Содержание к диссертации
Введение
1. Уровень определения объектов 9
1.1 Общие решения пространственных задач теории упругости 9
1.2 Обзор аналитических решений задач о полупространстве при различном характере загружения 13
1.3 Вопросы применимости решений линейной теории упругости к грунтам 16
1.4 Обзор численных методов 18
Выводы 28
2. Осесимметричная деформация многослойного упруго-изотропного полупространства, ослабленного цилиндрической вибрацией 30
2.1 Напряженно-деформированное состояние многослойного упруго-изотропного полупространства, ослабленного цилиндрической выработкой, стенки которой подкреплены абсолютно жестким включением 30
2.2 Исследование напряженно-деформированного состояния трехслойного полупространства, ослабленного цилиндрической выработкой, стенки которой подкреплены жестким включением, при различном характере загружения дневной поверхности 47
2.3 Исследование напряженно-деформированного состояния трехслойного полупространства, ослабленного цилиндрической выработкой без подкрепления, при различном характере загружения дневной поверхности бб
Выводы 74
3. Программа, реализщая метод конечных элементов в осесимметричной области 77
3.1 Подпрограмма дискретизации 77
3.2 Подпрограмма формирования глобальной матрицы теплопроводности и вектора нагрузок 81
3.3 Подпрограмма "Решение системы" 94
3.4 Подпрограмма формирования глобальной матрицы жесткости и вектора нагрузок 96
3.5 Инструкция по составлению исходных данных к программе определения напряженно-деформированного состояния осесимметричных конструкций 102
Выводы
4. Расчет и анализ термонапряшений в деталях и узлах промышленных конструкций 115
4.1 Определение напряженно-деформированного состояния детали в виде круглой керамической пластины (изделие № I) 116
4.2 Исследование напряженного состояния составного изделия (изделие № 2) 122
4.3 Исследование напряженного состояния составного изделия (изделие Р 3) 135
Выводы 144
Литература 149
- Обзор аналитических решений задач о полупространстве при различном характере загружения
- Вопросы применимости решений линейной теории упругости к грунтам
- Исследование напряженно-деформированного состояния трехслойного полупространства, ослабленного цилиндрической выработкой, стенки которой подкреплены жестким включением, при различном характере загружения дневной поверхности
- Подпрограмма формирования глобальной матрицы теплопроводности и вектора нагрузок
Введение к работе
Актуальность проблемы
Ортопедическая стоматология в начале XXI века предъявляет повышенные и все более жесткие требования к конструкционным материалам, так как от их качественных характеристик в большой мере зависит функциональная ценность зубных протезов.
Уже более 50 лет акриловые пластмассы, в свое время совершившие «революцию» в ортопедической стоматологии, с успехом применяются во всем мире для изготовления зубных протезов.
По данным литературы, до 98% пластиночных протезов в мире изготавливается именно из акриловых пластмасс,
Наряду с этим широко известно о серьезных недостатках акриловых пластмасс. Это недостаточная прочность при статическом изгибе, низкая удельная ударная вязкость - что приводит к частым поломкам протезов. Следует отметить, что акриловые пластмассы имеют довольно большую усадку (6-8 %), что может выражаться в несоответствии внутренней поверхности базиса протеза и протезного ложа. Даже тщательное соблюдение технологии полимеризации может снизить процент усадки лишь до 1,5 %. Кроме этого, большой проблемой является наличие остаточного мономера, который оказывает негативное влияние на ткани протезного ложа и организм в целом. Установлено, что мономер снижает титр лизоцима в слюне. Остаточный мономер, вымываемый из протезов, даже в незначительных количествах влияет на функциональное состояние нейтрофилов полости рта и подавляет их активность (Темирбаев М.А. с соавт., 1989). По мнению ряда авторов, мономер является протоплазматическим ядом, чрезвычайно активен при контакте с тканями и способен оказывать раздражающее и токсическое действие на весь организм (Мишнев Л.М., 1987; Жолудев С.Е., 1992; Shim J.S., Watts D.C., 1999).
Создание новых материалов, лишенных выше перечисленных недостатков, для изготовления съемных зубных протезов является-важной медицинской задачей.
Многочисленные исследования по изучению полимерных материалов свидетельствуют о значительных трудностях на пути материалов для ортопедической стоматологии (Тернер М.М., 1984; Дойников А.И., 1986; Anusavice K.J., 1996).
