габаритов, что ведет к необходимости применения неоднородных композитных материалов в производстве.
В работе рассмотрено влияние свойств неоднородности пластического материала, когда предел текучести является функцией произвольного вида координат точек пространства. Проблемой учета свойств неоднородности материала в теории идеальной пластичности занимались А.А. Ильюшин, М.Т. Алимжанов, A.M. Алимжанов, Р.Ю. Амензаде, О.Д. Григорьев, Б.А. Друянов, М.А. Задоян, Т.Л. Захарова, Д.Д. Ивлев, А.И. Кузнецов, В.А. Ломакин, В. Ольшак, Я. Рыхлевский, А. Я. М. М.С. Спенсер, В Урбановский, Е.А. Целистова, и др.
В реферируемой работе также рассмотрена автомодельная задача о вдавливании жестких пирамид в идеальнопластическое полупространство. Автомодельные задачи рассматривали Хилл, Ли и Тапер. Автомодельными задачами являются задачи о внедрении клина в пластическое полупространство, вдавливание жесткого сферического штампа, внедрение жесткой и раздавливание пластической пирамид и ряд других задач. Исследованию автомодельных задач теории идеальной пластичности посвящены работы Хилла, Ли, Тапера, А.Ю. Ишлинского, Д.Д. Ивлева, Р.И. Непершина, Шилда и других авторов.
Целью настоящей работы является: исследование двумерных статически определимых соотношений в цилиндрических координатах задачи о вдавливании осесимметрич 6 ных штампов с учетом сдвигающих усилий в однородное и неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство, развитие численных методов решения, построение автомодельного решения для задач о вдавливании жестких пирамид в идсальнопластическое полупространство. Работа состоит из трех глав. Первая глава посвящена выводу характеристических соотношений в цилиндрической системе координат, позволяющих определить напряженное состояние осесимметричной задачи о вдавливании штампов с учетом свойств неоднородности пластического материала, когда предел текучести является функцией произвольного вида координат точек пространства, а также задачи о вдавливании осесимметричных штампов с учетом сдвигающих усилий и воздействия массовых сил. Находятся характеристические соотношения для определения поля скоростей в случае однородного материала. Излагаются численные методы расчета поля напряжения, исходя из полученных характеристических соотношений. Во второй главе приводятся численные решения осесимметричной задачи о вдавливании круговых и кольцевых штампов в однородное и неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство при действии различных видов контактных касательных напряжений под штампом в случае экспоненциальной зависимости предела текучести материала от координат точек полупространства. А также приводится численное решение задачи о вдавливании круговых штампов с учетом сдвигающих усилий в случае однородного материала и материала с пластической неоднородностью.
Численные методы расчета поля напряжений задачи о вдавливании осесимметричных штампов с учетом сдвигающих усилий
Приводятся графики зависимости общего вертикального давления от угла наклона грани к оси пирамиды. Задача моделирует испытание материалов на твердость внедрением жесткой пирамиды.
На защиту выносятся следующие научные положения и результаты: Численное решение осесимметричной задачи о вдавливании кругового и кольцевого штампов в неоднородное идеальное жесткопластиче-ское полупространство при действии различного вида контактных касательных напряжений для случая экспоненциальной зависимости предела текучести материала от координат точек полупространства; Численное решение задачи о вдавливании кругового штампа с плоским основанием в однородное и неоднородное идеальное жестко-пластическое полупространство с учетом сдвигающих усилий для случая экспоненциальной зависимости предела текучести. Решение автомодельной задачи о наклонном внедрении жесткой правильной пирамиды в идеально пластическое полупространство при условии полной пластичности с учетом контактного трения на гранях пирамиды. Научная новизна. Получены характеристические соотношения для напряжений в цилиндрической системе координат, развиты численные методы расчета поля напряжений, позволяющие решать класс о се симметричных задач, учитывая свойства неоднородности пластического материала с пределом текучести произвольного вида, воздействие массовых сил, а также задач с учетом действия сдвиговых усилий, описываемых системами уравнений и соотношениями, приведенными в настоящей работе. Построен метод решение автомодельной задачи о наклонном внедрении л-угольных жестких пирамид в идеальнопластическое полупространство с учетом контактного трения на гранях пирамиды. Достоверность результатов обеспечивается использованием фундаментальных представлений теории идеальной пластичности, математических методов исследований и непротиворечивостью, а также сводимостью результатов данной работы к результатам других авторов. Практическая ценность работы. Полученные результаты могут быть использованы при расчетах предельного состояния жесткопласти-ческих неоднородных сред. Учет свойств неоднородности материала позволяет более точно оценивать ресурсы прочности, что позволит рациональнее проектировать сооружения и машины. Численные методы могут быть использованы для решения подобных задач, описываемых аналогичными системами уравнений и соотношениями. Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывались: на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики и информатики» посвященной 80-летию со дня рождения профессора Л.А. Толоконникова (Тула, ноябрь 2003 г.); на школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2002); на семинарах по механике деформируемого твердого тела (Чебоксары, ЧГПУ, 2001-2004); на ежегодных итоговых конференциях научных сотрудников, докторантов и аспирантов ЧГПУ им. И.Я. Яковлева (Чебоксары, ЧГПУ, 2002, 2003); на ежегодных итоговых конференциях преподавателей ЧГПУ им. И.Я. Яковлева (Чебоксары, ЧГПУ, 2002, 2003). Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 7 работах.
