Введение к работе
Актуальности ъ работ ы.
Решение проблем обеспечения сейсмической безопасности регионов требует исследования причин развития сейсмического процесса. Глубинные землетрясения могут быть вызваны сложными воздействиями на части литосфер-ных плит, получивших разлом в зоне астеносферы. Проблема оценки взаимодействия литосферы и верхней мантии относится к числу малоисследованных. Открытым является вопрос о землетрясениях, эпицентры которых расположены на глубинах астеносферы, т.е. в пределах 40-350 км. В настоящей диссертации изучается возможность их возникновения в связи с разломом отвалившихся от нижних границ литосферных плит плоских фрагментов. Разрушение этих плоских фрагментов уже при дрейфе в астеносфере может быть причиной глубинных землетрясений.
В первом приближении литосферные плиты можно описать как твёрдые тела, перемещающиеся по поверхности мантии, от которых могут отслаиваться плоские фрагменты. Существование таких плоских фрагментов может обнаруживаться магнитотеллурическим методом, сканирующим электрическое сопротивление среды до глубины 150 км. В масштабах Земли эти фрагменты можно рассматривать как тела с относительно малой толщиной. Объектами диссертационных исследований являются линейно-деформируемые тела, подверженные напряжениям при их движении в астеносфере. Напряженно-деформированное состояние таких тел с учетом внешних воздействий будет определять возможность их разрушения и инициирования сейсмического события.
В отличие от литосферы верхняя часть мантии - астеносфера - не обладает пределом прочности и её вещество способно к течению даже под действием очень малых избыточных давлений. Астеносфере принадлежит ведущая роль в движении литосферы. Её течение увлекает за собой литосферные плиты и вызывает их перемещение. Динамика мантии определяет движение плит как в вертикальном, так и горизонтальном направлении. Жидкоподобное поведение верхней мантии объясняет выбор гидродинамической теории тепловой конвекции в жидкости для исследований конвективных движений в мантии.
Таким образом, в геологическом масштабе времени астеносфера может рассматриваться как жидкая среда. Для описания процессов в земной коре и мантии используются различные модели механики деформируемого твердого тела и механики сплошных сред. Однако к настоящему времени поведение находящихся в верхней мантии частей литосферных плит при сложных нестационарных воздействиях еще мало изучено. Как правило, при моделировании движение в астеносфере фрагментов литосферных плит заменяется нестационарным движением тонких упруго-деформируемых пластин в жидкой ограниченной среде. В целом, исследуемая задача относится к классу смешанных задач, возникающих в механике сплошных сред.
Сложность задачи обтекания погруженных тел обусловливается неизвестностью формы границы раздела сред и нелинейностью выполняемых на этой границе условий. К проблемам с границами раздела сред можно добавить учёт формы самого тела, на котором должно выполняться условие плавности обтекания. Для упрощения математической модели течения прибегают к различным гипотезам, исходя из физических соображений. Самой известной является гипотеза о малости амплитуды волн по отношению к их длине, что, например, имеет место, когда возмущения на границе раздела сред достаточно малы. Первое систематическое изложение теории волн малой амплитуды принадлежит Г. Лэмбу. Воздействие тела (телесного контура) на течение при его моделировании заменяют, как правило, одной или несколькими гидродинамическими особенностями, расположенными на срединной линии контура.
Фундаментальные методы изучения поведения погруженного тонкого тела были разработаны такими выдающимися учёными, как М.В. Келдыш, М.А. Лаврентьев, Н.Е. Кочин и Л.И. Седов. Исследованию движений плоского контура в несжимаемой жидкости посвящены работы В.А. Целищева, И.И. Ефремова, Г.Г. Тумашева, СИ. Филиппова и др.
Несмотря на продолжительную историю исследований до сих пор недостаточно полных и надежных количественных данных о влиянии весомости жидкости, наличия границ жидкой среды на величину сил воздействия на погруженные упругие тела даже для плоских задач.
Предлагаемая в диссертации методика основана на методе интегральных уравнений и позволяет решать достаточно широкий класс гидродинамических задач, даёт возможность получения численных значений гидродинамических и упругих характеристик и позволяет определять параметры нормального устойчивого функционирования различных систем.
Значительный вклад в развитие методов исследования и решения интегральных уравнений внесли В.М. Александров, Б.Д. Аннин, Н.Х. Арутюнян, В.А. Бабешко, А.В. Белоконь, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Б.М. Глинский, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, А.Г. Горшков, Р.В. Гольдштейн, И.Г. Горячева, В.И.Ерофеева, Д.А. Индейцев, В.В. Калинчук, В.И. Колесников, С.А. Лурье, А.В. Манжиров, Н.Ф. Морозов, А.Д. Полянин, В.И. Моссаковский, СМ. Мхитарян, В.В. Панасюк, Г.Я. Попов, О.Д. Пряхина, М.В. Сильников, А.В. Смирнова, Т.В. Суворова, Д.В. Тарлаковский, Л.А. Филыптинский.
Вопросы концентрации напряжений в деформируемых тонкостенных те
лах были глубоко изучены в работах В.А. Бабешко, В.Г. Баженова, А.К.Беляева,
И.И. Воровича, И.Г. Горячевой, А.Н. Гузя, И.М. Дунаева, В.А. Еремеева,
Л.М. Зубова, Д.А. Индейцева, Л.А. Игумнова, Д.М. Климова, Л.П. Лебедева,
Е.В. Ломакина, Н.Ф. Морозова, А.В. Наседкина, В. Новатского,
И.Ф. Образцова, Б.Е. Победри, М.Г. Селезнева, А.Ф. Резчикова, Ю.А. Устинова, В.И. Феодосьева, К.В. Фролова, Е.И. Шемякина, Ю.Г. Яновского.
