Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор методов определения перемещений в идеально упругопластических системах
1.1. Развитие методики определения перемещений при однократном нагружении II
1.2. Особенности определения перемещений при повторно-переменном и подвижном нагружении .12
1.3. Предпосылки для построения единой методики определения перемещений при различных видах нагружения 16
2. Математические модем и методика определения перемещений при различных видах нагружения . 28
2.1. Основные допущения, понятия и зависимости 28
2.2. Исследование свойств математических моделей, построенных на основе экстремальных энергетических принципов 36
2.3. Методика и алгоритмы определения действительных пределов перемещений 45
2.3.1. Однократное нагружение 46
2.3.2. Повторно-переменное нагружение 50
2.3.3. Подвижное нагружение 55
3. Анализ примеров расчета 62
3.1. Однократное нагружение 62
3.2. Повторно-переменное нагружение 79
3.3. Подвижное нагружение 94
4. Программы расчета стержневых изгибаемых систем ..І04
4.1. Алгоритм решения задачи выпуклого программирования 104
4.2. Краткое описание программы PAT для определения перемещений при различных видах на-гружения 107
Заключение
Список литературы
- Особенности определения перемещений при повторно-переменном и подвижном нагружении
- Исследование свойств математических моделей, построенных на основе экстремальных энергетических принципов
- Повторно-переменное нагружение
- Краткое описание программы PAT для определения перемещений при различных видах на-гружения
Введение к работе
В материалах ХХУІ съезда [і] и особенно в постановлениях декабрьского (1983 г.) Пленума ЦК КПСС [2] намечается обеспечение дальнейшего роста эффективности экономики путем ускорения научно-технического прогресса, разработки и осуществления конкретных мер по снижению расхода сырья, материалов, снижения себестоимости продукции. Большие запасы экономии в проектировании и производстве строительных конструкций кроются в рациональном распределении конструкционного материала сооружения, в оптимальном подборе соотношений между прочностными, жесткостными и другими параметрами отдельных элементов конструкций. Учет этих факторов приводит к уменьшению объема элементов системы, что в свою очередь снижает стоимость конструкций и сооружений в целом.
Экономичность конструкций достигается учетом свойств материалов за пределом упругости и приближением расчетных схем к действительным условиям работы. Учет пластических свойств конструкционных материалов позволяет более полно определить резервы несущей способности сооружений и является объектом многих исследований. В настоящее время достаточно разработанным методом расчета упругопластических конструкций является метод предельного равновесия, основанный на идеально пластической модели материала и концепции точечного пластического шарнира (на идеализации формы сечения).
Однако метод предельного равновесия не пригоден для расчета конструкций по состояниям, отличным от состояния, соответствующего пластическому разрушению. Тем более результаты расчета систем по критерию пластического разрушения не всегда являются решающими, так как эксплуатационная способность может быть потеряна до наступления пластического разрушения вследствие чрез-
мерного развития пластических деформаций или перемещений. Таким образом, вопрос определения параметров деформированного состояния при решении упругопластических систем становится чрезвычайно важным, так как по этим параметрам можно судить о пригодности конструкции к эксплуатации.
Большинство строительных конструкций находится под воздействием нагрузок, меняющихся как по величине и направлению, так и по месту приложения. Известно, что деформированное состояние упругопластических систем существенно зависит от последовательности приложения нагрузок. В настоящее время на основе идеально упругопластической модели материала создана теория приспособляемости, позволяющая определить пределы изменяющейся нагрузки. Однако вопрос о деформированном состоянии приспособившейся системы, несмотря на многочисленность опубликованных работ, пока исследован недостаточно.
Анализ опубликованных в литературе методов определения перемещений в идеально упругопластических системах свидетельствует о том, что в настоящее время приемлемых методов определения перемещений не существует. В обзоре литературы показано, что существующие методы либо не способны определить действительных пределов перемещений даже в рамках принятых допущений, либо определение их сопровождается неоправданно большими вычислительными затратами.