Член-корр. РАМН, проф. В.Н.Копейкин в свое время (1988г.) отмечал, что для решения проблемы «идеального» базисного материала необходимо объединение усилий стоматологов ортопедов и ученых - химиков с тем, чтобы целенаправленно искать пути совершенствования и вести поиск новых материалов для ортопедической стоматологии.
Полиуретаны, благодаря своему уникальному сочетанию свойств: механической прочности, высокой биосовместимости, высокому сопротивлению разрыву, хорошей способности к изгибу, имеющие долговременную молекулярную стабильность, нашли достаточно широкое применение в медицине.
Впервые о возможности использования полиуретана в качестве конструкционного материала для изготовления съемных зубных протезов было доложено группой авторов (Tang R.Y., Gonzalez J.В., Roberts G.D.) на 52-й сессии ассоциации по научным исследованиям в области стоматологии (IADR) в г.Атланта (США) в 1974 году. Авторами было предложено использование полиуретана в качестве эластичного подкладочного материала при изготовлении пластиночных протезов и отмечена перспективность его применения. Но исследования в этой области наткнулись на ряд проблем, прежде всего технологического плана. Требовалось кардинальное изменение технологии изготовления съемных протезов. Полиуретан требовал изготовления металлических или полиуретановых моделей челюстей и форм, т.к. при контакте с гипсом вбирал в себя воду, что нарушало его структуру. Видимо из-за технологических проблем, разработки в этой области большого распространения не получили.
В 1983 году Балалаева Н.М. предприняла попытку использования полиуретана в качестве базисного материала для изготовления пластиночных протезов и боксерских шин. Автором был использован выпускаемый промышленностью полиуретан СКУ-ПФЛ, который является эластомером с твердостью по Шору А 92-94 усл.ед. Предложенные протезы отличались достаточно сложной конструкцией, они состояли из металлического каркаса, находящегося внутри полиуретанового базиса, промежуточного слоя акриловой пластмассы для соединения с акриловыми искусственными зубами. Протезы не выдерживали циклических нагрузок, часто ломались в области соединения полиуретана и акриловой пластмассы, технология изготовления таких «многослойных» протезов была довольно сложной. Кроме этого, промышленный полиуретан СКУ-ПФЛ, по нашему мнению, слишком эластичен, чтобы служить базисом пластиночного протеза.
Полиуретан, который по своим физико-механическим свойствам находится между каучуком и металлом, обладает уникальным сочетанием качеств (эластичность, прочность, очень высокая износостойкость, безвредность для организма) требует к себе более пристального внимания стоматологов-ортопедов. На наш взгляд, перспектива применения полиуретана в качестве конструкционного материала в ортопедической стоматологии лежит в области создания новых композиций этого уникального материала, специально разрабатываемых с учетом требований к стоматологическим материалам.
В настоящей работе нами предпринята попытка использования новых, созданных нами, композиций полиуретана в качестве конструкционных материалов при изготовлении протезов в ортопедической стоматологии.
Цель исследования
Разработка и научно-практическое обоснование нового направления в ортопедической стоматологии по созданию и применению нового класса конструкционных материалов на основе полиуретана для съемных зубных протезов.
Задачи исследования
1. Предложить оптимальные варианты композиций на основе полиуретана для изготовления базисов съемных зубных протезов.
2. Разработать методику изготовления съемных зубных протезов с базисами из материала на основе полиуретана.
3. Разработать методику изготовления зубных протезов с двухслойными базисами с эластичной подкладкой из полиуретана.
4. Изучить в сравнительном аспекте физико-механические и эксплуатационные свойства образцов конструкционных материалов на основе полиуретана и существующих базисных пластмасс,
5. Исследовать биосовместимость образцов зубных протезов из материалов на основе полиуретана путем оценки их химической и биологической безопасности.
6. Дать клиническую оценку применения съемных зубных протезов с базисами из материалов на основе полиуретана.
Научная новизна
Предложен новый класс зубопротезных конструкционных материалов на основе полиуретана.
Впервые разработана рецептура материала на основе полиуретана для изготовления базисов съемных зубных протезов, лишенного недостатков акриловых пластмасс (Патент РФ № 2224482).