Осесимметричная задача о вдавливании круговых штампов в неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство
Граничная задача для случая действия переменного контактного касательного напряжения под штампом. Координаты и значения среднего давления а в узловых точках на границе ОА (рис. 3) основания штампа (граница ОА может быть криволинейной) определяются из уравнения одной из а - характеристик и соотношения вдоль нее, значения функций ц/, под штампом считаются известными.
В случае действия переменного контактного касательного напряжения, значения функций у/, под штампом будут меняться, поэтому необходимо построение итерационной процедуры для определения значений средних напряжений а в узловых точках под штампом. Итерационную процедуру будем строить по следующей схеме. В качестве начальных средних значений функций , , зададим =0, у/=у/0, где %0,ц/0 - значения функций у/, % в начальной узловой точке М0. 1 . Находим координаты узловой точки на границе ОА на пересечении характеристики и границы ОА, из системы, образованной уравнепи 29 ем характеристики со средними значениями функций у/ , и уравнением границы штампа ОА. 2. Определяем значения функций yr у % в точке М на границе (24, соответствующие найденным координатам точки М из пункта 1 . 3. Находим = (0 + )/2, у/ = (у/0 + у/)/2 и переходим на шаг 1. Точность определения точки Л/на границе ОА задается абсолютной разностью последовательных значений у/, в точке М. Для определения среднего давления а в точке М не требуется построения итерационной процедуры, среднее давление а находится после определения геометрического положения точки М, по итерационной схеме описанной выше, из соотношения вдоль характеристики заменой значений функций а, у/, % их средними значениями между точками М и М0. Алгоритм построения поля характеристик для задачи о вдавливании штампов. а) Рассмотрим случая, когда только одно из трех главных напряжений на сводной границе равно нулю, в силу условия полной пластичности, определяемое конкретной постановкой задачи. Для оптимизации численных расчетов и, в частности, оптимизации процедуры определения длины пластической зоны на свободной границе, построение поля характеристик будем строить рядами, начиная от края штампа точки А до границы жесткопластической границы ODBC. Ряды узловых точек будут лежать на одном из семейств, например а - характеристики. Ряд начинается от свободной границы и завершается на границе штампа ОА (фиг. 2).
Последний ряд необходимо подобрать таким образом, чтобы он попал в начало координат. Для его нахождения построим интерполяционный многочлен, образованный точками, абсциссами которых возьмем значения абсцисс точек пересечения характеристики (подбираемого ряда) с границей штампа ОА, а ординатами - абсциссы точек пересечения характеристики (подбираемого ряда) со свободной границей АС. Далее для определения абсциссы точки С границы пластической зоны достаточно взять аргумент интерполяционного многочлена равным нулю, тогда значением интерполяционного многочлена будет искомая абсцисса точки С. При таком подходе интервал ОЕ абсцисс точек, задающих интерполяционный многочлен, и их количество являются параметрами предлагаемого численного метода расчета поля напряжений, определяющими точность нахождения абсциссы точки С (начала) последнего ряда (жесткопластической границы ODBC).