Целью настоящей работы является разработка математических моделей и методики для определения перемещений в идеально упругопластических плоских стержневых изгибаемых системах. Исследования относятся к конструкциям, подверженным действию однократного, повторно-переменного и подвижного нагружений. В работе рассматриваются вопросы учета разгрузки и влияния истории нагру-жения.
Новизна заключается в следующем: впервые доказаны теоремы о свойствах задачи приспособляемости, на основе которых разработана единая методика, алгоритмы и программы определения перемещений в идеально упругопластических системах для различных видов нагружения. Методикой учитывается влияние разгрузки при однократном нагружении, влияние истории нагружения при повторно-переменном нагружении, а также рассматриваются вопросы рациональности вычислений при подвижном нагружении.
В данной работе будут определяться перемещения идеально упругопластических систем при действии однократного, повторно-переменного и подвижного квазистатических нагружении. За основу расчета ввиду простоты построения и точности реализации принята математическая модель задачи приспособляемости в кинематической формулировке [з], которая для отличия от общеизвестной формулировки кинематической теоремы Койтера в дальнейшем именуется принципом максимума дополнительной работы в условиях приспособляемости. Применение этой модели обеспечивает максимальное использование возможностей ЭВМ, вследствие чего доступным является решение сложнейших задач при минимальном объеме немеханизированных подготовительных операций по составлению алгоритмов и программ вычислений.
В первой главе работы дан обзор методов определения перемещений при различных видах нагружения, проведено сравнение методов по точности результатов расчета и трудоемкости реализации. Анализируются возможности построения единой методики определения перемещений при различных видах нагружения на основе экстремальных энергетических принципов.
Во второй главе приведены основные допущения, при существовании которых действительны результаты расчета по предлагаемой методике; определены понятия и выведены основные зависимости,
характеризующие напряженно-деформированное состояние идеально упругопластической системы. Проведены также исследования свойств принципа максимума дополнительной работы в условиях приспособляемости. Выводы исследований сформулированы в виде двух теорем. Первая указывает на связь между результатом решения задачи, основанной на принципе максимума дополнительной работы, и программой нагружения, а вторая позволяет определить место действительного предела перемещения. Доказанные теоремы в дальнейшем являются основой для построения алгоритмов определения перемещений. Показано, что и подготовка исходных данных, и определение напряженно-деформированного состояния не имеют принципиальных различий для различных видов нагружения, поэтому алгоритм определения перемещений для всех видов нагружения рассматриваются в одном подразделе. Однократное нагружение особо не выделяется, так как оно не всегда обеспечивает условия простого нагружения [4]. Поэтому анализ решений при однократном нагружении необходим, как и при других видах нагружения. Однако следует отметить, что разработанная методика учитывает ту дополнительную информацию, которая свойственная каждому конкретному виду нагружения.
В третьей главе приведен анализ примеров решения при различных видах нагружения согласно разработанным во второй главе алгоритмам. Рассмотрены особенности определения перемещений в случае разгрузки при однократном нагружении, методика определения перемещений при повторно-переменном нагружении в зависимости от исходных требований, а также примеры действия подвижной нагрузки.
В четвертой главе дан алгоритм решения задачи выпуклого программирования, являющейся основной задачей определения перемещений, когда в основу решения положены экстремальные энергетические принципы. Вкратце приводится описание программ опреде-
ления перемещений при различных видах нагружения.
На защиту выносятся:
математические модели и методика определения параметров напряженно-деформированного состояния идеально упругопластических систем;
алгоритмы и программа для ЭВМ для определения перемещений в идеально упругопластических плоских стержневых изгибаемых системах при различных видах нагружения.
Заключительные выводы представлены в конце работы.