Впервые разработаны композиции эластичных материалов на основе полиуретана для изготовления двухслойных базисов съемных зубных протезов (Патент РФ № 2224483).
Впервые разработаны методики изготовления съемных зубных протезов (в том числе двухслойных) с использованием новых конструкционных материалов на основе полиуретана (Патент РФ № 2224480, Патент РФ № 2224481).
На основании результатов проведенных исследований доказана целесообразность применения разработанных материалов и методик в ортопедической стоматологии и научно обосновано новое направление в развитии зуботехнического материаловедения.
Практическая значимость
Разработаны и предложены для практического применения: новый класс зубопротезных конструкционных материалов на основе полиуретана и новые методики изготовления съемных зубных протезов с базисами из полиуретана.
Совокупность полученных данных доказывает, что применение зубных протезов с базисами из разработанных материалов на основе полиуретана позволит снизить число осложнений при пользовании протезами и, соответственно, повысить качество ортопедического лечения. Положения, выносимые на защиту
1. Разработанный материал на основе полиуретана «Денталур» для изготовления базисов съемных зубных протезов полностью отвечает требованиям, предъявляемым к базисным материалам.
2. Разработанный материал на основе полиуретана «Денталур П» для изготовления эластичных подкладок базисов съемных зубных протезов полностью отвечает требованиям, предъявляемым к подкладочным материалам.
3. По своим физико-механическим характеристикам и эксплуатационным свойствам базисный материал на основе полиуретана «Денталур» превосходит известные базисные акриловые материалы.
4. Новые конструкционные материалы на основе полиуретана «Денталур» и «Денталур П» обладают высокой степенью биосовместимости.
5. Ортопедическое лечение с применением съемных зубных протезов с базисами из материалов на основе полиуретана, изготовленных по разработанным методикам, основанным на принципе свободного литья, позволяет достичь высокого функционального результата.
Апробация материалов диссертации
Результаты и основные положения диссертации доложены и обсуждены на Международной стоматологической выставке «Стоматологический салон - 2003» (г.Москва, 22-25 апреля 2003г.), XI Всероссийской научно-практической конференции «Стоматология XXI века» в рамках VIII съезда стоматологической ассоциации России (гМосква, 8-10 сентября 2003г.), Международном симпозиуме «Новые технологии в стоматологии» (г.Самара, 11-14 ноября 2003г.), Всероссийском форуме «Образование, наука и практика в стоматологии» (г.Москва, 10-13 февраля 2004г.).
Апробация диссертации состоялась 16 февраля 2004г. на совместном заседании кафедр факультетской ортопедической стоматологии, госпитальной ортопедической стоматологии и ортопедической стоматологии ФПКС МГМСУ, сотрудников ФГУП «НИИ резиновых и латексных изделий» и сотрудников КДЦ МГМСУ. Внедрение результатов исследования
Разработанные материалы, образцы протезов и методики их изготовления рассмотрены и признаны целесообразными на заседании Комиссии по приборам, аппаратам, инструментам и материалам, применяемым в стоматологии, Комитета по новой медицинской технике МЗ РФ (26 июня 2003г.). Разработаны и используются при изготовлении зубных протезов технические условия «Протезы зубные съемные с базисом из жесткого полиуретана «Денталур» и с комбинированным базисом из жесткого и эластичного полиуретана «Денталур П» (ТУ 38.406500-03). Разработаны технические условия «Материалы на основе полиуретанов «Денталур» и «Денталур П» для изготовления базисов съемных зубных протезов» (ТУ 9391 -017-00152164-03) и инструкции по применению. Результаты исследований внедрены в клиническую практику и используются в лекционном материале и практических занятиях со студентами на кафедре факультетской ортопедической стоматологии МГМСУ.
Публикации
По теме диссертации опубликована 21 научная работа. Получено 4 патента на изобретения.
Объем и структура диссертации
Диссертация изложена на 265 страницах машинописного текста и состоит из введения, обзора литературы, главы собственных исследований по разработке новых конструкционных материалов и методик изготовления съемных зубных протезов из полиуретана, главы, посвященной методам исследований разработанных материалов, результатов исследований разработанных материалов и их обсуждения, заключения, выводов, практических рекомендаций, списка литературы и приложений. Работа иллюстрирована 21 таблицей и 90 рисунками. В списке литературы приведено 302 источника, в том числе 145 отечественных и 157 иностранных авторов.