Цель и задачи исследования.
Цель работы - исследование процессов, происходящих в верхнем слое мантии, в астеносфере Земли, способных вызвать глубинные землетрясения. Достижение данной цели предполагает: построение математических моделей движения плоских фрагментов, отслоившихся от литосферных плит при нестационарных воздействиях в области астеносферы, разработку методики численного эксперимента и на её основе проведение исследования влияния параметров жидкой среды и характера внешних воздействий на динамические характеристики тонких плоских тел.
Выполнение следующих задач в рамках диссертационной работы способствовало реализации указанной цели:
-
Моделирование нестационарных движений тонкой пластины, находящейся в весомой жидкости вблизи границы раздела сред.
-
Сведение краевой задачи к сингулярному интегральному уравнению.
-
Разработка метода численного решения интегрального уравнения.
-
Анализ влияния границ жидкой среды, весомости жидкости и жесткости пластины на гидродинамические силы и упругие деформации.
Методы исследования.
В диссертационной работе используются классические методы теории функций комплексного переменного и теории обобщенных функций с применением преобразования Фурье. Предложенные численные схемы основываются на численном методе дискретных особенностей. Для проведения численного эксперимента разработаны алгоритмы, реализация которых проводилась в среде математического пакета MathCAD.
Научная новизна.
Разработана новая методика исследования нестационарных воздействий на поведение тонких плоских фрагментов литосферных плит в астеносфере. В ходе математического моделирования получена модель поставленной задачи в виде сингулярного интегро-дифференциального уравнения. Разработана схема численного решения. Создан программный комплекс определения гидродинамических нагрузок и упругих деформаций. Проведено численное исследование гидродинамических и упругих характеристик тонкой пластины, формы каверны, а также формы упругой пластины. Для различных режимов движения определены значения параметров, при которых гибкая пластина динамически неустойчива.
Достоверность результатов.
Достоверность полученных формул обеспечивается применением строгих математических методов. Результаты проведенных численных экспериментов согласуются с некоторыми известными результатами, полученными другими методами. Достоверность численных результатов подтверждается проведением в предельных случаях асимптотической оценки динамических реакций, а также известными точными решениями для ряда частных задач.
Научная и практическая значимость.
Полученные результаты могут быть использованы в системах мониторинга сейсмичности территории для решения проблем прогноза и снижения риска возникновения глубинных землетрясений.
Разработанные математические методы могут быть полезны в различных отраслях науки и техники, где встает проблема исследования динамического поведения гибких устройств при сложных воздействиях.
Представленные в диссертации материалы можно использовать в учебном процессе для демонстрации практического применения методов решения уравнений математической физики.
Исследования проводились в КубГУ при финансовой поддержке Ми-нобрнауки РФ (проект 1. 1926. 2011, выполняемый в рамках государственного задания на оказание услуг (выполнение работ)).
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Математические модели нестационарных движений тонких плоских
фрагментов литосферных плит в верхней мантии. Разработанные методы реше
ния задач для весомой ограниченной жидкой среды при следующих режимах
движения:
обтекание поступательным потоком жёсткой и упругой пластины;
колебание жёсткой и упругой пластины;
воздействие на жёсткую пластину волнового потока.
2. Численные схемы, учитывающие особенности решения полученных
сингулярных интегральных уравнений.
-
Комплекс программ, реализующих численные схемы решений.
-
Результаты численных исследований влияния глубины погружения и весомости жидкости на гидродинамические и упругие характеристики, на форму каверны и форму гибкой пластины, на коэффициенты прохождения и отражения. Расчётные данные о влиянии на гидродинамические характеристики массы пластины при колебании в весомой жидкости; о влиянии упругих свойств пластины на ее устойчивость при колебаниях и поступательном движении.
Апробация работы.
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры вычислительной математики и информатики Кубанского государственного университета, на XII Международном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (Харьков, 2005), на XI Всероссийской школе-семинаре «Современные проблемы математического моделирования» (п. Абрау-Дюрсо, 2005), на VIII и X международных научно-практических конференциях «Инновационные технологии в образовательном процессе» (Краснодар, 2006, 2008), на VI Всероссийской конференции молодых ученых «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии» (Новосибирск, 2007), на IV, V Всероссийских научных конференциях молодых учёных и студентов «Современное состояние и приоритеты раз-
вития фундаментальных наук в регионах» (Анапа, 2007, 2008), на Восьмой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2009» (Казань, 2009), на Международной научно-технической конференции «Современные информационные технологии» CIT-conference (Пенза, 2010), на XIV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов н/Д; Азов, 2010).
Публикации.
По теме диссертации опубликовано 18 работ [1-18], в том числе 10 в соавторстве, из них 5 - в изданиях, рекомендованных ВАК. В работах [1], [6-8], [12] научному руководителю профессору И.И. Ефремову принадлежат постановка задачи и основные идеи. Автору диссертации принадлежат реализация идей И.И. Ефремова, вывод основных соотношений и формул, получение численных результатов и их анализ. В работах [3], [4], [17], [18] научному руководителю доценту Е.П. Лукащик принадлежат постановка задачи, выбор методов решения и указание основных параметров исследования. В [2], [17], [18] соавтору Ю.Н. Колесниковой принадлежит часть исследований, проведённых в слое весомой жидкости.
Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ «Программный комплекс нахождения гидродинамических характеристик погруженного профиля» № 2011616071 от 3. 08. 2011.
Структура и объём работы.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 107 наименований. Нумерация формул и рисунков ведётся по главам. Общий объём работы - 145 страниц, диссертация включает 55 рисунков и 2 таблицы.