Особенности определения перемещений при повторно-переменном и подвижном нагружении
Начало инженерных работ в области теоретического и экспериментального исследования строительных конструкций за пределом упругости и определения их несущей способности относится к 1930-1935 годам. Советскими учеными были разработаны численные методы определения перемещений при изгибе статически определимых и неопределимых балок. Н.И.Безухов [5, б] предложил заменить заданную упругопластическуго балку фиктивной упругой балкой переменного сечения, а затем последнюю новой балкой постоянного сечения, но со специально преобразованной нагрузкой. Н.Д.Шудин [7] показал возможность нахождения прогиба балки в функции относительной высоты упругого ядра опасного сечения и благодаря этому упростил исследование работы неразрезных балок в упруго-пластической стадии их изгиба как при простом, так и при подвижном нагружении. В работах А.И. Виноградова [8, 9] и В.Г.Васильева [10] рассмотрены задачи определения упругопяастических перемещений в стержневых системах из идеально пластического материала при изгибе. Предложена обобщенная формула Мора с безразмерными коэффициентами, которые учитывают тип сечения и стадию работы. Сопоставлены остаточные прогибы для статически оп 12 ределимых и статически неопределимых конструкций. А.Д.Поспелов [іі] предложил приближенный метод определения упругопластических перемещений как статически определимых, так и статически неопределимых балок. Этот метод родственен способу численного интегрирования уравнений изогнутой оси балки, однако здесь непосредственно используется зависимость относительной кривизны от относительного момента, которую А.Д.Поспелов приводит для балки прямоугольного сечения при различных значениях параметра разупрочнения. В работе используется метод упругих решений,разработанный А.А.Ильюшиным [4].
Вышеназванные методы являются весьма трудоемкими и сложными, хотя позволяют решать простейшие задачи. Попытку упростить расчеты, использовать накопленный опыт и аналогию при решении подобных систем предпринял С.И.Гарпф [12, 13, 14]. Он исследовал решение статически определимых и неопределимых балок прямоугольного, круглого и двутаврового сечений. Теоретические исследования С.И.Гарпф доводит до образования первого пластического шарнира, неоправданно считая, что дефорлации при больших нагрузках будут чрезмерными, и придавая чрезмерное значение влияюнию поперечных сил. Сложные выкладки, невозможность алгоритмизации и применения ЭВМ лишает этот метод универсальности.
Определение перемещений с учетом распределения пластической зоны дефорлации и реальной формы сечения является довольно сложной задачей даже для простейших систем. Поэтому очевидно впоследствии рассматривались системы с идеализированным сечением с применением концепции пластического шарнира. Существующие методы определения перемещений, предшествующих разрушению идеально упругопластических изгибаемых систем с учетом предпосылок об идеальности сечений, можно разделить на три группы.
К первой группе относятся работы, в которых задача опреде ІЗ ления перемещений упругопластической конструкции решается поэтапным расчетом системы со ступенчато-понижающейся степенью статической неопределимости [15, 1б], т.е. исследуется история нагружения. Однако, несмотря на возможность применения матричной формы расчета и алгоритмизации с целью применения ЭВМ, определение перемещений ведется нерационально, так как требует большого количества вычислений. Поэтому эти методы вряд ли могут быть приемлемыми для определения перемещений систем с высокой степенью статической неопределимости. Кроме того, алгоритмы поэтапного расчета связаны с трудностями изменения начальных матриц при переходе от одной итерации к другой. Тем не менее шаговый метод можно применять для проверки решений несложных задач, решенных другими известными или новыми методами, а также для определения перемещений при нагрузках, незначительно превышающих упругие.
Ко второй группе относятся работы, в которых определение перемещений в упругопластической стадии производится с пренебрежением к истории нагружения системы. В таком случае для определения перемещений необходимо знать либо действительные поля пластических деформаций, либо место образования последнего пластического шарнира. В первом случае строятся уравнения кинематической совместности для пластических деформаций. Число неизвестных поворотов пластических шарниров в этих уравнениях на единицу больше числа уравнений кинематической совместности. Предполагая, что в последнем образовавшемся пластическом шарнире поворот в начале разрушения равен нулю, можно решить уравнения кинематической совместности и получить векторы пластических деформаций.