Обзор аналитических решений задач о полупространстве при различном характере загружения
Во введении было отмечено, что при расчете осадок оснований надшахтных сооружений нормативная литература рекомендует рассматривать основание в виде полупространства, загруженного по кольцевому участку поверхности. Одной из первых задач для полупространства была задача Буссинеска, в которой рассматривалось воздействие на полупространство сосредоточенной силы. Дальнейшее развитие эта задача получила в работе А.Лява /78/, рассмотревшего случай воздействия давления, распределенного по кругу. Влияние нагрузки, приложенной на дневной поверхности полупространства и распределенной по площади кольца, исследовалось А.Я.Александровым /б/.
Задача о передаче давления через слой, когда на поверхности дневного слоя действует нагрузка, равномерно распределенная по площади круга, рассматривалась в работе Г.С.Шапиро /115/. Основание при этом предполагается абсолютно гладким и несжимаемым.
Нередко в практике приходится встречаться со случаем, когда массив состоит из нескольких слоев пород. В работе Р.М.Раппопорт /91/ исследовано напряженно-деформированное состояние двухслойного упруго-изотропного полупространства, верхний слой которого имеет конечную толщину. При решении данной задачи использовано общее решение осесимметричной задачи в форме А.Лява; автором получены численные результаты контактных напряжений (jz при различных соотношениях модулей упругости верхнего слоя и бесконечного массива в случае загружения дневного слоя полупространства силами, равномерно распределенными по площади кольца.
В работах В.З.Васильева /27,28/ рассмотрено взаимодействие полупространства с цилиндрическим включением. В этих работах цилиндрическое включение принимается абсолютно жестким и гладким. Так в работе /27/ рассмотрена осесимметричная деформация полупространства, ослабленного цилиндрической полостью, стенки которой подкреплены абсолютно жестким и гладким включением. Автором были получены численные результаты напряжений, в частности, радиального напряжения (5 , которое при значении радиуса, равного радиусу абсолютно жесткой оболочки, определяет давление массива на подкрепление; в работе также выполнен расчет осадок поверхности вблизи выработки. Полученный расчет является обобщением известного решения об осесимметричной деформации цельного полупространства при нагружении дневной поверхности нормальными силами, равномерно распределенными по площади круга. Последнее достигается как частный случай, если в соотношениях для напряжений и перемещений устремить внешний радиус абсолютно жесткой оболочки к нулю. Сравнение полученных результатов показывает, что для полупространства с выемкой, подкрепленной абсолютно жесткой оболочкой, значительно увеличивается осадка массива по сравнению с осадкой цельного массива: в непосредственной близости к подкреплению она позрастает более, чем в два раза.
В работе /28/ рассмотрена осесимметричная деформация двухслойного упруго-изотропного полупространства с цилиндрической полостью, подкрепленной абсолютно жестким включением. Автором получены численные результаты относительных значений контактных напряжений ё&/Ра и проведено исследование влияния соотношения модулей упругости материалов, слагающих полупространство. Рассмотрен вариант нагружения дневной поверхности массива силами, равномерно распределенными по площади кольца. Расчеты показали, когда сверху располагается слабый слой, контактные напряжения четко следят за характером поверхностной нагрузки. В случае жесткого верхнего слоя при с = на глубину, равную внешнему радиусу абсолютно жесткого включения, передаются нормальные напряжения, составляющие менее 2(Ж от интенсивности внешних сил. Напряженное состояние, возникающее в полупространстве, ослабленном цилиндрической выработкой, рассматривалось в работах А.Н.Динника, С.Г.Лехницкого, Н.Х.Арутюняна и Б.А.Абрамяна, В.Т.Гринченко, В.З.Васильева, К.Бленкорна и Дж.Уилхойта, К.Юнг-дела и Е.Стернберга.
А.Н.Динник /53/ получил решение для полупространства с выработкой под действием объемных сил. Для этого случая загруже-ния им были получены соотношения для напряжений в элементарной форме.
В работах С.Г.Лехницкого /76,77/ рассмотрено напряженно-деформированное состояние массива, ослабленного выемкой, под действием объемных сил, а также в случае загружения нормальными силами поверхности выработки при линейном законе распределения. Решения в этих задачах получены в замкнутом виде. Все остальные случаи загружения приводят к интегральным уравнениям.