При решении задачи Коши с точностью порядка 10 ю, длиной ОЕ = 0Л и пятью точками, задающими интерполяционный многочлен, абсцисса точки С края пластической зоны на свободной границе определяется с точностью порядка 10 5-10" в среднем. б) Для случая, когда два из трех главных напряоїсений на сводной границе равны нулю алгоритм построения поля характеристик будет не сколько иным. Конфигурация а,/3,у характеристик, определяемая граничны ми условиями (фиг. 3) для случая задачи \ / р- о вдавливании осесимметричных штам- yyJW р g - — пов в идеально пластическое полупро- Фиг. 3 странство с учетом сдвигающих усилий ц/ 0, в силу соотношений (1.1.5) определена таким образом, что при решении задачи Коши, начиная с задачи Гурса, третья у характеристика не будет делить угол, образованный сг,/? - характеристиками на свободной границе. Это делает невозможным определение неизвестного параметра у/ точки Р, и как результат невозможным расчет поля напряжений от свободной границы к штампу. Однако в этом случае остается возможность неклассически обратным методом строить поле характеристик от штампа (неизвестной границы) к свободной (известной) границе зоны пластического состояния, выбирая среднее напряжение а под штампом таким образом, чтобы получаемое на свободной границе среднее напряжение а удовлетворяло граничным условиям. В качестве одного из методов определения подбираемого среднего давления а под штампом можно выбрать предложенный выше метод использования интерполяционного многочлена, который дает точность порядка 10"9-10"ш при решении задачи Коши с точностью порядка 10" и длине интервала выбора т, равной 0.1.
Построение решения относительно реализуемых случаев пластического течения материала
На первом этапе согласно первому параграфу определяется геометрическая конфигурация пирамиды относительно пяти входных параметров: и, ", , б и //- задающего напряжение контактного трения на границе контакта HWk. Где параметр п определяет число боковых граней пирамиды, - угол отклонения грани пирамиды от оси внедрения, -угол поворота пирамиды вокруг оси Oz, 8 - углом от оси внедрения к нормали границы пластического полупространства (фиг. 19).
На втором этапе, согласно второму параграфу, определяется в зависимости от реализуемых случаев пластического течения вертикальное давление в направлении оси Oz на всех гранях пирамиды внедренной на глубину h = 1 в отдельности, затем находится общее вертикальное давление на пирамиду. Параллельно идет геометрическое построение (фиг. 23), реализуемого случая внедрения пирамиды и построение пластических областей, образуемые при конкретных значениях параметров п, , , S, fi, рассматриваемого случая, который определяет одну точку на графиках, приведенных на фиг. 24.
Далее последовательно определяется другие точки графиков, для которых после чего определяется интерполяционный многочлен, образованный полученными точками.
Ниже приведены примеры построения графиков зависимостей общего вертикального давления от угла наклона грани к оси пирамиды на примере задачи о внедрении квадратной пирамиды в идеальнопла-стическое полупространство. Глубина внедрения пирамиды фиксирована и равна А=1.
Графики, приведенные на фиг. 24, построены для случая задачи внедрения квадратной пирамиды для различных углов поворота пирамиды вокруг оси внедрения 4 0, 4 - я"/4 различных углов наклона оси внедрения пирамиды от нормали к полупространству 6 = 0, 5 = л/6, S л/4 и для различного контактного трения на гранях пирамиды ft = О, ,н = 0.1, = 0.5 (на фиг.24 приведены графики для различного контактного трения соответственно снизу вверх). Определяется возрастание вертикального давления на пирамиду с ростом угла наклона грани к оси пирамиды. Угол поворота пирамиды вокруг ее оси внедрения существенного влияния на изменение давления не оказывает. Влияние угла уменьшается с увеличением числа граней пирамиды N. Увеличение величины угла S наклона оси внедрения пирамиды от нормали к полупространству ведет к возрастанию вертикального давление. Вертикальное давление также возрастает с увеличением числа граней пирамиды. 1. Получены характеристические соотношения для напряжений в ци линдрической системе координат, развиты численные методы расче та поля напряжений, позволяющие решать класс осесимметричных задач теории идеальной пластичности, учитывая свойства неодно родности пластического материала с пределом текучести произволь ного вида, воздействие массовых сил, а также задач с учетом дейст вия сдвигающих усилий при тр0,т& 0, описываемые системами уравнений и соотношениями, приведенными в реферируемой работе. 2. Получено численное решение осесимметричной задачи о вдавливании круговых штампов в неоднородное идеальное жесткопластиче-ское полупространство при действии различного вида контактных касательных напряжений под штампом для случая экспоненциальной зависимости предела текучести материала от координат точек полупространства; 3. Найдено численное решение осесимметричной задачи о вдавливании кольцевых штампов в неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство при действии различного вида контактных касательного напряжения под штампом для случая экспоненциальной зависимости предела текучести материала от координат точек полупространства; 4. Получено численное решение задачи о вдавливании кругового штампа с плоским основанием в неоднородное жесткопластическое полупространство с учетом сдвигающих усилий r ,T& 0 для случая экспоненциальной зависимости предела текучести, а также предела текучести произвольного вида. 5. Получено автомодельное решение задачи о наклонном внедрении жестких правильных пирамид в идеальнопластичсскос полупространство при условии полной пластичности с учетом контактного трения на гранях пирамиды.