Исследование свойств математических моделей, построенных на основе экстремальных энергетических принципов
Обоснованность непосредственного применения экстремальных энергетических принципов для определения характеристик деформированного состояния доказана только для простого нагружения [68, 69], которое встречается лишь в простейших строительных конструкциях. Применение этих принципов для определения перемещений при сложном нагружении, являющемся основным видом нагружения строительных конструкций, требует решения ряда вопросов о достоверности расчета. Это является следствием того факта, что математические модели (I.5-І.II) не учитывают истории нагружения, которая в значительной мере влияет на величину характеристик деформированного состояния. Во-первых, необходимо выявить, отвечают ли результаты решения задач (I.8-І.9)возможной программе нагружения или являются некоторым набором чисел, не имеющем физического смысла, во-вторых, какие характеристики, определенные решением задач (1.8, 1.9), являются экстремальными, если вообще они являются такими.
Приведем некоторые дополнительные определения, необходимые для дальнейших исследований. Считается, что пластический шарнир образуется в 1-й. сечении, для которого действительно МГ1=М0г МЄІ или -МГі=М0і+МЄі. Число таких шарниров, т.е. число условий текучести в задаче (2.18), удовлетворяющихся как равенства, обозначим через V .
Программой неразгружающегося (условного) нагружения считаем такую программу нагружения, вследствие действия которой образуются только те пластические шарниры, которые сохраняются в состоянии приспособляемости. Нетрудно заметить, что действие программы неразгружающегося нагружения аналогично действию простого нагружения, вследствие реализации которого, как известно, образовавшиеся пластические шарниры сохраняются и в последующих состояниях.
Множеством пластических шарниров П именуется количество пластических шарниров, образующихся при некоторой программе нагружения и определяемых решением задачи (2.18). Множество, образующееся при і -й комбинации нагружения, обозначается через Пі , а множество, отвечающее состоянию приспособляемости, через Пс . Следует заметить, что множество Пс является фиктивным,так как одновременно все шарниры из Пс не могут существовать (за исключением простого нагружения), потому что экстремальные значе-ния упругих изгибающих моментов Ме , Ме определены от различных, не совместных комбинаций нагружения.
Формой пластического деформирования считается форма конструкции, отвечающая распределению пластических деформаций, выз 38 ванных действием некоторых самоуравновешенных остаточных изгибающих моментов. Очевидно, что форма пластического деформирования находится в непосредственной связи с величиной остаточных перемещений.
Приступим к анализу свойств математических моделей, построенных на основе экстремальных энергетических принципов. Ввиду положительной определенности матрицы податливости [D] вектор остаточных изгибающих моментов Mr , определенный решением задачи (2.18), всегда является единственным. Число решений задачи (2.19), что соответствует числу форм пластического деформирования, как известно [72], зависит от числа условий текучести, удовлетворяющихся как равенства в задаче (2.18), т.е. от числа пластических шарниров W . Если обозначим число сечений (число неизвестных усилий) через п , а число условий равновесия (степень свободы дискретной системы) в матрице [А] через т , то задача (2.19 будет иметь одно решение (единственную форму пластического деформирования и единственный вектор остаточных перемещений иг ), если
Таким образом, при выполнении условия (2.20) согласно решениям задач (2.18) и (2.19) единственному вектору остаточных изгибающих моментов Мг должен отвечать единственный вектор остаточных перемещений ur . Возникают вопросы, во-первых, о том, при какой программе нагружения может быть достигнут вектор ur , если, как было показано раньше, он отвечает фиктивному, не существующему в действительности множеству пластических шарниров Пс ; и, во-вторых, могут ли быть вообще достигнуты значения иг при какой-нибудь истории нагружения.
Повторно-переменное нагружение
Рассмотрим элементарный пример определения напряженно-деформированного состояния при повторно-переменном нагружении, который решен в нескольких опубликованных работах, что дает возможность сравнить как точность, так и эффективность решения. Неразрезная балка (рис.3.4) имеет постоянное сечение с предельным пластическим моментом М0 и изгибной жесткостью в упругой стадии ЕЗ . Балка нагружена двумя силами, которые могут неза Мп висимо изменяться в заданных пределах 0,0 / 5,0 -у— и 0,0 F2 5,053 -jf- . Необходимо определить пределы линейных перемещений сечений "А" и "В". Расчет, как обычно, проведем согласно разработанному ранее в подразделе 2.3.2 алгоритму определения всех пределов перемещений.