Вопросы применимости решений линейной теории упругости к грунтам
Применение решений теории упругости к грунтам встречало в прошлом и встречает в настоящем следующие возражения: 1. Грунт не является упругим телом. 2. Зависимость между напряжениями и деформациями в грунтах не является линейной, вследствие чего к грунтам не применим закон іука. Еще в 1930 г. Н.М.Герсеванов отметил, что в условиях одно кратного приложения нагрузки без ее последующего снятия, свойство упругости проявиться не может. То есть наличие или отсутствие упругих свойств среды не представляет практического интереса. Вопрос о применимости решений теории упругости зависит от применимости закона Гука., на котором основаны эти решения.
Если напряженное состояние земляной среды далеко от пре- . дельного состояния, то напряжения и деформация в грунте связаны пусть и не линейной, но однозначной зависимостью. Это означает, что каждому определенному изменению напряженного состояния соответствует вполне определенное приращение деформаций. При незначительном изменении напряженного состояния любую нелинейную зависимость между напряжениями и деформациями можно заменить на этом диапазоне линейной. Так как в основаниях сооружений численные значения приращений напряжений обычно не велики, то можно считать применение решений теории упругости для определения напряженно-деформированного состояния грунта вполне допустимым. Конечно, применение классической линейной теории к расчету осадок фундаментов не должно ограничивать разработку других нелинейных схем, но следует помнить, что расчет по второму предельному состоянию (расчет осадок) позволил построить в СССР уникальные сооружения: высотные здания в Москве, Останкинская телебашня и т.д. и в основе этого расчета лежит теория линейно-деформируемой среды.
Оправданность и границы применения в механике грунтов решений теории упругости были установлены в работах Н.М.Герсеванова /38/, В.А.Шлорина /НО/. Все современные монографии по механике грунтов, - Н.А.Цытовича /ИЗ/, М.Н.Гольдштейна /39/, К.Терцаги /104/, - содержат разделы, посвященные исследованию поведения грунтов под нагрузкой при помощи механики линейно деформируемой среды.
Одной из основных проблем механики грунтов является проблема получения надежных численных характеристик механических и физических свойств, необходимых для расчетов. О том, что современная методика лабораторных и полевых испытаний грунтов не всегда позволяет с большой достоверностью определить свойства пород, из которых слагается массив, говорится в статье М.Н.Гольд-штейна /42/. Самые сложные расчетные модели всегда будут давать результаты с относительными погрешностями того же порядка, что и допускаемые при определении входных параметров. В связи с этим встает вопрос о использовании приближенных методов расчета - метода конечных разностей, вариационно-разностного метода и метода конечных элементов.
Известно, что достоянием инженерной практики в основном стали только замкнутые решения. К таким решениям приводят, например, задачи для тел типа "полупространство - слой", когда точно выполняются условия лишь на цилиндрических поверхностях или только на плоских гранях. Иногда удается построить замкнутое решение при точном выполнении граничных условий на "разнородных" поверхностях. В основном это смешанные задачи. Однако решение существенно усложняется при точном выполнении граничных условий на взаимно перпендикулярных плоскостях для первой и второй основных задач теории упругости. Именно трудности, встречаемые при решении задач, в которых объекты имеют сложные граничные условия или сложную геометрическую форму, стимулировали разработку современных численных методов, что в свою очередь стало возможным благодаря интенсивному развитию 2ВМ.
Наиболее эффективными методами решения задач в настоящее время являются:метод конечных разностей /25,26/, вариационно-разностный метод /12,13,14,50,71/ и метод конечного элемента /15,23,24,32,33,54,56,58,61,69,79,89,95,98/. Основой всех этих методов является дискретизация модели исследуемого объекта -замена дифференциальных и функциональных уравнений их сеточными аналогами и переход к разрешающей системе алгебраических уравнений, решение которой и определяет дискретное множество искомых функций в заранее намеченных узлах области. Но дискретизация в вышеприведенных методах выполняется на различных уровнях.
Исследование напряженно-деформированного состояния трехслойного полупространства, ослабленного цилиндрической выработкой, стенки которой подкреплены жестким включением, при различном характере загружения дневной поверхности
Исследование проводилось при помощи программы, реализующей метод конечных элементов, которая приведена в следующем разделе. Известно, что решение,полученное методом конечных элементов, является приближенным. Величина общей энергии деформации, полученная в процессе приближенного решения, будет ниже истинной, получаемой при точном решении. На практике это означает, что величины перемещений, а следовательно, и напряжений, будут преуменьшены при приближенном решении. И, конечно, важно знать как это решение соотносится с точным. Однозначного ответа на этот вопрос не существует. В каждом конкретном случае степень приближения к точному решению определяется либо сравнением с известным точным решением, либо изучением сходимости полученных приближенных решений с применением двух или более стадий разбивки.
Для подтверждения достоверности численных результатов, полученных в аналитическом решении, а также для проверки точности используемого варианта МКЗ в задачах исследуемого типа, в работе выполнены два варианта расчета для трехслойного полупространства с выработкой. Исследуемый слоистый массив был разбит на 64 и 156 конечных элементов. На рис.2.5, 2.6 приведены зависимости относительных значений напряжений и изменение перемещений от относительного значения радиуса при разбиении полупространства на 64 элемента, на рис.2.7, 2.8 - при разбиении на 156 элементов. Сопоставление результатов, полученных в аналитическом решении и при помощи программы, реализующей метод конечных элементов, показало: 1. При разбиении полупространства на 64 элемента отличие в напряжения в зоне их повышенных значений ( OL4 8 2CL , 0 2? 3d) не превышало 6%; в массиве, где уровень напряжений невысок, отличие увеличивается до 36%. 2. Ошибка в величине максимальных напряжений при разбиении полупространства на 156 элементов по сравнению с аналитическим решением составила не более 4%. 3. Такое незначительное отличие в величине напряжений показывает, что даже при относительно малом числе элементов получено решение, достаточно близкое к точному. Помимо этого совпадение численных результатов свидетельствует о правильности части программы, позволяющей решать осесимметричные задачи теории упругости, и о достоверности полученных результатов.
Фундаменты надшахтных сооружений, несмотря на их осесиммет-ричное расположение относительно оси шахтного ствола, могут занимать различное расположение. Поэтому представляется важным в практическом отношении проведение исследования напряженно-реформированного состояния полупространства при различном характере загружения дневной поверхности. Исследование проводилось при 6-ти вариантах приложения нагрузки (рис.2.9). Отличия в величинах максимальных напряжений и перемещений составляли соответственно Ъ% и 4%. Такая небольшая разница свидетельствует, что решение, полученное при разбиении полупространства на 156 конечных элементов, достаточно близко подходит к точному и вполне может удовлетворить инженера-проектировщика в конкретных расчетах. Анализ полученных результатов позволил сделать следующие выводы: 1. При удалении фундамента от шахтного ствола (1-4 варианты) величина максимального радиального перемещения \Х практически не зависит от его положения; максимумы перемещений строго следят за положением фундамента и приходятся на его максимальную координату 2 ; при нагружениях, соответствующих 5-му и 6-му вариантам, положения максимумов приходятся на координату конца приложения нагрузки. 2. Максимальная величина осадки W практически не зависит от положения фундамента для 2-го ... 4-го варианта и приходится на координату, соответствующую значению среднего радиуса фундамента 2 ср.
Подпрограмма формирования глобальной матрицы теплопроводности и вектора нагрузок
При помощи матрицы индексов также автоматизировано формирование глобального вектора нагрузки { fj . Итак, при оптимальной нумерации узлов матрица теплопроводности (.К J оказывается матрицей ленточного типа, которая характеризуется тем, что все ненулевые коэффициенты располагаются вблизи главной диагонали. Помимо этого матрица [К] обладает двумя положительными свойствами: симметрии и положительной определенностью. Наличие симметрии означает, что приблизительно половину ненулевых коэффициентов не нужно запоминать. Положительная определенность означает, что коэффициенты, стоящие на главной диагонали, всегда положительны и много больше по величине, чем любой другой коэффициент строки или столбца. Эти свойства создают удобства как для хранения матрицы, так и для решения системы линейных алгебраических уравнений: значительно сокращается объем вычислений и уменьшается вероятность появления больших ошибок округления. Перед решением, полученная система уравнений должна быть преобразована, так как на части или на всей поверхности некоторые составляющие вектора - столбца {Т} известны. Причем следует так преобразовать систему, чтобы не нарушилось очень ценное свойство матрицы - свойство симметрии. При преобразовании системы по методу Пэйна-Айронса /98/ диагональный коэффициент, соответствующий заданному узловому значению, умножается на большое число.