1. Для определения перемещений точек "А" и "В" достаточно в балке обозначить три сечения. Тогда матрицы равновесия [А] и податливостей [D] будут иметь вид, показанный в таблицах 3.13 и 3.14. Матрицы влияния усилий [о(] и перемещений [fi] упругого решения, а также векторы экстремальных упругих усилий Ме , Ме представлены соответственно в таблицах 3.15, 3.16 и 3.17.
2. Решая (2.31), определены векторы остаточных усилий Мг (третий столбец в таблице 3.17) и перемещений иг (третий столбец в таблице 3.18).
3. Согласно (2.23) сравнивая Ме с М0 и Ме с М0 , устанавливаем, что единственным минимальным значениям является соотношение Ме/М0 для третьего сечения. Это означает, что при решении задачи (2.31) некоторая программа нагружения реализуется таким образом, что первый пластический шарнир образуется в третьем сечении вследствие действия положительного усилия,т.е. sion(S) 0. При помощи условий (2.24) и (2.23) и соответствующей
(третьей) строки в матрице влияния усилий [оС] согласно (2.39) строим векторы пределов перемещений (таблица 3.19) из ранее полученных значений вектора Ur (третий столбец в таблице 3.18).
4. Из таблицы 3.19 видно, что необходимо еще определить максимальный предел перемещения точки "А".
5. Для данной балки вектор верхних границ F = F{, F2 , а нижних F = 0; 0. При помощи А-й строки (искомый А- й предел) в матрице влияния перемещений [р] (таблица 3.16) и соотношений (2.34) и (2.35) строятся векторы FAi = F, ; 0 ; FA1 = 0; 0 и FA2=0;F2; FA2 =0;0 . Согласно (2.36) и (2.37) из вектора FA2 исключается составляющая F2 . На втором этапе расчета остается единственная сила Fi , действие которой удовлетворяет условиям (2.24).
6. Решая (2.31) от действия F{ , определяется вектор остаточных перемещений ІІ2 (четвертый столбец в таблице 3.18). Так как условие (2.23) выполнено, разделив вектор и согласно (2.39), получим остальные значения векторов остаточных перемещений и2 , СІ2 (таблица 3.19). Суммируя остаточные перемещения с упругими, получим действительные пределы перемещений. Расчет завершен. Можно заметить, что полученные результаты совпадают с результатами поэтапного расчета при различных историях нагру-жения [17, 52, 58]. Преимуществом данного метода является следующее: 1. Полная автоматизация расчета на ЭВМ. 2. Минимальное количество вычислений, так как отпадает необходимость исследования всевозможных историй нагружения, а также надежность и достоверность расчетов в силу строгой математической формализации и применения хорошо отработанных алгоритмов.
На более сложном примере (рис.3.5) проиллюстрируем алго 84 Схема возможных линейных перемещений рамы ритм определения заданного к -го перемещения, оговорим конечные результаты. Рама нагружена тремя группами сил - 7,0 / 7,0, 0,0 F2 4 5,0 и 0,0 F3 4 10,0, остальные необходимые данные показаны на схеме. 5 раме обозначено п = 28 расчетных сечений, степень статической неопределимости К = 12, таким образом, степень свободы дискретной системы /77 = 16. Матрицы условий равновесия [А] и податливостей [В] имеют довольно большие размеры ( 20x16) и (28x28) соответственно), составление их общеизвестно, поэтому они не представлены. В матрицах влияния усилий и перемещений упругого решения [ х] и [р] также приводятся только столбцы или строки, отвечающие на рис.3.6 показанным направлениям линейных перемещений, так как для расчетов важны только элементы матриц, отвечающие либо искомым величинам, либо направлениям, в которых действуют внешние силы. Так вместо (пхт) - (28x16) представлена в таблице 3.20 (28x10)-мерная матрица [р] , а в таблице 3.21 (10x10)-мерная матрица М вместо (тхт) = (16x16)-мерной.