Этот способ неприменим при решении задач теории упругости. Поэтому в диссертационной работе выбран другой метод преобразования системы, который формулируется в виде следующего правила: если узловое значение Ті, задано в виде TL-Q L, то правая часть уравнения /-L заменяется значением Сі » диагональный член матрицы Кц заменяется единицей, а остальные элементы і -ой строки и L -го столбца - нулями; затем из остальных f\ следует вычесть КПСІ. . Для решения системы уравнений создана подпрограмма "Решение системы".
Известно, что методы решения систем можно разделить на две группы: циклические и прямые. Циклические методы характеризуются следующей особенностью: начиная процесс, исходят из некоторых начальных значений неизвестных, которые затем последовательно изменяются. Рассмотрим особенности некоторых циклических методов. В итерации по Зейделю неизвестное в I -ом уравнении изменяется так, чтобы привести к нулю невязку в этом же уравнении. В методе простой релаксации уничтожается наибольшая по абсолютному значению невязка, и цикл вычислений состоит в отыскании наибольшей невязки, ее подавлении, определении невязок в остальных уравнениях. Этот метод дает эффект в тех случаях, когда на каждом шаге шлеется преобладающая невязка. Если же этого нет, то такой метод не ускоряет сходимости, а может привести к увеличению других невязок. В методе групповой релаксации на каждом шаге изменяют группу неизвестных таким образом, чтобы невязки во всех уравнениях имели тенденцию к уменьшению. Существуют несколько методов спуска, в которых процесс последовательных приближений направляется интегральными оценками. Сходимость процесса в этих методах замедляется с увеличением порядка системы.
В точных методах сопряженных градиентов, основанных на последовательной ортогонализациш векторов, вычислительный процесс близок к итерационному, но решение получается в результате конечного числа шагов. Количество вычислений в несколько раз больше, чем в методе Гаусса. Поэтому итерационные методы получили меньшее распространение, несмотря на то, что программа для них значительно проще и короче, чем для прямых методов. Во многих случаях при применении итерационных методов время счета значительно больше, чем при точных, причем трудно заранее определить время счета, й даже, если и есть доказательство сходимости для данного класса задач, время решения может быть в десятки раз больше, чем по Гауссу.
Одним из наиболее эффективных прямых методов решения системы уравнений, которая получается при использовании метода конечных элементов, является известный вариант метода исключения Гаусса. Исключение по Гауссу существует во многих алгебраически тождественных вариантах. Методы отличаются характером хранения матриц, порядком исключения, способом предупреждения больших погрешностей округления. При плохо обусловленной системе, когда хотя бы одно собственное значение матрицы оказывается очень малым, исключение по Гауссу может дать неправильный результат. Как было сказано выше, при использовании метода конечных элементов, матрица получается положительно определенной, невырожденной и хорошо обусловленной.
В работе /106/ показано, что при выборе главного элемента максимальным по абсолютной величине в столбце матрицы, ошибки округления резко уменьшаются. Однако при перестановке столбцов нарушается симметрия матрицы. Для сохранения симметрии необходимо переставить и строки, что значительно увеличивает затраты машинного времени. В этой же работе Уилкинсон показал, что если матрица симметрична и положительно определена, то перестановки можно избежать без серьезного увеличения ошибки округления. Недостаток этого метода в применении к сБМ по существу только один: невозможность экономии памяти для малозаполненных (редких) матриц, поскольку многие нулевые элементы в процессе прямого хода заполняются числами.
Наилучшим алгоритмом, реализующим метод Гаусса, является алгоритм, опубликованный в работе Сосиса /102/, согласно которому сформированная глобальная матрица жесткости (теплопроводности) записывается на магнитную ленту. В настоящей работе в программе внешняя память не используется, а вся матрица коэффициентов записывается в оперативную память машины в виде одномерного массива. При обратной прогонке вектор решения формируется на месте вектора правых частей. Если в задаче ставится вопрос об определении температурного поля, то программа заканчивает работу.