Краткое описание программы PAT для определения перемещений при различных видах на-гружения
Следует заметить, что вектор и является двойственным к вектору X . В задачах приспособляемости вектор X является вектором остаточных изгибающих моментов, а составляющие вектора являются компонентами векторов пластических деформаций и остаточных перемещений. Если [D] в задаче (4.3) означает матрицу податливости, а матрица [А] обеспечивает статическую допустимость вектора остаточных изгибающих моментов, то вектор z полностью характеризует напряженно-деформированное состояние системы.
Для решения задачи (4.3) в [74] предложен алгоритм, сущность которого может быть изложена в следующих этапах.
Начальный этап. Если о - неотрицательный вектор, то решением системы (4.3) являются векторы И/= 7 и z = 0 . Расчет за-вершен. Если 0 0 , то введя новый столбец I = [I...IJ и искусственную переменную z0 , получим следующую систему:
Выбираем a = max \ L, i=f,2,--pj . Система (4.4) перестраивается с помощью ведущего преобразования, в качестве ведущей выбирая S -ю строку, а в качестве ведущего столбца -20-й. В результате преобразования получим неотрицательные базисные переменные z0 и Wj при у = 1,2,...,/) и yVs . Принимаем и переходим к основному этапу.
Основной этап. Шаг I. Пусть ds - преобразованный столбец при переменной Us . Если ds 0 , то перейти к шагу 4. В противном случае определяется индекс г выводимого из базиса переменного согласно соотношению:
Шаг 2. Базисной переменной в г -й строке является либо We, либо z для некоторого (Ф s . Переменное us вводится в базис и система преобразуется выбором ведущего элемента в г -й строке и столбце, соответствующем us . Если в базисе оставлена переменная Wg , то принимаем и6 = ze , в противном случае у5 = w . Расчет возвращается к шагу I.
Шаг 3. Переменная us вводится в базис, a z0 выводится из базиса. Ведущее преобразование с ведущей z0 -й строкой приводит к полному базисному решению. Оптимальный вектор определен, расчет завершен.
Шаг 4. Дальнейший расчет невозможен, так как система несовместна. Расчет прекращается.
Программа для решения задач анализа стержневых изгибаемых систем от различных видов нагружения по математическим моделям (2.30, 2,31) и соответствующим алгоритмам, разработанным во второй главе, составлена на алгоритмическом языке ФОРТРАН [75, 76] в операционной системе ДОС и предназначена для применения на ЭВМ типа EC-I022. Кроме стандартных подпрограмм, используется целый ряд оригинальных, составленных для реализации конкретных целей. Подпрограммы объединены в укрупненные блоки, которым присвоены следующие названия:
КР - ведущая подпрограмма, реализующая задачу выпуклого программирования, построена на основе алгоритма дополнительного ведущего преобразования Лемке.
РАР - ведущая подпрограмма решения задачи анализа при однократном (пропорциональном) нагружении.
РАК - ведущая подпрограмма определения действительныхпределов при повторно-переменном нагружении. PA J - ведущая подпрограмма определения напряженно-деформированного состояния в условиях приспособляемости при подвижной нагрузке.
PAG - ведущая подпрограмма для обработки исходных данных, а также для определения необходимых величин упругого решения.
Функциональная схема программы показана на рис.4.I. Основные подпрограммы представлены в [77, 78]. В приложении дана лишь подпрограмма КР , как претерпевшая наибольшие изменения. При составлении программ преследовались следующие цели:
а) минимизация исходных данных, перфорируемых вручную. Для этого предусмотрено автоматическое формирование условий теку чести, расчета необходимых упругих значений, составление соот ветствующих математических моделей как задач приспособляемости, так и в случае необходимости задач предельного равновесия. Если решение задачи имеет большие размеры, предусмотрена возможность введения только ненулевых элементов;
б) оптимальное использование оперативной памяти путем при менения стандартных процедур, позволяющих совмещение некоторых массивов;
в) возможность управления выдаваемой информацией в зависи мости от потребностей проектировщика. Ниже приводятся параметры, вводимые в ЭВМ при расчетах по соответствующим программам. В зависимости от целей расчета необходимо подготовить пять или семь массивов.
